Hinh hoc khong gian luyen thi dai hoc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.85 MB, 240 trang )

(1)ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG. A. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng * Các khái niệm Mặt phẳng Mặt phẳng là một khái niệm cơ bản trong toán học (được thừa nhận không định nghĩa) Ví dụ: trang giấy, mặt bảng đen, mặt bàn, tấm gương phẳng,… Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng một chữ cái đặt trong dấu ngoặc để đặt tên cho mặt phẳng ấy. Điểm thuộc mặt phẳng Với một điểm A và mặt phẳng (P), có hai khả năng xảy ra: - Hoặc điểm A thuộc mặt phẳng (P). Kí hiệu: A  (P) - Hoặc điểm A không thuộc mặt phẳng (P) hay điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Kí hiệu: A (P) Hình biểu diễn của một hình trong không gian Hình lập phương, hình tứ diện,… là những hình nằm trong không gian. Để dễ hình dung, người ta tìm cách vẽ chúng thành những hình phẳng, gọi là hình biểu diễn của các hình không gian đó. Các quy tắc vẽ hình không gian - Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng, đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng. 1.

(2) - Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). - Dùng nét liền để biểu diễn những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn để biểu diễn cho những đường bị khuất.. * Các tính chất thừa nhận Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước Có một và và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó - Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng -. * Điều kiện xác định mặt phẳng -. Qua 3 điểm không thẳng hàng Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó Qua hai đường thẳng cắt nhau Bổ sung: Qua hai đường thằng song song. * Hình chóp, hình tứ diện Hình chóp Cho đa giác A1A2…An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A1, A2, …, An để được n tam giác: SA1A2, SA2A3, …, SAnA1. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2…An.. 2.

(3) Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp Đa giác A1A2…An gọi là mặt đáy của hình chóp Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp Các đoạn thẳng SA1, SA2, …, SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp Mỗi tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 gọi là một mặt bên của hình chóp Hình tứ diện Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD.. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó. Chú ý: Hình tứ diện có thể coi là trường hợp đặc biệt của hình chóp. II. Hai đường thẳng song song * Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt - Chéo nhau: Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng - Song song: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. - Cắt nhau: Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng không đồng phẳng và có một điểm chung. 3.

(4) * Các tính chất - Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó - Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. * Định lý về giao tuyển của ba mặt phẳng Nếu ba mặt hẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.. * Hệ quả Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyển của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trung với một trong hai đường thẳng đó).. III. Đường thẳng song song với mặt phẳng * Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho một đường thẳng a và một mặt phẳng (P). Có ba trường hợp sau đây xảy ra: - Đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P) - Đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A - Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). * Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P). * Tính chất - Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọt mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b 4.

(5) IV.. Hai mặt phẳng song song. * Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau: - (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng - (P) và (Q) song song với nhau. * Điều kiện để hai mặt phẳng song song - Định lý: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q) - Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó - Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. * Định lý Ta-lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.. 5.

(6) Nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thì. AB BC CA   . A' B' B' C ' C ' A'. Định lý Ta-lét đảo: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a’. Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ sao cho. AB BC CA   . Khi đó, ba A' B' B' C ' C ' A'. đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.. * Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt - Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau. - Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.. 6.

(7) - Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1 A2... An và một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,...,SAn lần lượt tại A1’, A2’,..., An’. Hình hợp bởi thiết diện A1’ A2’… An’ và đáy A1 A2 …An của hình chóp cùng với các tứ giác A1’A2’A2 A1, A2’A3’A3 A2,… An’A1’A1 An là một hình chóp cụt, kí hiệu là A1’A2’…An’. A1A2…An. Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A1’A2’…An’ gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác A1’A2’A2 A1, A2’A3’A3 A2,… An’A1’A1 An là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng A1 A1’, A2 A2’,… gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt. Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,…, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,…. 7.

(8) V.. Phép chiếu song song. * Định nghĩa Trong không gian cho mp(P) và đường thẳng l cắt mp(P). Với mỗi điểm M trong không gian vẽ đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l cắt mp(P) tại 1 điểm M’ nào đó. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng (P) như trên gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l.. * Tính chất - Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. - Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, của một tia là một tia. - Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. - Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau).. * Hình biểu diễn của một hình không gian Hình biểu diễn của một hình (H) trong không gian là hình chiếu song song của hình (H) trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. 8.

(9) Quy tắc: Nếu trên hình (H) có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình (H).. 9.

(10) B. HỆ THỐNG BÀI TẬP I.. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng. Dạng 1: Bài tập cơ bản giúp củng cố các khái niệm, tính chất cơ bản 1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? a) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước ; b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ; c) Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất. Đáp án : b, c. 2. (BT tương tự) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? a) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước ; b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng chứa điểm đó ; c) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó. Đáp án : c. 3. (BT tương tự) Hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây : a) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cho trước ; b) Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước ; c) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng đó lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau. Đáp án : b 4. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Một đường thẳng c cắt cả a và b. Có thể kết luận rằng ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng hay không? 5. Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy.. 10.

(11) Chú ý: bài tập 5 chính là gợi ý cho bài tập 4. 6. Thiết diện của một hình tứ diện có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác hay không? 7. (BT thực tế) Dựa vào kiến thức toán học, em hãy giải thích câu tục ngữ: “Dù ai nói ngả nói nghiêng Lòng ta vẫn vững như kiềng ba chân” Vì sao các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế, … thường dễ bị cập kênh? 8. (BT thực tế) Với một cái thước thẳng, làm thế nào để phát hiện một mặt bàn có phẳng hay không? Nói rõ căn cứ vào đâu mà ta làm như vậy.. Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp giải: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được chính là giao tuyến của chúng.. Dạng 3: Tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải: Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau: Cách 1. Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d; Bước 2: Tìm giao tuyến  của (P) và (Q); Bước 3: Trong mặt phẳng (Q), tìm giao điểm I của d và ; Bước 4: Kết luận I chính là giao điểm của d và (P). Cách 2. Tìm giao điểm của  với một đường thẳng d thuộc (P). Khi đó, giao điểm của d với  cũng là giao điểm của  và (P).. 11.

(12) 9. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến  . Trên (P) cho đường thẳng a và trên (Q) cho đường thẳng b. Chứng minh rằng nếu a và b cắt nhau thì giao điểm phải nằm trên  . Gợi ý: Gọi M  a  b thì M  (P) và M  (Q) nên M  ( P)  (Q) hay M  . 10.Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mp(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A, N là điểm nằm giữa S và B, giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O. a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO. b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN). Gợi ý:. a) Trên mặt phẳng (SAC) giả sử SO  CM  {I } . Ta có:  I  SO   I  CM.  I  SO   I  (CMN ).  SO  (CMN )  {I }. b) Trên mp(SBD) giả sử NI  SB  {P}  P  NI   P  SD.  P  (CMN )   P  ( SAD ).  P  (SAD)  (CMN ). Mà M  (SAD)  (CMN ) nên ta có  MP  (SAD)  (CMN ). 12.

(13) 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD) b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC Gợi ý: a) Chứng minh E, N là hai điểm chung của mặt phẳng (PMN) và (BCD) b) EN ∩ BC = Q. Chứng minh Q là điểm cần tìm 12.(BT tương tự) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp(MNP). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD). 13. (BT tương tự) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA). b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD). 14. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm trong của các tam giác ABC và BCD. Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Hãy xác định giao điểm J đó. Gợi ý: Ta chọn một mặt phẳng chứa IK và tìm giao tuyến của mặt phẳng này với mp(ACD) thì giao điểm của giao tuyến đó với IK chính là điểm J cần tìm. 15.Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trong tam giác ABD, N là một điểm nằm trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) (AMN) và (BCD) b) (DMN) và (ABC) Gợi ý: a) Gọi E là giao của AM, BD; F là giao của AN và CD. 13.

(14) EF là giao tuyến cần tìm. a) Gọi P là giao của DM và AB; Q là giao của DN và AC PQ là giao tuyến cần tìm. 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C' là một điểm nằm trên cạnh SC a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C'AE) b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE) Gợi ý: a) Trong (ABCD) gọi M = AE ∩ DC ta có M ∈ AE, mà AE ⊂ ( C'AE) nên M ∈ ( C'AE). Mà M ∈ CD suy ra M = DC ∩ (C'AE). b) Chứng minh M ∈ (SDC); Trong (SDC) : MC' ∩ SD = F. Chứng minh thiết diện là AEC'F. 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua điểm C. Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua B, E và một điểm F trong các trường hợp sau đây: a) F nằm trên đoạn CD và không trùng với C và D. b) F nằm trong tam giác ACD c) F nằm trong đoạn thẳng DD’ (D’ là trọng tâm của tam giác ABC). Gợi ý: a) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD tại K. Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BFK.. b) Trong mp(ACD), kéo dài EF cắt AD và DC lần lượt tịa K và J. Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác BKJ. 14.

(15) c) Gọi I là giao điểm của BD’ và AC (I là trung điểm của AC) Xét mp(BDI) ta có đường thẳng BF cắ DI tại một điểm J. Khi đó J là điểm chung của hai mặt phẳng (BEF) và (DAC) Vậy (BEF) cắt (DAC) theo đường thằng (Ẹ). Đường thẳng này cắt AD và DC tại M và N Thiết diện là tam giác BMN. 18. (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng (P) đi qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P). 19. (BT tương tự) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B. a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK). b) Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a). Gợi ý:. 15.

(16) a) Nối I và J cắt AC tại, nối I và K cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm b) Dựa vào tính chất trọng tâm tam giác, tính AN, AM, MN Dùng công thức cosin trong tam giác tính IM, IN Sử dụng công thức Herong tính diện tích tam giác IMN. Dạng 4: Chứng minh ba điểm thắng hàng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, có hai cách: Cách 1. Chứng minh chúng là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt Cách 2. Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại 20.(BT tương tự) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp(P) thì các giao điểm đó thẳng hàng. 21.Cho ba tia Ox, Oy, Oz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các cặp điểm A và A’, B và B’, C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M, CA cắt C’A’ tại N và AB cắt A’B’ tại I. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng Gợi ý: Trong bài toán này, ta cần xét 2 trường hợp: 16.

(17) . Trường hợp Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Vậy M, N, I thẳng hàng . Trường hợp Ox, Oy, Oz đồng phẳng. Qua O ta dựng một đường thẳng  không nằm trên mp(P). Trên  lấy các điểm O1, O2. Gọi A1 là giao điểm của O1A với O2A’, B1 là giao điểm của O1B với O2B’. Dễ chứng minh A1 B1, A’B’, AB đồng quy tại I. Tương tự, ta dựng điểm C1 là giao điểm của O1C với O2C’. Hai tam giác A1B1C1 và ABC không nằm trong một mặt phẳng, nên theo câu a) ta được ba điểm M, N, I thẳng hàng. 22. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng mình ba điểm M, N, Q thẳng hàng. 17.

(18) 23.(BT tương tự) Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. 24.(BT tương tự) Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong ( ) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài ( ) và (  ) sao cho OA và OB lần lượt cắt (  ) tại A’ và B’. a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng. b) Trong ( ) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (  ) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng 25.(BT tương tự) Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng ( ) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (  ) qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q. a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm của BP và EQ. Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng. b) Giả sử K là giao điểm của AN và DM, L là giao điểm của BQ và EP. Chứng minh ba điểm S, K, L thẳng hàng.. Dạng 5: Bài tập về quỹ tích giao điểm, giao tuyến, điểm cố định 26. Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao. cho . Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD, BD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE Gợi ý:. 18.

(19) a) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Ta có K cố định và K là điểm chung của mp(P) với mp(BCD) Mặt khác mpP mpBCD  EF. Vậy K EF, chứng tỏ rằng EF luôn đi qua điểm K cố định b) Gọi I  ME  NF. Ta có I MCD, I NBD  I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NBD)  I OD. Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I cũng chạy đến D Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng OD c) J là giao điểm của MF và NE. Từ đó dễ thấy J thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Vậy J phải thuộc giao tuyến AD của (ABD) và (ACD). Tương tự câu a, ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD. 27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC, M là một điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua. 19.

(20) C’M và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp S.ABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành c) Tìm tập hợp giao điểm của hai cạnh đối diện của thiết diện khi M di động trên SA. Gợi ý:. a) Do (P) // BC, gọi B’= (P) ∩ SB, khi đó ta có B'C' // BC ⇒ B’ là trung điểm của SB. Vậy (P) luôn chứa đường thẳng B’C’ cố định a) Vì B'C' // BC, BC // AD ⇒ AD // (P). Trong mp(SAD) kẻ MD' // AD (D ∈ SD). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác B’C’D’M Để B’C’D’M là hình bình hành thì ta phải có. và. Đã có B'C' // MD vì B'C' // BC // AD // MD Do B'C' =. 1 BC = 2. AD ⇒ MD' = AD ⇒ M là trung điểm của SA.. 20.

(21) c) Khi M ≡ A thì D ≡ D'. Gọi I = AB' ∩ DC' = MB' ∩ D'C' Khi M ≡ S ⇒ D' ≡ S nên S = MB' ∩ D'C' Vậy tập hợp giao điểm của hai cạnh đối diện thiết diện khi M di động trên cạnh SA là đường thẳng SI, trừ khoảng giữa SI. 28.(BT tương tự) Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC) b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF) 29.(BT tương tự) C Cho hai điểm A, B cố định nằm ngoài mp(P) sao cho AB luôn cắt (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA ∩ (P) = A', MB ∩ (P) = B'.Chứng minh rằng A’B’ luôn đi qua một điểm cố định. Xét mp(P) và (ABM) có: B ' = (P ) ∩ M B A '=( P )∩M A ⇒ A ' B ' = (P ) ∩ (AMB) Gọi I = AB ∩ (P) ⇒ I A'B' Mà AB và (P) cố định ⇒ I cố định Vậy A’B’ luôn đi qua điểm I cố định. 30.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có a) Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. 21.

(22) Gợi ý a) Chứng minh IJ song song với mặt phẳng đi qua AB và song song với CD b) Tập hợp điểm M là đoạn EF, với E, F là các điểm chia đoạn AB, CD theo tỉ số k 31.Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC, với SI>IA, SJ < JC. Một mp(P) quay quanh IJ và cắt SB, SD lần lượt tại M, N a) Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy ( O = AC ∩ BD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M b) AD∩ BC = E; JN ∩ MJ = F. CMR S, E, F thẳng hàng c) I N ∩ A D = P , M J ∩ B C = Q . CMR: PQ luôn đi qua một điểm cố định Gợi ý a) Gọi K = IJ ∩ SO. Chứng minh IJ, MN, SO đồng quy Từ đó N là giao điểm của MK với SD b) Vì S, E, F cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) c) Gọi H là giao điểm của IJ và AC. Chứng minh PQ luôn đi qua điểm H cố định. 32.Cho hình chóp S.ABCD (AB không song song với CD). Điểm M di động trên SA, (CMN) ∩ SB=N. Chứng minh MN đi qua điểm cố định Gợi ý: Xét (SAB) và (MCD) Gọi M = (SAB) ∩ (MCD) , N = (SA) ∩ (MCD). Vậy MN = (SAB) ∩ (MCD). II.. Hai đường thẳng song song Dạng 1: Bài tập cơ bản giúp củng cố các khái niệm, tính chất cơ bản 33.Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: a) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. 22.

(23) b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau c) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau d) Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau Đáp án: a, d. 34. (BT tương tự) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Có thể tìm được hai đường thẳng song song cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước. b) Có thể tìm được hai đường thẳng cắt nhau cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước c) Không thể tìm được hai đường thẳng song song hoặc hai đường thẳng cắt nhau cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước Đáp án: c.. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải:  Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng như - Tính chất đường trung bình - Định lý đảo của định lý Ta- let - Tính chất của một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song (Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau. - Quan hệ tính vuông góc và song song  Chứng minh đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3.  Áp dụng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng. 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Cho M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB a. Chứng minh MN //CD b. SC cắt AND tại K , AN cắt DC tại I . Chứng minh SI // AB //CD 23.

(24) Gợi ý: a) Dễ thấy MN là đường trung bình của hình thang. Trong SAB ta có MN / / AB Mà AB / /CD (vì ABCD là hình thang) nên MN / /CD b) Gọi E là giao điểm của AD và BC  K là giao điểm của NE và SC. Theo giả thiết I  AN  I SAB I  DK  I SDC Suy ra SI  SABSCD Mà AB  SABCD  SCD Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng thì SI//AB // CD 36.Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD=a, BC=b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAĐ và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. a) Chứng minh MN song song với PQ b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a, b. 37.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Mặt phẳng P qua MN và cắt BD, CD lần lượt tại H, K. a) Chứng minh MN / / HK 24.

(25) b) Xác định vị trí của H, K để MNKH là hình bình hành. Gợi ý a) Mặt phẳng P và BCD chứa hai đường thẳng song song. Mà HK PBCD. b) H, K lần lượt là trung điểm của CD, BD 38.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Chứng minh CE / / DF b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt ở trên AC, AD sao cho hai điểm lần lượt ở trên BF, AF sao cho c) Cho. AM AN  và H, K là AC AD. FH FK  . Chứng minh MN//HK. FB FA. AM 1 FH 2  và  . Chứng minh NK//CE AC 3 FB 3. Gợi ý: a) Chứng minh CDFE là hình bình hành b) Chứng minh MN / /CD, HK / AB c) Chứng minh. AN AK  AD AF. 39.Cho điểm O ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD. Gọi I là một điểm bất kì trên OA. Mặt phẳng BIC  cắt OD tại M. a) Chứng minh IM song song với AD và BC. b) IB và MC cắt nhau tại N. Chứng minh rẳng ON song song với AB và CD. Gợi ý a) IM là giao tuyến của hai mặt phẳng OAD và BIC  lần lượt chứa hai đường thẳng song song AD và BC. b) ON là giao tuyến của hai mặt phẳng OAB và OCD lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD 40.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AC, BD. Tứ giác QRNS là hình gì? c) Chứng tỏ rằng ba đoạn MP, NQ, RS đồng quy tại trung điểm của chúng.. 25.

(26) Gợi ý a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác. b) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác. Suy ra QRNS là hình bình hành. c) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo MP, NQ cắt nhau tại trung điểm. Hình bình hành QRNS có hai đường chéo NQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 41.Cho hai đường thẳng d  và d ' cắt nhau tại A. Gọi O là một điểm cố định ở ngoài mặt phẳng xác định bới d và d '. Từ O vẽ đường thẳng  song song với d. Gọi M, N là hai điểm di động lần lượt trên  và d'sao cho OM  AN. Từ M vẽ đường thẳng d '' song song với OA cắt d tại H. a) Chứng minh rằng NH song song với một đường thẳng cố định. b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm MN và MH. Chứng minh IJ song song với một đường thẳng cố định. c) Gọi K là trung điểm của OA. Chứng minh IK song song với một đường thẳng cố định. Hướng dẫn a) Chứng minh AOMH là hình bình hành  AHN là tam giác cân tại A. Từ đó suy ra NH song song với phân giác ngoài cố định Ax của góc tạo bởi d và d '. b) Chứng minh IJ // NH kết hợp kết quả câu a, suy ra IJ song song với đường thẳng cố định Ax c) Gọi G là trung điểm của NH. Chứng minh AKIG là hình bình hành. Từ. . . đó suy ra IK song song với phân giác trong cố định Ay của góc d, d ' . 42.Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP //CD, MQ//CD. a) Chứng minh PQ //SA b) Cho MN cắt PQ tại K. Chứng minh SK // AD // BC Gợi ý a) Chứng minh SP  SN , BM  SN , BM  AQ  SP  AQ  PQ / /SA. SD. SC. BC. SC. 26. BC. AD. SD. AD.

(27) b) Xét hai mặt phẳng SAD và SBC lần lượt chứa hai đường thẳng song song AD, BC. Áp dụng định lí về giao tuyến ta có đpcm c) OD  3OG2  GS  4GO. Dạng 3: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp giải: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. Sau đó áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy  Cho hình bình hành ABCD; gọi S là điểm cố định ở ngoài mặt phẳng ABCD a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC b) Gọi M là một điểm trên SC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MAB và SCD Gợi ý. a) Hai mặt phẳng SAD và SBC có chung điểm S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AD và BC. Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng a qua S và song song với AD và BC b) Hai mặt phẳng MAB và SCD có điểm chung M và lần lượt chứa hai 27.

(28) đường thẳng song song AB và CD. Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng b qua M và song song với AB và CD. 44.Cho hình chóp có đáy S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD  CD và AB  2CD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD  b) Gọi E là trung điểm của AB. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAD và (SCE); SDE và SBC Gợi ý.  a) Hai mặt phẳng SAB và SCD có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng a qua S và song song với AB và CD. b) Ta có: AE . AB  CD và AE / /CD nên AECD là hình bình hành. 2. Mặt khác AD = CD và A  D  900 nên AECD là hình vuông. Do đó AD / / EC và DE  AC (1) Hai mặt phẳng (SAD) và (SCE) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AD và EC. Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng b qua S và song song với AD và EC Ta có AE  EB  CE  AD nên tam giác ABC vuông tại C .  BC  AC (2) Từ (1) và (2) ta có DE / / BC 28.

(29) Hai mặt phửng (SDE) và (SBC) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song DE và BC. Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng c qua S và song song với DE và BC. 45.Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau và bằng 6a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB  2KD. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng IJK. Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a Giải. a) Trong tam giác ABC có IA  IC; JB  JC .  IJ là đường trung bình của của tam giác ABC   IJ // AB . Mặt phẳng IJK  và ABD có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song IJ và AB  giao tuyến của mặt phẳng IJK  và ABD là đường thẳng Kx qua K, song song với IJ và AB. Gọi H là giao điểm của Kx và AD. Khi đó (IJK ABC   IJ; IJK ABD   KH   (IJK BCD  JK; IJK ACD  IH  Vậy thiết diện của tứ diện với mặt phẳng IJK là hình thang IJKH IJ // HK. 29.

(30) Xét AIH và BJK có: AI  BJ; AH  BK; A  B ACD  BJK  IH  JK Vậy IJKH là hình thang cân. 1 b) Ta có: IJ  AB  3a 2 HK KD 1 1    HK  AB  2a Trong ABD có: AB BD 3 3 Trong BJK có: BJ  3a; BK  4a JK 2  BJ 2  BK 2  2.BJ .BK . cos BKJ.  (3a) 2  (4a) 2  2.3a.4a. cos 60  13a 2 Trong hình thang IJKH, hạ đường cao KP ta có: a 51  JK  HK  KP  JK  PJ  JK     2 2   2. 2. 2. 2. 1 a 51 5a 2 51  Vậy S IJKH  (3a  2a). 2 2 4 46.Cho tứ diện ABCD; gọi I là trung điểm của BC; M là một điểm trên cạnh DC; mặt phẳng  qua M và song song với BC và AI. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. a)  và BCD. b)  và AID Gợi ý a) Giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với BC b) Giao tuyến là đường thẳng qua N và song song với AI (BT tương tự) Cho lăng trụ tam giác ABC. A 'B 'C ' ; gọi M là một điểm trên cạnh A 'C '. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MABvà A' B 'C '.  48.Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB; AC lần lượt lấy các điểm M; N sao cho AM AN  . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng DBCvà DMN. AB AC. Gợi ý Chứng minh MN// BC. 30.

(31) III.. Đường thẳng song song với mặt phẳng Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải:  Ta chứng minh đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.  Ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng. 49.. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG// (ACD). Gợi ý:. Gọi I là trung điểm AD (h.2.12) Trong tam giác CBI, ta có. nên MG//CI.. Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD) Suy ra MG// (ACD). 50. (BT tương tự) Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). 51. (BT tương tự) Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của AE và BF. a) Chứng minh rằng OO′ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE).. 31.

(32) b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF). 52. (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD). c) Chứng minh rằng MG // (SCD). 53. (BT tương tự) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD. a) Chứng minh rằng OG // (SBC) b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB). c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho . Chứng minh rằng SA // (BID).. Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng Phương pháp giải: Ta có thể dùng định lí sau: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d′ thì d′ song song với d. 54. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và đồng thời song song với SC và AD.. 32.

(33) Gợi ý Vì (α) song song với AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD (h.2.13). Tương tụ (α) song song với SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo các giao tuyến song song với SC. Gọi O =AC ∩ BD, ta có SC // MO (đường trung bình trong tam giác SAC). Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD lần lượt tại Q và P. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N. Theo nhận xét trên,ta có MN // PQ và NP// SC. Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.. Dạng 3: Bài toán về quỹ tích điểm, điểm cố định Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q. a. Tứ giác MNPQ là hình gì? b. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC. 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BC; (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Q. a. Tứ giác MNPQ là hình gì? b. Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định 55.. 33.

(34) IV.. Hai mặt phẳng song song Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau Phương pháp giải:  . Ta có thể chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba. Ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.. 57. Cho hình bình hành ABCD. Từ các đỉnh A, B, C và D lần lượt kẻ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz và Dt song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt). Gợi ý. Ta có Cz//By nên Cz //(Ax, By). Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên CD//AB nên CD // (Ax, By). Mặt phẳng (Cz, Dt) chứa hai đường thẳng cắt nhau Cz, CD cùng song song với (Ax, By) nên (Cz, Dt) // (Ax, By). 58. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (α) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A', B', C' và D'.Chứng minh rằng a) (Ax, By) // (Cz, Dt) và (Ax, Dt) // (By, Cĩ). b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ?. 34.

(35) c) Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD'. 59. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ờ trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thảng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M' và N'. Chứng minh: a) (ADF) // (BCE). b) M'N' // DF. c) (DEF) // (MM'N'N) và MN // (DEF). 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC. ACD, ABD. Chứng minh rằng (. ) // (BCD).. Dạng 2: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với một hình chóp khi cho biết (α) song song với một mặt phẳng xác định nào đó. Phương pháp giải: Áp dụng: khi (α) song song với một mặt phẳng ( 𝜷 ) nào đó thì (α) sẽ song song với tất cả dường thẳng nằm trong ( 𝜷 ) . Để xác định giao tuyến của ( α) với các mặt của hình chóp, ta làm như sau : -. Tìm đường thẳng d nằm trong ( 𝜷 ) .. Vì ( α) // d nên ( α) cắt những mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d . -. 60. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD cóAD//BC, AD=2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng (α) song song vói (SBE).Tìm thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD. Gợi ý:. 35.

(36) Ta thấy rằng tứ giác BEDC là hình bình hành vì: ED // BC,ED = BC=. 1 AD (h.2.17). 2. Trường hợp 1.1 thuộc đoạn AO và I khác O. Gọi vị trí này là (α) // BE và (α) // SO. α // BE nên (α) cắt (ABE) theo giao tuyến. •. ( ). 𝜖 AB,. ( •. (. đi qua. , (α) // (SBE) nên. và. // BE. 𝜖 AE).. (α) // SO nên (α) cắt (SAC) theo giao tuyến. đi qua. và song song với SO. 𝜖 SA ).. Ta có thiết diện là tam giác Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC và I khác O. Gọi vị trí này là (α) // BE và (α) // SO. (α) // BE nên (α) cắt (BEDC) theo giao tuyến (M2 𝜖 BC, N2 𝜖 ED). •. •. đi qua. (α) // SO nên (α) cắt (SOC) theo giao tuyến Q 36. , (α) // (SBE) nên. di qua. và. // BE. và song song.

(37) với SO (Q 𝜖 SC). Do (α) // CD (vì CD // BE) nên (α) sẽ cắt hai mặt phẳng (BEDC) và (SDC) theo hâi giao tuyến. > PQ cùng song song với CD (P 𝜖 SD).. Ta có thiết diện là hình thang. PQ.. Trường hợp 3: I ≡ O Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE. Khi đó, (SBE) = (α) (loại). 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD dều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với AI = X (0 < X < a). Lấy (α) là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD). a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD. b) Tim diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a,b, X.Tìm X để S lớn nhất. c). Dạng 3: Bài tập về hình lăng trụ 62. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC'. Gọi I và I' tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C'. a) Chứng minh rằng AI // A' I'. b) Tim giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C). c) Tìm giao tuyến của (AB'C) và (A'BC). 63. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của A'B'. a) Chứng minh rằng CB'//(AHC). b) Tim giao tuyến d của (AB'C') và (ABC).. Dạng 4: Bài toán về tập hợp điểm, mặt phẳng cố định 64. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE sao cho AM BN  . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một BN NE mặt phẳng cố định. Hãy chỉ ra mặt phẳng cố định đó. 65. Cho ba mặt phẳng (α), (𝛽), (𝛾) song song với nhau. Hai đường thẳng a và a' cắt ba mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A', B, C'. Cho AB = 5,. 37.

(38) BC = 4, A'C’ = 18. Tính độ dài A'B, B'C'. 66. Cho tứ diện ABCD. Gọi / và J lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho. IA JB . Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt  IB JC. phẳng cố định 67. Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By. Gọi (α) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt (α) tại M'. a) Tìm tập hợp điểm M'. b) Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN.. V.. Phép chiếu song song. Dạng 1: Vẽ hình chiếu của một hình trong không gian lên một mặt phẳng theo phương chiếu cho trước Phương pháp giải: Gọi M là một điểm bất kì của H Dựng ảnh M ' của M trong phép chiếu song song. Tìm tập hợp H ' của các điểm M’ 68.. Gọi S là điểm ở ngoài mặt phẳng P chứa tam giác ABC. G là trọng tâm của tam giác SAB. b) Tìm ảnh của G trong phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương SC. c) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC . Tìm ảnh của MN và của tam giác MNE trong phép chiếu song song ở câu a. d) Tìm ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên P theo phương trung tuyến SI của tam giác SAB Gợi ý. 38.

(39) a) Gọi SI là trung tuyến của tam giác SAB. Từ G trên SI vẽ đường thẳng song song với SC cắt CI tại G’. Ta có IG '  IG 1 IC IS 3 Do đó G’ là trọng tâm của tam giác ABC. Vạy ảnh của G trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC là trọng tâm G’ của tam giác ABC b) Từ M và N vẽ các đường thẳng song song với SC cắt AC và BC tại M ' và N'. AM  AM BN  BN 1     Ta có: AC AS BC BS 2 Do đó M ' và N ' lần lượt là trung điểm của AC và BC Vậy ảnh của MN trong phép chiếu song song trên P theo phương SC là đoạn M 'N ' nối trung điểm của AC và BC. Trong phép chiếu trên, E có ảnh trên P là C. Vậy ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên (P) theo phương SC là tam giác M’N’C. c) Từ M, N, E lần lượt vẽ các đường song song với SI cắt AB tại H, K và cắt CI tại F. AH AM BK BN CF CE 1       Ta có: AI AS BI BS CI CS 2 Do đó H, K, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AI, BI ,CI Vậy ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên P theo phương SI là tam giác HKF. 69. Cho tứ diện ABCD. Hình chiếu song song theo phương d của ABCD lên. 39.

(40) mặt phẳng Plà tứ giác lồi A ' B ' C ' D ' a. Chứng minh rằng hai mặt phẳng tia chiếu của AC và BD cắt nhau theo một đường thẳng  song song với d. b. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Cho phương d // IJ và P cắt IJ. Chứng minh A ' B ' C ' D ' là hình bình hành Gợi ý. a) Gọi O là giao điểm của A'C' và B'D'. Hai mặt phẳng tia chiếu A'CC'A' và BDD'B' chứa O song song với phương d . Vậy giao tuyến d ' của chúng qua O và song song với d. b) Khi d  song song với IJ và P cắt IJ , ta có hình chiếu song song theo phương d  hay phương IJ của I và J trên P là điểm O . Vì I và J lần lượt là trung điểm của AC và BD nên O là trung điểm của A ' C ' và B ' D ' . c) A ' B ' C ' D ' là hình bình hành. 70.. Vẽ hình chiếu của tứ diện ABCD lên mặt phẳng P theo phương chiếu AB (AB không song song với mặt phẳng P) Gợi ý : Hình chiếu của tứ diện ABCD lên mặt phẳng P theo phương chiếu AB là tam giác A 'C 'D ' trong đó AB P   A '  B '; C', D ' lần lượt là giao điểm của P với các đường thẳng qua C, D và song song với AB 40.

(41) 71.. Vẽ hình chiếu của hình hộp ABCD. A1 B 1C1 D1 lên mặt phẳng P theo phương chiếu AC1 (AC1 không song song với mặt phẳng P Gợi ý : Chọn mặt phẳng chiếu P qua C1 và không chứa A - Hình chiếu của đoạn B1D là đoạn thẳng B'D' nhận C1 làm trung điểm. - Hình chiếu của đoạn CA1 là đoạn thẳng C'A' nhận C1 làm trung điểm. - Hình chiếu của đoạn BD1là đoạn thẳng B''D'' nhận C1 làm trung điểm.. 72.. Vẽ hình biểu diễn của 1 tam giác vuông nội tiếp trong 1 đường tròn. Từ đó vẽ hình biểu diễn của 1 hình vuông nội tiếp trong 1 đường tròn. Gợi ý : Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn của đường tròn trên. Khi đó tam giác ABC là hình biểu diễn của 1 tam giác vuông nội tiếp trong 1 đường tròn. Trong đó, B, C thuộc elip sao cho O, B , C thẳng hàng, A thuộc elip sao cho AB,C Qua A kẻ 2 dây ME và NF của elip sao cho ME // AC, NF // AB. Khi đó tứ giác MNEF là hình biểu diễn của hình vuông nội tiếp 1 đường tròn.. 73.. Cho hình bình hành ABCD ở trong mặt phẳng P. Gọi E là điểm ở ngoài mặt phẳng (P) a) Tìm ảnh của trọng tâm G của tam giác EAB trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương EC b) Tìm của trọng tâm G của tam giác EAB trong phép chiếu song song trên mặt phẳng EDC theo phương BC c) Gọi M, N, H, K lần lượt là trung điểm của EA, EB, EC, ED. Tìm ảnh của đa giác MNHK trong phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương EC d) Tìm ảnh của đa giác MNHK trong phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương SI với I là trung điểm của AB. Gợi ý a) G ' là trọng tâm của tam giác ABC. b) G1' là trọng tâm của tam giác ECD. c) M 'N 'C 'K ' với M ', N ', K ' lần lượt là trung điểm của AC , BC , CD d) JLRS với J, L, R, S lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC, ID. 41.

(42) 74.. Cho hai đường thẳng chéo nhau d và  cắt mặt phẳng P tại A và B a) Tìm ảnh ' của  trong phép chiếu song song trên P theo phương d. b) Tìm ảnh d ' của d  trong phép chiếu song song trên P theo phương . c) Chứng minh '//d ' Gợi ý a) ' là giao tuyến của mặt phẳng P và mặt phẳng Q b) d ' là giao tuyến của mặt phẳng P và mặt phẳng R c) Chứng minh QR. 75.. Cho đường tròn C  tâm O nằm trong mặt phẳng P) a) Tìm ảnh (C’) của (C) trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (Q)//(P) theo phương d cắt (Q) b) Mặt phẳng (R) cắt (P) theo giao tuyến (Từ O vẽ OH vuông góc với , trong R vẽ đường vuông góc với  tại H và trên đường này lấy đoạn HO '  OH. Tìm ảnh C'' của C  trong phép chiếu song song trên mặt phẳng R theo phương OO' Gợi ý a) Vẽ OI d  cắt Q tại I. C ' là đường tròn tâm I bằng C. b) C''là đường tròn tâm O ' bằng C.. Dạng 2: Một số bài toán nâng cao 76. Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. a) Hãy xác định đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng AC ' và BA' đồng thời song song với B’D’ b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của  với AI AC ' và BA' . Tính tỉ số AC ' Hướng dẫn a) Giả sử ta đã xác định được đường thẳng d cắt hai đường thẳng AC ' và BA' lần lượt tại I, J .. 42.

(43) Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABB’A’) theo phương chiếu D’B’. Khi đó hình chiếu của ba điểm thẳng hàng A, I , C ' lần lượt là ba điểm thẳng hàng A, J, K. Mặt khác, J  BA' nên J chính là giao điểm của AK và BA'. Vậy ta có cách dựng đường thẳng d theo các bước sau đây: - Dựng điểm K là hình chiếu của C ' (Theo phương chiếu D ' B ') - Lấy giao điểm J của AK và BA' - Qua J dựng đường thẳng d / / C ' K (đã có C ' K / / B ' D' ) ta được đường thẳng d cần tìm. b) Ta có A'B '  B'K  A'K  2AB (do A 'B '  AB) Vì AB // A’K  Mà IJ // C’K . AJ AB 1   JK A' K 2. AI AJ 1 AI 1     IC ' JK 2 AC ' 3. 77. Cho hình bình hành ABCD tâm O ở ngoài mặt phẳng P và có BC // P. Gọi A'B'C'D' là hình chiếu song song trên Pcủa ABCD theo phương  cắt P a) A'B'C'D' là hình gì? b) Cho biết phương  thay đổi và A'B'C’D' là hình thoi. Tìm tập hợp các ảnh O' của O trong phép chiếu trên. c) Suy ra cách xác định phương  để A'B'C'D'là hình thoi. Hướng dẫn a) O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD  hình chiếu O ' là trung điểm của A ' C ' và B ' D '  A ' B ' C ' D' là hình bình hành. b) Gọi E  AC  A 'C '; F  BD B 'D ' E, F  d là giao tuyến của (P) và (ABCD). 43.

(44) 78.. Cho hai tia Ax và By chéo nhau trong không gian. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho. a b   1 với a, b là các số thực dương cho AM AN. trước. Chứng minh đường thẳng MN luôn cắt một đường thẳng cố định. 79.. . Cho hai đường thẳng d và  chéo nhau. a) Chứng minh rằng có hai mặt phẳng cố định P và Q song song lần lượt chứa dvà (. b) Gọi d 'và ' lần lượt là hình chiếu song song trên mặt phẳng R của d và  theo phương d . Hãy chọn phương chiếu d  và R sao cho d ' // '. Hướng dẫn a) Dùng tính chất của mặt phẳng song song. b) d song song với P hay Q và không song song với dvà . R phải cắt P và Q. 44.

(45) CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. 1. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 1. Vectơ trong không gian: - Quy tắc 3 điểm:. −→ −−→ −→ AB+BC=AC. - Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có : −→ −−→ −→ AB+AD=AC - Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A0 B 0 C 0 D0 , ta có : −→ −−→ −−→0 −−→0 AB+AD+AA =AC → − − − - Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ trong không gian: → a , b ,→ c đồng phẳng ⇔ ∃ → − → − → − duy nhất bộ số (m, n) thỏa mãn: a =m b +n c 2. Góc giữa 2 đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc: - Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a0 và b0 cùng đi qua một điểm O bất kì, lần lượt song song với a và b. - Chú ý: Với α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì ta luôn có α ≤ 90o . Nếu ~u và ~v lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b, (~u, ~v ) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu α ≤ 90o và bằng 180o − α nếu α > 90o . - Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o . 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:. - Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó . a ⊥ (α) ⇔ a ⊥ b; ∀b ⊂ (α). 45.

(46) - Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.. - Định lý 2: Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau. - Định lý 3 (Định lý 3 đường vuông góc): Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α). Gọi a là đường thẳng không thuộc α đồng thời không vuông góc với α và a0 là hình chiếu vuông góc của a trên (α). Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a0 .. - Góc giữa hai mặt phẳng: Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng (α) tại O và a không vuông góc với (α). Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng a và hình chiếu a0 của a trên (α).. 46.

(47) - Khi d vuông góc với (α) ta nói góc giữa d và (α) bằng 90o . 4. Hai mặt phẳng vuông góc: - Góc giữa hai mặt phẳng: Cho (α) ∩ (β) = ∆. Gọi A là điểm tùy ý thuộc giao tuyến ∆. Tia Ax nằm trong mặt phẳng (α) và vuông góc với giao tuyến ∆ tại A Tia Ay nằm trong mặt phẳng (β) và vuông góc với giao tuyến ∆ tại A. d Khi đó góc giữa (α) với (β) là xAy. - Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o . - Định lý 1 (Tiêu chuẩn vuông góc): Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc. 47.

(48) với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. - Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thằng a nào nằm trong (α), vuông góc với giao tuyến của (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (β)... - Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.. - Định lý 4: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P ) và S 0 là diện tích hình chiếu H 0 của H trên mặt phẳng (P 0 ). Khi đó ta có công thức: S 0 = S. cos ψ. Trong đó ψ là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (P 0 ). 5. Khoảng cách:. 48.

(49) - Định nghĩa1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ), kí hiệu là d(M, (P )) (hoặc đến đường thẳng d, kí hiệu là d(M, d)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, với H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P ) (hoặc trên d). - Định nghĩa2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung của chúng cắt a tại A, cắt b tại B. Ta nói khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách giữa A và B.. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 2. BÀI TẬP. 1. Vectơ trong không gian: Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ, ba vectơ đồng phẳng Ví dụ 1.Cho tứ diện ABCD, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trọng tâm tứ diện. Chứng minh rằng: −−→ 1 −−→ −−→ 1 −→ −−→ a) M N = (AD + BC) = (AC + BD) 2 2 −→ −−→ −→ −−→ → − b) GA + GB + GC + GD = 0 −→ −−→ −→ −−→ −→ c) ∀O, ta có: OA + OB + OC + OD = 4OG Lời giải:. 49.

(50) a) Ta có:. Hay. −−→ −−→ −−→ M N = M G + GN 1 −→ −−→ 1 −→ −−→ = − (GA + GB) + (GC + GD) 2 2 1 −−→ −→ 1 −→ −−→ = (GD − GA) + (GC − GB) 2 2 1 −−→ 1 −−→ = AD + BC 2 2 −−→ 1 −→ −−→ 1 −−→ −−→ M N = (AC + CD) + (BD + DC) 2 2 1 −→ −−→ = (AC + BD) 2. b) Ta có:. −−→ −→ −−→ GA + GB = 2GM −→ −−→ −−→ GC + GD = 2GN −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ → − ⇒ GA + GB + GC + GD = 2(GM + GN ) = 0. c) Ta có:. −→ −−→ −→ −−→ → − GA + GB + GC + GD = 0 −→ −−→ −→ −−→ −→ → − ⇒ OA + OB + OC + OD + 4GO = 0 −→ −−→ −→ −−→ −→ ⇒ OA + OB + OC + OD = 4OG. Ví dụ 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng SA2 + SC 2 = SB 2 + SD2 . Lời giải:. 50.

(51) Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. −→ −−→ −→ −−→ Ta có: |OA| = |OB| = |OC| = |OD|. −→2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ SA = (SO + OA)2 = SO2 + OA2 + 2SO.OA −→2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ SC = (SO + OC)2 = SO2 + OC 2 + 2SO.OC −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ ⇒ SA2 + SC 2 = 2SO2 + OA2 + OC 2 + 2SO.(OA + OC). −→ −→ → −→ −→ −→ −→ −→ − Mà OA + OC = 0 nên ⇒ SA2 + SC 2 = 2SO2 + OA2 + OC 2 . −→ −→ −→ −−→ −−→ Tương tự ta có: ⇒ SB 2 + SD2 = 2SO2 + OB 2 + OD2 . Từ đó suy ra: SA2 + SC 2 = SB 2 + SD2 . m CA = . Ví dụ 3.Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C sao cho CB n −→ n −→ m −→ Chứng minh rằng với điểm S bất kì ta luôn có: SC = SA + SB. m+n m+n Lời giải: CA m = CB n AC m Ta suy ra = AC + CB m+n −→ m m −→ ⇒ AC = (AC + CB) ⇒ AC = AB. m+n m+n −→ −→ −→ −→ −→ −→ Vì ta có AC = SC − SA và AB = SB − SA nên: Theo giả thiết ta có:. −→ −→ SC − SA =. −→ −→ m −→ m −→ m −→ −→ (SB − SA) ⇒ SC = SA − SA + SB m+n m+n m+n −→ ⇒ SC =. n −→ m −→ SA + SB m+n m+n. 51.

(52) Ví dụ 4.Cho tứ diện ABCD, trên AD và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ cho: AM = 2M D, BN = 2N C. Chứng minh rằng: AB, DC, M N đồng phẳng. Lời giải:. −−→ −−→ −→ −−→ Ta có: M N = M A + AB + BN (1) −−→ −−→ −−→ −−→ (2) Mặt khác: M N = M D + DC + CN Lấy 2.(2) + (1) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ ⇒ 3M N = (2M D + M A) + (2CN + BN ) + (2DC + AB) −−→ −→ −−→ ⇒ 3M N = 2DC + AB −−→ 2 −−→ 1 −→ ⇒ M N = DC + AB 3 −−→ 3 −→ −−→ Vậy AB, DC, M N đồng phẳng. Ví dụ 5. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (α) cắt các tia SA, SB, SC, SG lần lượt tại A0 , B 0 , C 0 , G0 . Chứng minh rằng: 3.. SG SA SB SC = + + . 0 0 0 SG SA SB SC 0. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA −−→ −−→ −−→ 1 −−→ lấy điểm M sao cho M S = −2M A và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho N B = − N C. 2 −→ −−→ −→ Chứng minh rằng ba vectơ AB, M N , SC đồng phẳng. −−→ 2 −→ 1 −→ HD: Chứng minh M N = AB + SC. 3 3 Ví dụ 7. Cho hình hộp ABCD.EF GH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, F G; P và Q lần lượt làtrung điểm của N G và JH.. 52.

(53) −−→ −−→ −→ a) Chứng minh ba vectơ M N , F H, P Q đồng phẳng. − → −→ −−→ b) Chứng minh ba vectơ IL, JK, AH đồng phẳng. HD: −−→ −−→ −→ a) M N , F H, P Qcó giá cùng song song với (ABCD). − → −→ −−→ b) IL, JK, AHcógiácùng song song với (BDG). Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ ABC.DEF . Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE. −→ −→ −−→ a) Chứng minh ba vectơ AJ, GI, HK đồng phẳng. CN 1 FM = = . Các FA CE 3 đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và −−→ −→ −→ Q. Chứng minh ba vectơ M N , P Q, CF đồng phẳng.. b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho. Dạng 2: Ứng dụng của tích vô hướng: Ví dụ 1.Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P ). Tìm M ∈ (P ) sao cho: A = −−→ −−→ −−→ −−→ 4|M A + M B + M C + M D| đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ M A + M B + M C + M D = 4M G −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ 4(M A + M B + M C + M D) = 16M G −−→ ⇒ A = 16|M G| −−→ Như vậy, A đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ |M G| đạt giá trị nhỏ nhất. ⇔ M là hình chiếu của G trên (P ). Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ a) Xác định góc giữa các cặp vectơ: AB và A0 C 0 , AB và A0 D0 , AC 0 và BD. −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ: AB và A0 C 0 , AB và A0 D0 , AC 0 và BD. Ví dụ 3. Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB ⊥ BD. Gọi P và Q là các điểm lần −→ −−→ −→ −−→ lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho P A = k P B, QC = k QD(k 6= 1). Chứng −→ −→ minh AB ⊥ P Q. 2. Hai đường thẳng vuông góc: Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng. Phương pháp:. 53.

(54) 0 , b0 ) trong đó a0 , b0 là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song [ \ Cách 1: (a, b) = (a với a và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b 0 , b0 ) trong đó b0 là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song với b. [ \ Cách 2: (a, b) = (a Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a).. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, gọi I, J, H, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AD và BD. Tính góc giữa AB và CD trong các trường hợp sau: √ a) IJHK là hình thoi có đường chéo IH = 3IJ. b) IJHK là hình chữ nhật. Lời giải:. Ta có: \ \ IJ//AB, IK//CD ⇒ (AB, CD) = (IJ, IK) √ a) Xét ∆IJH, có: IJ = JH, IH = 3IJ [ = 120o ⇒ IJH [ = 60o ⇒ JIK \ ⇒ (AB, CD) = 60o b) IJHK là hình chữ nhật [ = 90o ⇒ JIK \ ⇒ (AB, CD) = 90o. 54.

(55) Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. √ a 3 Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = a và M N = . 2 Lời giải:. Gọi P là trung điểm của BD ⇒ P N//AB và P M//CD. \ ⇒ (AB, CD) = (P \ N, P M ) Ta có:. 1 a P N = AB = 2 2 1 a P M = CD = 2 2 √ a 3 MN = . 2 P N2 + P M2 − MN2 \ Áp dụng định lý hàm số cos ⇒ cos M PN = = 120o 2P N.P M ⇒ (P \ N, P M ) = 180o − 120o = 60o \ Vậy (AB, CD) = 60o . Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình √ thang vuông tại A và 2a 3 D, AB = 2a, AD = DC = a, SA vuông góc với đáy và SA = . Tính góc giữa: 3 a) SB và DC b) SD và BC. 55.

(56) Lời giải:. a) Ta có: \ \ CD//AB ⇒ (SB, CD) = (SB, AB) √ [ = SA = 3 Mà ∆SAB vuông tại A ⇒ tan SBA AB 3 o [ ⇒ SBA = 30 \ ⇒ (SB, CD) = 30o . b) Gọi I là trung điểm của AB ⇒ Tứ giác AICD là hình vuông cạnh a và DI//BC \ \ ⇒ (SD, BC) = (SD, DI) Ta có: 2 2 2 [ = SD + DI − SI cos SDI 2SD.DI Mặt khác: √ DI = a 2 r √ √ 4 a 21 SI = SA2 + AI 2 = a2 + a2 = 3 3√ r √ 4 a 21 SD = SA2 + AD2 = a2 + a2 = 3 3 √ [ = 42 = cos α ⇒ cos SDI 14 \ [=α Do α < 90o nên (SD, DI) =√SDI 42 \ ) Vậy (SD, BC) = α(cos α = 14 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính góc giữa:. 56.

(57) a) SB và CD. b) SB và AM. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, trong đó AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: AB ⊥ P Q. Lời giải:. Ta có:. −→ −−→ −−→ −−→ P Q = P B + BD + DQ 1 −→ −−→ 1 −−→ = AB + BD + DC 2 2 1 −→ −−→ 1 −−→ 1 −→ = AB + BD + DA + AC 2 2 2 1 −−→ −−→ 1 −→ = DB + BD + AC 2 2 1 −−→ 1 −→ = BD + AC 2 2 Mặt khác: AB ⊥ AC và AB ⊥ BD nên ta có: −→ −→ → − −→ −−→ → − AB.AC = 0 , AB.BD = 0 Từ đó suy ra:. −→ −→ → − AB.P Q = 0. 57.

(58) Vậy AB ⊥ P Q. [ = AOC [ = Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC, có: OA = OB = OC = a, AOB o \ = 90 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của OA và BC. Chứng minnh rằng: 60 , BOC o. a) ∆ABC vuông. b) OA ⊥ BC. c) IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC. Lời giải:. a) Ta có: ∆OAC là tam giác đều cạnh a ⇒ AC = a ∆OAB là tam giác đều cạnh a ⇒ AB = a √ ∆OBC là tam giác vuông cân tại A ⇒ BC = a 2 ⇒ AB 2 + AC 2 = a2 + a2 = 2a2 = BC 2 ⇒ ∆ABC vuông tại A. b) Ta có: −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ OA.BC = OA.(OC − OB) = OA.OC − OA.OB Mà:. −→ −→ −→ −→ −→ −→ 1 OA.OC = |OA|.|OC|. cos(OA, OC) = a.a. cos 60o = a2 2 −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ 1 OA.OB = |OA|.|OB|. cos(OA, OB) = a.a. cos 60o = a2 2 −→ −−→ → − ⇒ OA.BC = 0 Vậy OA ⊥ BC.. 58.

(59) c) Ta có: 1 OJ = AJ(= BC) ⇒ ∆OJA cân tại J 2 Mà IJ là trung tuyến cạnh OA ⇒ OA ⊥ IJ. Chứng minh tương tự, ta có BC ⊥ IJ. VậyIJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC. Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 , gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB 0 , B 0 C 0 , A0 D0 . a) Tính góc giữa hai đường thẳng M N và AC, AC 0 và BD. b) Chứng minh rằng: CM ⊥ AP . Lời giải:. a) Ta có: 0 , AC). \ AD0 //M N ⇒ (M\ N, AC) = (AD. Mà:. √ AC = AD0 = D0 C(= a 2). ⇒ ∆AD0 C là tam giác đều. 0 AC) = 60o ⇒ (M\ \ ⇒ (D N, AC) = 60o . −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Ta có: AC 0 .BD = (AC + AA0 ).BD Mà: BD ⊥ AC và AB ⊥ AA0 nên ta có: −−→ −→ → − −−→ −−→ → − BD.AC = 0 , AA0 .BD = 0. 59.

(60) Từ đó suy ra:. −−→0 −−→ → − AC .BD = 0. 0 , BD) = 90o . \ ⇒ (AC. b) Ta có:. −−→ −−→ BN .CM −−→ −−→ −−→ −−→ = (BB 0 + B 0 N )(CB + BM ) −−→ −−→ −−→ −−→ = BB 0 .BM + B 0 N .CB B 0 B 2 BC 2 − =0 = 2 2. ⇒ BN ⊥ CM Mà: AP//BN ⇒ AP ⊥ CM Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau. Trong (BCD) dựng tam giác P QR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR, RP và P Q. Chứng minh rằng: AP, AQ, AR đôi một vuông góc với nhau. Ví dụ 5. Cho ba tia không đồng phẳng Ox, Oy, Oz. Gọi Oa, Ob, Oc lần lượt là d zOx, d xOy. d Chứng minh rằng: Nếu Oa ⊥ Ob thì Ob ⊥ Oc và Oc ⊥ Oa. phân giác yOz, Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . Các điểm M, N chia các đoạn thẳng AD0 , DB theo cùng tỉ số k(k 6= 0, 1). Chứng minh: a) M N//(A0 BCD0 ). b) Nếu k = −. 1 thì M N//A0 C và M N ⊥ AD0 , M N ⊥ BD. 2. 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên (ABC) và (BCD) là các ∆ cân đáy BC, I là trung điểm BC. a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (ADI). b) Gọi AH là đường cao của ∆(ADI). Chứng minh rằng: AH ⊥ (BCD). Lời giải:. 60.

(61) a) Ta có: ∆ABC cân, AI là trung tuyến ⇒ AI ⊥ BC ∆DBC cân, DI là trung tuyến ⇒ DI ⊥ BC Mặt khác, trong mặt phẳng (ADI), ta có: AI ∩ DI = {I} ⇒ BC ⊥ (ADI). b) Ta có: BC ⊥ (ADI), AH ⊂ (ADI) ⇒ BC ⊥ AH. Mặt khác, ta có: DI ⊥ AH Trong mặt phẳng (BCD), BC ∩ DI = {I} ⇒ AH ⊥ (BCD). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lân SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng: BD ⊥ (SAC). b) Chứng minh rằng: SC ⊥ (AHK) và I ∈ (AHK). c) Chứng minh rằng: HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI. Lời giải:. 61.

(62) a) Ta có: BD ⊥ AC, BD ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAC), AC ∩ SA = {A} ⇒ BD ⊥ (SAC). b) Ta có: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH Mặt khác, SB ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC. SA ⊥ DC, DA ⊥ DC ⇒ DC ⊥ (SAD) ⇒ DC ⊥ AK Mà, SD ⊥ AK ⇒ AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC. Ta có: AH ⊥ SC, AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (AHK). Gọi I 0 là chân đường cao của A đến SC ⇒ SC ⊥ AI 0 Mặt khác, SC ⊥ AI ⇒ I ≡ I 0 . c) Ta có: ∆SAD = ∆SAB Mà AH, AK là hai đường cao tương ứng ⇒ SH = SK. Ta lại có HB = KD SK SH = ⇒ HK//BD ⇒ HB KD Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ HK ⊥ (SAC). Ví dụ 3. Cho√hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều, SC = a 2, K là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: a) AC ⊥ SK.. 62.

(63) b) CK ⊥ SD. Lời giải:. a) Ta có SB 2 + BC 2 = SC 2 ⇒ ∆SBC vuông tại B ⇒ SB ⊥ BC mặt khác AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB). Gọi I là trung điểm của AB, Ta có ∆SAB đều ⇒ SI ⊥ AB Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SI Trong (ABCD), AB ∩ BC = {B} ⇒ SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ AC Ta lại có, AC ⊥ IK(do IK//BD) Trong (SIK), SI ∩ IK = {I} ⇒ AC ⊥ (SIK) ⇒ AC ⊥ SH. b) Nối D với I, ta có:. ⇒ Mà, ⇒ ⇒. −→ −−→ DI.CK −−→ − → −−→ −−→ = (DA + AI)(CD + DK) −−→ −−→ − → −−→ = DA.DK + AI.CD a2 a2 − = 0. = 2 2. DI ⊥ CK SI ⊥ CK (do SI ⊥ (ABCD) CK ⊥ (SDI) CK ⊥ SD.. 63.

(64) Ví dụ 4. Cho tam diện vuông OABC đỉnh O, có OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là trực tâm ∆ABC. a) Chứng minh rằng: OH ⊥ (ABC). b) Tính độ dài đoạn OH và diện tích ∆ABC theo a, b, c. c) Gọi α, β, γ là góc tạo bởi OH với OA, OB, OC. Chứng minh rằng: cos2 α+cos2 β + cos2 γ = 1. d) Chứng minh rằng: a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C Lời giải:. a) Ta có: BC ⊥ AH, BC ⊥ OA ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ OH Chứng minh tương tự, ta có AC ⊥ OH Trong (ABC), AC ∩ BC = {C} ⇒ OH ⊥ (ABC). b) Ta có: ∆OBC vuông tại O 1 1 1 ⇒ = + 2 2 OH OA OA02 1 1 1 1 = + + ⇒ 2 2 2 OH OA OB OC 2 1 1 1 1 ⇒ = 2+ 2+ 2 2 OH a b c abc ⇒ OH = √ a2 + b 2 + c 2. 64.

(65) \ \ c) Ta có: α = (OH, OA) = AOH OH 2 OH ⇒ cos2 α = ⇒ cos α = OA OA2. OH 2 OH 2 2 và cos γ = OB 2 OC 2 1 1 1 1 ⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = OH 2 ( + + ) = OH 2 . = 1. 2 2 2 OA OB OC OH 2. Chứng minh tương tự, ta có: cos2 β =. d) Trước hết, ta chứng minh rằng: a2 tan A = b2 tan B Đẳng thức trên tương đương với. b2 sin B a2 sin A = cos A cos B. a2 sin A cos A ⇔ 2 = b sin B cos B. (∗). Đẳng thức (*) đúng, vì: BC AC = sin B sin A √ sin A AC b2 + c 2 ⇒ = =√ sin B BC a2 + c 2. Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:. √ a2 b 2 + c 2 . Như vậy, VT(∗) = √ b 2 a2 + c 2 Theo định lý hàm số cos, ta có: cos A =. AB 2 + AC 2 − BC 2 2AB.AC. 2a2 √ ⇒ cos A = √ 2 a2 + b 2 . a2 + c 2 2b2 √ Chứng minh tương tự, ta có: cos B = √ 2 a2 + b 2 . b 2 + c 2 √ a2 b 2 + c 2 Như vậy, VP(∗) = √ = VT(∗) b 2 a2 + c 2 Vậy đẳng thức (∗) đã được chứng minh. Chứng minh tương tự, ta có b2 tan B = c2 tan C. Vậy a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C. Dạng 2: Góc của đường thẳng với mặt phẳng. Phương pháp: - Tìm I = (P ) ∩ d Tìm A thuộc d, kẻ AH vuông góc với (P ) [ (d, (P )) = AIH.. 65.

(66) Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của AB, α là góc tạo bởi M C 0 và mặt phẳng (BCC 0 B 0 ). Hãy tính tan α ? Lời giải:. Gọi K là trung điểm của BC ⇒ AK ⊥ BC Gọi H là trung điểm của BK ⇒ M H//AK ⇒ M H ⊥ BC Ta có CC 0 ⊥ M H ⇒ M H ⊥ (BCC 0 B 0 ) ⇒ C 0 H là hình chiếu của C 0 M lên (BCC 0 B 0 ). 0 0 0 0 \ Như vậy, góc tạo √ bởi M C và mặt phẳng√(BCC B ) là M C H a 3 1 a 3 Ta có, AK = ⇒ M H = AK = 2 2 4 3 3a Lại có CH = CB = 4 4 r √ 9a2 0 2 0 2 ⇒ HC = CH + C C = + b2 16 √ a 3 √ M H a 3 \ Như vậy, tan α = tan M C 0H = =r 4 =√ . 0 2 2 HC 9a + 16b 9a2 + b2 16 Ví dụ 2. Cho hình chóp đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a, O là tâm đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa cạnh M N với mặt phẳng (ABCD) bằng 60o . a) Tính M N, SO. b) Tính góc giữa cạnh M N với mặt phẳng (SAO). Lời giải:. 66.

(67) a) Gọi H là trung điểm của AO ⇒ M H//SO Mặt khác, SO ⊥ (ABCD) ⇒ M H ⊥ (ABCD) ⇒ HN là hình chiếu của M N lên (ABCD) \ ⇒ Góc giữa cạnh M N với mặt phẳng (ABCD) chính là M NH o \ M N H = 60 √ 1 a 3 3a 2 Ta có: N C = BC = , HC = AC = 2 2 4 4 √ q a 10 \ N C) = ⇒ HN = HC 2 + N C 2 − 2HC.N C cos(HC, 4 √ √ HN a 10 a 10 ⇒ MN = = = 4 cos 60o 2 \ cos M NH √ √ a 10 a 30 o \ sin 60 = Ta lại có: M H = M N. sin M NH = 2 4 √ a 30 ⇒ SO = 2M H = . 2 b) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ KN//BD ⇒ KN ⊥ AC Mặt khác, SO ⊥ KN ⇒ KN ⊥ (SAC) Như vậy, M K là hình chiếu của M N lên mặt phẳng (SAC) \ ⇒ Góc giữa cạnh M N với √ mặt phẳng (SAO) chính là N M K 1 a 2 Ta có: KN = OB = 2 4 √ √ KN a 2 5 \ √ = ⇒ sin N MK = = MN 10 2.a 10. 67.

(68) √ Vậy góc giữa cạnh M N với mặt phẳng (SAO) là góc β (với sin β =. 5 ). 10. [ = α. Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy là tam giác cân đỉnh A, ABC Góc giữa cạnh BC’ với mặt phẳng (ABC) bằng β. Gọi I là trung điểm của AA0 . Biết [ = 90o . BIC a) Chứng minh rằng: ∆BIC vuông cân. b) Chứng minh rằng: tan2 α + tan2 β = 1. Lời giải:. a) Ta có ∆ABI = ∆ACI ⇒ BI = CI ⇒ ∆BIC cân tại I [ = 90o ⇒ ∆BIC vuông cân tại I. Mặt khác, BIC b) Đặt AB = a, BC = b, CC 0 = c. Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥ BC. b b2 1 2 2 2 2 Ta có: BM = BC = , AM = AB − M B = a − 2 2 4 2 2 2 AM 4a − b = ⇒ tan2 α = 2 BM b2 c2 Ta lại có: tan2 β = 2 b 4a2 − b2 + c2 Như vậy, tan2 α + tan2 β = (∗) b2 Mặt khác, ∆BIC vuông cân tại I. 68.

(69) b ⇒ BI = √ 2 2 b − 2a2 2 ⇒ AI = 2 ⇒ AA02 = 4AI 2 ⇒ c2 = 2b2 − 4a2 ⇒ 2b2 = c2 + 4a2 Thay đẳng thức trên vào (∗), ta được: tan2 α + tan2 β = 1. Ví dụ 4. Trong mặt phẳng (P ) cho tam giác vuông ABC vuông tại C. Dựng nửa đường thẳng Ax ⊥ (P ). Trên Ax lấy điểm S. Gọi D và E là hình chiếu của A lên SC, SB tương ứng. a) Chứng minh rằng: SB ⊥ (ADE). b) Chứng minh rằng: SE.SB = SD.SC. c) Cho S chạy trên Ax, hãy chứng minh rằng: i) Tồn tại một điểm cố định cách đều A, B, C, D, E. ii) Đường thẳng nối D, E luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải:. a) Ta có SA ⊥ (P ) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AC(gt) ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AD. Lại có, AD ⊥ SC(gt). 69.

(70) ⇒ AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ SB. Mặt khác, SB ⊥ AE(gt) ⇒ SB ⊥ (ADE) ⇒ đpcm. b) Vì SA ⊥ (ABC), mà BC ⊥ AC(gt) ⇒ BC ⊥ SC (định lý ba đường vuông góc). Theo câu a) thì SB ⊥ (ADE) ⇒ SB ⊥ DE. Tứ giác DEBC có hai góc đối là vuông nên nó là tứ giác nội tiếp, vì thế theo hệ thức lượng trong đường tròn, ta có: SE.SB = SD.SC . c.i) Gọi M là trung điểm của AB, thì M cố định. Trong tam giác vuông ABC và ABE ta có: M A = M B = M C; M A = M B = M E. Theo câu a) ta có AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ DB. Trong tam giác vuông ADB, thì M A = M B = M D. Kết hợp lại ta có: M A = M B = M C = M D = M E Vậy M là một điểm cố định cách đều A, B, C, D, E. c.ii) Giả sử DE ∩ BC = {I} Ta có, AI ∈ (P ), mà SA ⊥ (P ) ⇒ SA ⊥ AI Lại có AI ∈ (ADE), mà SB ⊥ (ADE) ⇒ SB ⊥ AI. Vậy AI ⊥ (SAB) ⇒ AI ⊥ AB. Gọi Ay (trong (P )) là đường thẳng vuông góc với AB, thì Ay cố định. Ta có I = Ay ∩ BC ⇒ I cố định. Mọi đường thẳng nối D, E luôn đi qua I cố định. 4. Hai mặt phẳng vuông góc: Dạng 1: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc. Ví dụ 1. Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a. Độ a 6 , SC ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng: (SAB) ⊥ (SAD). dài đoạn BD = a, SC = 2 Lời giải:. 70.

(71) Trong (SAC), gọi H là chân đường cao hạ từ I xuống SA. Ta có: BD ⊥ AC, BD ⊥ SC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA Lại có, IH ⊥ SA ⇒ SA ⊥ (BDH) Vì (SAD) ∩ (SAB) = SA, SA ⊥ (BHD) và (BHD) ∩ (SAB) = HB, (BHD) ∩ (SAD) = HD \ \ ⇒ ((SAB), (SAD)) = (BH, DH) Ta có: ∆AHI v ∆ACS(g.g) ⇒ ⇒. AH HI AI = = AS AC CS AI.CS HI = AS. Mặt khác, BD = a ⇒ ∆ABD đều √ [ = 120o ⇒ AC = a 3 Theo định lý hàm số cos ⇒ ABC √ 1 a 3 ⇒ AI = AC = 2 2 √ √ 3a 2 Mà SC = SC 2 + AC 2 = 2 a 1 Từ đó suy ra HI = = BD 2 2 ⇒ ∆BHD vuông tại H \ = 90o ⇒ BHD Vậy (SAB) ⊥ (SAD).. 71.

(72) Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2DC, DC = AD, SA vuông góc với đáy và SA = AB. a) Chứng minh rằng: ∆SBC vuông b) E là trung điểm của SB, {F } = SC ∩ (ADE). Chứng minh rằng: (SCD) ⊥ (SAD), (SBC) ⊥ (ADE), AF ⊥ (SBC). c) Hãy xác định góc giữa (ADF ) với (ABCD). Tính diện tích tứ giác AEF D theo a, biết AB = a. Lời giải:. a) Ta có ∆ABC vuông tại C ⇒ BC ⊥ AC Lại có, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC Vậy ∆SBC vuông tại C. b) Trước hết, ta xác định điểm F là giao tuyến của SC với (ADE). Trong (ABCD), gọi {O} = AC ∩ BD Trong (SBD), gọi {K} = SO ∩ DE Trong (SAC), gọi {F } = AK ∩ SC Vậy {F } = SC ∩ (ADE). Ta có: DC ⊥ DA, DC ⊥ SA ⇒ DC ⊥ (SAD) Lại có, DC ⊂ (SDC) ⇒ (SDC) ⊥ (SAD).. 72.

(73) Ta có: AD ⊥ SA, AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SB Lại có, AE ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (ADE) Do SB ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (ADE). Ta có: ⇒ Mà Và ⇒. BC ⊥ (SAC), BC ⊂ (SBC) (SBC) ⊥ (SAC) (SBC) ⊥ (ADE) (SAC) ∩ (ADE) = AF AF ⊥ (SBC).. c) Ta có: (ADF ) ∩ (ABCD) = AD, AD ⊥ (SAB) [ = 45o ⇒ Góc giữa (ADF ) với (ABCD) chính là EAB Trong (ABCD), gọi {I} = AD ∩ BC ⇒ DC là đường trung bình ∆ABI ⇒ C là trung điểm BI ⇒ F là trọng tâm ∆SBI Do đó:. 1 CO SF = = CS 3 CA. ⇒ OF//SA Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ OF ⊥ (ABCD) Gọi H là trung điểm của AB ⇒ EH ⊥ (ABCD) Từ đó ta có, AHOD là hình chiếu của AEF D xuống mặt phẳng (ABCD) ⇒ Diện tích AEF D = Diện tích AHOD. cos 45o Mà diện tích AHOD = 2.S∆AOD, 2 a2 S∆AOD = S∆ACD = 3 12 2 a ⇒ Diện tích AHOD = 6. √ a2 a2 2 o ⇒ Diện tích AEF D = . cos 45 = 6 12 √ Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD = a 3. Đáy là hình vuông cạnh 2a. Chứng minh rằng: a) (SAC) ⊥ (SBD). 73.

(74) b) (SAB) ⊥ (SCD). Lời giải: a) Ta có: ⇒ Gọi O ⇒ ⇒ Mà ⇒ Do ⇒. SA = SB = SC = SD, đáy ABCD là hình vuông S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. là giao điểm của AC và BD SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ BD AC ⊥ BD BD ⊥ (SAC) BD ⊂ (SBD) (SBD) ⊥ (SAC). b) Ta có: AB//CD AB ⊂ (SAB) CD ⊂ (SCD) ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d (với d là đường thẳng qua S và d//AB//CD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD ⇒ SM ⊥ AB và SN ⊥ CD Mà d//AB//CD ⇒ d ⊥ SM và d ⊥ SN ⇒ d ⊥ (SM N ) Ta có: (SAB) ∩ (SCD) = d, d ⊥ (SM N ) Mà (SM N ) ∩ (SCD) = SN, (SM N ) ∩ (SAB) = SM \ ⇒ Góc giữa hai mặt√phẳng (SAB) và √ (SCD) bằng (SM, SN ) Mặt khác, SN = SM = SB 2 − BM 2 = a 2 ⇒ SM 2 + SN 2 = 4a2 = M N 2 ⇒ ∆SM N vuông cân tại S \ ⇒ (SM, SN ) = 90o ⇒ (SAB) ⊥ (SCD). Ví dụ 4. Trong mặt phẳng (P ) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Các tia Bx, Dy ⊥ (P ) và cùng chiều. Các điểm M, N thay đổi trên Bx, Dy sao cho (M AC) ⊥ (N AC). Đặt BM = u, DN = v. a) Chứng minh rằng: u.v = BM.DN không đổi. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của u + v. c) Xác định đoạn vuông góc chung của M N và AC. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó theo u, v. d) Chứng minh rằng (AM N ) ⊥ (CM N ). Lời giải:. 74.

(75) a) Ta có ∆BM O v ∆DON ⇒. BM BO = DO DN. ⇒. BM.DN = DO.BO =. a2 2. Vậy u.v = BM.DN không đổi. b) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: √ u + v > 2 uv. √ Từ câu a) suy ra u + v > a 2. √ a 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của u + v là a 2 ⇔ u = v = . 2 √. c) Từ Bx và Cy ⊥ (P ) ⇒ (DBM N ) ⊥ (ABCD). Do (DBM N ) ∩ (ABCD) = DB, mà AC ⊥ DB (do ABCD là hình vuông) ⇒ AC ⊥ (DBM N ). Trong (DBM N ) kẻ OK ⊥ M N. Do AC ⊥ (DBM N ) ⇒ AC ⊥ OK. Vậy OK chính là đoạn vuông góc chung của AC và M N . Ta có: (M AC) ∩ (N AC) = AC, AC ⊥ (DBM N ) Mà (DBM N ) ∩ (AM C) = OM, (DBM N ) ∩ (AN C) = ON \ ⇒ Góc giữa (AN C) và (AM C) bằng M ON = 90o Trong tam giác vuông M ON , theo hệ thức lượng ta có: 1 1 1 OM 2 + ON 2 = + = OK 2 OM 2 ON 2 OM 2 .ON 2. 75.

(76) a2 2 a2 )(u + ) OM .ON 2 2 OK 2 = = OM 2 + ON 2 v 2 + u 2 + a2 a2 a2 v 2 u2 + (u2 + v 2 ) + 2 4 = 2 2 2 v +u +a 2. ⇒. Thay uv =. 2. (v 2 +. a2 , ta có: 2. ⇒. a2 2 (u + v 2 + a2 ) a2 2 2 OK = = v 2 + u 2 + a2 2 √ a 2 OK = . 2. d) Ta có CO ⊥ (DBM N ), mà OK ⊥ M N ⇒ CK ⊥ M N (theo định lý ba đường \ là góc tạo bởi hai mặt vuông góc). Lập luận tương tự, ta có AK ⊥ M N ⇒ AKC phẳng (CM N ) và (AM N ). √ a 2 \ = 90o Do OK = OA = OC = ⇔ AKC 2 ⇒ (AM N ) ⊥ (CM N ). Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), hai đường cao BE, DF của ∆BCD giao nhau tại O, DK ⊥ AC. a) Chứng minh rằng: (ACD) ⊥ (ABE), (ACD) ⊥ (DF K) b) H là trực tâm ∆ACD. Chứng minh rằng: OH ⊥ (ACD). Ví dụ 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có đáy là hình vuông cạnh a, a đường cao AA0 = a. Điểm M là trung điểm của CC 0 . Xác định để (A0 BD) ⊥ (M BD). b Ví dụ 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Hai điểm M và N di động trên hai đoạn BC và CD. Đặt BM = x, DN = y(0 < x, y < a). \ a) Chứng minh rằng: (SAM ) ⊥ (SM N ) ⇔ AM N = 90o . Khi đó, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y. b) Tìm hệ thức giữa x và y để góc giữa hai mặt phẳng (SAM ) và (SAN ) bằng 45o . Dạng 2: Xác định chân đường vuông góc của một điểm xuống một mặt phẳng. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. a) Xác định chân đường vuông góc hạ từ M ∈ SA xuống (SBC).. 76.

(77) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, (α) qua O và song song với BC và SA . Hãy xác định hình chiếu vuông góc của điểm S đến (α) . Lời giải:. a) Ta có: BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) Trong (SAB), kẻ M H ⊥ SB Từ đó ta cũng có BC ⊥ M H ⇒ M H ⊥ (SBC) Vậy H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA. b) Trước hết, ta xác định (α), Ta có (α) qua O và song song với BC ⇒ (α) ∩ (ABCD) = EF (O ∈ EF, EF//BC) Mà (α)//SA ⇒ (α) ∩ (SAB) = F P (F P//SA) Từ P , kẻ P Q sao cho P Q//BC (Q ∈ SC) Vậy (α) là (EF P Q). Trong (SAB), kẻ SK ⊥ P F Vì BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SK ⇒ SK ⊥ (α) Vậy K là hình chiếu vuông góc của điểm S đến (α) . Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhât, SA vuông góc với đáy, M di động trên SA. a) Chứng minh rằng: (M CD) ⊥ (SAD). b) Tìm hình chiếu S 0 của S trên (M CD). Chứng minh rẳng S 0 chạy trên một cung tròn cố định.. 77.

(78) c) Tìm hình chiếu của B trên (M CD). Lời giải:. a) Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) Mà CD ∈ (M CD) ⇒ (M CD) ⊥ (SAD) Vậy (M CD) ⊥ (SAD). b) Trong (SAD), hạ SS 0 ⊥ M D Mặt khác, SS 0 ⊥ CD ⇒ SS 0 ⊥ (M CD) Vậy S 0 là hình chiếu của S trên (M CD). Ta có ∆SS 0 D vuông tại S 0 ⇒ S 0 nằm trên đường tròn đường kính SD thuộc (SAD) Giới hạn: Khi M ≡ A ta có S 0 ≡ A Khi M ≡ S ta có S 0 ≡ S Vậy M chạy trên cung tròn _ SS 0 A cố định. c) Dựng (α) chứa BC và (α)//(SAD) Do (SAD) ⊥ (M CD) ⇒ (α) ⊥ (M CD) Vì (M CD)//AB ⇒ (M CD) ∩ (SAB) = M N (M N//AB, N ∈ BP ) Trong (α), kẻ BH ⊥ CN ⇒ BH ⊥ (M CD) Vậy H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (M CD). Dạng 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng.. 78.

(79) Phương pháp: * Tìm giao tuyến (P ) ∩ (Q) = ∆ Trong (P ) tìm a vuông góc với ∆, trong (Q) tìm b vuông góc với ∆ và a, b cắt nhau tại I ((P ), (Q)) = (a, b) Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì chúng ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính. 0 0 0 Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 2a. Đáy là √ B C có độ dài cạnh bên bằng 0 tam giác vuông tại A có AB = a, AC = a 3. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính cos của góc giữa AA0 và B 0 C 0 .. Lời giải:. Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A0 H ⊥ (ABC). Trong (ABC), kẻ đường thẳng d qua A và song song với BC 0 A, BC) = (A 0 A, d) \ Như vậy, (A\ 0 Hạ A I ⊥ d(I ∈ d) Ta có: d ⊥ A0 I, d ⊥ A0 H ⇒ d ⊥ (A0 IH) ⇒ d ⊥ IH. Trong (ABC), hạ AK ⊥ BC(K ∈ BC) ⇒ AIHK là hình chữ nhật. Ta có: ⇒. 1 1 1 4 = + = 2 2 2 2 AK AB AC 3a √ a 3 AK = 2. 79.

(80) √ a 3 ⇒ IH = 2 √ a ⇒ AI = AH 2 − IH 2 = 2 AI 1 ⇒ cos(A0\ A, B 0 C 0 ) = 0 = . AA 4 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, có A ∈ (α). Gọi B 0 , C 0 lần lượt là hình chiếu của a B, C lên (α) sao cho tam giác AB 0 B 0 là tam giác đều cạnh a. Giả sử CC 0 = a, BB 0 = . 2 Gọi I là giao điểm của BC và B 0 C 0 . Chứng minh rằng: a) IA ⊥ AC. b) Tính góc giữa (α) và (ABC). Lời giải:. a) Ta có: BB 0 là đường trung bình ∆ICC 0 ⇒ B 0 là trung điểm của IC 0 IC 0 ⇒ IB 0 = B 0 C 0 = 2 1 0 0 0 Mà AB = B C = a ⇒ AB 0 = IC 0 . 2 ⇒ ∆AIC 0 vuông tại A ⇒ AI ⊥ AC 0 Mà AI ⊥ CC 0 ⇒ AI ⊥ (ACC 0 ) ⇒ AI ⊥ AC. √ √ b) Ta có: AI = a 3, AC = a 2 Như vậy: √ 1 a2 3 0 0 S∆AIC = AI.AC = 2 2 36 80.

(81) √ 1 a2 6 S∆AIC = AI.IC = 2 2 Do CC 0 ⊥ (α) và A, I ∈ (α) ⇒ ∆AIC 0 là hình chiếu của ∆AIC lên (α) √ 0 2 S∆AIC = ⇒ cos((α),\ (ABC)) = S∆AIC 2 ⇒ ((α),\ (ABC)) = 45◦ . Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại B, có AB = 2a, BC = a. Trên hai tia Ax và Cy cùng vuông góc về một phía so với (ABC) lấy hai điểm A0 và C 0 sao cho AA0 = 2a, CC 0 = x. 0 BC 0 = 90◦ . \ a) Xác định x để A. b) Với x = 4a. Hãy chứng minh rằng ∆A0 BC 0 vuông. c) Xác định cos γ với γ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A0 BC 0 ). Lời giải:. a) Ta có: BC ⊥ AB, BC ⊥ A0 B ⇒ BC ⊥ (AA0 B) ⇒ BC ⊥ A0 B. TH1: Nếu x > 0 ⇒ C 0 6= C Ta có: 0 BC 0 = 90◦ ⇔ A0 B ⊥ BC 0 \ A Mặt khác: A0 B ⊥ BC. 81.

(82) ⇒ A0 B ⊥ (BCC 0 ) ⇒ A0 B ⊥ CC 0 0 B = 45◦ ). \ Do CC 0 //AA0 ⇒ A0 B ⊥ AA0 (vô lí, vì AA TH2: Nếu x = 0 ⇒ C 0 ≡ C 0 BC 0 = 90◦ . \ Khi đó, A0 B ⊥ BC 0 hay A 0 BC 0 = 90◦ . \ Vậy x = 0 thì A. b) Gọi D là trung điểm của CC 0 ⇒ A0 ACD là hình chữ nhật ⇒ A0 D = AC =. √ √ AB 2 + BC 2 = a 5. 1 Và DC 0 = CC 0 = 2a 2 √ ⇒ A0 C 0 = A0 D2 + DC 02 = 3a √ √ Mặt khác: A0 B = 2a 2, BC 0 = a 17 ⇒ A0 B 2 + A0 C 02 = BC 02 (= 17a2 ). ⇒ ∆A0 BC 0 vuông tại A0 . Ta có: √ 1 S∆A0 BC 0 = A0 B.A0 C 0 = 3a2 2 2 1 S∆ABC = AB.BC = a2 2 Do CC 0 , AA0 ⊥ (ABC) ⇒ ∆ABC là hình chiếu của ∆A0 BC 0 lên (ABC) √ S∆ABC 2 0 ), (ABC)) = \ ⇒ cos γ = cos((A0 B 0 C = S∆A0 BC 0 6 √ 2 Vậy cos γ = . 6 Ví dụ 4. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau và bằng α(0◦ < α < 90◦ ). a) Chứng minh rằng: Hình chiếu H của S trên (ABC) là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. b) Tính tổng diện tích bốn mặt của tứ diện thao a và α. Ví dụ√5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3. Mặt phẳng (SAB)vuông góc với đáy, gọi M và N lần lượt là trung điểm. 82.

(83) của AB và BC. Tìm cos của góc giữa SM và DN . Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D” cạnh a. Điểm M thuộc BC 0 , N thuộc đoạn AB 0 . Đường thẳng M N tạo với mặt (ABCD) góc α. Chứng minh rằng: MN > √. a . 2 cos α + sin α. Ví dụ 7. Cho tứ diện SABC; SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. H là hình chiếu của S lên (ABC);O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: OH 2 1 . +2= 2 SH 4 cos A. cos B. cos C Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), tam giác BCD vuông ở C. Từ B \ = CBD \ = α. Chứng minh rằng: hạ BH ⊥ AC, BK ⊥ AD. Giả sử BKH CD2 BC 2 − = 1. BC 2 AB 2 Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, có AB = [ a, BAC = α, SA ⊥ (ABC), SA = a, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là β. r 1 + cos2 α a) Chứng minh rằng: tan α. tan β = . cos α b) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì để β = 60◦ . 5. Khoảng cách: Dạng 1: Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Phương pháp: Cách 1: Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P ) theo giao tuyến ∆ Từ M hạ M H vuông góc với ∆(H ∈ ∆) M H = d(M, (P )) Cách 2: Kẻ ∆//(P ). Ta có: d(M, (P )) = d(∆, (P )) Chọn N ∈ ∆. Lúc đó, d(M, (P )) = d(∆, (P )) = d(N, (P )). Cách 3: Nếu M N ∩ (P ) = I. Ta có:. d(M, (P )) MI = . d(N, (P )) NI. MI . Tính d(N, (P )) và NI MI d(M, (P )) = .d(N, (P )). NI Chú ý: Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P ) dễ hơn tìm khoảng cách từ M đến (P ).. 83.

(84) Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a. √ [ = 30◦ . Tính SH và d(B, (SAC)). Mặt phẳng (SBC) ⊥ (ABC), SB = 2a 3, SBC Lời giải:. Hạ SH ⊥ BC Mà (SBC) ⊥ (ABC), (SBC) ∩ (ABC) = BC ⇒ SH ⊥ (ABC). Trong (ABC), hạ HM ⊥ BC Mà SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SHM ). Trong (SHM ), hạ HK ⊥ SM Mà HK ⊥ AC ⇒ HK ⊥ (SAC). ⇒ HK = d(H,√ (SAC)). Ta có: SH = a 3, BH = 3a, HC = a HC 1 = . BC 4 HM HC 1 3a Ta có: = = ⇒ HM = AB AC 5 5. ⇒. Ta có ∆SHM vuông tại H, HK ⊥ SM 1 1 1 = + 2 2 HK SH HM 2 1 28 ⇒ = 2 2 HK 9a ⇒. 84.

(85) √ 3a 7 ⇒ HK = 14 d(B, (SAC)) BC Ta có: = =4 d(H, (SAC)) HC √ 6a 7 ⇒ d(B, (SAC)) = . 7 Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA0 , AD, CC 0 . Gọi O là tâm mặt ABCD. Tính d(B, (M N P )), d(O, (M N P )). Lời giải:. Kí hiệu (α) là mặt phẳng (M N P ). Trước hết ta xác định các giao điểm X, Y, Z của (α) với các đường thẳng BC, BA, BB 0 .M N cắt DD0 tại R.P R cắt DC tại Q. Khi đó X, Y lần lượt là giao điểm của N Q với BC, BA.Z là giao điểm của XP với BB 0 . 3a 3a 3a Ta có: BX = , BY = , BZ = . 2 2 2 Do đó theo ví dụ 3.1.4, trong tứ diện vuông BXY Z ta có: 1 1 1 1 4 = + + = . d2 (B, (α)) BX 2 BY 2 BZ 2 3a2 √ a 3 Do đó: d(B, (α)) = . 2 d(O, (α)) OK 1 BO cắt N Q tại K. Khi đó = = d(B, (α)) BK 3 √ a 3 Do đó d(O, (α)) = . 6. 85.

(86) Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 . Đáy ABC là tam giác vuông tại [ = 60◦ , AB = 2a, AA0 = 3a, M là trung điểm của B 0 C 0 . Tính d(C, (A0 BM )) và A, ABC góc giữa hai mặt phẳng (A0 BM ) và (ABC). Lời giải:. Trong (BCC 0 B 0 ), gọi O là giao điểm của B 0 C và BM B0M 1 B0O 1 B0O = = ⇒ 0 = ⇒ OC BC 2 BC 3 0 0 0 0 c0 Ta có ∆A B C vuông tại A , B = 60◦ 1 ⇒ A0 B 0 = B 0 C 0 = B 0 M = M C 0 2 0 0 c0 = 60◦ ∆M B A có A0 B 0 = M B 0 , B ⇒ ∆M B 0 A0 đều. ∆BM B 0 = ∆BA0 B 0 (c.g.c) ⇒ BM = BA0 ⇒ ∆BM A0 cân. Gọi J là trung điểm của M A0 ⇒ B 0 J ⊥ M A0 (∆B 0 M A0 đều ). BJ ⊥ M A0 (∆BM A0 cân tại B). ⇒ M A0 ⊥ (BJB 0 ). Trong(BJB 0 ), hạ BH ⊥ BJ Mà BH ⊥ M A0 ⇒ BH ⊥ (BM A0 ) ⇒ BH = d(B, (A0 BM )). √ Ta có B 0 J là đường cao tam giác đều cạnh 2a ⇒ B 0 J = a 3 Xét tam giác vuông BB 0 J, có B 0 J ⊥ M A0 1 1 1 1 4 + 0 2 = 2+ 2 = 2 02 BB BJ 9a 3a 9a 3a ⇒ B0H = . 2 3a 0 ⇒ d(B, (A BM )) = . 2. ⇒. 1. B0H 2. =. 86.

(87) Mà. d(B, (A0 BM )) B0O 1 = = ⇒ d(C, (A0 BM )) = 3a. 0 d(C, (A BM )) CO 2. Ta có (ABC)//(A0 B 0 C 0 ) \ ⇒ ((A0 BM ), (ABC)) = ((A0 BM\ ), (A0 B 0 C 0 )) Mặt khác: (A0 BM ) ∩ (A0 M B 0 ) = A0 M A0 M ⊥ (B 0 JB) (B 0 JB) ∩ (A0 B 0 M ) = JB 0 (B 0 JB) ∩ (A0 M B) = JB \0 0 0 \0 ⇒ ((A0 BM √ ), (A 0B C )) = (JB, JB ) 0 JB = a 3, BB = 3a BB 0 √ 0 \ ⇒ tan BJB = = 3 JB 0 \0 = 60◦ ⇒ BJB \ Vậy ((A0 BM ), (ABC)) = 60◦ . Ví dụ 4. Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có AB = a, AD = 2a, AA0 = \ = 60◦ . 3a, BAD a) Chứng minh rằng: AB ⊥ BD0 . b) Tính d(A0 , (ABD0 )). Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông tại A và B, √ AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với (ABCD), SA = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính d(H, (SCD)). Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 cạnh a. Lấy E ∈ AA0 , F ∈ BC a a sao cho: AE = , BF = . Gọi O là tâm hình lập phương. Tính d(B 0 , (OEF )). 3 4 [ \ Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là √hình thang , ABC = BAD = 90 , BA = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 2. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính d(H, (SCD)). ◦. Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 , đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA0 = 2a. Gọi M là trung điểm của A0 C 0 , I là giao điểm của AM và A0 C. Tính d(A, (IBC)). Dạng 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp:. 87.

(88) Cách 1: Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d0 Tính độ dài đoạn vuông góc chung. Cách 2: Tìm mặt phẳng (P ) chứa d0 và song song với d Khi đó d(d, d0 ) = d(d, (P )) = d(A, (P )) với A là một điểm bất kỳ thuộc d. Chú ý: Mặt phẳng (P ) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm B ∈ d0 dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó (P ) ≡ (d0 , ∆)). Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh bằng a. Tính d(AC, DC 0 )). Lời giải:. Gọi I là tâm hình vuông ADD0 A0 . Vì AC song song với mặt phẳng (DC 0 A0 ) nên d(AC, DC 0 ) = d(A, (DC 0 A0 )). Mặt khác: d(A, (DC 0 A0 )) IA = = 1. 0 0 0 d(D , (DC A )) ID0 Do đó d(A, (DC 0 A0 )) = d(D0 , (DC 0 A0 )). Trong tứ diện vuông D0 DC 0 A0 ta có: 1 d2 (D0 , (DC 0 A0 )). =. 1 D0 A02. +. 1 D0 D2. +. 1 D0 C 02. =. 3 . a2. a Do đó d(AC, DC 0 ) = d(A, (DC 0 A0 )) = d(D0 , (DC 0 A0 )) = √ . 3 Ví dụ 2. Cho lăng trụ đều ABC.A0 B 0 C 0 , cạnh đáy bằng a. M, N, I lần lượt là \ trung điểm của AA0 , AB, BC. Biết ((C 0 AI), (ABC)) = 60◦ . Tính d(M N, AC 0 ). Lời giải:. 88.

(89) Cách 1: Ta có: ∆ABC đều, IB = IC → AI ⊥ BC Mà CC 0 ⊥ AI ⇒ AI ⊥ (BCC 0 B 0 ) \ \ ⇒ ((C 0 AI), (ABC)) = (CI, C 0 I) 0 IC = 60◦ . [ ⇒C Mặt khác: (C 0 AI) ⊥ (BCC 0 B 0 ), (C 0 AI) ∩ (BCC 0 B 0 ) = CI ⇒ BH ⊥ (C 0 IA). Gọi O là trung điểm AC 0 , M là trung điểm AA0 1 1 ⇒ OM = A0 C 0 = AC = IN. 2 2 ⇒ OM N I là hình bình hành ⇒ M N//OI. Mà OI ⊂ (C 0 AI) ⇒ M N//(C 0 AI). 1 ⇒ d(M N, AC 0 ) = d(M N, (C 0 AI)) = d(N, (C 0 AI)) = d(B, (C 0 AI)) 2 √ √ 1 1 1 a 3 a 3 = BH = BI. sin 60◦ = . . = . 2 2 2 2 2 8 Cách 2: Tính khoảng cách theo thể tích 1 1 1 a3 Ta có: VC 0 AN I = .SAIN .CC 0 = . .SABC .CC 0 = . 3 3 4 32. 89.

(90) √ SCIN a2 3 Lại có: SC 0 AI = . = cos 60◦ 4 √ 0 AIN 3V a 3 C ⇒ d(N, (C 0 AI)) = = . SC 0 AI 8 Ví dụ 3. Cho khối lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD0 . Tính khoảng cách giữa CK và A0 D. Lời giải:. Gọi M là trung điểm của BB 0 . Ta có A0 M//KC nên d(CK, A0 D) = d(CK, (A0 M D)) = d(K, (A0 M D)). Đặt d(CK, A0 D) = x ta có: 1 VA0 .M DK = VK.A0 M D = .SA0 M D .x (1) 3 1 Mặt khác VA0 .M DK = VM.A0 DK = .SA0 KD .d(M, (A0 KD)) 3 1 1 a3 = C. a. a .a = . (2) 2 2 12 a3 Từ (1) và (2) ⇒ SA0 M D .x = . (3) 4 Hạ DI ⊥ A0 M ⇒ AI ⊥ A0 M ⇒ AI.A0 M = AA0 .d(M, AA0 ) = a2 2a ⇒ AI = √ 5. 90.

(91) 4a2 9a2 3a = ⇒ DI = √ . 5 5 √5 1 3a 5 1 a .(4) Vậy SA0 M D = .DI.A0 M = . √ . 2 2 5 2 a Từ (3) và (4) ⇒ x = . 3 ⇒ DI 2 = DA2 + AI 2 = a2 +. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại B. Từ A, B kẻ các đoạn thẳng AA0 , BB 0 cùng vuông góc với (ABC); AA0 = BB 0 ; A0 , B 0 cùng phía so với (ABC). Dựng đường vuông góc chung của A0 B và B 0 C. Lời giải:. Kẻ B 0 D//A0 B, B 0 D cắt AB tại D. Do tứ giác ABB 0 A0 là hình chữ nhật nên AB = A0 B 0 . Mà tứ giác A0 BDB 0 là hình bình hành ⇒ A0 B 0 = BD ⇒ AB = BD. Do CB ⊥ AB ⇒ ∆ACD cân tại C. Từ B kẻ BK ⊥ CD. Mà BB 0 ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (BB 0 K). Từ B kẻ BH ⊥ B 0 K. Do DC ⊥ (BKB 0 ) ⇒ DC ⊥ BH ⇒ BH ⊥ (B 0 DC). Từ H kẻ đường thẳng song song với A0 B, cắt B 0 C tại J. Từ J kẻ đường thẳng song song với BH, cắt A0 B tại I. Khi đó do BH ⊥ (B 0 DC) nên BH ⊥ B 0 C.. 91.

(92) Lại có BH ⊥ B 0 D, B 0 D//A0 B ⇒ BH ⊥ A0 B. Do IJ//BH suy ra IJ là đường vuông góc chung của B 0 C và A0 B. Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều AB = BC = CD = a, cạnh SA = a, SA ⊥ (ABCD). Xác định đường vuông góc chung của BD và SC. Tính độ dài đường vuông góc chung đó. Lời giải:. Kẻ đường thẳng qua C song song với BD cắt AB tại K. Kẻ BH ⊥ SK. Từ H kẻ HJ//BD(J ∈ SC). Từ J kẻ JI//BH(I ∈ BD). Khi đó do KC//BD ⇒ KC ⊥ AB. Mà KC ⊥ SA ⇒ KC ⊥ (SAK) ⇒ KC ⊥ BH. Ta có BH ⊥ SK, BH ⊥ KC ⇒ BH ⊥ (SKC) ⇒ BH ⊥ SC. Mặt khác BH ⊥ SK, BH ⊥ KC( do BH//IJ) ⇒ IJ ⊥ SC và IJ ⊥ BD. ⇒ IJ là đường vuông góc chung của SC√và BD. \ = 60◦ ⇒ BK = a ; KC = a 3 . Ta có KBC 2 2 Do tứ giác SABH là tứ giác nội tiếp nên KH.KS = KB.KA. r √ a 3a 9a2 a 13 2 = . Mà KB = ; KA = .KS = a + 2 2 4 2. 92.

(93) a 3a √ . KH 3 3a 13 2 2 ⇒ = . Suy ra KH = √ = 26 KS 13 a 13 2 KH CJ CJ 3 Do = ⇒ = . KS SC SC 13. √ HJ SJ 10 10 5a 3 Ta có = = ⇒ HJ = KC = . KC SC 13 13 13 BI 5 Do BI = HJ ⇒ = . BD 13 BI 5 Vậy I ∈ BD sao cho = . BD 13 √ √ √ BH BK a 13 a 13 13 Khi đó = = ⇒ BH = ⇒ IJ = . SA SK 13 13 13 Ví dụ 6. Cho hai tia Ax, By chéo nhau, góc giữa chúng bằng 60◦ , nhận AB = a làm đường vuông góc chung. Trên By lấy C sao cho BC = a. Gọi D là hình chiếu của C lên Ax. a) Tính AD và tính khoảng cách từ C lên (ABD). b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD. Ví dụ 7. Trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau(P ) và (Q), cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung đáy CD = 2x và các cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng M N là đường vuông góc chung của AB và CD. b) Tính AB và M N theo a và x. c) Xác định x để (ABC) và (ABD) vuông góc. Khi đó tính AB, xác định điểm O cách đều bốn điểm A, B, C, D và tính độ dài OA. Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: M N ⊥ BD. Tính d(M N, AC). Ví dụ 9.Cho hình lăng trụ√đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = a, AA0 = a 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính d(AM, B 0 C). Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH ⊥ √ (ABCD), SH = a 3. Tính d(DM, SC).. 93.

(94) Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60◦ . Tính d(AB, SN ).. 94.

(95) PHƢƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT 1. Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P). Phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt). 2. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ấy. 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó. 4. Các cách xác định mặt phẳng: + Biết ba điểm không thẳng hàng + Hai đường thẳng cắt nhau. + Một điểm nằm ngoài một đường thẳng. + Hai đường thẳng song song. 5. Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T. - Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có. - Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T. - Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T. - Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài. - Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là: + Tính diện tích thiết diện + Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất + Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước (hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).. 95.

(96) B. NỘI DUNG CHÍNH I. Một số phƣơng pháp dựng thiết diện I.1. Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc m t điểm n m ngo i m t đường thẳng…. 1. Phƣơng pháp giải Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). Gọi I, J là trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ). Giải: Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm. S. không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao tuyến gốc là AI, IJ.. I. Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài IJ. J. cắt SK tại E ta có E là điểm chung của. E. F A. (AIJ) và (SAD).. B. Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ là các đoạn giao tuyến tiếp theo. Thiết diện. D. là tứ giác AIJF.. C K. Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’). Giải: Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các cạnh hình bình hành ABCD.. 96.

(97) Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J. Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J. E N. A. B. M F. C. I. D J A'. B'. D'. C'. Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm th y ngay, thì để dựng nó thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP). Giải:. D. Chưa có giao tuyến gốc giữa mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt. K. phẳng(MNP) có điểm chung P với. M. mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung nữa ta tìm giao điểm O của MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB. I. N A. C M1. P E B. tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1. N1 F. O. Hình a. mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O là giao điểm của MN và M1N1  OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt AB. BC tại E, F.. 97.

(98) Tùy theo vị trí OP trong tam. D. giác ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK (hình a) hoặc tam giác I. EFI (hình b). M. N. Khi MN // M1N1 thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song. A. C. song với M1N1.. F E M1. P. O. N1 B. Hình b. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp: a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD. b. Đường thẳng d đi qua điểm C. Giải: a) d là giao tuyến gốc ta tìm. S. thêm giao điểm của d với các cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F là giao điểm của AB. AC, AD. M. với d. A. Xét (M, d) và (SAB) có M, H. Q. N. chung nối MH cắt SB tại N ta có một đoạn giao tuyến MN. Tương. P B H. D. C E. tự nối ME cắt SC tại P, nối MF cắt SD tại Q. Thiết diện là tứ giác MNPQ.. 98. F.

(99) b) Tương tự phần a. lúc này. S. E  C thiết diện là tứ giác. MNCQ. M A. Q. N B. D. H. F. E≡C. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNE). Giải: Gọi I là trung điểm SA.. S. Ta có M thuộc BI, N thuộc DI. Từ IM 1 IN    MN / / BD . IB 3 ID. Q. Xét mặt phẳng (MNE) và mặt phẳng. N P G. M. (ABCD) có E chung và MN // BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo giao tuyến. I. D A K. F. EF // BD (F  CD). B. E. C. Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K, nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK. I.2. Mặt phẳng (P) đƣợc cho bởi các tính chất song song I.2.1. Mặt phẳng (P) đi qua d v song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng l.. 99.

(100) 1. Phƣơng pháp Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l. Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’. 2. Ví dụ Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD. Giải:. S. Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là giao điểm AC và BD. Đường thẳng AH H. cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH. N. và SO. Trong mp (SBD) kẻ qua I đường I. thẳng song song với BD, gọi M, N là giao. M. D. C. điểm của đường thẳng đó và SB. SD. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN. Thiết diện là tứ giác AMHN.. O A. B. Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC. a. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P). b. Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành. Giải: a. Chọn mặt phẳng (ABC)  BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC). Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME.. 100.

(101) (P) và (BCD) có N chung và chứa. A. hai đường thẳng song song nên (P)  (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F  BD), nối MF, EN.. M. Thiết diện là tứ giác MENF. b. Theo cách dựng thiết diện ở phần. F. E. D. B. a) thiết diện là hình thang MENF. N. 1 (ME // NF) ta có ME  BC nên để 2. C. MENF là hình bình hành thì 1 NF  BC hay N là trung điểm CD. 2. Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC. Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD. Giải: A. A F. M. M. G. B E. J. J. F. N. I. D. G. B. K. K. D. N. I E C. C. H.1. H.2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ. Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G và AD // (P)  (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G và song song với AD cắt AI, ID tại M và N. 101.

(102) Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K. nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK. Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2. I.2.2. Mặt phẳng (P) đi qua m t điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l. 1. Phƣơng pháp Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng. 2. Ví dụ Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm tam giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB. AC. Giải:. S. Gọi O là giao điểm AC và BD. Ta có trọng tâm M thuộc. SO.. N. Mặt phẳng (M,SB) là (SBD) trong mp này kẻ qua M đường thẳng song song với SB cắt SD,. P D. tại N, K. Mặt phẳng (M, AC) là mặt. I. M. C. O. F K. A. E. phẳng (SAC) nên qua M kẻ. B. đường thẳng song song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI. Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB. BC tại E, F. Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.. 102. DB.

(103) Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’. Giải: Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) là. F. (ABCD) còn mặt phẳng (M, AC’). B. I. khó xác định hơn. Vậy ta chỉ cần mặt phẳng (M,. N. A. H. M E. BD). (P) cắt (ABCD) theo giao. C. D G. tuyến qua M và song song với BD. A'. cắt AB. CB. CD lần lượt tại N, F, E.. B' J. (P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và. D'. C'. song song với AC’ (trở thành bài toán 1). EF cắt AC tại I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H. Thiết diện là ngũ giác MNHJG. Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi là mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l. Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA. OB. OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp: a. Qua F song song với B’E và A’O b. Qua M song song với A’E và OH. Giải: a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và song song với A’O khó xác định hơn.. 103.

(104) Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K. (P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O. Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO '  2OI  2 A' J nên A ' JIO là hình bình hành. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ thì d cắt OA. AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA. AA ' . Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’). Thiết diện là ngũ giác FKQJM. (H1). O'. O'. A'. A'. Q. K B'. B'. H. H. J L M. O. O M. F E. F. A. T E. G. A. B. B I H1. H2. b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua M và song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E. Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE) Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB). Nối MT cắt AB tại G. Thiết diện là tam giác MLG. (H2).. 104.

(105) I.2.3. Mặt phẳng (P) qua điểm M v song song với mặt phẳng (Q). 1. Phƣơng pháp Dựa vào tính ch t: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song. Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a Khi đó (P)  (R) = a’,a’ // a. a’ qua M. Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R). Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện. 2. Ví dụ Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện là hình gì? Giải: Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD)  (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (NAD). Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD)  (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (ESD). S. Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB). . (SAB) = SB Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến E. // SB (F SC). Nối EF, ta được thiết diện. MF. F. là. tứ giác MNEF. Ta có (P) và (SCD) có MN // CD // AB) mà (P)  (SCD) = EF.. B. A N. M. Suy ra EF // MN. D. Thiết diện MNEF là hình thang.. 105. C. (CD.

(106) Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ sao cho AM : MD  D’N : NC’ . Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD). Giải:. M. A. Theo giả thiết: AM D ' N AM MD AD     MD NC ' D ' N NC ' D ' C '. D. E C. B. Theo định lý Talet đảo MN, AD’,. J. DC’ cùng song song với một mặt phẳng (P) nên MN // (C’BD). Ta có (ABCD) chứa M và (ABCD)  (C’BD) = BD. F. B'. D'. A' N I. C'. Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến ME // BD (E AB). Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’)  (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’). Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’. Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’. Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’. Nối EF, MJ thiết diện là lục giác MEFINJ.. I.3. Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc I.3.1. Mặt phẳng (P) đi qua m t điểm M v vuông góc với m t đường thẳng d. 1. Phƣơng pháp Tìm hai đường thẳng a và a’ cùng vuông góc với d khi đó (P) là mặt phẳng qua M song song với a và a’. (Dựa vào tính ch t: Nếu (P) và đường thẳng a cùng vuông góc với một đường thẳng d thì a // (P) hoặc a  (P)).. 106.

(107) 2. Ví dụ Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tam giác BCD. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB. Giải: Gọi I là trung điểm AB ta có SI. S.  AB (do tam giác SAB đều), BC  AB suy ra (P) đi qua M song song với BC, SI. Xét mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD) có M chung và cùng song song với BC nên.  P    ABCD   EF với. G. H. D. A. I B. F. M. E. C. EF qua M. và song song với BC cắt AB. CD tại E, F. Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G. Thiết diện là tứ giác EFGH. Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC. Giải: Kẻ AH  SC ta có AH  (P).. S. Ta có: BD  AC , BD  SA H. nên BD  SC N. Vậy (P) chứa AH và song song BD.. E. Gọi O là giao điểm AC và BD, E là. M. B. giao điểm của SO và AH.. C O. A. 107. D.

(108) Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N Ta được thiết diện là tứ giác AMHN. Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB = a. AA’ = a 2 , M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B. A'. B'. Giải: P. Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân tại. C'. C nên AB = a 2 . Tứ giác ABB’A’ là hình vuông  AB’  A’B. Gọi H là trung điểm AB  CH  AB. N A.  CH  (ABB’A’)  CH  A’B.. Q. H. B. M. Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.. C E. Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì  P    ABC   MN . Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ tại P. Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được thiết diện là tứ giác MNPQ. I.3.2. Mặt phẳng (P) đi qua m t đường thẳng d v vuông góc với m t đường thẳng l. 1. Phƣơng pháp Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M. Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng (P) là mặt phẳng (H, d). 2. Ví dụ. 108.

(109) Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h. Giải: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có. S. SO  ( ABC ) khi đó SO  AB , gọi M là. trung điểm AB do tam giác ABC đều nên. H. CM  AB vậy AB  ( SMC ) .. Trong mp(SMC) kẻ MH  SC ta có mặt. A. C. phẳng (AHB)  SC.. O. M. Thiết diện là tam giác AHB. 1 Ta có : SAHB  MH . AB . 2. B. Theo giả thiết AB = a. ta có MC . a 3 a 3 , OC  , 2 3. a2 SO = h, SC  SO  OC  h  3 a 3 h. 3ah 2  Ta có: MH.SC = SO.MC  MH  a 2 2 3h 2  a 2 h2  3 2 1 3a h . SAHB  MH . AB  2 4 3h 2  a 2 2. 2. 2. I.3.3. Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d v vuông góc với mặt phẳng (Q) đã cho (d xiên góc với (Q)) 1. Phƣơng pháp Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song với a. (Sử dụng tính ch t: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q)  d).. 109.

(110) 2. Ví dụ Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên bằng. 3.. Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Giải: Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm. S. SI. Do hình chóp đều nên BC  (SAI)  BC  AH . 3  3 = SA nên Mặt khác: AI  AB 2. H N. A Q. M. (P) qua MN và song song AH.. C. F. E. tam giác SAI cân ta có AH  SI vì vậy AH  (SBC) nên (P) // AH.. P. D. B. Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI. Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC). Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F và song song với BC cắt SB. SC tại Q, P. Thiết diện là tứ giác MNPQ. Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB = a. AA’ = a 2 , M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (IKC). Giải:. 110.

(111) Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC). Theo giả thiết:. A'. CI  AB  CI   ABB ' A '  CI  A ' B  CI  AA '. B'. K. C' N. A. Lại có: AA’ = AB = a 2 nên ABB’A’ là hình vuông nên. M. I. B. E. G. C. A' B  AB ', IK / / AB '  A' B  IK suy ra. A’B  (IKC). Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.. H. Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H, nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE. Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi F là trung điểm SA. M là một điểm bất kỳ trên AD. (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). Giải: Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA  (ABCD). Ta có:  AB  AD  AB   SAD   AB  SA  Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song song với AB. Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường thẳng và song song với AB cắt BC tại N. (P)  (ABCD) = MN.. S. E. F. M. B. A N. D. C. Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với AB cắt SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.. 111.

(112) Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm được cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều.. II. Các bài toán liên quan đến thiết diện II.1. Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất . 1. Một số lƣu ý: - Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết diện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng. Vì vậy ta có thể áp dụng tất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng để tính. - Công thức diện tích tam giác: 1 1 abc S  ah  ab sin C   pr  2 2 4R. p  p  a  p  b  p  c . - Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD: S. 1 AC.BD.sin  ,  =  AC, BD  2. - Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos. - Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp dụng các phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình học….. - Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm ai, i = 1,2,3… a1  a2  ...  an n  a1a2 ...an , đẳng thức khi a1= a2 =…= an. n. 2. Ví dụ Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B. a. Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK) b. Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a. Giải: a. Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng. 112.

(113) Nối IJ cắt AC tại N, nối IK cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm. b. Ta có M, N là trọng tâm các tam. A. giác ADK, ADJ nên AN . 2 2 AC  AB  AM 3 3. I M. 2 2a Suy ra MN // BC và MN  BC  . 3 3. N H D. Áp dụng định lí cosin cho tam giác AIM:. B. IM2 = IA2 + AM2 – 2IA.AMcos600 Nên IM . K. C. a 13  IN . 6. J. Gọi H là trung điểm MN ta có IH  MN và IH =. a . 2. Vậy SIMN =. 1 a2 IH .MN  2 6. Ví dụ 22: Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB. (P) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. a. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P) b. Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi. c. Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.. 113.

(114) Giải:. A. a. Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M và AC, qua M kẻ đường thẳng và song. Q. M. song với AC cắt BC tại N. Mặt phẳng (ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường. D. B. thẳng và song song với BD cắt AD tại Q N. tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP, QP thiết diện là hình bình hành MNPQ.. P C. b. MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi MN = MQ. MN // AC nên. MN MB AC   MN  MB AC AB AB. MQ // BD nên. MQ MA BD   MQ  MA BD AB AB.  MN  MQ . AC BD MA AC MB  MA   *  AB AB MB BD. Vậy MNPQ là hình thoi khi M thỏa mãn (*). c. Do MN // AC, MQ // BD nên góc giữa MN, MQ không đổi, giả sử là  SMNPQ = MN.MQ.sinα =. BD.AC MA.MB.sinα . AB2. Để diện tích thiết diện lớn nhất thì tích MA.MB lớn nhất. Mà MA + MB = AB không đổi nên tích đó lớn nhất khi MA = MB hay M là trung điểm AB. Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A. M là điểm bất kì thuộc AD (khác A. D). Xét mặt phẳng (P) qua M song song SA. CD. a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình chóp là hình gì? b. Tính diện tích thiết diện theo a. b với AB = a. SA = b và M là trung điểm AB.. 114.

(115) Giải:. S. a. Xét mặt phẳng (P) và (SAD) có M chung, (P) // SA nên qua M kẻ đường thẳng và song. Q. song với SA cắt SD tại Q. Tương tự qua M kẻ đường thẳng và song song với CD cắt BC tại. P. M. N. C. A. D. N, qua Q kẻ đường thẳng và song song với CD cắt SC tại P ta có thiết diện là tứ giác MNPQ.. B. Có MN //PQ // CD // AB. MQ // SA. SA  AB nên thiết diện là hình thang vuông tại M, Q. 1 3ab a b. SMNPQ = (MN + PQ).MQ có MN = a. MQ = = PQ nên S MNPQ  . 2 2 8. Ví dụ 24: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, đường cao SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AA’. Đặt AM = x (. a 3 a 3 ). x 3 2. a. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P) b. Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x. Tìm x để thiết diện đó lớn nhất. Giải:a. Theo giả thiết M thuộc OA’.. S. Ta có SO  (ABC)  SO  AA’, tam giác ABC đều. N. nên BC  AA’. Vậy (P) qua M song. G. H. song với SO và BC. Xét (P) và (ABC) có M chung. Do (P) // BC nên kẻ qua M. A. F O M. đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại E, F.. E B. Tương tự kẻ qua M đường thẳng. 115. A'. C.

(116) song song với SO cắt SA’ tại N, qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, Q. Ta có thiết diện là tứ giác EFGH. b. Ta có EF // BC // GH, M, N là trung điểm EF, GH nên EFGH là hình thang cân đáy 1 HG, EF. Khi đó: SEFGH = (EF + GH).MN 2. . HG SN OM 2x 3 và    HG  2 x 3  a BC SA' OA' 3 MN MA'   MN  2 3a  2 x 3 SO OA' 1 2 = (EF + GH).MN = 4 x 3  3a 3a  2 x 3 2 3 2 Cauchy 1 1  3a  3a 2 = 4 x 3  3a 6a  4 x 3  .    3 3  2  4. Ta có MN =. . SEFGH. SEFGH S EFGH. . . . . . . . . 3a 2 3a 3 đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x  . 4 8. 3a 2 3a 3 Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng khi x  . 4 8. Ví dụ 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.. 116.

(117) Giải:. A'. D'. Gọi O là tâm hình lập phương và E là tâm đáy ABCD. Đặt AB = a. Do các mặt đối diện của hình lập. B'. phương song song nên (BD’M) cắt các. F M. C' O. mặt bên theo các giao tuyến song song.. A. N. H. D. Thiết diện là hình bình hành BMD’N. E. Kẻ MH  BD’. Ta có: SBMD’N = 2SBMD’ = BD’.MH. B. C. Có BD’ = a 3  Smin  MHmin. Do BD’ và AA’ chéo nhau nên MH ngắn nhất khi và chỉ khi MH là đoạn vuông góc chung của AA’ và BD’. Cách xác định MH: Ta có AE  (BB’D’D) nên AE  BD’, AA’  (ABCD) nên AA’  AE. Từ O kẻ OF // AE (F  AA’) thì OF chính là đoạn vuông góc chung của AA’ và BD’. Ta có MH  OF hay M là trung điểm AA’. Ví dụ 26: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = c, BC = a. cạnh bên AA’ = h trong đó h2 > a2 + c2. Một mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với CA’. a. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp (P). b. Tính diện tích thiết diện.. 117.

(118) Giải:. A'. C'. a. Kẻ AE  CA’ (E  CC’). E. Do h2 > a2 + c2 nên E thuộc đoạn. B'. CC’. Kẻ BH  AC ta có BH  (ACC’A’)  BH  A’C. Mp (P) chứa AE và song song với BH.. H A. C. F. Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng qua A và song song với BH cắt BC tại I, nối. B. IE cắt BB’ tại F, nối AF ta có thiết diện. I. là tam giác AEF. Gọi  là góc giữa (AEF) và (ABC). Ta có ABC là hình chiếu vuông góc của S AEF trên mp(ABC). Do vậy: S ABC  S AEF .cos  S AEF  ABC cos Ta có   CAE ngoài ra CAE  CA' A (cùng phụ với góc A’CA) AA' h 1  cos   ac ; S = ABC A 'C 2 a 2  c2  h2 ac 2 Vậy SAEF = a  c 2  h2 . 2h Ví dụ 27: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A. Lấy S’ đối xứng với S qua A. gọi M là trung điểm SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua S’, M song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích thiết diện đó khi SA = a 2 . Giải:. S. + Dựng thiết diện: Trong tam giác SAC M. nối S’M cắt AC tại N.. Q. Do (P) // BC nên (P) cắt (ABC) theo. A. giao tuyến qua N và song song với BC. N P. cắt AB tại P. Tương tự (P) cắt (SBC). B. theo giao tuyến qua M và song song với S'. 118. E. C.

(119) BC cắt SB tại Q. Thiết diện là tứ giác MNPQ. Do tam giác ABC vuông cân tại C nên BC  AC, BC  SA  BC  (SAC)   MQ / / NP BC  MN. Ta có   MNPQ là hình thang vuông.  MQ  MN 1 + Tính diện tích thiết diện: S   MQ  NP  .MN 2 Xét tam giác SCS’ có S’M, CA là trung tuyến nên N là trọng tâm tam giác SCS’. Xét tam giác ACB vuông cân tại C suy ra AC  CB  a 2 . NP AN 1 1 a 2 Từ NP // BC ta có    NP  BC  BC AC 3 3 3 Từ MQ // BC và M là trung điểm SC nên MQ SM 1 1 a 2 .    MQ  BC  BC SC 2 2 2  ME  AC  Gọi E là trung điểm AC ta có ME // SA   1 a 2  ME  SA   2 2 a 2 a 2 a 2 a 5 NE = EA – AN =    MN  ME 2  NE 2  2 3 6 3 1  a 2 a 2  a 5 5a 2 10   Vậy S   . . 2 2 3  3 36 Ví dụ 28: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a. cạnh bên a 6 . Xét đường thẳng d đi qua A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua d và C’. a. Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a. b. Tính góc giữa (P ) và (ABCD). Giải:. D'. C'. a. Gọi I, J là giao điểm của d và A'. CD, BC,. M  d  JC ', N  d  IC '. M. Thiết diện là tứ giác AMC’N. có tứ giác AMC’N là hình bình. B' N. D. I. C. A. 119. B J. Ta.

(120) hành và M, N là trung điểm của BB’, DD’. Từ đó suy ra AN=NC’ kết hợp AMC’N là hình bình hành nên thiết diện là hình thoi. S AMC ' N . 1 AC '.MN , MN  a 2; AC '  AC 2  CC '2  2a 2 2. S AMC ' N . 1 AC '.MN  2a 2 . 2. b. Ta có tứ giác ABCD là hình chiếu của tứ giác AMC’N trên (ABCD) gọi  là góc giữa (P) và (ABCD) theo công thức diện tích hình chiếu ta có: S ABCD  S AMC ' N .cos. Mà SABCD = a2, SAMC’N = 2a2  cos . 1    600 . 2. Ví dụ 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a. chiều cao SO =. a 6 . 2. Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện vừa dựng. Giải: S. H N E. M C. B O A. D.  SO   ABCD   SO  BD  BD   SAC   BD  SC *) Ta có  AC  BD . (P) là mặt phẳng qua A và song song với BD. 120.

(121) Trong tam giác SAC kẻ AH  SC, AH cắt SO tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB tại M, N. Nối AM, AN, MH, NH được thiết diện là tứ giác AMHN. *) Do BD  (SAC)  MN  (SAC)  MN  AH. Ta có: SAMHN =. 1 MN.AH. 2. Ta có: SA  SO2  OA2  a 2 nên tam giác SAC đều suy ra H là trung điểm SC và E là trọng tâm tam giác SAC . MN SE 2 2a 2    MN  BD SO 3 3. Mặt khác AH là đường cao của tam giác đều cạnh a 2 nên AH . a 6 2. 1 a 6 2a 2 a 2 3 Vậy SAMHN = . . .  2 2 3 3. Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao a. a. Dựng thiết diện của lăng trụ tạo bởi (P) qua B’ và vuông góc với A’C. b. Tính diện tích của thiết diện nói trên. Giải: a. Gọi E là trung điểm AC ta có:  BE  AC  BE   ACC ' A'  BE  A'C  BE  CC ' . M. A. E. C. N B. (P) là mặt phẳng qua B’ và song song với BE.. O. Gọi E’ là trung điểm A’C’ ta có (P)  (A’B’C’) = B’E’. Gọi M là trung điểm A'. AE. Ta chứng minh E’M vuông góc A’C.. E'. Thật vậy: Gọi O là giao điểm EE’ và A’C. B'. Ta có EE’ = A’E’ = a. OE’ = ME =. a nên A ' E ' O  MEE ' (cgc) 2. 121. C'.

(122)   A ' E ' M  E ' ME Mà   E ' A ' O  A ' E ' M  900 0   E ' ME  ME ' E  90. Suy ra: E’M  A’C hay (P)  (AA’C’C) = E’M. Qua M kẻ đường thẳng song song BE cắt AB tại N. Thiết diện là hình thang MNB’E’. b. Do BE  (ACC’A’)  NM  (ACC’A’)  MN  ME Suy ra MNB’E’ là hình thang vuông chiều cao ME’. SMNB ' E ' . 1 1 BE 3  MN  B ' E ' ME '    BE  ME '  BE.ME ' 2 2 2 4 . 2a 3  a 3 (đường cao tam giác đều cạnh 2a) 2. Ta có : BE =. 3a 2 15 a2 a 5 . S  ME '  EE'  ME  a   4 2 8 2. 2. 2. II. 2. Tính tỉ số thể tích 2 phần khối đa diện bị chia bởi thiết diện hoặc tính thể tích m t trong 2 khối đa diện được tạo ra bởi thiết diện. Một mặt phẳng chia khối chóp T ra làm hai phần là T1, T2. Khi đó ta cần xác định tỉ số thể tích của hai phần thì phải làm thế nào? Thể tích là vấn đề của chương trình lớp 12 nên phần này tác giả sẽ giới thiệu một số bài tập, để đi sâu vào vấn đề này tác giả sẽ viết trong một đề tài khác. 1. Một số lƣu ý về kiến thức liên quan: Giả sử mặt phẳng (P) chia khối đa diện T thành 2 Bài toán đặt ra là cần tính V1, V2 của T1, T2 hoặc tỉ số k . V1 V2. - Nếu khối đa diện (P) được chia thành 2 khối T1, T2 thì VT  VT  VT 1. - Công thức:. 1 Thể tích khối chóp: V  B.h ; 3. Thể tích khối lăng trụ: V = B.h.. 122. 2.

(123) - Nếu cắt các cạnh SA. SB. SC của hình chóp SABC bởi mp(P) tại A’, B’, C’ thì ta có công thức :. VSA' B 'C ' SA' SB ' SC '  . . VSABC SA SB SC. - Một trong 2 khối đa diện T1, T2 có thể có hình dạng phức tạp. Để tính một trong 2 khối giả sử V1 ta thường là như sau: + Bổ sung vào T1 một số tứ diện để được một đa diện có thể tính được thể tích. Khi đó V1 là hiệu số giữa thể tích đó và tổng các thể tích các tứ diện bổ sung cho T1. + Chia T1 thành các khối đơn giản tính thể tích từng khối rồi cộng lại. Ví dụ 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên các cạnh BB’, DD’ lấy các điểm M, N sao cho MB’ = ND’ =. a . Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi 3. mặt phẳng (AMN). Tính thể tích mỗi phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện và tỉ số thể tích giữa 2 phần đó. Giải: Gọi K  AM  A' B '; L  AN  A' D ' . Đường thẳng KL cắt B’C’, C’D’ tại F, E. Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AMFEN. Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích khối. K. lập phương, khối đa diện chứa AA’ và. F. B'. khối đa diện còn lại (chứa CC’). E. Ta có V = a3.. M A'. V1 = VAKLA’ – VMB’KF – VND’EL Do MB’ = ND’ =. a nên ta tính được 3. KB’ = B’F = ED’ = D’L =. Suy ra:. C'. D'. L. N B. a . 2. C. D A. 1 3a 3 VAKLA’ = AA'. A ' K . A ' L  ; 6 8. 123.

(124) 1 a 1 a a a3 VMB’KF = VND’EL = . . . .  3 3 2 2 2 72. Vậy V1 =. 3a 3 2a 3 25a 3 25a3 47a3 V1 25 3  ;  .   V2  V  V1  a   8 72 72 72 72 V2 47. Ví dụ 32: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy. Cạnh SC lập với mặt phẳng (SAB) một góc 300 và SC = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2 phần đó. Giải: Cách dựng giống ví dụ 15 thiết diện nhận được là tứ giác AMHN.. S.  BC  AB Ta có   BC  ( SAB ) nên  BC  SA. H. góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là góc. N M. E 0. BSC theo giả thiết thì BSC = 30 .. B. C. đặt V = VSABCD = 2VSABC, V1 = VSAMHN = 2VSANH,. O A. D. V2 = V – V1. Ta có: V1  SN . SH V. SB SC. Trong tam giác vuông SBC có SB = SCcos300 =. a 3 ; 2. a a 2 ; AC = BC 2 = 2 2 2 2 a a  SA2  SC 2  AC 2  a 2   2 2. BC = SCsin300 =. SA2 SH SC SA2 1 Do AH là đường cao của tam giác vuông SAC nên    . SC SC SC 2 2 BC  AN  do BC  (SAB)   AN  SB . Do  AN  SC  Từ SN là đường cao tam giác SAB :. 124.

(125) a2 SA2 a SN 2 SN   2    . SB a 3 SB 3 3 2 V SN SH 1 2 1 Từ đó suy ra: 1  .  .  V SB SC 2 3 3 V 2 V 1 Nên 2  hay 1  V 3 V2 2. Ví dụ 33: (Dự bị khối D - 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2 a và điểm K thuộc CC’ sao cho CK  a . Mặt phẳng (P) qua A. K và song song với 3 BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích 2 khối đa diện đó.. Giải + Dựng mặt cắt: gọi O, O’ là tâm 2. B'. C'. hình vuông ABCD và A’B’C’D’ gọi I. O' K. là giao điểm của OO’ và AK thì I là. A'. D'. F. G. điểm chung của (P) và (BDD’B’). B. Qua I kẻ đường thẳng và song song với. I C O. E. BD cắt DD’, BB’ tại E, F. Thiết diện là tứ giác AEKF.. A. D. + Gọi V là thể tích hình lập phương, V = a3. V1 = VABCDEGF, V2 là thể tích phần còn lại. 1 Ta có OI  KC . Gọi G là trung điểm CK thì EGF.DCB là hình lăng trụ 2. đứng tam giác. Ta có:. V1 = VA.BDEF + VE.KGF + VBDC.FEG. 1 1 a 2 a a3 VA.BDEF = AO.BD.OI  . . .a 2  3 3 2 3 9. 125.

(126) VEKGF =. 1 1 1 a a3 EG. .FG.GK  .a.a.  3 2 6 3 18. Vtrụ = ED.SBDC = Suy ra V1 =. a a 2 a3 .  3 2 6. a3 a3 a3 a3 2a 3 .    ; V2  9 18 6 3 3. Ví dụ 34: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và các mặt bên nghiêng đều trên đáy góc 600. Một mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó. Giải: + Dựng thiết diện:. S. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M, N là trung điểm AD, BC.. K. SMN là tam giác cân tại S có góc ở. E. I. đáy là 600 và (SMN)  AD. Kẻ. F M. A. đường cao NK của tam giác SMN ta có NK  (SAD). Mặt phẳng (P). D. O B. N. chứa AC và song song NK.. C. Kẻ OI // NK (I SM) nối AI cắt SD tại E. Thiết diện chính là tam giác ACE. + Tính tỉ số: Đặt V = VSABCD = 2VDACS, V1 = VDACE, V2 = V – V1. Ta có:. V1 1 DE  . . V 2 DS. Kẻ MF // AE (F  SD) ta có. DE DE EF DA IM  .  . ES EF ES AM IS. Mà OI là đường cao của tam giác vuông SOM nên: 2. IM  OM  1 2    cot 60  IS  OS  3. 126.

(127) Suy ra: Từ đó Vậy. DE 2 DE DE 2  còn   . ES 3 DS DE  ES 5. V1 1 DE 1 2 1  .  .  , V 2 DS 2 5 5. V1 V1 1   . V2 V  V1 4. Ví dụ 35: Cho khối chóp tam giác SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M trên cạnh SB lấy điểm N sao cho:. SM 1 SN  ,  2 . Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia MA 2 NB. khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số 2 phần đó. Giải: + Dựng thiết diện: Kéo dài MN cắt AB. S. tại I. Xét (P) và (SAC) có M chung, (P) // SC nên qua M kẻ đường thẳng và song. M. song với SC cắt AC tại D. Nối DI cắt BC tại E. Thiết diện là tứ giác MNED.. A. D. N. + Ta có. E. VA.MDI AM AD AI 2 2 4 16  . .  . .  VA.SCB AS AC AB 3 3 3 27  VA. MDI. B I. 16 1  VS . ABC ( BI=MJ= AB ) 27 3. 1 1 VI . BNE IB IN IE 1 1 1 1  VI . BNE  VA.MDI  VS . ABC  . .  . .  16 27 VI . AMD IA IM ID 4 2 2 16. Gọi V1 = VAMD.BNE, V2 là thể tích phần còn lại. V1 = VA.MDI – VI.BNE =. V 5 5 4 VS.ABC nên V2 = VS.ABC   . 9 9 V2 4 1. 127. C.

(128) Ví dụ 36: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’. Trên A’B’ kéo dài lấy điểm M sao cho B’M =. 1 A’B’. Gọi N, P là trung điểm A’C’ và B’B. 2. a. Dựng thiết diện của lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (MNP) b. Chứng minh thiết diện chia lăng trụ thành 2 phần có tỉ số thể tích 49 : 95 Giải: a. Gọi K = MN  B’C’. B'. A'. Q = MP  AB;. K. C'. E = MP  AA’. Nối NE cắt AC tại I, nối QI được thiết. P. diện là ngũ giác NKPQI. b. Gọi V1 là thể tích phần chứa AA’, V2 là thể tích phần còn lại (chứa. Q. A. B. I. CC’). V1 = VEMNA’ - VE.AIQ – VMB’KP. C E. Gọi V, a. h là thể tích, cạnh đáy, chiều cao lăng trụ. a 2h 3 4. Ta có V =. h Ta có: MB ' P  PBQ  QAE  AE=BP=B'M= ; 2 AI EA 1 a    AI  ; A ' N EA ' 3 6. VEAIQ. 1 1 a 2h 3 V 0  EA.SQIA  EA. AI . AQ.sin 60   3 6 288 72. 1 3a 2 h 3 3V 1 a 2h 3 V ; VMB ' KP  PB '.SMB ' K  VEMNA'  EA'.SMNA'    3 32 8 3 192 48. V1 =. 3V V V 49V    ; 8 72 48 144. 128. M.

(129) V2 = V – V1 = Suy ra Vậy. 95V 144. V1 49V 144 49  .  . V2 144 95V 95. V1 49  V2 95. 129.

(130) Ví dụ 37: (Học viện ngân hàng năm 1999 khối D) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và mội điểm M trên AB. AM = x (0 < x< a). Xét mặt phẳng (P) đi qua M và chứa đường chéo A’C’ của hình vuông A’B’C’D’. a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi (P). b. Mặt phẳng (P) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện; hãy tìm x để thể tích của một trong 2 khối đa diện đó gấp đôi thể tích của khối đa diện kia. Giải: A. M O. B J N. D. C. A'. B' O'. D'. C'. a. + Dựng thiết diện: Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. nối A’M, C’N ta có thiết diện là hình thang A’C’NM. + Tính diện tích thiết diện: Kí hiệu như hình vẽ ta có O’J là đường cao của hình thang A’C’NM. Ta có MN = 2MJ = MB. 2  a  x 2. OJ AM x 2 x2 2 Do MN // AC nên và O ' J  a    OJ  2 OB AB 2. . . 1 x2 2 Vậy Std  a 2   a  x  2 . a  2 2. b. (P) chia khối lập phương thành 2 phần có thể tích gấp đôi nhau. 130.

(131) 1 a3  VA'C ' NMB  VLP  . Ta có: VA'C ' NMB  VA' BMN  VA' B'C ' NB 3 3 2 1 1 Ta có: VA' BMN  AA '.S BMN  a.  a  x  3 6 a 2  2a  x  1 1 VA'. BB 'C ' N  A ' B '.S BB 'C ' N  a.a.  a  a  x   3 6 6 a  VA'C ' NMB   x 2  3ax  3a 2  6 Theo giả thiết ta có phương trình:. 3 5  a 2 a3 2 x  3ax  3a    x  a    6 3 2  . III. Bài tập tƣơng tự: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a. AD = 2a. SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là điểm trên cạnh AB; (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Đặt x = AM (0< x < a). a. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (P). Thiết diện là hình gì? b. Tính diện tích thiết diện trên. Hướng dẫn:. 131.

(132) Bài 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a. SA = a và vuông góc với đáy (ABC). Tìm thiết diện của tứ diện SABC và mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau: a. (P) qua S và vuông góc với BC. b. (P) qua A và trung tuyến SI của tam giác ABC. c. (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB. Bài 3: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B. AB = a. SA vuông góc (ABC) và SA = a 3 . M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB. đặt AM = x (0 < x < a), (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. a. Xác định thiết diện của tứ diện tạo bởi (P). b. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; SA = a 3 và vuông góc đáy. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). a. Xác định (P). Mặt phẳng (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? b. Tính diện tích thiết diện. 132.

(133) Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B. AB = a. SA vuông góc (ABC) và SA = a 3 . Gọi E, F là trung điểm SC, SB. M là điểm trên AB. đặt AM = x. (P) là mặt phẳng chứa EM và vuông góc (SAB). Mặt phẳng (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a và x. Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. AA’ vuông góc (ABC) và AA’ = a 2 . Gọi M, N là trung điểm AB và A’C’. Xác định thiết diện của lăng trụ và mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’). Tính diện tích thiết diện. Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi E, F là trung điểm C’D’, C’B’. Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành 2 phần. Tính thể tích của mỗi phần. Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với (ABCD), SA = h. Gọi I, J, K là trung điểm SA. BC, CD. Chứng minh mặt phẳng (IJK) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Bài 9: Cho hình chóp đều SABCD cạnh đáy bằng a. Xét mặt phẳng (P) qua A song song với CD và vuông góc với mặt phẳng (SCD), chia tam giác SCD thành 2 phần với tỉ số diện tích bằng. 1 (phần thứ nhất chứa đỉnh). Tính diện tích thiết diện của hình 8. chóp cắt bởi mặt phẳng (P). Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I là điểm thuộc AB; đặt AI = x (0 < x < a). a. Khi góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 600, hãy xác định vị trí I. b. Tính theo a và x diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI). Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất. Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của SA, BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) Bµi 12: Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD víi AD kh«ng song song víi CB. Gäi M, N lµ trung ®iÓm cña SB vµ SC. T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (AMN) Bµi 13: Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD ba ®iÓm A’ ; B’ ; D’ n»m trªn ba c¹nh SA ; SB ; SD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’ B’ D’ ) 133.

(134) Bµi 14: Cho tø diÖn ABCD . Gäi H, K lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC. Trªn ®-êng th¼ng CD lÊy ®iÓm M sao cho KM kh«ng song song víi BD. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn ABCD víi mÆt ph¼ng (HKM). Bµi 15: Cho h×nh chãp SABCD trªn SA, SB lÊy hai ®iÓm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên trung điểm DC lấy điểm Q. Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mÆt ph¼ng (MNQ) Bµi 16: Cho tø diÖn ABCD gäi M lµ trung ®iÓm AB, N lµ ®iÓm trªn BC sao cho BN = 2NC, K là trọng tâm của tam giác ACD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK). Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD . Trên SA lÊy ®iÓm M, SB lÊy ®iÓm N sao cho MN//AB. Gäi O lµ ®iÓm bÊt kú n»m trong tam gi¸c SCD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO) Bµi 18: Cho tø diÖn ABCD. LÊy M, N trªn AC vµ AD sao cho AM = 3MC,. AN. =2ND, O lµ ®iÓm n»m trªn ®-êng trung tuyÕn BB’ cña BCD sao cho OB’ =2OB. X¸c định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNO) với tứ diện. Bài 19: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M và P là trung điểm của SA và BC. G là trọng tâm tam giác SCD. Xác định thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MPG) Bµi 20: Cho tø diÖn ABCD . Gäi E, F ,M lµ trung ®iÓm cña BD , CD vµ BC. Trªn AE, AF lấy hai điểm I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mp(MIJ) Bµi 21: Cho h×nh chãp S.ABC gäi E,F lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c SBC, vµ SCD. M là trung điểm của SA . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF) Bµi 22: Cho tø diÖn ABCD , M lµ ®iÓm trªn c¹nh AB, N vµ P lÇn l-ît n»m trong tam giác BCD và tam giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP. Bµi 23: Cho h×nh chãp S.ABCD . M lµ trung ®iÓm cña SA, N vµ P lÇn l-ît lµ träng t©m các tam giác SBC và tam giác ACD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt ph¼ng (MNP). Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm các đ-ờng chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt ph¼ng (SAB) c¾t h×nh chãp.. 134.

(135) Bµi 25: Cho tø diÖn ABCD gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¹nh AB vµ CD , E lµ ®iÓm chia BC theo tØ sè BE:EC = 2 : 1. Trªn ®o¹n th¼ng AM lÊy ®iÓm H. T×m thiÕt diÖn t¹o bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho. Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M, N, E lần l-ợt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi (MNE) c¾t h×h chãp. Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần l-ợt là trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AD. Trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm K . T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua K song song víi mp(AMN) c¾t h×nh chãp. Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, H là giao điểm các đ-ờng chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua M song song víi mp(BDE) c¾t h×nh chãp. Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC , M lµ mét ®iÓm di déng trªn c¹nh SA , () lµ mÆt ph¼ng lu«n ®i qua C’ M vµ song song với BC. Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình b×nh hµnh ? Bµi 30: Cho tø diÖn ABCD gäi G1; G2 ; G3 lÇn l-ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ADB. T×m thiÐt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng G1G2G3 Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E và F lần l-ợt là trọng tâm của hai tam giác SAC và SAB. Xác định thiết diện với h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song.Gọi M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện với hình chóp cắt bëi mÆt ph¼ng chøa M,N vµ vu«ng gãc víi mp(SBD). Bµi 33: Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA mp(ABCD) gäi I lµ ®iÓm trªn ®o¹n SA sao cho 2AI = IS. J là điểm trên đoạn DC sao cho DJ = 2 JC. Xác định thiết diện với hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng qua I,J vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBD). Bµi 34 : Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD). Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC. Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× ? Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD có ACBD = O, SO  mp(ABCD), gọi I là trung điểm của SO. Xác định thiết diệt của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua I và vu«ng gãc víi SA. Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và AB//DC. Có SA mp(ABCD) . Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng () qua A và vuông gãc víi SC. --------------------------------------------------. 135.

(136) CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN A.Kiến thức cần nhớ: Khối đa diện bao gồm hình đa diện và phần bên trong của hình đa diện. Ta đã quen thuộc với các hình đa diện như: Hình chóp, hình chóp cụt, hình hộp. hình lăng trụ,…Và ở bài học này, chúng ta sẽ biết được thế nào là khối chóp, khối chóp cụt, khối hộp, khối lăng trụ,… cũng như biết được làm thế nào để tính được thể tích của một khối đa diện. 1. Miền đa giác  Một. đa giác phẳng chia mặt phẳng thành hai miền: miền trong và miền ngoài.  Một đa giác cùng với miền trong của nó hợp thành một hình gọi là miền đa giác. 2. Hình đa diện Hình đa diện là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:  Hai đa giác hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung  Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác 3. Khối đa diện  Mỗi. hình đa diện chia không gian làm thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài  Hình đa diện và phần bên trong của nó được gọi là khối đa diện 4.Một số loại khối đa diện thường gặp: a) Khối chóp tam giác: + Đặc điểm: 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh. 3 mặt bên là hình tam giác, mặt đáy cũng là hình tam giác. + Thể tích: Giả sử S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp tam giác. 1 3. Khi đó ta có công thức tính thể tích: V  S .h b) Khối chóp tứ giác: + Đặc điểm: 5 đỉnh, 5 mặt và 8 cạnh. 4 mặt bên là hình tam giác, mặt đáy là hình tứ giác. + Thể tích: Giả sử S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao hình chóp tam giác. 1 3. Khi đó ta có công thức tính thể tích: V  S .h c) Khối chóp cụt + Đặc điểm: 2 đáy là hình đa giác, các mặt bên là các hình thang.. 136 131.

(137) + Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy lớn và S’ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều 1 3. cao của hình chóp cụt. Khi đó ta có công thức tính thể tích: V  (S  S ' S.S ').h d) Khối lăng trụ tam giác: + đặc điểm: đáy là hình tam giác, các mặt bên là các hình bình hành +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h e) Khối lăng trụ tứ giác: + đặc điểm: đáy là hình tứ giác, các mặt bên là các hình bình hành +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h f) khối lăng trụ tam giác đứng: + đặc điểm: đáy là hình tam giác, các mặt bên là các hình chữ nhật +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h g) Khối lăng trụ tứ giác đứng + đặc điểm: đáy là hình tứ giác, các mặt bên là các hình chữ nhật +Thể tích: Giả sử S là diện tích đáy và h là chiều cao khối lăng trụ, khi đó ta có công thức tính thể tích: V=S.h 5. Các loại khối đa diện đều: a) Khối tứ diện đều: 4 mặt là hình tam giác đều b) Khối lập phương: 6 mặt là hình vuông c) Khối 8 mặt đều: 8 mặt là hình tam giác đều d) Khối 12 mặt đều: 12 mặt là hình ngũ giác đều e) Khối 20 mặt đều: 20 mặt là hình tam giác đều 6. +Phép dời hình trong không gian là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. + Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng tring trực của đoạn thẳng MM’. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là một phép dời hình. + Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của một khối đa diện nếu phép đối xứng qua (P) biến khối đa diện thành chính nó. +Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm là những phép dời hình + Hai hình đa diện gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. +Hai hình tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau. 137.

(138) 7.. + Phép vị tự tâm O tỉ số k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . M’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm. + Hình được gọi là đồng dạng với hình nếu có một phép vị tự biến hình thành hình mà hình . 8. Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S. Khi đó: VS . ABC SA SB SC  . . VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 9. Chú ý: 9.1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: +) a2  b2  c2. A. +) b2  ab ', c2  a.c ' +) a.h  b.c   2S . b. c ha. +) 12  12  12. ma. ha. B. H. c. b a. +) sin B  cos C  ,sin C  cos B . C. M. b. c a. b c. +) tan B  cot C  , tan C  cot B . c b. 9.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường. a/ Định lí sin:. a b c    2R sin A sin B sin C. b/ Định lí cosin: a2  b2  c2  2bc sin A. 9.3 Các công thức tính diện tích tam giác. S. 1 1 abc a.ha  ab.sin C   pr  2 2 4R. p( p  a)( p  b)( p  c). 9.4 Cách xác định góc: a/ Giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua O. a O. và lần lượt song song với a và b. *) 00   a, b   900. a'. b.  a // b a  b. *) (a, b)  00  . *) (a, b)  900  a  b. 138. b'.

(139) b/ Giữa đường thẳng và mặt phẳng:. a A. (a,( P))  (a, a ') trong đó a’ là hình chiếu của a lên. (P).. a' O. H. P. c/ Giữa hai mặt phẳng. - Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q) và I . I. - đường thẳng a  ( P) và vuông góc với  tại I. a. - đường thẳng b  (Q) và vuông góc với  tại I. P. b. Q. Khi đó: (a,b) = ((P),(Q)) 9.5 Các cách xác định khoảng cách: a/ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng. b/ Khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song. c/ Khoảng cách giữa hai mp song song. d/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Chú ý: (cách tính khoảng cách gián tiếp) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I.. A. Khi đó ta có: B. I A1. B1. P. 139. d ( A, ( P)) AI  d ( B, ( P)) BI.

(140) B. I.. Nội dung chính. Thể tích khối chóp. Dạng 1: Thể tích khối chóp đều và khối chóp có cạnh bên bằng nhau Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.Tính thể tích hình chóp S.ABC. Giải Gọi F là tâm của tam giác đều ABC => d(S,(ABC)) = SF Gọi D là trung điểm của CB => { Mà (SCB) (ABC) = BC => ((SBC),(ABC)) = (SD,AD) = ̂ Xét có , ̂ = 45o và SB = a => SD = BD =. √. => FD =. √. => SF = √. √. √. Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: V =. =. Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp S.ABC. Giải Gọi F là tâm của tam giác đều ABC => d(S,(ABC)) = SF Gọi D là trung điểm của CB => { Mà (SCB) (ABC) = BC => ((SBC),(ABC)) = (SD,AD) = ̂ = 60o √. Tam giác ABC đều nên ta có FD =. Tam giác SDF vuông tại F vì SF vuông góc với (ABC) 140. √.

(141) => SF = DF.tan ̂ = Vậy thể tích hình chóp S.ABC là:V =. =. √. Bài 3 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600. Hãy xác định góc đó. S. Giải Gọi M là trung điểm BC Ta có : (SBC)  (ABCD) = BC (ABCD)  AM  BC A. (SBC)  SM  BC ( vì AM  hc SM ) ( ABCD ). B. 60. M. O.  (( SBC ),( ABCD))  (SM , AM )  SMA  60o. C. Bài 4:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải * S.ABC là hình chóp tam giác đều Gọi M là trung điểm BC. S.  ABC đều cạnh a 3 , tâm O. SO  (ABC) , SA=SB=SC = 2a *  ABC đều cạnh a 3  AM = a 3. 3  3a 2. A. C O. M B. 2. 2 2 3a  AO= . AM  .  a 3 3 2.  SABC . 1 1 3 3a 2 . 3 AB. AC.sin 600  .a 3.a 3.  2 2 2 4. *  SAO vuông tại A có SO  SA2  AO2  a. 3 1 3. 1 3a 2 3 a3 . 3 .a  3 4 4. * VS . ABC  .S ABC .SA  .. 141.

(142) Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. S. Giải * S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O SO  (ABCD) , SA=SB=SC =SD = a 3 A. * Diện tích hình vuông ABCD :  AC = 2a. 2  AO=  SABCD   2a   4a 2. AC 2a 2  a 2 2 2. B. O. D. C. 2. *  SAO vuông tại O có SO  SA2  AO2  a * VS . ABCD Bài 6:. 1 1 2 4a 3  .S ABCD .SA  .4a .a  3 3 3. Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a Giải. A. * ABCD là tứ diện đều cạnh a Gọi M là trung điểm CD Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a  BCD đều cạnh a, tâm O  AO  (BCD). D. B O. *  BCD đều cạnh a  BM = a 3. M. 2. 2 2 a 3 a 3  BO= .BM  .  3 3 2 3.  SBCD. C. a2. 3  4 2. a 3 a 6 *  AOB vuông tại O có AO  AB  BO   a      3  3  2. 2. 142. 2.

(143) 2 3 * VABCD  1 .S BCD . AO  1 . a 3 . a 6  a . 2. 3. 3. 4. 3. 12. Bài tập tương tự Bài 1: Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .. h3 3 Đs: V  3. Tính thể tích hình chóp.. Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh. h3 3 Đs: V  8. o. bằng 60 . Tính thể tích hình chóp.. Bài 3 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB  60o . 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.. Đs: S . a2 3 3. 2) Tính thể tích hình chóp.. Đs: V . a3 2 6. Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên 2h3 Đs: V  3. o. bằng 60 . Tính thể tích hình chóp.. Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Đs: V . Tính thể tích hình chóp .. 8a3 3 3. Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o. Đs: V . Tính thề tích hình chóp.. a3 3 12. Bài 7: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V . 9a3 2 . 2. Đs: AB = 3a. Bài 8: Cho hình chóp đều S.ABC có AB  a, SA  a 3 . a. Tính VS.ABC. (SBC).. b/ Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng. 143.

(144) Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC, có AB  a , góc giữa SA với mặt đáy (SBC) bằng 300 . a/ Tính VS . ABC .. b/ Tính khoảng cách giữa SA và BC.. Bài 10: Cho hình chóp đều S.ABC, có AB  a. Góc giữ (SBC) và (ABC) bằng 300 . Tính VS . ABC . Dạng 2: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB  600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC S. Giải * Ta có :AB = a , AB là hình chiếu của SB trên (ABC)  (SB,( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  45o. A. *  ABC vuông tại B có AB = a, ACB  60  BC . 60. 45. 0. C. B. AB a a 3   0 tan 60 3 3.  SABC . 1 1 a 3 a2 . 3 BA.BC  .a.  2 2 3 6. *  SAB vuông tại A có AB= a, B  450  SA  AB.tan 45o  a 2 3 * VS . ABC  1 .S ABC .SA  1 . a . 3 .a  a . 3. 3. 3. 6. 18. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD S. Giải Xác định góc giữa (SBC) và (ABC) Ta có : (SBC)  (ABC) = BC SM  BC, AM  BC  ((SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA. A. B 60. 144. D. C.

(145) * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , AC  hc SC  (SC,( ABCD))  ( SC, AC)  SCA 60o , ( ABCD ) SABCD  a 2. *  SAC vuông tại A có AC= a 2 , C  600  SA  AC.tan 60o  a 6 3 * VS . ABCD  1 .S ABCD.SA  1 .a2 .a 6  a . 6. 3. 3. 3. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải * Ta có : AB = a 3 , (SBC)  (ABC) = BC S. AB  BC ( vì  ABC vuông tại B) SB  BC ( vì AB  hc SB ) ( ABC )  ((SBC ),( ABC ))  (SB, AB)  SBA  60o. A. C. 60 B. *  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a  SABC . 1 1 a2 . 3 BA.BC  .a 3.a  2 2 2. *  SAB vuông tại A có AB= a, B  600  SA  AB.tan 60o  3a 1 3. 1 a2 . 3 a3 . 3 .3a  3 2 2. *: VS . ABC  .S ABC .SA  . Bài 4:. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải. 145 140.

(146) S. * Ta có : AB = a 3 , (SBC)  (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC C 45. A. AM  BC ( vì  ABC cân tại A) SM  BC ( vì AM  hc SM ( ABC ). M B.  (( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  45o. *  ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2  AB = BC = a và AM =  SABC. a 2 2. 1 1 a2  AB. AC  .a.a  2 2 2. *  SAM vuông tại A có AM= a 2 , M  450 2.  SA  AB.tan 45o . a 2 2. 2 3 * VS . ABC  1 .S ABC .SA  1 . a . a 2  a . 2. 3. 3 2. 2. 12. Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó. S. Giải Ta có : AC  hc( ABCD )SC A.  (SC,( ABCD))  (SC, AC)  SCA  45o. B. O. D. 45 C. Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải S. Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 ,SB = a 3 . *  ABC vuông tại B nên BC  AC 2  AB2  a  SABC . 1 1 a2 . 2 BA.BC  .a 2.a  2 2 2. C. A. B. 146.

(147) *  SAB vuông tại A có SA  SB2  AB2  a 2 3 * VS . ABC  1 .S ABC .SA  1 . a . 2 .a  a . 2. 3. 3. 2. 6. Bài 7 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải. S. Ta có : AC = a 2 , SB = a 3 .  ABC vuông, cân tại B nên BA  BC . AC 2 a 2.  SABC. C. A. 1 1 a2  BA.BC  .a.a  2 2 2. B.  SAB vuông tại A có SA  SB2  AB 2  a 1 3. 1 a2 a3 .a  3 2 6. * VS . ABC  .S ABC .SA  . Bài 8:. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải S. Ta có : SA = AC = a 2 * ABCD là hình vuông :AC = AB. 2  AB . AC a 2 1 3. A. ; SABCD  a 2 , SA = a 2 1 3. * VS . ABCD  .S ABCD.SA  .a2 .a. 2 . a3 . 2 3. D. 147. B. C.

(148) Bài 9 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. Giải. S. *  ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a  SABC  C A B. 1 1 3 BA.BC.sin 600  .2a.2a.  a2. 3 2 2 2. *  SAB vuông tại A có SA  SB2  AB2  a 3 * VS . ABC  1 .S ABC .SA  1 .a2 . 3.a  a . 3. 3. 3. 3. Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC  1200 cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải *  ABC cân tại A, BAC  1200 , BC = 2a 3 ,AB = AC = BC = 2a Xét  AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 600  AM =. BM a 3  a 0 tan 60 3.  SABC . 1 1 AM .BC  .a.2a 3  a 2 . 3 , SA = a 2 2. *. 1 1 a3 . 3  .S ABC .SA  .a 2 . 3.a  3 3 3. VS . ABC. S. C A. M B. Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 148.

(149) Giải. S. Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SC = a 5 * SABCD   a 2   2a 2 2. * Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2  2a A. D. B.  SAC vuông tại A  SA  SC 2  AC 2  a. * VS . ABCD C. 1 1 2 2a 3  .S ABCD .SA  .2a .a  3 3 3. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA  (ABC), SB  a 3 . a/ Tính VS.ABC (SBC).. b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA  (ABC), (SBC) tạo với mặt đáy một góc bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc ACB  300 , cạnh AC  a 3 . Góc giữa SB với mặt đáy (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , đáy ABC là tam giác cân tại A, góc BAC  1200 , cạnh BC  2a . Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 450 . Tính VS . ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA  (ABCD), SC = a 3 . a/ Tính VS.ABCD. b/ Tính khoảng cách giữa BD với SC.. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA  (ABCD), Góc giữa SC với mặt đáy (ABCD) bằng 300 . a/ Tính VS.ABCD. b/ Tính khoảng cách từ A đến (SCD).. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD) và AC  2a . Góc giữa (SCD) với mặt đáy (ABCD) bằng 300 . a/ Tính VS.ABCD (ABCD).. b/ Tính tan của góc giữa SC với mặt đáy. 149.

(150) Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn A bằng 600 . SA  ( ABCD) , khoảng cách từ A đến SC bằng a. Tính VS . ABCD . Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có AB  BC  a, AD  2a . Mặt phẳng (SCD) hợp với đáy một góc bằng 600 . Tính VS . ABCD . Bài 10: (KB – 2006 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 . SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. S. M. A. D. I. B. N A. C. M D I H. B. C. Dạng 3: Thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy Bài 1: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD Giải Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) . A. Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a 3 & HD = AD.cot60o =. a. BCD  BC = 2HD =. B H C. a 3 3. 60 o. D. 150. 2a 3 3.

(151) suy ra V =. 1 1 1 a3 3 SBCD .AH  . BC.HD.AH  3 3 2 9. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC và tính thể tích khối chóp SABC Giải a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC).. S. Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết SIH  SJH  45o H A. 45. C. I. J. Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là đường phân giác của ABC ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.. a b) HI = HJ = SH = 2. B. 1 a3 S . SH   VSABC= ABC 3 12. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. Giải 1) Gọi H là trung điểm của AB.. S. SAB đều  SH  AB. mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) D. A B. Vậy H là chân đường cao của khối chóp. 2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =. H a. C. 1 a3 3 suy ra V  SABCD .SH  3 6. 151. a 3 2.

(152) Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính VS.ABC trong các trường hợp: a/ SB = a 3. b/ SB tạo với mặt đáy một góc 300.. Bài 2: Cho tứ diện ABCD có BCD vuông cân tại B, CD  a , ACD cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (BCD). Tính VABCD biết AB tạo với mạt phẳng (BCD) góc 600 . Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC  a . Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, các mặt bên (SAB) và (SBC) cùng tạo với đáy 1 góc 450 . a/ Chứng minh chân đường cao của khối chóp là trung điểm của AC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 300 . Tính VS . ABCD Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính VS . ABCD biết SB tạo vơi đáy một góc 300 . Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại A và BC  a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), góc giữa (SAC) với mặt đáy (ABC) bằng 450 . Tính VS . ABC Bài 7: (KA – 2007 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.. 152.

(153) S. S. M. M. A. B. H. A. D. C. P. T. H. N. D. B. HD: Chứng minh. N. P. C. HD: T là trung điểm của HB thì MT  ( ABCD).  BP  ( SHC )  BP  ( AMN )  ( SHC ) //( AMN ). 1 a3 3 VCMNP  MT .SCNP  3 96.  BP  AM. Bài 8: (KB – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,SB = 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. S. A. D. H M. B. N. C. Bài 9: (KA – 2009 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.. 153.

(154) S. A. B. I. K D. C. Bài 10: (2011D): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA  3a, BC  4a , mặt phẳng (SBC) vuôn góc với mp(ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a. S. 2a 3. 300 B. K 4a. H. C D. 3a. A. Dạng 4 : áp dụng tỷ số thể tích + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách 2 o Xác định đa giác đáy o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích S khối đã cho + Cách 3: Dùng tỷ số thể tích. M. 154. A. K n N C B.

(155) Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Ta có : VS .MNK  SM . SN . SK VS . ABC. SA SB SC. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải 1 3. Cách 1: (dùng công thức thể tích V  .S .h ) * Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA S. *  AMN có Â = 600 , AM=AN = a  SAMN . 1 1 3 a2. 3 AM . AN .sin 600  .a.a.  2 2 2 4. 1 3. , SA = a 3. 1 a2. 3 a3 .a. 3  3 4 4. N. * VS . AMN  .S AMN .SA  .. A M. Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích). B. Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có V 1 VA.SMN AS AM AN 1 1 1  VS . AMN  VA.SMN  .VA.SBC  S . ABC  . .  1. .  4 4 VA.SBC AS AB AC 2 2 4. Ta có : VS . ABC. 1 1 4a 2 . 3  .S ABC .SA  . .a. 3  a3 3 3 4. Vậy VS . AMN. VS . ABC a3   4 4. Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM. Giải Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Do đó theo công thức tỷ số thể tích ta có. VS . AMN SA SM SN 1 1 1  . .  1. .  VS . ABC SA SB SC 2 2 4. 155. C.

(156) S. N. . VS . AMN . VS . ABC 4. 1 2 .a 3.a 3 a3 3   4 4. 3 3a  VA.BCNM  .VS . ABC  4 4. M. 3. C. A. B. Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải Gọi O là giao điểm AC và BD. S. Ta có : IO // SA và SA  (ABCD)  IO  (ABCD) 1  VI . ABCD  .S ABCD .IO 3. I A. B. O. D. C. Mà : S ABCD  a 2 , IO  1 3. Vậy : VI . ABCD  .a 2 .a . SA a 2. a3 3. Bài 4 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C. b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE. Giải a) Cách 1 tính trực tiếp 1 3. 1 a. 3 a 2 a 3 . 3 .  3 2 2 12. gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd= . A1 H .S BCB  . 1. 156.

(157) A. C. K. B. C1. A1 H. B1. Tương tự gọi K là trung điểm AB 1 3. Cách 2 VCA B C  V A ABC  .VLT 1 1 1. 1. 1 3. 1 3. Nên VBCA B1  .VLT  .a. 1. a2. 3 a3. 3  4 12. b) cách 1 Tính trực tiếp gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC  d và F=BC  d (CKQ) chính là mp trung trực của AB,FE Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE CK . Ta có. S CQG . Mặt khác. a 3 a 3 a2 13 , GK   QG  KQ 2  KG 2  a 2   a. 2 6 12 12. 2 2 1 1 a. 3 a 2 . 3 S CQK  . .CK .QK  .a.  3 3 2 3 2 6. 2.S CQG 2a 2 3 13 1 2a 13 S CQG  .QG.d (C , QG)  d (C , QG)   .  2 QG 6 13 a 12 1 1 2a 13 1 3a 13 5a 3 . 3  VC .FEA1B1  .d (C , QG).S FEA1B1  . . .(a  ).a.  3 3 13 2 2 12 54. 157.

(158) Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích ) A. E. C C2 G. K F B. C1. A1 Q. B1. VCFEA1B1  2VCGQB1  2.. CG CF 2 2 1 1 a. 3 a 2 a 3 . 3 . VCKQB1B  2. . . . .  CK CB 3 3 3 2 2 2 54. Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3 ,SA=2a và SA  ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Giải Cách 1 tính trực tiếp Ta có AC 2  AD 2  CD 2  3a 2  a 2  4a 2  AC  2a. Nên SAC  cân tại A mà AI  SC nên I là trung điểm SC 1 2a 2  a. 2 2 2 BC  AB, BC  SA( SA  ABCD )  BC  SAB Mà AH  SC cho nên ABC 1 1 1 SA.BA 2a    AH   2 2 2 2 2 AH AB AS 5 SA  AB. AI=SI= SC . Trong tam giác vuông HAI có HI  AI 2  AH 2  2a 2 . 158. 4a 2 a 6  5 5.

(159) S. I. K. H. D. A. Tương tự ta có AK=. B. C. a 14 7. 1 1 1 1 1 VSAHIK  VSIHA  VSIKA  .SI . . AH .HI  .SI . AK .KI  SI .( AH .HI  AK .KI ) 3 2 3 2 6 3 1 2a a 6 2a 3 a 14 8a . 3  VSAHIK  .a 2 ( .  . ) 6 7 35 5 5 7. Cách 2 tính gián tiếp Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH  SB, AK  SD SH .SI 1 SA 2 1 4a 2 1 4a 3 . 3 .VSABC  . 2 .VSABC  . 2 .. .2a.a. 3  SB.SC. 2 SB 2 5a 3 35 3 4a . 3 Tương tự VSAIK  35 3 8a . 3 Do đó VSAHIK= 35 VSAHI . Bài tập áp dụng Bài 1:Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi Bài 2: Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN. a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMR. VHOAM MH  . VHOBN NH. Bài 3 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.. 159.

(160) Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và  BSA=600,  ASC=1200,  CSB=900. Hãy tính thể tích chóp Bài 4 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài 5 Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM, BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 6 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần. tính thể tích từng phần. Bài 7. (KD – 2006 ). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp S A.BCNM.. K. H C. A. B. Dạng 5 : bài toán thể tích liên quan đến cực trị Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó. 160.

(161) Giải. S. K M. G N A. D. O. B. C. Gọi O Là tâm hcn ABCD 2 3. Ta có SG= .SO và K=A G  SC và K là trung điểm SC VSMAK SM SA SK 1 SM 1 SM 1 SM  . .  VSMAK  . .VSBAC  . .VSABCD  .a.b.c VSBAC SB SA SC 2 SB 4 SB 12 SB. Tương tự VSNAK  Do đó VSAMKN. 1 SN . .a.b.c 12 SC. 1 SM SN .(  ).a.b.c 12 SB SC S. H M. G. N D. O. Trong (SBD). B. S SMN SM SN S SMG  S SGN S S SG.SM SG.SN  .   SGM  SGN   S SBD SB SC 2S SBO 2S SBO 2S SOD 2.SO.SB 2.SO.SC . SM .SN 1 SM SN  (  ) SB.SC 3 SB SC. Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên. SB 1 SM  SM  SB   1 2 2 SB. 161.

(162) Đặt t=. 1 SN 1 SN SN t SM (  t  1 ) thì t.  (t  )  2 SC 3 SC SC 3t  1 SN. Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)= Ta có f (t )  1 . SM SN t 1 với  t  1  t SB SC 3t  1 2. 1 9t 2  6t  (3t  1) 2 (3t  1) 2 2 3. Nên f (t )  0  t  , t  0 (loại) f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3 do vậy VSAMKN = VSAMKN =. abc là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B 8 abc là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB 9. Bài tập áp dụng Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= 3 , Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min. Baì 2 Trong (P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN a) Tính AM.CN theo a. b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min.. 162.

(163) II. Thể tích khối lăng trụ Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Bài 1 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Giải Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a B’ ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA'  AB AA'B  AA'2  A'B2  AB2  8a2 3a. C’.  AA'  2a 2 Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2. C. A’ B a√2 A. Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này Giải Giải ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a ABCD là hình vuông  AB . C'. D' A'. 3a 2. B' 4a. 9a2 Suy ra B = SABCD = 4. 5a C. D A 3. B. Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a Bài 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Giải Gọi I là trung điểm BC .Ta có ABC đều nên. 163.

(164) C'. A'. B'. AB 3 AI   2 3 & AI  BC 2.  A 'I  BC. 2S 1 SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  4 2 BC. A. C I. AA'  (ABC)  AA'  AI .. B. A'AI  AA'  A'I2  AI2  2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3 Bài 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. C' D' Giải Theo đề bài, ta có. A'. B' D. AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có. C. AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm. A. B. Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3 Bài 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 .Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .. Giải Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và SABCD = 2SABD =. a2 3 2. Theo đề bài BD' = AC = 2. C'. D' B'. A'. a 3 a 3 2. C. D. DD'B  DD'  BD'2  BD2  a 2 a3 6 Vậy V = SABCD.DD' = 2. A. 164. 60. B.

(165) Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’. Bài 2 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. Bài 3 : Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC. b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE. Bài 4: cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1, Bài 5: Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài. 6:. (DB06). AB  AD  a, AA '=. Cho. hình. a 3 , BAD  60 0 . Gọi 2. a/ Chứng minh AC '  ( BDMN ) N. A'. hộp. đứng. ABCD.A’B’C’D’. co. các. cạnh. M, N lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’. b/ Tính thể tích khối chóp A.BDMN.. B'. E M. D'. C'. I A B. O D. C. Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo. 165.

(166) 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. Bài 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A1 B1C1 D1 có khoảng cách giữa AB và A1D bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. a/ Hạ AK  A1D . Chứng minh AK = 2.. b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.. Bài 9: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC  a 2 và biết A ' B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 10: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC  600 , AC  BD ' . Tính thể tích khối lăng trụ theo a. Bài 11: Đáy của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi có đường chéo nhỏ là a và góc nhọn là 600. Diện tích mặt bên của khối hộp là a 2 2 Tính thể tích khối hộp . Bài 12: Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a . Diện tích tam giác ABC’ là a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ .. Dạng 2; Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. C' A' Giải Ta có A'A  (ABC)  A'A  AB&AB là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . B' Vậy góc[A'B,(ABC)]  ABA'  60o ABA'  AA'  AB.tan 600  a 3 2 SABC = 1 BA.BC  a C A 2 2 3 o 60 Vậy V = SABC.AA' = a 3 2 B. Bài 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.. 166.

(167) A'. Giải. C'. B'. 30. A. ABC  AB  AC.tan60o  a 3 .. o. C. a o 60 B. Ta có: AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o AB AC'B  AC'   3a t an30o V =B.h = SABC.AA' AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a 2 a2 3 ABC là nửa tam giác đều nên SABC  2 3 Vậy V = a 6. Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Giải Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta A' D' có: DD'  (ABCD)  DD'  BD và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD . Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD'  300 o C B a 6 30 BDD'  DD'  BD.tan 300  D 3 A 3 2 Vậy V = SABCD.DD' = a 6 S = 4SADD'A' = 4a 6 a 3 3 Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh C'. B'. a và BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp.. 167.

(168) Giải. C'. B'. ABD đều cạnh a  SABD  A'. D'. A. 60. C. B. o 30 o. D a. a2 3 4. a2 3 2 ABB' vuông tạiB  BB'  ABt an30o  a 3 3a3 Vậy V  B.h  SABCD .BB'  2.  SABCD  2SABD . Bài tập vận dụng Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a,  ACB=600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 2: Cho khối trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, A1B tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó. Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ACB  600 , biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300 .Tính AC' và thể tích lăng trụ. Bài 4: Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy là a. đường chéo AC’ tạo với mặt bên BCC’B’ góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ . Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. Giải: A' C' Ta có A'A  (ABC)&BC  AB  BC  A'B B'. A. C. o 60 B. Vậy góc[(A'BC),(ABC)]  ABA'  60o ABA'  AA'  AB.tan 600  a 3 2 SABC = 1 BA.BC  a 2 2 3 Vậy V = SABC.AA' = a 3 2. Bài 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt. 168.

(169) (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Giải: C' A' ABC đều  AI  BC mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl 3  ). Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A'IA = 30o B' 2x 3  x 3 .Ta có Giả sử BI = x  AI  2. A' AI : A' I  AI : cos 30 0  30o. A. 3. . 2x 3 3.  2x. 3 x 3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2 Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3. C. B. 2 AI. A’A = AI.tan 300 = x 3.. xI. Bài 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. D'. C'. A'. B'. C. D 60 0. O A B. a. Giải Gọi O là tâm của ABCD . Ta có ABCD là hình vuông nên OC  BD CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl 3  ). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 a 6 OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = 2 3 a 6 Vậy V = 2. Bài 4 :Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Giải Ta có AA'  (ABCD)  AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) . Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA  30o 169.

(170) D'. A' C'. B' 2a. D. A o 60. o 30. C. B. BC  AB  BC  A'B (đl 3  ) . Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA  60o A'AC  AC = AA'.cot30o = 2a 3 A'AB  AB = AA'.cot60o = 2a 3 3 4a 6 ABC  BC  AC2  AB2  3 3 Vậy V = AB.BC.AA' = 16a 2 3. Bài tập tương tự Bài 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600. hãy tính thể tích khối trụ Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, BC  2a , Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc 600 . a/ Chứng minh AB  ( ACC ' A '). b/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a.. c/ Tính khoảng cách từ A đến đến mp(A’BC). mp(BCC’B’).. d/. Tính. từ. AA’. đến. Bài 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ , góc giữa mặt phẳng (C’AB) với (ABC) bằng 300 , khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) bằng a . Tính khoảng cách từ C đến mp(C’AB) và thể tích khối lăng trụ. Bài 4: Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’, góc giữa (B’AC) với mặt đáy (ABCD) bằng 600 , khoảng cách từ B đến (B’AC) bằng a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.. Dạng 4:. Khối lăng trụ xiên. Bài 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.. 170.

(171) A'. Giải Ta có C'H  (ABC)  CH là hình chiếu của CC' trên (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]  C'CH  60o 3a CHC'  C'H  CC'.sin 600  2 2 3 SABC =  a 3 .Vậy V = SABC.C'H = 3a 3 4 8. C' B'. C. A B. a. o 60 H. Bài 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 . 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ .. Giải 1) Ta có A'O  (ABC)  OA là hình chiếu của AA' trên (ABC) Vậy góc[AA',(ABC)]  OAA'  60o B' Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) o 60 AO  BC tại trung điểm H của BC nên A C BC  A'H (đl 3  ) O  BC  (AA'H)  BC  AA' mà AA'//BB' a H nên BC  BB' .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. B 2) ABC đều nên AO  2 AH  2 a 3  a 3 3 3 2 3 AOA'  A'O  AOt an60o  a 3 Vậy V = SABC.A'O = a 3 4 Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , A'. C'. AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.. 171.

(172) Giải Kẻ A’H  (ABCD ) ,HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD (đl 3  )  A'MH  45o ,A'NH  60o. Đặt A’H = x . Khi đó 2x A’N = x : sin 600 = 3 3  4x 2  HM AN = AA'  A' N  3 Mà HM = x.cot 450 = x 2. 2. 3  4x 2 3 x Nghĩa là x = 3 7 Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x 3 3 = 3. 7. 7. Bài tập tương tự Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600 . a/ Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.. b/ Tính thể tích. lăng trụ. Bài 2: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. a/ Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.. b/ Tính thể tích. lăng trụ. Bài 3: (NGT 2011) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 3, A ' A  A ' B  A ' C . Mặt phẳng ( A ' AB) hợp với mặt đáy góc 600 .. Tính thể tích khối lăng trụ và cosin của góc giữa BC và AA’.. 172.

(173) A'. N. I. C. B H M. A. Bài 4: (2011B) Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của A1 lên mặt phẳng ABCD trùng vào giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng. ( A1BD) theo a. A1. B1. D1 C1. A. E. B H. 600 O. D. C. Bài 5: (2012D) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C  a . Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Bài 6: (DTH 2011) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A. AB  2a, BAC  1200 . Hình chiếu của A’ lên đáy trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết ta giác A’BC vuông tại A’. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.. 173.

(174) Bài 7: (2010B) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB  a , góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.. 174.

(175) CHUYÊN ĐỀ: KHỐI TRÒN XOAY A.. Kiến thức cần nhớ. I. Định nghĩa Mặt tròn xoay Trong không gian cho hình H và đường thẳng ∆.Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M thuộc H được gọi là hình tròn xoay sinh bởi H khi quay quanh ∆.Đường thẳng ∆ được gọi là trục của hình tròn xoay đó. Khi hình H là một đường thì hình tròn xoay sinh ra bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay.. II. Mặt cầu, khối cầu 1.. Mặt cầu S(O; R) là tập hợp {M | OM = R}. Khối cầu S(O; R) là tập hợp {M | OM ≤ R}. Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi 1 đường tròn khi quay quanh một đường thẳng chứa đường kính của đường tròn đó . Khối cầu là hình tròn xoay sinh bởi một hình tròn khi quay quanh một đường thằng chứa đường kính của hình tròn đó. 2. Giao của mặt cầu S(O; R) và mp(P) phụ thuộc vào R và khoảng cách d từ O đến (P). Giả sử H là hình chiếu của O trên mp(P). Khi đó : - Nếu d < R thì giao là đường tròn nằm trên (P) có tâm H, bán kính r √ ; - Nếu d = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H ; - Nếu d > R thì mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R). 3. Giao của mặt cầu S(O; R) và đường thằng Δ phụ thuộc vào R và khoảng cách d từ O tới Δ. Giả sử H là hình chiếu của O trên Δ. Khi đó : - Nếu d < R thì đường thẳng Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại 2 điểm phân biệt ; - Nếu d = R thì Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H. Các đường thằng tiếp xúc với mặt cầu tại H nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại H ; - Nếu d > R thì Δ không cắt mặt cầu S(O; R). 4. Về các tiếp tuyến của mặt cầu đi qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu : - Các đoạn thẳng nối A và các tiếp điểm bằng nhau. - Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn. 5. Hình cầu bán kính R có diện tích bằng 4π và có thể tích bằng π .. III. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ 1.. Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi xoay quanh đường thẳng D song song và cách l một khoảng R. D được gọi là trục, R gọi là bán kính, l gọi là đường sinh 175.

(176) Mặt trụ có trục Δ, bán kính R là tập hợp tất cả các điểm cách đường thẳng Δ một khoảng R. Định nghĩa khác, mặt trụ là tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng D cố định một khoảng R không đổi.. 2.. Hình trụ là phần mặt trụ nằm giữa 2 mặt phẳng phân biệt vuông góc với trục của mặt trụ, cùng với hai hình tròn giới hạn bởi 2 đường tròn là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng nói trên. Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi bốn cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích số chu vi đường tròn đáy và chiều cao Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy. 3. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của hình trụ đó. Khối trụ là hình tròn xoay sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả các điểm nằm trong nó) khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó. Thể tích khối trụ bằng tích số của diện tích đáy và chiều cao. V  Bh   r 2h. Sxq  2 rl. Stp  S xq  2Sđáy. 4.Tính chất + ếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp thì ta được đường tròn có t m trên của mặt trụ đó.. vuông góc với trục. và có bán kính bằng r với r c ng chính là bán kính. + ếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp trục. không vuông góc với. nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nh. bằng 2r và trục lớn bằng + Cho mp. 2r , trong đó sin. là góc giữa trục. và mp. với 00. 900 .. song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cách một khoảng k .. 176.

(177) - ếu k. r thì mp. cắt mặt trụ theo hai đường sinh. thiết diện là hình chữ nhật.. - ếu k. r thì mp. tiếp x c với mặt trụ theo một đường sinh.. - ếu k. r thì mp. không cắt mặt trụ.. IV. Mặt nón, hình nón và khối nón 1.. 2.. Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng Δ cắt l nhưng không vuông góc với l. Mặt nón đỉnh O, trục Δ (O thuộc Δ), góc ở đỉnh 2α là hình gồm tất cả các đường thẳng đi qua O và tạo với Δ một góc bằng α ( ). Xét hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc a với 00<a< 900. Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh ∆ được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Đường thẳng ∆ gọi là trục Đường thẳng d gọi là đường sinh Góc 2a gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó. Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích số chu vi đáy và độ dài đường sinh. Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. Phần của mặt nón giới hạn bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục tới đỉnh O được gọi là hình nón Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón Đường tròn (C) được gọi là đường tròn đáy Hình tròn (C) được gọi là đáy của hình nón. 3.. Khối nón là hình nón cùng với phần bên trong của hình nón đó. Khối nón là hình tròn xoay sinh bởi một tam giác vuông (kể cả phần trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích đáy và chiều cao. 1 1 V  Bh   r 2 h 3 3. Sxq   rl. Stp  S xq  Sđáy. 177.

(178) 4.Tính chất * ếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng i. a. nh thì có các trường hợp sau xảy. ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh. Thiết diện là tam giác c n.. + Mặt phẳng tiếp x c với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. * ếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng h ng i. a. nh thì có các trường hợp. sau xảy ra: + ếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón. giao tuyến là một đường tròn.. + ếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón. giao tuyến là 2 nhánh. của 1 hypebol. + ếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón. giao tuyến là 1 đường. parabol.. V. Kiến thức mở rộng 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU. R. O. R. M M. O. R. H. H. H. M P. P. 178. O. P.

(179) - OH > R  Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung. - OH = R  Mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc tại H. Khi đó:  Mặt phẳng tiếp xúc gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm;  Tính chất : Tiếp diện vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - OH < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có tâm H và bán kính r  R2  OH 2 - Nếu OH = 0 (hay O  H): Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có tâm O và bán kính bằng R.  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU. (C). (C). O  H. R. O. . P. (C). O. A . H. B H. Giả sử đường thẳng () không qua O. Khi đó mp(O,)S(O,R) = C(O,R). Gọi OH là các khoảng cách từ O tới (). - OH > R  () và (S) không có điểm chung - OH = R  () tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó:  () gọi là tiếp tuyến, H gọi là tiếp điểm.  Tính chất: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - OH < R  () cắt (S) tại 2 điểm.. 2. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP Mặt cầu ngoại tiếp. Mặt cầu nội tiếp. 179.

(180) Hình a diện. Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu. Hình trụ. Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu. Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ. Hình nón. Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón. Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón. 4. XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN. • Cách 1: Tìm một điểm cách đều các đỉnh của đa diện. Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình đa diện. Khi đó O là t m mặt cầu ngoại tiếp (Thường tìm 2 đỉnh sao cho từ (n – 2) đỉnh còn lại của đa diện nhìn hai đỉnh đó dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó). • Cách 2: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. B1. Dựng trục d đi qua t m I của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD B2. Dựng mặt phẳng trung trực    của cạnh bên SA. Gọi. d. O là giao điểm của d và    thì ta có:  O  d  OA  OB  OC  OD  OA  OB  OC  OD  OS  O    OA  OS    . B3. Kết luận : Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu là R = OA. Đặc biệt:. S M O D. A I B. C. Hình chóp có đường thẳng d là trục của đường tròn đáy  Tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của một. cạnh bên (nếu có cạnh bên SA và d đồng phẳng thì dựng đường trung trực của cạnh bên SA đó trong mp (d, SA). • Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ. B1. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp; B2. Xác định toạ độ các điểm có liên quan;. 180.

(181) B3. Sử dụng kiến thức về toạ độ để giải quyết yêu cầu của bài toán.. B.. Hệ thống bài tập. . Mặt Cầu, khối cầu. Nhận xét: Các bài tập về mặt cầu, khối cầu quan trọng nhất là việc xác định mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Chính vì thế chúng ta sẽ đi tìm cách xác định mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu. PhÇn 1: MÆt cÇu ngo¹i tiÕp 1.MÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp a. Trôc cña ®-êng trßn ( O; R ) : §-êng th¼ng d gäi lµ trôc cña ®-êng trßn (O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đ-ờng tròn đó. b. MÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp : H×nh chãp S.A1A2...An néi tiÕp mÆt cÇu (S) khi vµ chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đ-ờng tròn. 2. MÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh l¨ng trô a. Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy lµ mét ®a gi¸c néi tiÕp mét ®-êng trßn. b. Cũng t-ơng tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình l¨ng trô.. Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là φ. Lêi gi¶i:. S. Gi¶ sö S.ABC lµ h×nh chãp tam gi¸c. I. đều cạnh đáy a. Gọi M là trung điểm BC,. O C. G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó,. A. theo gi¶ thiÕt cña bµi to¸n th× SG chÝnh N. lµ trôc cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. G. M B. 181.

(182) ABC vµ SMG = φ . Gäi I lµ trung ®iÓm SA, kÎ ®-êng trung trùc cña SA c¾t SG t¹i O, ta cã : OS = OA = OB = OC, suy ra O chÝnh lµ t©m cña mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp, b¸n kÝnh OS.Ta cã AM = 2 3. suy ra AG  AM . ta cã :. AB 2  BM 2  a 2 . a2 a 3  4 2. a 3 1 a 3 ; GM  AG  . Trong tam gi¸c vu«ng SGM 3 2 6. GM GM a 3 , trong tam gi¸c vu«ng SGA:  cos  SG   SG cos 6cos. Hai tam giác vuông SGA và SIO đồng dạng nên ta có. SO SI , suy ra:  SA SG. SA.SI SA2 a 2 (1  4cos ) 3cos a(1  4cos )   .  . VËy b¸n kÝnh cña mÆt cÇu (S) lµ SG 2SG 12cos a 3 4 3 a(1  4cos ) . R  SO  4 3. SO . Bài 2: (Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vuông góc với đáy, SA = 2a, ABC là tam giác đều cạnh a. Lêi gi¶i:. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, d lµ ®-êng th¼ng qua G vµ vu«ng gãc víi mặt phẳng (ABC). Khi đó, d chính là trục của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . I lµ trung ®iÓm SA suy ra SA // d. Gäi I lµ trung ®iÓm SA, kÎ ®-êng trung trùc cña SA qua I cắt d tại O. Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy ra. O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp SABC, 182.

(183) S. b¸n kÝnh R = OS. T-¬ng tù bµi 1 ta cã AG . I. a a 3 , AI  OG  , 2 3. O. suy ra R  OA  OG 2  AG 2 . 2. C. A. 2. a a a 21   4 3 6. G. N. Bài 3: ( Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy ). M B. Cho tø diÖn ABCD cã AB = AC = a; BC = b. Hai mÆt ph¼ng (BCD) vµ (ABC) vu«ng gãc víi nhau, gãc BDC b»ng 900 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b. Lêi gi¶i:. Gäi M lµ trung ®iÓm BC, do hai mÆt ph¼ng. A. (ABC) vµ (BCD) vu«ng gãc víi nhau nªn AM  (BCD), mÆt kh¸c, tam gi¸c BCD N. vu«ng t¹i D nªn M chÝnh lµ t©m cña ®-êng. O. trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD, suy ra, AM B. lµ trôc cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. M. BCD . Do vËy, t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD còng chÝnh. C. lµ t©m vµ b¸n kÝnh cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Tam gi¸c ABC cã AB = AC = a, BC = b suy ra b2 4a 2  b 2 AM  AB  BM  a   4 2 2. 1 2. 2. vµ SABC= AM .BC . D. 2. b. 4a 2  b 2 a.a.b a2  .Do vËy, R  4 4S ABC 4a 2  b 2. Bµi 4: ( Chøng minh c¸c ®iÓm cïng thuéc mét mÆt cÇu). 183.

(184) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = c, AC = b, góc BAC = φ. Gọi B1, C1 lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ®i qua n¨m ®iÓm A, B, C, B1, C1 . Lêi gi¶i : S. Gäi AD lµ ®-êng kÝnh cña C1. ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Khi đó, vì BD  AB và BD  SA nên. B1. BD  (SAB) suy ra BD  AB1 mµ AB1  SB (gi¶ thiÕt) nªn AB1  (SBD). A. suy ra AB1  DB1. Chøng minh t-¬ng. C. φ. tù ta còng cã AC1  DC1, nh- vËy 5 B. ®iÓm A, B, C, B1, C1 cïng nh×n AD. D. d-íi mét gãc 900 hay 5 ®iÓm nµy n»m trªn mÆt cÇu ®-êng kÝnh AD. Ta cã, SABC= R. 1 abc suy ra bc sin  = 2 4R. a mà theo định lý côsin ta có 2sin . a = b2 + c2 – 2bc.cos φ, do vËy R . b2  c 2  2bc.cos 2sin . Bài 5 (Xác định tâm mặt cầu bằng cách tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình ®a diÖn). 1. Tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại có độ dài a 2 . Xác định tâm và tính bán kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. Lêi gi¶i :. Theo gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ta cã hai tam gi¸c 184.

(185) ACD vµ BCD lÇn l-ît vu«ng t¹i A vµ B . Gäi O là trung điểm của CD suy ra, O cách đều tất. A. cả các đỉnh của hình tứ diện . Do vËy, O chÝnh lµ t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu lµ:. D. B. R. CD a 2. O. 2. Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = 3; AC = BD = 5; AD = BC = 6. Xác định tâm. C. vµ tÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn. Lêi gi¶i : Gäi I, J lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD th× dÔ thÊy IJ  AB. A. vµ IJ  CD, bëi vËy: NÕu gäi O lµ trung ®iÓm cña IJ th× OA = OB,. I. OC = OD. Ngoµi ra, v× AB = CD = 3 nªn O. hai tam gi¸c vu«ng OIB vµ OIC b»ng nhau, B. do đó OB = OC. Vậy O cách đều bốn đỉnh. D. A, B, C, D. MÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD cã t©m O vµ cã b¸n kÝnh R = OA. Ta cã: OA2  OI 2  AI 2 . C. IJ AB IJ  9   . 4 4 4 2. 2. 2. V× CI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC nªn CI 2 . 2a 2  2b2  c 2 113  4 4. 113 c 2 113  9    26 . Suy ra IJ  CI  CJ  4 4 4 2. 2. 2. Nh- vËy : R 2  OA2 . J. 26  9 35 35  R 4 4 2. 185.

(186) Bµi 6 ( mét sè bµi to¸n vÒ h×nh l¨ng trô) 1. Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC là tam giác có góc BAC bằng 1200 , AB = a, AC = 2a, đ-ờng chéo AB1 của mặt bên ABB1A1 tạo với đáy một góc 750. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Lêi gi¶i:. E. A. M. N. Trong tam giác ABC theo định lý. C. B. c«sin ta cã : BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200 =. O. a + 4a + 2a = 7a  BC  a 7 2. 2. 2. 2. I. mµ BC = 2Rsin1200 nªn b¸n kÝnh r A1. cña ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. E. ABC b»ng : r. C1 B1. BC a 7 a 21 .Theo gi¶ thiÕt   0 2sin120 3 3. AB1 tạo với đáy một góc 750 nªn gãc BAB1 = 750 suy ra, trong tam gi¸c vu«ng ABB1 ta cã : BB1  AB.tan 750  a.tan(450  300 )  a.(2  3). Gäi E, E1 lÇn l-ît lµ t©m cña c¸c ®-êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ A 1B1C1. Khi đó, EE1 là trục của các đ-ờng tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB 1 kÎ ®-êng trung trùc cña BB1 c¾t EE1 t¹i O suy ra OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O chÝnh lµ t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh l¨ng trô b¸n kÝnh R = OB. Ta có OI = EB = r , áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB ta có: OB2 = OI2 + IB2 =. 7a 2 a 2 (2  3) 2 (49  12 3)a 2 49  12 3    R  a. 3 4 12 12. 186.

(187) 2. [§¹i häc S- ph¹m Vinh 2000] Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA1B1C1D1 cã AB = p, AD = q, AA1 = r, 0 < p < q < r. Gäi I, J lÇn l-ît lµ trung ®iÓm AB, C 1D1, vµ M, N lµ c¸c ®iÓm tháa m·n AM  k.AD, BN  k.BB1,0  k  1 (1) a. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BDA1) b. Chøng minh r»ng víi mçi k tháa m·n (1) th× I, M, J, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. Tìm k để MN vuông góc với IJ c.T×m t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn ABDA1 vµ t©m H cña ®-êng trßn lµ giao cña mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (BDA1) Lêi gi¶i :. Chọn hệ trục tọa độ nh- hình vẽ, với A(0 ; 0 ; 0) , B(0 ; p ; 0) , D(q ; 0 ; 0) , C(q ; p ; 0) , A1(0 ; 0 ; r) B1(0 ; p ; r), C1(q ; p ; r), D1(q ; 0 ; r). a. MÆt ph¼ng (BDA1) cã ph-¬ng tr×nh :. x y z   1 q p r. Suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA1) là: h. 1  1 1 1   q2 p2 r 2. pqr p q  q2r 2  r 2 p2 2. 2. z. b. Theo gi¶ thiÕt ta cã : A1. p p I (0; ;0); J (q; ; r ) ; M(kq ; 0 ; 0) 2 2. N(0 ; p ; kr) suy ra :. J. D1. p p  IM  (kq;  ;0); IN  (0; ; kr ); IJ  (q;0; r ) . 2 2. A. I, M, J, N luôn đồng phẳng.. D. MN  (kq; p; kr ); IJ .MN  kq  kr  k (r  q ) , 2. C1. 2. 2. x. MN vu«ng gãc víi IJ khi vµ chØ khi 187. N y. I. M. DÔ thÊy k IJ  IM  IN nªn bèn ®iÓm. 2. B1. B. C.

(188) IJ .MN  0  k (r 2  q 2 )  0  k  0 (v× r > q). T©m O cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABDA1 còng lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh hép, q p r tức là trung điểm của đ-ờng chéo AC1,do đó O( ; ; ) và bán kính R  2 2 2. p2  q2  r 2 . 2. Điểm H cần xác định chính là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt phẳng (BDA1). Mặt 1 1 1 q p r. ph¼ng nµy cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn v  ( ; ; ) còng lµ vÐct¬ chØ ph-¬ng cña ®-êng th¼ng q 1   x  2  q .t  p 1  OH suy ra ®-êng th¼ng nµy cã ph-¬ng tr×nh lµ:  y   .t , t  R thay vµo ph-¬ng tr×nh 2 p   r 1  z   .t 2 r  q 1 1 p 1 1 r 1 1 của mặt phẳng (BDA1), ta đ-ợc : (  .t ).  (  .t ).  (  .t ).  1 suy ra H có tọa độ 2 q q 2 p p 2 r r. : x. q3 ( p 2  r 2 ) p 3 (q 2  r 2 ) r 3 ( p2  q2 ) ; y  ; z  ; 2( p 2 q 2  q 2 r 2  r 2 p 2 ) 2( p 2 q 2  q 2 r 2  r 2 p 2 ) 2( p 2 q 2  q 2 r 2  r 2 p 2 ). Nhận xét : Đối với bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bất kỳ thì việc xác định là khó khăn, nh-ng lại có một đặc điểm thuận lợi là các tứ diện này th-ờng nằm trong một hình hộp đặc biệt chẳng hạn nh- hình hộp chữ nhật hay hình lập ph-ơng . Khi đó để giải quyết bài toán ta th-ờng dùng ph-ơng pháp tọa độ.. Bµi tËp t-¬ng tù 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = b, ®-êng cao cña h×nh chãp lµ SA. Gäi B1, C1, D1 lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC, SD. a. Chøng minh r»ng A, B1, C1, D1 cïng thuéc mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi SC. b. Xác định tâm và tính diện tích của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, B1, C1, D1. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA vuông góc với đáy, (P) là mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC c¾t SB, SC, SD lÇn l-ît t¹i M, N, P. a. Chøng minh r»ng BD vu«ng gãc víi AN b. Chøng minh r»ng S, A, M, N, P cïng thuéc mét mÆt cÇu. 188.

(189) 3.Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, trªn ®-êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i A lÊy ®iÓm S. Gäi AD, AE lÇn l-ît lµ hai ®-êng cao cña c¸c tam gi¸c SAB, SAC . Chứng minh rằng A, B, C, D, E cùng nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. 4. Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®-êng th¼ng d vµ ®iÓm A kh«ng thuéc d , gãc  xAy di động quanh A cắt d tại B và C. Trên đ-ờng thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một ®iÓm S . Gäi H, K lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC a. Chøng minh r»ng A, B, C, H, K cïng thuéc mét mÆt cÇu b. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu trªn khi AB = 2, AC = 3, gãc  BAC b»ng 600 5. Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thang c©n ABCD víi AB = 2a, BC = DC = DA = a. Trên nửa đ-ờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy một điểm S di động . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB, SC, SD tại P, Q, R theo thứ tự đó. a. Chứng minh rằng 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu đó. b. Chøng minh r»ng CDQR lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ ®-êng th¼ng ®i qua QR lu«n ®i qua một điểm cố định khi S thay đổi trên Ax. c. Cho SA = a 3 . H·y tÝnh diÖn tÝch tø gi¸c APQR. 6. Cho h×nh chãp SABC cã ABC lµ tam gi¸c c©n AB =AC = a, hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) vuông góc với nhau và SA = SB = a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp h×nh chãp biÕt SC = x. 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD). Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 8. Cho tø diÖn SABC cã gãc ASB b»ng 1200, gãc BSC b»ng 600, gãc CSA b»ng 900, x¸c định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 9. Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = AC = BD = a, AD = b, hai mÆt ph¼ng (ACD) vµ (BCD) vuông góc với nhau. Xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 10. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a. 11. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình vuông cạnh 2a.. 189.

(190) 12. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vuông góc với đáy, SA = a, ABCD là hình thang cân nội tiếp trong đ-ờng tròn đ-ờng kính AD = 2a. 13. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba góc đỉnh S b»ng 900 vµ SA = a, SB = b, SC = c. 14. Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n c¹nh huyÒn AB = 2a. Trªn ®-êng th¼ng d qua A vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm S kh¸c A. Chứng minh rằng hình chóp SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.. Phần 2: Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến loại mặt cầu ít gặp hơn đó là: mặt cÇu néi tiÕp Định nghĩa 1: mặt phẳng phân giác của một góc là mặt phẳng qua gốc và mọi điềm nằm trên mặt phẳng đều cách đều 2 tia cùa góc. Tương tự ta c ng định nghĩa mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện là tập hợp tất cả các điểm trong không gian sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi mặt phẳng của nhị diện là như nhau. Định nghĩa 2: Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc tất cả các mặt của đa diện. Khi đó ta c ng nói đa diện ngoại tiếp mặt cầu. Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau khoảng cách từ tâm của mặt cầu nội tiếp đa diện đến các mặt của đa diện bằng nhau.. r n Do đó với n-diện bất kì có mặt cầu nội tiếp thì V  . Si 3 i 1 Trong đó Si là diện là diện tích của mặt thứ i của đa diện. Từ đó bán kính mặt cầu nội tiếp đa diện được tính theo công thức. r. 3V n. S i 1. i. Ví dụ 1 a,Xác định tâm và bán kính của tứ diện đều cạnh a, tứ diện có góc tam diện vuông cạnh a.. 190.

(191) b, Tính bán kính đường tròn nội tiếp tứ diện ABCD có AB=CD=a, BC=DA=b, BD=CA=c. c. Tính thể tích hình lăng trụ tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính R. Giải.. a, A. D. I. B H. F. E C. Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của BC,CD. {H }  BF DE 2 2 2 AH  AB 2  BH 2  AB 2  ( BF )2  AB 2  ( BC.sin 600 ) 2  a 3 3 3. VABCD. 1 1 a2 3 2 a3 2  S BCD . AH  . .a  3 3 4 3 12. Từ đó nếu r là độ dài bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD thì. a3 2 3. 3V 12  a 2 r n  2 a 3 4 3 Si 4.  4 i 1. 191.

(192) B. D A. C. Ta có. VABCD. 2 2 2 a3 a ( a 2) 3 a 3  , SBCD   . S ABC  S ACD  S ABD  6 2 4 2. Bài này tương đối đơn giản. Nếu r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD thì a3 3V a 6 r n   a2 a2 3 3  3 S 3.   i 2 2 i 1 3.. b, A. F B G D C E. Qua các đỉnh B,C,D vẽ các đường thẳng lần lượt song song với CD,BD,BC ch ng đôi một cắt nhau tại E,F,G như hình vẽ. 192.

(193) nhận ra rằng AC=1/2GE  ∆AGE vuông tại A. Tương tự ∆EAF, ∆GAF c ng vuông tại A. Tức là góc tam diện đỉnh A vuông. Ta có  AG 2  AE 2  AF 2  2(a 2  b 2  c 2 )  AG 2  AE 2  4c 2  2 2 2 2  2  AE  2(a  b  c ) 2 2  AE  AF  4b   2 2 2 2  AF 2  AG 2  4a 2  AF  2(a  b  c )   AG 2  2(a 2  b 2  c 2 ) . 1 1 VABCD  VAGEF  AG. AE. AF 4 24 Từ đó ta được 1 = 2(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 ) 12 Nhận ra rằng các mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau và diện tích mỗi mặt là S. 1 (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c) 4. Từ đ y ta được bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đã cho là 1 2(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 ) r n 4 (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c )  Si 3V. i 1. . 1 2(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 ) 4 (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c). c,Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Sử dụng nhận xét “Một lăng trụ có mặt cầu nội tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác ngoại tiếp được đường tròn và có chiều cao bằng 2 lần bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đáy.” Ta được S(ABC)= 6R/  pR=. a2 3 (a là độ dài cạnh ∆ABC) 4. Suy ra a= 2 3R .. 193.

(194) Từ đó ta được V=Sh=. (2 3R) 2 3 .2 R  6 3R3 4. Ví dụ 2 Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón. b) Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó. c) Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường tròn đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt đáy của hình nón. Biết bán kính của hình trụ bằng một nửa bán kính đáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ. Giải. a) SAB đều  SA  2R, SO  R 3 1 1  R3 3 S xq  .2 R.SA  2 R 2 ; V   R 2 .SO  3 3 2. b) Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO Bán kính mặt cầu r = O’O. 1 R 3 4 3 4 3 R3 ; V=  r  r  SO  3 27 3 3. c) : trung điểm OB; ON: bán kính hình trụ ON=  NN '  IO . R 2. 1 R 3  R3 3 ; V=  .ON 2 .IO  SO  8 2 2. . Mặt nón, Khối nón. Dạng bài tính thể tích hối nón và diện tích x ng. anh mặt nón. Ví dụ 1. Cho mặt cầu đường kính AB =2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).. 194.

(195) +Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). +Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất. Giải Gọi EF là 1 đường kính của (C) ta có :. O. 2. IE = IA.IB = h(2R  h). E I. ⇒ R = IE = h(2R  h) 1 3. Thể tích cần tính là: V= r 2 h   3. V’= (4 Rh  3h2 ) , V’ = 0  h . h. F 2. 3. (2r  h) với 0< h< 2R. B. 4R 3. V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: h  4 R hay AI = 3. 4R . 3. Ví dụ 2: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón A. Giải a) * Sxq =  Rl =  .OB.AB = 15  Tính: AB = 5 (   AOB tại O). 4. * Stp = Sxq + Sđáy = 15  + 9  = 24  b) V = =12 . O. 3. B. 1 1 1 2 R h = .OB2 .OA = .32.4 = 3 3 3. Ví dụ 3: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón 195.

(196) b) Tính thể tích của khối nón Giải a) * Sxq =  Rl =  .OB.SB = 2  a2 * Stp = Sxq + Sđáy = 2  a2 +  a2 = 23  a2. S. 1 1 2 R h = .OB2 .SO = 3 3 3 1 2 a 3 .a .a 3  3 3. b) V =. 2a. A. 2a 3  a 3 (vì SO là đường 2 cao của  SAB đều cạnh 2a). B. O. Tính: SO =. Ví dụ 4: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Giải : a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông . . cân tại S nên A = B = 450 S. * Sxq =  Rl =  .OA.SA =  a. 2. 2. Tính: SA = a 2 ; OA = a (   SOA tại O). (1 +. * Stp = Sxq + Sđáy =  a2 2 +  a2 = 2 )  a2. 1 1 2 R h = .OA 2 .SO = 3 3 3 1 2 a .a .a  3 3. b) V =. 196. A. 45 O. B.

(197) Ví dụ 5. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là  . a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ t m của đáy hình nón đến mặt phẳng này. Giải. S Tính V và Sxq. SAO vuông ở O : SO = a.sin  , AO = a.cos  1 1  . AO 2 .SO   .a 3 . cos 2  . sin  3 V= 3 2 Sxq =  .AO.SA   .a . cos  a) * Tính SSAB : Kẻ OH  AB  SH  AB , do đó. SHO  600  vuông SOH :. SH . SO sin 60. 0. . a. A. 2a.sin  3. K. O. H. ,. B. a 3.sin  0. 3. OH = SO.cot60 =  AOH vuông ở H: 2. 2. 2. 2. 2. AH = AO – OH = a .cos. . 3a 2 .sin . a.  AH . 3cos 2   sin 2 . 3. 9. 1 2a 2 .sin  3cos 2   sin 2  AB.SH  3 Vậy SSAB = 2. * Tính d(O,(SAB)) : Kẻ OK  SH  OK  (SAB) a 3 sin . OKH vuông ở K : OK = OH.sin 60 = 0. 3. .. 3 2. . a.sin  2. .. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Biết rằng O là tâm của ABCD và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O và đáy (C). Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao Baøi 1.. 197.

(198) 2a. Biết rằng O là tâm của ABC và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O và đáy (C). Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C). 0 Baøi 4. Trong khoâng gian cho tam giaùc OIM vuoâng taïi I, goùc IOM baèng 30 vaø caïnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI taïo thaønh moät hình noùn troøn xoay. a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn troøn xoay taïo thaønh. b) Tính theå tích cuûa khoái noùn troøn xoay taïo thaønh. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.. Baøi 5.. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết dieän naøy. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO  300 , SAB=6 00 . Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. Baøi 7. Thieát dieän qua truïc cuûa moät khoái noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Baøi 8. Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ caïnh a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuoâng A’B’C’D’. Bài 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình vaø theå tích cuûa khoái noùn. Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt đáy là  . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và  . 0 Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và SAB   (  > 45 ). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuoâng ABCD. Baøi 6.. 198.

(199) Bài 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là . . a) Tình dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa khoái noùn. b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho. SI  k 0  k  1 . Tính SO. diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục. Bài 13: Hãy tìm: a) Giao của một hình nón và một mặt phẳng đi qua trục của nó b) Giao của một hình nón và mặt phẳng vuông góc với trục của nó. Bài 14.Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi a = AB/2. Chứng minh rằng d luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay. Bài 15: Trong mặt phẳng α cho một góc ∠xOy = 2φ. Một mặt phẳng β thay đổi luôn vuông góc với đường ph n giác của góc xOy cắt Ox, Oy tại A và B. Trong mặt phẳng β lấy điểm M nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Chứng minh rằng các điểm M luôn nằm trên một mặt nón xác định.. . Mặt trụ, hối trụ. Dạng bài tính diện tích x ng. anh và thể tích mặt trụ, hối trụ. Ví dụ 1. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên B O Giải I r ’ a) OA = 5cm; AA = 7cm A Sxq = 2  Rl = 2  .OA.AA’ = 2  .5.7 = 70  (cm2) l Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  = 120  (cm2) h 2 3 b) V = R h = .OA .OO =  .5 .7 = 175  (cm ) c) Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm O' B' OAI vuông ở I : AI = 4(cm) AB = 2AI = 2.4 = 8; AA’ = 7; A' SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. 2. 2. 199.

(200) a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên Giải a) * Sxq = 2  Rl = 2  .OA.AA’ = 2  .5.7 = 70  (cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm. B O. * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  =. r. I. A. =120  (cm ) 2. l. h. b) * V = R 2 h = .OA2 .OO =  .52.7 = = 175  (cm3). O'. c) Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm. B' A'. * SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) (   OAI tại I). Ví dụ 3: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.Tính thể tích của khối trụ. B. Giải. O. * Sxq = 2  Rl = 2  .OA.AA’ = 2  .R.2R = 4  R2. A. h. l. * OA =R; AA’ = 2R B'. * Stp = Sxq + 2Sđáy = 4  R2 +  R2 = 5  R2. A'. * V = R 2 h = .OA2 .OO = .R2 .2R  2R3. 200. O'.

(201) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Hãy tìm hình tạo bởi giao của một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ. Từ đó, xác định vị trí của mặt phẳng (P) để thiết diện của nó có diện tích lớn. Bài 2. Cho đường tròn (O;R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của ch ng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho. Bài 3: Cho hai điểm A, B cố định, AB = a. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB bằng S không đổi. Bài 4: Cho mặt phẳng α, một điểm A nằm trên α, một điểm B nằm ngoài α sao cho hình chiếu vuông góc H của B trên α không trùng với A. Một điểm M chạy trong α sao cho luôn luôn có ∠ABM = ∠BMH. Tìm tập hợp điểm M. Bài 5. Cho hình trụ có bán kinh R và chiều cao c ng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là d y cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình tròn. Tính cạnh của hình vuông đó. Bài 6: Cho đường tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của ch ng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho. Bài 7: Cho điểm A cố định và nằm ngoài đường thẳng d cố định. Một đường thẳng a thay đổi nhưng luôn vuông góc với d và cắt d. Tìm tập hợp các điểm M là hình chiếu A lên a. Bài 8: Trên hai đáy của hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đôngt hời tạo với nhau một góc là 300 . Biết rằng đoạn thẳng nối hai đầu m t của hai bán kính không đi qua t m đường tròn có độ dài là a. Tính tan của góc hợp trục và đoạn thẳng qua 2 m t đó. Bài 9.Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OOAB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. Bài 10.Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO hợp với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính chieàu cao hình truï vaø theå tích khoái truï. Bài 11.Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OOAB. Bài 12.Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.. 201.

(202) Bài 13.Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phaúng thieát dieän. Bài 14.Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi  h  a  h2  4R2  .. a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tính diện tích toàn phần một hình nón có đường sinh l và đường sinh hợp bởi đáy góc  . Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm M ở trên nửa đường tròn đó. Chiếu vuông góc M xuống AB thành H , đặt AH = x. a. Tính theo R và x thể tích V của hình nón tạo thành khi cho tam giác AMH quay quanh AB. b. Tìm giá trị lớn nhất của V. Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông cân tại A (AB = AC) , có cạnh BC = 60 cm. a. Tình diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay khi quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó. b. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích mặt cầu được tạo nên khi cho đường tròn (C) quay quanh trục là đường thẳng BC và thể tích khối cầu đó. Bài 4: Trong không gian cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay khi quay đường gấp khúc BCDA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB. b. Tính diện tích mặt cầu chứa hai đường tròn đáy của hình trụ nói trên và thể tích của khối cầu tương ứng. Bài 5 : a. Cho mặt cầu t m I bán kính r. gười ta có thể xem đó là một mặt cầu tròn xoay bằng cách nào ? b. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R = a. Khi quay hình vuông xung quanh trục là đường thẳng chứa đoạn BD thì đoạn thẳng AB tạo nên mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay và đường tròn tâm O nói trên tạo nên một mặt cầu . Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón đó và diện tích của mặt cầu . 202.

(203) Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) , AC = a, ABC  900 và SA = 2a. Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA   ABCD  . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó biết SA  AB  2 AD  3a. Bài 8: Tìm tâm G và bán kính một mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Bài 9: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh a; DA = 2a và DA   ABC  . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại B với AB = 2a. Từ trung điểm M của AB ta dựng đường thẳng vuông góc với (ABC) và chọn trên đó điểm S để tam giác SAB đều . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm Ab và SH = a 3 là độ dài đường cao hình chóp . Xác định tâm và bán kính mặt càu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 12 : Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai dỉnh liên tếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ , hai đỉnh còn lại nằm tren đường tròn đáy thứ hai cảu hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy cảu hình trụ một góc 450 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó. Bài 13: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a. Tính diện tích xung quanh , diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó. Bài 14: Tính thể tích lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R. Bài 15: Thiết diện qua trục của một hình nón là một ta giác cân có cạnh góc vuông bằng a. a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b. Tính thể tích của khối nón tương ứng.. 203.

(204) Bài 20: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h.Tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Bài 21: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông. Đường chéo bằng d và tạo với mặt bên của hình hộp góc 30 .Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình hộp. Bài 22: Một mặt phẳng α tạo với mặt đáy của một hình trụ góc 60 độ, α cắt 2 đáy tại hai dây cung AB = CD.Hình chiếu của C và D trên đáy hình trụ là C’, D’ và ABC’D’ tạo thành một hình vuông có cạnh bằng a. Tính thể tích của hình trụ. Bài 23: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2cm. gười ta khoét rỗng khối lập phương bằng một khối trụ nội tiếp khối lập phương. ếu đem sơn phần khoét rỗng (khối trụ) và hình lập phương thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu? Bài 24: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng nhau, trung tuyến của hai đáy có độ dài m. Tính thể tích khối tròn xoay nội tiếp lăng trụ. Bài 25: Tính thể tích hình nón trong các trường hợp sau: a) Đường sinh là l và góc hợp bởi đường sinh và đáy là α. b) Bán kính đáy là R, góc giữa đường sinh và trục của hình nón là β. c) Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có diện tích là S. Bài 26: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn t m O và O’, bán kinh R, chiều cao hình trụ là RÖ2. Trên hai đường tròn O và O’ có hai điểm di động A, B sao cho (OA,O’B) = α không đổi. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. Bài 27: Một hình trụ nội tiếp hình nón, có diện tích toàn phần bằng S, có thiết diện qua trục là hình vuông.Hình nón ngoại tiếp hình trụ nói trên có diện tích xung quanh là bao nhiêu, nếu góc giữa đường sinh và trục hình nón bằng 450 ? Bài 28: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(O; R). Hình trụ nào có diện tích xung quanh S lớn nhất. Bài 29. Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(O; R). Hình trụ nào có thể tích lớn nhất. Bài 30. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm của tam giác BCD, dựng mp(P) vuông góc với AO tại một điểm I thuộc đoạn AO, (P) cắt AB, AC, AD lần lượt tại. 204.

(205) M, N và P. Cho một hình trụ có một đáy là hình tròn (I) nội tiếp tam giác M P và đáy kia nằm trên (BCD). Xác định vị trí I trên AO để khối trụ có thể tích lớn nhất. Bài 31. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp. c) Tính diện tính xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón nội tiếp hình chóp. Bài 32. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón đó. b) Một mp (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách tới tâm O của đáy là 12cm. Hãy xác định thiết diện của khối nón cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện. Bài 33. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = a√ ; bán kính đáy r = a√ a) Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón. b) Một thiết diện qua đỉnh của hình nón và tạo với đáy một góc diện tích thiết diện.. . Tính. Bài 34. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là tam giác đều cạnh bằng 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón. Bài 35. Cắt 1 hình nón đỉnh S bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√ a) Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón b) Đoạn MN là dây cung của đường tròn đáy sao cho (SM ) tạo với đáy một góc . Tính diện tích tam giác SMN. Bài 36. Cho hình nón đỉnh S. Đường cao SO. Gọi A, B là 2 điểm trên đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và ̂ = và ̂ = . Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón. Bài 37. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ̂ = . Một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là φ. 205.

(206) a) Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón. b) Tính diện tích toàn phần của khối chóp và thể tích khối chóp S.ABC. Bài 38. Cho từ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với (ABC), BD vuông góc với BC, biết AD = AB = a a) Chứng minh rằng các mặt của tứ diện là các tam giác vuông . b) Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón được tạo thành khi quay quanh tam giác ABD quanh AB. Bài 39. Cho hình trụ có bán kính đáy r, đường cao h = r√ a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ b) Cho 2 điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 1. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. 2. Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ. 3. Tính góc giữa 2 bán kính đáy qua A và qua B. Bài 40. Một hình trụ có 2 đáy là (O; r) và ( ; r) khoảng cách giữa hai đáy Một hình nón có đỉnh là đáy (O; r). = r√ .. a) Gọi là diện tích xung quanh của hình trụ và là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2 phần đó.. 206.

(207) BÀI TẬP TỔNG HỢP 1. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp(MNP). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD). 2. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA). b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD). 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng (P) đi qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P). 4. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp(P) thì các giao điểm đó thẳng hàng. 5. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng mình ba điểm M, N, Q thẳng hàng. 6. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. 7. Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong ( ) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài ( ) và (  ) sao cho OA và OB lần lượt cắt (  ) tại A’ và B’. a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng. b) Trong ( ) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (  ) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng 8. Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC) b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF) 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD=a, BC=b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAĐ và SBC. Mặt. 207.

(208) phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. a) Chứng minh MN song song với PQ b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a, b. 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AC, BD. Tứ giác QRNS là hình gì? c) Chứng tỏ rằng ba đoạn MP, NQ, RS đồng quy tại trung điểm của chúng.  Cho lăng trụ tam giác ABC. A 'B 'C ' ; gọi M là một điểm trên cạnh A 'C '. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MABvà A' B 'C ' 12. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB; AC lần lượt lấy các điểm M; N sao cho AM AN  . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng DBCvà DMN. AB AC. 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). 14. Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của AE và BF. a) Chứng minh rằng OO′ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF). 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC'. Gọi I và I' tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C'. a) Chứng minh rằng AI // A' I'. b) Tim giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C). c) Tìm giao tuyến của (AB'C) và (A'BC). 16. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của A'B'. a) Chứng minh rằng CB'//(AHC). b) Tìm giao tuyến d của (AB'C') và (ABC). 17.Cho ba mặt phẳng (α), (𝛽), (𝛾) song song với nhau. Hai đường thẳng a và a' cắt ba mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A', B, C'. Cho AB = 5, BC = 4, A'C’ = 18. Tính độ dài A'B, B'C'. 18.Cho đường tròn C  tâm O nằm trong mặt phẳng P) a) Tìm ảnh (C’) của (C) trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (Q)//(P) theo phương d cắt (Q) b) Mặt phẳng (R) cắt (P) theo giao tuyến (Từ O vẽ OH vuông góc với , trong R vẽ đường vuông góc với  tại H và trên đường này lấy đoạn HO '  OH. Tìm ảnh C'' của C  trong phép chiếu song song trên mặt phẳng R theo phương OO'. 208.

(209) 19. Cho hai tia Ax và By chéo nhau trong không gian. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho. a b   1 với a, b là các số thực dương cho AM AN. trước. Chứng minh đường thẳng MN luôn cắt một đường thẳng cố định. 20. Vẽ hình chiếu của hình hộp ABCD. A1 B 1C1 D1 lên mặt phẳng P theo phương chiếu AC1 (AC1 không song song với mặt phẳng P 21. Cho hình bình hành ABCD ở trong mặt phẳng P. Gọi E là điểm ở ngoài mặt phẳng (P) a) Tìm ảnh của trọng tâm G của tam giác EAB trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương EC b) Tìm của trọng tâm G của tam giác EAB trong phép chiếu song song trên mặt phẳng EDC theo phương BC c) Gọi M, N, H, K lần lượt là trung điểm của EA, EB, EC, ED. Tìm ảnh của đa giác MNHK trong phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương EC d) Tìm ảnh của đa giác MNHK trong phép chiếu song song trên mặt phẳng P theo phương SI với I là trung điểm của AB. 22. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. Tính bán kính R khi góc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) b»ng 300. 23.Cho ®-êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, xÐt c¸c h×nh chãp S.ABCD cã SA vu«ng gãc với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho tr-ớc, ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp trong đ-ờng tròn đã cho mà AC vuông góc với BD. a. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp b. Tứ giác ABCD là hình gì để thể tích hình chóp S.ABCD lớn nhất ? 24. Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®-êng trßn ®-êng kÝnh AB = 2R, M lµ mét ®iÓm chuyển động trên đ-ờng tròn , MH vuông góc với AB tại H sao cho AH = x, 25.0< x < 2R. Dựng đ-ờng thẳng vuông góc với (P) tại M trên đó lấy điểm S sao cho MS = MH. Xác định tâm và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM. Tìm x để r lớn nhất. 26. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều trong c¸c tr-êng hîp sau: a. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b b. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ c. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ d. Hình chóp có cạnh bên bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng φ e. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, chiều cao h f. Hình chóp có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt bên bằng φ g. H×nh chãp cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a. 27. Hoàn toàn t-ơng tự ta cũng có các câu hỏi trên khi thay hình chóp tam giác đều bằng hình chóp tứ giác đều. 209.

(210) 28. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi E, K lần l-ợt là trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.EBK. 29.Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ c¹nh lµ 1, 2, 3 . Gäi M lµ ®iÓm trªn ®o¹n AC sao cho AM = 2MC; N lµ ®iÓm trªn ®o¹n BA’ sao cho NA’ = 2NB. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn AMNA’ 30. Một hình nón có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Gọi A là một điểm cố định trên đường tròn đáy (O), M là một điểm di động trên (O).Đặt . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (SAM). Tính OH theo R và a 31. Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng l thay đổi luôn luôn đi qua O và hợp với (P) một góc không đổi. Chứng minh rằng l luôn luôn nằm trên một mặt nón. 32. Cho mặt cầu S(O; R) và A nằm ngoài mặt cầu. Chứng minh rằng các đường d qua A và tiếp xúc với S(O; R) nằm trên một mặt nón. 33. Chứng minh rằng trong một mạt nón, góc ở đỉnh lớn hơn hay bằng bất cứ góc nào do hai đường sinh tạo nên. 34. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính SSBC 35. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a.Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên. b.Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó. 36. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là 4oat hình vuông. a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b.Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. 37. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3 ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300. a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b.Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. 38. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt 4oat trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O, R) sao cho OA và OB hợp với 210.

(211) nhau 5oat góc bằng x và và hai đường thẳng AB, OO hợp với nhau 5oat góc baèng y. a.Tính baùn kính R theo h, x, y. b.Tính Sxq, Stp vaø theå tích V cuûa hình truï theo h, x, y. 39. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 300. a.Tính độ dài đoạn thẳng AB’. b.Tính tang của góc giữa AB’ và OO’. c.Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’. 40. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao h  R 2 . Gọi A là 5oat điểm trên đường tròn tâm O và B là 5oat điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. a.Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ. b.Gọi   là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng   . c.Chứng minh rằng   là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng. R 2 . 2. 41.Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O ’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ 42. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và tính thể tích khối cầu tương ứng . 43.Cho hình chóp S.ABC có đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy góc  . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 44.Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh: a) Đường thẳng AD. b) Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE 45.Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.. 211.

(212) 46.Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (BMN) 47.Cho h×nh chãp SABCD AD kh«ng song song víi BC. Gäi trung ®iÓm SC lµ M , trên SB lấy điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC c¾t bëi mÆt ph¼ng (DMN). 48.Cho h×nh chãp S.ABCD . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh SC, N vµ P lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD. T×m thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) 49.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE=DF=a. Gäi M lµ trung ®iÓm AB . T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF) vµ tÝnh tØ sè diÖn tÝch thiÕt diÖn víi BCD 50.Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp c¾t bëi mÆt ph¼ng (BCN) 51.Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn AD vµ SC lÊy hai ®iÓm E vµ F sao cho AE = 3ED ; SF = 2SC. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAB . Xác định thiết diện của h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (EFK) 52.Cho h×nh chãp S.ABCD .Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ SC lÊy hai ®iÓm E vµ F. Gäi K lµ ®iÓm bÊt kú n»m trong tam gi¸c SAB thuéc mÆt ph¼ng (SAB) . X¸c định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK). 53.Cho tø diÖn ABCD gäi M vµ N lµ hai ®iÓm trªn c¹nh BC vµ CD. E lµ ®iÓm bÊt kỳ trong tam giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EMN) 54.Cho tø diÖn ABCD. Gäi E, F, G lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BD, BC, CD. Trªn AE, AF, AG lÊy c¸c ®iÓm M,N,P sao cho mÆt ph¼ng (MNP) kh«ng song song víi mặt phẳng (BCD). Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP). 55.Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lÊy c¸c điểm M, N, P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh t-ơng ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) Tuú theo vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm M,N,P biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n. 56.Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lÊy c¸c điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh t-ơng ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n. 57.Cho h×nh chãp S.ABCD . Trªn c¸c mÆt ph¼ng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lÊy c¸c điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh t-ơng ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ biÖn luËn nghiÖm h×nh cña bµi to¸n. 58.Cho h×nh chãp S.ABCD trªn mp(SAB), mp(SCD) lÊy c¸c ®iÓm M,N n»m trong tam giác tạo bởi ba đỉnh t-ơng ứng và lấy điểm P nằm trong đoạn BC. Xác định thiÕt diÖn víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNP) 59.Cho h×nh chãp S.ABCD , tø gi¸c ABCD cã AB kh«ng song song víi CD. Gäi G là trọng tâm của ABD, I là trung điểm của SG. Xác định thiết diện với chóp cắt bëi mÆt ph¼ng (CDI). 212.

(213) 60.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I = AC  BD, O là trung điểm SI, gọi M và N lần l-ợt là trung điểm của BC và CD xác định thiết diÖn c¾t bëi h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNO) 61.Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ trung ®iÓm cña AG, M và N lần l-ợt là trung điểm của BC và BD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bëi mÆt ph¼ng (MNI). 62.Cho Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AG sao cho 2AI = IG, M và N lần l-ợt là trung điểm của CD và AD. Xác định thiÕt diÖn cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI). 63.Cho Cho tø diÖn ABCD gäi G lµ träng t©m tam gi¸c BCD, I lµ ®iÓm trªn ®o¹n AG sao cho AI = 2IG, M vµ N lÇn l-ît lµ c¸c ®iÓm trªn AB vµ CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). 64.Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và BC . Xác định thiết diện của hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 65.Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm của SG. Gọi M và N là trung điểm của BC và CD . Xác định thiết diện của hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 66.Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD . Xác định thiết diện của hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 67.Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và BC . Xác định thiết diện của hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 68.Cho h×nh chãp S.ABCD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD, I lµ trung ®iÓm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện của hình chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng (MNI) 69.Cho h×nh chãp S.ABCD . M vµ N lµ hai ®iÓm trªn AB vµ CD,  lµ mÆt ph¼ng qua MN và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . 70.Cho h×nh chãp S.ABCD . M vµ N lµ hai ®iÓm bÊt kú trªn SB vµ CD,  lµ mÆt phẳng qua MN và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt ph¼ng (). 71.Cho tø diÖn ABCD cã AB = a, CD = b. §o¹n IJ nèi trung ®iÓm I cña AB vµ trung ®iÓm J cña CD. Gi¶ sö AB  CD , mp() qua diÓm M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì ? 72.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () trong hai tr-êng hîp sau. a) () qua M vµ song song víi SO vµ AD. b) () qua O vµ song song víi AM vµ SC. 213.

(214) 73.Cho h×nh chãp SABC. Gäi M,N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ SC. Trªn ®o¹n BM lÊy ®iÓm H, mÆt ph¼ng (P) qua H vµ song song víi CM vµ BN c¾t h×nh chóp theo một thiết diện . Tìm thiết diện đó. 74.Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H là giao điểm các đ-ờng chéo của đáy. I là điểm trên đoạn AH. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) ®i qua I vµ song song víi c¸c ®-êng th¼ng SA vµ BD c¾t h×nh chãp. 75.Cho h×nh chãp SABC gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña SB vµ SC; E lµ ®iÓm tuú ý trªn AB. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng () ®i qua E vµ song song víi c¸c ®-êng AM vµ BN c¾t h×nh chãp. 76.Cho h×nh chãp SABC. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm c¹nh SB. Trªn ®o¹n th¼ng SM lÊy ®iÓm E. MÆt ph¼ng () ®i qua E vµ song song víi c¸c ®-êng th¼ng AM, SG. T×m thiÕt diÖn t¹o bëi mp() c¾t h×nh chãp. 77.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm của hai đ-ờng chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) đi qua H, song song với AB và SC c¾t h×nh chãp 78.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi G là trọng tâm tam gi¸c SBC, M lµ ®iÓm trªn ®o¹n AC. MÆt ph¼ng P ®i qua M song song víi c¸c đ-ờng thẳng AG và BD cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó. 79.Cho h×nh chãp SABC . Gäi M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, SC. Trªn ®o¹n AM ta lÊy ®iÓm H. MÆt ph¼ng (P) ®i qua H song song víi CM vµ BN cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tìm thiết diện đó. 80.Cho tø diÖn ABCD cã AB  AD, AB  AC, AD  AC, gäi G lµ träng t©m t©m tam giác BCD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) đi qua G và vuông gãc víi AD. 81.Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều có SA (ABC). Gọi () là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(). 82.Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn và SA  (ABC). Xác định thiết diện cña tø diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng qua S vµ vu«ng gãc víi BC. 83.Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng vµ SA (ABCD). Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SB. Hái (P) cÊt h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× ? 84.Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A,B và vuông góc víi mÆt ph¼ng (SCD). 85.Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E và F lần l-ợt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAB. Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. 86.Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E và F lần l-ợt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAD. Xác định thiết diện víi h×nh chãp c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua E, F vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng SCD. 87.Một khối trụ có chiều cao 20cm và bán kính đáy là 10cm. Người ta kẻ 2 bán kính OA và lần lượt nằm trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc. 214.

(215) . Cắt khối trụ bởi 1 mặt phẳng chứa và song song với trục của khối trụ đó. Tính diện tích của thiết diện. 88.Một khối trụ có bán kính đáy là r và thiết diện qua trục là một hình vuông a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. b) Tính thể tích của lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. 89.Một hình trụ bán kính 5cm và có khoảng cách giữa 2 đáy là 7cm a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được tạo nên. b) Cắt khối trụ bởi mp song song và cách trục 3cm. Tính diện tích thiết diện được tạo nên. 90.Cho hình lập phương ABCD cạnh a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu trong các trường hợp a) Ngoại tiếp hình lập phương. b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương. c) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương. 91.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 92.Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện. 93.Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và đường cao = h. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp. 94.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, đường cao AH. Gọi O là trung điểm AH. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. 95.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. AB = BC = a, AD = 2a, cạnh bên SA bằng a vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE. 96.Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A với OA = 2R qua A kể một tiếp tuyến với (S) tại B và một cát tuyến với mặt cầu tại C và D. Cho CD = R√ a) Tính độ dài đoạn AB. b) Tính khoảng cách từ O đến CD. 97.Trong mp (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với (P) lấy điểm S tùy ý. Dựng mp (Q) qua A và vuông góc với SC. Mp (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại a) Chứng minh A, B, C, D, luôn thuộc một mặt cầu cố định. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. 98.Cho hình cầu tâm O bán kính R. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi (P) là mp qua A sao cho góc giữa OA và (P) = a) Tính diện tích thiết diện của hình cầu cắt bởi (P) b) Đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mp (P) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài AB. 99.Cho lăng trụ tam giác đều ABC. có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. 215.

(216) a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp lăng trụ trên. b) Gọi I là trung điểm của BC. Đoạn thẳng cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thằng đó. 100. Cho hình lập phương ABCD. cạnh a a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương. b) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. c) Tính diện tích xung quanh của hình nón có trục là và đường sinh là AB. 101. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và đường cao có độ dài bằng độ dài đường cao của tứ diện . 102. Chi hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng A, B, C, D, cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó. 103. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền AB = 2a, SA vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết góc giữa 2 mp (SAB) và (ABC) bằng . 104. Cho hình lập phương ABCD. cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông . 105. Cho hình nón (H) có bán kính đáy bằng R, đường cao SO. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với SO tại O’ cắt hình nón (H) theo đường tròn có bán kính R’ . Mặt phẳng (Q) thay đổi vuông góc với SO tại điểm O” ( O” nằm giữa O và O’) cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x. Hãy tính x theo R và R’ để (Q) chia phần hình nón nằm giữa (P) và đáy hình nón thành hai phần có thể tích bằng nhau. 106. Cho khối cầu có bán kính R. Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu (hai đường tron đáy của khối trụ thuộc mặt cầu) có thể tích lớn nhất . Tính thể tích khối trụ đó. 107. Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 3, AC = 4, quay quanh đường thẳng chứa cạnh BC được hình tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình tròn xoay đó. 108. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A. Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. 109. Cho tứ diện ABCD . Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt của tứ diện . Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD, Stp là tổng diện tích mặt của tứ diện, r là bán 1 3. kính của mặt cầu (S). Chứng minh rằng V  r.Stp . 110. Cho tứ diện ABCD. Gọi hA , hB , hC , hD lần lượt là độ dài của đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD, r là bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh rằng : 216.

(217) 1 1 1 1 1     r hA hB hC hD. 111. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Goi B’ , C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng : a. Các điểm A, B’ , C’ , D’ đồng phẳng. b. 7 điểm ABCD B’C’D’ cùng nằm trên một mặt cầu . 112. Hình nón đỉnh S ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy là hình thang có BAD  600 , đáy nhỏ BC = 3a, đáy lớn AD = 8a, đường cao hình chóp bằng 7a. Tính bán kính và đường sinh hình nón. 113. Cho hình chóp S.ABCD có SA = a đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = a, AD = 2a. Gọi E là trung điểm của AD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE 114. Chứng minh rằng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì có mặt cầu ngoại tiếp. 115. Cho tứ diện S.ABC có SBC và ABC là tam giác đều cạnh là a, SA = a 2 . a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. b. Gọi O là trung điển của BC . Kéo dài AO một đoạn OD sao cho OD = OA. Tính các cạnh của tứ diện S.BCD. 116. Cho tam giác ABC, biết AB= 5a, BC = 4a, CA = 3a. a. Chứng minh rằng các điểm chung của hai mặt cầu S(A ; 3a) và S’(B ; 4a) nằm trên một đường tròn. b. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. 117. Cho tứ diện S.ABC với SA vuông góc với mp(ABC) và SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: a. BAC  900 b. BAC  600 , b  c. c. BAC  1200 , b  c. 118. (KTQD 97): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 . Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. 119. (CĐKT 06): Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón một góc 60 0, đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy cảu hình nón theo dây cung AB , cung AB có số đo bằng 600. Tính diện tích thiết diện SAB. 120. (CĐSPTP.HCM 06): Tính thể tích của khối nón tròn xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện qua trục là một tam giác đều. 121. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS, đặt OM = x (0<x<h).. 217.

(218) 1/Tính S thiết diện () vuông góc với trục tại M. 2/ Tính V của khối nón đỉnh O và đáy () theo R ,h và x. Xác định x sao cho V đạt giá trị lớn nhất 122. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có ABCD là hình vuông tâm O, khoảng cách từ O đến (SCD) bằng a, góc giữa (SCD) với mặt đáy bằng 600 . Tính VS . ABCD . 123. (KB – 2004 ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Tình VS.ABCD theo a. S. B C M. A. D. 124. (NN I – 2000 ) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với (SCD) cắt SC và SD tại C’ và D’. a/ Tính SABC’D’. b/ Tính VABCDD’C’. S. C'. B. C D'. O. A. D. (KTQD – 2001). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a, BC  a . Các cạnh bên bằng nhau và cùng bằng a 2 .. 125.. 218.

(219) a/ Tính VS.ABCD theo a. b/ Gọi M, N là trung điểm của AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =. a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a. 3 S. A. I. M B. K. H. O. D. N. 126.. C. Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng a. Dựng đường cao SH.. a/ Chứng minh SA  BC . b/ Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần của tứ diện. c/ Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. 127.. Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.. a/ Tính thể tích của khối chóp. b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 128. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a. a/ Tính VS . ABCD b/ Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (P). 129. Cho hình chóp đều S.ABCD có khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên là a, góc giữa mặt bên và đường cao bằng 300 . a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD b/ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. M là điểm trên cạn SD sao cho MS  2MD . Mặt phẳng (MEF) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.EFMN. 130. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA  2a, AB  a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên trên SC. Chứng minh SC  ( ABH ) . Tính thể tích khối chóp S.ABH. 219.

(220) S. H. C. A. O. D. B. 131. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB  a, SA  a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của SA, SB, CD. Chứng minh MN  SP . Tính thể tích của khối tư diện AMNP S. M N A. D P. O B. C. 132. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Gọi H là chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh S và H cách đều các đỉnh A, B, C. Khoảng cách từ H đến (SBC) bằng. a . 2. a/ Chứng minh S.ABC là khối chóp đều. 133.. b/ Tính VS.ABC. Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại bằng a 2 .. a/ C/m AB  CD. Xác định đường vuông góc chung của AB và CD. b/ Tình VABCD c/ Nhận dạng tam giác ACD và BCD. Từ đó tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD. 134.. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có AB  a, SA  a 3. a/ Tính VS . ABCD đến mặt phẳng (SCD).. b/ Tính khoảng cách từ tâm của ABCD. 220.

(221) 135. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có AB  a , góc giữa SC với mặt đáy bằng 600 . b/ Tính khoảng giữa BD và SC.. a/ Tính VS . ABCD. 136. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có SA  a 3 , góc giữa (SCD) với mặt đáy bằng 600 . b/ Tính khoảng giữa SA và CD.. a/ Tính VS . ABCD. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  ( ABCD) . AB  a, SA  a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh SC  ( AHK ) . Tính thể tích của khối tứ diện S.AHK. 138. (2011A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC ở N. Biết góc giữa (SBC) với (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 137.. S. K. H N A. C. M B. (08CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD  ABC  900 , AB  BC  a, AD  2a , SA  ( ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.. 139.. HD: Dùng tỉ số thể tích.. 221.

(222) S. N. M. A. B. D. C. 140. (2010 CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. S. A. D. H 450 B. C. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, (SAB)   ABCD  . Góc giữa (SAD) và (ABCD) bằng 600 . M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính VS . AMCN . 142. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB  a 3, AD  a,(SAC )  ( ABCD), SA  a tam giác SAC vuông tại S. Tính VS . ABCD . 143. Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)  ( ABCD) , tam giác SAB cân tại S, M là trung điểm của CD, mặt phẳng (SBM) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 600 . Tính VS . ABCD . 141.. 144. (KD – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.. 222.

(223) A'. HD: Dùng tỉ số khoảng cách. C'. B'. H. I. A. C. M. B. 145. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện 2 có diện tích là a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ.. 8. Cho. trụ đứng ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB  AC  a, AA1  a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA1 , BC1 . Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AA1 và BC1 . Tính thể tích khối chóp MA1BC1 . 147. (KD – 2009 ).Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). 146.. lăng. M. A'. C'. B' I 3a. 2a. K A. C. H a B. 223.

(224) 148.. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O. là tâm của ABCD và OA '  a . Tính thể tích của khối hộp khi: a/ Cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ bằng nhau.. b/ OA' hợp với đáy ABCD. một góc 60o . c/ A'B hợp với (AA'CC') một góc 300 .. d/ Diên tích tam giác BDA’ bằng. 2a 2 .. 149. Cho lăn trụ đứng ABC. A1B1C1 đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( A1BC ) tạo với đáy (ABC) một góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 150. Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao a 2 . Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ .. 224.

(225) ĐÁNH GIÁ ĐỀ THI ĐẠI HỌC TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY KB - 2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. Lời giải Ta có : OI =. a , OIA1 là nửa tam giác đều 2.  A1I = 2OI = a 3a 3 a 3 = VABCD.A1B1C1D1 = a.a 3. 2 2. Gọi B2 là điểm chiếu của B1 xuống mặt phẳng ABCD Vậy d (B1, A1BD) chính là đường cao vẽ từ B2 của OB2B S(OBB2 ) . 1 1 a2 3 1 = OB.B2 H a. a 3  2 2 4 2.  B2H = 2.. a2 3 1 a 3 .  4 a 2. Đánh giá : - Bài toán hay phù hợp với trình độ học sinh khá, đa số học sinh có thể làm được. Bài toán không đánh đố học sinh, tuy nhiên cần chú ý tính toán KD - 2011 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và 0 SBC = 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.. Lời giải 225.

(226) S. Gọi H là hình chiếu của S xuống BC.. B. H C. Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC) Ta có SH = a 3 Thể tích khối (SABC) =. I J. 1 S 3. ABC. 1 1 .SH  ( 3a.4a).a 3  2a 3 3 A 3 2. Ta có : Tam giác SAC vuông tại S vì SA = a 21 ; SC = 2a; AC = 5a. Diện tích (SAC) = a 2 21 d(B,(SAC)) =. 3.2a 3 3 6a 3VSABC = 2  S SAC a 21 7. Đánh giá: - Bài toán hay, đa số học sinh có thể làm được -Bài toán không đánh đố học sinh -Việc tính thể tích đơn giản, học sinh có thể làm được dễ dàng. -Cách tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích khá hay, hợp lí và tối ưu với bài toán này (ĐH Khối A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Giải. 226.

(227) Góc SCH là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). S.  góc SCH = 60°.. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. K. Suy ra DA = DB = a/2. Mặt khác HA = 2HB. A.  HA = 2a/3 và HB = a/3.. N H. Do đó HD = a/2 – a/3 = a/6.. B. AB (do ΔABC đều). CD CD =. C. D. a 3 ; CH = 2. CD2  HD2 . SH = CH.tan 60° = 1 3. VS.ABC = SH.SABC . a 7 3. (0,25đ). a 21 3 1 a 21 a 2 3 a 3 7  3 3 4 12. (0,25đ). Qua A kẻ đường thẳng d // BC; kẻ HN vuông góc với d tại N; kẻ HK vuông góc với SN tại K. Khi đó AN vuông góc với HN, SA  AN. (SHN)  AN. Suy ra HK. HK.. (SAN). Do BC // (SAN)  d(BC, SA) = d(B, (SAN)) =. AB d(H, (SAN)) = (3/2).HK. AH. Ta có HN = AH sin HAN = (2a/3).sin 60° =. 227. a 3 3. (0,25đ).

(228) SH.HN.  HK =. SH 2  HN 2. Vậy d(BC, SA) =. . a 42 8. a 42 12. (0,25đ). Đánh giá: - Phần thể tích không khó, đa số học sinh có thể làm được - Phần tính khoảng cách cần dựng thêm mặt phẳng qua SA và song song với BC. Đây là cách dựng khá phổ biến. Tuy S nhiên, khi tính khoảng cách từ BC đến mp(SAN) cần phải thông qua khoảng cách H từ điểm H đến mp(SAN). - Đây là đề bài khá hay, phù hợp với đề thi khối A, không quá khó hay đánh đố học sinh. A C D. O. (ĐH Khối B-2012) Cho hình chóp tam giác đều B S.ABC có SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Giải: Gọi O là trọng tâm ΔABC; D là trung điểm của cạnh AB. Ta có SO mà AB. (ABC) suy ra SO. AB.. CD do ΔABC đều.. Suy ra AB. (SCD) nên AB. mà AH. SC. Vậy SC. (ABH). (0,25 đ). SC. (0,25đ). Mặt khác SA = SB = SC = 2a. CD =. a 3 a 3 ; OC = → SO = 2 3. SC2  OC2  228. a 33 3.

(229) DH = SO.CD / SC =. a 11 ; 4. 1 a 2 11 AB.HD  2 8.  SABH =. (0,25đ). CH = CD2  HD2 = a/4; SH = SC – CH = 7a/4 1 3. VS.ABH = SH.SABN . 7a 3 11 96. (0,25đ). Đánh giá: - Để chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH), điều khó khăn là cần chứng minh SC vuông góc với AB. Do đó lấy thêm các điểm D, O. Học sinh cần nắm vững tính chất của hình chóp đều, các tính chất vuông góc. - Phần tính toán thể tích dễ hơn nhưng cần học sinh cẩn thận trong tính toán. - Đây là đề bài hay, độ khó tương đương đề khối A cùng năm. (ĐH Khối D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Giải: A’C = a và ΔA’AC vuông cân  A’A = AC = a. D’. C’. 2 2 A’. B’. 2  BB’ = a . Mà ΔABC vuông cân. 2.  AB = BC = a/2. Suy ra B’C’ = a/2. (0,25đ). SΔBB’C’ = (1/2).BB’.B’C’ =. a2 2 8. D. C H. Vậy VABB’C’ = (1/3).AB.SΔBB’C’ =. a. 3. 48. 2. (0,25đ) A 229. B.

(230) Dựng AH vuông góc với A’B tại H Ta có BC vuông góc với AB, A’A  BC. (ABA’)..  BC. AH. Nên AH. (BCD’).  d(A, (BCD’)) = AH. (0,25đ). 1/AH² = 1/A’A² + 1/AB² = 6/a². Vậy d(A, (BCD’)) = AH =. a (0,25đ) 6. Đánh giá: - Phần tính thể tích thiên về tính toán nhiều, học sinh cần cẩn thận khi tính các cạnh - Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đơn giản, học sinh nắm vững lý thuyết là có thể làm được - Đề thi phù hợp cho học sinh thi khối D, dễ hơn so với đề khối A, B cùng năm.. ĐH- A - 2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°. SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Lời giải S. Gọi H, I lần lượt là trung điểm BC, AB. → SH vuông góc với BC; mà (SBC) vuông góc với đáy B. I. A. 230 H C.

(231) → SH vuông góc với đáy. Ta có BC = a, suy ra SH = AB = BCcos 30° =. a 3 ; AC = BC.sin 30° = a/2. 2. a 3 2. → VS.ABC = (1/3)SH.SΔABC = (1/6).SH.AB.AC = a³/16 ΔABC vuông tại A nên AH = HB → SA = SB = a → SI vuông góc với AB. SI = SA 2  AI2  a 2 . 3a 2 a 13  16 4. 3V 1 a 2 39 3a SΔSAB = SI.AB  → d(C; (SAB)) = S.ACB  2 16 SΔSAB 39. Đánh giá: - Phần tính thể tích không quá khó, phù hợp với trình độ học sinh khá nhưng cần chú ý đến công thức sin và cos vì rất dễ nhầm lẫn - Phần tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích. Đây là cách làm có thể coi là tối ưu với bài toán này. - Bài này chúng ta có thể tính khoảng cách từ C đến (SAB) thông qua H. Cách này khá phổ biến với những học sinh khá. ĐH Khối B 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng S (SCD). Lời giải. I. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vẽ HI vuông góc với SK tại I. ΔSAB đều nên SH vuông góc với AB. Mà mặt 231. A. D. H B. K C.

(232) phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD). Suy ra SH vuông góc với (ABCD). SH =. a 3 a3 3 ; VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = 2 6. CD vuông góc với SH, HK → CD vuông góc với (SHK) → CD vuông góc với HI. Mà HI vuông góc với SK. Suy ra HI vuông góc với (SCD). Mặt khác AB // (SCD) nên d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HI. 1/HI² = 1/SH² + 1/HK² = 4/(3a²) + 1/a² = 7/(3a²) Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) là d(A, (SCD)) = HI =. a 21 7. Đánh giá: - Độ khó của bài ít hơn so với đề khối A và vẫn phù hợp với trình độ của học sinh khá - Bài toán không quá khó, học sinh cần nắm vững kiến thức về thể tích và cách tính khảng cách là làm được. ĐH Khối D 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc BAD = 120°, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45°. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách S từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Lời giải Ta có: góc ABC = 180° – góc BAD = 60°. Suy ra ΔABC đều.. H A D. 232. B. M. C.

(233) → AM =. a 3 a2 3 ; SABCD = AM.BC = 2 2. ΔSAM vuông cân tại A nên SA = AM =. a 3 2. VS.ABCD = (1/3).SA.SABCD = a³/12. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. BC vuông góc với AM, SA → BC vuông góc với (SAM) → BC vuông góc với SM → AH vuông góc với (SBC) Do AD // (SBC) nên d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) = AH. Mặt khác ΔSAM vuông cân tại A → AH =. Vậy d(D, (SBC)) =. AM a 6  4 2. a 6 4. Đánh giá - Bài toán không quá khó, học sinh nắm vững kiến thức là làm được, tuy nhiên cần cẩn thận trong tính toán. -Bài toán có cách làm giống đề khối B năm 2013 nhưng có phần khó khăn hơn trong việc tính toán so với khối B. ĐH Khối A năm 2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) → H là trung điểm của cạnh AB. 233.

(234) HD² = AH² + AD² = 5a²/4 → HD = a. 5 2. SH vuông góc với (ABCD) → SH vuông góc với HD SH² = SD² – HD² = 9a²/4 – 5a²/4 = a² → SH = a. VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = (1/3).a.a² = a³/3 (đvtt). S. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD; F là hình chiếu vuông góc của H lên SE. BD vuông góc với SH và HE nên BD vuông góc với mặt phẳng (SHE). → BD vuông góc với HF. Nên HF vuông góc với mặt phẳng (SBD).. H. → d(A; (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HF.. F E. Mặt khác BHE là Δ vuông cân tại H → HE = BE =. D. A. B. C. HB a 2  4 2. ta có SE² = SH² + HE² = a² + a²/8 = 9a²/8 → SE =. 3a 2 = 3HE 4. HF = SH.HE / SE = a/3 Vậy d(A; (SBD)) = 2a/3 Đánh giá -Bài toán phù hợp với trình độ của học sinh khá, cách làm truyền thống và không xa lạ với học sinh - Phần tính khoảng cách ở đây đã sử dụng phương pháp chuyển từ việc tính khoảng cách từ A đến (SBD) sang việc tính khoảng cách từ B đến (SBD). Đây là cách làm không phải là mới với học sinh khá nhưng nó là cách tối ưu nhất với bài toán. Tuy nhiên cần thận trọng trong tính toán vì rất dễ xảy ra sai sót ĐH Khối B năm 2014 234.

(235) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy là 60°. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’). Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng đáy → H là trung điểm của AB. A’. C’. và góc A’CH = góc của A’C tạo với đáy = 60° B’. CH = a. 3 → A’H = CH.tan 60° = 3a/2 và 2. SABC = a². 3 4. → VS.ABC = A’H.SABC =. K M A H. 3a 3 3 8. B. Gọi M là hình chiếu vuông góc của H trên AC. → HM vuông góc với AC và A’H vuông góc với AC → AC vuông góc với (A’MH) Vẽ đường cao HK trong ΔA’MH → AC vuông góc với HK và HK vuông góc với A’M → HK vuông góc với (ACC’A’) → HK = d(H; (ACC’A’)) HM = AH sin BAC = (a/2)sin 60° = a A’M = A 'H 2  HM 2 . C. 3 4. 9a 2 3a 2 a 39  = 4 16 4. 235.

(236) → HK = A’H.HM / A’M =. 3a 2 13. H là trung điểm của AB. → d(B; (ACC’A’)) = 2HK =. 3a 13. Đánh giá - Đề phù hợp và không quá khó với học sinh -Cách làm giống hoàn toàn với đề khối A năm 2014 -Việc tính khoảng cách vẫn dựa trên cơ sở là chuyển từ điểm cần tính về chân đường vuông góc với mặt đáy -Cần chú ý về mặt tính toán ĐH Khối D 2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai S đường thẳng SA, BC. Lời giải Từ S kẻ SH vuông góc với BC tại H → SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SH =. a 3 2. K. Tam giác ABC vuông cân tại A có AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao → AH vuông góc với BC và AH = BC/2 = a/2. Ta có: BC vuông góc với SH; BC vuông góc với AH Nên BC vuông góc với (SAH). Từ H kẻ HK vuông góc với SA tại K. 236. B. A. H. C.

(237) Khi đó HK là đường vuông góc chung của SA và BC. Tam giác SHA vuông tại H. 1 HK. 2. . 1 SH. 2. . 1 HA. 2. . d(SA, BC) = HK =. 4 3a. 2. . 4 a. 2. . 16 3a 2. a 3 4. Đánh giá - Đề phù hợp với học sinh khối D - Bài toán không quá khó, việc tính thể tích hay tính khoảng cách đều tương đối dễ, cách làm là phổ biến, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức là làm được -Cần thận trọng trong tính toán ĐH – 2015: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. S. Lời giải Do góc SCA = 45o nên tam giác K. SAC vuông cân tại A A. Ta có AS = AC = 1 3. = a 2  V  a 2 .a 2 . a3 2 3. H C. B. Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K Suy ra, AK vuông góc (SBM) Ta có:. D. 1 1 1 1 4 5  2  2 2 2 2 2 AK SA AH 2a 2a 2a. 237. M.

(238) Vì AC song song (SBM) suy ra d(AC, SB) = d(A; (SBM)) = AK =. a 2 5. Đánh giá: - Đề phù hợp với học sinh khá, nắm vững kiến thức học sinh sẽ làm được -Việc tính thể tích hay khoảng cách đều rất tự nhiên, cách làm không quá khó, đó là cách làm phổ thông và đơn giản -Cần thận trọng trong việc tính toán vì rất dễ xảy ra nhầm lần. 238.

(239) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG. .... 1 I. Tóm tắt lý thuyết ................................................................................................................... 1 II. Hệ thống bài tập ................................................................................................................... 10 1. Đại cƣơng về đƣờng thẳng và mặt phẳng ...................................................................... 10 a) Bài tập cơ bản củng cố lý thuyết ........................................................................... 10 b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ........................................................................ 11 c) Tìm giao tuyến của đƣờng thẳng và mặt phẳng .................................................... 11 d) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy ............................... 16 e) Quỹ tích giao điểm, giao tuyến, điểm cố định ...................................................... 18 2. Hai đƣờng thẳng song song ........................................................................................... 22 a) Bài tập cơ bản củng cố lý thuyết ........................................................................... 22 b) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song .............................................................. 23 c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ........................................................................ 27 3. Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng ......................................................................... 31 a) Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng ............................................ 31 b) Dựng thiết diện qua một điểm và song song với một đƣờng thẳng ...................... 32 c) Quỹ tích điểm, điểm cố định ................................................................................. 33 4. Hai mặt phẳng song song .............................................................................................. 34 a) Chứng minh hai mặt phẳng song song .................................................................. 34 b) Xác định thiết diện song song với một mặt phẳng ................................................ 35 c) Bài tập về lăng trụ ................................................................................................. 37 d) Quỹ tích điểm, mặt phẳng cố định ........................................................................ 37 5. Phép chiếu song song .................................................................................................... 38 a) Vẽ hình chiếu của một hình trong không gian lên một mặt phẳng theo phƣơng chiếu cho trƣớc ...................................................................................................... 38 b) Các bài toán nâng cao ........................................................................................... 42 B. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC .................................................. 45 I. Tóm tắt lý thuyết ................................................................................................................... 45 II. Hệ thống bài tập .................................................................................................................... 49 1. Vectơ trong không gian ................................................................................................. 49 a) Chứng minh các đẳng thức vectơ, ba vectơ đồng phẳng ...................................... 49 b) Ứng dụng của tích vô hƣớng ................................................................................. 53 2. Hai đƣờng thẳng vuông góc .......................................................................................... 53 a) Tính góc giữa hai đƣờng thẳng ............................................................................. 53 b) Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc .............................................................. 57 3. Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ........................................................................ 60 a) Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ............................................ 60 b) Góc của đƣờng thẳng và mặt phẳng ...................................................................... 65 4. Hai mặt phẳng vuông góc .............................................................................................. 70 a) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ................................................................. 70 b) Xác định chân đƣờng vuông góc của một điểm xuống một mặt phẳng ................ 78 c) Xác định góc giữa hai mặt phẳng .......................................................................... 78 5. Khoảng cách .................................................................................................................. 83 a) Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ....................................... 83 b) Xác định khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau ....................................... 87 C. CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIỆN ....................................................................................................... 95. 239.

(240) Tóm tắt lí thuyết.................................................................................................................... 95 Hệ thống bài tập ................................................................................................................... 96 1. Một số phƣơng pháp dựng thiết diện ............................................................................. 96 a) Mặt phẳng (P) cho dạng tƣờng minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đƣờng thẳng cắt nhau, một điểm nằm ngoài một đƣờng thẳng .................................................. 96 b) Mặt phẳng (P) đƣợc cho bởi các tính chất song song ........................................... 99 i. Mặt phẳng (P) đi qua đƣờng thẳng d, song song với đƣờng thẳng l............. 99 ii. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đƣờng thẳng chéo nhau d và l ........................................................................................................... 102 iii. Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) .................... 103 c) Mặt phẳng (P) đƣợc cho bởi các yếu tố vuông góc............................................. 106 i. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm và vuông góc với một đƣờng thẳng ......... 106 ii. Mặt phẳng (P) đi qua một đƣờng thẳng d và vuông góc với một đƣờng thẳng l ................................................................................................................... 108 iii. Mặt phẳng (P) đi qua đƣờng thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) đã cho (d xiên góc với (Q)) .................................................................................... 109 2. Các bài toán liên quan đến thiết diện........................................................................... 112 a) Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất ................................................................................................ 112 b) Tính tỉ số thể tích 2 phần khối đa diện bị chia bởi thiết diện hoặc tính thể tích một trong 2 khối đa diện đƣợc tạo ra bởi thiết diện ................................................... 122 D. CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN ................................................................................................ 136 I. Tóm tắt lí thuyết.................................................................................................................. 136 II. Hệ thống bài tập ................................................................................................................. 140 1. Tính thể tích khối chóp ................................................................................................ 140 a) Thể tích khối chóp đều và khối chóp có cạnh bên bằng nhau............................. 140 b) Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ............................................ 144 c) Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy ............................................. 150 d) Áp dụng tỉ số thể tích .......................................................................................... 154 e) Bài toán thể tích liên quan đến cực trị................................................................. 160 2. Thể tích khối lăng trụ .................................................................................................. 163 a) Khối lăng trụ đứng biết chiều cao hay cạnh đáy ................................................. 163 b) Khối lăng trụ đứng biết góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng ............................. 166 c) Khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng ................................................. 168 d) Khối lăng trụ xiên................................................................................................ 170 E. CHUYÊN ĐỀ KHỐI TRÕN XOAY ......................................................................................... 175 I. Tóm tắt lí thuyết.................................................................................................................. 175 II. Hệ thống bài tập .................................................................................................................. 181 1. Măt cầu, khối cầu ........................................................................................................ 181 a) Mặt cầu ngoại tiếp ............................................................................................... 181 b) Mặt cầu nội tiếp ................................................................................................... 190 2. Mặt nón, khối nón........................................................................................................ 194 3. Mặt trụ, khối trụ ........................................................................................................... 199 F. BÀI TẬP TỔNG HỢP ............................................................................................................... 202 G. ĐÁNH GIÁ ĐỀ THI ĐẠI HỌC TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY .................................... 225 I. II.. 240.

(241)

Hinh hoc khong gian luyen thi dai hoc

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về