Luan VanSKKN 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span>lí do chọn đề tài Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thøc. Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thï cña mçi bµi to¸n mµ sö dông ph¬ng ph¸p cho phï hîp. Mçi bµi to¸n chøng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , còng cã bµi ph¶i phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p mét c¸ch hîp lÝ . Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ...và đợc sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức . Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y ë trêng THCS , häc sinh gÆp nhiÒu khã kh¨n khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó häc sinh cßn lóng tóng nhiÒu vµ kh«ng biÕt vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c . Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu một số phơng pháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh: dùng định nghĩa, biến đổi tơng đơng, dùng các bất đẳng thức đã biết, phơng pháp phản chứng ......và mét sè bµi tËp vËn dông, nh»m gióp häc sinh bít lóng tóng khi gÆp c¸c bµi toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nãi riªng vµ bé m«n To¸n nãi chung. V× thêi gian cã h¹n, kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cßn cha nhiÒu vµ kh¶ n¨ng nghiên cứu cha tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn gãp ý thªm ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> phÇn i : C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhá h¬n b , kÝ hiÖu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiÖu a > b , + a nhá h¬n hoÆc b»ng b , kÝ hiÖu a < b, + a lín h¬n hoÆc b»ng b , kÝ hiÖu a > b , 2, Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt d¼ng thøc : a, TÝnh chÊt 1: a > b <=> b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c HÖ qu¶ : a > b <=> a - c > b - c a + c > b <=> a > b - c d, TÝnh chÊt 4 : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt 5 : a > b vµ c > 0 => ac > bd a > b vµ c < 0 => ac < bd f, TÝnh chÊt 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, TÝnh chÊt 7 : a > b > 0 => an > bn a > b <=> an > bn víi n lÎ . h, TÝnh chÊt 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : a+b Víi 2 sè d¬ng a , b ta cã : ≥ √ ab 2. Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 Dấu đẳng thức xảy ra <=> a = b x. y. c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : |a|+|b|≥|a+ b|. Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab. 0. phÇn ii :. (a2 + b2)(x2 + y2).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa - KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A-B >0. - Lu ý : A2 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0 . - VÝ dô : Bµi 1 : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 0 víi mäi x (y - 1)2 0 víi mäi y (z - 1)2 0 víi mäi z => H 0 víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z . DÊu b»ng x¶y ra <=> x = y = z = 1. Bµi 2 : Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiÖu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = ( a − b )2 + ( a − c )2 + ( a − d )2 + ( a − e )2 2. Do ( Do( Do ( Do (. a −b 2 a −c 2 a −d 2 a −e 2. => H. 2. )2. 0 víi mäi a, b. )2. 0 víi mäi a, c. )2 )2. 0 víi mäi a, d 0 víi mäi a, e. 0 víi mäi a, b, c, d, e. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> DÊu '' = '' x¶y ra <=> b = c = d = e = a 2. Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : a2 +b2 a+ b ≥ 2 2. 2. ( ). Gi¶i : 2 2 XÐt hiÖu : H = a +b − a+b. 2. ( ). = =. 2 2 2 2 2( a +b )−(a2+ 2 ab+b2 ) 4 a − b ¿2 ≥0 . Víi mäi a, b . 1 1 (2 a2 +2 b2 −a 2 − b2 − 2 ab)= ¿ 4 4. DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b . 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng . - Một số bất đẳng thức thờng dùng :  (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2  (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC  (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3  ......................................................... VÝ dô : Bµi 1 : Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng 1 . Chøng minh r»ng : 1 1 4 + ≥ a+1 b+1 3. Gi¶i: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bµi 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = 4 Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = [( a+b)+c ]2 ≥ 4 (a+ b) c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c+a abc.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> => (a + b)(b + c)(c + a). a3b3c3. Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : a3 +b3 a+b ≥ 2 2. 3. ( ). ; trong đó a > 0 ; b > 0. Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 a3 +b3 a+b 3 ≥ 2 2 a+b a+b .(a2 − ab+b 2)≥  2 2 2 a+b  a2 - ab + b2 2. ( ). ( ). a+b 2. 2. ( ) ( ) ( ).  4a2 - 4ab + 4b2  3a2 - 6ab + 3b2. .. a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2). 0. 3 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : a +b ≥ a+b. 2. 3. (2). Bµi 4: Cho 2 sè a, b tho¶ m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab. 1 2. <=> a3 + b3 + ab - 1 2. <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 1 0 . V× a + b = 1. 2. <=> 2a2 + 2b2 - 1 0 <=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( v× b = a -1 ) <=> 4a2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab. 1 2. DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b = 1 2. 3 3 Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : a +b ≥ a+b. 2. Trong đó : a > 0 , b > 0 . Gi¶i : Víi a > 0 , b > 0 => a + b > 0 3 3 Ta cã : a +b ≥ a+b. 2. 0. 0. 2. <=> a2 + b2 - 1. 1 2. 3. (2). 3. (2).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> <=> <=>. a+b ( 2 a+ b 2 . a − ab+b ) ≥ 2 2 2 a+b a2 −ab+ b2 ≥ 2. ( ). a+ b 2. 2. ( )( ). ( ). <=> 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 <=> 3(a2 - 2ab + b2 ) 0 <=> 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng 3 3 => a +b ≥ a+b. 3. (2). 2. DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b . Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a −√a √b. √b −. b √a. Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a −√a √b. √b −. b √a.  ( a √ a+b √b ¿ − √ab ( √ a+ √ b) √ b ¿3 3  √ a ¿ +¿ − √ ab ( √ a+ √ b)≥ 0   . 0. ¿ ¿ ( √ a+ √ b)(a − √ ab+b)− √ ab( √ a+ √b)≥ 0 ( √ a+ √ b)(a − 2 √ ab+ b)≥ 0 ( √ a+ √ b)( √ a − √b)≥ 0. Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :. a −√a √b. √b −. b √a. 3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Víi a, b > 0 , a + b ≥2 b a. C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng: Gi¶i. a b c + + >2 b+ c c+ a a+ b. √ √ √.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : . a + (b + c) 2 √ a(b+ c) Tơng tự ta thu đợc :. √. b 2b ≥ c +a a+ b+c. c 2c ≥ a+ b a+b+ c. √. ,. √. a 2a ≥ b+ c a+ b+c. Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều lµ sè d¬ng ). Từ đó suy ra :. a b c + + >2 b+ c c+ a a+ b. √ √ √. Bµi 2: Cho x , y lµ 2 sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x √ 1− y 2+ y √ 1 − x 2 Chøng minh r»ng : 3x + 4y 5 Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x √ 1− y 2+ y √ 1 − x 2 )2 ( |x|≤1 ; | y|≤1 ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 2 => x + y2 1 Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 x2 + y 2=1 x >0 , y >0 x y = 3 4. {. §¼ng thøc x¶y ra . . {. 3 5 4 y= 5 x=. §iÒu kiÖn : 3 ≤ x ≤ 5 2. 2. Bµi 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng : a, √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ 6 b, √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Gi¶i a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi 2 bé 3 sè ta cã : ( √ a+b . 1+ √ b+c .1+ √ c +a . 1 ) ≤ ( 1+1+1 ) [ ( √ a+b ) 2+ ( √b+ c )2+ ( √ c+ a )2 ] => ( √ a+b+ √ b+c +√ c+ a )2 ≤3 .(2 a+2 b+ ac)=6 => √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ 6 . DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c = 1 3. b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a+1)+1 a = +1 2 2 b ; √ b+1 ≤ +1 2. √ a+1 ≤ T¬ng tù :. c √ c+ 1≤ +1 2. Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤. a+b+ c +3=3,5 2. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = VËy : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Bµi 4 : Cho c¸c sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng : 1 + 1 + 1 ≥ 9. 1. a b c. Gi¶i : Ta cã : a + b >0 , a , b > 0 b a 1 1 1 + + =¿ a b c. 1 1 1 1 1 1 ( + + ) .1 = ( + + ) .(a + b + c) a b c a b c a a b b c c = 1+ + + +1+ + + + 1 b c a c a b a b b c = 3+( + )+( + )+( c + a ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 b a c b a c 1 1 1 + + ≥9 => a b c DÊu ''='' x¶y ra khi : a = b = c = 1 3. Ta cã :. Bµi 5 a, Cho x , y > 0 . Chøng minh r»ng : 1 + 1 ≥ 4 x. y. x+ y. b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh cña tam gi¸c ) . Chøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≥2 p − a p −b p − c. 1 1 1 ( + + ) a b c. Gi¶i a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x+ y ≥ 2 √ xy 1 1 + x y. => (x + y)( 1 + 1 ) x. => 1 + 1 b, Ta cã : p - a =. x y b+c − a >0 2. T¬ng tù : p - b > 0 ; p - c > 0 ; áp dụng kết quả câu a , ta đợc ; T¬ng tù :. 1 1 4 + ≥ p − b p −c a 1 1 4 + ≥ p − a p −c b. y 4 x+y. 2 √ xy. 4. 1 1 4 4 + ≥ = p − a p −b ( p − a)+( p −b) c.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> => 2( 1 + 1 + 1 )≥ 4 ( 1 + 1 + 1 ) p−a. p−c p−c. a b c. => ®IÒu ph¶i chøng minh . DÊu '' = '' x¶y ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c . Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . 4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bµi tËp . C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Cho 2 sè x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x + y = 2 . Chøng minh r»ng : x4 + y4 2 Gi¶i Theo tÝnh chÊt b¾c cÇu ta cã : (x2 - y2) 0  x 4 + y4 2x2y2  2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2 0  x2 + y2 2xy  2(x2 + y2 ) (x +y)2 2(x2 + y2 ) 4 V× : x + y = 2  x 2 + y2 2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 2 DÊu '' = '' x¶y ra khi x = y = 1 . Bµi 2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nªn ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nªn 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do a, b, c, d > 0 nªn 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bµi 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gi¶i : Do a, b < 1 => a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b . T¬ng tù : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a . => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 5. Ph¬ng ph¸p 5 : Chøng minh ph¶n chøng . - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . §iÒu v« lý cã thÓ lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt , hoÆc lµ nh÷ng ®iÒu tr¸i nhîc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . C¸c vÝ dô : Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau lµ sai : 2a(1 - b) > 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 Gi¶i: Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 => [ a(1 − a) ][ b( 1− b) ][ c (1 −c ) ][ d (1 − d) ] > 1 (1) 256. Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a+ 1− a 1 = => a(1 - a) √ a(1 −a) ≤ 2. T¬ng tù : b(1 - b) c(1 - c). 2. 1 4 1 4. 1 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> d(1 - d). 1 4. Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :. [ a(1 − a)][ b( 1− b)][ c (1 −c )][ d (1 − d)] >. 1 256. (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra v« lý . Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai . Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau ) Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thøc sau : a+ 1 <2 ; b+ 1 < 2 ; c + 1 < 2 b. c. a. Gi¶i Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : 1 1 1 a+ <2 ; b+ < 2 ; c + < 2 b. c. a. Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :. . 1 1 1 a+ +b+ + c+ <6 b c a 1 1 1 (a+ )+(b+ )+( c+ )<6 a b c. V× a, b, c > 0 nªn ta cã : =>. (1). 1 (a+ )≥ 2 a. 1 1 1 (a+ )+(b+ )+(c+ ) ≥ 6 a b c. ; (b+ 1 )≥ 2 ; (c + 1 )≥ 2 b. c. §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1). Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => ®pcm Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thøc sau : 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 . Híng dÉn : t¬ng tù nh bµi 2 : Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = 2 . Chøng minh r»ng : a + b 2. Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( V× : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = 2 ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 V« lý VËy : a + b 2 6. Ph¬ng ph¸p 6 : §æi biÕn sè - Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > 0 th× : a b c 3 + + ≥ b+c c +a b+ a 2. Gi¶i: §Æt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = x + y + z 2. => a = y + z − x , b = z + x − y , c = x + y − z 2 2 2 Khi đó : VT = a + b + c = y + z − x + z + x − y + x+ y − z b+c c +a b+ a 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 ( + )+ ( + )+ ( + ) − ≥ 1+1+ 1− = 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2. =. Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : 2 2. Gi¶i:. 1+ y ¿ ¿ 1+ x 2 ¿2 ¿ ¿ 2 2 2 2 1 ( x − y )(1 x y ) ≤ ¿ 4 2. 2. x −y vµ b = 2 2 (1+ x )(1+ y ) 1+ y 2 ¿ 2 1+ x 2 ¿2 ¿ => ab = ¿ ( x 2 − y 2)(1 − x 2 y 2 ) ¿. §Æt : a =. Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : -. Mµ : (a - b)2 =. [. 1−. 2 2 x +1. 2. ]. 2. 2. 1−x y 2 2 (1+ x )(1+ y ). a+ b ¿2. 1 a −b ¿ 2 ≤ ab ≤ ¿ 4 1 ¿ 4.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> (a + b)2 = Suy ra : - 1 4. [. ab. 1−. 2. 2 2 y +1 1 . 4. ]. Bµi 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c. 1 . Chøng minh r»ng :. 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 a +2 bc b +2 ca c + 2ab 2. Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1. Cøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≥9 x y z. Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 + 1 + 1 ¿ ≥9 x. Theo bất đẳng thức Côsi Mµ : x + y + z 1 nªn suy ra. y. z. 1 1 1 + + ≥9 x y z. .. 7.Ph¬ng ph¸p 7: Dïng phÐp quy n¹p to¸n häc . - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) - VÝ dô : Bµi 1 : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n 3 th× 2n > 2n + 1 (*) Gi¶i : + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 . + Giả sử (*) đúng với n = k (k N;k 3) , tøc lµ : 2k > 2k + 1 ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + 1 ( theo gi¶ thiÕt quy n¹p ) do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) Vậy (**) đúng với mọi k 3. + KÕt luËn : 2n > 2n + 1 víi mäi sè nguyªn d¬ng n 3. Bµi 2 : ( T¬ng tù ) T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho 2n > 5n . Bµi 3 : Chøng minh r»ng : 1 1 . 3 . 5 ... 2 n −1 (*) (n lµ sè nguyªn d¬ng ) 2 4 6 2n √3 n+1 Gi¶i : + Với n = 1 , ta có : VT = VP = 1 . Vậy (*) đúng với n = 1 . 2. + Giả sử (*) đúng với n = k. 1 ta cã :. 1 . 3 . 5 ... 2 4 6. 2 k −1 2k. 1 √ 3 k +1. Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 2 k +1 1 ≤ . 3 . 5 ... 2 k −1 . 2. 4. 6. do đó chỉ cần chứng minh :. 2k. 1 √ 3 k +1. 2( k +1) 2 k +1 2(k +1). 2 k +1 1 . 2( k +1) √ 3 k +1 1 √3( k +1)+1. dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4 k 0. => (**) đúng với mọi k 1. VËy (*) dóng víi mäi sè nguyªn d¬ng n . 8 . Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , dùng bất đẳng thức trong tam giác , tam thức bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bàI toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tàI này không hệ thống ra những phơng pháp đó .. Phần iii : ứng dụng của bất đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị . - KiÕn thøc : NÕu f(x) m th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ m ..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> NÕu f(x) M th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ M . Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối . Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị . T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc cã d¹ng lµ ®a thøc , ta hay sö dông ph¬ng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức ... Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chó ý : | A|+|B|≥| A+ B| X¶y ra dÊu '' = '' khi AB 0 | A|≥ 0 DÊu ''= '' x¶y ra khi A = 0 VÝ dô : Bµi 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biÕt a vµ b tho¶ m·n : a + b = 1 . Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 1 Ta cã : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 2. VËy min B =. 1 2. khi a = b =. 1 2. Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . §Æt : t = x2 + x - 2 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 -4 DÊu b»ng x¶y ra khi : t = 0  x2 + x - 2 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0  x = -2 ; x = 1 . => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ; b, T¬ng tù Bµi 3 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc . a, C = |2 x −3|+|2 x −1| b, D = |x 2+ x+3|+|x 2+ x −6| c, E = |x − 1|+|x − 2|+|x −3|+| x − 4| Gi¶i :.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a, ¸p dông B§T : | A|+|B|≥| A+ B| DÊu '' = ''x¶y ra khi AB 0. => C = |2 x −3|+|1− 2 x|≥|2 x −3+1 −2 x|=|−2|=2 DÊu '' = '' x¶y ra khi (2x - 3)(1 - 2x). 0. 1 3 ≤x ≤ 2 2. . 1 3 ≤x≤ 2 2. VËy minC = 2 khi. b, T¬ng tù : minD = 9 khi : -3 x 2 c, minE = 4 khi : 2 x 3 Bµi 4 : Cho a < b < c < d , t×m : Minf(x) = |x − a| + |x − b| + |x − c| + |x − d| Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a khi b x c 1 1 Bµi 5 : Cho ba sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n : + + 1 1+ x 1+ y 1+ z T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch : P = xyz Gi¶i : 1 1 y z (1 )+(1- 1 )= + 2. √. 1+ x yz (1+ y)(1+ z ). 1+ y. 1 1+ y 1 1+ z. 1+ z. 1+ y. 2. 1+ z. zx (1+ x)(1+ z) 2 xy (1+ x)(1+ y ) 1 Từ đó suy ra : P = xyz 8 MaxP = 1 khi x = y = z = 1 8 2. T¬ng tù :. Bµi 6 :. 2. √. √. Cho 3 sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt. cña biÓu thøc : F =. 1 2 c+ ¿ c 1 b+ ¿2 +¿ b 1 2 a+ ¿ +¿ a ¿. Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + (. 1 1 1 + + )+6 a2 b2 c2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) 1 => a2 + b2 + c2 3.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1 1 1. 2. T¬ng tù : a + b + c ¿. 1 1 1 3 ( 2+ 2+ 2). a b c ¿ MÆt kh¸c : 1 + 1 + 1 =¿ ( 1 + 1 + 1 ).1 = ( 1 + 1 + 1 )(a + b + c) a b c a b c a b c = 3 + ( a+b ) + ( b+ c ) + ( c + a ) 3+2+2+2=9 b a c b a c => 1 + 1 + 1 9 a b c 1 1 1 2 => a + b + c ¿ 81 ¿ 1 1 1 => ( 2 + 2 + 2 ) 27 a b c 1 F + 27 + 6 = 33 3 1 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 3 1 1 Vậy MinF = 33 3 khi : a = b = c = 3 . yz √ x −1+zx √ y −2+ xy √ z − 3 Bài 7 : Cho G = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của G : Giải : Tập xác định : x 1 ; y 2; z x−1 y −2 z −3 Ta cã : G = √ + √ + √ x. y. z. x − 1+ 1 2 z −3 1 √ ≤ z 2√ 3. Theo BĐT Côsi ta có : √ x −1 ≤ T¬ng tù : √ y −2 ≤ 1 ; y 2√ 2 1 1 1 + + => G 2 2√ 2 2 √ 3 VËy MaxG =. 1 1 1 + + 2 2√ 2 2 √ 3. 3. x−1 => √ x. 1 2. đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6. Bµi 8 a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña H =. x √x − 1. víi x > 1 .. b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña K = |x|. √ 1− x 2 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình . - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TX§) => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . NÕu VT > VP hoÆc VT < VP t¹i mäi gi¸ trÞ cña Èn . => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . - C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 13 √ x −1 + 9 √ x+1 = 16x Gi¶i: §iÒu kiÖn : x 1 (*) Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 √ x −1 + 9 √ x+1 = 13.2. 1 √ x −1 + 3.2. 3 √ x+1 2. 2. 13( x - 1 + 1 ) + 3(x + 1 + 9 ) = 16x 4 4 DÊu '' = '' x¶y ra. {. 1 2 3 √ x+1= 2. √ x −1=. . 5. x= 4. tho¶ m·n (*). Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y ra VËy (1) cã nghiÖm x = 5 . 4. Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L = √ 2 x −3 + √ 5− 2 x b. Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ 2 x −3 + √ 5− 2 x - x2 + 4x - 6 = 0 (*) Gi¶i : a. Tãm t¾t : ( √ 2 x −3 + √ 5− 2 x )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4  √ 2 x −3 + √ 5− 2 x 2 => MaxL = 2 khi x = 2 . b. TX§ : 3 ≤ x ≤ 5 2. 2. (*)  √ 2 x −3 + √ 5− 2 x = x2 - 4x + 6 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2 . => víi x = 2 ( tho¶ m·n TX§ ) th× VT = VP = 2 . => ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x = 2 . Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ 6 − x + √ x+2 = x2 - 6x + 13 Gi¶i : TX§ : -2 x 6..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> VP = (x - 3)2 + 4 4 . DÊu '' = '' x¶y ra khi x = 3 . VT2 = ( √ 6 − x .1 + √ x+2 .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT 4 , dÊu '' = '' x¶y ra khi √ 6 − x = √ x+2  x = 2 . => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ 3 x 2 −12 x +16 + √ y 2 − 4 y +13 = 5 HD : √ 3 x 2 −12 x +16 2 ; √ y 2 − 4 y +13 3 => VT 5.. {xy−−2=0 2=0. DÊu '' = '' x¶y ra khi :. . {x=2 y=2. => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 2 ; y = 2 .. III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình : - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của hệ , suy luËn vµ kÕt luËn nghiÖm . Lu ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 2ab b. a + c < ; c > 0 => a < b c.. a >1 b. nÕu a > b > 0 .. - C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3. 2. x +2 y − 4 y +3=0 2 2 2 x + x y − 2 y=0. {. (1)  x3 = - 1 - 2(y - 1)2  x3 (2)  x2. 2y 1+ y 2. 1. -1 x. ( v× 1 + y2. - 1 . (*) 2y).  -1. x. 1 (**). Tõ (*) vµ (**) => x = -1 . Thay x = -1 vµo (2) ta cã : y = 1 . => HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = -1 ; y = 1 . - Kiến thức : Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơng trình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc . Bµi 2 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x+ y + z =1 x + y 4 + z 4 =xyz. {. 4. Gi¶i : ¸p dông : B§T : A2 + B2 2AB dÊu '' = '' x¶y ra khi A = B Ta cã : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) M¾t kh¸c : x2y2 + y2z2 2x2yz y2z2 + z2x2 2xy2z x2y2 + z2x2 2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz . => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . (**) Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4 + z4 xyz DÊu '' = '' x¶y ra khi : x = y = z mµ x + y + z = 1 nªn : x = y = z = 1 3. VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = y = z =. 1 3. C¸ch 2: ¸p dông B§T C«si ; - KiÕn thøc : Dïng ph¬ng ph¸p thÕ Bµi 3 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x + y 2+ z3 =14 1 1 1 x y z ( + + )( + + )=1 2x 3 y 6 z 2 3 6. {. (víi x, y, z > 0). Gi¶i : ¸p dông : NÕu a, b > 0 th× : a + b ≥2. b a 3 2 1 (2)  ( x + y + z )(3 x+2 y + z)=36 x y x z y z  6 ( y + x )+3( z + x )+ 2( z + y )=22 MÆt kh¸c : v× x, y, z > nªn 6 ( x + y )≥ 12 y x x z 3( + )≥ 6 z x x y x z y z ( + )+3( + )+ 2( + )≥ 22 y x z x z y. ;. z y 2( + )≥ 4 y z. Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta đợc : x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2 . VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 2 . * Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hái häc sinh ph¶i linh ho¹t vµ s¸ng t¹o trong khi gi¶i , häc sinh ph¶i n¾m ch¾c đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc . Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên . Bµi 1 : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh :.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 1 1 1 + + x y z. =2. Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t , ta gi¶ sö x 3 2 = 1 + 1 +1 => 2z x. y. z. z. y z , ta cã : 3 , mµ z nguyªn d¬ng. Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc : 1 1 + =1 x y. Theo gi¶ sö , x. y , nªn 1 =. 1 1 + x y. 2 y. Y nguyªn d¬ng nªn y = 1 hoÆc y = 2 . Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp Víi y = 2 ta cã : x = 2 . VËy (2 ; 2 ; 1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là : (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2). Thùc nghiÖm s ph¹m. Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phơng trình A. Môc tiªu - Giíi thiÖu vµ híng dÉn häc sinh néi dung kiÕn thøc gi¶i ph¬ng tr×nh nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki và tính chất của bất đẳng thøc - Hình thành kỹ năng giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng thức thông qua việc chữa các bài tập đợc đa ra trên cơ sở các bài toán chứng minh bất đẳng thức , kết quả suy ra từ các bất đẳng thức quen thuộc hay tính chất của bất đẳng thức . - Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng bài tập và biÕt vËn dông vµo gi¶i c¸c bµi tËp t¬ng tù - học sinh đợc rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác , ph¸t huy tÝnh tÝch cùc vµ s¸ng t¹o cña häc sinh . B. ChuÈn bÞ : C. Các hoạt động dạy học 1, ổn định lớp.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 2, KiÓm tra bµi cò HS1: T×m Min cña M = x2 - 6x + 13 HS2: T×m Max cña N = √ 2 x −3 + √ 5− 2 x HS3: Bất đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy ra khi nµo ? GV: Ch÷a bµi HS1: M = x2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 4 4 => Min M = 4 khi x = 3 HS2 : VËn dông B§T Bunhiac«pxki ta cã : ( √ 2 x −3 .1 + √ 5− 2 x .1)2 (1 + 1)(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 => √ 2 x −3 + √ 5− 2 x 2 => Max N = 2 khi 2x - 3 = 5 - 2x  x = 2 . HS3 : ViÕt c¸c B§T 3, Bµi míi : a, Đặt vấn đề : §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh Èn x ? c¸ch gi¶i ? HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thức biÕn x C¸ch gi¶i : T×m §KX§ (nÕu cã) T×m tÊt c¶ ¸c gi¸ trÞ cña biÕn tho¶ m·n §KX§ nghiệm đúng phơng trình đã cho . GV : NÕu ta cã A(x) a ; B(x) a , vËy ph¬ng tr×nh A(x) = B(x) cã nghoiÖm khi nµo ? HS : Khi A(x) = B(x) = a ( x¶y ra trêng hîp dÊu b»ng ) GV : Đặt vấn đề vào bài B, Bµi gi¶ng :.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Hoạt động của thày và trò. Néi dung. 1, Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : a, √ 2 x −3+ √ 5 −2 x=2 (1) b, 3 √ x −1+ 4 √ 5− x=10 (2) Gi¶i 3 5 a, §k : ≤x ≤ 2 2 VT 2; x¶y ra '' = '  x = 2 GV : yªu cÇu hs lµm c©u b VËy 91) cã nghiÖm x = 2. Hs tr×nh bµy lêi gi¶i b, §k : 1 x 5 (3 √ x −1+ 4 √ 5− x )2 (9+ 16)(x - 1 + 5 - x) = 25 . 4 = 100 => VT 10 61 DÊu '' = '' x¶y ra khi x= 25 61 VËy (2) cã nghiÖm x= 25 Hoạt động 2: Vận dụng hớng dẫn HS Bài 2: Giải PT √ 2 x −3+ √ 5 −2 x − x 2 +4 x −6=0 biến đổi  √ 2 x −3+ √ 5 −2 x=x 2 − 4 x +6 GV: Yªu cÇu hs nhËn d¹ng pt HD : HS : biến đổi suy ra VT 2 . DÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2 VP 2 . DÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2 - VT 2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi - VP 2 x=2 ? VËy PT cã nghiÖm kh«ng ? cã nghiÖm khi nµo ? Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : HS : PT cã nghiÖm khi VT = VP = 2 13 √ x −1 + 9 √ x+1 = 16x HS: tr×nh bµy lêi gi¶i §iÒu kiÖn : x 1 (*) Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : GV : Yªu cÇu HS lµm bµi tËp 13 √ x −1 + 9 √ x+1 ? Em h·y nªu c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh 1 3 GV gäi ý : Em cã nhËn xÐt g× vÒ VT cña = 13.2. x −1 + 3.2. √ √ x+1 ph¬ng tr×nh 2 2 HS : Chứng minh đợc VT 16x 1 9 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + )= => t×m nghiÖm cña PT 4 4 16x DÊu '' = '' x¶y ra 1 √ x −1= GV : NhËn xÐt 5 2 HS hoµn thµnh bµi tËp vµo vë  x= tho¶ m·n 3 4 √ x+1= 2 Hoạt động 1: Dạng 1: GV: yªu cÇu HS gi¶i bµi tËp Gîi ý: ? NhËn xÐt vÕ tr¸i cña (1) HS : VT 2 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi nµo ?. {.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> PT (1) cã nghiÖm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y ra 5 VËy (1) cã nghiÖm x = . 4 Hoạt động 3: Dạng 2 GV : Lu ý √ A ≥ 0 ; A2 0 X¶y ra dÊu '' = '' khi nµo ? HS : dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0 Gv: yªu cÇu hs t×m min L ? ¸h tr×nh bµy lêi gi¶i. GV : híng dÉn HS t×m GTNN cña √ 5 x 2 −10 x+ 9 ? => ®pcm GV đề xuất bài toán mới ; ? Nêu đặc điểm của biểu thức trong c¨n ? HS rót ra nhËn xÐt : VT 5 ? Tìm x để VT = VP. 4. Hoạt động 4 : Vận dụng GV : yªu cÇu HS gi¶i ph¬ng tr×nh HS lªn b¶ng tr×nh bµy lêi gi¶i HS díi líp lµm vµo vë BT. Bµi 3 a, T×m min cña L = √ 3 x 2 +6 x +12 b, Chøng minh r»ng : √ 3 x 2 +6 x +12+ √5 x 2 − 10 x +9 ≥ 5 gi¶i: a, Ta cã : 3(x + 1)2 + 9 9 => L = √ 3 x 2 +6 x +12 3 X¶y ra dÊu '' = '' khi x = -1 VËy min L = 3 khi x = -1 b, T¬ng tù ; √ 5 x 2 −10 x+ 9≥ 2 VËy : √ 3 x 2 +6 x +12+ √5 x 2 − 10 x +9 ≥ 5 Bµi 4 : Gi¶i PT √ 3 x 2 +6 x +12+ √5 x 2 − 10 x +9=5 HD : 3 √ 3 x 2 +6 x +12 dÊu '' = '' x¶y ra khi x - 1 √ 5 x 2 −10 x+ 9≥ 2 dÊu '' = '' x¶y ra khi x = 1 VËy PT v« nghiÖm Bµi 5 : GPT √ 3 x 2 +6 x +7+ √ 5 x2 +10 x+ 14=4 − 2 x − x 2 Gi¶i; 2 x +1 ¿ +4 ¿ 3¿ √ 3 x 2 +6 x +7= √¿ X¶y ra dÊu '' = '' khi x = -1 x+1 ¿2 +9 ¿ 5¿ √ 5 x 2 +10 x+14= √¿ X¶y ra dÊu '' = '' khi x = -1 VËy PT cã nghiÖm : x = -1. 5. Hoạt động 5 Củng cố ? Kh¸i qu¸t c¸ch gi¶i PT A(x) = B(x) A(x) m x¶y ra dÊu '' = '' khi x = a B(x) m x¶y ra dÊu '' = '' khi x = b => PT cã nghiÖm x = a nÕu a = b NÕu a # b => PT v« nghiÖm. 4, Híng dÉn häc ë nhµ : Xem lại cách giải các bài tập đã chữa tại lớp Vận dụng tốt các kiến thức đã học để giải các bài tập Bµi tËp vÒ nhµ :.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Bµi 1: Gi¶i PT : a, √ 3 x 2 −12 x +6+ √ y 2 − 4 y +13=5 b, √ 2 x 2 − 4 x +5+ √2 x2 − 4 x+ 14=−2 x2 +2 x+ 3 √ 3 −1 D, Tæng kÕt - Rót kinh nghiÖm. PhÇn kÕt luËn Bất đẳng thức là một kiến thức khó , có nhiều phơng pháp giải , có nhiều ứng dụng trong việc giải các dạng toán , những bài toán về bất đẳng thức lại rất đa dạng và phong phú , thông thờng không có lời giải mẫu . Vì vậy để.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> giúp học sinh có thể học tốt hơn kiến thức về bất đẳng thức và vận dụng đợc mét sè kiÕn thøc cÇn thiÕt , mét sè ph¬ng ph¸p suy nghÜ cÇn thiÕt cña bé m«n to¸n . ViÖc hÖ thèng l¹i c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh , nh÷ng vÝ dô vµ bµi tËp minh ho¹ kÌm theo , nh÷ng kiÕn thøc lu ý , gîi ý häc sinh , sÏ gióp cho häc sinh hiểu đợc rộng hơn và sâu hơn về phơng pháp giải , một số bài tập vận dụng đa ra nhằm để củng cố kiến thức về bất đẳng thức và một phần nào đó đinhj hớng cho học sinh biết cách lựa chọn phơng pháp để giải đợc các bài tập vËn dông . RÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy , kh¶ n¨ng ph©n tÝch , tæng hîp , ph¸t huy tÝnh tÝch cùc vµ trÝ th«ng minh cña häc sinh . §èi víi nh÷ng häc sinh mµ kh¶ n¨ng nhËn thøc cßn h¹n chÕ , th× viÖc hÖ thống lại các tính chất , các bất đẳng thức thông dụng , các phơng pháp giải và các bài toán vận dụng sẽ giúp cho học sinh hiểu đợc các công việc cần thiết khi giải bài toán bất đẳng thức , nắm đợc cách trình bày cho mỗi dạng bài toán , tập dần cách phân tích đề bài để biết cách lựa chọn hớng đi , kiến thức và vận dụng kiến thức phù hợp , nâng dần hiểu biết về kiến thức bất đẳng thức . V× kinh nghiÖm häc tËp , gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu cßn nhiÒu h¹n chÕ , nên đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu xót , sẽ có những vấn đề về nội dung đặt ra cha mới , hoặc việc trình bày đề tài cha tốt , nên tôi rất mong nhận đợc sự quan tâm , chỉ bảo đóng góp ý kiến và giúp đỡ từ phía các thấy cô giáo , các bạn đồng nghiệp , các em học sinh , để việc nghiên cứu về kiến thức bất đẳng thức của tôi ngày một tốt hơn , sâu hơn , để áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả tốt hơn , để giúp các em học sinh ngày một giỏi hơn . T«i xin tr©n thµnh c¶m ¬n ! H¶i D¬ng , Ngµy 14 th¸ng 5 n¨m 2006. Tµi liÖu tham kh¶o 1.T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 340 ra th¸ng 10 n¨m 2005 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 341 ra th¸ng 11 n¨m 2005 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 342 ra th¸ng 12 n¨m 2005 - NXBGD.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 343 ra th¸ng 01 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 344 ra th¸ng 02 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 345 ra th¸ng 03 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 346 ra th¸ng 04 n¨m 2006 - NXBGD T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ Sè 347 ra th¸ng 05 n¨m 2006 - NXBGD 2. SGK , SGV , SBT To¸n 8 - Nhµ xuÊt b¶n GD - n¨m 2004 3.LuyÖn gi¶i vµ «n tËp To¸n 8 tËp 2 - Vò D¬ng Thuþ ( chñ biªn ) NXBGD - 2004 4.To¸n n©ng cao §¹i sè 8 - Vò H÷u B×nh - NXBGD - N¨m 2001 5. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 - Vũ Dơng Thuỵ (chủ biên) NXBGD - 2004 6. ¤n tËp vµ kiÓm tra §¹i sè 8 - Vò H÷u B×nh - T«n Th©n NXBGD - 1996 7. Nh÷ng bµi to¸n chän läc cho trêng chuyªn líp chän TËp 1 P.TS §ç §øc Th¸i - N¨m 1993 8. Thùc hµnh gi¶i to¸n - s¸ch C§SP - Vò D¬ng Thuþ (chñ biªn) NXBGD - N¨m 1999 9. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ( Quyển thợng ) Chñ biªn : NguyÔn §øc §ång - NguyÔn V¨n VÜnh - NXB TrÎ 10. T¹p chÝ To¸n tuæi th¬ 2 - Sè th¸ng 4 n¨m 2003 Tæng biªn tËp : Vò D¬ng Thuþ.

<span class='text_page_counter'>(28)</span>