de thi HSG cap tinh lop 9+12

Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Bắc Giang Lớp 12. Năm học 2004 2005
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005
Môn Thi: Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (4 điểm). Cho hàm số: y =
3
1
(m + 1)x
3
(2m +1)x
2
+ (m + 3)x +3 (m là tham số ).
1) (2 điểm) Xác định m để hàm số đồng biến trên [2 ; +).
2) (2 điểm) Cho m = 2. Hãy viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 4) với đồ thị hàm số
thu đợc.
Bài 2: (4 điểm). 1) (2 điểm) Giải hệ phơng trình:



=
=+
(2) )xx(y
(1) )yx(x
3
7
9
3
2
.
2) (2 điểm) Cho tam giác ABC thoả mãn: A< B < C.

Chứng minh rằng phơng trình:
AsinxBsinxCsinx
=+
có nghiệm.
Bài 3: (4 điểm).
1) (2 điểm) Cho các số a, b, c, d > 0 thoả mãn:
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + (abc + abd + acb + bcd) =16 (1)
Chứng minh rằng: 3(a + b + c + d) 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd).
2) (2 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn:
2
33222
=
+
+
+
+
+
AC
A.C
sin
CB
C.B
sin
BA
B.A
sin
.
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Bài 4: (6 điểm).
1) (4 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình lập phơng ABCDA

1
B
1
C
1
D
1
có
A
1
(2; -1; 5); A(2; -1; 3); B(2; 1; 3); C(4; 1; 3); D(4; -1; 3) và đờng thẳng có phơng trình:
0
4
3
222
++





+=
=
+=
pnm,Rt,p,n,mvới
ptz
nty
mtx
.
Gọi khoảng cách từ các đỉnh của hình lập phơng tới đờng thẳng lần lợt là h

1
, h
2
, , h
8
.
Chứng minh rằng tổng S =
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
hhhhhhhh
+++++++
là hằng số không phụ thuộc vào m,
n, p. Tính S.
2) (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tìm điểm M trong không
gian sao cho
MDMCMBMA)M(f

+++=
3
là nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm). Cho f(x) = a
1
sinb
1
x + a
2
sinb
2
x + + a
n
sinb
n
x thoả mãn | f(x) | 1 với mọi
x [-1;1]. Chứng minh rằng | a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
| 1.
________________________________________ Hết ______________________________________

Họ và tên thí sinh.....................................................................................
Số báo danh .............................................................................................
Đơn vị dự thi ............................................................................................
Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Bắc Giang Lớp 12. Năm học 2004 2005
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005
Môn Thi: Toán
Đề dự bị Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (4 điểm). Cho hàm số: y =
mx
mx)m(mx

+
122
22
(m là tham số ).
1) (2 điểm) Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu trên khoảng (-2; 0).
2) (2 điểm) Chứng minh rằng đồ thị hàm số ứng với m = 1 nhận đờng thẳng
y =
2212
++
x)(
làm trục đối xứng. Tìm trục đối xứng thứ hai của đồ thị.
Bài 2: (4 điểm).
1) (2 điểm) Giải phơng trình:
4
3
807
+=++
xxx

.
2) (2 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm:
log
2
(x
2
+ x +1) a(
2005
11 )xx
+
.
Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) Cho x, y, z thoả mãn:



=++
=++
6
0
222
zyx
zyx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = x
2
y+y
2
z+ z
2
x.

2) (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có ba góc thoả mãn:
tg
2
A + tg
2
B + tg
2
C = cotg
2
2
A

+ cotg
2
2
B

+ cotg
2

2
C
.
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đờng thẳng có phơng
trình:
22
1
1
z

y
x
=

=
và hai điểm A(1; 1; 2) ; B(2; 2; 3).
Tìm điểm M trên đờng thẳng sao cho tổng MA+MB nhỏ nhất.
2) (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có bốn đờng cao đồng quy tại một điểm H nằm trong
tứ diện. Hãy tìm điểm M ở trong tứ diện sao cho biểu thức:
f(M) = MA.S(BCD)+ MB.S(CDA)+ MC.S(DAB) +MD.S(ABC)
đạt giá trị nhỏ nhất. (ở đây ta ký hiệu S(XYZ) là diện tích tam giác XYZ.)
Bài 5: (2 điểm).
Cho x > 0. Chứng minh rằng:
( )
( )
xxx
)(loglog 2321
32
+>+
.
__________________________________________ Hết ____________________________________
Họ và tên thí sinh.....................................................................................
Số báo danh .............................................................................................
Đơn vị dự thi ............................................................................................
Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Bắc Giang Lớp 9. Năm học 2004 2005
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005
Môn Thi: Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm).

1) Tính giá trị của biểu thức: A = (6x
3
+7x
2
+ 2003)
2005
với x =
56145
38517).25(
3
+
+
.
2) Chứng minh rằng:
B =
222
3
1
2
1
1
1
++
+
222
4
1
3
1
1

1
++
+ +
222
2004
1
2003
1
1
1
++
+
222
2005
1
2004
1
1
1
++
.
là một số hữu tỉ.
Bài 2: (4 điểm). Cho phơng trình: 2x
2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0. (1)
1) (2 điểm) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x

2
.
2) (2 điểm) Chứng minh rằng các nghiệm
21
x,x
thoả mãn bất đẳng thức:
2121
3 xxxx
++



2
2
2
1








+
.
Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) Cho hệ phơng trình:

=
=+
5y2mx
2myx
(với m là tham số).
a) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x > 0 và y < 0.
b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y đều là số nguyên.
2) (2 điểm) Cho x, y, z 0 ; x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P với
222222
xzxzzyzyyxyxP
++++++++=
.
Bài 4: (6 điểm).
1) (4 điểm) Cho hai đờng tròn ( I ) và ( K ) cắt nhau tại A và B. Tia IA cắt đờng tròn ( K ) tại
điểm thứ hai là N, tia KA cắt đờng tròn ( I ) tại điểm thứ hai là M. Qua A kẻ đờng thẳng song song với
MN lần lợt cắt đờng tròn ( I ) và đờng tròn (K) tại điểm các điểm thứ hai là E và F.
a) Chứng minh 5 điểm I, M, N, K, B cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh: BM + BN = EF.
2) (2 điểm) P là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. Gọi M, N, L lần lợt là chân các đờng
vuông góc hạ từ P xuống CA, AB, BC. Đặt f(P) = BL
2
+ CM
2
+ AN
2
. Hãy tìm vị trí của P sao cho f(P)
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình:
33333
721 y)x(...)x()x(x

=+++++++
.
______________________________________ Hết ________________________________________
Họ và tên thí sinh.....................................................................................
Số báo danh .............................................................................................
Đơn vị dự thi ............................................................................................
Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Bắc Giang Lớp 9. Năm học 2004 2005
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005
Môn Thi: Toán
Đề dự bị Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm). 1) Cho x > 2 và
x
+
x

4
= a . Tính theo a giá trị của biểu thức:
A =
2
42
2


x
xx
.
2) Cho

=++
=++
=++
1cba
1cba
1cba
333
222
. Tính giá trị của biểu thức: B = a
2003
+ b
2004
+ c
2005
.
Bài 2: (4 điểm). Cho phơng trình: x
2
( 2m + 1)x + m
2
2m 2 = 0. (1)
1) (2 điểm) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là x
1
, x
2
.
Hãy lập một phơng trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm là t
1

= 1- x
1
và t
2
= 1- x
2
.
2) (2 điểm) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
< 1 < x
2
.
Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) i) Chứng minh rằng với x, y, z 0, ta luôn có:

3
3
xyz
zyx

++
. Khi nào xảy ra dấu bằng?
ii) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng
33335
2
5

2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
.
2) (2 điểm) Cho hệ phơng trình:



=+
=+
4
104
myx
mymx
( với m là tham số).
a) Giải và biện luận hệ theo tham số m.
b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng.
Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn

(O) tại A và B cắt nhau tại M. Đoạn thẳng MC cắt đờng tròn (O) tại N và cắt AB tại K.Từ C kẻ CH, CE,
CF lần lợt vuông góc với AB, MA, MB.
a) Chứng minh rằng: CH
2
= CE . CF .
b) Chứng minh rằng:
2
2
CB
CA
KB
KA
=
.
2) (2 điểm) Tìm điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho biểu thức
f(M) = MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm). Cho f(x)=x
2
+bx+c. Chứng minh rằng nếu m, n, k là ba số nguyên đôi một khác
nhau thì trong ba số |f(m)|, |f(n)|, |f(k)| có ít nhất một số không nhỏ hơn
2
1
.
_______________________________________ Hết _______________________________________
Hä vµ tªn thÝ sinh.....................................................................................
Sè b¸o danh .............................................................................................
§¬n vÞ dù thi ............................................................................................