DE THI HSG CAP TINH TOAN 9 NAM 2014 2015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN UBND TỈNH BÌNH PHƯỚC SỞ GIÁỌ DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 02 trang). KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CÁP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kê thời gian phát đê). Bài 1:.   a   1 2 a  1. Cho biểu thức: P  1  :  a  1 a  1 a a  a  a  1     a. Tìm điều kiện của a để P có nghĩa. b. Tìm các giá trị của a để P  1. c. Tìm giá trị của P biết a  2015  2 2014 x2 1 2. Tìm GTLN và GTNN của Q  2 . x  x 1 Bài 2: 1. Cho phương trình: x 2  2mx  2m2  1  0 (m là tham số) a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt. b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn: x13  x12  x 32  x 22  2 8xy  2 2 x  y   16  xy 2. Giải hệ phương trình:   x 2  12  5 x  y  3  x 2  5  2 Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính EF. Vẽ tia Ot vuông góc với EF. Tia Ot cắt nửa đường tròn tại I. Lấy điểm A trên tia Ot sao cho IA = IO. Vẽ hai tiếp tuyến AP, AQ (P, Q là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt EF lần lượt tại B và C a. Chứng minh rằng tam giác ABC đều. b. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại S thuộc cung PQ (S không trùng với P, Q, I) cắt AP, AC lần lượt tại H, K. PQ cắt OH, OK lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng M, O, Q, K cùng thuộc 1 đường tròn. c. Chứng minh rằng HK = 2.MN. Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc A, B, C cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D, E, F. a. Chứng minh rằng: 2.AD  AB  AC b. Chứng minh rằng: AD  BE  CF lớn hơn chu vi tam giác ABC. Bài 5: a. Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2  2y2  3xy  x  y  3  0 b. Chứng minh rằng 2n 3  3n 2  n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n ………HẾT…….. PHAN LÂM. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:    a  a 1   1 a   1 2 a  :  1. Ta có: P  1  :    a 1 a a  a  a 1   a  1   a  1 a  1       .   a  a 1   : a  1    . . . . .   a  1  a  1   2 a. .   a  1  a  1   a 1. . 2. a. P có nghĩa khi: 0  a  1.  a  a  1   a  1 a  a  1 a2 1  0  a 1 b. P   :  a  1 a  1 a  1 a  1     c. Khi a  2015  2 2014. P. 2015  2 2014  2 2015  2 2014  1. . 2014  2 2014  3 3 2014  2014  2  2014 2014. 2. Tìm GTLN và GTNN của Q  Ta có: Q  Mặt khác:. x2 1 . x 2  x 1. x2 1 x 2  1  x 2  2x  2 (x  1) 2  2  2   2  22 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1. x2 1 2 2 3x 2  2  2x 2  2x  2 (x  1) 2 2 2 Q 2       2 2 x  x 1 3 3 3(x  x  1) 3(x  x  1) 3 3. Vậy min Q . 2 và maxQ  2 3. Bài 2: 1. Cho phương trình: x 2  2mx  2m2  1  0 (m là tham số). a. Phương trình có 2 dương phân biệt khi:  2 1  m  1 1  m  0  '  0  1    m  0   m 1  x1  x 2  0  2m  0 2  x .x  0 2m 2  1  0  1 1  1 2  m    m   2 2 PHAN LÂM. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 khi (1)  '  0  2m  0  m  0 Ta có: x13  x12  x 32  x 22  2   x1  x 2  (x1  x 2 ) 2  3x1.x 2   (x1  x 2 ) 2  2x1.x 2   2  2m (2m) 2  3(2m 2  1)   (2m) 2  2(2m 2  1)   2. m  0  2m(3  2m )  0   m   6  2 2. Từ (1) và (2) suy ra m . (2). 6 2.  2 8xy 2  x  y  x  y  16 2. Giải hệ phương trình:   x 2  12  5 x  y  3x  x 2  5  2. 1  2. Diều kiện: x  y  0 Ta có: 1  x 2  y2 .  x 2  y2  2xy . 8xy  16 xy.  8xy  2xy  x  y   8xy 2  16  2xy  0   x  y   42   0 xy x  y  .  x y4  2xy    x  y  4  x  y  4   2xy   0   x  y  4   x  y  4    0 x  y x  y    .  y  4  x  *  x 2  y2  4(x  y)     x  y  4   0   x 2  y2  4(x  y)  xy 0    xy  Thế * và  2  ta được Vì. x 2  12  5  3x  x 2  5. x 2  12  x 2  5  5  3x  x . PHAN LÂM.  3. 5 3 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN. (3)  x 2  12  5  3x  x 2  5  0 . . . . x 2  12  4 . (x  2)(x  2). x 2  12  4. . . x 2  5  3  3 x  2   0. (x  2)(x  2). x2  5  3.  3(x  2)  0.   x2 x2  (x  2)    3  0 2 x2  5  3   x  12  4. (4). 5 x 2 x 2 x 2 x 2     3  0. Với x   2 2 2 2 3 x  12  4 x  5  3 x 12  4 x 5  3 Do đó (4) có nghiệm khi x  2  0  x  2  y  2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y)  (2; 2) Bài 3:. A È E B H. K. C D. a. Trường hợp: AB  AD  AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. Ta có: AKD  AHD  DH  DK  BHD  CKD  BH  CK AD  AH  AB  BH  2AD  AB  AC Trong hai tam giác AHD và AKD có  (1) AD  AK  AC  CK. Các trường hợp AB  AC  AD, AC  AD  AB ta cũng có: 2AD  AB  AC (đpcm) b. Ta có chu vi tam giác ABC: P  AB  BC  CA Tương tự ở câu a, ta chứng minh được 2BE  BA  BC và 2CF  CA  CB (2) Từ (1) và (2) suy ra 2(AD  BE  CF)  AB  AC  BA  BC  CA  CB  2(AB  BC  CA) PHAN LÂM. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN AD  BE  CF  AB  BC  CA  P (đpcm) Bài 4 :. B P H M. I. O. A. S. N K. Q B. a. Ta có: AP  OA 2  OP 2  3OP OA 2 4OP 2 4 3 AB  AC    OP AP 3 3OP 2. 4 3  2 3 4 3 2 BC  2OB  2 AB2  AO 2  2  OP    2OP   2.  3 3 3   Suy ra AB  AC  BC hay ABC đều. b. POI  QOI  POH  HOI  QOS  SOI  SOH  HOI  SOI  2HOI 1  QOS  HOI  KOM  QKM  QOA  M, O, Q, K cùng thuộc một đường tròn. 2 c. Gọi J là giao của AO và PQ, AP  AQ và AB  AC  PQ // BC  AO  PQ tại J. APQ đều OJ  JI JO JN 1    2JN  SH Theo câu b ta có SOH  ION  AJN SOH  1 SO SH 2 1 JO JM 1   Mặt khác ta có: QOS  HOI  JOM  SOK  JOM SOK  2 SO SK 2 (2)  2JM  SK Từ (1) và (2) suy ra: 2JN  2JM  SH  SK  HK  2MN (đpcm) Bài 5: a. Giải phương trình nghiệm nguyên x 2  2y2  3xy  x  y  3  0  (x  y)2  y(x  y)  (x  y)  3  (x  y)(x  2y  1)  3 PHAN LÂM. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TRƯỜNG THCS & THPT TÂN TIẾN x  y  1 x  4   x  2y  1  3  y  3. Trường hợp 1: .  x  y  3  x  8   x  2y  1  1  y  5. Trường hợp 2: .  x  y  1  x  6  y  5  x  2y  1  3. Trường hợp 3: . x  y  3 x  6   x  2y  1  1  y  3. Trường hợp 4: . Vậy nghiêm của phương trình là: (x; y)  (4;  3) hoặc (8; 5) hoặc (6; 5) hoặc (6;  3) b. Chứng minh rằng 2n 3  3n 2  n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Ta có: 2n3  3n 2  n  n  n  1 n  2  là tích của ba số nguyen liên tiếp nên n  n  1 n  2  chia hết cho 2 và 3, do đó n  n  1 n  2  chia hết cho 6 hay. 2n 3  3n 2  n chia hết cho 6.. THỰC HIỆN LỜI GIẢI: Giáo viên môn công nghệ: Phan Lâm Trường THCS & THPT Tân Tiến Trong quá trình đánh máy có gì sai sót Phan Lâm mong đọc giả điều chỉnh hộ.. PHAN LÂM. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>