Cấu trúc phổ của các nguyên tử một điện tử

Tr-ờng đại học vinh
Khoa vật lý

*** ***

Nguyễn Thị Dung

Cấu trúc phổ của các nguyên tử
một điện tử

Luận văn tốt nghiệp đại học
Ngành vật lý

Vinh, tháng 05 năm 2010
0


Tr-ờng đại học vinh
Khoa vật lý

*** ***

Cấu trúc phổ của các nguyên tử
một điện tử
Luận văn tốt nghiệp đại học
Ngành vật lý

Cán bộ h-ớng dẫn: TS. Nguyễn Huy Bằng
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Dung
Lớp:
47A Khoa Vật lý

Vinh, tháng 05 năm 2010
1


Lời cảm ơn!
Luận văn này đ-ợc hoàn thành nhờ nổ lực phấn đấu của bản thân
và sự h-ớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Bằng cùng với
sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý. Qua đây tác giả xin
đ-ợc gửi tới TS. Nguyễn Huy Bằng, các thầy cô giáo trong khoa Vật lý lời
cảm ơn chân thành nhất.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đà tạo
điều kiện và giúp đỡ tác giả trong cuộc sống cũng nh- chuyên môn để tác
giả hoàn thiện đ-ợc luận văn này.
Do điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên không tránh khỏi
những thiếu sót trong khi thực hiện đề tài. Rất mong nhận đ-ợc sự đóng
góp ý kiến của độc giả để đề tài đ-ợc hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 05 năm 2010
Nguyễn Thị Dung

2


mục lục
Trang
Lời cảm ơn ................................................................................................................................

2

Mục lục .......................................................................................................................................

3

Mở đầu ........................................................................................................................................

5

1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................................

5

2. Đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................

6

3. Mục đích nghiên cứu .....................................................................................................

6

4. Ph-ơng pháp nghiên cứu .............................................................................................

6

5. Bố cục của luận văn .......................................................................................................

7

Ch-ơng 1. Các nguyên tử theo lý thuyết Bohr ............................................

8

1.1. Các tiên ®Ị cđa Bohr ..................................................................................................

8

1.1.1. Tiªn ®Ị 1 (Tiªn ®Ị vỊ trạng thái dừng của nguyên tử) ................................

8

1.1.2. Tiên đề 2 (Tiên đề về cơ chế phát xạ và hấp thụ của nguyên tử)

8

1.2. Các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết Bohr .........................................

10

1.3. Kết luận ............................................................................................................................

14

Ch-ơng 2. Các nguyên tử một điện tử theo lí thuyết Schrửdinger

16

2.1. Ph-ơng trình Schrửdinger .......................................................................................

16

2.2. Giải ph-ơng trình Schrửdinger ..............

18

2.3. Các số l-ợng tử .

21

2.4. Năng l-ợng ................

22

2.5. Hàm sóng và sự phân bố điện tử ...........

24

2.6. Chuyển động của khối tâm

30

2.7. Các giá trị trung bình .................................

33

Ch-ơng 3. Cấu trúc tinh tế các mức năng l-ợng của nguyên tử
một điện tử ...............................................................................................................................

35

3.1. Mômen từ quỹ đạo ..

35

3.2. Spin và mômen toàn phần của điện tử

37

3.3. Cấu trúc tinh tế các mức năng l-ợng của nguyên tử một điện tử ...

39

3


3.3.1. Sự dịch chuyển năng l-ợng

39

3.3.2. Sự tách cấu tróc tinh tÕ …………………………………………………………

44

3.3.3. CÊu tróc tinh tÕ cđa c¸c vạch phổ

48

Kết luận ......................................................................................................................................

51

Tài liệu tham khảo .............................................................................................................

52

4


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học ra đời từ yêu cầu đ-ợc tìm hiểu và cải biến thế giới của
con ng-ời. Quá trình phát triển của Vật lý học trải qua nhiều giai đoạn
thăng trầm. Đến cuối thế kỉ XIX, nhiều nhà khoa học đà xem sự phát triển
của Vật lý học ( dựa trên nền tảng là Cơ học và Điện động lực học) đà đạt
tới ®Ønh cao cña nã. Mäi qui luËt vËn ®éng cña thế giới tự nhiên có thể đ-ợc
giải thích dựa trên các định luật của Cơ học và Điện động lực häc. Tuy vËy,
ë thêi ®iĨm ®ã cã mét sè hiƯn t-ợng mà Vật lý học ch-a tìm đ-ợc lời giải
đáp thỏa đáng: sự bức xạ của vật đen tuyệt đối, phổ của nguyên tử hiđrô,
các hiệu ứng quang điện và kết quả thí nghiệm của Maikenxơn đà phủ nhận
sự chuyển động của ête đối với Trái Đất. Kenvin gọi đây chỉ là "đám mây
đen" trên bầu trời xanh của Vật lý học, sớm muộn cũng sẽ đ-ợc giải thích
bằng hệ thống vật lý đ-ợc xem là đà hoàn thiện lúc bấy giờ. Tuy nhiên,
những nỗ lực này đều thất bại. Các nhà khoa học gọi đây là sự khủng
hoảng của vật lý học .
Đi tìm câu giải đáp cho những hiện t-ợng nói trên, đầu thế kỷ XX
một số nhà vật lý có t- t-ởng đổi mới đà đi tìm h-ớng giải quyết khác đó là
xây dựng lại hƯ thèng quan niƯm vỊ vËt lý. Khëi x-íng cho t- t-ởng đổi
mới này là Planck đà đề xuất giả thuyết l-ợng tử của năng l-ợng bức xạ và
Einstein đà đề xuất giả thuyết photon và các tiên đề về không - thời gian.
Trên cơ sở đó Bohr đà xây dựng mô hình nguyên tử (còn đ-ợc gọi là mô
hình nguyên tử Bohr) để giải thích sự tạo thành các vạch phổ của nguyên tử

hiđrô. Những ý t-ởng cách mạng đó đà làm nền tảng cho hai học thuyết
mới (vật lý l-ợng tử và thuyết t-ơng đối) - là cơ sở của vật lý học hiện đại
ngày nay.
5


D-ới ánh sáng của vật lý hiện đại thì những bí ẩn sâu thẳm của thế
giới vi mô nh- cấu trúc nguyên tử và phân tử đà đ-ợc khám phá. Ngày nay
việc khảo sát về phổ nguyên tử và phân tử theo quan điểm l-ợng tử chiếm
một phạm vi khá lớn và nó đ-ợc ứng dụng rộng rÃi trong thực tÕ cịng nhtrong nhiỊu ngµnh khoa häc kÜ tht hiƯn đại. Một trong những ngành áp
dụng rộng rÃi quang phổ học đó là thiên văn hiện đại. Vật lý thiên văn hiện
đại đang sử dụng các ph-ơng pháp quang và quang phổ để nghiên cứu
thành phần nguyên tố, đoán nhận quá trình diễn biến của thiên thể hay của
bầu khí quyển bao quanh nó. Ngành khảo cổ học cũng sử dụng việc phân
tích phổ của các nguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu của mình. Các
nhà khoa học đà dựa vào sự phân tích phổ của các chất phát ra để tìm tuổi
thọ của những mẫu vật thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất ...
Mặc dù có vai trò rất lớn nh-ng thời l-ợng giảng dạy phổ của các
nguyên tử cho sinh viên hệ đại học s- phạm là rất ít. Vì vậy, Cấu trúc phổ
của các nguyên tử một điện tử" đ-ợc chúng tôi chọn làm đề tài nghiên
cứu trong luận văn tốt nghiệp của mình để mở rộng vốn hiểu biết về thế giới
vi mô này đồng thời để phục vụ cho công tác giảng dạy về sau.
2. Đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu cấu trúc phổ của các nguyên tử một
điện tử đến cấp độ cấu trúc tinh tế.
3. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các cách mô tả nguyên tử một điện tử từ đơn giản đến phức
tạp (nguyên tử theo lý thuyết Bohr, nguyên tử theo lý thuyết Schrửdinger,
nguyên tử khi xét đến các hiệu ứng t-ơng đối tính) để giải thích đ-ợc sự tạo
thành các dịch chuyển phổ.

4. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Ph-ơng pháp lý thuyết: thu thập thông tin, tài liệu từ sách báo và
internet để tìm hiểu về vấn đề nghiên cứu.

6


5. Bố cục đề tài
Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn đ-ợc chia làm 3
ch-ơng:
Ch-ơng 1: Trình bày nguyên tử theo mô hình Bohr và những hạn chế
của mô hình này.
Ch-ơng 2: Trình bày các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết
Schrửdinger. Các khái niệm về mức năng l-ợng, hàm sóng, phân bố
điện tử trong nguyên tử đ-ợc trình bày trên cơ sở giải ph-ơng trình
Schrửdinger. Đồng thời, ch-ơng này rút ra các quy tắc dịch chuyển
phổ và nghiệm lại đ-ợc kết quả theo lý thuyết Bohr.
Ch-ơng 3: Mô tả các hiệu ứng t-ơng đối tính trong nguyên tử nht-ơng tác spin - quỹ đạo, sự thuộc khối l-ợng điện tử vào vận tốc.
Những hiệu ứng này dẫn đến sự tách thành các mức năng l-ợng (do
đó tách thành các vạch phổ) so với cấu trúc th« trong lý thut
Schrưdinger.

7


Ch-ơng 1
Nguyên tử theo lý thuyết Bohr
Dựa trên những thành công của giả thuyết l-ợng tử Planck và thuyết
phôtôn của Einstein, năm 1913, chỉ hai năm sau khi Rutherford khám phá
ra sự tồn tại của hạt nhân trong nguyên tử, N.Bohr đà đ-a ra mô hình

nguyên tử hiđrô nhằm khắc phục những mâu thuẫn của mẫu hành tinh
nguyên tử của Rutherford với hai tiên đề táo bạo.
1.1. Các tiên đề Bohr
1.1.1. Tiên đề 1 (tiên đề về trạng thái dừng của nguyên tử)
Nguyên tử chỉ tồn tại ở những trạng thái dừng có năng l-ợng xác
định và gián đoạn hợp thành một chuỗi các giá trị E1, E2, ..., En. Trong trạng
thái dừng, êlectrôn trong nguyên tử không bức xạ năng l-ợng và chỉ chuyển
động trên các quỹ đạo tròn gọi là quỹ đạo l-ợng tử có bán kính thỏa mÃn
điều kiện sau đây về giá trị mômen động l-ợng (điều kiện l-ợng tử hóa của
Bohr).
L me vr n

víi  

n  1,2,3,...

(1.1)

h
 1,05.10 34 ( Js ) là hằng số Planck rút gọn.
2

1.1.2. Tiên đề 2 (tiên đề về cơ chế phát xạ và hấp thụ của nguyên tử)
Nguyên tử chỉ hấp thụ hay phát xạ năng l-ợng d-ới dạng bức xạ điện
từ khi nó chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác (ứng với
sự chuyển của điện tử từ quỹ đạo l-ợng tử này sang quỹ đạo l-ợng tử khác).
Tần số ik của bức xạ điện từ mà nguyên tử hấp thụ hoặc phát xạ
đ-ợc xác định bằng biểu thức:

ik

i   k
.
h

8

(1.2)


Với Ei và Ek là năng l-ợng t-ơng ứng với trạng thái đầu và cuối của nguyên
tử. Ta có hai tr-ờng hợp:
Ei - Ek > 0: quá trình phát xạ.
Ei - Ek < 0: quá trình hấp thụ.
Trên giản đồ năng l-ợng ta có thể biểu diễn quá trình hấp thụ hoặc bức xạ
nh- trên hình 1.1. Mỗi đ-ờng nằm ngang song song t-ợng tr-ng một mức
năng l-ợng gián đoạn của trạng thái dừng của nguyên tử. Sự chuyển từ
trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác đ-ợc biểu diễn bằng một mũi
tên thẳng đứng nối giữa hai mức năng l-ợng.

E3
E2

Phát xạ

Hấp thụ

E1

Hình 1.1. Sơ đồ mức năng l-ợng cùng các dịch chuyển hấp thụ và phát xạ.

Ta có nhận xét rằng nếu thừa nhận hai tiên đề của Bohr thì đ-ơng
nhiên các mâu thuẫn của mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford không
còn tồn tại nữa. Từ tiên đề thứ nhất, nguyên tử luôn luôn bền vững ở trạng
thái dừng vì trong chuyển động quanh hạt nhân trên quỹ đạo l-ợng tử, điện
tử không bức xạ năng l-ợng. Từ tiên đề thứ hai, sự chuyển mức năng l-ợng
mang tính chất gián đoạn, do đó năng l-ợng bức xạ điện từ đ-ợc hấp thụ
hay phát xạ thể hiện qua tần số bức xạ cũng gián đoạn và quang phổ nguyên
tử phải là quang phổ vạch.

9


1.2. Các nguyên tử một điện tử theo lý thuyết Bohr
Xét nguyên tử gồm có một điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân
(có khối l-ợng rất lớn so với điện tử). Khi đó điện tử chuyển động trên quỹ
đạo tròn quanh hạt nhân chịu tác dụng của lực hút Coulomb từ hạt nhân
đóng vai trò lực h-ớng tâm (bỏ qua lực hấp dẫn vì có bậc vô cùng nhỏ). Để
nguyên tử tồn tại ở trạng thái dừng thì lực h-ớng tâm phải cân bằng với lực
li tâm, nghĩa là :
Ke 2 me v 2

(K lµ hƯ sè tû lƯ trong lực Coulomb).
r
r2

(1.3)

Năng l-ợng của nguyên tử bao gồm động năng của điện tử và thế
năng t-ơng tác Coulomb của hệ hạt nhân - điện tử:

E

me v 2 Ke 2
 
2
 r





(1.4)

Tõ (1.3) ta suy ra:
me v 2 Ke 2

2
2r

và thay vào (1.4) ta đ-ợc:
E

Ke 2 Ke 2 Ke 2


.
2r
r
2r

(1.5)

Năng l-ợng toàn phần có giá trị âm vì động năng luôn nhỏ hơn trị
tuyệt đối của thế năng hút giữa hạt nhân và điện tử để tạo thành nguyên tử
bền vững.
Kết hợp hệ thức (1.1) và (1.3) ta tìm đ-ợc các giá trị gián đoạn của
bán kính quỹ đạo:
rn

n 2 2
Kme e 2

(1.6)

Bán kính các quỹ đạo tăng theo bình ph-ơng các số nguyên và chỉ
những quỹ đạo có bán kính thỏa mÃn hệ thức (1.6) mới là khả dĩ. Đặt giá
trị:

10


o
2

a

0
,
529

0
Km e e 2

(1.7)

đ-ợc gọi là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất. Các quỹ đạo tiếp theo sẽ lần
l-ợt cã b¸n kÝnh r2  4a0 , r3  9a0 , v.v...
Nếu thay hệ thức (1.6) vào (1.1), ta xác định đ-ợc vận tốc t-ơng ứng
của điện tử trên mỗi quỹ đạo l-ợng tử.
Ke 2
vn
.
n

(1.8)

Vận tốc này tỉ lệ nghịch với các số nguyên n, suy ra khi bán kính quỹ đạo
càng lớn thì vận tốc của điện tử càng nhỏ và ng-ợc lại. Tuy nhiên trên mỗi
quỹ đạo, vận tốc luôn không đổi, điều này đảm bảo cho quỹ đạo là ổn định
(vì thế còn gọi là quỹ đạo dừng), và năng l-ợng không thay đổi, đúng nhphát biểu của tiên đề thứ nhất của Bohr.
Kết hợp các công thức (1.6) và (1.5), ta tìm đ-ợc hệ thức cho năng
l-ợng trạng thái dừng của nguyên tử.
K 2 me e 4
En 
2n 2  2

n  1,2,3,...

(1.9)

Nh- vËy, nguyªn tử không thể có mọi giá trị năng l-ợng tùy ý mà nó
chỉ nhận một số giá trị xác định theo công thức (1.9). Các số nguyên n đóng
vai trò quyết định tính chất gián đoạn (l-ợng tử) của năng l-ợng nguyên tử
và đ-ợc gọi là số l-ợng tử chính.
Ta có thể biểu diễn kết quả cụ thể về giá trị năng l-ợng của nguyên
tử hiđrô ở trên bằng sơ đồ mức năng l-ợng (hình 1.2).

11


E (eV)
n=

0
-0,85
-1,51

DÃy
Paschen

DÃy
Bracket

n=4
n=3

n=2

-3,4

DÃy
Balme

DÃy
Lyman

n=1

-13,6

Hình 1.2. Sơ đồ các mức năng l-ợng của nguyên tử hiđrô và các dịch chuyển phổ.

Trên sơ đồ, mỗi đ-ờng nằm ngang ứng với một trạng thái năng l-ợng
khả dĩ của nguyên tử hiđrô. Theo quy -ớc, đ-ờng thấp nhất biểu diễn trạng
thái cơ bản của nguyên tử ứng với n = 1, tức là giá trị nhỏ nhất của năng
l-ợng nguyên tử hiđrô.
E1

Kme e 4
21,7.10 19 J 13,6eV .
2
2

Những đ-ờng nằm phía trên biểu diễn các trạng thái có năng l-ợng cao hơn
đ-ợc gọi là các trạng thái kích thích.

12


E1

 3,4eV
4
E
E3  1  1,51eV , v.v...
9
E2 

Ta nhËn thấy khi năng l-ợng càng cao thì khoảng cách giữa các mức càng
xít lại gần nhau. Đặc biệt khi n , ta có mức năng l-ợng E 0 và gọi
là trạng bị ion hóa. Khi nguyên tử ở trạng thái kích thích k thì nó có thể
nhảy về trạng thái i thấp hơn đồng thời phát ra các vạch phổ có tần số :
ik

k - i

.

(1.10)

Hoặc d-ới dạng b-ớc sóng:
1

ik



K 2 me e 4  1
1 
  2 
3  2

4c  ni nk

(1.11)

với nk ni phù hợp với giả thiết ở trên E n E n .
k

i

Khi các dịch chun tõ nk = 2, 3, 4, 5, … vỊ ni = 1 thì ta có dÃy các
vạch Lyman có tần số nằm trong miền tử ngoại. T-ơng tự, các dÞch chun
tõ nk = 3, 4, 5,… vỊ ni = 2 tạo thành dÃy Balmer có tần số nằm trong miền
nhìn thấy và tử ngoại. Các dịch chuyển này đ-ợc minh họa trên hình 1.2.
Nh- vậy, bằng cách sử dụng các tiên đề của Bohr ta có thể dẫn ra
đ-ợc các số hạng phổ cho phép xác định b-ớc sóng của các dịch chuyển
trùng với các giá trị đà đo đạc thực nghiệm tr-ớc đó.
Đối với các nguyên tử một điện tử khác (nh- D, T) hoặc các ion
t-ơng tự hiđrô (nh- He+, Li++, ...) ta hoàn toàn có thể vận dụng lý thuyết
Bohr nh- đà làm với hiđrô bằng cách thay điện tích hạt nhân là Z e . Điều
này dẫn đến kết quả bán kính quỹ đạo của điện tử sẽ nhỏ hơn Z lần vì điện
tử chịu lực hút từ phía hạt nhân tăng thêm Z lần. Lặp lại các phép tính t-ơng
tự đối với nguyên tử hiđrô, ta sẽ dễ dàng tìm đ-ợc các công thức có dạng
(1.6), (1.8) và (1.9):
n 2 2
rn
,
KZm e e 2

13

(1.12)


KZe 2
vn 
,
n
K 2 me e 4 Z 2
En 
.
2n 2 2

(1.13)
(1.14)

1.3. Kết luận
Xuất phát từ hai tiên đề cơ bản, thuyết Bohr đà tính toán đ-ợc cấu
trúc phổ của nguyên tử hiđrô và các nguyên tử một điện tử, đà giải thích
đ-ợc quy luật thực nghiệm của các dÃy quang phổ hiđrô. Sự phù hợp này
cho thấy chỉ có thể giải thích cấu trúc nguyên tử bằng quan điểm l-ợng tử.
Nh-ng khác với Planck và Einstein mà ý t-ởng l-ợng tử chỉ áp dụng cho
bức xạ điện từ - ánh sáng, thuyết Bohr đà mang theo nó những nhân tố mới
ch-a từng gặp trong vật lý cổ điển, nổi bật nhất là quan điểm l-ợng tử về
năng l-ợng của nguyên tử.
Tuy nhiên bên cạnh những thành công rõ rệt, thuyết Bohr cũng bộc lộ
những thiếu sót và hạn chế. Thuyết Bohr đ-ợc vận dụng thành công để giải
thích quy luật của quang phổ của nguyên tử hiđrô nh-ng nhiều đặc tr-ng
quan trọng khác của phổ nh- c-ờng độ và bề rộng của các vạch phổ, nhất là
cấu trúc tinh tế của vạch phổ thì lý thuyết Bohr không đề cập đến và cũng
không giải quyết đ-ợc. Ngoài các khó khăn gặp phải khi mô tả các tính chất

của nguyên tử hiđrô, thuyết Bohr cũng không thể áp dụng để giải thích và
tính toán cấu trúc của các nguyên tử phức tạp tức là các nguyên tử có nhiều
điện tử.
Nh-ợc điểm cơ bản bao trùm của thuyết Bohr là tính không nhất
quán. Các khái niệm cổ điển và l-ợng tử mâu thuẫn với nhau lại đ-ợc dùng
một cách đồng thời, chẳng hạn điện tử chuyển động theo quỹ đạo tròn, theo
các định luật của vật lý cổ điển phải bức xạ sóng điện từ trong khi các tiên
đề của Bohr lại phủ nhận. Những quy tắc l-ợng tử (nh- điều kiện l-ợng tử
hóa về mômen động l-ợng của điện tử trong nguyên tử) đ-ợc gắn cho mô
hình cổ điển (chuyển động của điện tử trên quỹ đạo) mà không theo một
liên hệ logic nào cả. Tất cả những thiếu sót đó tất yếu dẫn tới sự mâu thuẫn

14


và bế tắc không thể tiếp tục phát triển lý thuyết đ-ợc. Mặc dù sau đó thuyết
Bohr đ-ợc Somerfeld bổ sung để có tính khái quát cao hơn (quỹ đạo của
điện tử trong nguyên tử có dạng chung là elip, các trạng thái nguyên tử có
hiện t-ợng suy biến về năng l-ợng v.v...), nh-ng cuối cùng nó vẫn thất bại
vì không giải đáp đ-ợc một cách triệt để toàn bộ các vấn đề của cấu trúc
nguyên tử, đặc biệt là bài toán tổng quát nguyên tử có nhiều điện tử. Đó
chính là tiền đề của sự ra đời của cơ học l-ợng tử, nền tảng của một lý
thuyết hoàn toàn mới có khả năng giải quyết đúng đắn và chính xác mọi
hiện t-ợng và quy luật của thế giới vi mô xảy ra bên trong nguyên tử, phân
tử và hạt nhân.
Mặc dù chỉ có giá trị lịch sử tạm thời nh-ng thuyết Bohr với những ý
t-ởng cách mạng và thành công độc đáo của mình vẫn xứng đáng đ-ợc coi
là chiếc cầu nối không thể thiếu đ-ợc của hai giai đoạn phát triển của vật lý
học. Nó đánh dấu sự chun tiÕp tõ vËt lý cỉ ®iĨn sang vËt lý l-ợng tử, giúp
ta b-ớc đầu hiểu và tiếp thu các khái niệm "không bình th-ờng" của cơ học

l-ợng tử.

15


Ch-ơng 2
Các nguyên tử một điện tử theo lí thuyết Schrửdinger
Trong cơ học l-ợng tử, trạng thái của một hạt đ-ợc mô tả bằng hàm
sóng còn các biến số động lực nh- vận tốc, xung l-ợng và năng l-ợng sẽ
đ-ợc mô tả thông qua các toán tử hermite t-ơng ứng. Sự thay đổi trạng thái
của hệ trong không thời gian đ-ợc mô tả theo ph-ơng trình Schrửdinger t-ơng tự nh- ph-ơng trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Vì vậy,
để biết thông tin về trạng thái của hệ chúng ta cần giải ph-ơng trình
Schrửdinger.
2.1. Ph-ơng trình Schrửdinger cho nguyên tử một điện tử
Xét hệ nguyên tử có một điện tử (có điện tích e và khối l-ợng me)
chuyển động xung quanh hạt nhân có điện tích Ze. Thế năng t-ơng tác
Coulomb giữa điện tích này với hạt nhân:
Ze 2
V (r)
(4 0 ) r

(2.1)

với r là khoảng cách giữa điện tử và hạt nhân.
Để viết ph-ơng trình Schrửdinger cho hệ ta xác định Hamiltonian
bằng cách thực hiện phép chuyển từ biểu thức động năng cổ điển sang toán
tử động năng. Theo nguyên lý t-ơng ứng, Hamiltonian của hệ đ-ợc viết:
p 2
H
V (r)

2me

(2.2)

với

p i .

(2.3)

Khi đó ph-ơng trình Schrửdinger của hạt có dạng:
2 2

Ze 2  




 r   En r  .
(4 0 )r 
 2me

16

(2.4)


Do tính đối xứng cầu của thế năng V(r) nên để tiện lợi cho việc giải
ph-ơng trình (2.4) chúng ta chọn hệ tọa độ cầu r , , . Tr-íc hÕt ta biĨu
diƠn to¸n tư  2 trong tọa độ cầu:

2

1 2 1
r

r 2 r  r  r 2

 1  
 
1
 
 sin    sin   sin 2 2





và đặt
1 
 
1

.
 sin 
 2
sin   
  sin 2

Từ đó biểu thức của toán tử Hamiltonian trong tọa độ cầu trở thành:
H

1  2   1

r
  2    V  r 
2

2me  r r  r  r




2

2
1   2   Lˆ  , 
r

V r .


2me r 2 r  r  2me r 2
2

(2.5)

Khi biến đổi biểu thức trên ta đà dùng công thức của toán tử bình
ph-ơng mômen động l-ợng trong tọa độ cầu:

L2 2 .

(2.6)

Hàm sóng trong tọa độ cầu đ-ợc viết nh- là tích của hai hàm:
nlm r , ,    Rnl r lm  ,   .

(2.7)

víi lm  ,   là hàm cầu t-ơng ứng với số l-ợng tử mômen quỹ đạo l và số
l-ợng tử từ m m l ,l  1,...,0,...,l  1, l  . Cßn Rnl r là hàm chỉ phụ thuộc
vào bán kính r. Thay (2.7) vào (2.4) và sử dụng toán tử Hamiltonian trong
tọa độ cầu, ph-ơng trình Schrửdinger lúc đó trở thµnh:
2


1  2 
Lˆ2

r

 V  r   Rnl  r   lm  ,   Εn Rnl  r   lm  , 



2
2
 2me r r r 2mer

(2.8)

Hai toán tử H và L2 giao hoán với nhau nên chúng có chung hàm
riêng  nlm r, ,   . Cho Lˆ2 t¸c dụng lên lm , , sau đó đơn giản lm , ở
hai vế ta ®-ỵc:
2
2

l  l  1
1  2 
Ze2 

r



 Rnl  r   Εn Rnl  r  .


2
2
2
m
r

r

r
2
m

r
(4

)
r


e
e
0



17

(2.9)


Ph-ơng trình (2.9) gọi là ph-ơng trình Schrửdinger theo bán kính.
Giải ph-ơng trình này ta tìm đ-ợc Rnl r , từ đó tìm đ-ợc hàm sóng
nlm r , , của trạng thái có năng l-ợng En. Ba số nguyên n, l , m gọi là ba

số l-ợng tử đặc tr-ng cho trạng thái mà ta xét.
2.2. Giải ph-ơng trình Schrửdinger
Để đơn giản hơn cho việc giải ph-ơng trình (2.9) chúng ta đ-a vào
hàm mới:
unl r rRnl r

(2.10)

và thay vào ph-ơng trình (2.9) ta ®-ỵc:





d 2 u nl 2me
 2 En  Veff r  .u nl  0
dr 2


(v× u nl chØ phơ thuộc r nên có thể thay đạo hàm riêng

(2.11)

bằng đạo hàm
r

th-ờng). Trong đó:
Ze 2 l l 1
Veff r

r
2me r 2

2

(2.12)

đ-ợc gọi là thế năng hiƯu dơng, bao gåm thÕ Coulomb céng víi thÕ li tâm.

Ta giả thiết rằng khi r 0 thì V r chậm hơn

1
(để điện tử
r2

không rơi vào hạt nhân), nghĩa là r 2V r 0 khi r 0 . Khi đó hàm sóng
Rnl r hữu hạn trong toàn bộ không gian kể cả ®iĨm r  0 . Do ®ã hµm sãng

u nl  rR nl r  ph¶i b»ng 0 khi r  0 .
u nl 0   0 .

(2.13)

Nh- vËy bài toán giải ph-ơng trình Schrửdinger cho hạt chuyển động
trong tr-ờng thế đà đ-ợc đơn giản về bài toán chuyển động một chiều trên
nửa đ-ờng thẳng với thế năng hiệu dụng Veff r và điều kiện biên (2.13).
Tr-ớc hết ta tìm nghiệm của ph-ơng trình (2.11) với r nhỏ. Khi đó
ph-ơng trình (2.11) sẽ trở thành:

18


d  2 dRnl r  
r
  l (l  1) Rnl r   0
dr 
r 

(2.14)

Ta t×m nghiƯm d-íi d¹ng:
Rnl r   r s .const .

(2.15)

Thay (2.15) vào (2.14) ta đ-ợc:
ss 1.r s .const l l  1.r s .const  0

hay lµ
ss  1 l l 1 .

(2.16)

Có hai giá trị cđa s (s = l vµ s = - l -1) cùng thỏa mÃn ph-ơng trình trên. Tuy
nhiên giá trị thứ hai không thỏa mÃn điều kiện biên vì nó dÉn tíi nghiƯm
l
Rnl r    khi r  0 . VËy ta cã Rnl r   r .const khi r 0 .

Đối với tr-ờng hợp r lín, ta xÐt chun ®éng cđa ®iƯn tư lóc ch-a bị
iôn hóa trong nguyên tử hiđrô, tức là xét trạng thái liên kết có năng l-ợng
âm En < 0.
Ta đ-a vµo biÕn sè míi:
 8me  n 

2



1/ 2

  

(2.17)

r

vµ
1/ 2

 me 
n 


(4 0 )  2 n
Ze2

.

(2.18)

Khi đó ph-ơng trình (1.25) trở thành:
d 2 l l  1 n 1 

 u nl   0
2
4
2
d

(2.19)

Tr-ờng hợp này ta xét với r lớn, tức là với lớn, khi đó ph-ơng trình
(2.19) gần đúng là:
d2 1
d 2 4 unl 0.



Giải ph-ơng trình này ta tìm đ-ợc hai nghiệm độc lập:

19

(2.20)


unl    e  / 2

unl    e   / 2

NghiÖm u nl   e / 2 không thỏa mÃn vì nó tiÕn tíi v« cïng khi    , vËy
ta chỉ dùng đ-ợc nghiệm u nl e / 2 , đó là dạng tiệm cận của Rnl .
Kết hợp với phần trên khi r  0 th× Rnl     l .const , ta có thể tìm
nghiệm khi r hữu hạn d-íi d¹ng:
Rnl     l e   / 2 v nl  

(2.21)

trong ®ã v nl  là hàm số liên kết Laguerre. Hàm này phải hữu hạn khi
r 0 , và

khi r thì dẫn tới vô cùng chậm hơn đa thức của .

Thay biểu thức trên vào ph-ơng trình (2.19) ta có ph-ơng trình cho
v nl :
d 2 vnl  
dv  

 2l  2    nl
 n  l  1vnl    0 .
2
d
d

(2.22)

Ta tìm nghiệm của ph-ơng trình (2.22) d-ới dạng chuỗi:


v nl     c k  k , c 0 0

(2.23)

k 0

Thay (2.23) vào (2.22) ta đ-ợc:

k k  1c 


k 0

k 1

k



 2l  2   kck  k 1  n  l  1ck  k  0

hay


 k k  1  2l  2k  1.c
k 0

k 1

 n  l  1  k .ck  k  0

(2.24)

C¸c hệ số của k phải bằng không, từ đó ta suy ra công thức truy
toán đối với các hệ số ck của chuỗi (2.23)
ck 1

k l 1  n
c
k  1k  2l  2 k

(2.25)

§Ĩ tháa m·n ®iỊu kiƯn giíi néi ®èi víi v nl thì chuỗi phải ngắt lại ở số
hạng bậc p nào đó, tức là các hệ số từ cp+1 trở đi đều bằng không:
p l 1 n 0 .

trong đó p là một số nguyên d-ơng hoặc bằng không.
20


Nh- vậy n phải là một số d-ơng, ta kí hiƯu lµ n :
n  n  l  1 p l 1

(2.26)

Từ đó ta có năng l-ợng của điện tử trong nguyên tử hiđrô:
n

me Z 2e4

2 4 0

2

2 2

n

.

(2.27)

trong đó n là số nguyên d-ơng: n 1,2,3,...
Theo công thức (2.27) thì năng l-ợng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với
bình ph-ơng các số nguyên. Tính gián đoạn của năng l-ợng chính là hệ quả
của yêu cầu về hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực.
2.3. Các số l-ợng tử
Ba số nguyên n, l , m xác định một hàm riêng  nlm r , ,   duy nhÊt,
gäi lµ ba số l-ợng tử, trong đó n đ-ợc gọi là số l-ợng tử chính, nó có giá trị
nguyên d-ơng 1, 2, 3, ...và đặc tr-ng cho mức năng l-ợng. Giá trị của năng
l-ợng phụ thuộc vào n theo công thức (2.27). Số l-ợng tử l đ-ợc gọi là số
l-ợng tử quỹ đạo, ứng với một giá trị đà cho của n thì l có thể có những giá
trị 0, 1, 2, ..., n - 1 (nghĩa là có n giá trị của l). Số l-ợng tử quỹ đạo xác
định độ lớn của mômen động l-ợng L l l 1 . Số l-ợng tử m đ-ợc gọi là
số l-ợng tử từ, ứng với một giá trị đà cho của l thì m có thể có những giá trị
l-ợng tử (nghĩa là có 2l + 1 giá trị của m). Số l-ợng tử từ xác định hình
chiếu của mômen động l-ợng lên một trục l-ợng tử (th-ờng chọn là trục z):
Lz  m .

Bé ba sè l-ỵng tư (n, l, m) xác định trạng thái của hệ. Tuy nhiên,
trong phổ học nguyên tử ng-ời ta th-ờng dùng l để ký hiệu trạng thái điện
tử t-ơng ứng với các chữ cái s, p, d. nh- sau:
giá trị của l :

0

1 2 3 4 5

6 7 ...

kí hiệu trạng thái

s

p

i

d f g h

j ...

còn giá trị của n thì đ-ợc viết tr-ớc các ký hiệu trạng thái, ví dụ: 1s, 2p
21


Theo công thức (2.27) thì năng l-ợng chỉ phụ thuộc vào n mà không
phụ thuộc vào l và m nên sẽ có nhiều trạng thái khác nhau ứng với cùng một
giá trị năng l-ợng En, nghĩa là các mức năng l-ợng bị suy biến. Ta hÃy tính
xem có bao nhiêu trạng thái ứng với cùng một mức năng l-ợng En. Tức là
tính xem ứng với một giá trị n của số l-ợng tử chính có bao nhiêu bộ giá trị
n, l , m khác nhau.

Với một giá trị của l thì có 2l 1 giá trị khác nhau của m , tức là có
2l 1

trạng thái khác nhau. Với những giá trị của l từ 0 đến n 1 thì số

trạng thái là:
n 1

2l 1 n

2

l 0

Vậy số trạng thái có cùng một giá trị năng l-ợng En là n 2 , tức là suy
biến với độ bội là n2.
2.4. Các mức năng l-ợng
Thay các giá trị của các hằng số e, me , vào công thức (2.27) ta có
thể tính đ-ợc các mức năng l-ợng của hệ:
En

me Z 2 e 4

24 0   2 n 2
2

 R

Z2
,
n2

(2.28)

víi
R

mee4

2  4 0

2

2

.

Chú ý rằng các trạng thái có cùng một giá trị của n và có l khác
nhau thì có chung giá trị năng l-ợng (sự suy biến).
Xét cho nguyên tử hiđrô (Z =1), ứng với n 1 năng l-ợng có giá trị
thấp nhất:
E1 = - 13,6 eV.

22


0

1

2

4
3

3s

3p

3d

-3,4 -

1

2s

2p

-13,6 -

1

E(eV)
0- 0,85 -15,1 -

l =

3

4

n



1s

Hình 2.1. Sơ đồ các mức năng l-ợng của nguyên tử hiđrô.

Khi n càng tăng thì khoảng cách ở hai mức năng l-ợng cạnh nhau càng bé.
Đặc biệt khi n thì En 0 . ở miền năng l-ợng E > 0 thì năng l-ợng
liên tục, đó là các giá trị năng l-ợng ứng với trạng thái điện tử ở ngoài
nguyên tử (xa hạt nhân đến mức năng l-ợng của tr-ờng lực tĩnh điện không
đáng kể, điện tử chuyển động tự do). Giá trị tuyệt đối của mức năng l-ợng
thấp nhất cho ta biết năng l-ợng iôn hóa I của nguyên tử hiđrô. Năng l-ợng
này bằng công cần thiết để đ-a điện tử từ trạng thái liên kết có năng l-ợng
thấp nhất E1 ra ngoài nguyên tử, tức là đến trạng thái ion hóa (Hình 2.1).
Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng l-ợng En về trạng thái có
năng l-ợng En' thấp hơn thì nó phát ra bức xạ có tần sè gãc lµ  tháa m·n
hƯ thøc:    n   n ' .
23


Dựa vào biểu thức của năng l-ợng (2.27) ta có thể tính đ-ợc tần số
góc của bức xạ:
nn
'

R 1
1
 2  2  , ( n'  n ).
n' n

(2.29)

Hoặc d-ới dạng tần số v của bức xạ:

v

trong đó R '


R 1
1

2 2 ,
2 2 n ' n

(2.30)

R
R

đ-ợc gọi là h»ng sè Rydberg.
2 h

D·y Lyman øng víi sù chun tõ c¸c møc cã n  2 vỊ møc cã n '  1 :


R
1 
1  2  ,
 n

n 2,3,...

Trong dÃy này vạch đầu tiên (có b-ớc sãng dµi nhÊt) øng víi n  2 :



2c



0

 1215,68 A

D·y Balmer øng víi sù chun tõ c¸c møc cã n  3 vÒ møc cã n'  2 :


R1 1 
  ,
  4 n2 

n  3,4,...

C«ng thức này do Balmer xác lập năm 1885 bằng thực nghiệm tr-ớc khi có
lý thuyết Bohr và cơ học l-ợng tư.
D·y Paschen øng víi sù chun tõ c¸c møc cã n  4 vÒ møc cã n'  3 :


R1 1 
  ,
  9 n2 

n  4,5,...

Víi các nguyên tử một điện tử hoặc ion t-ơng tự hiđrô, công thức
(2.28) cho thấy các mức năng l-ợng cũng đ-ợc sắp xếp nh- đối với hiđrô
nh-ng các vạch phổ dÞch chun sÏ bÞ dÞch vỊ miỊn cã b-íc sãng ngắn hơn
(vì năng l-ợng lớn gấp Z2 lần so với hiđrô).
2.5. Hàm sóng và sự phân bố điện tử
Nh- đà trình bày trên đây, hàm sóng của hệ đ-ợc viết:
nlm r , ,    Rnl r lm , ,

(2.31)

trong đó thành phần xuyên tâm Rnl r đ-ợc xác định bởi công thức (2.21):
24