Xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ cp từ trường số hữu tỉ q với chuẩn p adic

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN
______________________________

PHẠM QUỐC DŨNG

XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ, ĐẦY ĐỦ Cp
TỪ TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ Q VỚI CHUẨN P-ADIC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

VINH 2010


2

mục lục
Trang
mở đầu

1

Ch-ơng 1
Tr-ờng các số p-adic Q p

3

1.1. Cỏc chuẩn trên trường số hữu tỉ Q

3

1.2. Trường số p-adic

9
Ch-¬ng 2

Tr-êng sè phøc p-adic C p

27

2.1. Đóng đại số của Q p

27

2.2. Trường các số phức p-adic C p

36

KÕt luËn

39

Tµi liƯu tham kh¶o

40

MỞ ĐẦU
Các bước xây dựng từ tập các số tự nhiên N đến trường các số phức C có thể

diễn tả trong nghĩa để thoả mãn hai điều sau: giải các phương trình đa thức, và
tìm giới hạn của các dãy Cauchy. Như chúng ta đã biết, trường số thực R nhận
được từ trường số hữu tỉ Q bằng cách làm đầy đủ Q với chuẩn là giá trị tuyệt
đối thơng thường. Tuy nhiên, định lí Ostrowski đã chứng minh được rằng, các
chuẩn trên trường số hữu tỉ Q hoặc tương đương với chuẩn là giá trị tuyệt đối
thông thường, hoặc tương đương với chuẩn p-adic với p là một số ngun tố
nào đó. Vì vậy, chỉ có hai cách mở rộng Q theo hướng làm đầy đủ nó. Cách thứ


3
nhất cho ta trường số thực quen thuộc R, cách thứ hai cho ta trường các số
p-adic Q p . Tuy nhiên, trường các số p-adic Q p lại không đóng đại số, do đó ta
lại mở rộng nó thành trường đóng đại số để nhận được trường Q p . Trường Q p
mới nhận được lại không đầy đủ, do đó, ta lại làm đầy đủ nó để nhận được
trường số phức p-adic C p . Trường số phức p-adic C p vừa đóng đại số, vừa đầy
đủ, và do đó q trình tương tự như việc xây dựng trường đóng đại số, đầy đủ C
từ trường số hữu tỉ Q với chuẩn p-adic kết thúc. Tuy vậy, trên trường C p cịn có
rất nhiều câu hỏi chưa thể giải quyết được.
Giải tích p-adic có mặt trong nhiều ngành toán học, chẳng hạn như lý thuyết
số và lý thuyết biểu diễn, và mặc dù đã được biết đến từ rất lâu, song vẫn còn
khá mới lạ đối với sinh viên.
Với tất cả lí do trên, chúng tơi lựa chọn đề tài: xây dựng trường đóng đại số,
đầy đủ C p với chuẩn p-adic. Vì mục đích chính của khố luận là cung cấp một
cái nhìn hệ thống về quá trình xây dựng trường số phức p-adic C p , nên khố
luận khơng đi sâu vào nghiên cứu chi tiết các trường Q p và C p . Cũng vì để tập
trung vào mục đích chính đó nên các kết quả tổng quát trên lý thuyết trường và
không gian định chuẩn chỉ nêu ra để áp dụng chứ không chứng minh.
Khố luận được hồn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành
Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến
thầy giáo hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và

nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến
các thầy cơ giáo trong khoa Tốn và tất cả các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng
dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập của mình.
Mặc dù đã hết sức cố gắng song khố luận khơng thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp của các thầy cô giáo và
các bạn.
Vinh, ngày 05 tháng 5 năm 2010
Tác giả


4

Phạm Quốc Dũng

CHƯƠNG 1
TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC Q p
1.1. Các chuẩn trên trường số hữu tỉ Q
1.1.1. Chuẩn trên một trường.
Cho một trường F, một chuẩn trên trường F là một ánh xạ, kí hiệu || ||, từ F
đến tập các số thực không âm sao cho với mọi x,y thuộc F ta có:
i) ||x|| = 0  x = 0,
ii) ||x.y|| = ||x||.||y||,
iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.


5
Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối thông thường | | là một chuẩn trên trường số hữu tỉ
Q, trường số thực R và trường số phức C.
Cho p là một số nguyên tố. Từ đây trở về sau, ta luôn hiểu p là một số
nguyên tố cho trước.

1.1.2. Định nghĩa. Cho a là một số nguyên khác 0 bất kì, ta nói chỉ số p-adic
của a, kí hiệu là ord p a, là số tự nhiên m lớn nhất thoả mãn a ≡ 0 (mod p m ).
Nếu a = 0 thì ta quy ước viết ord p 0 = ∞.
Chú ý. Với a, b là các số nguyên ta có:
i) ord p (ab) = ord p a + ord p b,
ii) ord p (a + b) ≥ min ( ord p a, ord p b).
Chứng minh. Giả sử: ord p a = m và ord p b = n. Ta có a = p m A và b = p n B, với
(A,p) = 1 và (B,p) = 1. Khi đó: ab = p mn AB, mặt khác (AB,p) = 1 nên
ord p (ab) = m + n = ord p a + ord p b.
Giả sử m ≥ n, ta có:
a + b = p m A + p n B = p n (p mn A + B).
Do đó ord p (a + b) ≥ n = min(ord p a, ord p b).□
1.1.3. Định nghĩa. Cho x =

a
là số hữu tỉ bất kì, ta định nghĩa:
b

ord p x = ord p a – ord p b.
Dựa vào chú ý 1 ta thấy ngay định nghĩa này là hợp lí, vì ord p x chỉ phụ thuộc
vào x chứ không phụ thuộc vào a và b.
1.1.4. Mệnh đề. Ánh xạ | | p trên Q cho bởi :
 p  ord x , khi x  0
|x| p = 
0, khi x  0
p

là một chuẩn trên Q.
Chứng minh. Rõ ràng ta có |x| p ≥ 0, với mọi x  Q và |x| p = 0  x = 0.
Nếu x = 0, hoặc y = 0 thì xy = 0, do đó |x| p |y| p = |xy| p = 0.

6
Nếu x, y ≠ 0 thì xy ≠ 0, ta có:
|xy| p = p

 ord p ( xy )

= p

 ord p x ord p y

= p  ord x p  ord y = |x| p |y| p .
p

p

Bây giờ ta chứng minh tính chất iii).
Nếu x = 0 hoặc y = 0 hoặc x + y = 0 thì iii) đúng.
Giả sử x, y, x + y đều khác 0. Đặt x =

c
a
, y = , khi đó ta có:
d
b

ord p (x + y) = ord p (ad + bc) - ord p b - ord p d
≥ min(ord p ad, ord p bc) - ord p b - ord p d
= min(ord p a + ord p d, ord p b + ord p c) - ord p b - ord p d

= min(ord p a – ord p b, ord p c – ord p d)
= min(ord p x, ord p y).
Do đó,
|x + y| p = p

 ord p ( x  y )

≤ max(p

 ord p x

, p  ord y )
p

= max(|x| p , |y| p )
≤ |x| p + |y| p .
Vậy | | p là một chuẩn trên Q.□
1.1.5. Định nghĩa. Một chuẩn || || trên trường K được gọi là chuẩn khôngAcsimet nếu ||x + y|| ≤ max(||x||, ||y||) luôn đúng với mọi x, y  K. Một mêtric d
trên K được gọi là mêtric không-Acsimet nếu d(x, y) ≤ max(d(x,z), d(z, y)), với
mọi x, y, z  K; đặc biệt, một chuẩn khơng-Acsimet thì cảm sinh một mêtric
khơng-Acsimet.
Một chuẩn (tương ứng, mêtric) khơng phải là khơng-Acsimet thì được gọi là
Acsimet.
Chuẩn p-adic, | | p , là một chuẩn không-Acsimet trên Q; giá trị tuyệt đối thông
thường, | |, là một chuẩn Acsimet trên Q.
Tiếp theo ta nêu ra hai tính chất đơn giản của chuẩn khơng-Acsimet thường
được áp dụng trong khoá luận.


7

1.1.6. Tính chất 1: Nếu || || là một chuẩn khơng-Acsimet trên trường F, thì

n  1 với mọi số nguyên n, ở đây n = n.1F .
1.1.7. Tính chất 2: Cho F là một trường với chuẩn không-Acsimet || ||, x,y là
hai phần tử bất kì của F. Giả sử ||x|| < ||y||, khi đó ||y – x|| ≤ max(||x||, |y||) = ||y||.
Mặt khác ta có ||y|| = ||x + y - x|| ≤ max(||x||, ||y – x||), vì ||y|| > ||x|| nên ||y|| ≤ ||y x||. Do đó ta có ||y|| = ||y – x||.
Đẳng thức ||x – y|| = max(||x||, ||y||) xảy ra khi ||x|| ≠ ||y|| được gọi là “nguyên lí
tam giác cân”.
1.1.8. Bổ đề: Cho

1

và

2

là hai chuẩn trên trường F. Khi đó

và chỉ khi tồn tại một số thực dương  thoả mãn: x 1   x





2

1

~

2

khi

, với mọi x F.

Ta gọi chuẩn thoả mãn ||0|| = 0 và ||x|| = 1 với mọi x ≠ 0 là chuẩn tầm thường.
Giá trị tuyệt đối thơng thường cịn được kí hiệu là | |  .

1 ord
Trong định nghĩa của | | p , nếu thay ( )
p

px

bởi ρ

ord p x

với ρ (0; 1) thì ta

được một chuẩn khơng-Acsimet tương đương. Ta cũng có một họ các chuẩn
Acsimet tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường | |, là | |  với 0 < α ≤ 1.
Cụ thể ta có định lí sau:
1.1.9. Định lí (Ostrowski). Mọi chuẩn khơng tầm thường || || trên Q thì tương
đương với | | p với p là một số nguyên tố nào đó hoặc p = ∞.
Chứng minh. Trường hợp 1: Giả sử tồn tại một số nguyên dương n sao cho

n  1 , và ta gọi n 0 là số nhỏ nhất có tính chất đó. Vì n0  1 nên tồn tại một số
thực dương  sao cho n0  n0 . Ta viết số nguyên dương bất kì n theo cơ số

n 0 , tức là:

n  a0  a1n0  a2 n02  ...  as n0s , 0 ≤ a i < n 0 với mọi i = 0,...,s, và a s ≠ 0.
Khi đó:
n  a0  a1n0  a2 n02  ... as n0s

 a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s .


8
Vì a i < n 0 với mọi i = 0,...,s, và do cách chọn n 0 nên ai  1 với mọi
i = 0,...,s, do đó:

n  1  n0  n02  ...  n0s

 n0s 1  n0  n02  ...n0 s ,
 1
 n   
 i 0  n0



  ,
 
i

vì n ≥ n 0s .
Biểu thức trong ngoặc vuông là một hằng số hữu hạn, đặt là C, khi đó:

n  Cn , với mọi n = 1, 2,...

Thay n bởi n N , ta có:
n N  CnN  n  N C n .

Cố định n và cho N tiến ra vô cùng ta được: n  n .
Như vậy:

n  n , với mọi n = 1, 2, ...

(1).

Ta lại có: n0s1  n  n0s , mặt khác:

n0s 1  n  n0s 1  n  n  n0s 1  n ,
do đó:
n  n0s 1  n0s 1  n  n0( s 1)  n0s 1  n  ,


vì n0s 1  n0

s 1

, và ta sử dụng bất đẳng thức (1) vừa thu được.

Vì vậy:

n  n0 s 1  n0s 1  n0s  , ( vì n ≥ n 0s )


 s 1

 n0


 
1 
1  1   
  n0  

 C' n ,


9
với hằng số C' chỉ phụ thuộc vào n 0 và  mà không phụ thuộc vào n. Làm
tương tự như trước, ta sử dụng bất đẳng thức này với n N , lấy căn bậc N, rồi cho
N→∞, cuối cùng nhận được: n  n .
Như vậy:

n  n , với mọi n = 1, 2, ...

(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra:


n  n  n ,với mọi n = 1, 2, ...

(3).

Dễ dàng chứng minh rằng (3) cũng đúng với số hữu tỉ x bất kì, nghĩa


là: x  x , với mọi x Q.
Áp dụng bổ đề 1.1.8 ta có chuẩn || || tương đương với giá trị tuyệt đối thông
thường.
Trường hợp 2: Giả sử rằng n  1 với mọi số nguyên dương n. Gọi n 0 là số n bé
nhất thoả mãn n  1 , số n 0 tồn tại vì ta đã giả sử rằng || || là chuẩn không tầm
thường.
n 0 phải là một số nguyên tố, vì nếu n 0 = n 1 n 2 với n 1 , n 2 < n 0 thì n1  n2  1
nên n0  1 , mâu thuẫn. Vì vậy ta kí hiệu p thay cho n 0 .
Ta dự đoán rằng với q là số nguyên tố khác p thì q  1 . Nếu khơng phải vậy,
khi đó q  1 , và với số N đủ lớn ta có: q N  q

N

1
 . Tương tự như vậy, với
2

1
số M nào đó ta có: p M  . Do p M và q N là nguyên tố cùng nhau nên ta tìm
2
được các số nguyên m và n sao cho mp M + nq N = 1. Nhưng khi đó:

1  1  mp M  nq N  mp M  nq N  m p M  n q N .
Nhưng m , n  1, do đó:

1 pM  qN 
mâu thuẫn.

1 1

  1,
2 2


10
Vậy: q  1 .
Với số nguyên dương bất kì a ta có phân tích ra thừa số ngun tố:

a  p1b p2b ... prb .
1

2

r

Khi đó:

a  p1

b1

b2

p2 ... pr

br

.

Vì nếu pi  p thì pi  1. Do đó, nếu ta đặt   p  1 thì ta có:

a 

ord p a

(4).

Dễ dàng chứng minh (4) cũng đúng cho số hữu tỉ khác khơng bất kì x, tức
là: x  

ord p x

, với mọi x Q.

Áp dụng bổ đề 1.1.8 ta có chuẩn || || tương đương với chuẩn p-adic

p

.

Định lí được chứng minh.□

1.2.

Trường số p-adic

Ta thường áp dụng hai bổ đề sau:
Bổ đề 1. Cho {a n } và {b n } là hai dãy số thực thoả mãn: a n → 0 và b n → 0 khi
n→ ∞. Khi đó max(a n , b n )→ 0 khi n→∞.
Chứng minh. Đặt c n = max(a n , b n ), với mọi n. Ta có:

11
Với mọi ε > 0, tồn tại N 1 , và N 2 sao cho |a n | < ε, với mọi n ≥ N 1 và |b n | < ε,
với mọi n > N 2 . Do đó: max(|a n |, |b n |) < ε.
Vì a n ≤ |a n | ≤ max(|a n |, |b n |) và b n ≤ |b n | ≤ max(|a n |, |b n |), nên max(a n , b n ) ≤
max(|a n |, |b n |). Do đó |c n | = |max(a n , b n )| ≤ max(|a n |, |b n |) < ε, với mọi
n ≥ max(N 1 , N 2 ).
Vậy, max(a n , b n )→ 0 khi n→∞.□
Bổ đề 2. Cho a n , b n ,c n là ba dãy số thực hội tụ thoả mãn: a n ≤ max(b n , c n ),
với mọi n. Khi đó lim n a n ≤ max( lim n b n , lim n c n ).
Chứng minh. Giả sử lim n a n > max( lim n b n , lim n c n ), khi đó ta có:
lim n a n > lim n b n , và lim n a n > lim n c n . Do đó tồn tại các số tự nhiên
N 1 và N 2 sao cho a n - b n > 0, với mọi n > N 1 , và a n - c n > 0,với mọi n > N 2 .
Khi đó a n > b n và a n > c n , với mọi n > max(N 1 , N 2 ), mâu thuẫn.□
1.2.1. Định lí. Trường số hữu tỉ Q là không đầy đủ với chuẩn | | p .
Chứng minh. Ta dùng hai kết quả sau đây trong giải tích hàm:
Định lí 1. Nếu khơng gian mêtric X thuộc phạm trù thứ hai và nếu X được biểu
diễn dưới dạng:


X  Mn ,
n 1

thì tồn tại một chỉ số n 0 sao cho tập hợp M n chứa một hình cầu nào đó.
0

Định lí 2. Nếu X là khơng gian mêtric đầy đủ thì X thuộc phạm trù thứ hai.
Chú ý rằng Định lí 1 được biết đến là Định lí Bare về phạm trù.
Bây giờ, giả sử Q là đầy đủ với chuẩn p-adic, khi đó Q thuộc phạm trù thứ hai.
Mặt khác Q có biểu diễn:



Q=

 x , ( vì Q có lực lượng tương đương với N )
i 1

i

với xi là các phần tử của Q.
Khi đó theo Định lí 1 thì tồn tại x k  Q sao cho { x k } chứa một hình cầu nào đó.


12
Chẳng hạn S( x k , r)  { x k } , với r > 0. Tuy nhiên, S( x k , r)  { x k } với mọi r > 0
vì S( x k , r) chứa vô số phần tử, chẳng hạn x = x k + p m với m đủ lớn sao cho

1
r.
pm
Vậy, Q là khơng đầy đủ với chuẩn p-adic.
Định lí được chứng minh.□
Như vậy, Q với chuẩn | | p là không đầy đủ. Do đó ta sẽ làm đầy đủ Q để
nhận được trường mới đầy đủ, như cách ta đã làm từ Q để nhận được trường số
thực R với chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường.
Gọi S là tập tất cả các dãy Cauchy {a i } trong Q. Ta định nghĩa một quan hệ
~ trên S như sau: {a i }, {b i }  S, {a i } ~ {b i } nếu |a i - b i |

p

→ 0 khi i → ∞.

1.2.2. Mệnh đề. ~ là một quan hệ tương đương trên S.
Chứng minh. Rõ ràng {a i } ~ {a i } vì |a i - a i |
Nếu {a i } ~ {b i } thì |a i - b i |

p

p

= 0, với mọi i.

→ 0 khi i → ∞, do đó |b i - a i |

p

→ 0, khi

i → ∞, tức là {b i } ~ {a i }.
Nếu {a i } ~ {b i } và {b i } ~ {c i }, tức là:
lim i  |a i - b i |

p

= 0, và lim i  |b i - c i |

p

= 0,

ta có:
|a i - c i |

p

= |a i - b i + b i - c i |
≤ max(|a i - b i |

Do đó lim i  |a i - c i |

p

kéo theo lim i  |a i - c i |

≤ max(lim i  |a i - b i |
p

p

p

p

, |b i - c i |

p

, lim i  |b i - c i |

).

p

). Điều này

= 0, tức là {a i } ~ {c i }.

Vậy ~ là một quan hệ tương trên S.□
Ta định nghĩa Q p là tập các lớp tương đương của S với quan hệ ~.
1.2.3. Bổ đề. Nếu {a i }, i = 1,2,… là một dãy Cauchy trong Q thì giới hạn
lim i  |a i | p , luôn tồn tại và hữu hạn.
Chứng minh. Nếu lim i  |a i | p = 0, thì bổ đề là hiển nhiên.


13
Nếu lim i  |a i | p ≠ 0, thì tồn tại ε > 0 sao cho với mọi số tự nhiên N đều tồn tại
số i N > N thoả mãn: |a i | p > ε. Nếu ta chọn N đủ lớn sao cho |a i - a i ' | p < ε, với
N

mọi i, i’ > N thì |a i - a i | p < ε, với mọi i > N. Do |a i | p > ε nên theo nguyên lí
N

N

tam giác cân, ta có |a i | p = |a i | p . Vì vậy, với mọi i > N, |a i | p có giá trị hằng là
N

|a i | p , và giá trị này chính là lim i  |a i | p .□
N

1.2.4. Phép cộng trong Q p .

Cho a, b  Q p và {a i }, {b i } lần lượt là hai dãy Cauchy đại diện của a và b.
Khi đó rõ ràng {a i + b i } cũng là dãy Cauchy vì:
0 ≤ |a m + b m - a n - b n | p
≤ max(|a m - a n | p , |b m - b n | p )→ 0 khi m,n→∞.
Ta định nghĩa tổng của a và b, kí hiệu a + b, là lớp tương đương với phần tử đại
diện là dãy Cauchy {a i + b i }.
Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện vì nếu
{a i }~{a i' } và {b i }~{b i' }, ta có:
0 ≤ |a i + b i - a i' - b i' | p
≤ max(|a i - a i' | p , |b i - b i' | p ) → 0 khi i →∞,
tức là {a i +b i }~{a i' +b i' } hay lớp tương đương của hai dãy này là trùng nhau.
Ta kí hiệu 0 là phần tử của Q p có dãy Cauchy đại diện là dãy hằng {0} gồm
các số hạng đều bằng 0. Rõ ràng 0 là phần tử trung hoà đối với phép cộng được
định nghĩa như trên.
Dễ thấy với a  Q p có phần tử đại diện là {a i } thì a = 0  lim i  |a i | p = 0.
1.2.5. Phần tử đối trong Q p .
Cho a  Q p có phần tử đại diện là dãy Cauchy {a i }. Khi đó {-a i } cũng là
dãy Cauchy vì:
0 ≤ |(-a m ) - (-a n )| p
= |a m - a n | p → 0 khi m,n →∞.


14
Phần tử đối của a, kí hiệu –a, là lớp tương đương với phần tử đại diện là dãy
Cauchy {-a i }.
1.2.6. Phép nhân trong Q p .
Cho a, b  Q p và {a i }, {b i } lần lượt là hai dãy Cauchy đại diện của a và b.
Khi đó {a i .b i } cũng là dãy Cauchy vì:
0 ≤ |a m .b m - a n .b n | p
= |a m .b m - a m .b n + a m .b n - a n .b n | p

≤ max(|a m | p |b n - b m | p ,|a m - a n | p |b n | p )→ 0 khi m,n →∞.
Ta định nghĩa tích của a và b, kí hiệu a.b, là lớp tương đương với phần tử đại
diện là dãy Cauchy {a i .b i }. Định nghĩa này là hợp lí vì nếu {a i }~{a i' } và
{b i }~{b i' }, ta có:
0 ≤ |a i .b i -a i' .b i' | p
= |a i .b i -a i .b i' + a i .b i' - a i' .b i' | p
≤ max(|a i | p |b i -b i' | p , |a i -a i' | p |b i' | p ) → 0 khi i →∞,
tức là {a i .b i }~{a i' .b i' } hay lớp tương đương của hai dãy này là trùng nhau.
Ta kí hiệu 1 là phần tử thuộc Q p có dãy Cauchy đại diện là dãy hằng {1}
gồm các số hạng đều bằng 1. Rõ ràng 1 là phần tử đơn vị đối với phép nhân
định nghĩa như trên.
1.2.7. Phần tử nghịch đảo trong Q p .
Cho a  Q p có phần tử đại diện là dãy Cauchy {a i' }. Gọi {a i } là dãy được
định nghĩa như sau:
'

ai  a'i , khi ai  0

i
'

ai  p , khi ai  0

Khi đó


15
0, khi a '  0
i


'
|a i - a i | p =  1
.
'
,
khi
a

0
 i
i
p

Rõ ràng |a i - a i' | p → 0, khi i →∞, hay {a i }~{a i' }. Mặt khác {a i } cũng là dãy
Cauchy vì:
|a i ' - a i | p = |a i ' - a i' ' + a i' ' - a i' + a i' - a i | p
≤ max(|a i ' - a i' ' | p , |a i' ' - a i' | p , |a i' - a i | p )→ 0 khi i→∞.
Do đó, {a i }  a.
Như vậy mọi phần tử thuộc Q p đều chứa một dãy Cauchy đại diện sao cho mọi
số hạng của dãy đó đều khác 0.
Nếu a ≠ 0, tức là lim |a i | p ≠ 0 khi i→∞, thì dãy {

1
} cũng là một dãy Cauchy
ai

vì:

|

a  an
1 1
 | p | m
|p
am an
am an


Phần tử nghịch đảo của a, kí hiệu
đại diện là dãy Cauchy {

| am  an | p
| am | p | an | p

→ 0 khi m,n → ∞.

1
hay a 1 , là lớp tương đương với phần tử
a

1
}.
ai

1.2.8. Định lí. Q p với các phép toán được định nghĩa như trên là một trường.
Chứng minh. Từ cách xây dựng các phép toán ở trên, dễ thấy Q p là một
trường.□
1.2.9. Chuẩn trên Q p .
Với a Q p có phần tử đại diện là {a i }. Ta định nghĩa:
|a| p = lim i  |a i | p .

16
Theo bổ đề 2.3 thì giới hạn lim i  |a i | p là tồn tại và hữu hạn. Mặt khác, nếu
{b i }  a, tức là {a i } ~ {b i }, ta có:
0 ≤ ||a i | p -|b i | p | ≤ |a i -b i | p → 0 khi i →∞.
Do đó, lim i  |a i | p = lim i  |b i | p . Như vậy định nghĩa |a| p trên là hợp lí.
1.2.10. Mệnh đề. | | p được định nghĩa như trên là một chuẩn khơng-Acsimet
trên Q p .
Chứng minh. Với a Q p có phần tử đại diện là {a i }. Khi đó rõ ràng:
|a| p = lim i  |a i | p ≥ 0,
|a| p = 0  lim i  |a i | p = 0
 a = 0.

Với a, b  Q p có các phần tử đại diện lần lượt là {a i }, {b i } ta có:
|a.b| p = lim i  |a i b i | p
= lim i  (|a i | p .|b i | p )
= lim i  |a i | p .lim i  |b i | p
= |a| p .|b| p .
Vì:
|a i +b i | p ≤ max(|a i | p , |b i | p ),
với mọi i nên:
lim i  |a i +b i | p ≤ max(lim i  |a i | p ,lim i  |b i | p ).
Do đó, |a+b| p ≤ max(|a| p ,|b| p ).
Vậy, | | p là một chuẩn khơng-Acsimet trên Q p .□
Q có thể đồng nhất với một trường con của Q p bao gồm các lớp tương
đương chứa một dãy Cauchy hằng. Dưới sự đồng nhất này, chuẩn | | p trên Q p
hạn chế thành chuẩn | | p đã biết trên Q.
1.2.11. Định nghĩa. Cho a Q p , a ≠ 0, khi đó:
ord p a = - log p |a| p .

17
Nhận xét. Trong quá trình làm đầy đủ Q với chuẩn là giá trị tuyệt đối thông
thường để nhận được R thì các giá trị có thể của | | được mở rộng để bao gồm
tất cả các số thực khơng âm. Nhưng trong q trình từ Q đến Q p , các giá trị có
thể của | | p được giữ nguyên, cụ thể là {p n } nZ  {0}.
1.2.12. Định lí. Q p là đầy đủ với chuẩn | | p .
Chứng minh. Gọi {a j } là một dãy Cauchy bất kì trong Q p và a j có dãy Cauchy
đại diện là {a ji } i 1, 2 ,... , với mỗi j = 1,2,…
Vì {a j } là một dãy Cauchy nên lim j , j ' |a j -a j ' | p = 0.
Do đó: lim j , j ',i  |a ji -a j 'i | p = 0.
Vì {a ji } i 1, 2 ,... là dãy Cauchy nên với mọi j, tồn tại N j sao cho:
|a ji | p = |a jN | p , với mọi i ≥ N j .
j

Ta có thể chọn {N j } tăng với chỉ số j.
Mặt khác, vì {a ji } i 1, 2 ,... là dãy Cauchy nên với mọi j nên:
lim i ,i ' |a ji -a ji ' | p = 0, với mọi j = 1, 2,…
Do đó: lim j ,i ,i ' |a ji -a ji ' | p = 0.
Chọn dãy {a jN } j , khi đó:
j

|a jN -a j 'N | p = |a jN -a jN + a jN -a j 'N | p
j

j'

j

j'

j'

j'

≤ max( |a jN -a jN | p , |a jN -a j 'N | p ).
j

j'

j'

j'

Do đó:
lim j , j ' |a jN -a j 'N | p ≤ max( lim j , j ' |a jN -a jN | p , lim j , j ' |a jN -a j 'N | p ) = 0.
j

j'

j

j'

j'

Vậy, {a jN } j là một dãy Cauchy.
j

Gọi a  Q p là lớp tương đương có dãy đại diện là {a jN } j . Ta có:
j

|a ji -a iN | p = |a ji -a jN + a jN -a iN | p
i

i

i

i

≤ max( |a ji -a jN | p , |a jN -a iN | p ).
i

Khi đó:
lim j  |a j -a| p = lim j,i  |a ji -a iN | p
i

i

i

j'


18
≤ max( lim j,i  |a ji -a jN | p , lim j,i  |a jN -a iN | p ) = 0.
i

i

i

Do đó {a j } hội tụ đến a trong Q p .
Vậy, mọi dãy Cauchy trong Q p đều hội tụ, hay Q p là đầy đủ.□

1 3 Khai tri n p-a ic v

ổ đề H ns l

1.3.1. Định lí. Mỗi lớp tương đương a thuộc Q p với |a| p ≤ 1 có duy nhất
một dãy Cauchy đại diện có dạng {a i } trong đó:
i) 0 ≤ a i < p i , với i = 1,2,…
ii) a i ≡ a i 1 (mod p i ), với i = 1,2,…
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh tính duy nhất. Nếu {a i' } là một dãy khác
thoả mãn i), ii) và giả sử a i ≠ a i' . Khi đó a i
0

0

a i' (mod p i ), vì cả hai đều nằm
0

0

0

giữa 0 và p i . Nhưng khi đó, với mọi i ≥ i 0 ta có:
0

ai  ai

a i'  a i' (mod p i ),
0

0

0


19
nghĩa là a i

a i' (mod p i ). Do đó ai  ai' p 
0

1
, với mọi i ≥ i 0 , và do đó {a i }
pi
0

khơng tương đương với {a i' }.
Giả sử ta có một dãy Cauchy {b i }. Ta cần tìm một dãy tương đương {a i } thoả
mãn i) và ii). Để làm điều này ta cần bổ đề sau:
1.3.2. Bổ đề. Nếu x Q và x p  1, khi đó với mọi i đều tồn tại   Z sao cho :

  x p  p  i . Số nguyên  có thể được chọn trong tập {0, 1,..., p i -1}.
Chứng minh bổ đề. Giả sử x =

a
được viết dưới dạng tối giản. Do x p  1 nên p
b

khơng chia hết b, và do đó b và p i nguyên tố cùng nhau. Vì thế tồn tại các số
nguyên m và n sao cho mb + np i = 1. Đặt  = am. Ta có:

  x p  am 

n
a
a

mb  1 p  mb  1 p  npi p  ip  p i .
bp bp
p

Cuối cùng, ta có thể cộng thêm vào số nguyên  một bội của p i để nhận được
một số nguyên ở giữa 0 và p i mà   x p  p  i vẫn đúng. Bổ đề được chứng
minh xong.
Trở lại với chứng minh của định lí, với mỗi j = 1, 2,..., đặt N(j) là số tự nhiên
sao cho: bi  bi' p  p  j , khi i, i' ≥ N(j) ( ta có thể lấy dãy N(j) tăng ngặt với chỉ
số j, đặc biệt, N(j) ≥ j ). Chú ý rằng bi p  1 nếu i ≥ N(1), vì với mọi i' ≥ N(1):



bi p  max bi ' p , bi  bi '

p

  max  b


i' p

1
,  ,
p

và bi ' p  a p  1 khi cho i'→∞.
Bây giờ ta sử dụng bổ đề để tìm một dãy các số ngun a j ,trong đó 0 ≤ a j < p j
thoả mãn a j  bN ( j ) p  p  j .
Ta sẽ chứng minh rằng {a j } là dãy cần tìm, tức là cần chứng minh rằng:
a j 1  a j (mod p j ) và {b i }~{a j }.


20
Khẳng định thứ nhất được chứng minh như sau:

a j 1  a j p  a j 1  bN ( j 1)  bN ( j 1)  bN ( j )  bN ( j )  a j



p

 max a j 1  bN ( j 1) p , bN ( j 1)  bN ( j ) p , a j  bN ( j )
 1 1 1
 max  j 1 , j , j
p p
p

p



 1
  j .
 p

Khẳng định thứ hai được chứng minh như sau:
Cho trước j bất kì, với i ≥ N(j) ta có:

ai  bi p  ai  a j  a j  bN ( j )  bN ( j )  bi



p

 max ai  a j p , a j  bN ( j ) p , bi  bN ( j )
 1 1 1
 max  j , j , j
p p p

p



 1
  j .
 p

Do đó ai  bi p  0 khi i→∞.
Định lí được chứng minh.□
Nếu số p-adic a không thoả mãn a p  1 thì ta nhân a với một luỹ thừa p m
của p ( cụ thể là, có thể chọn m = a p ), để nhận được số p-adic a' = ap m thoả
mãn a' p  1 . Khi đó a' được đại diện bởi một dãy {a i' } như trong định lí, và
a=a'p  m được đại diện bởi dãy {a i } trong đó a i = a i' p  m .
Bây giờ ta viết tất cả các a i' trong dãy đại diện cho a' theo cơ số p, nghĩa là:

ai'  b0  b1 p  b2 p 2  ...  bi1 pi1 ,
trong đó b i là các "chữ số", nghĩa là 0 ≤ b i ≤ p-1.
Điều kiện a i'  a i' 1 (mod p i ) kéo theo:

ai'1  b0  b1 p  b2 p 2  ...  bi 1 p i 1  bi p i ,
trong đó các chữ số b 0 đến b i 1 là giống như của a i' .
Do đó ta có biểu diễn của a' như sau:

a'  b0  b1 p  b2 p 2  ...  bi1 pi1  bi pi  ...


21
Vì a = a'p  m nên a có biểu diễn:

a  b0 p  m  b1 p m1  ...  bm  bm1 p  ...
Trước hết, đây chỉ là biểu diễn mang tính hình thức. Biểu thức bên phải cho
ta một cái nhìn trực quan về các a i trong dãy {a i } đại diện cho a. Đẳng thức
trên được gọi là "khai triển p-adic" của a.
Giống như trong trường hợp số thực, ta có định nghĩa tương tự cho chuỗi số
p-adic. Dễ dàng chứng minh được một chuỗi vô hạn các số p-adic hội tụ khi và
chỉ khi số hạng tổng quát của nó dần đến 0. Do đó đẳng thức trên có thể hiểu

theo nghĩa là giới hạn của một chuỗi hội tụ.
Chú ý rằng khẳng định duy nhất trong Định lí 2.5.1 là điều mà ta khơng có
được trong trường hợp Acsimet. Chẳng hạn trong trường hợp chuẩn là giá trị
tuyệt đối thơng thường thì 1 cịn có thể biểu diễn là 0.99999... Tuy nhiên nếu
hai khai triển p-adic cùng biểu diễn một số p-adic thì chúng phải giống nhau,
nghĩa là các chữ số của chúng phải giống nhau.
Như vậy, để làm các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, thay vì làm trên “các
lớp tương”, ta sẽ làm trên các “khai triển p-adic”. Việc tính tốn là dễ dàng và
rất giống với các phép tốn thơng thường trên hệ thập phân, chỉ khác là ở đây ta
thực hiện trên cơ số p và tính tốn từ trái sang phải.
Thay vì {0, 1,..., p-1} ta có thể chọn một tập bất kì S =  0 ,1 ,...,  p1  các số
nguyên p-adic có tính chất  i  i (mod p), i = 0, 1,..., p-1, và khi đó có thể định


nghĩa khai triển p-adic dưới dạng:

b p

i m

i

i

, trong đó các "chữ số" b i thuộc S

thay vì thuộc tập {0, 1,..., p-1}.
1.3.3. V nh số nguyên p-adic Z p .
Đặt Z p = {a  Q p | |a| p ≤ 1}. Khi đó Z p là tập hợp tất cả các số p-adic mà
trong khai triển p-adic của nó khơng có các luỹ thừa của p với số mũ âm. Mỗi

phần tử thuộc Z p được gọi là một “số nguyên p-adic”.
1.3.4. Mệnh đề. Z p là một vành con của Q p .


22
Chứng minh. Rõ ràng Z p khác rỗng vì 0  Z p .
Với mọi x,y  Z p , ta có:





x  y p  max x p , y p  1.
xy p  x p y p  1.

Do đó, x - y  Z p và xy Z p . Vì vậy Z p là một vành con của Q p .□
Nếu coi mỗi số nguyên thông thường là một số p-adic (dưới sự đồng nhất
mỗi số hữu tỉ thông thường với một lớp tương đương thuộc Q p có một dãy
Cauchy hằng) thì tập các số nguyên thông thường Z là một vành con của Z p .
Ta định nghĩa: Z p = {x  Z p |

1
 Z p }.
x

Định nghĩa này tương đương với định nghĩa sau: Z p = {x  Z p | x p  1 }.
Một số nguyên p-adic thuộc Z p thì có chữ số đầu tiên trong khai triển p-adic
khác không (chữ số đầu tiên là chữ số ứng với p 0 = 1 trong khai triển p-adic),
và được gọi là một “đơn vị p-adic”.
1.3.5. Quan hệ đồng ư

Trên trường số p-adic Q p ta xây dựng quan hệ đồng dư như sau:
Với a, b  Q p , a  b ( mod p n ) nếu a  b p  p  n .
Dễ thấy, a  b ( mod p n ) khi và chỉ khi

a b
Z p .
pn

Rõ ràng nếu a, b  Z thì đây chính là quan hệ đồng dư quen thuộc mà ta đã biết
trên vành các số nguyên thông thường.
1.3.6. Mệnh đề.Quan hệ đồng dư trên là một quan hệ tương đương.
Chứng minh. Rõ ràng ta có: a  a ( mod p n ) vì a  a p  0  p  n .
Nếu a  b ( mod p n ) thì: b  a p  a  b p  p  n , do đó: b  a ( mod p n ).
Nếu a  b ( mod p n ) và b  c ( mod p n ) thì: a  b p  p  n và b  c p  p  n , do đó:





a  c p  a  b  b  c p  max a  b p , b  c p  p  n ,


23
nên ta có a  c ( mod p n ).□
Tiếp theo, ta đưa ra một số tính chất đơn giản của đồng dư trên vành số
nguyên p-adic Z p .
1.3.7. Tính chất 1. Cho a, b, c, d  Z p thoả mãn:
a  b ( mod p n ) và c  d ( mod p n ).
Khi đó: a+c  b+d ( mod p n ).
Chứng minh. Ta có:



a  c  (b  d ) p  max a  b p , c  d

p

 p

n

.

Do đó: a+c  b+d ( mod p n ).□
1.3.8. Tính chất 2. Cho a, b, c  Z p . Khi đó: Nếu a  b ( mod p n ) thì
ac  bc ( mod p n ).
Chứng minh. Vì a  b ( mod p n ) nên a  b p  p  n . Ta có:

ac  bc p  a  b p c p  a  b p  p  n
(vì c  Z p nên c p  1 ).
Do đó: ac  bc ( mod p n ).□
1.3.9. Tính chất 3. Cho a, b  Z p và c Z p . Khi đó:
a  b ( mod p n )  ac  bc ( mod p n ).
Chứng minh. Ta có:

ac  bc p  a  b p c p  a  b p .
Do đó:
a  b ( mod p n )  a  b p  p  n
 ac  bc p  p  n
 ac  bc ( mod p n ).□

1.3.10. Tính chất 4. Cho a,b,c,d  Z p .Nếu a  b ( mod p n ) và c  d ( mod p n ) thì:
ac  bd ( mod p n ).
Chứng minh. Ta có:


24

ac  bd

p

 ac  ad  ad  bd

p



 max  a c  d , a  b d 
 max  c  d , a  b 
 max ac  ad p , ad  bd
p

p

p

p

p

p

p

 p n .
Do đó: ac  bd ( mod p n ).□
1.3.11. Hệ quả. Nếu a, b  Z p và a  b ( mod p n ) thì a k  b k ( mod p n ), với mọi
số tự nhiên k.
1.3.12. Tính chất 5. Cho a, b Q p và a  b ( mod p n ). Khi đó:
ap k  bp k ( mod p nk ),với mọi số nguyên k.
Chứng minh. Ta có:
ap k  bp k

p

 a  b p pk

p

 p k a  b p

 p ( k n ) .
Do đó: ap k  bp k ( mod p nk ).□
1.3.13. Tính chất 6. Cho f(x) = c 0 +c 1 x+...+c k x k là đa thức với hệ số nguyên
p-adic. a, b là các số nguyên p-adic thoả mãn: a  b ( mod p n ). Khi đó:
f(a)  f(b) ( mod p n ).
Chứng minh. Dựa vào tính chất 1, tính chất 2, và hệ quả của tính chất 4 ta dễ
dàng suy ra điều phải chứng minh.□
1.3.14. Hệ quả. Cho f(x) = c 0 +c 1 x+...+c k x k là đa thức với hệ số nguyên padic. a, b là các số nguyên p-adic thoả mãn: a  b ( mod p n ).Khi đó:

a) nếu f(a) ≡ 0 (mod p n ) thì f(b) ≡ 0 (mod p n ),
b) nếu f(a)

0 (mod p n ) thì f(b)

0 (mod p n ).

1.3.15. Tính chất 7. Cho a  Z p và b  Z p . Khi đó phương trình đồng dư:
a  bx ( mod p n ), n≥ 1

(*)


25
có nghiệm duy nhất x 0  Z, 0 ≤ x 0 ≤ p n - 1, và mọi nghiệm x của phương trình
(*) đều có dạng: x  x 0 ( mod p n ).
Chứng minh. Vì b  Z p nên:
a  bx ( mod p n )  x 



Vì a  Z p và b  Z p nên

a
( mod p n )
b

x

a

 p n .
bp

a
a
có khai triển p-adic dạng:
 Z p . Do đó
b
b

a
= a0  a1 p  ...  an p n  an1 p n1  ...
b

Đặt x 0 = a0  a1 p  ...  an1 p n1 , khi đó x 0  Z, 0 ≤ x 0 ≤ p n - 1, và ta có:

x0 

a
 a n p n  a n 1 p n 1  ... p  p  n .
bp

Do đó x 0 là một nghiệm của phương trình (*).
Nếu x là một nghiệm của phương trình (*) thì: a  bx ( mod p n ). Mặt khác ta có:
a  bx 0 ( mod p n ). Do đó:
b(x - x 0 )  0 ( mod p n )  x - x 0  0 ( mod p n )
 x  x 0 ( mod p n ).

Nếu x 1 ≠ x 0 cũng là một nghiệm của phương trình (*) và x 1  Z, 0 ≤ x 1 ≤ p n - 1,
khi đó: x 1

x 0 ( mod p n ), mâu thuẫn.□

Để giải các phương trình trên Q p người ta sử dụng “bổ đề” quan trọng sau.
1.3.16. Định lí (Bổ đề Hensel). Cho f(x) = c 0 +c 1 x+…+c m x m là một đa thức với
hệ số là các số nguyên p-adic. f’(x) = c 1 + 2c 2 x+…+mc m x m1 là đạo hàm của
f(x). a là một số nguyên p-adic thoả mãn: f( a ) ≡ 0 (mod p) và f’( a )

0 (mod

p). Khi đó tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a thoả mãn: f(a) = 0 và
a ≡ a (mod p).