SKKN TOAN 4 phát triển tư duy toán học cho học sinh năng khiếu thông qua giải toán về “tìm số trung bình cộng

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Đất nước ta đang trên con đường xây dựng Cơng nghiệp hố - Hiện đại
hố, vững bước vào thế kỷ XXI - thế kỷ của khoa học và cơng nghệ. Vì vậy rất
cần những con người có tri thức để đưa nước nhà tiến kịp với nền khoa học
tiên tiến của các nước trên thế giới.
Trong hệ thống giáo dục quốc dân, bậc Tiểu học được xem là bậc học
nền móng. Các mơn học góp phần khơng nhỏ vào việc hình thành và phát triển
của những cơ sở ban đầu của nhân cách con người. Những kiến thức, kỹ năng
mơn Tốn có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống, làm cơ sở cho việc học tập
các môn học khác và học tiếp ở các lớp trên. Môn Toán giúp học sinh nhận
biết những mối quan hệ về số lượng, hình dạng khơng gian của thế giới hiện
thực. Nó có vai trị to lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy luận và giải
quyết vấn đề có tư duy logic, khoa học, tồn diện, chính xác, nhằm phát triển
trí thơng minh, tư duy độc lập sáng tạo, linh hoạt .... góp phần vào việc hình
thành các phẩm chất của con người như: lao động cần cù, có ý thức vượt khó,
làm việc có kế hoạch và khoa học. Bởi vậy, ngay từ những năm học ở bậc Tiểu
học, các em cần được trang bị kiến thức vững chắc về tự nhiên, xã hội; đặc biệt
là về Toán học, làm nền tảng vững chắc cho việc học toán sau này.
Từ vị trí và nhiệm vụ hết sức quan trọng của mơn Tốn, vấn đề đặt ra là
làm thế nào để việc dạy - học tốn của thầy và trị đạt hiệu quả cao nhất, đồng
thời phát huy được ở các em tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc chiếm
lĩnh tri thức.
Theo tôi, các phương pháp dạy học ln xuất phát từ mục tiêu của bài
học nói chung và trong giờ dạy tốn nói riêng. Đó khơng phải là cách thức
truyền thụ kiến toán học, rèn kỹ năng giải toán mà là phương tiện tinh vi để tổ
chức hoạt động nhận thức tích cực, độc lập và giáo dục phong cách làm việc
khoa học, hiệu quả cho học sinh tức là "dạy các em cách học". Vì vậy, giáo
viên cần đổi mới phương pháp và vận dụng linh hoạt các hình thức dạy học để
nâng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục.
1

Trong chương trình mơn tốn Tiểu học, nội dung mơn tốn lớp 4 có một
vị trí đặc biệt quan trọng. Có thể nói đó là bước ngoặt trong q trình nhận
thức của các em bởi vì đây là lớp đầu tiên trong giai đoạn cuối bậc Tiểu học.
Các em không những phải hệ thống hoá, khái quát hoá và bổ sung các kiến
thức về số tự nhiên mà còn được hình thành kỹ năng giải tốn điển hình, trong
đó có dạng tốn về “Tìm số trung bình cộng”.
Dạng tốn: “Tìm số trung bình cộng” là mạch kiến thức quan trọng
trong chương trình tốn 4 nói riêng và tốn Tiểu học nói chung. Việc giải tốn
về “Tìm số trung bình cộng”, nhất là dạng tốn ở mức độ nâng cao góp phần
không nhỏ giúp học sinh phát triển năng lực và thao tác tư duy tốn học.
Trong chương trình sách giáo khoa, dạng tốn về trung bình cộng được
đưa ra khá cụ thể, cách giải rõ ràng, chi tiết. Vì thế, phần lớn các em có được
lời giải đúng. Tuy nhiên, khi bài toán đưa ra ở mức độ khác nhau, khi các dữ
kiện chính được phát biểu bằng cách khác thì các em chưa có phương pháp
giải phù hợp. Giáo viên chủ yếu dạy kiến thức trong sách giáo khoa nên việc
tiếp thu của học sinh còn nhiều hạn chế, hiệu quả vận dụng giải toán của các
em chưa cao. Các em chưa hình thành được kỹ năng giải các dạng bài này mà
chủ yếu là giải mò mẫm. Bởi vậy cần có một phương pháp giảng dạy tối ưu,
mang tính hệ thống, đầy đủ để khắc phục tình trạng trên.
Năm học 2014 - 2015, tôi được phân công giảng dạy lớp 4D. Trong q
trình giảng dạy tơi khảo sát, tìm ra được những ưu điểm cũng như thiếu sót của
học sinh trong lớp mình phụ trách, học sinh các lớp khác trong khối khi học
dạng tốn khó về “Tìm số trung bình cộng”. Tơi đã mạnh dạn trao đổi cùng Ban
lãnh đạo, bạn bè đồng nghiệp về những ưu điểm và thiếu sót của học sinh lớp 4
trong giải tốn khó về dạng này, đồng thời đề xuất một số giải pháp nhằm phát
huy ưu điểm, khắc phục những tồn tại trong dạy và học của giáo viên và học
sinh trong nhà trường.
Để đáp ứng được yêu cầu đổi mới đòi hỏi người giáo viên cần phải linh
hoạt, sáng tạo trong dạy học. Vì thế, năm học 2014 - 2015, khi được phân công

giảng dạy lớp 4E, tôi mạnh dạn áp dụng một số kinh nghiệm, đồng thời tiếp tục
2


tìm hiểu để giải đáp vướng mắc của học sinh cũng như giáo viên trong dạy và
học “Tìm số trung bình cộng”. Từ đó tích lũy thêm kinh nghiệm và áp dụng vào
thực tế giảng dạy.
Trong năm học 2015 - 2016 này, lại một lần nữa tôi được vận dụng kinh
nghiệm đó vào giảng dạy học sinh lớp 4E - Trường Tiểu học . Từ kinh nghiệm
có được của bản thân, những khó khăn trong giảng dạy dần dần được tháo gỡ,
chất lượng dạy học được nâng lên đáng kể.
Từ cơ sở lý luận và thực tiễn, qua thực tế giảng dạy, tôi xin mạnh dạn đề
xuất một số kinh nghiệm: Phát triển tư duy toán học cho học sinh năng khiếu
thơng qua giải tốn về “Tìm số trung bình cộng”.

3


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề
Hiện nay, tồn ngành giáo dục nói chung và giáo dục Tiểu học nói riêng
đang thực hiện yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy
tính tính cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, sao cho hoạt động dạy học trên
lớp "Nhẹ nhàng, tự nhiên, chất lượng và hiệu quả". Để đạt được u cầu đó,
tơi thiết nghĩ: việc đổi mới phương pháp dạy Toán ở cấp Tiểu học chung và lớp
4 nói riêng là việc làm rất cần thiết mà mỗi giáo viên cần phải hướng tới, nhằm
nâng cao chất lượng học toán cho học sinh trong các trường Tiểu học.
Từ đặc điểm tâm sinh lý học sinh tiểu học là dễ nhớ nhưng cũng rất dễ
quên, sự tập trung chú ý trong giờ học toán chưa cao, trí nhớ chưa bền vững.
Vì vậy, giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, vận dụng linh

hoạt để khắc sâu kiến thức cho học sinh và tạo ra khơng khí sẵn sàng học tập,
chủ động, tích cực trong việc tiếp thu kiến thức.
“Tìm số trung bình cộng” là một dạng tốn cơ bản lớp 4 bậc Tiểu học,
có tác dụng tích cực đến việc phát triển tư duy tốn học cho học sinh. Thơng
qua các bài toán này, học sinh được rèn luyện các kỹ năng: phân tích, tư duy,
tổng hợp, suy luận, ... là những kỹ năng không thể thiếu được của người học
sinh.
Thông qua việc giải tốn các bài tốn về “Tìm số trung bình cộng”, các
em được biết nhiều khái niệm tốn học, thấy được mối quan hệ biện chứng
giữa các dữ kiện, giữa cái đã cho và cái phải tìm. Việc giải toán đã rèn luyện
cho học sinh năng lực tư duy và những đức tính của con người mới: Có ý thức
vượt khó khăn, tính cẩn thận, làm việc có kế hoạch, thói quen xét đốn có căn
cứ, thói quen tự kiểm tra kết quả cơng việc mình làm, tư duy độc lập, suy nghĩ,
sáng tạo; giúp học sinh vận dụng các kiến thức, rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ
năng sử dụng ngơn ngữ. Đồng thời, giáo viên có thể dễ dàng phát hiện những
ưu điểm hoặc hạn chế của mỗi học sinh về kiến thức, kỹ năng. Từ đó, giáo
viên đưa ra giải pháp kịp thời, giúp các em phát huy những mặt đã đạt được và
khắc phục những mặt cịn thiếu sót để việc học Tốn đạt hiệu quả hơn.
4


Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy trong học sinh, đặc biệt là học
sinh năng khiếu chưa hình thành được kỹ năng giải tốn khó về “Tìm số trung
bình cộng” một cách có hệ thống. Một số em tiếp thu bài một cách thụ động,
ghi nhớ máy móc nên “dễ nhớ lại quên”. Vì thế, khi gặp lại các dạng bài này,
các em thường giải mò mẫm nên hiệu quả chưa cao. Bởi vậy cần có một
phương pháp giảng dạy tối ưu, mang tính hệ thống. Thấu hiểu được điều đó,
tơi đã rút ra một số kinh nghiệm dạy dạng tốn khó về “Tìm số trung bình
cộng” ở lớp 4 nhằm giúp cho học sinh năng khiếu dễ dàng tiếp thu, phân biệt
và áp dụng giải chính xác.

Thực tế khi giảng dạy mơn tốn lớp 4, đặc biệt là dạng tốn về “Tìm số
trung bình cộng”, tơi nhận thấy học sinh cịn gặp nhiều khó khăn:
- Kĩ năng tóm tắt, phân tích đề bài của học sinh cịn hạn chế, các em
thường tìm hiểu đề bài qua loa dẫn tới việc xác định nhầm dạng toán, chưa
bám sát vào u cầu bài tốn để tìm lời giải thích hợp.
- Kĩ năng tính nhẩm với các phép tính và diễn đạt bằng lời của một số
em còn hạn chế. Một số em tiếp thu bài một cách thụ động, ghi nhớ bài máy
móc nên hay qn. Vì vậy cần phải có phương pháp dạy - học nhằm khắc sâu
kiến thức cho các em.
Vào đầu năm học, trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi tiến
hành khảo sát chất lượng học sinh lớp 5E (đã hồn thành chương trình lớp 4
nhưng chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) về giải tốn “Tìm số trung bình
cộng” với đề bài cụ thể:
Bài 1: Một công nhân 2 giờ đầu, mỗi giờ sản xuất được 65 sản phẩm; 3
giờ sau, mỗi giờ sản xuất được 60 sản phẩm. Hỏi trung bình mỗi giờ người
cơng nhân đó sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 2: An có 20 nhãn vở, Bình có 20 nhãn vở, Chi có số nhãn vở kém
trung bình cộng của 3 bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Chi có bao nhiêu nhãn vở?
Kết quả thu được như sau:

5


Chọn và thực hiện

Tóm tắt bài tốn
Đạt
29 em

Chưa đạt

14 em

= 67.4%
= 32.6%
* Ưu điểm:

Lời giải và đáp số

đúng phép tính
Đúng
Sai
27 em
16 em
= 62.8%

= 37.2%

Đúng
27 em

Sai
16 em

= 62.8%

= 37.2%

- Phần lớn học sinh xác định đúng dạng tốn về “Tìm số trung bình
cộng” và chọn lời giải đúng.
- Các em biết vận dụng giải tốn về “Tìm số trung bình cộng” vào thực tế.

* Hạn chế:
- Một số em kiến thức chưa chắc nên còn nhầm lẫn khi làm bài:
Với bài tập 1: Để tìm được trung bình mỗi giờ người cơng nhân đó sản
xuất được bao nhiêu sản phẩm ta lấy tổng số sản phẩm làm được chia cho số
giờ làm (2 + 3 = 5 giờ)
Tuy nhiên, một số em lấy tổng số sản phẩm làm được chia cho 2 dẫn đến
kết quả sai. Đây là sai lầm các em dễ mắc phải.
Với bài tập 2: Học sinh chưa hiểu rõ khái niệm: Chi có “ít hơn mức trung
bình của ba bạn 6 nhãn vở” nghĩa là hai bạn An và Bình phải bù cho Chi 6
nhãn vở để Chi đạt mức trung bình.
Vì thế, một số em có kết quả sai khi tìm số nhãn vở của Chi là:
(20 + 20 + 6) : 2 = 23 (nhãn vở)
Mà các em chưa hiểu được rằng: Hai bạn An và Bình phải bù cho Chi 6
nhãn vở để Chi đạt mức trung bình thì mức trung số nhãn vở của ba bạn là:
(20 + 20 - 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
Từ đó các em tìm được số nhãn vở của Chi là:
17 - 6 = 11 (nhãn vở)
Kết quả trên cho thấy: kĩ năng giải các bài tốn về Tìm số trung bình cộng
của các em cịn hạn chế. Thực trạng này đặt ra cho mỗi giáo viên là dạy giải
tốn về “Tìm số trung bình cộng” thế nào để nâng cao chất lượng dạy - học.
2. Các biện pháp để giải quyết vẫn đề
6


2.1. Chuẩn bị của Thầy
- Tham khảo tài liệu bồi dưỡng học sinh năng khiếu của các tác giả:
Nguyễn Áng, Đỗ Trung Hiệu, Phạm Đình Thực, Nguyễn Danh Ninh, Vũ
Dương Thụy ...
- Xây dựng hệ thống bài tập tiêu biểu đại diện cho từng loại bài và
phương pháp giải phù hợp với đối tượng học sinh, chú trọng bồi dưỡng học

sinh năng khiếu. Đồng thời lường trước những vấn đề mà học sinh hay vướng
mắc trong khi thực hành giải loại tốn đó để giáo viên lưu ý trong giảng dạy.
- Xây dựng hệ thống bài tập áp dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán
thành thạo cho học sinh.
2.2. Nắm vững u cầu dạy giải tốn về Tìm số trung bình cộng
- Học sinh tham gia vào các hoạt động học tập một cách tích cực, hứng
thú, tự nhiên và tự tin. Trách nhiệm của học sinh là phát hiện, chiếm lĩnh và
vận dụng tri thức.
- Giáo viên lập kế hoạch, tổ chức hướng dẫn nhẹ nhàng, hợp tác giúp học
sinh phát triển năng lực cá nhân. Giáo viên và học sinh ảnh hưởng và hỗ trợ
lẫn nhau.
- Giáo viên tạo điều kiện để học sinh hứng thú, tự tin trong học tập.
2.3. Tự học tập và nghiên cứu, đổi mới phương pháp giảng dạy
Đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay chính là để phát
hiện, lựa chọn phương pháp cụ thể phù hợp với quan điểm dạy học "phát huy
tính chủ động, sáng tạo của học sinh" và phù hợp với nội dung giáo dục. Vì
vậy, chúng tơi thường xun sinh hoạt chun mơn, dự giờ của đồng nghiệp
để học tập kinh nghiệm và xây dựng, thống nhất cách thực hiện đổi mới
phương pháp giảng dạy đối với các môn học cho phù hợp để chuyển tải kiến
thức tới học sinh bằng con đường nhanh nhất, ngắn gọn nhất. Cần nghiên cứu,
tìm hiểu để nắm được u cầu của việc dạy tốn nói chung và giải bài tốn về
“Tìm số trung bình cộng” nói riêng. Đồng thời nắm được những thiếu sót của
học sinh trong giải toán.
2.4. Chuẩn bị cho giờ dạy theo phương pháp đổi mới đạt kết quả
7


Để có được giờ dạy giải tốn theo phương pháp đổi mới đạt kết quả tốt,
phát huy được tính tích cực của học sinh thì giáo viên phải có thiết kế cụ thể,
rõ ràng, nó sẽ quyết định lớn đến chất lượng giờ dạy. Đồng thời, giáo viên

cũng là người tổ chức, hướng dẫn thiết kế cho từng học sinh. Các em đều chủ
động học tập, tự chiếm lĩnh tri thức. Vì vậy, cả Thầy và Trị đều phải có sự
chuẩn bị chu đáo.
2.5. Thực hiện tốt các quy trình giảng dạy khi dạy giải tốn về Tìm số
trung bình cộng
a/ Củng cố cho học sinh kiến thức cũ cơ bản cần thiết
Học sinh phải nắm vững các kiến thức sau:
- Các số lẻ có chữ số hàng đơn vị là 1; 3; 5; 9
- Các số chẵn có chữ số hàng đơn vị là 0; 2; 4; 6; 8
- Hai số tự nhiên liên tiếp (liền nhau) hơn (kém) nhau 1 đơn vị
- Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị
- Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị
- Có 10 số có 1 chữ số là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
- Có 90 số có 2 chữ số là các số từ 10 đến 99
- Có 900 số có 3 chữ số là các số từ 100 đến 999
- Có 9000 số có 4 chữ số là các số từ 1000 đến 9999
- Số nhỏ nhất có 1 chữ số là số 0
- Số nhỏ nhất có 2 chữ số là số 10
- Số nhỏ nhất có 3 chữ số là số 100
- Số nhỏ nhất có 4 chữ số là số 1000
- Số nhỏ nhất có k chữ số là 1 00… 0 (k - 1 chữ số 0)
- Số lớn nhất có 1 chữ số là số 9
- Số lớn nhất có 2 chữ số là số 99
- Số lớn nhất có 3 chữ số là số 999
- Số lớn nhất có 4 chữ số là số 9999
- Số lớn nhất có k chữ số là 9 ... 9 (k chữ số 0)
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, cứ một số chẵn lại đến một số lẻ vì vậy
8

nếu:
+ Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chắn thì số lượng các số lẻ bằng số
lượng các số chẵn.
+ Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số lẻ bằng số
lượng các số chẵn.
+ Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ
nhiều hơn số lượng các số chẵn là 1 số
+ Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số
chẵn nhiều hơn số lượng các số lẻ là 1 số.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy
chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số ấy.
Chẳng hạn dãy số: 1236; 1237; 1238 ; ... ; 6319 có số lượng số tự nhiên là:
6319- 1235= 5084 số.
b/ Cung cấp cho học sinh kiến thức mới và phương pháp giải
* Nắm được cách Tìm số trung bình cộng
Muốn tìm số trung bình cộng của nhiều số, ta tính tổng của các số đó rồi
chia tổng đó cho số các số hạng.
* Nếu một trong hai số lớn hơn trung bình cộng của chúng a đơn vị thì
số đó lớn hơn số còn lại là : a x 2 đơn vị.
Ví dụ 1: Cho 2 số 39 và 31 thì:
Trung bình cộng của 2 số là:
(39 + 21) : 2 = 30
39 lớn hơn trung bình cộng 2 số là:
39 - 30 = 9
39 lớn hơn 21 là:
39 - 21 = 18
Mà 18 = 9 x 2
Ví dụ 2 : Cho 2 số biết số lớn là 1516 và số này lớn hơn trung bình cộng của 2
số là 173.
Bài giải

9


Cách 1: Số lớn hơn trung bình cộng của 2 số là 173 thì số lớn hơn số bé 2 lần
173 nên lớn hơn số bé là:
173 x 2 = 346
Vậy số bé là:
1516 - 346 = 1170
Đáp số: 1170
Cách 2: Số lớn hơn trung bình cộng của 2 số là 173 nên số lớn phải bù cho số
bé 173 để số bé bằng trung bình cộng của 2 số.
Trung bình cộng của 2 số là:
1516 - 173 = 1343
Số bé là:
1343 - 173 = 1170
Đáp số : 1170
* Trung bình cộng của một dãy số lẻ các số cách đều nhau là số ở chính
giữa dãy số.
Ví dụ 1: Cho 3 số cách đều nhau 3; 5; 7 thì trung bình cộng của 3 số là:
(3 + 5 + 7) : 3 = 5. Mà 5 chính là số ở giữa dãy số.
Ví dụ 2: Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của 5 số đó là 9.
Phân tích: 5 số lẻ liên tiếp tức là 5 số lẻ này phải cách đều nhau. Vậy 9 chính là
số ở giữa của 5 số đó.
Các số đó là: 5; 7; 9; 11; 13.
* Trung bình cộng của một dãy số chẵn các số cách đều nhau thì bằng tổng
của một cặp số cách đều 2 đầu dãy số chia cho 2.
Ví dụ 1: Cho 6 số cách đều nhau: 5; 11; 17; 23; 29; 35 thì trung bình cộng của
6 số đó là :
(5 + 11 + 17 + 23 + 29) : 6 = 20
Mà 20 = (5 + 35) : 2 = (11 + 29) : 2 = (17 + 23) : 2

Ví dụ 2: Tìm 3 số có trung bình cộng là 5.
Bài giải
10


Có 2 trường hợp xảy ra: + 3 số đó cách đều nhau.
+ 3 số đó khơng cách đều nhau.
Xét trường hợp 1:
3 số đó cách đều nhau thì số thứ 2 chính bằng trung bình cộng của 3 số
đó nên là 5; ta có 5 trường hợp sau:
0; 5; 10

3; 5; 7

1; 5; 9

4; 5; 6

2; 5; 8

Xét trường hợp 2:
3 số đó khơng cách đều nhau thì tổng của 3 số đó là: 3 x 5 = 15
Ta có trường hợp sau:
0; 0; 15

1; 1; 13

2; 2; 11

0; 1; 14

1; 2; 12

2; 3; 10

0; 2; 13

1; 3; 11

2; 4; 9

0; 3; 12

1; 4; 10

3; 4; 8

0; 4; 11

3; 3; 9

4; 4; 7

* Một số bằng trung bình cộng của các số cịn lại thì số đó chính bằng trung
bình cộng của các số đó.
Ví dụ 1: Có 3 số: 20; 38; 29
Ta nhận thấy:
29 chính là trung bình cộng của 2 số 20 và 38 vì (20 + 38) : 2 = 29;
29 cũng là trung bình cộng của 3 số 20; 38; 29 vì: (20 + 38 + 29) : 3 = 29
Ví dụ 2: Tìm 1 số biết rằng số thứ nhất số là 20, số thứ hai là 30 còn số thứ ba

đúng bằng trung bình cộng của 3 số đó.
Bài giải
Số thứ ba bằng trung bình cộng của 3 số đó.
Số thứ ba cũng bằng trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ hai tức là
trung bình cộng của hai số 30 và 20.
Vậy số thứ ba là: (30 + 20) : 2 = 25
Đáp số : Số thứ ba: 25
* Một số lớn hơn trung bình cộng của các số a đơn vị thì tổng các số cịn lại
11


thiếu a đơn vị mới đủ trung bình cộng của các số đó.
Ví dụ 1: Cho 5 số: 15; 20; 25; 30; 35. Trung bình cộng của 5 số là 25. Mà 35
lớn hơn trung bình cộng của 5 số là : 35 - 25 = 10
Tổng 4 số còn lại 15; 20; 25; 30 là : 15 + 20 + 25 + 30 = 90
Vậy tổng của 4 số đó cịn thiếu 10 mới đủ trung bình cộng của 4 số đó.
Thật vậy : (90 + 10) : 4 = 25
Ví dụ 2: Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó lớn hơn trung bình cộng của số
đó và các số 10 ; 14 ; 18 là 6.
Bài giải
Số phải tìm lớn hơn trung bình cộng của các số 10 ; 14 ; 18 là 6 tức là số
đó phải bù cho các số kia 6 đơn vị để các số kia đạt mức trung bình.
Trung bình cộng của các số đó là :
(10 + 14 + 18 + 6) : 3 = 16
Vậy số đó là:
16 + 6 = 22
Đáp số: 22
* Sau cùng một năm, mỗi người đều tăng một tuổi như nhau. Vì vậy a hơn
b bao nhiêu tuổi thì tại bất kì năm nào a cũng hơn b bấy nhiêu tuổi.
Ví dụ: Năm nay ông 60 tuổi, cháu 10 tuổi. Vậy khi ông 70 tuổi thì cháu sẽ là

20 tuổi.
Thật vậy, số tuổi của ông tăng là:
70 - 60 = 10 (tuổi)
Sau cùng một số năm số tuổi của ơng tăng 10 tuổi thì số tuổi của cháu
cũng tăng lên 10 tuổi.
Vậy tuổi cháu là :
10 + 10 = 20 (tuổi)
Đáp số : 20 tuổi

c/ Một số bài toán mẫu:
12


Bài tốn 1: Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng số
lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số.
Phân tích đề: Các số tự nhiên liên tiếp là các số cách đều nhau. Vì có 5 số nên
là một dãy lẻ các số cách đều nhau. Vậy trung bình cộng của 5 số đó bằng số
thứ 3 trong 5 số đó viết theo thứ tự của số tự nhiên.
Bài giải
Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị.
Số lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số là số 11.
Trung bình cộng của một dãy lẻ các số cách đều nhau chính là số ở giữa
của dãy số và là số thứ 3. Vậy số thứ ba là 11.
5 số đó là: 9; 10; 11; 12; 13.
Đáp số: 9; 10; 11; 12; 13.
Bài toán 2: Tìm 6 số chẵn liên tiếp, biết trung bình cộng của chúng bằng 17.
Phân tích đề: Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị nên 6 số chẵn tự
nhiên liên tiếp là các số cách đều nhau lập thành các cặp số kể từ 2 đầu dãy số
(6 số) vào thì được các cặp số đều có tổng bằng nhau. Trung bình cộng của 6 số
này chính bằng tổng của mỗi cặp số đó chia cho 2

Bài giải
Dãy số gồm số chẵn các số (6 số) cách đều nhau 2 đơn vị nên ta sắp kể từ
hai đầu vào được 3 cặp số có tổng đều bằng nhau. Trung bình cộng của 6 số
bằng tổng của 1 cặp số này chia cho 2. Cặp số chẵn liền nhau có trung bình
cộng bằng 17 là 2 số 16 và 18 vì: (16 + 18) : 2 = 17
Vậy 6 số đó là 12;14; 16;18; 20; 22.
Bài tốn 3: Tìm 3 số chẵn khác nhau biết trung bình cộng của chúng là 4.
Phân tích đề: Từ trung bình cộng của 3 số đó ta tìm được tổng 3 số đó. Từ đây
ta có thể tìm được 3 số chẵn đó phương pháp chẵn:
Bài giải
- Cách 1: Tổng của 3 số đó là: 4 x 3 = 12
Ta có các trường hợp sau:
1)

0 + 4 + 8 = 12
13


2)

0 + 2 + 10 = 12

3)

2 + 4 + 6 = 12

Vậy 3 số đó là:

1)

0; 4; 8

2) 0; 2; 10
3) 2; 4; 6
- Cách 2: Xét trường hợp 3 số đó là 3 số cách đều nhau thì 4 chính là số thứ 2
trong 3 số đó.
Ta có 2 trường hợp sau :

0; 4; 8 (cách đều là 4)
2; 4; 6 (cách đều là 2)

Nếu 3 số đó khơng phải là 3 số cách đều nhau thì chỉ có một trường hợp
duy nhất là: 0; 2; 10.
Vậy bài tốn có 3 kết quả trên.
Bài tốn 4: Tìm trung bình cộng của tất các số đó lớn hơn 0 nhỏ hơn 100 và
chia hết cho 5.
Phân tích đề: Trước hết cần biết các số đó là các số nào rồi có kế hoạch tính.
Các số đó là: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80;
85; 90; 95.
Ta thấy mỗi chục số tự nhiên liên tiếp có 2 số chia hết cho 5 (có tận cùng
là 0 hoặc 5) nên có: 2 x 9 + 1 = 19 (số). Dãy số gồm một số lẻ các số sau. Sau
đó tính tổng các số trên rồi tính số trung bình cộng.
Bài giải
- Cách 1: Các số lớn hơn 0 chia hết cho 5 trong phạm vi 100 là 5; 10; 15; 20; 25;
30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95. Tất cả có 19 số.
Ta để lại số hạng đầu là 5 thì cịn lại 18 số các số đó cách đều nhau 5 đơn vị
nên ta sắp thành các cặp số như sau:
10 + 95 = 105

20 + 85 = 105

15 + 90 = 105

25 + 80 = 105

Các cặp số đều có tổng là 105
Số cặp số là: (19 – 1) : 2 = 9 (cặp)
Tổng 19 số đó là : 5 + 105 x 9 = 950
14


Trung bình cộng của tất cả các số lớn hơn 0 mà chia hết cho 5 trong
phạm vi 100 là: 950 : 19 = 50
Đáp số : 50
- Cách 2: Ta thấy các số chia hết cho 5:
Từ 1 đến 10 có hai số là: 5; 10
Từ 11 đến 10 có hai số là: 15; 20
Từ 21 đến 30 có hai số là: 25; 30
......................................
Từ 1 đến 90 có 90 số tự nhiên liên tiếp nên có 18 số chia hết cho hết cho
5 (2 x 9 = 18 số) và kể cả số 95 là 19 số.
Các số đều cách nhau 5 đơn vị nên trung bình cộng của các số chính là
của số thứ 10 (số ở chính giữa) của dãy số. Đó chính là số 50.
Bài tốn 5: Tìm ba số có trung bình cộng là 600, biết rằng số thứ ba gấp 18 lần
số thứ nhất và nếu viết thêm số thứ nhất vào bên phải hoặc bên trái nó thì được
số thứ hai.
Phân tích đề: Từ trung bình cộng của ba số đó ta tìm được tổng của ba số đó.
Xác định số thứ nhất có bao nhiêu chữ số và xét xem số thứ 2 gấp số thứ nhất
bao nhiêu lần thì bài tốn trở về dạng tìm ba số biết tổng và tỉ số của chúng.
Bài giải

Tổng của 3 số đó là:
600 x 3= 1800
Số thứ nhất khơng thể là số có ba chữ số vì số có ba chữ số nhỏ nhất là 100.
Khi đó số thứ 2 là: 100100 > 1800 nên sai.
Số thứ hai khơng thể là số có một chữ số vì số lớn nhất có một chữ số là 9
Khi đó số thứ hai là 99 và số thứ ba là:
1800 - (99 + 9) = 1692 không gấp 18 lần số thứ nhất nên cũng không chấp
nhận được.
Vậy số thứ nhất là số có hai chữ số.
Số thứ hai hơn số thứ nhất số lần là : abab : ab = 101
Tổng ba số gấp số thứ nhất số lần là:
15


101 + 1 + 18 = 120 (lần)
Số thứ nhất là:
1800 : 120 = 15
Số thứ hai là: 1515
Số thứ ba là :
15 x 18 = 270
Thử lại: (15 + 1515 + 270) : 3 = 600 (Đúng)
Đáp số: 15; 1515; 270.
Bài tốn 6: Tìm số có 2 chữ số biết trung bình cộng các chữ số của số đó là 3
và chữ số này gấp hai lần chữ số kia.
Phân tích đề: Trước hết ta phải tìm được các số đó; căn cứ vào dữ kiện: Trung
bình cộng các chữ số đó là 3 rồi căn cứ vào dữ kiện: hai chữ số đó gấp nhau 2
lần để loại bỏ những số không đủ cả 2 điều kiện trên.
Bài giải
- Cách 1: Tổng của 2 chữ số đó là: 3 x 2 = 6
Ta có sơ đồ sau :

Chữ số bé là:
6 : (2 + 1) = 2
Chữ số lớn là:
6-2=4
Ta có 2 số là 42 và 24.
Đáp số: 42; 24.
- Cách 2: Tổng 2 chữ số của số đó là 3 x 2 = 6
Ta có: Các số sau có 2 chữ số và tổng 2 chữ số là 6
60; 51; 42; 33; 24; 15.
Trong 6 số trên chỉ có 2 số 24 và 42 là có hai chữ số gấp nhau 2 lần. Vậy các
số phải tìm là 42 và 24.
Đáp số: 42 và 24
Bài toán 7: Tính trung bình cộng của các số được viết bởi ba chữ số: 2; 3; 5 và
16


ở từng số mỗi chữ số chỉ viết một lần.
Phân tích đề: Ta tìm các số được lập bởi 3 chữ số đó theo u cầu của đề tìm
xem mỗi chữ số ở mỗi hàng bao nhiêu lần từ đó tính tổng và trung bình cộng.
Bài giải
- Cách 1: Ta lập được 6 số sau: 235, 325, 523, 253, 352, 532
Trung bình cộng của các số đó là:
(235 + 253 + 325 + 352 + 523 + 532) : 2 = 370
- Cách 2: Ta lập được 6 số 235, 325, 523, 253, 352, 523
Ta thấy mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng hai lần nên trung bình cộng của các
số đó là:
((2 + 3 + 5) x 100 x 2 + (2 + 3 + 5) x 10 x 2 + (2 + 3 + 5) x 1 x 2 )) : 6
= (10 x 200 + 10 x 20 + 10 x 2) : 6 = 10 x 222 : 6 = 370
Đáp số : 370
Bài toán 8: Cho 2 số 10, 16 và x. Tính x biết x bằng trung bình cộng của 3 số đó.

Bài giải
Vì x bằng trung bình cộng của 3 số và trung bình cộng này cũng là x nên 2 số
kia cũng có trung bình cộng bằng trung bình cộng của 3 số.
Vậy trung bình cộng của 3 số (hay x) bằng:
(10 + 16) : 2 = 13
Đáp số: 13
Bài toán 9: Có 4 thuyền, thuyền thứ nhất chở 12 tấn, thuyền thứ hai chở 13 tấn,
thuyền thứ ba chở 15 tấn, thuyền thứ tư chở vượt mức trung bình của cả 4
thuyền là 2 tấn. Hỏi:
a) Mức chở trung bình của mỗi thuyền ?
b) Thuyền thứ tư chở bao nhiêu tấn ?
Bài giải
Thuyền thứ tư chở vượt mức trung bình cộng của 4 thuyền là 2 tấn thì 2
tấn đó phải bù cho 3 thuyền kia để 3 thuyền kia đủ tấn trung bình.
Do đó mức trung bình của cả 4 thuyền là : (12 + 13 + 15+ 2) : 3 = 14
Vậy thuyền thứ tư chở là:
17


14 + 2 = 16 tấn
Đáp số : a) 14 tấn
b) 16 tấn
Bài tốn 10: Hiện nay tuổi trung bình của mẹ và con là 20 tuổi. Hỏi tuổi hiện
nay của mỗi người biết rằng 10 năm trước đây tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi con.
Phân tích đề: Biết trung bình cộng của tuổi của mẹ và con ta tìm được tổng số
tuổi của mẹ và con hiện nay. Từ đó suy ra 10 năm trước đây tổng số tuổi của
mẹ gấp con 3 lần rồi ta giải thành loại tốn tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của
hai số đó.
Bài giải
Tổng số tuổi của mẹ và con hiện nay là :

30 x 2 = 60 (tuổi)
10 năm trước đây tuổi của mẹ kém tuổi hiện nay là 10 tuổi, con cũng vậy
kém tuổi hiện nay là 10 tuổi. Vậy 10 năm trước đây tổng số tuổi của 2 mẹ con
là :
60 - (10 x 2) = 40 tuổi
10 năm trước đây mẹ

40 tuổi

10 năm trước đây con
Tuổi của con 10 năm trước đây là:
40 : (3 + 1) = 10 ( tuổi)
Tuổi của con hiện nay là :
10 + 10 = 20 tuổi
Tuổi của mẹ hiện nay là :
60 - 20 = 40 tuổi
Đáp số : 40 tuổi và 20 tuổi
d/ Các bài luyện tập :
1. Cho 2 số biết rằng trung bình cộng của chúng là số lớn nhất có 2 chữ số và
số bé nhất bằng 90. Tìm số lớn.
2. Tìm hai số có trung bình cộng là số nhỏ nhất có 3 chữ số và số lớn gấp 4 lần
số bé.
18


3. Trung bình cộng của 3 số là 1001. Tìm ba số đó biết rằng số thứ nhất gấp 3
lần số thứ 2 và số thứ 3 bằng

1
số thứ 2.

3

4. Tìm 3 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là số lẻ nhỏ nhất có ba
chữ số.
5. Tìm 4 số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 15.
6. Tìm 3 số lẻ khác nhau biết trung bình cộng của chúng là 7.
7. Trung bình cộng của bốn số là 50. Tìm số thứ tư biết rằng số đó bằng trung
bình cộng của 3 số kia.
8. Tìm trung bình cộng của:
a) 11 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên.
b) Tất cả các số chẵn từ 8 đến 22.
c) Tất cả các số lẻ từ 3 đến 31.
9. Tìm 3 số tự nhiên khác nhau có trung bình cộng là 6.
10. Tìm số có hai chữ số biết trung bình cộng của chữ số đó là 4 và chữ số này
gấp 3 lần chữ số kia.

3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19


Trong nhiều năm qua, việc đổi mới phương pháp dạy học của giáo viên
nói chung và của các giáo viên trong tổ nhóm chúng tơi nói riêng cịn nhiều
hạn chế trong việc phát huy tiềm ẩn trong mỗi học sinh. Để khắc phục tình
trạng đó, việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng "Thầy thiết kế, trị thi
cơng" là vơ cùng cần thiết. Người thầy chỉ giữ vai trị tổ chức điều khiển và
hướng dẫn học sinh trong quá trình tìm ra kiến thức mới. Học sinh thực hành
và tự đúc kết ra kinh nghiệm cho bản thân. Với việc đổi mới phương pháp giải
tốn nói chung và dạy tốn về "Tìm số trung bình cộng" như đã trình bày, tôi
tự đánh giá sáng kiến kinh nghiêm đã đạt được kết quả như sau:
Đối với giáo viên:

Đã tự học tập và có kinh nghiệm trong dạy tốn nói chung và trong việc
dạy giải tốn "Tìm số trung bình cộng" nói riêng; giúp cho bản thân nâng cao
được tay nghề, biết đổi mới, vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học.
Đối với học sinh:
Các em nắm chắc kiến thức về "Tìm số trung bình cộng", biết cách tóm
tắt, biết cách phân tích đề, lập kế hoạch giải, kiểm tra bài giải. Ở dạng nâng
cao, các em có phương pháp giải rõ ràng, phù hợp với từng dạng bài.
Học sinh chủ động, linh hoạt hơn trong việc tiếp thu kiến thức, giờ học
sôi nổi, hứng thú hơn, chất lượng môn Toán được nâng lên rõ rệt. Điều đáng
mừng là qua trao đổi, học sinh rất tự tin khi gặp dạng toán này.
Cuối tháng 10, khi học sinh học xong dạng tốn về “Tìm số trung bình
cộng” tơi tiến hành khảo sát với 50 học sinh lớp 4E với đề bài như đã tiến hành
khảo sát đầu năm với học sinh lớp 5, kết quả như sau:
Tóm tắt bài tốn
Đạt
TS
%
46 92.0

Chưa đạt
TS
%
4
8.0

Chọn và thực hiện phép
tính đúng
Đúng
Sai
TS

%
TS
%
47 94.0 3
6.0
III. KẾT LUẬN

1. Kết luận
20

Lời giải và đáp số
Đúng
TS
%
47 94.0

Sai
TS
3

%
6.0


Là giáo viên, tơi ý thức được rằng: việc tích luỹ kiến thức cho học sinh
là vô cùng quan trọng và cần thiết, tạo tiền đề cho sự phát triển trí thức của các
em, tạo đà giúp các em tiếp tục học tốt ở lớp trên và hỗ trợ học các mơn học
khác. Việc giảng dạy mơn Tốn khơng chỉ đơn thuần là dạy học sinh giải các
bài toán mà yêu cầu quan trọng là bồi dưỡng tư duy Toán học cho các em, tạo
ra khả năng tiếp thu, vận dụng sáng tạo, phát triển kiến thức cho học sinh.

Trong q trình dạy học, tơi được phân cơng giảng dạy khối lớp 4 nhiều
năm. Với lịng say mê, tơi đã tích cực nghiên cứu và tìm ra một số phương
pháp dạy học, đặc biệt là giải tốn khó về "Tìm số trung bình cộng". Sau khi
áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tơi đã thu được kết quả đáng khích lệ. Trên cơ
sở những việc đã làm, tôi tự rút ra những kinh nghiệm sau:
- Trước hết, giáo viên cần phải nghiên cứu kỹ nội dung, chương trình,
sách giáo khoa. Nắm chắc được vai trị của dạng tốn “Tìm số trung bình
cộng” trong chương trình tốn 4.
- Nắm được nội dung, mục tiêu và u cầu giải tốn về "Tìm số trung
bình cộng" ở lớp 4 theo Chuẩn kiến thức kỹ năng. Từ đó, xây dựng chương
trình bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở phạm vi mạch kiến thức này.
- Tích cực học tập và nghiên cứu để nắm vững được tác dụng cũng như
cách tiến hành đổi mới phương pháp trong giờ dạy.
- Chuẩn bị giờ dạy chu đáo, vận dụng linh hoạt các phương pháp, thay
đổi nhiều hình thức tổ chức dạy học để học sinh học tập hào hứng, sôi nổi, tiếp
thu bài một cách nhẹ nhàng và có hiệu quả cao.
- Để có được kết quả như mong muốn, người giáo viên phải ln kiên trì
trong giảng dạy và là người tổ chức, hướng dẫn các hoạt động học tập tích cực.
Học sinh sẽ là người đóng vai trị chủ động tìm ra tri thức, lĩnh hội nó và biến
nó thành vốn tri thức của bản thân mình.
b. Kiến nghị
- Đối với đồng nghiệp: tăng cường cơng tác tự học, tự bồi dưỡng chuyên
môn nghiệp vụ để nâng cao tay nghề cho bản thân, luôn áp dụng phương pháp
21


mới và đẩy mạnh ứng dụng Công nghệ thông tin trong dạy học. Mỗi giáo viên
cần phải lựa chọn, sử dụng phương pháp thích hợp, linh hoạt cho mỗi bài dạy
phù hợp với từng đối tượng học sinh của lớp mình để trong cùng một giờ dạy
vẫn chú trọng bồi dưỡng học sinh năng khiếu, nâng cao chất lượng học sinh

đại trà; đồng thời vẫn giúp đỡ được học sinh chưa đạt chuẩn kiến thức kỹ năng
của từng môn học, từng bài học.
- Đối với tổ chun mơn: Cần tích cực đổi mới sinh hoạt chuyên môn và
chia sẻ kinh nghiệm sau giờ dạy. Đẩy mạnh phong trào nghiên cứu, trao đổi
nhằm áp dụng có hiệu quả các kinh nghiệm trong công tác giảng dạy.
- Đối với lãnh đạo: Cần tăng cường công tác dự giờ, rút kinh nghiệm để
giờ dạy của giáo viên ngày càng có chất lượng và đạt hiệu quả cao.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tư duy toán học cho học
sinh năng khiếu thơng qua các bài tốn về Tìm số trung bình cộng”. Tơi rất
mong được sự đóng góp ý kiến của cấp lãnh đạo và đồng nghiệp để sáng kiến
kinh nghiệm của tơi được hồn thiện và đạt hiệu quả cao hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO
22


1- Nhà xuất bản Giáo dục, “Toán 4”, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2012.
2- Nguyễn Áng, “Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4”, Nhà xuất bản Giáo
dục, năm 2009.
3- Đỗ Trung Hiệu, “Toán nâng cao lớp 4”, Nhà xuất bản Giáo dục, năm
2004.
4- Phạm Đình Thực, “Phương pháp dạy - học Toán tiểu học”, Nhà xuất
bản Giáo dục, năm 2001.
5- Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy, Đỗ Đình Hoan, “Đổi mới nội dung
và phương pháp giảng dạy mơn Tốn ở Tiểu học”, Nhà xuất bản Giáo dục,
năm 2002.
6- Đỗ Trung Hiệu, “Các bài tốn điển hình lớp 4 - 5”, Nhà xuất bản
Giáo dục, năm 2002.

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP THÀNH PHỐ
23


......................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

CHỦ TỊCH HĐKH

24