Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6 new

1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
MƠN TỐN LỚP 6
NĂM HỌC 2018-2019

Bài 1. (3 điểm)
Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2;3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần
và chỉ một lần
Bài 2. (4 điểm) Tìm x ( x ∈  )
a) 5x = 125
b) 32x = 81
c) 52x −3 − 2.52 = 52.3
Bài 3. (4 điểm) Cho M = 2+ 22+ 23+ 24+ . 2+ 2017+ 2018
2
a) Tính M
b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3
Bài 4.(3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển
chữ số 4 đó lên đầu cịn các chữ số khác giữ ngun thì ta được số mới gấp 4 lần số cũ
Bài 5. (6 điểm)
a) Cho 40 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được
một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?
b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngồi ra khơng có ba điểm nào
thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường
thẳng.
c) Cho n điểm ( n ∈  ) . Trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta
được 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tìm n ?

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 6 GIA LAI 2018-2019
Bài 1.
Trường hợp khơng dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321
*Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1)
- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 132 ;312 ;123 ; 213
So sánh 213 và 312 ta có 213 > 312 (vì 213 = 9261; 312 961)
=
13
31 12
21
-Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 2 ; 2 ;3 ;3
So sánh 321 với 231 ta có
321 = 3.320

3. ( 3=2 )

231 = 2.230

2. ( 2=3 )

10

10

3.910

=

2.810

=

Từ đó suy ra 321 > 231 . So sánh 321 với 213 ta có : 321 > 39 = ( 33 )

3

=273

21
>3

Vậy số lớn nhất là : 321
Bài 2.
a) 5x = 125 ⇒5x =53 ⇒x =3
b) 32x = 81⇒ 32x = 34 ⇒ 2x = 4⇒ x= 2
c) 52x −3 − 2.52 = 52.3⇒ 52x −3 = 52.3+ 2.52
Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2
⇒ 52x −3 = 53 ⇒ 2x − 3 = 3 ⇒ x = 3
Bài 3.
a)Ta có 2M = 22 + 23 + 24 + . 2 + 20182 + 2019
Lấy 2M − M = 22019 2−. Vậy M = 22019 2 −
b)
M = ( 2+ 22 )+ ( 23+ 24 )+ ( 25+ 26 )+ . +2 ( 20172+

M = 2 (1 +2 ) +2 . (1 +2 ) +2 .(1 +2) +... +2

3

5

M = 3. ( 2 2+3 2+5 ......
+
2+2017 )

2018

)

. (1 +2 )

2017

Vậy M  3
Bài 4.
Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde4.4 = 4abcde
Đặt abcde⇒= x
abcde4
=
x4
Ta có:
x4.4 = 400 000 x +(10x⇒ 4 ) .4 + 400 000
=
x

+

⇒ 40x + 16 = 400 000 x +39x⇒ 399984
=
x 10256⇒ =
Vậy số cần tìm là 10256.
Bài 5.
a)Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng
Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40 = 1560 (đường thẳng)
Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần
Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 = 780 (đường thẳng)
b) Nếu 40 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng.
*Với 10 điểm, khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:
10.9 : 2 = 45 (đường thẳng)
Số đường thẳng cần tìm là : 780 − 44 = 736 (đường thẳng)
c) Ta có:
n. ( n − 1) : 2 = 105 ⇒
n(n 1)
− =
210 n(n
⇒ 1) − 15.14
=

Vậy n = 15

Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


3
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018
MƠN TỐN LỚP 6
Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (5,0 điểm) Tính hợp lý
a) A = 20182 2017.2018
−
b) B

( 1)−. ( 1) −. ( 1) −. ( 1)
2

=−

3

4

.

−( 1) −. ( 1)
99

100

1 2 3
88
88 − − − − . −
93
6 7 8
c)C =
1 1 1
1
− − − − ..... −
12 14 16
186
Bài 2. (5,0 điểm)
a)Tìm x, y ∈  biết ( 2y + 1)( x − 4 ) = 10
b)Cho x, y ∈  thỏa mãn ( 3x + 5y )( x + 4y ) 7 . Chứng tỏ rằng ( 3x + 5y )( x + 4y ) 49
c)Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số

5n + 2
( n ∈  ) rút gọn được
2n + 7

Bài 3. (4,0 điểm)
a)Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n + 1; 2n + 1;5n + 1 đều là số chính phương?
b)Cho A = 2017 +2017 2 +20173 +.
+201718
Chứng tỏ rằng A  2018 . Tìm chữ số tận cùng của A
Bài 4. (4,0 điểm)
a)Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho
BC = 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC
 = 1600 . Vẽ tia phân giác Ox của xOy

 . Tính số đo góc xOx
b)Cho xOy
1

1

 , Ox là tia phân giác của xOx
 ,…… Ox là tia phân
Giả sử Ox 2 là tia phân giác của xOx
1
3
2
42
giác của xOx 41 . Tính số đo góc xOx 42
Bài 5. (2,0 điểm)
a)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có n 3 − n  6
b)Viết số 43211234 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập
phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6
----hết-----

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4
ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2017-2018
Bài 1.
a) A = 2018. ( 2018 −2017 ) =2018.1 =2018

− ( 1) .1 (Có 50 thừa số −1) nên B= 1
b) B−= ( 1)−.1. ( 1) .1.........
 1  2  3
 88 
1 −  + 1 −  + 1 −  + ...... + 1 − 
6  7  8
 93 
c) C = 
1 1 1
1
− − − ....... −
12 14 16
186
1 
1 1 1
5 5 5
5
5.  + + + ..... + 
+ + + ...... +
93 
6 7 8
93 =
C= 6 7 8
1 1 1
1
1 1 1 1
1 
− − − ....... −
− .  + + + ..... + 
12 14 16

186
2 6 7 8
93 
C = −10
Bài 2.
a) 2xy + x − 8y = 14 ⇒x(2y +1) −8y −4 =14 4−

⇒ x ( 2y + 1) − 4(2y + 1) = 10 ⇒( 2y +1)( x −4 ) =10
Vì x, y∈  nên 2y + 1 ∈ , x − 4 ∈  , suy ra 2y + 1, x − 4 là ước nguyên của 10 và 2y + 1 lẻ
Lập bảng
2y + 1
1
1
5
-5
10
-10
2
-2
x−4
14
-6
6
2
x
y
0
-1
2
-3

 x =−14=  x= = 6  x 6  x 2
Vậy 
;
;
;
3
 y =− 0 =  y−= = 1  y 2  y
b) Phải chứng minh 3x + 5y  7 ⇔ x + 4y  7
Đặt A =+3x 5y,=
+ B x 4y. Xét tổng A + 4B = 7x + 21 7

B 7
Nếu A  7 ⇒ 4B 7, mà ( 4, 7 ) = 1 ⇒

Nếu B 7 ⇒ 4B 7 ⇒ A  7. Chứng tỏ 3x + 5y  7 ⇔ x + 4y  7
3x + 5y  7
Vì ( 3x + 5y )( x + 4y ) 7 ⇒ 
 x + 4y  7
Nếu ( 3x + 5y ) 7 ⇒ ( x + 4y ) 7 ⇒ ( 3x + 5y )( x + 4y ) 49
Nếu ( x + 4y ) 7 ⇒ ( 3x + 5y ) 7 ⇒ ( 3x + 5y )( x + 4y ) 49
c) Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n + 2 và 2n + 7
5n + 2 d 2. ( 5n + 2 ) d
Ta có: 
⇒
⇒ (10n + 35 ) − (10n + 4 ) d
2n + 7  d 5.(2n + 7) d
Vì d nguyên tố nên d = 31
5n + 2 31 5n + 2 − 62 31 5n − 60 31 5(n − 12) 31
Khi đó 
⇒

⇒
⇒
2n + 7  31 2n + 7 − 31 31 2n − 24 31 2(n − 12) 31

= n − 12 31 ⇒ n = 31k 12
+ (k 
∈)
Mà ( 5,31) = 1; ( 2;31) 1 suy ra

Do 290 ≤ n ≤ 360 ⇒ 290 ≤ 31k + 12 ≤ 360 ⇒ 9 ≤ k ≤ 11 , mà k là số tự nhiên nên k ∈ {9;10;11}
Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


5
Từ đó tìm được n ∈ {291;322;353}
Bài 3.
a)Do n + 1 là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Nếu n + 1 3 thì n chia cho 3 dư 2 ⇒ 2n + 1 chia cho 3 dư 2, vơ lý.
Do đó n + 1 chia cho 3 sẽ dư 1 ⇒ n  3
Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2n 8 , từ đó n  4
Do đó n + 1 là số chính phương lẻ nên n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n 8
Ta thấy n  3, n 8 mà ( 3,8 ) = 1 nên n  24 mà n là số nguyên dương
Với n = 24 thì n + 1 = 25 =
52 ; 2n 1 + 49= 7 2 ; =5n 1 121
+ =112
=
Vậy n = 24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài
b)Ta có A = 2017 +2017 2 +20173 .+

+2017 2018 (tổng A có 2018 số hạng, 2018 2)
A = ( 2017+ 2017 2 )+ ( 20173+ 2017 4 )+ . + ( 2017 2017+ 2017 2018 )

A = 2017.(1 +2017) +20173.(1 +2017) +. ....2017 2017.(1 +2017)
A
A

2018. ( 2017 20173 + .

2017
+

+ 2018
) =

2017

2
3
4
5
6
2015
2016
2017
2018
+
+ (
+
+

+
+ + (
+
+
+
)
)
2017 2017
2017 2017 2017 2017
.
2017
2017
2017
2017

A == (...6 ) 2017
+ 3. (....0 ) ...+ 2017
+ 2015. (.0

) =.6(

)

Bài 4.
a)Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA

A

B

C

Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra điểm B nằm giữa
hai điểm A và C
Ta có: AB + BC = AC thay số tính được AC = 7 cm
Trường hợp điểm C thuộc tia BA

C

A

B

Trên tia BA , BA < BC ( 2 cm < 5cm ) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C
Ta có: AB + AC = BC Thay số tính được AC = 3cm

Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


6

x1
y
x2

x3

O

b)

x

0

 nên xOx
 = xOy 160 = 800
Tia Ox1 là tia phân giác của xOy
1
2
2
 1600
xOx
1


Tia Ox 2 là tia phân giác của xOx1 nên xOx 2 =
=
2
22

=

0

 nên xOx
 = xOx 41 160 =
Tương tự như trên, tia Ox 42 là tia phân giác của xOx

41
42
2
242
Bài 5
a)Ta có ( n 3 − n ) = n ( n 2 1)− n =( n 2 n n− 1)+ n− n (=n 1) ( n −
1)  + n ( n− 1)(=n 1) −

+

Với mọi số nguyên dương n thì ( n − 1) n ( n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết
cho 2 và 3 mà ( 2,3) = 1 nên n ( n − 1)( n + 1) 6
b) Ta có

43211234 = a1 + a 2 + a 3 + .
=

3
1

+

3
2

Xét hiệu TT − a4321a

+

1234

3
3

+

=a ( a . +a
3
1

+a
3
2

+

n

3
n

+a 33 +..... + 3n a) −(

1

a+ 2 a + 3 a+ . +a n )

....................
T − 43211234
= ( a13 −a1 ) +( a 32 a−a 2 ) +( a 33 −a 3 ) +......a+( 3na −

n

)

Theo câu a ta có a13 − a1  6, a 32 − a 2  6, a 33 − a 3  6,........a 3n − a n  6, nên T − 43211234  6
Suy ra T và 43211234 cùng dư khi chia cho 6
Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 43211234 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 6 dư 1.

Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


7
PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN
TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018
Mơn thi: TỐN – Lớp 6
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: -3-2018
(Đề thi gồm 1 trang)
Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:
a) ( −2013) .2014 + 1007.26
 1313 10   130 1515 
b) 
+

−
−

 1414 160   140 1616 
Câu 2. (6,0 điểm)
a)Tìm x, y, z biết x − y = 2011 ; y− z=− 2012;+ z =x 2013
b)Tìm hai số tự nhiên a và b biết BCNN (a, b) = 180 ; UCLN (a, b) = 12
4n − 1
c)Tìm n ∈  để phân số A =
có giá trị nguyên.
2n + 3
Câu 3. (4,0 điểm
Một hiệu sách có năm hộp bít bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78
chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một
hộp bút chì thì số bút bi gấp bốn lần số bút chì cịn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng
bút bi, hộp nào đựng bút chì ?
Câu 4. (4,0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D . Biết rằng A nằm giữa B và C ; B
nằm giữa C và D ; OA = 7 cm;OD 3cm; BC= 8cm và AC = 3BD=
a)Tính độ dài AC
b)Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD
Câu 5 (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó sau số
2014 ta được số chia hết cho 101
--hết---

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

ĐÁP ÁN
Câu 1
a) ( −2013) .2014 + 1007.26
−
= ( 2013
+ ) .2014 2014.13

= 2014. ( 2013
− 13+) 2014.
= ( 2000 −
)

4028000
=
−

 1313 10   130 1515   13 1   13 15 
b) 
+
−
−
 =  +  − − 
 1414 160   140 1616   14 16   14 16 
 13 13   15 1 
=  −  +  +  =1
 14 14   16 16 
Câu 2.
a)Từ đề bài ta có:
+ − ) 2013
+

( x − y ) + ( y − z ) + ( z + x ) = 2011 ( 2012

⇒ 2x = 2012 x⇒ 1006
=
Vì x − y = 2011
⇒ − = y = x− 2011
− = 1006 2011 1005
Vì x + z = 2013 z⇒ 2013
=
x 2013
− =1006 1007
−
=
Vậy− x = 1006
= =; y
1005 ; z 1007
b)Ta có ab = 180.12 2160 =
Giả sử a ≤ b. Vì UCLN (a, b) = 12 nên a = 12m, b 12n với
= ( m, n ) = 1 và m ≤ n
Suy ra 12m.12n = 2160 ⇒mn =
15 . Ta có bảng sau:
m
n
a

b

1

15

12

180

3

5

36

60

4n − 1 2 ( 2n + 3)
7
7
c) A = =
−
−=
2
2n + 3
2n + 3
2n + 3
2n + 3
A có giá trị nguyên ⇔ 2n + 3 ∈ U ( 7 ) = {± 1;± 7}
Ta có bảng sau
2n + 3

1

-1

7

-7

-1
-2
2
-5
n
Câu 3.
Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78 + 80 + 82 + 114 + 128 = 482 (chiếc)
Vì số bút bi cịn lại gấp bốn lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi và số bút chì cịn lại là
số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư
2.
Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2.
Vậy hộp bút chì bán đi là hộp 3: 82 chiếc
Số bút bi và bút chì cịn lại là : 482 − 82 = 400 (chiếc)
Số bút chìn cịn lại : 400 : 5 = 80 (chiếc)
Vậy , các hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp 3
Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp 5
Câu 4.

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9

O

D

B

A

C

a)Đặt BD = x (cm) ⇒
AC 3x
= (cm)
Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA ) nên : OD + DA = OA ⇒ DA = 4
⇒ DB + BA = 4 hay x BA+ 4 (1)
=
Vì A nằm giữa B và C nên : BA + AC = BC hay 3x + BA = 8(2)

Từ (1) và (2) ta có ( 3x + BA ) − ( x + BA ) = 8 − 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 ⇒ AC = 3.2 = 6 (cm)

2 BA
= 2
b)Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x =⇒
Mà BD ==⇒
x 2 =BD= ⇒
BA( 2) B là trung điểm của đoạn thẳng AD
Câu 5.
Giả sử n có k chữ số ( k ≥ 1)
+ đó:

Ta có : 2014 = 19.101 95 , do
k
2014n = 2014.10 n 19.101.10
+ = k 95.10k n +
+
k
Suy ra 2014n 101 khi và chỉ khi 95.10 + n 101
Với k = 1 thì 95.10k + n = 950 n+ 101.9
=
(41+ n)+101 khi và chỉ khi 41 + n 101 nhưng n có
một chữ số nên 41 + n ≤ 41 + 9 < 101 , nên khơng có số n thỏa mãn đầu bài.
=
+ suy ra 6 + n 101 , và số n nhỏ nhất
Với k = 2 thì 95.10k + n = 9500 n + 101.94
( 6 n+)101
được xác định bởi 6 + n = 101 ⇒
n 95
=
Vậy n = 95 thỏa mãn đề bài.

Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


10
UBND HUYỆN KINH MƠN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu 1. (2,0 điểm)

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN – LỚP 6
Thời gian làm bài: 150 phút

1
1 
 1  1 

1)Rút gọn biểu thức A =+1
+. 1
+. 1
 ......+1

 3   8   15 
 2499 
1 1 1
4 4
4
1+ + +
4+ + −
3 9 27 :
7 49 343
2)Tính nhanh B =
2 2 2
1 1
1
2+ + +
1+ + −
3 9 27
7 49 343

Câu 2. (2,0 điểm)
1
1
1 
23
 1
1)Tìm x , biết 
+
+
+
+ x  =
8.9 
45
 1.2 2.3 3.4

201899 − 1
201898 − 1
và
F
=
2018100 − 1
201899 − 1
Câu 3: (2,0 điểm)
1)Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26
2)So sánh: E =

2)Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ) biết ab − ba là số chính phương
Câu 4: (3,0 điểm)
1)Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 6 cm, OB 10 cm. Gọi
= E , F lần lượt là trung

điểm của OA, AB . Tính độ dài đoạn thẳng EF .
 = 500 ; xOz
 1000
2)Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, OZ sao cho xOy
. Vẽ tia Oy’ là tia đối của tia Oy . Tính số đo y
'Oz
3)Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ được
một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được.
Câu 5 (1,0 điểm)
abc
Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của A =
1918 +
a+b+c
--hết---

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

=


11
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TỐN 6 KINH MƠN 2017-2018
Câu 1.
1
1 
 1  1 

1) A =+1

+1
+. 1
+. 1
.

 3   8   15 
 2499 
4 9 16
2500 2.2 3.3 4.4
50.50
A = . . ......
=
.
.
.
2499 1.3 2.4 3.5
49.51
...........................................................
2.3.4.........50
2.3.4.........50
50
2
100
3 8 15 .
.
1.2.3.........49 3.4.5........51 = 1 51 51 =

=
100
Vậy A =

51
1 1 1
4 4
4
1+ + +
4+ + −
3 9 27 :
7 49 343
2) B =
2 2 2
1 1
1
2+ + +
1+ + −
3 9 27
7 49 343
1
1
1
1 


 1 1
1. 1 + + +  4. 1 + + −

3 9 27 
7 49 343 
B= 
: 
1 

 1 1 1   1 1
2. 1 + + +  1. 1 + + −

 3 9 27   7 49 343 
1
1
B = :4
=
2
8
1
Vậy B =
8
Câu 2.
1
1
1 
23
 1
1) 
+
+
+ .................x
+
 =
8.9 
45
 1.2 2.3 3.4
1 1
23

1 1 1 1 1 1
+ −  =
 − + − + − + ....................x
8 9
45
1 2 2 3 3 4
23
1 1 
 − x =
45
1 9 
8
23
23 8 23
x=
⇒x = :
=
9
45
45 9 40
23
Vậy x =
40
201899 − 1
2018100 − 2018
2017
2)Ta có: E =
⇒
2018E
=

⇒ 100 − = 2018.E 1
100
2018 − 1
2018 − 1
2018100 − 1
201898 − 1
201899 − 2018
2017
F=
⇒
2018.F
=
⇒ 99 − = 2018.F 1
99
2018 − 1
2018 − 1
201899 − 1
2017
2017
2017
2017
Vì
<
⇒ 1−
> 1−
100
99
100
2018 − 1 2018 − 1
2018 − 1

201899 − 1
Hay 2018E > 2018F ⇒ E > F
Vậy E > F
Bài 3
1)+Với y = 2 , ta có 112 = 121 >
26 ⇒
y =
2 không thỏa mãn

Do y là số tự nhiên nên y ∈ {0;1}

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12
+) Với y = 1, ta có: 5x + 11 = 26 ⇒5x =15 vì x là số tự nhiên ⇒ khơng có giá trị nào của x thỏa
mãn 5x = 15 ⇒y =1 không thỏa mãn
+)Với y = 0 ta có 5x + 1 = 26 ⇒
5x =25 52=nên x=2 (thỏa mãn)
Vậy x = 2; y 0 =
2)Ta có: ab − ba = 9 ( a −b )
Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 ≤ b ⇒ 9. ( a − b ) là số chính phương khi

a − b ∈ {1; 4}
+) Với a − b = 1 mà ab là số nguyên tố ⇒ ta được số ab = 43
+)Với a − b = 4 mà ab là số nguyên tố ⇒ ta được số ab = 73
Vậy ab = {43;73}
Bài 4.

Câu 1

O

E

A

F

B

Vì hai điểm A, B cùng nằm trên tia Ox mà OA < OB ( 6 cm < 10 cm ) nên điểm A nằm
giữa hai điểm O và B ⇒ OA + AB = OB
Thay số 6 + AB = 10⇒ AB= 4 cm . Vậy AB = 4cm
OA
Vì E là trung điểm OA nên EA =
, thay số EA = 6 : 2 3cm
=
2
AB
F là trung điểm của AB nên AF =
2
Thay số: AF = 4 : 2 2 cm
=
Do A nằm giữa O và B . Mà E là trung điểm của OA, F là trung điểm của AB nên điểm
A nằm giữa hai điểm E và F
Vậy EF = 5cm.
⇒ EF = EA + AF = 3+ 2 = 5(cm)
Câu 2

z
y

O

x

y'
Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


13

 < xOz
 nên tia Oy
Vì hai tia Oz, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , mà xOy
nằm giữa hai tia Ox và Oz
 + yOz
 = xOz
 . Thay số 500 + yOz
 = 1000 ⇒ yOz
 = 500
⇒ xOy

 là hai góc kề bù
Do tia Oy ' là tia đối của tia Oy ⇒ y
'Oz, yOz

 = 1800 . Thay số : y
⇒ y
'Oz + yOz
'Oz + 500 = 1800 ⇒y
'Oz =1300
Vậy y
'Oz = 1300
Câu 3.
Giả sử trong 2018 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng
Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như vậy với 2018
điểm ta được 2018.2017 = 4 070306 đường thẳng
Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là :
2 035153 đường thẳng.
Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân
biệt thẳng hàng là 1; Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm phân biệt
thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là : 3 − 1 = 2
Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực
tế kẻ được là : 2 035153 − 2 = 2 035151
Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng.
Câu 5
abc
100a + 10b + c
A=
1918
+
=
1918 +
a+b+c
a+b+c
+)Nếu b = c 0=thì A = 100+ 1918= 2018

+)Nếu b hoặc c khác 0 thì
100a + 100b + 100c
A<
+ 1918 = 100+ 1918= 2018
a+b+c
Nên A ≤ 2018
Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a ∈ {1; 2;.......;9} ; b = c = 0

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


14
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2018-2019
Mơn : Tốn lớp 6

Câu 1. (3 điểm) Tính
a)4.5 − 3. ( 24 − 9 )
2

 1
b)7 + 6.  − 
 2

2

25.7 + 25
c) 5 2
2 .5 − 25.3

Câu 2. (3 điểm). Tìm x biết:
a) ( x − 15 ) : 5 + 22 = 24

b) x + 7 = 15 (− 4−)

1 1 5
5

c)  x −  : + = 9
2 3 7
7


Câu 3. (5 điểm)
1)Cho A = 1− 2 + 3− 4 + ...+ 99 − 100
a)Tính A
b)A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khơng ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
2)Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b  45

3)Cho a là một số nguyên có dạng a = 3b+ 7 ( b∈  ) . Hỏi a có thể nhận những giá trị nào
trong các giá trị sau:
a = 11;a 2002;a
=
2003;a =11570;a 22789;a

=
29563;a = 299537
=
=
Câu 4. (3 điểm)
a)Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5
dư 3
b)Cho A
+ = 1 2012
+
2012
+ 2 2012
+ 3 2012
+ 4 + ..... 2012
+ 71 201272 và B = 201273 1. So sánh
− A
và B
Câu 5. (6 điểm)
Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy hai điểm M
và B sao cho OM = 1cm, OB 4cm. =
a)Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B ; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng

AB

 = 1300 , zOy

b)Từ O kẻ hai tia Ot , Oz sao cho tOy

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


300. Tính =số đo tOz

TÀI LIỆU TỐN HỌC


15
ĐÁP ÁN
Câu 1.

a )55

25.( 7 + 1)
8
c) 5
=
2 .( 25 − 3) 22

17
b)
2

4
=
11

Câu 2.

a ) x = 25

 x = 12
b) 
 x = −26

c) x =

7
2

Câu 3.

1)a) A = −50
b) A 2 cho 5, A không chia hết cho 3
c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
2) Ta có: 45 = 9.5 mà ( 5,9 ) = 1

b = 0
b = 5

Do 24a 68b 45 suy ra 24a 68b5 ⇒ 
Th1: b = 0 ta có số 24a 680

Để 24a 6809 thì ( 2 + 4 + a + 6 + 8 + 0 )9 ⇒ a + 209 ⇒ a = 7
Th2: b = 5 ta có số 24a 685

Để 24a 6859 thì ( 2 + 4 + a + 6 + 8 + 5 )9 hay a + 259 ⇒ a = 2

 a = 7, b 0 =
 a = 2, b 5 =

Vậy 

3) Số nguyên có dạng a = 3b+ 7 ( b∈  ) hay a là số chia 3 dư 1

Vậy a có thể nhận những giá trị là a = 2002; a 22789;=a 29563
=
Câu 4.
a)Gọi số cần tìm là a
Ta có a chia cho 9 dư 5 ⇒ a = 9k +
5( k ∈
 ) ⇒2a =
9k1 1 + (⇒
2a 1)−9

4+( m 
∈) ⇒
2a 7=m1 1 +( 2⇒
a 1) 7−
Ta có a chia cho 5 dư 3 ⇒ a = 5t +3 ( t ∈ ) ⇒2a =5t1 1+ ⇒
( 2a 1−)5
⇒ ( 2a − 1)9,7,5 , mà ( 9;7;5 ) = 1 và a là số tự nhiên nhỏ nhất
⇒ 2a − 1 = BCNN (9,7,5) = 315 . Vậy a = 158
Ta có a chia cho 7 dư 4 ⇒ a = 7 m

b)Ta có: 2012 A = 2012+ 2012 + 2012 + 2012 + ....+ 2012 + 2012
2

Lấy 2012 A − A = 2012

73

1 , Vậy
− A=

Câu 5.

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

3

4

72

201273 − 1
B <2012
= 73 1
2011

73

−

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16

t
z

M
x

A

O

B

y
z'

a)Trên tia Oy ta có: OM = 1cm < OB = 4cm ⇒M là điểm nằm giữa O và B
Do M nằm giữa O và B ta có:

OM + MB = OB ⇒ MB =OB −OM =4 −1 =3 ( cm )
Do A thuộc tia Ox , M thuộc tia Oy nên M nằm giữa hai điểm A và M suy ra:
OM + OA = MA = 2 +1 =3(cm)
Mặt khác do A , B nằm trên hai tia đối nhau , M lại nằm giữa O và B nên suy ra M nằm
giữa A , B . Vậy M là trung điểm của AB.
b)TH1: Tia Ot , Oz trên cùng một nửa mặt phẳng

yOt = 1300 , 
yOz
Do 

300= tia Oz ⇒
nằm giữa hai tia Ot , Oy.
 = tOy

 −
Ta có: tOz
yOz =1300 −300 =1000
TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là xy
Suy ra tia Oy nằm giữa 2 tia Ot , Oz

 = tOy
 +
yOz = 1300 + 300 =1600
Ta có: tOz

Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


17
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
Năm học 2019-2020
Bài 1. (2 điểm)
2

1 1

a)Tìm x biết:  x −  − = 0
3 4

b)Tìm x, y ∈  biết 2 x + 624 = 5y
Bài 2. (2 điểm)
−22

51
a)So sánh :
và −
45
103
2009
2009 + 1
20092010 − 2
b)So sánh : A =
và
B
=
20092010 + 1
20092011 − 2
Bài 3. (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25; 28;35 thì được các số dư
lần lượt là 5;8;15
Bài 4. (2 điểm)
Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20
phút sẽ đầy bể, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể còn nếu dùng máy
một và máy ba thì sẽ đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Hỏi mỗi máy bơm được dùng một mình thì
bể sẽ đầy sau bao lâu ?
Bài 5. (2 điểm) Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và
vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900
 = yOm

a)Chứng minh xOn

 . Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn


b)Gọi Ot là tia phân giác của xOy
ĐÁP ÁN

Bài 1.

1 1
5


x− =
x
=


1 1

3 2
6
a)Từ giả thiết ta có:  x −  = ⇒ 
⇒ 
1
3
4

x − 1 =
 x= −1
−
3
2
6



y
0
4
b)Nếu x = 0 thì 5 = 2 +624 =625 =5 ⇒
y 4=
Nếu x ≠ 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y ∈  : vô lý
Vậy x = 0, y 4 =
Bài 2.
22 22 1 51
51
22 51
−22 −51
a)
<
== <
⇒
<
⇒
>
45 44 2 102 101
45 101
45 101
2010
2009 − 2
b)B =
<1
20092011 − 2
20092010 − 2 20092010 − 2 + 2011 20092010 + 2009

⇒B=
<
=
20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009
2009 ( 20092009 + 1) 20092009 + 1
=
=
=A
2010
2009 ( 20092010 + 1) 2009 + 1
2

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


18
Vậy A > B
Bài 3.
Gọi số tự nhiên phải tìm là x
Từ giả thiết suy ra ( x + 20 ) 25 và ( x + 20 ) 28 và ( x + 20 ) 35

⇒ x + 20 ∈ BC ( 25; 28;35 )
Tìm được BCNN ( 25; 28;35 ) = 700

⇒
x 20
+ 700.k
=

( k  )∈

Vì x ∈  * và x có ba chữ số suy ra x ≤ 999 ⇒ x + 20 ≤ 1019 ⇒ k = 1
⇒ x + 20 = 700 ⇒
x 680
=
Bài 4.
4
Máy 1 và máy 2 bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm
3
3
được bể
4
3
Máy 2 và máy 3 bơm 1 giờ 30 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được
2
2
bể
3
12
Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay
giờ đầy bể nên một giờ máy 1 và máy 3
5
5
bơm là
bể.
12
11
3 2 5 
⇒ Một giờ cả ba máy bơm được:  + +  : 2 = (bể)

12
 4 3 12 
Một giờ:
11 3 1
Máy 3 bơm được
− = bể ⇒ Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể
12 4 6
11 2 1
Máy 1 bơm được
− = bể ⇒ Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ đầy bể
12 3 4
11 5 1
Máy 2 bơm được
− = bể ⇒ Máy 2 bơm một mình 2 giờ đầy bể
12 12 2
Bài 5.
m
t

y
n

O

x

 + mOy
 = xOy
 hay 900 + mOy
 = xOy


a)Lập luận được: xOm
 + nOx
 = xOy
 hay 900 + nOx
 = xOy
 ⇒ xOn
 = yOm

yOn
 = tOy
 ⇒ xOt
 = xOn
 + nOt
 ⇒ tOy
 = yOm
 + mOt
 ⇒ nOt
 = mOt

b)Lập luận được: xOt
Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19

⇒ Ot là tia phân giác của mOn

UBND HUYỆN BA VÌ
PHỊNG GD&ĐT BA VÌ

KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Năm học 2017-2018
Mơn Tốn lớp 6
Ngày thi : 25/4/2018

Câu 1. (6 điểm) Tính:
a)1152 − ( 374 + 1152 ) + ( 374 − 65 )

c)

11.322.37 − 915

( 2.3 )

14 2

7 5 1 3 5
+ + − −
12 6 4 7 12
3 8 15 899
d) 2 . 2 . 2 .... 2
2 3 4
30

b)

Câu 2. (3 điểm)

2
2 
221 4
 2
a)Tìm x biết: 
+
+ .... +
=
−x+
19.21 
231 3
 11.13 13.15
1 3
x
4 3 1
b)Tìm các số nguyên x biết: + <
< + +
3 35 210 7 5 3
Câu 3. (3 điểm)
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư thứ tự là 2; 4;6.
Câu 4. (6 điểm)
 = 1000 và xOz
 biết Om là tia phân giác của 
 = 600. Tính số đo xOm,
yOz
a)Cho xOy
b)Cho tam giác ABC và một đường thẳng d không đi qua bất kỳ đỉnh nào của tam giác
và cắt cạnh BC của tam giác. Hãy chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt một và chỉ một trong
hai cạnh AB và AC của tam giác ABC
Câu 5. (2 điểm)

1
1
1
1
1
+
+ + ... +
+
31 32 33
59 60
4
Chứng tỏ rằng: A <
5
Cho A =

ĐÁP ÁN

Bài 1.

a )1152 − ( 374 + 1152 ) + ( 374 − 65 ) = 1152 −374 −1152 +374 −65
= (1152− 1152 )+ ( 374− 374 )+ (− 65 )=− 65

b)

7 5 1 3 5
7 5 5 1 3
+ + − − =
− + + −
12 6 4 7 12 12 12 6 4 7

1 5 1 3
1 3 5 3
= + + − = +1 − = − =
6 6 4 7
4 7 4 7

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

23
28

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


20

c)

11.322.37 − 915

( 2.314 )

2

11.329 − 330
=
22.328

329.(11 − 3)

=
22.328

329.23
22.328

6 =

=

3 8 15 899 1.3 2.4 3.5
29.31
.
.
.....
=
.
.
.
2
2
2
302 2.2 3.3 4.4 30.30
.......................................................
2 3 4 3.4.5....31 1 31 31
1.2.3....29
.
= .
=
2.3.4. ..................................30 2.3.4.

...................................30
30 2 60
Bài
2.
= 2
2
2 
221 4
a) 
+
+ .... +
=
−x+
19.21 
231 3
 11.13 13.15
d)

1 1 
221 4
1 1 1 1
⇔  − + − + ..... + −  − x +
=
19 21 
231 3
 11 13 13 15
221 4
10 221
4
1 1 

⇔ − −x+
= ⇔
+
−x =
231 3
231 231
3
 11 21 
4
1
⇔ 1 − x = ⇒ x=
3
3
−
3
44
88
b) 1 +
=
=
3 35 105 210
4 3 1 158
+ + =
7 5 3 105

316
=
210

88

x
316
<
<
210 210 210
⇔ 88 < x < 316 , mà x ∈  ⇒ x ∈ {89;90;....;315}
Bài 3.
a chia cho 3 dư 2 ⇒ a = 3k

2+ ⇒
a 1+ ∈
B ( 3)
a 1+ B
∈( 5 )
a chia cho 5 dư 4 ⇒ a = 5 p 4+ ⇒
a 1+ ∈
B (7)
a chia cho 7 dư 6 ⇒ a = 7 q 6+ ⇒
⇒ a + 1∈ BC ( 3;5;7 ) , mà a nhỏ nhất nên a + 1 là
BCNN ( 3,5,7 ) = 105 ⇒
a 1+ 105
=
a ⇒104=

Bài 4.
*Học sinh vẽ hình đúng 2 trường hợp cho 0,5 điểm
a) Trường hợp 1: Tia Oy, tia Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


21

y

m z

O
(

x

)

 < xOy
 600 < 1000 ⇒ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy
+) xOz
 + zOy
 = xOy
 ⇔ 600 + zOy
 = 1000 ⇒ 
⇒ xOz
yOz = 400

yOz 400




+)Tia Om là tia phân giác của yOz ⇒ yOm = mOz=
=
=
2
2
yOm < 
yOx ( 200 < 1000 ) ⇒ Tia Om nằm giữa hai tia Oy, Ox
+) 

200

 = xOy
 ⇔ 200 + mOx
 = 1000⇔ mOx
= 800
⇒
yOm + mOx
-Trường hợp 2: Tia Oz , Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox

y
m

x
O
z
 + xOz
 = 1600 <1800 nên tia Ox nằm giữa hai tia Oy, Oz
+Ta có : xOy
Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


22

 + xOy
 =1000 +600 =1600
⇒
yOz = zOx
1600
Tia Om là tia phân giác 
yOz nên 
yOm =
800 =
2
0
0
+
yOm < 
yOx ( 80 < 100 ) nên tia Om nằm giữa hai tia Oy, Ox

=
 = 1000⇒ mOx
= 200
⇒
yOm + mOx
yOx⇒ 800 + mOx
b) Đường thẳng d cắt cạnh BC và B, C ∉ d nên B và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối
nhau bờ là đường thẳng d
TH1: Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B thì d cắt cạnh AC mà không cắt cạnh AB

A

d

C

B

Th2: Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa C thì d cắt cạnh AB mà không cắt cạnh AC

A
d
B

C

Bài 5.

1
1   1
1
1  1
1 
1
A=
+
+
..... +  +
+

+
.... +  +
+
.... + 
40   41 42
50   51
60 
 31 32
1   1
1   1
1  10 10 10
 1
<  + ... +  +  + .... +  +  + ... +  =
+
+
30   40
40   50
50  30 40 50
 30
1 1 1 47 48 4
= + + =
<
=
3 4 5 60 60 5

Liên tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

23
PHỊNG GD&ĐT LÝ NHÂN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH
GIỎI
MƠN TỐN 6
Năm học 2018-2019
(Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)
7
7 1
+ −
a)Tính: M = 2012 9 4
5
3
1
−
−
9 2012 2
b)So sánh A và B biết: A =

2010 2011 2012
1 1 1
1
và B = + + + .... +
+
+
2011 2012 2010

3 4 5
17

Bài 2. (4,0 điểm)
5
7 
1

3
a)Tìm x biết  + 2 − 2, 75  x − 7 = 
+0, 65 +  : 0, 07
4
200 
8

2
x+y
7
b)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho ( x, y ) = 1 và 2
=
2
x +y
25
Bài 3. (4,0 điểm)

a)Tìm chữ số tận cùng của số P = 1414 9+9 2+3
b)Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng
Bài 4.(2,0 điểm)
Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd. Chứng minh rằng A = a n + b n + c n + d n
là một hợp số với mọi số tự nhiên n

Bài 5.(6,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của
OA, OB.
q)Chứng tỏ rằng OA < OB
b)Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O.
c)Lấy điểm P nằm ngồi đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP. Chứng
tỏ rằng tia OH cắt đoạn thẳng NP tại một điểm E nằm giữa N và P
14

9

4

ĐÁP ÁN
Bài 1.
7 1
 7
+ −  .2012.9.2

7.9.2 + 7.2012.2 − 1006.9
2012 9 4 
a)N = 
=
3
1
5.2012.2 − 3.9.2 − 2012.9
5
−  .2012.9.2
 −
 9 2012 2 

7.2021 − 503.9
9620
=
=
5.2012 − 3.9 − 1006.9 979
b)
1  
1  
2 

A = 1 −
 + 1 −
 + 1 +

 2011   2012   2010 
1   1
1 
 1
A
+=3  −
+  −

 2010 2011   2010 2012 
Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


24

⇒A>3
1  1
1
1 1 1
B =  +  +  + ..... +  +  + ..... + 
9   10
17 
3 4 5
1
1
1
B < .2 + .5 + .8 ⇒ B < 3
2
5
8
Từ đó suy ra A > B
Bài 2.a)
5
437 7
5
437 100
x −7 =
:
x ⇒
7
−. =
8
200 100
8
200 7

5
437
5
535
⇒ x=
+7 ⇒ x =
8
14
8
14
535 5
1
⇒x=
:
x ⇒61 =.
14 8
7
b) Vai trị của x, y bình đẳng.Giả sử x ≥ y, ta có:
x+y
7
= ⇒ 7 ( x 2 + y 2 )= 25 ( x+ y )
2
2
x +y
25
2
7x − 25x = 25y − 7y 2
x ( 7x − 25 ) = y ( 25 −
7y )
Suy ra 7x − 25 và 25 − 7y cùng dấu vì x, y là các số tự nhiên

a)
Nếu 7x − 25 < 0 thì 25 − 7y < 0 ⇒ x < 4, y > 4 (trái với điều giả sử)
b)
Nếu 7x − 25 > 0 thì 25 − 7y > 0 , Vậy x ≥ 4, y < 4
Thử các số tự nhiên y từ 0,1, 2,3 ta được x = 4
Cặp số ( x, y ) = ( 4,3) ; vai trò của x, y như nhau nên ( x, y ) = ( 3, 4 )
Bài 3.
a) P = 1414

14

9+9

9

2+3

4

Chữ số tận cùng của 1414 là 6
14

Chữ số tận cùng của 99 là 9
9

Chữ số tận cùng của 23 là 2
Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng ( 6 + 9 + 2 ) là 7
4

b)Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là a, b, c

abc
Ta có: a + b + c =
2
abc
Giả sử a ≤ b ≤ c thì a + b + c ≤ 3c , do đó:
≤ 3c ⇒ ab ≤ 6
2
Có các trường hợp sau:
*) ab = 6 ⇒ c = 3,5 (loại)
*) ab = 5 ⇒ a = 1, b = 5, c = 4(ktm)
a = 1, b 4, c= 5(tm) =
*) ab = 4 ⇒
a = 2, b 2, c= 4(tm) =

*) ab = 2(ktm)
*)ab = 3 ⇒ a = 1, b = 3, c= 8(tm)
*)ab = 1 ⇒
(ktm)
Liên tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC