De thi chon HSG MTCT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề -----///-----. Ngày thi 28 tháng 12 năm 2012 ĐỀ BÀI Bài 1. Tính giá trị các biểu thức 2.  1 2   5 1   1 2    3  5   8  7 3   :  2  3        A   2 5   3 1   3 5    3  6  :  4 8  9    5  6        1.1) 1.2). B  291945  831910  2631931  322010  1981945 C. tg 3 1  cos 3   cot g 3 1  sin 3 . . . . . sin 3   cos3  .  1  sin   cos   1.3) với sin  =tg350.tg360 .tg370. . .tg530; 00<  <900.. . . 1  1  1 1   3 5 5 7 2009  2011 1.4) D = 1  3 1. E. 2. 2. 1. . 1. 1 6 2 1 2 5 3 3 1.5) Bài 2. Tìm giá trị các số a, b; x ; UCLN(m; n); BCNN(m; n) ; r 329 1  3 4 1  4 1 1051 3   0,5  1 4 . 5  x   1, 25.1,8 :  7  3 2      5, 2 :  2,5  3  1 5   3  1 3 4  1  15, 2.3,15  :  2 .4  1,5.0,8  a 4  2 4  b ; 2.2) 2.1) 2.3) Cho m = 449 371 ; n = 795 041 2.4) Tìm số dư r của phép chia 169 42327 : 285 Bài 3. 3.1. Tính F = 24 122 0082 3.2. Viết các phân số sau dưới dạng STP vô hạn tuần hoàn (tìm chu kỳ): 19 30 , 23 29 3. 1. 7. Bài 4. 4.1 Tìm tất cả các số chính phương có dạng abcba 4.2 Tìm số tự nhiên bé nhất mà lập phương của nó là một số có bốn chữ số tận cùng đều là chữ số 3. Bài 5. (5 điểm) Đa thức Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . Biết P(0) = 12 , P(1) = 12 , P(2) = 0 , P(4) = 60 a) Xác định hệ số a, b, c, d của đa thức P(x). b) Phân tích P(x) thành nhân tử. c) Tính P(2006). d) Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho 5x – 6.. Bài 6. Dân số một nước là 80 triệu người, mức tăng dân số là 1,1% mỗi năm. Tính dân số nước đó sau n năm, áp dụng với n = 20. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có góc A tù. Kẻ hai đường cao AH và AK ( H thuộc BC; K thuộc CD).  Biết độ dài hai cạnh AB = a; AD = b và HAK  . a) Viết công thức tính AH và AK. Từ đó tính tỉ số diện tích SABCD và SHAK (theo a, b,  ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b) Tính diện tích phần còn lại của hình bình hành ABCD sau khi khoét đi tam giác HAK? c) Biết  = 450 38’ 25” ; a = 29,1945 cm; b = 198,2001 cm. Tính SABCD? SHAK ? Scòn lại n.  13  3    13  3  . n. Un 2 3 Bài 8. Cho dãy số {Un}, số hạng tổng quát với n = 1; 2; 3; ... a) Tính tám số hạng đầu tiên của dãy số b) Lập công thức truy hồi tính Un+ 1 theo Un và Un – 1. c) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un+ 1 theo Un và Un – 1 trên máy tính (FX-570MS; FX-570ES). Kết quả: a) b) Công thức truy hồi: c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un+ 1 theo Un và Un – 1 trên máy tính      Bài 9. Cho ΔABC có C=2A+B; A<B . a) Viết biểu thức tính BC theo BA và AC. b) Biết độ dài ba cạnh của tam giác là 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Tính diện tích S của ΔABC Bài 10. Diện tích ΔABC là S. Trên cạnh BC và CA lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MC = 2MB và NA = 2NC; AM cắt BN tại E. a) Tính diện tích của tam giác BEM theo S b) Nếu cho AB = 31,48 cm; BC = 25,43 cm; AC = 16,25 cm. Tính Diện tích của tam giác BEM.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đáp án + Biểu điểm & Bài Giải: (tổng điểm toàn bài là 50/50) Bài 1 (5 điểm) 1.1) A = - 389,546 59 1.2) B = 541, 163 54 1.3) C = 3,192 01 1.4) D = 21,922 09 1.5) E = 0,53535 Bài 2 (5 điểm) 2.1) a = 7; b = 9 2.2) x = 158,504 65 2.3) UCLN(m; n)= 34567 BCNN(m; n)= 10 335 533 2.4) số dư r = 247 Bài 3 (5 điểm) 3.1. F = 581 871 269 952 064 3.2 19/23 = 0,(826 086 956 521 739 130 434 7) chu kỳ có 22 chữ số 30/23 = 1, (034 482 758 620 689 655 172 413 793 1) chu kỳ có 28 chữ số Bài 4. (5 điểm) 4.1 có 7 số chính phương là 10 201 (= 101^2) ; 12321 ( = 111^2); 14641 (=121^2) 40804 (=202^2) 44944 (= 212^2) 69696 =(264^2) 94249 (= 307^2) 4.2 số cần tìm là 6477 ( 6477^3 = 271 720 053 333 ) Bài 5. (5 điểm) d P(0) 12 d 12     1  a  b  c  d P(1) 12 (1)   a  b  c  1    16  8a  4b  2c  d P (2) 0 4a  2b  c  14 (2)   16a  4b  c  52 (1) a)theo đề bài, ta có hệ pt  256  64a  16b  4c  d P (4) 60 giải hệ pt bậc nhất 3 ẩn ta được a = – 2 b= –7 c= 8 d = 12 P(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 b) P(x) = ( x – 3) ( x – 2) ( x + 1) ( x + 2) c) P(2006) = 16 176 693 144 672 d) Khi chia một đa thức P(x) cho ax + b ta được: P(x) = (ax + b). Q(x) + r. P(. b ) a. =>số dư r khi chia P(x) cho nhị thức ax + b chính là Giá trị của đa thức khi x = - b/ a, hay r =  6 6336 86 P    10 625 ta tính r =  5  10,1376 = 625 Bài 6. (5 điểm) Gọi số dân ban đầu là x và mức tăng dân số là m%. Sau 1 năm số dân của nước đó là A1 = x + x.m = x(1 + m) (người) Sau 2 năm số dân của nước đó là A2 = x(1 + m) x(1 + m)m = x(1 + m)2 (người) Sau 3 năm số dân của nước đó là A3 = x(1 + m)2 + x(1 + m)2.m = x(1 + m)3 (người) Do vậy, sau n năm số dân nước đó là: An = x(1 + m)n (người) (1) Chứng minh: (bằng pp quy nạp hoàn toàn) + Ta có (1) đúng với n = 1, 2, 3. + Giả sử (1) đúng với mọi n  k. Với n = k, ta có Ak = x(1 + m)k ta c/ m (1) đúng với n = k +1. Thật vậy: Số dân tại năm thứ k +1 là: Ak + 1 = Ak + mAk = (1 + m)Ak = (1 + m).x(1 + m)k = x(1 + m)k+1 Vậy công thức (1) đúng với mọi n. b A Áp dụng với x = 80 000 000 người, n = 20 năm , m =1,1%  Tính trên máy A20 = 80 000 000 (1 + 1,1%)20 a Đáp số: Số dân của nước đó sau 20 năm là 99 566 457 (người) Bài 7. (5 điểm) 0      H C B a) B  C   C 180  B  D , nên AH = a sin ; AK = b sin,. D. K.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S ABCD 2  2 S HAK = ½ AH.AKsin = ½ absin3 vậy S HAK sin  b) S (còn lại) =. mà SABCD=BC.AH=absin;  sin 2   ab  1   sin  2   SABCD - S HAK= (cm2) 2 c) S = 3 079, 66332 (cm ). Bài 8. (5 điểm) Kết quả: a) U1 = 1. U3 = 510. U5 = 147 884. U7 = 36 818 536. U2 = 26. U4 = 8 944. U6 = 2 3360 280. U8 = 565 475 456. b) Công thức truy hồi: Un+ 1 = 26 Un - 166Un - 1 ; n = 1, 2, 3,… c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un trên máy tính FX 570-MS (FX-570ES) Gán 2  D (biến đếm) 1  A (số hạng U1) 26 B (số hạng U1) ghi vào màn hình dòng công thức: D = D + 1 : A = 26B – 166A : D = D + 1 : B = 26A – 166B Bấm phím = = = ... liên tục , ta nhận được các số hạng của dãy số từ U3 trở đi Bài 9. (5 điểm). C.       Cho ΔABC có C=2A+B; A<B . a) Viết biểu thức tính BC theo BA và AC.     B Hình vẽ: AD = AC, đặt CAB  , CDA   B D BCDBAC (gg) => ....=> 2 BC = BA.BD = BA(BA – AD) = BA(BA – AC) BC  BA  BA – AC  Vậy b) Biết độ dài ba cạnh của tam giác là 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Tính diện tích S của ΔABC AB > AC> BC (gt) và BC2 = BA(BA – AC) => AB2 = BC2 + AB. AC do đó: (2n)^2 = (2n – 4)^2 + 2n(2n – 2) => 4n2 – 20n + 16 = 0; n2 – 5n + 4 = 0giải pt này có: n = 1; n = 4 Với n = 1 thì cạnh AB = 2 (loại); với n = 4 thì AB = 2.4 = 8; AC = 6; BC = 4. (thỏa) Sử dụng công thức Héron, Tính S ABC = 3 15 11, 61895 (đ.v dt). A. Bài 10. (5 điểm) Diện tích ΔABC là S. Trên cạnh BC và CA lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MC = 2MB và NA = 2NC; AM cắt BN tại E. c) Tính diện tích của tam giác BEM theo S A d) Nếu cho AB = 31,48 cm; BC = 25,43 cm; AC = 16,25 cm. Tính Diện tích của tam giác BEM Giải: ta có. 1 1 1 S BEM  S BEC ; S BEC  S ABE  S BEM  S ABM 3 2 7. 1 1 1 S ABM  S ABC  S BEM  S ABC  S 3 21 21 Mà. N E C. B M.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Sử dụng công thức Héron, Tính S ABC = S = 205,6425884(cm2) => SBEM = 9,79250 (cm2) Ghi chú: mỗi bài 5 đ/ các Giám khảo chấm thống nhất Đáp án từng bài cụ thể trước khi triển khai chấm chung. HẾT.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>