Các dạng trên không gian c(k) và cặp các hàm nửa liên tục

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Đỗ Văn Chung

Các dạng trên không gian C(K)
và cặp các hàm nửa liên tục

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2009


Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Đỗ Văn Chung

Các dạng trên không gian C(K)
và cặp các hàm nửa liên tục

Chuyên ngành: Giải tích
MÃ số : 60.46.01

Luận văn thạc sĩ toán học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
TS. Phạm Quang Trình

Vinh - 2009

Mục lục
Trang
Lời nói đầu ..................................................................................................... 1
Ch-ơng 1. Không gian các hàm ................................................................... 3
1.1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản ......................................................... 3
1.2. Không gian các hàm ................................................................................. 7
1.3. Không gian các hàm liên tục .................................................................... 9
1.4. Một số tính chất của hàm nửa liên tục ................................................... 11
Ch-ơng 2. Các dạng trên không gian C(K) ............................................... 16
2.1. Các dạng trên không gian Banach .......................................................... 16
2.2. Các dạng trên không gian C(K) và cặp các hàm nửa liên tục ................ 18
Kết luận ........................................................................................................ 33
Tài liệu tham khảo ...................................................................................... 34


1

Lời nói đầu
Không gian Banach và các hàm xác định trên nó là một trong những đối
t-ợng đ-ợc nghiên cứu nhiều trong giải tích và các ngành Toán học khác. Các
ánh xạ tuyến tính liên tục đ-ợc nghiên cứu nhiều và trình bày kỹ trong các
giáo trình dành cho sinh viên ngành Toán. Các ánh xạ liên tục không tuyến
tính cũng có nhiều ứng dụng và đ-ợc nghiên cứu nhiều nh-ng trong các giáo
trình giải tích hàm cho sinh viên nó ch-a đ-ợc trình bày một cách đầy đủ.
Khái niệm về dạng trên không gian Banach đà đ-ợc giới thiệu và nghiên cứu
bởi Kerivine và Maurey vào năm 1981. Sau đó, Pomper, H.P.Rosenthal đÃ
nghiên cứu sự biểu diễn và tính chất của các dạng trên các không gian Banach
đặc biệt ([4], [5], [6]). Mục đích của chúng tôi là dựa vào các tài liệu tham
khảo để tìm hiểu nghiên cứu về khái niệm và tích chất của các dạng trên

không gian Banach, sự biểu diễn của các dạng trên không gian Banach C(K)
các hàm nhận giá trị thực liên tục trên tập compact K qua các cặp các hàm nửa
liên tục trên K. Với mục đích đó, Luận văn đ-ợc trình bày thành 2 ch-ơng.
Ch-ơng 1, Trình bày việc xây dựng không gian các hàm bị chặn, các
hàm liên tục, các hàm nửa liên tục. Sau đó nghiên cứu cấu trúc và một số tính
chất của các lớp hàm đó mà chúng cần dùng cho ch-ơng sau.
Ch-ơng 2, trình bày khái niệm về dạng trên không gian Banach và
nghiên cứu các tính chất của các dạng trên không gian Banach tổng quát. Sau
đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và tính chất của các cặp các hàm nửa liên
tục trên tập compact và nghiên cứu sự biểu diễn của các dạng trên không gian
Banach C(K) qua cặp các hàm nửa liên tục trên K.
Các kết quả đ-ợc trình bày trong luận văn là đà có trong tài liệu tham
khảo. Chúng tôi đà tìm đọc, sắp xếp lại theo mục đích của mình, đ-a ra một
vài ví dụ minh hoạ vµ nhËn xÐt nh- VÝ dơ: 1.2.4, VÝ dơ 2.2.2, NhËn xÐt 2.1.2;


2
Chứng minh một số kết quả mà trong các tài liệu tham khảo không chứng
minh (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3) và chứng minh chi tiết
nhiều kết quả mà trong tài liệu chứng minh vắn tắt.
Luận văn đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự
h-ớng dẫn của TS. Phạm Quang Trình. Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất của mình đến các Thầy giáo, những ng-ời đà đặt ra
vấn đề và th-ờng xuyên giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô
giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học của tr-ờng Đại học Vinh và các bạn
lớp CH15-Giải tích đà th-ờng xuyên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Mặc dù đà có rất nhiều cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi

những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đ-ợc những đóng góp quý báu từ các
thầy giáo, cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 11 năm 2009
Tác giả


3
Ch-ơng 1

Không gian các hàm
Trong ch-ơng này, tác giả trình bày một số tính chất của không gian
các hàm bị chặn, không gian các hàm liên tục làm cơ sở cho việc nghiên cứu.
1.1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một tập hợp bất kỳ khác rỗng. Một họ các tập
con của X đ-ợc gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mÃn các điều kiện sau.
(1) , X ;
(2) NÕu

U1 ,U2   th× U1  U2  

;

(3) NÕu Ui   ,i  I th×  Ui   .
iI
TËp X cïng víi mét t«p«  trên nó đ-ợc gọi là một không gian tôpô.
1.1.2. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô với tôpô . Một tập hợp V X
đ-ợc gọi là lân cËn cđa x nÕu tån t¹i U  sao cho x U V .
1.1.3. Định nghĩa. Cho (X , ) là một không gian tôpô. Ta gọi mỗi tập U 
lµ mét tËp më. TËp con A  X đ-ợc gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở.
1.1.4. Định nghĩa. Giả sử B là một họ các tập mở của không gian tôpô X, B

đ-ợc gọi là cơ sở tôpô của X nếu với mỗi x X và mọi lân cận U của x, tồn
tạo V  B sao cho x  V  U .
1.1.5. Định nghĩa. Họ v các tập con của không gian tôpô (X , ) đ-ợc gọi là
tiền cơ sở cđa t«p«  nÕu X   V : V v và họ tất cả các giao hữu hạn
các phần tử của v lập thành cơ sở của tôpô .
1.1.6. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô. Tập con A X gọi là
compact (trong X) nÕu víi mäi phđ më cđa A ®Ịu cã một phủ con hữu hạn.
Điều này có nghĩa là nếu Ui là các tập con mở của X với mọi i  I sao cho


4

Ui A thì tồn tại tập con hữu h¹n I 0 cđa I sao cho  Ui  A . Không
iI0

iI

gian X đ-ợc gọi là không gian compact nÕu X lµ tËp compact trong X. Tøc lµ,
nÕu Ui lµ më trong X, víi mäi i  I vµ Ui X thì có một tập hữu hạn
iI

I0  I sao cho  Ui  X .
iI0

Kh«ng gian tôpô X đ-ợc gọi là chuẩn tắc nếu mọi cặp tập con đóng rời
nhau A và B của X đều tồn tại các tập mở U, V trong X sao cho

U V ,

A  U vµ B  V .

1.1.7. Bổ đề (Urysohn). Với hai tập con đóng không giao nhau của không
gian chuẩn tắc X tồn tại hàm liên tục f trên X lấy giá trị trong đoạn 0,1
và bằng không trên A, bằng một trên B.
1.1.8. Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng và hàm d : X X R . Hàm
d đ-ợc gọi là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu thỏa mÃn các điều kiện
sau:
1) d(x, y) 0, x, y  X , d(x, y)  0  x  y;
2) d(x, y)  d(y, x), x, y  X ;
3) d(x, y)  d(x, y)  d(y,z), x, y,z  X .
TËp X cïng víi mét metric trªn nó đ-ợc gọi là không gian mêtric.
1.1.9. Định lý. Cho A là tập con của không gian mêtric X. Khi ®ã A lµ

 

compact khi vµ chØ khi mäi d·y an   A cã d·y con ank héi tô đến a A .
1.1.10. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian tôpô. ánh xạ f : X Y gọi
là liên tục tại x0 X nÕu víi mäi l©n cËn V cđa f (x0 ) tồn tại lân cận U của x 0
sao cho f (U) V .
1.1.11. Định nghĩa. Giả sử X là không gian mêtric và f : X R . Nếu một
dÃy nào đó xn X , xn  x0  X , d·y

 f (xn ) có giới hạn (hữu hạn hay vô

hạn), thì giới hạn đó đ-ợc gọi là giới hạn riêng của f khi x  x0 .


5
Sè lín nhÊt (t-¬ng øng bÐ nhÊt), cã thĨ b»ng trong các giới hạn
riêng đ-ợc gọi là giới hạn trên (t-ơng ứng d-ới) của f khi x x0 và viết là
lim f (x) (t-ơng ứng lim f (x) hay lim sup f (x) (t-¬ng øng lim inf f (x) ).

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

Từ định nghĩa đó ta có

f (x) : x  B(x , )  ;
lim f (x)  sup inf  f (x) : x  B(x ,  )  .
lim f (x)  inf sup

x  x0

0

0

x x0

1.1.12. Định nghĩa. Giả sử E là không gian tuyến tính trên tr-ờng K (

hoặc

) và . : E  R , x  x . Hµm . đ-ợc gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa
mÃn:
1) x  0 víi mäi x  E vµ x  0 khi vµ chØ khi x = 0;

2)  x   . x víi mäi x  E vµ víi mäi   K;
3) x  y  x  y víi mäi x, y  E .
Kh«ng gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó đ-ợc gọi là không
gian định chuẩn.
Nếu E là không gian định chuÈn th× d(x, y)  x  y , x, y E xác định
một mêtric trên E. Ta gọi d là mêtric sinh bởi chuẩn.
Không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là không gian Banach, nếu nó là
không gian đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn.
1.1.13. Định nghĩa. Giả sử I là tập hợp khác rỗng, đ-ợc sắp thø tù bé phËn
bëi quan hÖ  . TËp (I, ) đ-ợc gọi là một l-ới hay tập định h-ớng nếu thỏa
mÃn:
a) (I, ) không có phần tử lớn nhất;
b) Với mọi I tập
các phần tử đi tr-ớc  );

   I :     là hữu hạn (ta gọi tập này là tập


6
c) Với mỗi , I tồn tại   I sao cho    ,  (ta nói đi sau

và ).
Giả sử (I, ) là một tập định h-ớng. Với mọi 0 I , đặt

0 card (   I :    0 ) (sè phÇn tư cđa   I :    0 ).
1.1.14. Định nghĩa. Giả sử (I, ) và (J, ) là 2 tập định h-ớng và k : I J .
Hàm k đ-ợc gọi là bảo tồn thø tù nÕu     I kÐo theo k( ) k( ) .
Hàm k đ-ợc gọi là không kết thúc nếu mọi J tồn t¹i   I sao cho

  k( ) .

1.1.15. Định nghĩa. Giả sử (I, ) là tập định h-ớng và k : I I . Hàm k đ-ợc
gọi là một l-ới con của I nếu k bảo tồn thứ tự và không kết thúc.
1.1.16. Định nghĩa. Giả sử (I, ) là tập định h-ớng và X là một không gian
tôpô. Ta nói (x )I là l-ới hay dÃy suy rộng trong X đ-ợc xác định bởi I nếu
x  X víi mäi   I . Sau nµy ta nãi gän (x )I lµ d·y suy réng trong X.

Giả sử (x )I là một dÃy suy rộng. Nếu k : I I là hàm bảo tồn thứ
tự và không kết thúc thì dÃy suy rộng (xk( ) )I đ-ợc gọi là l-ới con hay dÃy
con của (x )I .
Nếu X là không gian định chuẩn và (x )I lµ d·y suy réng trong X. D·y
suy réng (x )I đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng sè c sao cho
x  c,   I .

1.1.17. Định nghĩa. Giả sử (x )I là dÃy suy rộng trong kh«ng gian t«p« X.
Ta nãi (x )I héi tơ tíi x  X vµ viÕt lim x  x nếu mỗi lân cận U của x tồn
I

tại 0  I sao cho x  U víi mäi  I , 0 .
1.1.18. Định lý. Nếu (x )I là l-ới trong không gian tôpô X, héi tơ tíi
x  X th× mäi l-íi con cđa (x )I cịng héi tơ tíi x.


7
1.1.19. Định lý. Giả sử Y là tập con của không gian tôpô X và x X . Khi đó
x Y khi và chỉ khi tồn tại dÃy suy réng (x )I trong Y sao cho lim x x .
I

1.1.20. Định nghĩa. Giả sử ( r )I là dÃy suy rộng bị chặn các số thực. Khi
đó, ta định nghĩa
lim sup r inf sup r :   I,      lim r ;

I

I

I

lim inf r  sup  inf r : I, .
I

I

Trong luận văn này ta luôn giả thiết (I, ) là tập định h-íng vµ ta viÕt
gän I thay cho (I, ) .

1.2. Không gian các hàm
Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số tính chất của không gian
các hàm bị chặn và đ-a ra ví dụ minh hoạ mà nó đ-ợc dùng ở ch-ơng 2.
Cho A là một tập hợp và F là một không gian định chuẩn.
1.2.1. Định nghĩa. Hàm f : A F đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c
sao cho

f (x) c, x  A .

Ta ký hiƯn BF(A) lµ tËp tất cả các hàm bị chặn từ A vào F. Khi đó BF(A)
là không gian tuyến tính trên tr-ờng K đối với phép cộng hai hàm và phép
nhân vô h-ớng với hàm thông th-ờng, tức là với mọi f ,g  BF(A), víi mäi

  K ta cã
( f  g )(x)  f (x)  g(x), ( f )(x) f (x), x A .

Đặt
f (x) sup f (x) , f  BF(A)

(1)

Ta dƠ dµng kiĨm tra đ-ợc công thức (1) xác định một chuẩn trên BF(A).
Nh- vậy BF(A) là một không gian định chuẩn. Sau này nếu không giải thích gì


8
thêm thì ta quy -ớc chuẩn trên BF(A) là chuẩn sup, tức là chuẩn xác định bởi
công thức (1).
Một câu hỏi đ-ợc đặt ra là với điều kiện nào thì không gian định chuẩn

BF(A) là không gian Banach? Định lý sau trả lời câu hỏi này.
1.2.2. Định lý. Nếu F là không gian Banach thì BF(A) là không gian Banach.
Chứng minh. Cho  fn  lµ mét d·y Cauchy trong BF(A). Khi ®ã
  0, n0 : n,m  n0 , x  A  fn (x)  fm (x)  fn  fm   .

V× vËy víi mäi x  A,

 fn (x)

(*)

lµ d·y Cauchy. Do F lµ Banach nªn

fn (x)  f (x)  F . Ta đ-ợc ánh xạ f : A F .

Cố định   0 vµ n trong hƯ thøc (*) cho m ta đ-ợc

fn (x) f (x) 

Víi mäi x  A ,

(**)

f (x)  fn (x) fn .

Vậy f bị chặn và do đó f BF(A). Từ (**) ta có
fn  f

 sup fn (x)  f (x)  
xA

nghÜa là fn f .
1.2.3. Mệnh đề. Nếu H là tập bị chặn trong BR(K) thì các hàm (K là một
tr-ờng với phép cộng và phép nhân hai hàm)
f (x)  sup  h(x) : h  H , x  K,
g(x)  inf  h(x) : h  H , x K

thuộc BR(K).
Chứng minh. Vì H bị chặn trong BR(K) nên tồn tại hằng số c sao cho
f (x)  sup  h(x) : x  K   c, h  H.

Do ®ã, ta cã
f (x)  sup  h(x) : h  H   c x  K


9
vµ

g(x)  inf  h(x) : h  H   c x  K .

VËy f vµ g thuéc l (K) .
1.2.4. Ví dụ. Giả sử X là không gian Hausdorff compact. Khi đó, BR(X) là
không gian các hàm nhận giá trị thực, bị chặn trên X. Vì R là không gian
Banach nên theo Định lý 1.2.2, BR(X) là không gian Banach.
Từ đây về sau, ta viết B(X) thay cho BR(X).

1.3. Không gian các hàm liên tục
Giả sử X là không gian tôpô và F là không gian định chuẩn. Ký hiệu
CF (X ) là tập tất cả các hàm liên tục, bị chặn từ X vào F. Dễ thấy CF (X ) là

không gian con của BF(X).
Ký hiệu CF (X ) là tập tất cả các hàm liên tục từ X vào F. Nếu X là không
gian compact th× CF (X ) = CF (X ) , bëi vì mọi hàm liên tục trên tập compact,
nhận giá trị trong không gian định chuẩn đều bị chặn.
1.3.1. Định lý. CF (X ) là không gian véc tơ con đóng của BF(X). Đặc biệt, nếu
F là không gian Banach thì CF (X ) là không gian Banach.
Chứng minh. Giả sử

fn   CF

f  CF , tøc lµ chøng minh f

và fn f BF(X). Ta cần chứng minh

liên tục tại mỗi điểm tuỳ ý x0 X . Do

fn  f nªn
  0, n0 , n  n0 , x  X  fn (x)  f (x)  fn  f 

Do f liªn tơc tại x0 nên tồn tại lân cận U x0 của x0 sao cho
n
0



fn0 (x)  fn0 (x0 )  , x  U x0 .
3


3

.


10
Tõ ®ã, víi mäi x  Ux0 ta cã
f (x)  f (x0 )  f (x)  fn0 (x)  fn0 (x)  fn0 (x 0 )  fn0 (x 0 )  f (x 0 )




3




3




3

 .

VËy f liên tục tại x0.
1.3.2. Chú ý. Ta viết C(X ) thay cho CR (X ) . Nếu X là không gian compact
thì theo Định lý 1.3.1, C(X ) là không gian Banach (với chuẩn sup). Tôpô trên

C(X ) đ-ợc sinh bởi chuẩn sup ta gọi là tôpô chuẩn. Sau đây ta sẽ trang bị
thêm một tôpô nữa cho không gian C(X ) , ta gọi tôpô này là tôpô hội tụ tại
từng điểm, nói gọn là tôpô hội tụ điểm.
1.3.3. Định nghĩa. Ta gọi tôpô hội tụ điểm trên C(X ) là tôpô trên C(X ) có
tiền cơ sở là họ tất cả các tập con dạng
điểm thuộc X còn U là tập mở trong
1.3.4. Mệnh đề. Giả sử



f

I



f C(X ) : f (x) U  , trong ®ã x là

.

là một l-ới trong C(X ) . Khi đó  f I héi

tơ tíi g  C(X ) ®èi với tôpô hội tụ điểm khi và chỉ khi



f

I

hội tụ tới g(x)

với mỗi x X .
Chứng minh. Giả sử
kỳ

xX

và

U



f

là

I

hội tụ tới g đối với tôpô hội tụ điểm. Lấy bÊt

tËp

më

trong

sao

cho

g(x)U . V×

Ug( x)   f  C(X ) : f (x) U là lân cận của g trong C(X ) đối với tôpô hội tụ

điểm và f g nên tồn tại 0 I sao cho f  Ug( x) víi mäi   I ,    0 .
Do ®ã f (x) U  0 . Vì U là lân cận của g(x) nên ta kết luận đ-ợc

f I

hội tụ tới g(x).

Ng-ợc lại, giả sử



f

I

hội tụ tới g(x) với mỗi x  X . LÊy bÊt kú

l©n cËn W cđa g ®èi víi t«p« héi tơ ®iĨm trong C(X ) . Không mất tính tổng
quát có thể giả thiết W có d¹ng


11
W   f  C(X ) : f (x) U ,

trong đó x X , U là tập mở trong



f

I

chứa x. Vì g W nên g(x) U . Do

hội tụ tới g(x) nên tồn tại 0  I sao cho f (x) U víi mäi  0 .

Điều này chứng tỏ f W víi mäi   I ,    0 .
Vậy f g đối với tôpô hội tụ điểm.

1.4. Một số tính chất của hàm nửa liên tục
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày khái niệm các hàm nửa liên tục
trên, nửa liên tục d-ới và nghiên cứu một số tính chất của các hàm nửa liên tục
mà chúng đ-ợc dùng trong ch-ơng sau.

1.4.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, f : X R là ánh xạ từ tập X
vào tập hợp các số thực R.
- Ta nói f là nửa liên tục trên t¹i x0  X nÕu víi mäi sè thùc  R mà
f (x0 ) thì tồn tại lân cËn U cña x 0 trong X sao cho f (x)   , víi mäi

x U .

- Hµm f gọi là nửa liên tục d-ới tại x0 X nÕu víi mäi sè thùc  R
mµ f (x0 ) thì tồn tại lân cận V của x 0 trong X sao cho f (x)   , với mọi
xV .

- Hàm f : X R đ-ợc gọi là nửa liên tục trên (t-ơng ứng d-ới) trên X
nếu nó là hàm nửa liên tục trên (t-ơng ứng d-ới) tại mọi điểm thuộc X.
1.4.2. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm nửa
liên tục trên trên X và số thùc c  R . Khi ®ã
(a) NÕu c  0 thì c.f là hàm nửa liên tục trên trên X;
(b) Nếu c 0 thì c.f là hàm nửa liên tục d-ới trên X.
Chứng minh. (a) Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên X, c 0 . Với
x 0 là điểm bất kỳ của X, với mỗi số thực R và cf (x0 )   . Do c  0 nªn


12
cf (x0 )   suy ra f (x0 )


c

. Theo giả thiết f là hàm nửa liên tục trên X nên f

là hàm nửa liên tục trên tại x 0 . Do đó, tồn tại lân cận U cña x 0 sao cho

f (x) 


c

, x U suy ra cf (x)   , x U . VËy c.f là hàm nửa liên tục trên

tại x0 X . Vì x 0 là điểm bất kỳ của X nên c.f là hàm nửa liên tục trên trên X.
(b) Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X và c 0 . Với mỗi
x0 X và với mỗi số thực R và cf (x0 ) , vì c 0 nên f (x0 )


c

.

Do f là hàm nửa liên tục trên trên X nên f là hàm nửa liên tục trên
trên x 0 . Do đó, tồn tại lân cận mở V của điểm x 0 thoả m·n f (x) 


c

, víi mäi

x  V . V× c  0 nªn cf (x)   víi mäi x V . Do đó c.f là hàm nửa liên tục

d-ới tại x 0 . Vì x 0 là điểm bất kỳ của X nên c.f là hàm nửa liên tục d-ới trên
X.
1.4.3.Nhận xét. (a) Cho X là không gian tôpô, f : X R là hàm nửa liên
tục d-ới trên X và số thực c R . Khi đó

+ Nếu c 0 thì c.f là hàm nửa liên tục d-ới trên X;
+ Nếu c 0 thì c.f là hàm nửa liên tục trên trên X;
(b) Cho X là không gian tôpô, f : X R . Khi đó, f là hàm nửa liên tục
trên trên X khi và chỉ khi f là hàm nửa liên tục d-ới trên X.
1.4.4. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R . Khi đó, f là
hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi với mỗi số thùc  R th× tËp

x  X : f (x) là đóng.
Chứng minh. * Điều kiện cần. Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên
trên X. Với mỗi số thực R , ta đặt A x X : f (x)    .


13
Để chứng minh A là tập đóng trong X ta cần chứng minh X\A là tập mở.
Đặt
B X \ A   x  X : f (x)  .

Với mỗi x0 B thì f (x0 ) . Do f là hàm nửa liên tục trên trên tại x 0
nên tồn tại lân cận më U cña x 0 sao cho f (x)   , víi mäi x U . Ta nhËn
thÊy x0 U  B  X \ A . Do ®ã, B là lân cận của x 0 . Vì x 0 lấy bất kỳ thuộc B
nên B là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Vậy B là tập mở. Do ®ã
A   x  X : f (x)



là tập đóng trong X.
* Điều kiện đủ. Giả sö A   x  X : f (x)

là tập đóng trong X, với mọi

R . Ta cÇn chøng minh f : X  R là hàm nửa liên tục trên trên X. Từ
A  x  X : f (x)    , R

là tập đóng trong X suy ra
B  X \ A   x X : f (x)  ,  R

lµ tËp më trong X. Với mỗi x0 X thoả mÃn f (x0 ) thì x0 B . Do B là tập
mở, nên tồn tại lân cận mở V của x 0 trong B sao cho f (x)   víi mäi
x  V  B . Suy ra f lµ hàm nửa liên tục trên tại x 0 . Vì x 0 là điểm bất kỳ thuộc

X nên f là hàm nửa liên tục trên trên X.
1.4.5. Nhận xét. Giả sử X là không gian tôpô, f : X R . Khi đó f là hàm nửa
liên tục d-ới trên X khi và chỉ khi tập

x X : f (x)  r  , víi mäi

r  R là

tập đóng trong X.
1.4.6. Hệ quả. Giả sử X là không gian tôpô, f : X R . Khi đó f là hàm nửa
liên tục trên (t-ơng ứng nửa liên tục d-ới) trên X khi và chỉ khi với mỗi c R ,
tập x X : f (x)  c  (t-¬ng øng tËp  x  X : f (x)  c  ) lµ më trong X.


14
1.4.7. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô,

f : I

là họ các hàm nửa

liên tục trên (nửa liên tục d-ới) trên X. Khi đó, inf f (t-ơng ứng sup f ) là
I

I

nửa liên tục trên (t-ơng ứng nửa liên tục d-ới) trên X.
Chứng minh. Giả sử



f : I

là họ các hàm nửa liên tục trên trên X. Với

mỗi c R , đặt



E x X : inf f (x)  c
I



vµ

u1  (r  s)e  g0  r s 2r u1 (x).
Vì các f nửa liên tục trên nên các F mở rong X. Mặt khác

E F . Thật vậy, hiển nhiên F E . Ng-ợc lại, giả sử x  E ,
I

I

tøc lµ inf f (x)  c . Khi đó, tồn tại 0 I sao cho f0 (x)  c bëi v× nÕu
I

f (x)  c víi mäi   I th× inf f (x)  c . Do đó x F0 , tức là x   F . Tõ
I

I

®ã ta cã E  F .
I

Vậy E F . Vì các F më trong X nªn E më trong X. Do đó inf f là
I

I

hàm nửa liên tục trên trên X.
Nếu



f : I

c R , đặt



là họ các hàm nửa liên tục d-ới trên X. Với mỗi





G  x  X : sup f (x)  c ,
I

G   x  X : f (x)  c , I.

Vì các f nửa liên tục d-ới nên theo Hệ quả 1.4.6 các G là tập mở.
Mặt khác, ta có G G . Do ®ã G lµ tËp më trong X. VËy sup f là hàm nửa
I

liên tục d-ới trên X.

I


15
1.4.8. Định lý. Cho X là không gian tôpô. ánh xạ f : X R là hàm liên tục
trên X khi và chỉ khi f đồng thời là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục d-ới
trên X.
Chứng minh. * Điều kiện cần. Giả sử f : X R là hàm liên tục trên X. Ta

cần chứng minh f là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục d-ới trên X. Thật
vậy, với mỗi x0 X và với mỗi số thực R thoả mÃn f (x0 ) , đặt

f (x0 ) .

(1)

Vì f là hàm liên tục tại x 0 nên tồn tại lân cận U của x 0 sao cho
f (x)  f (x0 )  

x U.

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra f (x)   víi mäi x U . VËy f lµ hµm nưa liên tục trên
tại x0 X . Vì x 0 lấy bất kỳ thuộc X nên f là hàm nửa liên tục trên trên X.
Chứng minh t-ơng tự ta cũng suy ra đ-ợc f là hàm nửa liên tục d-ới
trên X.
* Điều kiện đủ. Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục d-ới
trên X. Ta cần ch-ng minh f là hàm liên tục trên X. Với mỗi x0 X và 0
bé tuỳ ý, vì f là hàm nửa liên tục trên tại x 0 nên tồn tại lân cËn më V1 cña x 0
sao cho
f (x)  f (x0 ) x V.

Mặt khác, f là hàm nửa liên tục d-ới tại x 0 nên tồn tại lân cận mở V2
của x 0 sao cho
f (x) f (x0 ) x V2 .

Đặt V V1 V2 thì V là lân cận cđa x 0 vµ ta cã
f (x0 )    f (x)  f (x0 )   x  V

hay
f (x)  f (x0 )   x V

nghĩa là f liên tục tại x 0 . Vì x 0 lấy bất kỳ thuộc X nên f là hàm liên tục
trên X.


16
Ch-ơng 2

Các dạng trên không gian C(K)

2.1. Các dạng trên không gian Banach
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất cơ
bản của dạng trên không gian Banach.
Giả sử E là không gian Banach. Với mỗi x E , ta xác định hàm

x : E  R bëi c«ng thøc  x (y)  x  y , y  E .
Tõ tính liên tục của ánh xạ chuẩn và phép cộng trong không gian định
chuẩn suy ra x liên tục.
Đặt M    x : x  E  thì M là một tập con của không gian C(E) các
hàm liên tục trên E, nhận giá trị trong

.

2.1.1. Định nghĩa. Hàm : E R đ-ợc gọi là một dạng trên E nếu là
phần tử thuộc bao ®ãng cđa M trong C(E) ®èi víi t«p« héi tơ điểm (xem Định
nghĩa 1.3.3).
2.1.2. Nhận xét. Hàm : E R là một dạng trên E khi và chỉ khi tån t¹i

d·y suy réng  x I trong E sao cho  (y)  lim x  y , y  E .
I

Chøng minh. Gi¶ sư  : E R là một dạng. Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.1,

M (đối với tôpô hội tụ điểm trong C(E)). Điều này là t-ơng đ-ơng với tồn



tại dÃy suy réng  x

 I

trong M, héi tơ tíi  thoe tôpô hội tụ điểm. Điều này

là t-ơng đ-ơng với tån t¹i d·y suy réng  x I trong E sao cho  x (y)  héi
tơ tíi  (y) với mỗi y E , tức là tồn tại d·y suy réng  x I trong E sao cho

 (y)  lim x  y , y  E .
I


17
2.1.3. Mệnh đề. Giả sử E là không gian Banach và : E R là hàm đà cho.
Khi đó, các điều kiện sau t-ơng đ-ơng
(i) là một dạng trên E;
(ii) Với mỗi tập con hữu hạn F E và với mỗi 0 tồn tại phÇn tư

x  x(F,  )  E sao cho  (y)  x  y



y  F ;

(iii) Tån tại một dÃy suy rộng bị chặn x I trong E sao cho
lim x  y   (y) y  E .

(1)

I

Chøng minh. (i) => (ii). Gi¶ sư là một dạng trên E. Khi đó, theo nhận xÐt
2.1.2, tån t¹i  x I trong E sao cho
x  y   (y), y  E .

(2)

Gi¶ sư F là tập con hữu hạn trong E. Khi đó, với mỗi 0 và với mỗi

y F ¾t tån t¹i  (y,  )  I sao cho
 (y)  x  y   ,  I, (y, ) .
Vì I là tập định h-ớng nên tồn tại 0 I sao cho  0   (y,  ) víi mäi

y  F . Khi ®ã, lÊy x  x0 ta cã
x  y   (y), y  F

(ii)=>(i). Ta ký hiệu T(E) là họ tất cả các tập con hữu hạn của E, R+ là tập tất
cả các số thực d-ơng và I = T(E)x

. Trên I ta xác định quan hệ

" " nh- sau

(F, ), (G,  )  I , (F,  )  (G, )  G  F,    .
DÔ dàng kiểm tra đ-ợc I với quan hệ này là một tập định h-ớng.
Theo giả thiết, (ii) đ-ợc thỏa mÃn. Do đó, tồn tại dÃy suy rộng

x

I

thỏa m·n (ii), trong ®ã   (F, )  I . Để chứng minh (i) đ-ợc thoả

mÃn ta chỉ cần chøng tá
x  y   (y), y  E .


18
Thật vậy, với mọi y E , với mỗi   0 , lÊy F  y  T(E) và đặt

0 (F, ) I . Khi đó, với mỗi (G, ) I sao cho (G, )  (F, ) , ta cã
F  G và . Vì dÃy suy rộng x I thoả mÃn (ii) nên

(z) x(G, )  z



z  G.

V× y  F  G và nên ta có

(y) x(G, ) y

.

Điều này chứng tỏ x y   (y), y  E .
(i) => (iii). Gi¶ sử (i) đ-ợc thỏa mÃn. Khi đó, theo Nhận xét 2.1.2, tån t¹i d·y
suy réng  x I trong E sao cho

y  0  E ta cã

x  y (y), y E . Đặc biệt, với

x   (0) . Do ®ã d·y suy réng  x I bị chặn, tức là (iii)

đ-ợc thỏa mÃn.
Hiển nhiên, từ (iii) suy ra (i).
2.1.4. Định nghĩa. Giả sử : E R là một dạng trên không gian Banach E.
Khi ®ã, tõ MƯnh ®Ị 2.1.3 (iii) suy ra tồn tại dÃy suy rộng bị chặn x I
trong E sao cho  (y)  lim x  y
I

yE.

Ta nãi d·y  x I sinh ra  .

2.2. Các dạng trên không gian C(K) và cặp các hàm nửa liên tục
Trong mục này, ta giả sử K là không gian Hausdorff, compact. Ta đÃ

biết C(K) là không gian Banach các hàm nhận giá trị thực, liên tục trên K với
chuẩn sup. Sau đây, ta sẽ nghiên cứu tính chất của các dạng trên C(K), cụ thể
là nghiên cứu mối quan hệ giữa các dạng trên K với các cặp hàm nửa liên tục.
Đầu tiên, ta định nghĩa khái niệm các cặp hàm nửa liên tục.


19
2.2.1. Định nghĩa. Giả sử l và u thuộc B(K) (không gian các hàm nhận giá trị
thực, bị chặn trên K). Ta nói cặp (l,u) là cặp các hàm nửa liên tục và gọi là sc
cặp nếu u là hàm nửa liên tục trên, l là hàm nửa liên tục d-ới trên K, l u
và l(x) = u(x) nêu x là điểm cô lập trong K.
3
2.2.2.Ví dụ. Giả sö K   0,1       2,4 ,
2
1
 4  x nÕu x   0,1   2,3 

3
3
u(x)  
nÕu x 
2
2
1  x nÕu x   3,4 


và

 x nÕu x   0,1   2,3 


3
3
.
l(x)  
nÕu x 
2
2

1

 x  2 nÕu x   3,4 

Khi đó, u là hàm nửa liên tục trên, l là hàm nửa liên tục d-ới trên K;
3
3
3
3
l(x) u(x) với mäi x  K \   , l( ) u ( ) và là điểm cô lập của K.
2
2
2
2

Vậy (l,u) là sc- cặp.
2.2.3. Định nghĩa. Giả sử f I là dÃy suy rộng, bị chặn (theo chuẩn sup)
trong C(K). Với mỗi I đặt

,
inf f  C(K) : f  sup  f :    

l  sup
u

 f  C(K) : f  inf  f



:  



vµ
l  sup  l :   I , u  inf

 u :   I .


20
Theo Định lý 1.4.8 và 1.4.7 thì các hàm l là nửa liên tục d-ới trên K
còn các hàm u và u là nửa liên tục trên trên K. Theo 1.2.3 thì các hàm
l ,l,u ,u thuộc B(K).

2.2.4. Mệnh đề. Giả sử f I là dÃy suy rộng các hàm bị chặn trong C(K)
và l ,l,u ,u là các hàm đ-ợc xác định trong Định nghĩa 2.2.3. Khi đó
1) NÕu 1 , 2  I mµ 1   2 thì l1 l2 l và u1 u2 u .
2) Với mỗi x K và mỗi 0 tồn tại 0 (x, ) I sao cho với mỗi

0 ta cã
l (x)  l(x)   vµ u (x) u(x) .

3) Với mỗi I, x K, 0 và lân cận U của x tồn tại y U và  
sao cho
f (y)  l (x)   .

4) Với mỗi I, x K, 0 và lân cận U của x tồn tại y U vµ   
sao cho
f (y)  u (x) .

Chứng minh. Các khẳng định 1) và 2) đ-ợc suy ra từ Định nghĩa 2.2.3 và các
tính chất của inf và sup.
Bây giờ ta chứng minh 3).
Giả sử I, x K . Đặt s l (x) . Cho U là một lân cận của x và

0 . Giả sử điều cần chứng minh trong 3) không đúng. Khi đó, với mọi
y U vµ mäi    ta cã f (y) s .
Ta có thể chọn đ-ợc g  C(K) sao cho g  f víi mäi    vµ
g(x)  l (x)    s   . Do ®ã

s  l (x)  (  f  C(K) : f  f víi mäi    )(x)  g(x)  s  


21
Đây là một điều mâu thuẩn. Từ đó ta có điều cần chứng minh.
Khẳng định 4) đ-ợc chứng minh t-ơng tự.
Từ đây về sau ta giả sử I là tập định h-ớng và lực l-ợng của I bằng
infimum của các lực l-ợng của các cơ sở tôpô của K.
2.2.5. Bổ đề. Giả sử

f I

là dÃy suy rộng bị chặn trong C(K), l và u là các

hàm đ-ợc xác định trong Định nghĩa 2.2.3, g C(K) và x K . Khi đó
1) Tồn tại l-ới con i : I  I vµ (xi( ) )I trong K sao cho (xi( ) )I héi
tơ tíi x vµ
l(x)  g(x)  lim ( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ) ).
I

2) Tån t¹i l-íi con j : I  I vµ (x j ( ) )I trong K sao cho (x j ( ) )I héi
tơ tíi x vµ
u(x)  g(x)  lim ( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) ) ).
I

1

Chứng minh. Với mỗi I , đặt . Vì mỗi I chỉ có một số hữu
hạn phần tử của I đi tr-ớc và có vô hạn phần tử của I đi sau nên hoàn
toàn xác định và lim 0 .
I

Giả sử (U )I là hệ cở sở các lân cận mở của x sao cho U   x vµ
I

U  U nÕu   I.

Hơn nữa, từ tính liên tục của g ta cã thĨ gi¶ thiÕt g(x)  g(y) 


2

víi

mäi y  U .
Ta sÏ x©y dùng (xi( ) )I b»ng quy nạp theo I .
Cố định I và giả sử đà xác định đ-ợc các i( ) với tất cả các . Vì
card I là hữu hạn (xem Định nghĩa 1.2) nên tồn tại 0 I sao cho


22

 0'  i(  ) víi mäi    . Theo MƯnh ®Ị 2.2.4.2 ta cã thĨ chän ®-ỵc  0  I
sao cho  0   0' vµ



l(x)  l (x)  l(x) 

2

u(x)  u (x)  u(x) 

,


2

,    0 .

Tõ MÖnh đề 2.2.4.3) và 4) suy ra tồn tại i( )   0 , xi( ) U vµ
j( )   0 , x j ( ) U sao cho

fi( ) (xi( ) )  l 0 (x) 


2

 l(x) 


2

vµ
f j ( ) (x j ( ) )  u 0 (x)


2

u(x)


2

.

Theo cách xây dựng i( ), j( ) ta thấy các ánh xạ
i; I I

  i( )

,

j; I  I

  j( )

lµ bảo tồn thứ tự và không kết thúc. Do đó, i và j là 2 l-ới con của I còn
(xi( ) )I vµ (x j ( ) )I lµ hai dÃy suy rộng trong K. Vì U I là cơ sở lân cận

tại x, xi( ) và x j ( ) thc U víi mäi   I nªn (xi( ) )I vµ (x j ( ) )I héi tơ
tíi x. Mặt khác từ
fi( ) (xi( ) ) g(xi( ) )  l(x)  g(x)    ,

f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) )  u(x)  g(x)   .

Từ các đẳng thức này và tính chất bị chặn của dÃy fi( ) I suy ra các
dÃy
( fi( ) (xi( ) )  g(xi( ) ))I ,( f j ( ) (x j ( ) )  g(x j ( ) ))I