CÁC CHỦ ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 2014

Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG
TỔ: TOÁN- TIN
TRƯỜNG : THPT LÊ HOÀN
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vấn đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc
f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm x
0
∈ (a; b) hoặc không xảy ra
trên (a; b).
2. Các dạng bài toán thường gặp:
 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)
trên tập xác định của nó.
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
theo định lí ở phần tóm tắt.
 Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến
hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m)
B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x.
B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng
f(x) =

2
ax bx c
dx e
+ +
+
, ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các
khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D)
(hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D).
* Nếu f(x) =
ax b
cx d
+
+
thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈ D)
* Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên từng khoảng xác định của
nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D.
B4. Từ điều kiện ở (B
3
) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài toán tam thức bậc 2) để giải
tìm m.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
3 2 3 2
2 2 4 2
a / y x 3x 2 ; b / y x 3x 2
c / y x (4 x ) ; d / y x 2x 3
= − − + = − +
= − = − +
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)

B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
theo định lí ở phần tóm tắt.
Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
Năm học 2013 - 2014 1
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
2 2
2x 1 x 4
a / y ; b / y
x 2 x 2
x x 2 x 4
c / y ; d / y
2 x x
− +
= =
− − −
− + +
= =
−
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2
2
2
x 1
a / y 4 3x x ; b / y

x x 1
1
c / y ; d / y | x 3x 4|
x 1
+
= − − =
− +
= = − −
+
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 4. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định của nó:
a/ y = 4x
3
+ (m + 3)x
2
+ mx (ĐS: m = 3)
b/
3
2
mx
y mx 4x 1
3
= − + −
(ĐS: 0 ≤ m ≤ 4)
c/
mx 1
y
x m
+
=

+
(ĐS: m < - 1 ∨ m > 1)
d/
2
x mx 1
y
x 1
+ −
=
−
(ĐS: -5 ≤ m ≤
1
3
)
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Bài 5. Tìm m để hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + +
đồng biến trên R.
HD: y’
≥
0,
x R∀ ∈
Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
a/ y = mx
3
+ 3x
2
+ 3mx (ĐS: m ≤ -1)
b/ y =

mx 1
x m
+
+
(ĐS: -1 < m < 1)
c/
2 2
x 2mx 3m
y
x 2m
− +
=
− +
(ĐS: m = 0)
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Vấn đề 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ
điểm x
0
)
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0






f' x > 0 trên a; x
f' x < 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x < 0 trên a; x
f' x > 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) ⊂ D và f’(x
0
) = 0
Khi đó a/ Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
b/ Nếu f”(x

0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
3. Các dạng bài toán thường gặp:
 Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm
Năm học 2013 - 2014 2
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
, tìm giá trị của hàm số tại các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.
Phương pháp 2:
Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, y”
B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
và tìm y”(x
1
), y”(x

2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
 Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại
điểm x = x
0
cho trước nào đó.
Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’
B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x
0
điều kiện cần là
y’(x
0
) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x
0
, từ điều kiện này ⇒ m.
B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài toán thỏa mãn thì nhận
giá trị m đó.
Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’, y”
B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với m, giải tìm m.

* y đạt cực đại tại x = x
0
( )
( )
0
0
0
0

=

⇔

<


y' x
y" x
* y đạt cực tiểu tại x = x
0
( )
( )
0
0
0
0

=

⇔


>


y' x
y" x
 Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có cực
tiểu.
Phương pháp:
1. Đối với hàm bậc 3 :
y = f(x; m) = ax
3
+bx
2
+ cx+d, a ≠ 0
Hay hàm:
( )
+ +
= =
+
2
ax bx c
y f x; m
dx e
, ad ≠ 0
B1. Tìm y’
B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’
đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m.
2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax
4

+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e, a≠ 0
B1. Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3)
B3. *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ phải đổi dấu 3 lần.
⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m
* Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1 lần từ - sang +.
⇒ a > 0 ⇒ m
y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm
* Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần đổi dấu từ + sang -
⇒ a < 0 ⇒ m
y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm.
Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với x
CĐ
,
x
CT
hay y
CĐ
, y
CT
thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước.
Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ;
Năm học 2013 - 2014 3
(bậc 2)
(bậc 1)
(bậc 2)
(bậc 2)

Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2.
B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa điều kiện.
a ≠ 0
⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1)
nghiệm thỏa điều kiện
B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực tiếp x
CĐ,
x
CT
.
* Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm
{
1 2
1 2
x x
x .x
+
B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x
1
, x
2
.
Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1 phương trình hay bất

phương trình đối với m, giải tìm m. Kết hợp với điều kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm.
Chú ý: Cách tìm y
CĐ,
y
CT
của các hàm số thường gặp:
a/ Đối với hàm số dạng:
( )
( )
u x
y
v x
=
nếu có cực trị thì y
CĐ
=
( )
( )
( )
( )
=
CD CT
CT
CD CT
u' x u' x
; y
v' x v' x
Vì tại x
CĐ
, x

CT
có
2
0 0 0
u'v uv' u' u
y' u' v uv'
v' v
v
−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
b/ Đối với hàm số bậc 3:
y = f(x) = ax
3

+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Nếu x
CĐ
, x
CT
đơn giản thì thay x
CĐ
, x
CT
vào y = f(x) để tìm y
CĐ
, y
CT
.

Nếu x
CĐ
, x
CT
phức tạp hoặc không tính cụ thể x
CĐ
, x
CT
để tìm y
CĐ
, y
CT
như sau:
* Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D
(Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là Cx+D)
* Nếu hàm số có cực trị thì y
CĐ
= Cx
CĐ
+ D; y
CT
= Cx
CT
+ D vì tại x
CĐ
,
x
CT
có y’ = 0.
BÀI TẬP

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3 2 4 2
4 2
3
2 3 12 5 4 5
2 2
3
4 1
= − − + = − − +
− +
= − + =
−
= = −
x
a / y x x x ; b / y x x
x x x
c / y x ; d / y
x
e / y x.e ; f / y ln x x
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại
các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.

Phương pháp 2:
Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, y”
B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
và tìm y”(x
1
), y”(x
2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
Bài 2. Tìm m để hàm số sau:
Năm học 2013 - 2014 4
Li Vn Long website: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013-2014
a/ y =x
3
+ 2mx
2
+ mx + 1 t cc i ti x = -1 (S: m =1)
b/ y = -3x
4

+ mx
2
- 1 t cc i ti
3
3
=x
(S: m = 2)
c/ y = x
3
- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 (S: m = 1)
d/ y = x
3
- mx
2
+
2
3


ữ

m
x + 5 t cc tiu ti x =1 (S: m=
7
3
)
e)
2

1+ +
=
+
x mx
y
x m
t cc i ti x = 2 (S: m = -3)
2
3
2

=

mx mx
f / y
x
t cc tiu ti x = 1 (S: khụng cú m)
g/
2
2
2
2 2
+ +
=
+
x x m
y
x x
t cc i ti x =
2

(S: m = 2)
Thc hin cỏc bc theo dng 2
Bi 3. Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n sao cho hm s:
( )
1
= = + +
+
n
y f x x m
x
t cc i ti x = -2 v cú f(-2) = -2.
HD:
'( 2) 0
''( 2) 0
( 2) 2
y
y
y
=


<


=

Bi 4. Cho haỡm sọỳ
( )
2
1 1

1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
Chổùng minh rũng m R õọử thở haỡm sọỳ luọn coù cổỷc õaỷi, cổỷc tióứu vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õióứm õoù
bũng
20
.
HD:
+ Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu: y = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc -1.
+ Chng minh
2 2
( ) ( ) 20
B A B A
AB x x y y= + =
, vi A, B l im cc i, cc tiu.
Bi 5. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m hm s sau õy:
a/ y = x
3
- 3mx
2
+ 3(2m - 1)x + 1 cú cc i, cc tiu v tỡm ta cỏc im cc i, cc tiu ca
th hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s.
(S: m 1)
b/ y = (x + m)
3
+ (x + 2m)

3
- x
3
cú cc i, cc tiu (S: m 0)
c/
( )
2
2
1
+ +
=
+
x m x m
y
x
cú cc i, cc tiu, tỡm ta ca im cc i, cc tiu ca th
hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s.
(S: m < -
1
2
, y = 2x + m +2)
Vn 3
GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S
A. Túm tt lý thuyt:
1. S M gi l giỏ tr ln nht ca f(x) trờn tp I.
( )
( )
0 0
f x M, x I
x I:f x M

=


(Kớ hiu : M = Max f(x))
I
2. S m gi l giỏ tr nh nht ca f(x) trờn tp I.
( )
( )
0 0
f x m, x I
x I:f x m




=


Nm hc 2013 - 2014 5
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
(Kí hiệu : m = Min f(x))
B. Các dạng toán thường gặp:
Ứng dụng của đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số:
y = f(x) trên I.
Trường hợp 1: Tập I đã cho là 1 khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng (a; b]; [a; b) với a, b có thể là ±
∞


B
1
: Tìm y’
B
2
: Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x
1
, x
2
, ∈ I. Tìm giá trị f(x
1
),
f(x
2
), và tính
( ) ( )
x a x b
,
lim limf x f x
+ −
→ →
B
3
: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thiên suy ra
( ) ( )
II
,
Max
Minf x f x

Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b].
Phương pháp:
B
1
: Tìm y’
B
2
: Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x
1
, x
2
∈ I (nếu có) và
tìm các giá trị f(x
1
), f(x
2
), , f(a), f(b).
B
3
: So sánh các giá trị: f(x
1
), f(x
2
), , f(a), f(b) suy ra
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I

Max f x ,f x , ,f a ,f b
Max
f x
∈
=
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I
Min f x ,f x , ,f a ,f b
Minf x
∈
=
Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập xác định
D của hàm số: (Tức là I ≡ D).
B
1
: Tìm tập xác định D của hàm số.
B
2
: Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
3 4
( ) 4 3f x x x= −
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 2
( ) 2 3 3f x x x= + −
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
]
3 2
( ) 6 9 , 0;4f x x x x x

= − + ∈

b.
]
3 2
( ) 6 9 , 2;4f x x x x x

= − + ∈

c.
]
4 2
( ) 2 3, 0;2f x x x x

= − + ∈

d.
]

4 2
( ) 2 3, 2;3f x x x x

= − + ∈ −

HD: Sử dụng trường hợp 2
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x
2
4 x
−
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Bài 5. Cho hàm số f(x) = x +
2
4 x
−
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
( ) sinx os2f x c x= +
HD: Đặt t = sinx
b.
( ) 2 osx os2f x c c x= +
HD: Đặt t = cosx
Năm học 2013 - 2014 6
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Vấn đề 4

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số
y = f(x)
(B
1
): Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
(B
2
): Dựa vào các định nghĩa và định lí sau để tìm các đường tiệm cận
(B
3
): Kết luận
1. Tiệm cận đứng : (⊥ Ox)
Nếu ∃x
0
(hữu hạn) sao cho
( )
0
x x
lim f x
+
→
= ±∞
(hoặc
( )
0
x x
lim f x
−
→

= ±∞
) thì đường thẳng có phương trình x = x
0
là tiệm cận đứng bên phải (hoặc
bên trái) của đồ thị hàm số.
2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy)
Nếu
( )
( )
0
x
x
f x y
lim
→−∞
→+∞
=
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y
0
là tiệm cận ngang bên trái
(hay bên phải) của đồ thị hàm số.
3. Tiệm cận xiên:
Nếu tồn tại đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ 0 sao cho
( )
( ) ( )
x
x
f x ax b 0
lim
→−∞

→+∞
 
− + =
 
thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).
4. Nếu
( )
( )
x
x
f x
a
lim
x
→−∞
→+∞
=
(hữu hạn)
và
( )
( )
x
x
f x ax b
lim
→−∞
→+∞
 
− =
 

(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình
y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0
là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số.
Chú ý:
1/ Nếu đường thẳng x = x
0
(hay y = y
0
hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là tiệm cận đứng (hay ngang
hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của đồ thị hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận đứng
(hay ngang hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x).
2/ Đối với hàm số phân thức:
+ Nếu phương trình mẫu số = 0 có nghiệm thì đồ thị của nó có tiệm cận đứng (số tiệm cận đứng
= số nghiệm của phương trình mẫu số = 0)
+ Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang.
+ Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên.
* Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia tử cho mẫu sau đó dùng
định lí 3.
3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu có) ta sử dụng định lí 4.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau:
2 2
x 2 2x
a / y ; b / y
x 3 x 1
x 2x 1 x x 1
c / y ; d / y
x 1 x 1
+
= =

− −
− + + +
= =
+ −
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau:
Năm học 2013 - 2014 7
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
3
2 2
3
2
x 2 x
a / y ; b / y
x 4x 5 x 1
2 x x 1
c / y x ; d / y
x 1
x
+
= =
+ − −
+ +
= + =
−
Bài 3. Tìm m để hàm số
1
y mx
x
= +
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến

tiệm cận xiên của đồ thị bằng
1
2
Vấn đề 5
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3:
y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R
2) Giới hạn:
( )
{
3 2
x
neu a 0
lim ax bx cx d
neu a 0
→±∞
±∞ >
+ + + =
∞ <m
3) Sự biến thiên:
* Tìm y’ = 3ax
2
+ 2bx + c
+ Nếu ∆ < 0 (∆ = 0): y’ = 0 vô nghiệm (hoặc có nghiệm kép).

Khi đó: * nếu a > 0 thì y’ > 0 (y’ ≥ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số tăng trên R
* nếu a < 0 thì y’ < 0 (y’ ≤ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số giảm trên R
+ Nếu ∆ > 0
Khi đó y’ = 0 ⇔ 3ax
2
+ 2bx + c = 0
⇔ x = x
1
⇒ y = y
1
= f(x
1
)
x = x
2
⇒ y = y
2
= f(x
2
)
(Trong hai nghiệm x
1
, x
2
: y’ trái dấu a; ngoài hai nghiệm x
1
, x
2
: y’ cùng dấu a)
Hàm số có hai cực trị

Bảng biến thiên :
x
-∞ +∞
y' dấu của y’
y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:
* Tìm y” = 6ax + 2b
y" = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = -
b
3a
⇒ y =
CD CT
y y
2
+
Nhận xét : Vì
''y
đổi dấu khi qua điểm x = -
b
3a
nên đồ thị hàm số nhận điểm
I(-
b
3a
;
CD CT
y y
2
+
) làm điểm uốn.

5) Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = d
* Nếu hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R tìm hai điểm đối xứng qua điểm uốn, thường tìm
thêm điểm đối xứng của điểm (0; d) qua điểm uốn.
* Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tìm thêm hai điểm (x
3
; y
3
), (x
4
; y
4
). với x
3
< x
1
< x
u
< x
2
<
x
4
và x
3
, x
1
, x
u
, x
2

, x
4
tạo thành cấp số cộng).
Nếu a > 0 thì y
2
= y
CT
, y
1
= y
CĐ
Năm học 2013 - 2014 8
(giả sử x
1
< x
2
)
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Nếu a < 0 thì y
2
= y
CĐ
, y
1
= y
CT
6) Đồ thị:
* Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị trên Ox, Oy không cần bằng nhau)
* Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn.
* Dựng các điểm đặc biệt.

* Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
 Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên cần vẽ hình sao
cho điểm uốn là tâm của hình vẽ và nếu y' = 0 có nghiệm kép (∆ = 0) thì tiếp tuyến tại điểm
uốn // Ox.
*
* *
II . KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG:
y = ax
4
+ bx
2
+ c với a ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
2) Giới hạn:
{
x
neua 0
y
lim
neua 0
→±∞
+∞ >
=
−∞ <
3) Sự biến thiên: y' = 4ax
3
+ 2bx
= 4ax
2

b
x
2a
 
+
 
 
A. Trường hợp: * Nếu a.b ≥ 0
Thì
2
b
x 0
2a
+ ≥
, ∀x ∈ R ⇒ y' cùng dấu 4ax ( y' = 0 ⇔ x = 0, (y = c))
Bảng biến thiên
Nếu a > 0 Nếu a < 0
x
-∞
0
+∞
x
-∞
0
+∞
y' - 0 + y' + 0 -
y
+∞
CT
+∞

y
-∞
CĐ
-∞
4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
y" = 12ax
2
+ 2b luôn cùng dấu a.
* Đồ thị hàm số không có điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt:
Cho x = ± 1 ⇒ y = a + b + c
6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị)
B. Trường hợp: *Nếu a, b trái dấu: (a.b < 0)
y' = 0 ⇔
2
b
4ax x 0
2a
 
+ =
 
 
⇔ x = 0 ⇒ y = c
hoặc
1,2 1,2
b
x y ?
2a
= ± − ⇒ =
Bảng biến thiên:

x
-∞
x
1
0 x
2
+∞
Năm học 2013 - 2014 9
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
y' (trái dấu a) 0
(cùng dấu
a)
0
(trái dấu
a)
0
(cùng dấu
a)
y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
* y" = 12ax
2
+ 2b
y" = 0 ⇔ 12ax
2
+ 2b = 0 ⇒
b
x
6a
= ± −

⇒ y = ?
Lập bảng xét dấu của y". Tìm điểm uốn của đồ thị.
* Đồ thị hàm số có hai điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt:
x 0
y c
b
x
a
=


= ⇒

= ± −


6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị)
(Có thể chọn đơn vị trên Ox và Oy không cần bằng nhau)
Chú ý: Hàm số dạng này là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng nên
vẽ đồ thị sao cho thỏa mãn tính chất này.
*
* *
III. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG:
ax b
y
cx d
+
=
+

, c ≠ 0, ad - cb ≠ 0

1) Tập xác định: D = R \
d
c
 
−
 
 
2) Giới hạn, tiệm cận:
+ Ta có
x ( d/c)
lim y
±
→ −
= ±∞
⇒ TCĐ : x =
d
c
−
và
x
a a
y TCN :y
lim
c c
→±∞
= ⇒ =
3) Sự biến thiên:
( ) ( )

2 2
a b
c d
ad cb
y'
cx d cx d
−
= =
+ +
+ Nếu ad - cb < 0 ⇒ y' < 0, ∀x ∈ D
⇒ Hàm số giảm trên từng khoảng của D.
+ Nếu ad - cb > 0 ⇒ y' > 0, ∀x ∈ D
⇒ Hàm số tăng trên từng khoảng của D
4) Bảng biến thiên:
Nếu y' < 0
x
-∞
-d/c
+∞
y' - -
y
a
c
-∞
+∞
a
c
Nếu y' > 0
x
-∞

-d/c
+∞
Năm học 2013 - 2014 10
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
y' + +
y
a
c
+∞
-∞
a
c
5) Điểm đặc biệt:
* x = 0 ⇒
b
y
d
=
(nếu d ≠ 0)
* y = 0 ⇒ x =
b
a
−
(nếu a ≠ 0)
Tìm thêm tọa độ 2 điểm có hoành độ đối xứng qua tiệm cận đứng.
6) Đồ thị: Vẽ hệ trục - Vẽ đường tiệm cận - Dựng các điểm đặc biệt (sao cho mỗi nhánh của đồ
thị phải qua hai điểm). Vẽ đồ thị (vẽ hình sao cho giao điểm 2 đường tiệm cận là tâm của hình vẽ).
Phải chọn đơn vị trên Ox, Oy bằng nhau.
BÀI TẬP
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

( )
2 3 2
3 2 3
3
3 2
a / y (1 x)(x 2) ; b / y x 4x 4x
1 1
c / y x x 2x ; d / y x x 2
3 3
e / y x 3x 3x ; f / y x 1
= − + = − +
= + + + = − − +
= − + − = −
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a/ y = x
3
- 3x + 2 ; b/ y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
c/
3 2
1 5
y x x 3x
3 3
= − + + +
; d/
3
2

x
y 2x 3x 1
3
= − + +
e/ y = x
3

+ 4x
2
+ 4x ; f/ y = -x
3
+ 2x
2
- 8x - 1
3 2
1
g / y x 2x 3x
3
= − +
; h/ y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x - 4
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
4 2 4 2
4 2 4 2
1 1
a / y x 3x 2 ; b / y x x
4 4

1 1
c / y x x ; d / y x 2x 1
2 2
= + + = − − +
= + + = − − +
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a/ y = x
4
- 4x
2
+ 1 ; b/ y = -x
4
+ 2x
2
c/
4 2
1 3
y x 3x
2 2
= − +
; d/ y = -x
4
+ 10x
2
- 9
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
x 3 x 4
a / y ; b / y
x 1 x 2
3x 2 x 2

c / y ; d / y
x 2 2x 1
+ −
= =
+ −
+ +
= =
+ +
2x 4 x 1
e / y ; f / y
x 3 x 2
x 2 3x 1
g / y ; h / y
2x 1 2x 2
− − +
= =
− +
+ +
= =
− + +
Năm học 2013 - 2014 11
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
*
* *
Vấn đề 6
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M
Cho hàm số
( )y f x=
(C)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
có dạng
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Cho hàm số
( )y f x=
(C) và đường thẳng d có phương trình
xy k m= +
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) x
'( )
f x k m
f x k
= +


=

Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
 : Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tọa độ tiếp điểm
0; 0
( )x y
Phương pháp:
Bước 1: Tính

0
'( )y x
Bước 2: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 1: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)
HD:
2
1
'
( 1)
y
x
−
=
−
,
'(2)y =

: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành độ tiếp điểm
0

x
Phương pháp:
Bước 1:Tính tung độ tiếp điểm
0
y
bằng cách thay
0
x
vào phương trình của hàm số
Bước 2: Tính
0
'( )y x
Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 2: Cho hàm số
3
y x x= −
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành
HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình
3
0
0
1
x
x x
x
=


− = ⇔

= ±

+ Tại x = 0…
+ Tại x = 1…
+ Tại x = -1…
Bài tập 3:Cho hàm số
4 2
1 9
2x ( )
4 4
y x C= − + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ
x = 1.
HD : + x = 1 thì y = 4
+
(1) 3y
′
=
+ Phương trình tiếp tuyến:
3( 1) 4y x= − +
Năm học 2013 - 2014 12
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014

: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tung độ tiếp điểm
0
y
Phương pháp:

Bước 1:Tính hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương trình
0 0 0
( )y f x x= ⇒
Bước 2: Tính
0
'( )y x
Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 4: Cho hàm số
4
2x 3y x= − + +
(C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) tại điểm có tung độ bằng 5.
HD:+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
4
2
2x 3 5
2
x
x
x
=

− + + = − ⇔


= −

+ Tính
'( 2)y −
,
'(2)y
+ Viết phương trình tiếp tuyến
  : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1:Tìm hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương trình
0 0
'( )y x k x= ⇒
Bước 2: Tính
0
y

Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Cách 2:
Bước 1: Đường thẳng (d) với hệ số góc k có phương trình dạng
xy k m= +

Bước 2: Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm
( ) x
'( )
f x k m
m
f x k
= +

⇒

=

Bước 3: Thế vào phương trình
xy k m= +
Bài tập 5 : Cho hàm số
3
3y x x= −
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k = 1
Bài tập 6 : Cho hàm số
4 2
3y x x= − +

Lập phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số biết rằng:
a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2

( ): x 2 3 0y∆ − − =
HD: Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1
Đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 2
Đường thẳng
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 1
a. Tiếp tuyến (d) song song
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = 2
b. Tiếp tuyến (d) vuông góc
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = -2
 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Để lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Năm học 2013 - 2014 13
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014

Cách 1:
Bước 1: Đường thẳng (d) qua
( ; )
A A
A x y
có phương trình:
( )
A A
y k x x y= − +
Bước 2: (d) tiếp xúcvới (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) ( ) ( ) '( ).( ) (1)
'( ) '( )
A A A A
f x k x x y f x f x x x y
k
f x k f x k
= − + = − +
 
⇔ ⇒
 
= =
 
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (1) bằng số tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ thị (C)
Cách 2:
Bước 1: Giả sử tiếp điểm là
0 0
( ; )M x y
khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
0 0 0

'( )( )y y x x x y= − +
Bước 2: Điểm
( ; ) ( )
A A
A x y d∈
, ta được phương trình (2):
0 0 0 0
'( )( )
A A
y y x x x y x= − + ⇒
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến kẻ được từ A tới đồ thị (C)
Bài 7: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(H)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) qua A (0;1)
HD: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến có dạng
x 1y k= +
(d)
(d) là tiếp tuyến (H)
⇔

hệ có nghiệm
2
1
x 1
1
2
( 1)
x
k
x
k
x
+

= +

−


−

=
−


x k⇒ ⇒
Bài 8: Cho hàm số
2x 1
1
y

x
+
=
+
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(-1;3)
HD:Đường thẳng d đi qua A(-1;3) với hệ số góc k có phương trình dạng
( 1) 3y k x= + +
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
2
2x 1
( 1) 3
1
1
( 1)
k x
x
x k
k
x
+

= + +

+

⇒ ⇒



=
+


Bài 9: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục tung, trục hoành
HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình
2
0 2
2
x
x
x
+
= ⇔ = −
−
Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( 2;0) ( )M C− ∈
* Tọa độ giao điểm của (C) với Oy là nghiệm của hệ phương trình:
2
0

2
1
0
x
x
y
x
y
x
+

=
=


⇔
−
 
= −


=

Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
(0; 1) ( )N C− ∈
Bài 10: Cho hàm số
3 2
3x 3y x= − +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn.
c. Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0; 0)và điểm A (2; 2). Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng OA.
Năm học 2013 - 2014 14
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
HD : b. + Điểm uốn I (1;1)
+
(1) 3y
′
= −
+ Phương trình tiếp tuyến
c. + Phương trình đường thẳng OA y = kx, OA qua A(2; 2) nên phương trình OA là y = x
Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (C):
3 2 3 2
3x 3 3x 3 0x x x x− + = ⇔ − − + =
Bài 11: Cho hàm số
3
( 1)y x= +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A
HD: A (0; 1),
( ) 3
A
y x
′
=
Bài 12: Cho hàm số
3 2
1

3
y x x= −
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A (3; 0)
HD: Kiểm tra thấy A thuộc (C). Áp dụng Bài toán 1 suy ra kết quả
Bài 13 : Cho hàm số
3 2 3
3 4 ( )
m
y x mx m C= − +
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m =1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1
HD: Có x = 1. Thay vào (C1) Tìm y. Áp dụng Bài toán 1 ta được kết quả
Bài 14: Cho hàm số
4 2
2xy x= −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành
HD: Giải pt y = 0 suy ra x. Áp dụng Bài toán 1 để suy ra kết quả
Bài 15: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)

a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (2;3)
HD: Sử dụng Bài toán 1
Bài 16: Cho hàm số
3 2
3 3 3 4 ( )
m
y x x mx m C= − + + + −
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m = 0
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết tiếp tuyến đó đi qua A (-1; -4)
HD: Kiểm tra thấy A không thuộc (C). Chọn một trong 2 cách của bài toán 3 để giải
Bài 17:Cho hàm số
3 2
3x 1y x= + +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)
HD: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0;0) với hệ số góc k có phương trình dạng
y kx=
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3
2
3x 1 x
3x 6x
x k
x k
k

+ + =


⇒ ⇒

+ =


(Số nghiệm phân biệt x của hệ phương trình bằng số tiếp tuyến kẻ được từ gốc tọa độ O tới đồ thị
(C))
Vấn đề 7
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
 !
( )y f x=
"#$%&
1
C
'(
( )y g x=
"#$%&
2
C
')!*"+, 
( ) ( )f x g x=
/0 !,$1"+,&
1
C
'(&
2
C
'

Bài 1: Cho hàm số
3
3x 1y x= − +
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Năm học 2013 - 2014 15
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
3
3x 1 0x k− + − + =
HD: Phương trình
3 3
3x 1 0 3x 1x k x k− + − + = ⇔ − + =
Số nghiệm của phương trình
3
3x 1 0x k− + − + =
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường
thẳng y = k
Bài 2: Cho hàm số
3
( 1) 1y x k x= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = -3
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3x 3x m− − =
HD: Phương trình
3 3
3x 3 3x 2 1x m x m− − = ⇔ − − = +

Số nghiệm của phương trình

3
3x 3x m− − =
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường
thẳng y = m +1.
Bài 3: Cho hàm số
4
2
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
4
2
y
x
=
−
và y = k+1
HD: Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3x 4y x= + −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Xác định m để phương trình
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =

có 3 nghiệm phân biệt
HD:
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =
⇔
3 2
3 4 2 1x x m+ − = +
. Pt có 3 nghiệm phân biệt khi (C) và đường
thẳng d: y = 2m + 1 cắt nhau tại 3 điểm
Bài 5: Cho hàm số
3
2y x mx m= − + +
(Cm), m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m = 3
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:
3
3x 1 0x k− − + =
HD:
3
3x 1 0x k− − + =
⇔
3
3 5x x− +
= k + 4. Số nghiệm của pt là số giao điểm của (C) và đường
thẳng d: y = k + 4
Bài 6: Cho hàm số
4 2
2x 3y x= − + +
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình
4 2
2x 0x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt
HD:
4 2
2x 0x m− + =
⇔
4 2
2x x− +
+ 3 = m + 3. Pt có 4 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi (C) và đường thẳng d: y = m + 4 cắt nhau tại 4 điểm phân.
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
0
.
1/ log (0 1; 0)
2 / . 1; .1 1, ; . .
. .( ) .( )
.( . ) . .
n
a
m n m n
m n
m n m n m n n
n n
m
n n n n m
n
a b n b a b

a R a a a
a a a
a a a
a b b
a b a b a a
α
α
+
−
= ⇔ = < ≠ >
= = ∀ ∈ =
= = =
= =
3/ Cho
0 , , 1; , 0;a b c M N R
α
< ≠ > ∈
Năm học 2013 - 2014 16
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
log log log
.log 1 .log 1 0
.log log log .log log log
1
.log log .log
log
log
1
.log log .log
log
. log . .

a b b
a a
a a a a a a
a a a
b
c
a a
a
c
N c a
N
a
a
M
MN M N M N
N
M M b
a
b
M M b
a
a N a a c
α
α
α
α
= =
= + = −
= =
= =

= = =
Chú ý:
log ,( 2 1)
log ( )
log ,( 2 )
a
n
a
a
n b n k
b k Z
n b n k
= +


= ∈

=


II. CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
( ) ( )
( )
( )
1/. ( ) ( ),(0 1)
. ( ) log ,( 0)
0 1
1
. ( ) 0
0 1

0 1
2 / .log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
0 1
.log ( )
( )
f x g x
f x
a
f x
a a
a
b
a a f x g x a
a b
f x b b
a
a
f x
a
a
f x g x
f x g x
a
f x b
f x a
= ⇔ = < ≠

=
⇔ = >


< ≠


=
⇔ =

< ≠

< ≠

= ⇔

= >

< ≠

= ⇔

=

( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
3/ 4 /
0 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
a a
f x g x f x g x

a a a a
a a
f x g x f x g x
 
> >
 
 
 
≥ >
 
 
≥ ⇔ > ⇔
 
< < < <
 
 
 
≤ <
 
 
 
1
( ) ( ) 0
5 / log ( ) log ( )
0 1
0 ( ) ( )
1
( ) ( ) 0
6 / log ( ) log ( )
0 1

0 ( ) ( )
a a
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
a
f x g x
f x g x
a
f x g x

>



≥ >


≥ ⇔

< <



< ≤





>



> >


> ⇔

< <



< <



III. MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ THƯỜNG GẶP.
1/ Phương pháp 1: 2$3(4"5" !(6"/7.
+Bước 1: Tìm điều kiện của ẩn đã cho (nếu có).
+Bước 2: Biến đổi tương đương về các phương trình , bất phương trình cơ bản để giải.
Năm học 2013 - 2014 17
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với phương trình, bất phương trình mũ chỉ có 1 cơ số và
chỉ có 2 số hạng.
2/ Phương pháp 2: 89,-#,.
Lấy lôgarit cả hai vế của phương trình , bất phương trình theo một cơ số thích hợp nào đó để khử

mũ.
*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với các phương trình , bất phương trình có hai vế chỉ
chứa tích, thương của hàm mũ (không chứa tổng và hiệu).
3/ Phương pháp 3: Phân tích phương trình , bất phương trình về dạng:
( ). ( ). ( ) 0( , , , )f x g x h x = ≥ > ≤ <
Với f(x),g(x),h(x) là các biểu thức mũ đơn giản
*Chú ý: Phương pháp này sử dụng đối với các phương trình , bất phương trình có chứa các hàm
mũ dạng
( ) ( ) ( )
, ,( )
f x f x f x
a b ab
4/ Phương pháp 4: 2$3(4"5" !($:;<
*Chú ý: Khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện của ẩn phụ tương ứng với điều kiện của ẩn ban đầu.
4.1. Dạng:
( )
( ) 0( , , , )
f x
F a = < > ≤ ≥
.Đặt
( )f x
t a=
. Tìm điều kiện của t.
.Đưa về phương trình, bất phương trình theo t
4.2. Dạng:
2 ( ) 2 ( ) ( )
.( ) .( ) ( ) 0( , , , )
f x f x f x
A a B b C ab+ + = > ≥ < ≤
.Chia hai vế cho

2 ( )f x
b
.
.Đặt
( )
( )
f x
a
t
b
=
.Tìm điều kiện của t.
.Chuyển về phương trình , bất phương trình theo t.
4.3. Dạng :
( ) ( )
.( ) ( ) 0( , , , )
f x f x
A a b B a b C+ + − + = < ≤ > ≥

với (a + b).(a – b) = 1.
.Nhận xét :
1
( )( ) 1a b a b a b
a b
+ − = ⇒ − =
+
.Đặt
( )
( )
f x

t a b= +
. Tìm điều kiện của t.
.Biến đổi về phương trình, bất phương trình theo t.
4.4. Dạng:
2 ( ) ( )
( ). ( ). ( ) 0( , , , )
f x f x
A x a B x a C x+ + = > ≥ < ≤
với
2 2
[ ( )] 4 ( ). ( ) [ ( )]B x A x C x g x∆ = − =
.Đặt
( )f x
t a=
. Tìm điều kiện của t theo điều kiện của x.
.Biến đổi về phương trình , bất phương trình đối với t (vẫn còn chứa ẩn x). Giải t theo x đưa về các
phương trình, bất phương trình theo x đơn giản hơn.
5. Phương pháp 5: )=6<$$*>"+, !.
5.1. Dạng:
( )
( )( , , , )
f x
a g x= > ≥ < ≤
5.2. Dạng:
( ) ( ) ( )
. . . 0( , , , )
f x f x f x
A a B b C c+ + = > ≥ < ≤
, với A, B, C cùng dấu và 0 < a, b, c <1 hoặc a, b,
c cùng lớn hơn 1. a, b, c không thể biến đổi về cùng một cơ số khác.

Phương pháp: Nhẩm nghiệm và đánh giá suy ra nghiệm duy nhất của phương trình hay miền
nghiệm của bất phương trình mũ
*Chú ý: 1/ Khi gặp các phương trình và bất phương trình có chứa hàm mũ và các loại hàm khác
không phải hàm mũ ta thường biến đổi đưa về dạng 5.1.
2/ Khi gặp các phương trình và bất phương trình có chứa từ hai cơ số trở lên mà không thể biến
đổi về cùng một cơ số ta thường đưa về dạng 5.2
6.Phương pháp 6: )=6<$%
IV. MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH LÔGARIT THƯỜNG GẶP.
• Chú ý: Khi giải phương trình, bất phương trình lôgarit thì đầu tiên
phải chú ý là đặt điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa.
+Nếu cơ số chứa ẩn thì ĐK là: cơ số dương và khác 1.
+Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương.
Năm học 2013 - 2014 18
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
1. Phương pháp 12$3$,(4"5" !.
Biến đổi đưa về cùng một cơ số, thường cơ số là hằng số sau đó biến đổi về phương trình , bất
phương trình cơ bản để giải.
2. Phương pháp 2: :;<.
2.1 . Dạng:
[log ( )] 0( , , , )
a
F f x = ≥ > < ≤
Đặt
log ( )
a
t f x=
2.2. Dạng phương trình, bất phương trình vừa có hàm mũ vừa có hàm lôgarit.
Thường đặt ẩn phụ theo hàm lôgarit.
3. Phương pháp 3: ?#(2-"@(27/0A.

4. Phương pháp 4: Dạng:
2
( ).log ( ) ( ).log ( ) ( ) 0( , , , )
a a
A x f x B x f x C x+ + = > ≥ < ≤
Với
2 2
[ ( )] 4 ( ). ( ) [ ( )]B x A x C x g x∆ = − =
.
.Đặt
log ( )
a
t f x=
.
.Đặt ĐK của t theo ĐK của x.
.Biến đổi về phương trình, bất phương trình bậc hai theo t (với các hệ số vẫn chứa x).Giải tìm t theo
x.
.Giải tiếp phương trình, bất phương trình theo x , so sánh với ĐK tìm nghiệm theo x.
5. Phương pháp 5: )=6<$$*>.
Nhẩm nghiệm và dùng phương pháp đánh giá để tìm nghiệm duy nhất của phương trình hoặc tìm
miền nghiệm của bất phương trình.
5.1. Dạng:
log ( ) ( )( , , , )
a
f x g x= ≥ > < ≤
.
Với g(x) không phải là hàm lôgarit.
5.2. Dạng phương trình ,bất phương trình có chứa nhiều cơ số mà không thể nào đưa về cùng một
cơ số.
6. Phương pháp 6)=6<$%.

V. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Giải các phương trình mũ sau:
a, (0,75)
2x-3
= (1
3
1
)
5-x
b, 5
x
2
-5x-6
=1.
c, (
7
1
)
x
2
-2x-3
=7
x+1
c, 32
7
5
−
+
x
x

= 0,25.125
3
17
−
+
x
x
.
Bài 2: Giải các phương trình mũ sau:
a, 2
x+4
+2
x+2
=5
x+1
+3.5
x.
b, 5
2x
-7
x
-5
2x
.17+7
x
.17=0.
c, 4.9
x
+12
x

3.16
x
=0 d, -8x+2.4
x
+2
x
-2=0.
Baì 3: Giải các phương trình sau:
a, (3-2
2
)
3x
=3+2
2
. b, 5
x+1
+6.5
x
-3.5
x-1
=52,
c, 3
x+1
+3
x+2
3
x+3
=9.5
x
+5

x+1
+5
x+2
d, 3
x
.2
x+1
=72.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a, log
3
x(x+2)=1 b, log
3
x+log
3
(x+2)=1.
c, log
2
(x
2
-3)-log
2
(6x-10)+1=0 d, log
2
(2
x+1
-5)=x
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a, 2log2x=log(x
2

+75). b, (
25
1
)
x+1
=125
2x
.
c, log(x+10)+
2
1
logx
2
=2-log4. d, (0,5)
2+3x
=(
2
)
-x
.
Baì 6: Giải các phương trình sau:
a, 4
x+1
-6.2
x+1
+8=0 b, 3
1+x
+3
1-x
=10.

c, 3
4x+8
-4.3
2x+5
+27=0 d, 3.25
x
+2.49
x
=5.35
x
.
Bài 7: Giải các phương trình sau:
Năm học 2013 - 2014 19
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
a, 3
2x+4
+45.6
x
-9.2
2x+2
=0 b, 8
x+1
+8.(0,5)
3x
+3.2
x+3
=125-24.(0,5)
x
.
Bài 8: Giải các phương trình lôgarit sau:

a, logx+logx
2
=log9x b, logx
4
+log4x=2logx
3
.
c, log
4
[(x+2)(x+3)]+log
4
3
2
+
−
x
x
=2 d, log
3
(x-2)log
5
x=2log
3
(x-2)
Bài 9: Giải các phương trình lôgarit sau:
a, log
2
(2
x
+1).log

2
(2
x+1
+2)=2. b, x
log9
+9
logx
=6.
c, x
3log
3
x-
3
2
logx
=100
3
10
. d, 1+2log
x+2
5=log
5
(x+2).
Bài 10: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
a, log
2
2
(x-1)
2
+log

2
(x-1)
3
=7.
b, log
4x
8-log
2x
2+log
9
243=0.
c, 3
x
3
log
-log
3
3x-1=0.
Bài 11: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
a, 4log
9
x+log
x
3=3. b, log
x
2-log
4
x+
6
7

=0.
c,
.
log1
log1
log1
log1
81
27
9
3
x
x
x
x
+
+
=
+
+
Bài 12: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
a, (
356 +
)
x
+(
356 −
)
x
=12.

b, log
2
(2x-5)+log
2x
2
-5
4=3.
Baì 13: Giải các phương trình sau:
a, log
9
(log
3
x)+log
3
(log
9
x)=3+log
3
4.
b, log
2
xlog
4
xlog
8
xlog
16
x=
3
2

c, log
5
x
4
-log
2
x
3
-2=-6log
2
xlog
5
x.
Baì 14: Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a, 25
x+1
-5
x+2
+m=0 b, (
9
1
)
x
-m(
3
1
)
x
+2m+1=0.
Bài 15: Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a, 16
x+1
+4
x-1
-5m=0. b, 2log
2
(x+4)=log
2
(mx).
Baì 16: Giải các phương trình sau:
a, 5
7
x
= 7
5
x
b, 5
x
.8
x
x 1−
=500.
c, 5
3-log
5
x
=25x d, x
-6
.3
-log

x
3
=3
-5
.
Baì 17: Giải các phương trình sau:
a, 9x
log
9
x
=x
2
. b, x
4
.5
3
=5
log
x
5
.
Bài 18: Giải các phương trình sau:
a, 2
x
2
-4
=3
x-2
, b, 4
log

0,5
(sin
2
x+5sinxcosx+2)
=
9
1
.
Bài 19: Giải các phương trình sau:
a, 3
x
=5-2x. b, (
5
4
)
x
=-2x
2
+4x-9 c, log
2
1
x=5x-
2
3
.
Bài 20: Giải các phương trình sau:
a, 6
x
+8
x

=10
x
. b, (
325 +
)
x
+(
625 −
)
x
=
x
10
c,






− 32
x
+






+ 32

x
=2
x
. d, 3
x
-






3
1
x
+2
x
-






2
1
x
-







6
1
x
=-2x+6.
Năm học 2013 - 2014 20
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Bài 21: Giải các phương trình sau:
a, 3
2x-1
+3
x-1
(3x-7)-x+2=0. b, 25
5-x
-2.5
5-x
(x-2)+3-2x=0.
Bài 22: Giải các phương trình sau:
a, log(x
3
+1)-
2
1
log(x
2
+2x+1)=logx. b, log
3

(3x
2
).log
2
x
3=1.
Baì 23: Giải các phương trình sau:
a, x+log(3
x
-1) = xlog
3
10
+log6. b, x+log
5
(125-5
x
)=25.
Bài 24: tùy theo m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
(m-3).9
x
+2(m+1).3
x
-m-1=0.
Bài 25: Giải phương trình:
2log
3
cotx=log
2
cosx.
Bài 26: Giải và biện luận các phương trình sau:

a, log
3
x-log
3
(x-2)=log
3
m.
b, 4
sinx
+2
1+sinx
=m.
Bài 27: Giải các phương trình sau:
a, 7.3
x+1
-5
x+2
=3
x+4
-5
x+3
, (x=-1) b, 4.3
2x
-27
12
2
+x
=0, (x=
2
3

) c,
c.(
25
1
)
sin
2
x
+4.5
cos2x
=25
x2sin
2
1
,(x=
2
π
k
).
Baì 28: Giải các phương trình sau:
a, 10
2x
=4
X
(25
x
+x-2). b,
9
1
2

x+3
-2
x+3
.3
x
2
-x
-
9
8
+8.3
x
2
-x
=0.
c, 4x
2
+x.2
x
2
+1
+3.2
x
2
=x
2
.2
x
2
+8x+12 . d, 4

x
x 1−
.tgx-tgx=
x
x 1
4.3
−
-
3
.
e, 2sinx.2
x
2
-x
+4cosx=8sinx+cosx.2
x
2
-x
.
Baì 29: Giải các phương trình sau:
a, 3
x
.8
1+x
x
=36.` b, 5
x
.
1
8

+x
x
=100. (x=2).
c, 3
cotx
.2
x
2
.cotx
=2
tgx
1
Bài 30: Giải các phương trình sau:
a, 4
x+1
-2
x+4
=2
x+2
+16. b, 9
x
2
+1
-3
x
2
+1
-6=0. (x=0).
c, 2.3
x

2
+2
1
1
+
x
-5=0. d, 4
cos2x
+4
cos
2
x
=3.
e, cot2
x
=tg2
x
+2tg2
x+1
.
Bài 31: Giải các phương trình sau:
a, 6.4
x
-13.6
x
+6.9
x
=0. b, 4
x+
2

3
-9
x
=6
x+1
.
c, 4.3
x
-9.2
x
=5.6
2
x
, (x=4). d, 8.3
4
xx +
+9
1
4
+x
=9
x
.
e, 5
3x
+9.5
x
+27(5
-3x
+5

-x
)=64. f,
x
6
)
3
2
(
-
x
6
)
2
3
(
+
x
2
)
3
2
(
-
x
2
)
2
3
(
=0

g,
xx −+−
−+
313
428
+2
13 +−x
=5 h, 3
x
+
xx
4.36 +
=3.2
x
.
Bài 32: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y=
)2(log)12(
2
1
2
+−+ xxx
. d) y=
)
1
1
1
1
(log
2

xx +
−
−
b) y=
)
1
132
(log3
2
11
2
2
+
+−
+−
−
−
x
xx
x
x
Năm học 2013 - 2014 21
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
c) y=
2
1
1 log( 3 6 6)x x x− + + − +
.
Bài 33: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x
a) y=

)32(log
1
2
3
mxx +−
. b) y = log
5
(x
2
-mx+m+2)
NGUYÊN HÀM
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Các định nghĩa, tính chất và công thức
1. Định nghĩa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x thuộc
khoảng (a;b) ta có: F'(x) = f(x)
2. Các tính chất của nguyên hàm:
2.1.
( )
( ) ' ( )f x dx f x=
∫

2.2.
( ) ( ) ( )0kf x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
2.3.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
2.4. Mọi hàm số liên tục trên khoảng K đều có nguyên hàm trên K

3. Các nguyên hàm cơ bản:
Nguyên hàm của các hàm số thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp u =
u(x)
( )
ln ( )
( )
ln
cos sin
sin cos
tan
cos
cot
sin
1
2
2
0
1
1
1
1
0
0 1
x x
x
x
dx C
dx dx x C
x
x dx C

dx x C x
x
e dx e C
a
a dx C a
a
xdx x C
xdx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
α+
α
=
= = +
= + α ≠ −
α +
= + ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫ ∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
ln ( )
( )
ln
cos sin
sin cos
tan
cos
cot
sin
1
2
2
1
1
0
0 1
1
1
u u
u
u
du u C

u
u du C
du
u C u
u
e du e C
a
a du C a
a
u du u C
u du u C
du u C
u
du u C
u
α+
α
= +
= + α ≠ −
α +
= + ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
∫
B Nếu u = ax + b và
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
thì
( )
( ) . ( ) ,f ax b dx F ax b C a
a
+ = + + ≠
∫
1
0

Năm học 2013 - 2014 22
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
Đặc biệt: 1.
( )
( ) . ( )
1
1
1
1
ax b
ax b dx C
a

α+
α
+
+ = + α ≠ −
α +
∫
2.
ln ( )
1 1
0dx ax b C x
ax b a
= + + ≠
+
∫
3.
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
4.
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
1
5.
sin( ) cos( )

1
ax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
6.
tan( )
cos ( )
2
1dx
ax b C
a
ax b
= + +
+
∫
7.
cot( )
sin ( )
2
1dx
ax b C
a
ax b
= − + +
+
∫
II. Các phương pháp tính nguyên hàm:
1. Phương pháp đổi biến số: Cần đưa nguyên hàm về dạng

[ ]
( ) . '( )I f u x u x dx=
∫
B1: Đặt u = u(x)
B2: Tính vi phân: du = u’(x) dx
B3: Thay nguyên hàm về ẩn mới và tính nguyên hàm :
( )I f u du=
∫
= F(u) +C ( với F(u) là 1 nguyên hàm của f(u))
B4: Thay u = u(x) và trả về ẩn x :
[ ]
F ( ( )I u x C= +
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: Đặt u = u(x) và v = v(x)
Cần đưa nguyên hàm về dạng
( ) ( ). '( )I f x dx u x v x dx= =
∫ ∫
=
u dv
∫
9C"DE  :
( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= −
∫ ∫

hay
udv u v vdu= −
∫ ∫
.
B1: Đặt
( ) '( )
'( ) ( )

u u x du u x dx
dv v x dx v v x
= =
 
⇒
 
= =
 
B2: Khai triển nguyên hàm đã cho theo công thức nguyên hàm từng phần.
B3: Tính nguyên hàm của
'( ). ( )u x v x dx
∫
và kết luận
Chú ý:
a/Khi tính nguyên hàm theo phương pháp từng phần đặt u, v sao cho
vdu
∫
dễ tính hơn
udv
∫
nếu
khó hơn phải tìm cách đặt khác.
b/Khi gặp nguyên hàm dạng :( P(x) là một đa thức )
•
P x ax b dx+
∫
( ).sin( )
; đặt
( )
sin( )

u P x
dv x b dx
=


= +

a
Năm học 2013 - 2014 23
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
•
P x ax b dx+
∫
( ).cos( )
; đặt
( )
( )
u P x
dv c x b dx
=


= +

os a
•
ax b
P x e dx
+
∫

( )
( ).
; đặt
( )
( )
x b
u P x
dv e dx
+
=


=

a
•
P x f x dx
∫
( ).ln ( )
; đặt
ln ( )
( )
u f x
dv P x dx
=


=

.

- Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
B. Một số dạng toán và phương pháp giải:
I. Dùng công thức các nguyên hàm cơ bản:
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
2
3tan
cos
x dx
x
∫
 
−
 ÷
 
b)
cos2
cos sin
x
dx
x x
∫
−
Bài 2: Dạng
( )
( )
P x
f x
ax

α
=
, P(x) là 1 đa thức chứa các biểu thức dạng ax
β
a)
3
2
1
∫
+ −x x x
dx
x
b)
5 2
3
2
3 2
∫
− −t t t
dt
t
c)
( )
2
3
3 1
1
∫
− +
+

x x
dt
x
II. Dạng :
( )
( )
( )
=
P x
f x
Q x
; P(x) là đa thức có bậc n và Q(x) là đa thức có bậc m
Phương pháp:
+ Nếu
≥n m
: Chia P(x) cho Q(x)
+ Nếu
<n m
: Tách mẫu số đưa về tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2
Giả sử:

( )
2
2
1 2
2 2
1 2 2
( )
( )
( ) ( )

( )
P x
f x
x x x x ax bx c
A B C Dx E
x x x x x x ax bx c
=
− − + +
+
= + + +
− − − + +
Sau đó tìm A,B,C,D, E bằng cách qui đồng và cho các hệ số đứng trước x
n
tương ứng bằng nhau
Lưu ý:
1.
1 1
ln ax
ax
dx b c
b a
= + +
+
∫
2.
2
1
dx
ax bx x+ +
∫

Xét
- Nếu
2
0ax bx c+ + =
có2 nghiệm x
1
và x
2
thì viết

2
1 2
1 A B
x x x x
ax bx c
= +
− −
+ +
tìm A, B đưa về Lưu ý 1.
- Nếu
2
0ax bx c+ + =
có nghiệm kép x = x
0

Năm học 2013 - 2014 24
Lại Văn Long website: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014
thì
2 2
0

1 1
( )ax bx c a x x
=
+ + −
từ đó
2
1
dx
ax bx x+ +
∫
=
2
0
1
( )
dx
a x x
∫
−
.
- Nếu
2
0ax bx c+ + =
vô nghiệm
thì viết
2 2
( )
2 4
b
ax bx c a x

a a
∆
+ + = + −
và đặt
( ) tan
2 4
b
x t
a a
−∆
+ =
Bài 3: Tính
a)
2
1
3 2
∫
− +
dx
x x
b)
2
1
4 4
∫
− −
dx
x x
c)
1

(1 )(1 2 )
∫
+ −
dx
x x
d)
2
1
2 5 2
∫
− + −
dx
x x

Bài 4: Tính
a)
1
3
∫
+
−
x
dx
x
b)
3 2
3 5 1
2
∫
+ + +

−
x x x
dx
x
c)
2
4 2
2
x
dx
x x
∫
+
+ −
d)
2
3 1
3 10
∫
−
− +
x
dx
x x
; e)
2
1
4
dx
x +

∫
III. Dạng: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
7
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C, thay vào họ nguyên hàm
⇒

nguyên hàm cần tìm.
F6< Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
G7
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
π
) = 0
⇔

6
π
-
1
3
cos
2
π

+ C = 0
⇔
C = -
6
π
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
π
Bài tập đề nghị:
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin
2
x.cosx, biết giá trị của nguyên hàm bằng
−
3
8
khi x =
π
3

2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(
=
1
) 0
2

3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
3 2
2
2 3 3 1
2 1
x x x
x x
+ + −
+ +
, biết F(
1
1)
3
=
IV. Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1:
1
( ).
n n
f x x dx
−
∫
Đặt u = x
n

Bài 4: Tính
a)
3 6 2
(2 3)x x dx

∫
−
HD: Đặt
3
2 3u x= −
b)
2
(2 1)
dx
x −
∫
HD:Đặt
2 1u x= −

c)
2
1x x dx
∫
+
HD: Đặt
2
1u x= +
hoặc
2
1u x= +
d)
2
3
3
1

x
dx
x
∫
+
HD: Đặt
3
3
1u x= +
hoặc
3
1u x= +
Năm học 2013 - 2014 25