hàm biến phức: Không gian metric và không gian liên thông trên C

Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN METRIC VÀ KHÔNG GIAN
LIÊN THÔNG TRÊN
£
Bài 1: Định nghĩa và một số ví dụ về không gian metric
1.Định nghĩa không gian metric:
a.Định nghĩa:
Cho Ø
≠
X
⊂

£
và d: X
×
X
→

£
Khi đó (X,d) được gọi là một không gian metric với metric d nếu các điều kiện
sau được thỏa mãn:
i) d(z,w)
≥
0
∀
z,w
∈

£
d(z,w) = 0
⇔

z = w
∀
z,w
∈

£
ii) d(z,w) = d(w,z)
∀
z,w
∈

£
iii) d(z,w)
≤
d(z,u) + d(u,w)
∀
z,u,w
∈

£
.
Cho z
∈
X
⊂
£
, r > 0 khi đó
B(z,r) = { w
∈
X : d(z,w) < r } được gọi là hình tròn mở tâm tại z, bán kính r.

( , )B z r
= { w
∈
X : d(z,w)
≤
r } được gọi là hình tròn đóng tâm tại z, bán kính
r.
b. Ví dụ:
1. (
£
, d) là một không gian metric với metric d được xác định bởi
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 1
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
d:
£

×

£

→

¡

(z,w)
→
d(z,w) =
wz −

.
CM: Đặt z = a + ib
∈

£
(a,b
∈
¡
)
w = c + id
∈

£
(c,d
∈

¡
)
+ Ta có: d(z,w) =
wz −
=
2 2
( ) ( )a c b d
− + −

≥
0
∀
z,w
∈

£
Và d(z,w) = 0
⇔
2 2
( ) ( )a c b d
− + −
= 0
⇔
2
2
( ) 0
( ) 0
a c a c
b d
b d

− = =


⇔
 
=
− =




⇔
a + ib = c + id

⇔
z = w
∀
z,w
∈

£
+d(z,w) =
wz −
=
2 2
( ) ( )a c b d
− + −
=
2 2
( ) ( )c a d b
− + −
=
w z−
= d(z,w)
∀
z,w
∈

£
+ Đặt u = e + if
∈

£
(e,f

∈
¡
)
Ta có : d(z,w) =
wz −
=
w wz u u z u u− + − ≤ − + −
= d(z,u) + d(u,w)
⇒
d(z,w)
≤
d(z,u) + d(u,w)
∀
z,u,w
∈

£
.
Vậy (
£
, d) là một không gian metric.
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 2
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
2. Cho (Y,d) là một không gian metric và X
⊂
Y
⊂
£
. Khi đó, (X,d) cũng là

một không gian metric.
3.Cho X=
£
và metric d( x+iy, a+ib) = max
{ }
,x a y b
− −
. Khi đó, (
£
,d) là 1
không gian metric.
2.Định nghĩa tập mở, tập đóng trong
£
:
a.Định nghĩa:
Cho (
£
,d) là không gian metric và Ø
≠
A
⊂
£
, Ø
≠
B
⊂

£
Tập mở : Tập A được gọi tập mở nếu với mọi a
∈

A, tồn tại r > 0 sao cho B(z,r)
⊂
A.
Ví dụ : B(z,r) = { w
∈

£
: d(z,w) < r } là tập mở trong
£
Tập đóng: Tập B được gọi tập đóng nếu
£
\ B là tập mở.
Ví dụ :
( , )B z r
= { w
∈

£
: d(z,w)
≤
r } là tập đóng trong
£
Chú ý: Tập
£
,và tập Ø là tập vừa đóng vừa mở.
b.Định lý:
•
Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở.
•
Hợp vô hạn các tập mở là 1 tập mở.

•
Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
•
Giao vô hạn các tập đóng là tập đóng.
Chứng minh:
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 3
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
Cho
1
A
,
2
A
,
3
A
…… ,
n
A
,…. là các tập con trong
£
.
Giả sử
i
A
là tập mở (
1 i n
≤ ≤
).

Đặt A=
1
n
i
i
A
=
I
. Cho a
∈
A là điểm tùy ý.
⇒
1,
i i
a A i n
∈ ∀ =
.
Vì
i
A
là tập mở nên
∃

i
r
>0 :
( , )
i i
B a r A⊂

∀

1,i n=
.
Đặt r =
1,
min
i
i n
r
=
> 0
⇒
B(a,r)

⊂

i
A

∀

1,i n=
.
⇒
B(a,r)
⊂

1
n

i
i
A
=
I
= A.
⇒
A là tập mở.
Vậy giao của số hữu hạn các tập mở là tập mở.
⇒

£
\ A là tập đóng
⇒
£
\
1
n
i
i
A
=
I
là tập đóng
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 4
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
⇒
1,
( \ )

n
i
i n
A
=
£
U
là tập đóng.
Vậy hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
∀
a
∈

i
A

⇒
a
∈

1
i
i
A
∞
=
U
Vì
i
A

là tập mở
⇒

∃

r
>0 :
( , )
i
B a r A⊂
∀

i
⇒

1
( , )
i
i
B a r A
∞
=
⊂
U

⇒
1
i
i
A

∞
=
U
là tập mở.
Vậy hợp vô hạn các tập mở là tập mở.
⇒
£
\
1
i
i
A
∞
=
U
là tập đóng.
⇒
1
( \ )
i
i
A
∞
=
£
I
là tập đóng.
Vậy giao vô hạn các tập đóng là tập đóng.
3. Định nghĩa phần trong, bao đóng, biên của 1 tập hợp:
Cho

Ø
≠
A
⊂
£
.
Phần trong của A là tập mở lớn nhất nằm trong A
Kí hiệu : Int A ( hoặc
0
A
)
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 5
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
Int A =
U
{G: G là tập mở và G
⊂
A
}
Bao đóng của tập A là tập đóng bé nhất chứa A.
Kí hiệu : cl A ( hoặc
A
)
cl A =
I
{F: F là tập đóng và F
⊃
A}
Biên của tập A kí hiệu

A∂
, là tập được định nghĩa
A∂
=
0
( \ )A
A
∩ £
là 1 tập đóng.
Bài 2: TẬP LIÊN THÔNG
1.Định nghĩa không gian liên thông:
a.Định nghĩa:
•
Không gian metric (X,d) được gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và
tập
Ø
là hai tập con vừa mở vừa đóng.
•
Tập A
⊂
X được gọi là tập liên thông nếu (A,d) là một không gian liên
thông.
b.Ví dụ:
1. Quả cầu mở B(z,r) là tập liên thông ( với z
∈
£

và r>0).
2.(a,b); (a,b]; [a,b).[a,b] đều là các tập liên thông.
Chứng minh : X= [a,b] là một tập liên thông.(a, b là các phần tử thuộc

¡
)
.
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 6
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
Cho A
⊂
X là một tập mở trong X sao cho a
∈
A và A
≠
X.Ta cần chứng minh A
không phải là tập đóng.Do đó, X là không gian liên thông.
Do A là tập mở và a
∈
A nên tồn tại một
ε
> 0 sao cho [ a , a +
ε
)
⊂
A.
Cho r = sup {
ε
: [ a , a +
ε
)
⊂
A}.

Khi đó, [ a , a + r)
⊂
A.
Thật vậy, nếu a
≤
x < a+ r ta đặt h = a +r –x >0, thì theo định nghĩa của cận trên
đúng sẽ tồn tại một
ε
với r – h <
ε
< r và [a , a +
ε
)
⊂
A.
Nhưng a
≤
x = a + (r – h) < a +
ε
điều này có nghĩa là x
∈
A và [ a , a + r)
⊂
A.
Tuy nhiên, a + r
∉
A, vì nếu ngược lại a + r
∈
A thì do A là tập mở nên có một
δ

> 0 để [a + r, a + r +
δ
)
⊂
A.Suy ra [a, a+ r +
δ
)
⊂
A, lại mâu thuẫn với đinh
nghĩa r.Vậy [a ,a + r)
⊂
A và a + r
∉
A.
Nếu A cũng là tập đóng thì a + r
∈
B = X \ A là tập mở.Do đó ta có thể tìm được
một
δ
> 0 sao cho (a + r -
δ
,a + r]
⊂
B.Mâu thuẫn với yêu cầu [ a , a + r)
⊂
A.
Dó đó A không là tập đóng.Vậy X là tập liên thông.
Chứng minh (
a,b); (a,b]; [a,b) là tập liên thông: làm tượng tự như chứng minh
trên.

Ghi chú :
* Cho z, w
∈
£
.Khi đó, đoạn thẳng đi từ z đến w được định nghĩa như sau:
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 7
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
[z,w] = {tw + (1- t)z : 0
≤
t
≤
1}
* Một đường gấp khúc đi từ a đến b là 1 tập P =
1
[z ,w ]
n
k k
k =
U
trong đó
1
z
= a,
w
n
= b và
k
w
=

1k
z
+
với 1
≤
k
≤
n – 1; hoặc P = [a,
1
z
………
n
z
, b]
2.Định lí:
Cho G là tập mở nằm trong
£
. Khi đó, G là tập liên thông nếu và chỉ nếu với 2
điểm bất kì a,b trong G đều có thể nối với nhau bởi 1 đường gấp khúc nằm hoàn
toàn trong G.
Chứng minh:
Giả sử G thỏa mãn các điều kiện trong định lý trên nhưng G không phải là 1 tập
liên thông.
Khi đó G =
A B∪
với A, B là các tập vừa đóng , vừa mở;
A B∩
= Ø và A và B đều
khác rỗng.
Lấy a

∈
A, b
∈
B thì theo giả thiết tồn tại một đường gấp khúc P nối 2 điểm a ; b
và P
⊂
G
Ta có thể xem P = [a,b].
Đặt S = {s
[0,1]: sb+(1-s)a A
∈ ∈
}
T = {t
[0,1]: tb+(1-t)a B
∈ ∈
}
Khi đó,
S T
∩
= Ø,
S T
∪
=
[0,1]
,
0 S∈
và
1 T∈
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 8

Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
Vì S và T đều là tập mở nên suy ra
S T∪
cũng là tập mở nhưng [0,1] là 1 tập liên
thông(mâu thuẫn). Điều ta giả sử là sai.Do đó G là tập liên thông.
Ngược lại, Giả sử G là tập liên thông.Trên G lấy 1 điểm a.
Đặt A = {b
∈
G : có một đường gấp khúc P
⊂
G nối 2 điểm a, b}
Khi đó A là tập vừa đóng vừa mở trong G.
Do a
∈
A và G là tập liên thông nên A = G.
Định lí đã được chứng minh.
3. Định nghĩa về thành phần liên thông:
Một tập con D của không gian metric X được gọi là một thành phần liên thông của
X nếu D là tập liên thông lớn nhất của X.
4.Bổ đề:
Cho
0
x X∈
và
{D :j J}
j
∈
là tập hợp tất các tập liên thông của X sao cho
0 j
x D∈

với
mỗi j
∈
J.Khi đó, D =
{D : j J}
j
∈U
là tập liên thông.
Chứng minh:
Cho A là 1 tập con của không gian metric (D,d) với A là tập vừa đóng vừa mở và
A
≠
Ø. Khi đó,
j
A D∩
là tập mở trong (
j
D
,d) với mỗi j và nó cũng là một tập
đóng.
Do
j
D
là tập liên thông nên
j
A D∩
= Ø hoặc
j
A D∩
=

j
D
.Do A
≠
Ø nên có ít nhất
một số k sao cho
k
A D∩

≠
Ø do đó
k
A D∩
=
k
D
Đặc biêt,
0
x A∈
nên
0 j
x A D∈ ∩
với mỗi j.Như thế
j
A D∩
=
j
D
A⊂
với j là chỉ số.

SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 9
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
Cho D = A.Vậy D là liên thông.
5.Mệnh đề :
Cho (X,d) là không gian metric.Khi đó:
a. Với mỗi
0
x
X∈
,
0
x
bị chứa trong 1 thành phần liên thông của X.
b.Các thành phần liên thông của X là rời nhau.
Chứng minh:
a. Cho  là tập tất cả các tập con liên thông của X và chứa điểm
0
x
. Ngoài ra
ta cần chú ý rằng
0
{ }x
∈
 nên 
≠
Ø và giả thiết của bổ đề phía trước
cũng áp dụng cho tập .
Do đó C =
{D:D ⊂U

} là tập liên thông và
0
x
∈
C.
Bây giờ ta sẽ chứng minh C phải là một thành phần liên thông.
Thậ
t vậy, nếu D là liên thông và C
⊂
D thì
0
x
∈
D nên D
⊂

.Nhưng do D
⊂
C, vì vậy C=D.Như thế, C là lớn nhất tức là C là một thành phần liên thông
của X.Câu a đã được chứng minh xong.
b.
Cho
1 2
,C C
là các thành phần liên thông của X,
1 2
C C
≠
.Và giả sử rằng
1 2

C C
∩
=
0
x
.Theo bổ trên phía trước thì
1 2
C C
∪
là liên thông.Do
1 2
,C C
là các
thành phần liên thông, cho
1
C
=
1 2
C C
∪
=
2
C
( mâu thuẫn với gt
1 2
C C
≠
).
Vậy nên
1 2

C C
∩
=
Ø tức là các thành phần liên thông của x là rời nhau.
6. Định lí:
Cho G là tập mở trong
£
.Khi đó , các thành phần liên thông của G là tập mở và số
các thành phần liên thông là đếm được.
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 10
Bài tập lớn môn Hàm Biến Phức
Chứng minh:
Cho
C
là một thành phần liên thông của G và cho
0
x C
∈
Do G là tập mở nên với
0
ε
>
thì
0
( , )B x G
ε
⊂
.Mà
0

( , )B x
ε
là tập liên thông nên
0
( , )B x C
ε
⊂
(do C là thành phần liên thông).
Vậy nên
C
là tập mở.
Ta nhận thấy số các thành phần liên thông là đếm được.
Thật vây, cho S =
{a+ib:
a,b
∈
¡
và a+ib
∈
G}. Khi đó, S là đếm được và với mỗi
thành phần liên thông của G sẽ chứa một điểm của S.
Vậy nên số các thành phần liên thông là đếm được.
SV:
Nguyễn Thị Thu Hà lớp 10ST 11