Bài toán so sánh tính ổn định của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu nhỏ

Mục lục
MỞ ĐẦU

1

Chương I: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN

3

1.1

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định . . . . . . .

3

1.2

Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . .

5

1.3

Tính ổn định, tính giới nội của hệ vi phân tuyến tính
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Ổn định của hệ tuyến tính dừng . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Phương pháp hàm Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

Ổn định của hệ thống tuyến tính khơng dừng . . . . . .

16

1.7

Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2: BÀI TOÁN SO SÁNH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU
NHỎ
2.1

26

Số mũ đặc trưng Liapunov

. . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.1 Các tính chất của số mũ đặc trưng . . . . . . . . .

27

2.1.2 Số mũ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi
phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2

So sánh tốc độ phát triển của các hệ động lực học . . . .

29

2.3

Hệ tuyến tính đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

KẾT LUẬN

44

Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Hướng phát triển nghiên cứu

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

46


1

MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, việc khảo sát một hệ động lực có ổn định hay
khơng là rất quan trọng trong cả lý thuyết và ứng dụng. Vì vậy, đã có
rất nhiều định nghĩa về sự ổn định của các hệ thống được đưa ra (chẳng
hạn trong [1], [2], [3]) và đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu về các
tiêu chuẩn mà từ đó chúng ta có thể biết được một hệ vi phân là ổn
định (xem thêm trong [2], [3], [4],. . . ). Trong số những tiêu chuẩn đó thì
tiêu chuẩn số mũ Lyapunov của nghiệm là một cơng cụ rất hữu hiệu bởi
vì sự quan trọng của nó trong việc giải thích diễn biến hỗn độn của hệ
thống (xem [1], [2]). Thêm vào đó, để nghiên cứu tính ổn định của các
hệ tuyến tính thì nói chung là chúng ta cần xem xét số mũ Lyapunov.
Nếu như giá trị của chúng là âm thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 chắc
chắn là ổn định.

Tuy nhiên, theo như chúng ta biết, khơng có một định nghĩa nào cho
phép ta so sánh “mức độ” biến thiên của hệ thống thậm chí trong trường
hợp chúng ở trong cùng một khơng gian và có cùng số chiều. Trong một
số trường hợp, việc so sánh này là cần thiết bởi vì nhiều vấn đề kỹ thuật
yêu cầu chúng ta phải chọn ra một hệ thống ít hỗn độn nhất trong số
các hệ được cho.
Mặt khác, việc nghiên cứu mũ Lyapunov của một hàm đồng nghĩa
với việc so sánh hàm này với các hàm mũ. Tuy nhiên, lớp các hàm này
không mang lại nhiều thông tin về tốc độ phát triển bởi vì tính đơn điệu
của chúng. Vì thế, nếu chúng ta thay lớp các hàm này bởi một lớp lớn
hơn, chúng ta hi vọng sẽ có thêm thơng tin về diễn biến của hàm được
xem xét.
Dựa vào ý tưởng này, chúng ta đưa ra một khái niệm cho việc so sánh
tốc độ phát triển của hai hệ thống. Định nghĩa cổ điển về sự ổn định có
thể được suy ra qua việc so sánh hệ đã cho với hệ tầm thường X ≡ 0.
Bên cạnh đó, theo định lý Lyapunov về tính ổn định, nếu hệ tuyến


2

tính là ổn định mũ thì nó sẽ ổn định khi chịu nhiễu nhỏ. Chúng ta muốn
tổng quát hoá kết quả này dựa theo quan điểm bảo tồn tính “so sánh”
sự ổn định. Ta có thể chứng minh được rằng, nếu hệ (2.1) là ổn định
hơn hệ (2.2) thì nó cũng ổn định hơn hệ (2.2) bị nhiễu nhỏ phi tuyến.
Luận văn này gồm có hai chương:
Chương 1: Tính ổn định của hệ vi phân.
Chương 2: Bài toán so sánh tính ổn định của các hệ động lực tuyến
tính chịu nhiễu nhỏ.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của TS. Phan Lê Na. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

sự tận tâm của thầy cô giáo dành cho tác giả trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS. Phan Đức Thành, PGS.TS.
Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS. Trần Xuân Sinh, TS. Nguyễn Trung Hồ,
cùng các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, khoa Sau đại học và các bạn
trong lớp Cao học 15 Toán đã thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện
thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ban giám hiệu và tập thể các
thầy cô đồng nghiệp trường PTTH Trần Phú đã động viên khích lệ và
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả tập trung hồn thành khóa học.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã
giúp đỡ rất tận tình trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để tác
giả hoàn thành khoá học và luận văn.
Vinh, ngày 10 tháng 1 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Thị Hồng Ngoan


3

Chương I
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN
Tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản của lý thuyết định
tính của các hệ động lực. Bất kỳ một hệ thống nào (mơ hình kinh tế hay
hệ sinh học. . . ) bao giờ cũng làm việc ở trạng thái ổn định nhất định.
Đó là trạng thái mà nếu có các nhiễu bé trong điều kiện ban đầu hoặc
trong cấu trúc của hệ thống thì hệ thống đó vẫn không bị thay đổi quá
nhiều so với trạng thái cân bằng. Hệ vi phân là phương tiện cơ bản để
mô tả hệ thống, do đó ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ đó (xem
quyển [1], [2], [3]).

1.1

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định

Xét hệ phương trình vi phân:

x(t)
˙
= f (t, x),
x(t ) = x ,
0

t≥0

(1.1)

0

trong đó x(t) ∈ R là véc tơ trạng thái của hệ, f : R+ ⊗ Rn → Rn là hàm
véc tơ cho trước, f (t, x) liên tục theo t , có đạo hàm riêng cấp 1 theo
các biến x1 , x2 , . . . , xn liên tục.
Định nghĩa 1.1.1.
Nghiệm của hệ gọi là ổn định theo Liapunov khi t → +∞ (gọi tắt
là ổn định) nếu ∀ > 0, t0 ≥ 0, ∃δ = δ( , t0 ), sao cho bất kỳ nghiệm
y(t) của hệ thỏa mãn y0 − x0 < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức
y(t) − x(t) < , ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.1.2.
Nghiệm x(t) của hệ gọi là không ổn định theo Liapunov nếu ∀ > 0 và
t0 ≥ 0 sao cho ∀δ > 0, tồn tại nghiệm y(t) của hệ vào thời điểm t1 > t0
thỏa mãn y0 − x0 < δ nhưng y(t) − x(t) ≥ .

4

Định nghĩa 1.1.3.
Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Liapunov nếu nó ổn
định và ∃δ > 0 sao cho với y0 − x0 < δ thì limt→∞ y(t) − x(t) = 0.
Định nghĩa 1.1.4.
Dùng phép biến đổi z = x − y ta đưa hệ (1.1) về hệ mới:
z˙ = g(t, z),

(1.2)

trong đó g(t, z) = f (t, y + z) − f (t, y). Rõ ràng g(t, 0) = 0 và hệ này cho
nghiệm tầm thường z ≡ 0. Hệ này được gọi là hệ quy đổi.
Định nghĩa 1.1.5.
Nghiệm tầm thường (trạng thái cân bằng) x ≡ 0 được gọi là ổn định
nếu ∀ > 0, t0 ≥ 0, ∃δ = δ( , t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) của hệ thỏa
mãn y( t0 ) < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức y( t) < , ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.1.6.
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ được gọi là ổn định tiệm cận theo
Liapunov nếu nó ổn định và ∃δ > 0 sao cho bất kỳ nghiệm y(t) thỏa
mãn y(t0 ) < δ thì limt→∞ y(t) = 0.
Định nghĩa 1.1.7.
Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ với số mũ là δ nếu ∃M > 0, δ > 0
sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với x(t0 ) = x0 thỏa mãn x( t)

<

M e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . Khi đó nghiệm khơng của hệ khơng những ổn định

tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ của hàm số
mũ.


5

1.2

Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Xét hệ vi phân tuyến tính:
x(t)
˙
= A(t)x + f (t)

(1.3)

và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
x(t)
˙
= A(t)x,

(1.4)

trong đó ma trận A(t) và véc tơ f (t) liên tục trong khoảng (0; ∞).
Định nghĩa 1.2.1.
Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định nếu tất cả các nghiệm
của nó ổn định.
Nhận xét: Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng
ổn định hoặc đồng thời không ổn định.

Định nghĩa 1.2.2.
Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả
các nghiệm của nó ổn định tiệm cận.
Định lý 1.2.1. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự do
bất kỳ f (t) khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương
ứng (1.4) ổn định.
Định lý 1.2.2. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn
định tiệm cận là nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.4)
ổn định tiệm cận.
Hệ quả 1.2.1. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) với số hạng tự do f (t) bất
kỳ ổn định (ổn định tiệm cận) khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng (1.4) ổn định (ổn định tiệm cận)


6

1.3

Tính ổn định, tính giới nội của hệ vi phân tuyến tính
thuần nhất

Định lý 1.3.1. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất (1.4) ổn định theo Lyapunov là mỗi nghiệm x(t) của hệ bị chặn
trên [t0 ; ∞)
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định nhưng có nghiệm
z(t) khơng bị chặn trên [t0 , ∞), z(t0 ) = 0. Ta sẽ chỉ ra nghiệm tầm
thường của hệ không ổn định. Thật vậy, lấy δ > 0 bất kỳ và xét nghiệm
y(t) =

z(t) δ

z(t0 ) 2 .

Rõ ràng y(t0 ) =

δ
2

< δ và vì z(t) khơng bị chặn nên

y(t) khơng bị chặn trên [t0 ; ∞). Do đó với

cố định, ∃t1 > t0 sao cho

y(t1 ) > .
Từ đó suy ra nghiệm tầm thường y ≡ 0 không ổn định. Điều này mâu
thuẩn với giả thiết hệ ổn định. Như vậy, mỗi nghiệm y = y(t) của hệ bị
chặn trên [t0 ; ∞).
Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên [t0 ; ∞). Khi
đó ma trận cơ bản hoá X(t) = [xik (t)] bao gồm các hàm giới nội nên
giới nội. Do đó ∃M > 0 để X(t) ≤ M, ∀t ∈ [t0 ; ∞).
Mặt khác, với mỗi nghiệm x(t) của hệ ta có y(t) = X(t) · y(t0 ). Suy
ra
y(t) = X(t) · y(t0 ) ≤ X(t) ∗ y(t0 ) ≤ M y(t0 ) < .
Khi y(t0 ) ≤

M

= δ, chọn δ =

M.

Như vậy, nghiệm tầm thường y ≡ 0

ổn định. Do đó hệ (1.4) ổn định.
Hệ quả 1.3.1. Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng thuần nhất ổn định thì
các nghiệm của nó hoặc đồng thời giới nội hoặc đồng thời không giới nội.
Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tuyến, từ tính giới nội của các nghiệm
nói chung khơng suy ra tính ổn định của nó.


7

Định lý 1.3.2. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất (1.4) ổn định tiệm cận là tất cả các nghiệm của nó thỏa mãn
limt→∞ x(t) = 0.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận, khi đó
nghiệm tầm thường z0 ≡ 0 ổn định tiệm cận. Từ đó suy ra mọi nghiệm
z(t) mà có z(t0 ) < δ thì limt→∞ z(t) = 0.
Giả sử y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ với điều kiện ban đầu y(t0 ) =
y0 , ( y(t0 ) ) = 0). Đặt z(t) =

y(t) δ
y(t0 ) 2

thì nghiệm z(t) cũng là nghiệm của

hệ và thỏa mãn limt→∞ z(t) = 0.
Do đó limt→∞ y(t) = limt→∞

y(t0 )

δ/2

z(t) = 0.

Điều kiện đủ:
Giả sử nghiệm y(t) bất kỳ của hệ thỏa mãn limt→∞ y(t) = 0, suy ra
với T đủ lớn (T > t0 ) thì nghiệm y(t) bị chặn trên [T ; ∞).
Mặt khác: Hàm véc tơ (y(t) liên tục trên [t0 , T ] nên bị chặn trên
đoạn đó. Như vậy, nghiệm bị chặn trên [t0 ; ∞). Do đó hệ ổn định. Suy ra
nghiệm tầm thường z0 ≡ 0 ổn định. Kết hợp với giả thiết limt→∞ y(t) =
0 ta suy ra được nghiệm tầm thường z0 ≡ 0 ổn định tiệm cận. Do đó hệ
đã cho ổn định tiệm cận.
Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất cả các nghiệm dần
tới khơng khi t → ∞ nói chung khơng phải là điều kiện đủ để các nghiệm
ổn định tiệm cận.
Ví dụ: Xét phương trình vi phân:
x(t)
˙
= a(t)x, ∀ t ≥ 0,
trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục.
Nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi
x(t) = x0 e

t
t0

a(τ )dτ

.

8

Do đó hệ đã cho là ổn định nếu

t
t0

a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞, hệ ổn định

đều nếu số µ(τ ) là hằng số không phụ thuộc t0 , hệ là hệ ổn định tiệm
cận nếu limt→∞
1.4

t
t0

a(τ )dτ = −∞.

Ổn định của hệ tuyến tính dừng

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
x(t)
˙
= Ax(t), ∀ t ≥ 0,

(1.5)

trong đó A = [ajk ]n là ma trận hằng.
Định lý 1.4.1. Hệ vi phân (1.5) ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm

đặc trưng λj của ma trận đều có phần thực khơng dương và các nghiệm
đặc trưng có phần thực bằng khơng đều có ước cơ bản đơn.
Chứng minh. Điều kiện đủ : Từ (1.5) ta suy ra:

x˙
x

= A. Lấy tích phân 2

vế ta được:
ln x = At + C
⇔ x = ec ∗ eAt .
Vì x(0) = x0 nên ec = x0 . Do đó x = x0 eA t là nghiệm của hệ đã cho.
Ta cần chứng minh mọi nghiệm của hệ bị chặn. Thật vậy, giả sử
λ1 , λ2 , . . . , λm≤n là các giá trị riêng của ma trận A, trong đó
λj = aj + ibj , j = 1, 2, . . . , m, aj = 0;
λk = ibk , k = m + 1, . . . , r.
Khi đó tồn tại ma trận khơng suy biến T sao cho ma trận T −1 AT có
dạng chéo : diag(J(λ1 ), . . . , J(λr )) := B. Suy ra ma trận T eBt T −1 có
dạng T diag(eJ(λ1 t) , . . . , eJ(λr t) )T −1 Mà x(t) = eAt x0 = T eBt T −1 nên suy


9

ra:
x(t) = T diag(eJ(λ1 t) , . . . , eJ(λr t) )T −1 x0 .
Vì Reλj ≤ 0, ∀j = 1, . . . , r nên x(t) < ∞. Do đó mọi nghiệm của hệ
(1.5) bị chặn.
Điều kiện cần : Giả sử hệ (1.5) ổn định, ta cần chứng minh Reλj ≤
0, ∀ j = 1, . . . , r . Vì hệ (1.5) ổn định nên nghiệm x(t) bị chặn, tức là :

x(t) < ∞, ∀ t ≥ 0
⇔

diag(eJ(λ1 t) , . . . , eJ(λr t) ) x0 < ∞

⇔ Reλj ≤ 0, ∀ j = 1, . . . , r.
Bây giờ ta cần phải chứng minh với q = ibq , αq = 0 thì λq có ước cơ
bản đơn. Gọi Jq (λq ) là ô Jordan của λq cấp αq , ta có:


t2
tαq −1
1
t
· · · (αq −1)!
2!


 0
1 ··· ···
··· 



Jq (λq )t
αq t 
e
=e  0
0
1 ···

··· 


· · · · · · · · · · · ·
t 


0
0
0 ···
1
Suy ra eJq (λq )t ≥ 1 + t +

t2
2!

+ ··· +

tαq −1
(αq −1)!

>

tαq −1
(αq −1)! .

Do đó eJq (λq )t → ∞ khi t → ∞ nếu αq ≥ 2.
Giả sử αq ≥ 2 ta chỉ ra nghiệm của hệ (1.5) không bị chặn. Thật vậy,
xét ma trận:
M˙ (t) = T −1 diag 0, . . . , 0, eJq (λq )t , 0, . . . , 0 T

=

T −1 diag(J1 (λ1 ), . . . , Jn (λn )T ∗
T −1 diag(0, . . . , 0, Jq (λq )eJq (λq )t , 0, . . . , 0)T

= AM (t).


10

Do đó M (t) là ma trận nghiệm của (1.5). Mặt khác M (t) → ∞ khi
t → ∞ nên M (t) không bị chặn.
(V M (t) = T

M (t) T −1 ≥ T M (t)T −1 = eJ(λq )t → ∞).

Do vậy αq ≤ 1 hay αq có ước cơ bản đơn.
Định lý 1.4.2. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định tiệm
cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm λj của phương trình đặc trưng của
ma trận A đều có phần thực âm.
Chứng minh. Ta có mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.5) đều có dạng
x(t) = T diag(eJ1 (λ1 )t , . . . , eJn (λn )t )T −1 x0 ,
trong đó T là ma trận không suy biến và

t2
1
t
2!

 0

1 ···


eJq (λq )t = eαq t  0
0
1

· · · · · · · · ·

0

0

0

···
···
···
···
···

tαq −1
(αq −1)!




··· 



··· 

t 

1

Hệ (1.5) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi:
lim x(t) = 0 ⇔ lim x(t) = 0.

t→∞

t→∞

Điều này tương đương với limt→∞ eλq t = 0, ∀ λq ∈ λ(A)
⇔ Reλq < 0, ∀λq ∈ λ(A).
Định lý 1.4.3. Hệ (1.5) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất
cả các giá trị riêng của ma trận A là âm, tức là: Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A).
Chứng minh. Điều kiện đủ: Ta có mọi nghiệm của hệ (1.5) đều có dạng:
x(t) = T diag(eJ1 (λ1 )t , . . . , eJn (λn )t )T −1 x0 .


11

Hơn nữa


eJq (λq )t

Nên ta có: x(t) ≤

t2
2!

1
t

 0
1 ···


= eαq t  0
0
1

· · · · · · · · ·

0
0
0
q
k=1

k
i−1 Reλk t
e
i=1 t

···
···
···

···
···

tαq −1
(αq −1)!




··· 


··· 

t 

1

∗ x0 .

Vì Reλk < 0 nên x(t) → 0 khi t → ∞ và do đó hệ (1.5) ổn định
mũ.
Điều kiện cần: Giả sử (1.5) là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t)
với x(t0 ) = x0 của hệ thỏa mãn x(t) ≤ µ x0 e−δ(t−t0 ) với µ > 0, δ > 0
nào đó. Bây giờ ta giả sử ∃λ0 ∈ λ(A) sao cho Reλ0 ≥ 0. Khi đó véc tơ
riêng là x0 (t) = x0 eλ0 t , ta có x0 (t) = x0 eReλ0 → ∞ khi t → ∞. Điều
này mâu thuẫn với trên. Vậy định lý được chứng minh.
Chú ý: Đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dùng các mệnh đề
sau là tương đương:
i) Hệ ổn định mũ

ii) Hệ ổn định tiệm cận
iii) Mọi giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực âm.
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ

x˙ 1 (t) = −2x1
x˙ (t) = −3x .
2

Ta thấy A =

−2

0

2

. Các giá trị riêng của ma trận A là λ(A) =
0 −3
−2, −3 đều có Reλ(A) < 0. Do đó hệ đã cho ổn định mũ.


12

1.5

Phương pháp hàm Liapunov

Đây là phương pháp nhằm giải quyết các bài tốn ổn định của các hệ
phương trình vi phân, nhất là các hệ phi tuyến mà không cần tìm nghiệm
riêng hay nghiệm tổng quát của hệ, chỉ cần tìm những hàm đặc biệt của

t và x, gọi là hàm Liapunov. Tính ổn định của hệ sẽ được thử trực tiếp
thơng qua dấu của đạo hàm tồn phần theo vế phải của hệ đã cho.
Định nghĩa 1.5.1.
Cho hàm số V = V (t, x) liên tục theo t và x trong miền Z0 =
(0, +∞) × ( x < h). Hàm V (t, x) được gọi là hàm xác định dương trong
Z0 nếu tồn tại hàm ω(x) với x < h sao cho V (t, x) ≥ ω(x) > 0 với
x = 0 và V (t, 0) = ω(0) = 0. Hàm V (t, x) được gọi là hàm xác định âm
trong Z0 nếu tồn tại hàm ω(x) với x < h sao cho V (t, x) ≤ ω(x) < 0
với x = 0 và V (t, 0) = ω(0) = 0.
Định nghĩa 1.5.2.
Hàm V (t, x) gọi là hàm số có giới hạn vơ cùng bé bậc cao khi x → 0
nếu với t0 ∈ (0, +∞), ∀ > 0, ∃δ = δ( ) > 0 sao cho khi x < δ thì
|V (t, x)| < , ∀t ≥ t0 .
Chú ý: Nếu V (x) là hàm liên tục, không phụ thuộc vào t và V (0) = 0
thì V (x) sẽ có giới hạn vơ cùng bé bậc cao khi x → 0.
Định nghĩa 1.5.3.
Cho hệ vi phân quy đổi:
x(t)
˙
= g(t, x),

(1.6)

trong đó g(t, x) liên tục theo t và có đạo hàm riêng theo x1 , x2 , . . . , xn
trong miền D = (0, +∞) × ( x
n
∂V ∂xj
j=1 ∂xj ∂t

< h). Khi đó hàm số

dV
dt

gọi là đạo hàm tồn phần theo t của hàm V (t, x).

=

∂V
∂t

+


13

Định lý 1.5.1. (Liapunov về sự ổn định) Nếu đối với hệ quy đổi (1.6)
tồn tại một hàm xác định dương V (t, x) và có đạo hàm có dấu khơng
dương

dV
dt

thì nghiệm tầm thường x ≡ 0, (0 < t < ∞) của hệ đã cho ổn

định theo Liapunov khi t → ∞.
Chứng minh. Vì V (t, x) là hàm xác định dương nên tồn tại hàm ω(x)
liên tục sao cho V (t, x) ≥ ω(x) > 0 với x = 0 và V (t, 0) = ω(0) = 0.
Với 0 < ≤ h ta có mặt cầu S = x =

là tập compact trong Rn .

Do đó ω(S ) là tập compact trong R. Suy ra ω(S ) là tập bị chặn. Do đó
∃x∗ ∈ S sao cho ω(x∗ ) = inf x∈S ω(x) = α > 0.
Mặt khác V (t, x) liên tục theo x và V (t, 0) = 0 nên với t0 ∈ (0, ), ∃δ <
sao cho 0 ≤ V (t0 , x(t0 )) ≤ α khi x(t0 ) < δ.
Giả sử nghiệm tầm thường x ≡ 0 khơng ổn định. Khi đó với nghiệm
x(t) bất kỳ mà có x(t0 ) < δ thì tồn tại thời điểm t1 > t0 để x(t1 ) = .
Do đó : ω(x(t1 )) ≥ α. Ngồi ra theo giả thuyết

dV
dt

≤ 0, ta có hàm

V (t, x(t)) khơng tăng. Từ đó suy ra : α > V (t0 , x(t0 )) ≥ V (t1 , x(t1 )) ≥
ω(x(t1 )) ≥ α, điều này vô lý. Như vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn
định.
Hệ quả 1.5.1. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

dx
dt

=

A(t)x(t), trong đó A(t), x(t) liên tục trên [0, ∞) mà tồn tại hàm xác
định dương V (t, x) có đạo hàm

dV
dt

≤ 0 thì tất cả các nghiệm của nó ổn

định.
Định lý 1.5.2. (Liapunov về sự ổn định tiệm cận) Nếu đối với hệ quy
đổi (1.6) tồn tại một hàm xác định dương V (t.x) có giới hạn vơ cùng
bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm tồn phần theo t xác định âm thì
nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Theo định lý (1.5.1), từ giả thiết ta suy ra nghiệm x ≡ 0
của hệ (1.6) ổn định. Để chứng minh nghiệm này ổn định tiệm cận ta


14

chứng minh với mọi nghiệm x(t) bất kỳ của hệ thì thỏa mãn:
lim x(t) = 0.

t→∞

Đặt V (t) = V (t, x(t)). Vì

dV
dt

< 0 nên suy ra V (t) là hàm giảm. Do

đó limt→∞ = inf V (t) = α ≥ 0.
Ta chứng minh α = 0. Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó tồn tại β > 0
sao cho x(t) ≥ β, ∀t ≥ t0 nào đó (vì nếu điều này khơng đúng thì
∃{tk } : tk → ∞ và limtk →∞ x(tk ) = 0. Dãy {tk } như trên là tìm được.

Sở dĩ như vậy vì nếu tk bị chặn trên thì sẽ tồn tại một dãy con hội tụ,
ta chọn ngay dãy {tk } là dãy con đó. Do tính liên tục của x(t) nên ta
có ∃ limk→∞ x(tk ) := x(T ). Suy ra x(T ) = 0 (do tính duy nhất nghiệm)
trên (0, ∞). Điều này mâu thuẩn với x(t) là nghiệm khơng tầm thường.
Do V (t, x) có giới hạn vơ cùng bé bậc cao khi x → 0, tức là V (t, x) → 0
khi x → 0 và limtk →∞ x(tk ) = 0 nên suy ra
lim V (tk ) = lim V (tk , x(tk )) = 0.

tk →∞

tk →∞

Điều này mâu thuẩn với giả thiết α > 0. Do đó tồn tại β > 0 sao
cho x(t) ≥ β, ∀t ≥ t0 nào đó. Do V˙ (t, x) âm nên ∃ω1 (x) sao cho
V˙ (t, x) ≤ −ω1 (x) < 0 với x = 0 và V˙ (t, 0) = −ω1 (x) = 0. Mặt khác,
do nghiệm x ≡ 0 ổn định nên bị chặn trên (t0 , ∞).
Đặt γ := inf β≤

x ≤h ω1 (x).

γ tồn tại vì hàm ω1 (x) liên tục trên tập

đóng nên bị chặn. Suy ra với t ≥ t0 thì
t

V˙ (s, x(s))ds

V (t) = V (t0 ) +
t0
t

≤ V (t0 ) −

ω1 (x(s))ds
t0

≤ V (t0 ) − γ(t − t0 ) < 0,
khi t đủ lớn.


15

Điều này mâu thuẩn với giả thiết V (t, x) xác định dương. Do vậy
điều giả sử α > 0 là sai, nên α = 0. Suy ra limt→∞ V (t, x) = 0. Tiếp
theo ta chứng minh limt→∞ x(t) = 0, tức là lấy

> 0 tuỳ ý ta cần chỉ

ra x < , ∀t ≤ T nào đó. Vì V (t, x) xác định dương nên tồn tại hàm
ω(x) sao cho V (t, x) ≥ ω(x) > 0, với x = 0. Đặt l = inf β≤

x ≤h ω(x).

Vì limt→∞ V (t, x) = 0 nên tồn tại T ≥ t nào đó sao cho V (t, x(t)) < l.
Mặt khác do V (t, x(t)) giảm nên V (t, x(t)) < l, ∀t ≥ T .
Ta sẽ chứng minh x < , ∀t ≥ T bằng phản chứng. Thật vậy, giả
sử ∃t1 ∈ (T, +∞) sao cho x(t1 ) ≥ . Khi đó ta có L > V (t1 , x(t1 )) >
ω(x(t1 )). Điều này mâu thuẩn với cách đặt l. Do vậy limt→∞ x(t) = 0.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.5.4.

Ma trận hằng A được gọi là ma trận Hurwitz hay ổn định nếu phần
thực tất cả các giá trị riêng của A đều âm.
Định lý 1.5.3. Ma trân A là ổn định khi và chỉ khi bất kỳ ma trận G
đối xứng, xác định dương nào thì phương trình AT H + HA = −G (LE)
có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương H.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma
trận H đối xứng, xác đinh dương với G > 0 đối xứng, chọn tuỳ ý và x(t)
là một nghiệm bất kỳ của hệ x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0 với điều kiện ban đầu
x(t0 ) = x0 . Xét hàm Liapunov:
V (x(t)) = xT AT Hx + xT HAx = xT (AT H + HA)x = −xT Gx < 0,
Vì H xác định dương nên V (x(t)) là hàm xác định dương, ngoài ra
dV
dt

< 0 nên theo định lý Liapunov thì hệ trên ổn định tiệm cận. Suy ra

phần thực của các nghiệm đặc trưng của ma trận A đều âm hay ma trận
A là ổn định.


16

Điều kiện cần: Giả sử ma trận A là ổn định, tức là các giá trị riêng
của A đều có phần thực âm. Với bất kỳ ma trận G đối xứng, xác định
dương, ta xét phương trình ma trận sau:

Z(t)
˙

= AT Z(t)A, t ≥ t0
Z(t ) = G.
0
T

Nhận thấy hệ có một nghiệm riêng là Z(t) = eA t GeAt . Đặt X(t) =
t
t0

Z(s)ds.
Vì ma trận ổn định nên tích phân H =

t
t0

Z(s)ds =

t AT s
GeAs ds
t0 e

<

∞ là xác định và do G đối xứng nên H cũng đối xứng. Mặt khác, lấy
tích phân hai vế hệ phương trình trên từ t0 đến t ta có: Z(t) − G =
AT X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0 .
Cho t → ∞, khi đó Z(t) → 0. Hơn nữa A ổn định nên ta có −G =
AT H + HA. Như vậy các ma trận đối xứng H, G thoả mãn phương trình
(LE), Ta chỉ cần chỉ ra H xác định dương, thật vậy ta có: < Hx, x >=
t

t0

T

< GeA t x, eAt x > dt.
Do G > 0 và eAt không suy biến nên < Hx, x >> 0 với mọi x = 0.

Do đó H xác định dương. Định lý được chứng minh xong.
1.6

Ổn định của hệ thống tuyến tính khơng dừng

Xét hệ vi phân tuyến tính:
x(t)
˙
= A(t)x(t),

t ≥ 0.

(1.7)

Định lý 1.6.1. Xét hệ (1.7) trong đó A(t) = A + C(t). Giả sử A là ma
trận ổn định, C(t) là khả tích trên R+ và C(t) ≤ a, a > 0. Khi đó hệ
ổn định mũ với a > 0 đủ nhỏ.
Chứng minh. Với A(t) = A + C(t) hệ (1.7) có dạng: x = Ax(t) +
C(t)x(t), t ≥ 0.


17

Do đó nghiệm của hệ với x(t0 ) = x0 cho bởi:
x(t) = e

t
t0

Ads

t

(x0 +

C(s)x(s)e

s
t0

−Ads

ds)

t0
t

C(s)x(s)e−A(s−t0 ) ds)

= eA(t−t0 ) (x0 +
t0
t

= x0 eA(t−t0 ) +

C(s)x(s)eA(t−s) ds).
t0

Vì ma trận A ổn định nên hệ x = Ax(t), t ≥ 0 là ổn định mũ. Do đó
theo định nghĩa ∃µ > 0, δ > 0 sao cho eAt ≤ µe−δt , ∀t ≥ 0.
Ta có:
t

x(t)

≤

x0

eA(t−t0 ) +

eA(t−s)

C(s) x(s) ds)

t0
t

≤

x0 µ e−δ(t−t0 ) +

µe−δ(t−s) a x(s) ds)

t0

t

⇒ eδ(t−t0 ) x(t)

µa x(s) eδ(s−t0 ) ds).

≤ µ x0 +
t0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: “Nếu u(t) ≤ C +
t
t0

a(s)u(s)ds thì u(t) ≤ Ce
với u(t) = eδ(t−t0 )

µ x0 ∗

t
t0

x(t)

t
t0

a(s)ds

”,

, C = µ x0 , a(s) = µa, ta có: eδ(t−t0 ) x(t) ≤

µa x(s) eδ(s−t0 ) ds), ∀t ≥ t0 . Hay eδ(t−t0 ) x(t) ≤ µ x0 ∗

eµa(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . Do đó x(t) ≤ µ x0 ∗ e(µa−δ)(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . Chọn
a<

δ
µ

khi đó hệ ổn định.

Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân:

x˙1 = − 1 x1 + 1 cos2 t
3
4
x˙ = 1 x − 1 x + 1 sin2 t.
2
5 1
2 2
4


18

Ta có A =

−1/3

0

1/4 cos2 t

, C(t) =

. Ma trận A ổn định vì
1/5 −1/2
1/4 sin2 t
λ(A) = −1/2, −1/3, cịn hàm C(t) khả tích trên R+ và C(t) ≤ 1/4 =
a. Chọn µ = 1, δ = 1/2 khi đó 1/4 = a < µδ . Do đó hệ ổn định mũ.

Định lý 1.6.2. Xét hệ (1.7) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t.
Giả sử tồn tại các số M > 0, δ > 0, K > 0 sao cho:
i) eA(s)t ≤ Ke−δt , ∀t, s ≤ 0
ii) supt∈R+ A(t) ≤ M .
δ
2K .

Khi đó hệ ổn định mũ nếu M <

Chứng minh. Ta viết lại hệ dưới dạng tương đương:
x(t)
˙
= A(t0 )x(t) + (A(t) − A(t0 ))x(t), t ≥ t0 .
Nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 cho bởi x(t) = x0 eA(t0 )(t−t0 ) +

t

t0 (A(s)

−

A(t0 ))x(s)eA(t0 )(t−s) ds.
Ta có
t

x(t) ≤ K e

−δ(t−t0 ) x0

2M K x(s) e−δ(t−s) ds)

+
t0
t

⇒ eδ(t−t0 ) x(t) ≤ K x0 +

2KM x(s) eδ(s−t0 ) ds),
t0

áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Với u(t) = eδ(t−t0 )

x(t)

C = K x0 và a(s) = 2KM , ta có:
t
δ(t−t0 )

e

δ(t−t0 )

⇒ e
⇒

x(t) ≤ K x0 ∗
x(t) ≤ K x0 ∗ e

2KM x(s) eδ(s−t0 ) ds), ∀t ≥ t0
t0
2KM (t−t0 )

, ∀t ≥ t0

x(t) ≤ K x0 ∗ e(2KM −δ)(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , β = δ − 2KM > 0.

,


19

Nếu chọn M <

δ
2K

thì ta có x(t) ≤ K x0 ∗ e−β(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 , β =

δ − 2KM > 0. Do đó hệ ổn định mũ.
Định lý 1.6.3. Giả sử tồn tại giới hạn limt→∞ A(t) = A∞ và A∞ là ma
trận ổn định, khi đó hệ:
x(t)
˙
= (A∞ + B(t))x(t),

(1.8)

là ổn định tiệm cận nếu limt→∞ B(t) = 0.
Chứng minh. Nghiệm của hệ (1.8) với x(t0 ) = x0 là x(t) = x0 eA(t0 )(t−t0 ) +
t
t0 (A(s)

− A(t0 ))x(s)eA(t0 )(t−s) ds.

Vì ma trận A∞ ổn định nên hệ x(t)
˙
= A∞ x(t) cũng ổn định, do đó
theo định nghĩa ∃µ > 0, δ > 0 sao cho eA∞ t ≤ µe−δt , ∀t > 0.
Ta đánh giá:
t

x(t) ≤ µ e

−δ(t−t0 ) x0

µ x(s) B(s) e−δ(t−s) ds)

+
t0
t

⇒ eδ(t−t0 ) x(t) ≤ µ x0 +

µ B(s) x(s) eδ(s−t0 ) ds).
t0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Với u(t) = eδ(t−t0 )
C = µ x0 và a(s) = µ B(s) , ta có: eδ(t−t0 ) x(t) ≤ µ x0 ∗eδ(t−t0 ) e
Do đó 0 ≤
µ x0 ∗ e

t
(µ
t0

x(t)

≤ µ x0 ∗ e(µa−δ)(t−t0 ) e

B(s) −δ)

µ B(s)

. ⇔ 0 ≤

x(t)

x(t)

=

δ
2M ,

≤

, ∃T > 0 sao cho B(s) ≤

∀s ≥ t do đó µ B(s) − δ ≤ −δ/2, ∀s ≥ T .

Do đó theo ngun lý kẹp thì limt→∞ x(t) = 0. Mặt khác hệ x(t)
˙
=
A∞ x(t) ổn định, nên hệ đã cho ổn định tiệm cận.

,

µ B(s)

.

Vì limt→∞ B(t) = 0 nên với
δ
2M ,

t
t0

t
t0

.


20

1.7

Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân
ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.7.1.
Quá trình W = (Wt , t > 0) xác định trên không gian xác suất:
(Ω, F, P ) được gọi là quá trình Wiener nếu:
i) W0 = 0
ii) Wt là q trình có gia số độc lập, tức với mọi t1 < t2 < t3 < t4 các
biến ngẫu nhiên Wt4 − Wt3 và Wt2 − Wt1 là độc lập.
iii)Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , (0 < s < t) có phân phối chuẩn với
trung bình 0 và phương sai t − s.
iv) Với hầu hết ω các quỹ đạo Wt (ω) là hàm liên tục.
Định lý 1.7.1. (Quy tắc vi phân Itô): Cho X = (Xt ) là một quá trình
ngẫu nhiên có vi phân: dXt = A(t, Xt )dt + B(t, Xt )dWt . Trong đó (Wt )
là q trình Winener một chiều. Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả
vi liên tục theo biến t , hai lần khả vi liên tục theo x khi đó quá trình
ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt ) có vi phân Itơ được tính theo cơng thức sau đây
được gọi là quy tắc vi phân Itô: dYt =

∂g
∂t dt

+

∂g
∂x dx

+

1 ∂2g 2
2 ∂x2 B dt.

Mệnh đề 1.7.1. Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên: dx(t) = Ax(t)dt+
Bx(t)dW (t), 0 ≤ t0 < ∞. Trong đó x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , A, B ∈ Rn×m
là ma trận hằng. Khi đó quy tắc vi phân Itơ của hàm V = xT x là:
dxT x = xT dx + dxT x + (Bx)T Bxdt.
Mệnh đề 1.7.2. Cho x có vi phân ngẫu nhiên: dx = Axdt+BxdW trong
đó A, B ∈ Rn×m là ma trận hằng. Khi đó vi phân của hàm V = xT Hx
có kỳ vọng: dV = xT (AT H + HA + B T HB)xdt.


21

Chứng minh. Theo cơng thức vi phân Itơ ta có:
dV = d(xT Hx) = dxT Hx + xT d(Hx) + (Bx)T H(Bx)dt
= dxT Hx + xT Hdx + xT B T HBxdt
= (xT AT dt + xT B T dW )Hx + xT H(Axdt + BxdW ) + xT B T HBxdt
= xT (AT H + HA + B T HB)xdt + xT (B T H + HB)xdW.

Từ đó suy ra: EdV = xT (AT H + HA + B T HB)xdt do EdW = 0.
Định nghĩa 1.7.2.
Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên:
dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t)dW

(1.9)

trong đó A, B ∈ Rn×m là các ma trận hằng, Wt là quá trình Winer tiêu
chuẩn. Ta giả thiết ma trận A ổn định. Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ được
gọi là ổn định với xác suất 1 theo Liapunov nếu ∃M > 0, δ > 0 sao
cho xác suất có điều kiện của biến cố supt0 P {lim supt0 +T ≤t x(t) = 0 | x(0) = x0 , x0 < δ} = 1.
Mệnh đề 1.7.3. (Ghiman): Nếu đối với hệ phương trình vi phân ngẫu
nhiên Itô (1.9) tồn tại hàm Liapunov xác định dương V (x(t)) sao cho
V (0) = 0 và kỳ vọng của đạo hàm toàn phần theo biến thời gian của V
lấy theo nghiệm của hệ là âm thì nghiệm khơng của hệ ổn định tiệm cận
với xác suất 1.
Định lý 1.7.2. Giả sử ma trận A Hurwitz khi đó nghiệm không của hệ
(1.9) ổn định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận AT H0 +H0 A+B T H0 B
(hoặc ma trận B T H0 B − G) xác định âm, trong đó H0 thoả mãn phương
trình Sylvester:
AT H0 + H0 A = −G.

(1.10)


22

Với G là ma trận xác định dương, đối xứng tuỳ ý (G có thể trùng I).
Chứng minh. Ta xây dựng hàm Liapunov V (x ) là dạng toàn phương:

V (xe psilon) = (x )T H0 x trong đó H0 là nghiệm của (1.10).
Từ đó ta thấy V (x ) là hàm xác định dương. Mặt khác, theo công
thức của vi phân ngẫu nhiên Itơ ta có:
dV (x) = d(xT H0 x) = dxT H0 x + (x )T H0 dx + (x )T B T H0 Bxdt
=

(x )T AT dt + (x )T B T dW H0 x + (x )T H0 (dt + BxdW ) +
(x )T B T H0 Bxdt

= (x )T (AT H0 + H0 A + B T H0 B)xdt + (x )T (B T H0 + H0 B)xdW,

⇒ E{

dV (x)
| x = x} = (x )T (AT H0 + H0 A + B T H0 B)(x )
dt
= xT (AT H0 + H0 A + B T H0 B)x,

xác định âm. Hay B T H0 B − G xác định âm.
Định lý 1.7.3. Giả sử ma trận A Hurwitz. Khi đó điều kiện đủ để
nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma
trận xác định dương H thoả mãn phương trình Sylvester:
AT H + HA + B T HB = −G.

(1.11)

Với G là ma trận đối xứng, xác định dương, chọn tuỳ ý (có thể lấy G
trùng I là ma trận đơn vị).
Chứng minh. Giả sử tồn tại nghiệm xác định dương H của phương trình
Sylvester (1.11). Khi đó ta lấy hàm Liapunov là dạng tồn phương:

V (x) = (x )T Hx suy ra V xác định dương. Tương tự như định lý trên


23

ta có:
⇒ E{

dV (x)
| x = x} = xT (AT H + HA + B T HB)x = −xT Gx < 0.
dt

Do vậy theo mệnh đề Ghiman thì nghiệm khơng của hệ (1.9) ổn định
tiệm cận với xác suất 1.
Định lý 1.7.4. Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B khơng suy biến.
Khi đó điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận với
xác suất 1 là ma trận H00 − E xác định âm, trong đó H00 thoả mãn
phương trình Sylvester:
AT H00 + H00 A = −B T B.

(1.12)

Chứng minh. Theo giả thiết B là ma trận không suy biến nên B T B
là ma trận xác định dương. Do đó hàm Liapunov dạng toàn phương
V (x ) = (x )T H00 x xác định dương, áp dụng mệnh đề (1.7.1) ta có
E{dV (x )} = (x )T (AT H00 + H00 A + B T H00 B)x
dV (x)
| x = x} = xT (AT H00 + H00 A + B T H00 B)x
⇒ E{
dt

= xT (−B T B + B T H00 B)x
= xT B T (H00 − E)Bx.
Vì H00 − E xác định âm nên B T (H00 − E)B xác định âm. Từ đó suy
ra xT B T (H00 − E)Bx < 0 Hay E dV
dt < 0 (***)
Từ (*) và (***) suy ra nghiệm không của hệ ngẫu nhiên (1.9) ổn định
tiệm cận với xác suất 1.
Định lý 1.7.5. Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B khơng suy biến.
Khi đó điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận với
xác suất 1 là vết H00 < 1, trong đó H00 thoả mãn phương trình Sylvester
(1.12)


24

Chứng minh. Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau:
Bổ đề: Giả sử H00 là ma trận xác định dương. Khi đó điều kiện cần
và đủ để ma trận H00 − E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của ma
trận H00 nhỏ hơn 1.
Chứng minh bổ đề: Giả sử λ1 , λ2 , · · · , λn là tất cả các giá trị riêng
của H00 và xj là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng λj . khi
đó:
(H00 − λj E)xj = 0, ∀ j = 1, 2, . . . , n
⇒ (H00 − E + (1 − λj )E)xj = 0, ∀ j = 1, 2, . . . , n
⇒ (H00 − E)xj = (λj − 1)Exj , ∀ j = 1, 2, . . . , n
⇒ xT (H00 − E)x = xT diag(λ1 − 1, λ2 − 1, . . . , λn − 1)x.
Do (λj − 1) < 0, ∀ j = 1, 2, . . . , n nên H00 − E xác định âm. Vậy Bổ
đề đã được chứng minh.
Ta cần chứng minh Vết (H00 ) < 1 là điều kiện đủ để tất cả các giá
trị riêng λj của ma trận H00 nhỏ hơn 1,

Thật vậy:

h11 − λ
h12

 h21
h22 − λ
f (λ) = |H00 − λE| = 
 ···
···

hn1
hn2

···

h1n




h1n 

···
··· 

· · · hnn − λ
···

= (−λ)n + C1 (−λ)n−1 + · · · + Ck (−λ)n−k + · · · + Cn

Trong đó Ck là tổng các định thức con của ma trận H00 − E mà chứa
k phần tử trên đường chéo chính, đó là những định thức con cấp k của
ma trận H00 . Do λj (j = 1, 2, · · · , n) là các giá trị riêng của ma trận H00 ,
nên chúng là các nghiệm của phương trình |H00 − λE| = 0 hay f (λ) = 0.
Do đó theo định lý Viet ta có:

n
j=1 λj

= C1 . Mà

n
j=1 hjj

= C1 nên suy