vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
BÙI QUANG THIỆN
VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
BÙI QUANG THIỆN
VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HOÀI AN
Thái Nguyên - Năm 2014
i
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic 1
1.1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học

phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange . 1
1.1.2 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học
trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic . . . . . . 7
1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ 7
1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập . . . . . . . 8
1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp
dụng 15
ii
2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Đa thức duy nhất của hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Y
n,m
. . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Đa thức duy nhất kiểu F
n,b
. . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Tập duy nhất kiểu F
0
n,b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iii
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ
cấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là của
tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả
Bùi Quang Thiện
iv
Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Hoài An. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Sau quá trình nhận đề tài và
nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác định
đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh
ngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin gửi
lời cảm ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, PGS.
TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ, PGS. TS. Trịnh Thanh Hải
đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào
tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt
quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự
giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và
Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức
tốt đẹp.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp
cao học Toán K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
v
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề nội suy cho đa thức là vấn đề kinh điển của Toán học sơ cấp.
Newton, Lagrange đã giải quyết vấn đề này đối với đa thức với hệ số thực. Hai
ông đã đưa ra công thức nội suy mà ngày nay được gọi là Công thức nội suy
Newton, Công thức nội suy Lagrange. Đây là các công thức nội suy với hữu
hạn mốc nội suy. Trong trường hợp vô hạn mốc nội suy, vấn đề nội suy cho hàm
nguyên đã là bài toán mở trong một thời gian dài. Năm 1979, Hà Huy Khoái là
người đầu tiên mở rộng vấn đề nội suy cho đa thức cho các hàm nguyên p-adic
[4]. Ông đã tìm được điều kiện cần và đủ để xác định hàm nguyên p-adic từ
vô hạn mốc nội suy. Trong trường hợp hàm nguyên phức, vấn đề này vẫn chưa
được giải quyết. Điều thú vị ở đây là, xuất phát từ vấn đề nội suy cho các hàm
nguyên p-adic, Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng lý thuyết phân bố
giá trị cho các hàm phân hình p-adic (xem [5]). Một trong những ứng dụng sâu
sắc của lý thuyết phân bố giá trị (p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các
hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập
hợp điểm. Kết quả kinh điển đầu tiên của vấn đề này là Định lý 4 điểm của
Nevalinna. Có hai hướng mở rộng định lý 4 điểm:
1. Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm.
2. Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm.
Mặt khác, từ Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange,
vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ
số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy.
Nhận xét rằng, có sự tương tự giữa vấn đề xác định duy nhất đối với đa
thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc
nội suy với vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng p-adic
vi
qua điều kiện ảnh ngược của tập điểm. Điều này gợi ý cho chúng tôi xem xét

vấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị. Theo hướng
tiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược
của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý
duy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không.
3. Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu
3.1. Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán
học phổ thông.
3.2. Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic.
3.3. Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương
tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không.
4. Kết quả nghiên cứu
Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1]. Cụ thể là:
• Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6].
• Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6].
• Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6].
• Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6].
5. Bố cục luận văn
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.
vii
Chương 1. Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đề
xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông, trình bày
tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chúng tôi
cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của

hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã được đưa ra trong [1]
và đã được trình bày lại ở [2].
Chương 2. Trong Chương 2 chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xác
định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều
kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đã
đưa ra trong [1].
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Học viên
Bùi Quang Thiện
viii
Bảng ký hiệu
f Hàm hữu tỷ
n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a
T
f
Hàm đặc trưng của f
E
f
(S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f
E
f
(S) Ảnh ngược không tính bội của S đối với f
K Trường đóng đại số, đặc trưng không
1
Chương 1
Tổng quan về vấn đề xác định duy
nhất của hàm phân hình p-adic
1.1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong
toán học trung học phổ thông
1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange

Công thức nội suy Newton
Ví dụ 1.1.1. Xác định đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện
P (1) = 2, P(2) = 5, P (3) = 12.
Nếu P (1) = 2 ta có đa thức thỏa mãn điều kiện là đa thức A(x) = 2.
Nếu B(1) = 2 và B(2) = 5 thì đa thức B(x) là
B(x) = A(x) + α(x − 1) = 2 + α(x − 1).
Khi đó
B(1) = A(1) = 2
B(2) = 2 + α
B(2) = 5 ta chọn α = 3.
Ta có B(x) = 2 + 3(x − 1).
Vậy tương tự như trên ta tìm đa thức P (x) sao cho P (1) = 2, P(2) = 5,
2
P (3) = 12.
Ta xét đa thức có dạng
P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2)
= 2 + 3(x − 1) + α(x − 1)(x − 2).
Bởi vì P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2) chúng ta có ngay P (1) = B(1) = 2,
P (2) = B(2) = 5.
Còn P (3) = 8 + 2α để P (3) = 12 thì α = 2.
Ta có P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2).
Khi đó đa thức P (x) cần tìm là
P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2)
= 2x
2
− 3x + 3.
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát. Nếu x
1
, x
2

, . . . , x
n
, x
n+1
số thực khác nhau và y
1
, y
2
, . . . , y
n
, y
n+1
là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ
tìm đa thức P (x) có bậc bé thua hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện.
P (x
1
) = y
1
, P(x
2
) = y
2
, . . . , P(x
n
) = y
n
, P(x
n+1
) = y
n+1

.
Theo như ví dụ mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức P (x) có dạng
P (x) = α
1
+α
2
(x−x
1
)+α
3
(x−x
1
)(x−x
2
)+. . .+α
n+1
(x−x
1
)(x−x
2
) . . . (x−x
n+1
).
Công thức này gọi là công thức nội suy Newton. Nếu chúng ta thay x = x
1
vào công thức nội suy Newton thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số
α
1
. Tiếp đó, nếu chúng ta thay x = x
2

vào công thức nội suy thì chúng ta sẽ
xác định được giá trị của hệ số α
2
. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng α
n+1
sẽ
được xác định nếu chúng ta thay x = x
n+1
.
Ví dụ 1.1.2. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P(2) = 1, P (3) = 2, P(4) = 3, P(5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Newton.
P (x) = α
1
+ α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
3
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào công thức cần tìm, chúng ta có P (1) = α
1
= 1
P (x) = 1 + α
2

(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, ta có P (2) = 1 + α
2
= 1 do đó α
2
= 0. Vậy
P (x) = 1 + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 3, ta có P (3) = 1 + 2α
3
= 2, do đó α
3
=
1
2
, vậy
P (x) = 1+

1
2
(x−1)(x−2)+α
4
(x−1)(x−2)(x−3)+α
5
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4).
Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 2 + 24α
5
, do đó α
5
=
1
12
. Do đó đa thức cần
tìm là
P (x) = 1+
1
2
(x−1)(x−2)−
1
6
(x−1)(x−2)(x−3)+
1
12
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4).
Ví dụ 1.1.3. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1,
P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25.
Chúng ta dùng công thức nội suy Newton.
P (x) = α

1
+ α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào công thức trên, chúng ta có P (1) = α
1
= 1, vậy
P (x) = 1 + α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, chúng ta có P (2) = 1 + α
2
= 4, do đó α
2
= 3, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + α

3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
4
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 3, chúng ta có P (3) = 7 + 2α
3
= 9, do đó α
3
= 1, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 4, chúng ta có P (4) = 16 + 6α
4
= 16, do đó α
4
= 0, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 25 + 24α
5
= 25, do đó α

5
= 0. Do đó đa thức
cần tìm là
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) = x
2
.
Qua đây chúng ta thấy rằng đa thức P (x) xác định bởi điều kiện
P (x
1
) = y
1
, P(x
2
) = y
2
, . . . , P(x
n
) = y
n
, P(x
n+1
) = y
n+1
có thể có bậc bằng n, nhưng cũng có thể có bậc bé hơn n.
Công thức nội suy Lagrange
Nếu x
1
, x
2
, . . . , x

n
, x
n+1
là n + 1 số thực khác nhau, và y
1
, y
2
, . . . , y
n
, y
n+1
là n +1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng
n thỏa mãn điều kiện
P (x
1
) = y
1
, P(x
2
) = y
2
, . . . , P(x
n
) = y
n
, P(x
n+1
) = y
n+1
Chúng ta thấy rằng đa thức P (x) có thể được xây dựng từ các đa thức

P
1
(x), P
2
(x), . . . , P
n
(x), P
n+1
(x) như sau
P (x) = y
1
P
1
(x) + y
2
P
2
(x) + . . . + y
n
P
n
(x) + y
n+1
P
n+1
(x)
trong đó, các đa thức P
1
(x), . . . , P
n+1

(x) được xác định như sau
P
1
(x) =
(x − x
2
)(x − x
3
) . . . (x − x
n
)(x − x
n+1
)
(x
1
− x
2
)(x
1
− x
3
) . . . (x
1
− x
n
)(x
1
− x
n+1
)

P
2
(x) =
(x − x
1
)(x − x
3
) . . . (x − x
n
)(x − x
n+1
)
(x
2
− x
1
)(x
2
− x
3
) . . . (x
2
− x
n
)(x
2
− x
n+1
)
5

. . . . . .
P
n
(x) =
(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
) . . . (x − x
n−1
)(x − x
n+1
)
(x
n
− x
1
)(x
n
− x
2
) . . . (x
n
− x
n−1
)(x
n
− x

n+1
)
P
n+1
(x) =
(x − x
1
)(x − x
2
) . . . (x − x
n−1
)(x − x
n
)
(x
n+1
− x
1
)(x
n+1
− x
2
) . . . (x
n+1
− x
n−1
)(x
n+1
− x
n

)
.
Các đa thức này thỏa mãn điều kiện
P
1
(x
1
) = 1, P
1
(x
2
) = 0, P
1
(x
3
) = 0, . . . , P
1
(x
n
) = 0, P
1
(x
n+1
) = 0
P
2
(x
1
) = 0, P
2

(x
2
) = 1, P
2
(x
3
) = 0, . . . , P
2
(x
n
) = 0, P
2
(x
n+1
) = 0
. . . . . . . . .
P
n
(x
1
) = 0, P
n
(x
2
) = 0, P
n
(x
3
) = 0, . . . , P
n

(x
n
) = 1, P
n
(x
n+1
) = 0
P
n+1
(x
1
) = 0, P
n+1
(x
2
) = 0, P
n+1
(x
3
) = 0, . . . , P
n+1
(x
n
) = 0, P
n+1
(x
n+1
) = 1.
Tóm lại
P (x) = y

1
(x − x
2
)(x − x
3
) . . . (x − x
n
)(x − x
n+1
)
(x
1
− x
2
)(x
1
− x
3
) . . . (x
1
− x
n
)(x
1
− x
n+1
)
+ y
2
(x − x

1
)(x − x
3
) . . . (x − x
n
)(x − x
n+1
)
(x
2
− x
1
)(x
2
− x
3
) . . . (x
2
− x
n
)(x
2
− x
n+1
)
+ . . .
+ y
n
(x − x
1

)(x − x
2
)(x − x
3
) . . . (x − x
n−1
)(x − x
n+1
)
(x
n
− x
1
)(x
n
− x
2
) . . . (x
n
− x
n−1
)(x
n
− x
n+1
)
+ y
n+1
(x − x
1

)(x − x
2
) . . . (x − x
n−1
)(x − x
n
)
(x
n+1
− x
1
)(x
n+1
− x
2
) . . . (x
n+1
− x
n−1
)(x
n+1
− x
n
)
.
Hay viết gọn lại
P (x) =
n+1

i=1

y
i

x − x
j
x
i
− x
j
.
Đây chính là công thức nội suy Lagrange.
Ví dụ 1.1.4. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P(2) = 1, P (3) = 2, P(4) = 3, P(5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange
P (x) =
(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
+
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
+ 2
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)
+ 3
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)
6
+ 5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

.
Ví dụ 1.1.5. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1,
P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25.
Dùng công thức nội suy Lagrange thì
P (x) =
(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
+ 4
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
+ 9
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)
+ 16
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)
+ 25
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)
.
1.1.2 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung
học phổ thông
Định lý 1.1.1. Nếu x
1
, x
2
, . . . , x
n
, x
n+1

là n + 1 số thực khác nhau, và y
1
, y
2
,
. . . , y
n
, y
n+1
là n + 1 số thực bất kỳ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức P (x)
có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện
P (x
1
) = y
1
, P(x
2
) = y
2
, . . . , P(x
n
) = y
n
, P(x
n+1
) = y
n+1
.
Định lý trên nói rằng một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sẽ được xác
định một cách duy nhất bằng n + 1 giá trị của nó.

Ví dụ 1.1.6. Xác định đa thức f(x) ∈ R[x] biết
1, f(1) = 2, f(2) = 3, degf = 1.
2, f(1) = 0, f(2) = 0, degf = 2.
1, Xét đa thức f(x) = ax + b
f(1) = 2 và f(2) = 3 suy ra a = 1, b = 1
Vậy f(x) = x + 1.
2, Xét đa thức f(x) = α
1
+ α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2)
Thay x = 1 vào đa thức trên ta có
f(1) = α
1
= 0
7
Khi đó f(x) = α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2)
Thay x = 2 vào đa thức
f(2) = α
2
= 0
Khi đó f(x) = α
3
(x − 1)(x − 2)

Chọn α
3
= 1 ta có f(x) = (x − 1)(x − 2) = x
2
− 3x + 2
1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic
Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic và các định lý được
phát biểu ở đây là được Yang - Hu đề cập trong [6].
Ký hiệu C
p
là trường số phức p-adic, C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng
0 và đầy đủ với chuẩn không acsimét.
1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ
Định lý 1.2.1. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
và
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
là bốn giá trị phân biệt trong C
p
∪ {∞}.

Khi đó nếu
E
f
(a
j
) = E
g
(a
j
), j = 1, 2, 3, 4
thì f ≡ g.
Định lý 1.2.2. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
, a
1
, . . . , a
q
là q giá trị khác nhau trên C
p
∪ {∞} và lấy k
j
∈ Z
+
∪ {∞}, (j = 1, . . . , q) với
k
1
 k
2
 . . .  k
q

,
q

j=3
k
j
k
j
+ 1
 2.
Khi đó, f ≡ g nếu f và g thỏa mãn
E
k
j
(a
j
) = E
kj
(aj), j = 1, . . . , q.
8
1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập
Xét đa thức sau
F
n,b
(z) =
(n − 1)(n − 2)
2
z
n
− n(n − 2)z

n−1
+
n(n − 1)
2
z
n−2
+ b,
trong đó b ∈ C
p
− {0, 1}. Ta cũng ký hiệu tập các không điểm F
n,b
bởi F
0
n,b
.
Chú ý rằng F
0
n,b
có n giá trị phân biệt.
Định lý 1.2.3. Cho n  10 là một số nguyên, khi đó tập F
0
n,b
là tập xác định
duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng.
Tiếp theo ta xét vấn đề chung nhất tính với bội chặn.
Cho m
0
là số nguyên dương hoặc ∞, F là một họ nào đó các hàm xác
định trên C
p

lấy giá trị trên C
p
∪ {∞}. Với f ∈ F và S là một tập con của
C
p
∪ {∞}, ta ký hiệu
E
m
0
f
(S) =

a∈S
{(z, m) ∈ C
p
× N|f(z) = a với bội n và m = min(n, m
0
)}.
Trong trường hợp m
0
= ∞ (tương ứng, m
0
= 1), ta viết
E
∞
f
(S) = E
f
(S) (tương ứng, E
1

f
(S) = E
f
(S)).
Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp S được gọi là tập xác định duy nhất (cho ngắn
gọn, ta dùng ký hiệu URS) tính bội chặn m
0
nếu với mọi cặp các hàm phân
hình khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện
E
m
0
f
(S) = E
m
0
g
(S) thìf ≡ g.
Để đơn giản, trong trường hợp m
0
= ∞ tập S thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là URS, còn với m
0
= 1 ta gọi S là URS không tính bội.
Khi đó ta cũng có thể gọi rằng hai hàm f và g phân chia tập S tính bội
chặn m
0
.
Định nghĩa 1.2.2. Một đa thức khác hằng P(z) ∈ C
p

[z] được gọi là đa thức
duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác
không c ∈ C
p
thỏa mãn điều kiện
P (f) = cP (g) thì f = g.
9
Tương tự, ta gọi một đa thức khác hằng P (z) là đa thức duy nhất yếu
cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện P (f) = P (g)
thì f = g.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Cho một điểm a ∈ C
p
ta xét hàm
V
a
f
: C
p
→ Z xác định bởi công thức
V
a
f
(z) =



0 nếu f(z) = a
m nếu z là không điểm bậc m của f − a.
Định nghĩa 1.2.3. Cho tập S = {a
1

, a
2
, . . . , a
q
} ⊂ C
p
và đa thức
P (z) = (z − a
1
)(z − a
2
) . . . (z − a
q
).
Khi đó P được gọi là đa thức liên kết với S.
Ta viết đạo hàm của đa thức P dưới dạng sau
P

(z) = r(z − d
1
)
n
(z − d
2
)
n
. . . (z − d
k
)
q

k
,
và k được gọi là chỉ số đạo hàm của P.
Định nghĩa 1.2.4. Đa thức P (z) khác không được gọi là thỏa mãn điều kiện
(H) nếu P (d
1
) = P (d
m
) với mọi 1  l  m  k.
Định lý 1.2.4. Cho m
0
là một số nguyên dương hoặc ∞. Giả sử P (z) là đa
thức duy nhất mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ số đạo hàm k  3,
hoặc k = 2 và min(q
1
, q
2
)  2. Giả sử S là tập các nghiệm của P . Hơn nữa,
các điều kiện sau đây được thỏa mãn
a, q > 2k + 11 trong trường hợp m
0
= 1,
b, q > 2k +
4
m
0
− 1
+ 5 trong trường hợp m
0
 2,

c, q > 2k + 5 trong trường hợp m
0
= ∞.
Khi đó, S là URS tính bội chặn m
0
cho các hàm phân hình. Đặc biệt, S là URS
tính bội chặn m
0
cho các hàm nguyên khi các điều kiện sau đây thỏa mãn
10
g, q > 2k + 4 trong trường hợp m
0
= 1,
h, q > 2k +
2
m
0
− 1
+ 1 trong trường hợp m
0
 2,
k, q > 2k + 1 trong trường hợp m
0
= ∞.
Tiếp theo, chúng tôi nêu khái quát phương pháp chứng minh các định lý
vừa phát biểu trên đây như sau.
Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung các điểm riêng rẽ.
Dùng định lý chính thứ hai, xét bội của không điểm để chuyển hàm đếm tính
với bội 1 về hàm đặc trưng, sau đó ước lượng trên hàm đặc trưng và cho bán
kính của đĩa đang xét tiến ra vô hạn.

Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung một tập. Dùng giả
thiết nhận chung một tập, đưa về phương trình hàm. Dùng hai định lý chính
để phương trình hàm có nghiệm duy nhất.
1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không
1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
trưng không
Tiếp theo, tôi nhắc lại các kết quả trong [1] đã được trình bày ở [2]. Từ
đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không. Giả sử
f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f. Khi đó viết
f = (z − a)
m
p(z)
với p(a) = 0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f. Đặt µ
0
f
(a) = m. Giả sử
d ∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f) là số các không điểm của f tính
cả bội;
n(f, d) = n(f − d),
n
l
(f) =
q

i=1
min{m
i
, l}, n
l

(f, d) = n
l
(f − d),
11
n
0
(f) = q, n
0
(f, d) = n
0
(f − d).
Giả sử f =
f
1
f
2
là hàm hữu tỷ trên K, ở đó f
1
, f
2
∈ K[x] và không có không
điểm chung, d ∈ K, ta ký hiệu
n(f) = n(f
1
), n(f, d) = n(f
1
− df
2
),
n

l
(f) = n
l
(f
1
), n
l
(f, d) = n
l
(f
1
− df
2
),
n
0
(f, d) = n
0
(f
1
− df
2
), n(f, ∞) = n(f
2
),
n
l
(f, ∞) = n
l
(f

2
), n
0
(f, ∞) = n
0
(f
2
),
degf = degf
1
− degf
2
, T
f
= max{degf
1
, degf
2
},
µ
d
f
= µ
0
f
1
−f
2
, µ
∞

f
= µ
0
f
.
Định nghĩa 1.3.1. Đường cong hữu tỷ f : K → P
n
(K) là một lớp tương đương
của các bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) sao cho f
1
, . . . , f
n+1
không có không
điểm chung trên K. Hai bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) và (g
1
, . . . , g
n+1
) là
tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho g
i

= cf
i
với mọi
i = 1, . . . , n + 1.
Ký hiệu
˜
f = (f
1
: f
2
: . . . : f
n+1
) là một biểu diễn của f. Khi đó ta viết
f : K → P
n
(K)
z →
˜
f(z) =

f
1
(z) : . . . : f
n+1
(z)

.
Giả sử f và g là hai đường cong hữu tỷ từ K và P
n
(K) với hai biểu diễn

˜
f = (f
1
: f
2
: . . . : f
n+1
), ˜g = (g
1
: g
2
: . . . : g
n+1
) tương ứng. Ta nói f đồng
nhất g và viết f ≡ g khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho f
1
= cg
i
với ∀ i = 1, . . . , n + 1.
Định nghĩa 1.3.2. Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào P
n
(K) với hai biểu
diễn
˜
f = (f
1
: f
2

: . . . : f
n+1
) được xác định bởi
T
f
= max
1in+1
degf
i
ở đó degf
i
là bậc của đa thức f
i
(i = 1, . . . , n + 1).
Định nghĩa 1.3.3. Đường cong hữu tỷ f từ K vào P
n
(K) được gọi là không
suy biến tuyến tính nếu ảnh của f không được chứa trong bất kỳ siêu phẳng
nào của P
n
(K).
12
Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là một
điểm nào của P
n
(K).
1.3.2 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng
đại số, đặc trưng không
Hai định lý sau đây là được đưa ra trong [1] và trình bày lại ở [2].
Định lý 1.3.1. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a ∈ K ∪ {∞}.

Khi đó
n(f, a)  T
f
.
Định lý 1.3.2. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a
1
, . . . , a
q
∈
K ∪ {∞}. Khi đó
(q − 2)T
f

q

i=1
n
1
(f, a
i
) − 1.
Giả sử f là đa thức bậc k trên K và b ∈ K. Khi đó chúng ta có thể viết f
trong dạng
f =
k

n=0
b
n
(z − b)

n
với b
k
= 0 và ta đặt ω
0
f
(b) = k. Cho a ∈ K, ta định nghĩa hàm
ω
a
f
: K −→ N bởi ω
a
f
(b) = ω
0
f=a
(b).
Giả sử k là số nguyên dương. Ta định nghĩa hàm ω
k
f
từ K tới N bởi
ω
k
f
(z) =



0 nếu ω
0

f
(z) > k
ω
0
f
(z) nếu ω
0
f
(z)  k
và
n
k
(f) =

z∈K
ω
k
f
(z), (z ∈ K)
n
k
(f, a) = n
k
(f − a).
Chú ý rằng ω
k
f
(z) bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn z ∈ K.
lim
k→∞

n
k
(f, a) = n(f, a).
13
Giả sử l là số nguyên dương. Ta định nghĩa
n
k
l
(f) =

z∈K
min

ω
k
f
(z), l

Chú ý rằng lim
k→∞
n
k
l
(f) = n
l
(f).
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương.
Tương tự như trên, ta định nghĩa các hàm
n
k

(f, a), n
<k
(f, a) n
k
(f, a) n
>k
(f, a),
n
k
l
(f, a), n
<k
l
(f, a) n
k
l
(f, a) n
>k
l
(f, a).
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, a ∈ K. Ta định nghĩa khuyết của
f tại a bởi
Θ
f
(a) = 1 −
n
1
(f, a)
T
f

.
Trong trường hợp a = ∞, ta kí hiệu
Θ
f
(∞) = 1 −
n
1
(f, ∞)
T
f
.
Do hai định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên K khác hai định lý chính
của hàm phân hình p-adic nên việc tương tự vấn đề duy nhất của trường hợp
p-adic cho trường hợp hàm hữu tỷ trên K là có ý nghĩa.
Sau đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các khái niệm độ
cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên K.
Ví dụ 1.3.1. Xác định hàm độ cao, hàm đếm, hàm đếm tính với bội bị chặn
của các hàm hữu tỷ trên K sau đây
1. f(x) = x
2
+ 1.
2. f(x) =
x
2
+ 1
x
3
+ 2
.
3. f(x) = (x

2
− 2x + 1)(x + 1)
4
.
1, Ta có x
2
+ 1 = (x − z
1
)(x − z
2
).
Ta có T
f
= 2, n(f, 0) = 2.
Lấy l = 1, ta có n
1
(f, 0) = 2.
14
2, Ta có x
2
+ 1 = (x − z
1
)(x − z
2
).
x
3
+ 2 = (x − a
1
)(x − a

2
)(x − a
3
).
Ta có T
f
= 3, n(f, 0) = 2, n(f, ∞) = 3.
Lấy l = 1 ta có n
1
(f, 0) = 2, n
1
(f, ∞) = 3.
3, Ta có f(x) = (x − 1)
2
(x + 1)
4
,
T
f
= 6, n(f, 0) = 6,
lấy l = 1, ta có n
1
(f, 0) = 2,
lấy l = 3, ta có n
1
(f, 0) = 2,
lấy l = 6, ta có n
1
(f, 0) = 6.
Ví dụ 1.3.2. Tìm ảnh ngược không tính bội, ảnh ngược tính cả bội của 1 đối

với các hàm sau trên K
1. f(x) = x
2
2. f(x) = −x
2
+ 2x.
1, Xét phương trình x
2
= 1, x
2
− 1 = 0
Ta có x
2
− 1 = (x − 1)(x + 1) = 0
Do đó E
f
(1) = 2, E
f
(1) = 2.
2, Xét phương trình −x
2
+ 2x = 1 hay x
2
− 2x + 1 = 0, (x − 1)
2
= 0. Do đó
E
f
(1) = 1, E
f

(1) = 2.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng giả thiết tính đóng đại số của trường K là
cần thiết
Ví dụ 1.3.3. Xét f(x) =
x
2
+ 1
x
4
+ 1
là hàm hữu tỷ trên trường số thực R. Xét
g(x) =
(x
2
+ 1)(x
2
+ 3)
(x
4
+ 1)(x
2
+ 3)
. Nếu ta định nghĩa hàm độ cao tương tự như trên thì
T
f
= 4, T
g
= 6. T
f
< T

g
nhưng f(x) = g(x) trên R.
15
Chương 2
Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng
không với điều kiện ảnh của tập
hợp điểm và áp dụng
Trong chương này, chúng tôi sẽ tương tự các định lý duy nhất đối với hàm
phân hình p-adic trong [6] cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng
không và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức. Định lý 2.1.1 là tương tự của
Định lý 4 điểm, Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6], Định lý
2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6],
2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị
Ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không. Cho f là hàm hữu tỷ
khác hằng trên K và a ∈ K ∪ {∞}. Kí hiệu
E
f
(a) = {(µ
a
f
(z), z) : z ∈ K},
và
E
f
(a) = f
−1
(a) = {z ∈ K : µ
a
f

(z) > 0}.
Cho k là số
E
k
f
(a) =

z ∈ K, µ
k
f−a

.