Lý thuyết điều khiển Ổn định lắc ngược

Bộ Giao Thông Vận Tải
Trường ĐH Giao Thông Vận Tải TP.HCM
Khoa Điện – Điện tử Viễn thông

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN 2

Đề tài : ỔN ĐỊNH CON LẮC NGƯỢC

GVHD: Cơ Nguyễn Thị Chính


Nội dung chính

Tìm hàm truyền của đối tượng
Từ hàm truyền được xác định dùng Matlap vẽ QĐNS của hệ kín có
phản hồi đơn vị. Dựa vào QĐNS, tìm K để hệ thống ổn định, chỉ rò giá
trị này trên QĐNS. Nhận xét về tính ổn định của đối tượng.

Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống có chất
lượng điều khiển tốt
nhất.
2


I. Tìm hàm truyền đối tượng

1. Giới thiệu đối tượng
Xét hệ thống con lắc ngược như hình 1.1. Con lắc ngược gắn vào xe kéo bởi động cơ điện. Chúng ta chỉ xét 2 chiều , nghĩa là con lắc chỉ di
chuyển trong mặt phẳng. Con lắc ngược không thể ổn định vì nó ln ngã xuống trừ khi có lực tác động thích hợp. Giả sử khối lượng của con lắc
tập trung ở đầu thanh như hình vẽ ( khối lượng thanh không đánh kể). Lực điều khiển u tác động vào xe

 Trong đó: l: chiều dài con lắc ngược (m)

g : gia tốc trọng trường (m/)
m : khối lượng của con lắc (kg)
M : khối lượng của xe (kg)
u : lực tác dụng vào xe (N)
x : vị trí của xe (m)
giữa con lắc ngược và phương thẳng đứng (rad)

Hình 1.1 Mơ hình con lắc ngược


I. Tìm hàm truyền đối tượng

2. Mơ hình tốn học của con lắc ngược
 Gọi

là tọa độ vật nặng ở đầu con lắc

Ta có : = x+ l

(1.1)

=l

(1.2)

Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động theo phương x
u=M

(1.3)

Thay = x+l và (1.3) ta được :
u = M(x+ l )

(1.4)

Khai triển các đạo hàm của (1.4) và rút gọn ta được :
u = (M+m) - ml( ) + ml( )

(1.5)

Mặt khác áp dụng định luật II Newton cho chuyển động quay của con lắc quanh trục
l - l = mgl

(1.6)

Thay = x+ l và = l vào (1.6) ta được
m

(1.7)


I. Tìm hàm truyền của đối tượng

 

Khai triển các đạo hàm biểu thức (1.7) và rút gọn :
m + m.l = m.g.sin

(1.8)

Từ (1.5) (1.8)

(1.9)
=

(1.10)

Giả sử góc nhỏ để có thể xấp xỉ sin; cos ≈1 và 0 . Với các điều kiện trên, chúng ta có thể tuyến tính hóa các phương trình (1.5 và (1.8) :
(M+m) + ml = u
m + ml
Từ (1.11) và (1.12) =
=

= mg

(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)


I. Tìm hàm truyền của hệ thống

3. Tìm hàm truyền

 

Lấy Laplace 2 vế phương trình (1.14) ta được

)=
Hàm truyền của hệ thống :
G(s) = =

(1.15)


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống

 

Thay thông số thực tế vào hàm truyền : m = 0.5kg
M = 3kg
l = 0.3m
g = 10
Hàm truyền của hệ thống:
(s) =


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống

1.

Vẽ QĐNS trên phần mềm matlab

 

Code matlab :
=[1];
den=[0.9 0 -35]

=tf(num,den)

%xuất phương trình hàm truyền

axis([-10 10 -15 15])

%độ dài trục X, Y

rlocus(hamtruyen)

%xuất QĐNS

grid on

%hiển thị các đường và tọa độ trục


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống
2. Tìm K để hệ thống ổn định
a) Tiêu chuẩn ổn định Routh
 Lập bảng Routh xét tính ổn định của hệ thống

Áp dụng tiêu chuẩn Routh: 0.935+K = 0

Bảng Routh :

 

 

 

50

-35 + K

0

0

-35+K

0

Điều kiên để hệ thống ổn định: -35 + K > 0  K > 35


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống
b) Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
 

Phương trình đặc trưng của hệ thống :
1+ (s) = 0
1+ = 0

+K=0
Tìm tiêu chuẩn Hurwitz:

Ta có ma trận Hurwitz:

Các định thức
= a1 = 0
= = =0
Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Huwitz đều bằng 0 nên hệ thống không ổn định


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống
Xác định giá trị của k, Wc trên matlab

K = 41. 5576
Wc = 0.0000 + 2.6993i
0.0000 - 2.6993i


II. Vẽ QĐNS, tìm K, nhận xét tính ổn định của hệ thống

3. Đáp ứng bước của hệ thống:

Nhận xét:
Từ biểu đồ ta có thể thấy hệ
thống đạt setpoint ở giây 9.3 và tiếp
tục tăng tuyến tính. Hệ thống chưa
ổn định. Do đó ta cần thiết kế thêm
bộ điều khiển để hệ thống ổn định


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định
1 Thiết kế bộ điều khiển PID:

 Hàm truyền của hệ thống: G(s) =

Trong đó: l: chiều dài con lắc ngược (m)
M: khối lượng xe (kg)
2
g: gia tốc trọng trường (m/s )
m: khối lượng con lắc (kg)
2
Ta chọn: M=3kg, m=0.5kg, g=10m/s , l=0.3m
G(s) =
Áp dụng phương pháp Ziegler-Nichols:
Một số phương pháp cổ điển nhưng đơn giản và hiệu quả để chỉnh định 3 thông số Kp, KI và KD của bộ điều khiển PID là phương pháp ZieglerNichols. Thủ tục chỉnh định
như sau:

1.
2.
3.

Chỉ điều khiển hệ thống bằng bộ điều khiển tỉ lệ P (đặt KI, KD = 0).
Tăng KP đến giá trị KC mà ở đó hệ thống bắt đầu bất ổn (bắt đầu xuất hiện sự dao động – điểm cực của hàm truyền kín nằm trên trục ảo jω).
Xác định tần số ωc của dao động vừa đạt.


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

Từ giá trị KC và ωC vừa đạt, các thông số Kp, KI và KD được xác định như bảng sau:

KP

KI

KD

P (tỉ lệ)

0,5*KC

-

-

PI (tích phân tỉ lệ)

0,45*KC

0,191*KPc

-

PID (vi tích phân tỉ lệ)

0,6*KC

0,318*KPc

0,785*KP/c

Bộ điều khiển

III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

a) Thiết kế hệ thống bằng bộ điều khiển tỉ lệ Khâu P
Giao diện thiết kế trên Simulink:


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định
Điều chỉnh thông số KP trên PID Controller:
+ Với Kp=50 ta có:


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

Kết quả :

Nhận xét: Từ biểu đồ ta có thấy rõ ràng ta có thể thấy
hệ thống đạt setpoint ở giây 1.2 và tiếp tục tăng. Đến
giây thứ 1.8 thì bắt đầu giảm xuống để đáp ứng hệ
thống. Độ vọt lố là quá cao.=> Hệ thống chưa ổn định.
Do đó ta cần tăng Kp đồng thời thêm hệ số Ki vào để
triệt tiêu số xác lập làm cho đường đặc tuyến gần đường
setpoint.


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

b) Bộ điều khiển PI
Lấy các hệ số KP = 100; KI = 105; KD = 0.

III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

Kết quả

Nhận xét: Tiếp tục với các thông số như trên bảng ta được bộ điều
khiển PI. Mặc dù đã thêm hệ số Ki nhưng hệ thống rõ ràng vẫn chưa
ổn định. Từ biểu đồ ta có thấy rõ ràng ta có thể thấy hệ thống đạt
setpoint ở giây 9.9 và tiếp tục tăng. Đường đặc tuyến có xu hướng
dao động ra xa setpoint. Độ vọt lố tăng dần.=> Hệ thống chưa ổn
định. Do đó ta cần tăng Kp đồng thời tăng hệ số Ki và thêm hệ số Kd
vào để làm giảm độ vọt lố.


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

c) Bộ điều khiển PID
Thử đáp ứng của hệ thống. Sử dụng các thông số KP = 150; KI = 150; KD = 10.


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

Kết quả

Nhận xét: Nhìn đồ thị ta thấy hệ thống đã ổn định. Thời
gian hệ thống ổn định là 3.5 giây, độ vọt lố vẫn còn khá
cao. Cần phải đặt lại các giá trị Kp, Ki, Kd để có được
hệ thống tốt nhất có thể.
+Kp: giảm thời gian đáp ứng.
+Ki: triệt tiêu số xác lập làm cho đường đặc tuyến gần
đường setpoint.

+Kd: Làm giảm độ vọt lố.


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

d) Tinh chỉnh thông số các khâu
Thử đáp ứng của hệ thống. Sử dụng các thông số KP = 700; KI = 2100; KD = 60.


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định

Kết quả

Nhận xét: Sau quá trình tăng giảm các thông
số ở các khâu cho phù hợp ta được 1 bộ điều
khiển PID đạt yêu cầu như trên:
+ Độ vọt lố khoảng 18%
+ Thời gian xác lập là 1.5s


III. Thiết kế bộ điều khiển PI,PID, mờ để hệ thống ổn định
2. Thiết kế bộ điều khiển bằng phương pháp đặt cực , bộ quan sát trạng thái :
a) Phương pháp đặt cực
 Thiết kế con lắc về vị trí tham khảo ( x=0 ), với thời gian ổn định 2s, hệ thống tắt dần là 0.5

Hàm truyền: G(s)= = =
Đối tượng con lắc có một phần có một cực trên phần âm của trục thực(s=-6.236) và một cực khác nằm trên phần dương trục thực (s=6.236). Vì vậy , đối tượng này là một hệ
thống vịng hở khơng ổn định. Sử dụng KT đặt cực để ổn định hóa hệ thống và để có đặc tính động học mong muốn.
Phương trình khơng gian trạng thái là:
u

=

với =, =x,