BÀI 5: ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

BÀI 5:
ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Mục tiêu
- Hiểu rõ các phương pháp ước lượng điểm và ước lượng bằng khoảng tin cậy, cơ
sở của các phương pháp này là xuất phát từ một suy luận hợp lý nào đó và từ thực
nghiệm,
- Nắm được thủ tục và các bước tiến hành bài toán ước lượng giá trị tham số dựa
trên các tiêu chuẩn của hàm ước lượng và thông tin từ mẫu điều tra, cụ thể là: chọn
đúng tham số và cơng thức cần sử dụng tìm khoảng tin cậy cho tham số tương ứng,
biết phân tích và giải thích ý nghĩa lý thuyết và thực tế của các khoảng tin cậy,
Nội dung
I. PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM
I.1. Phƣơng pháp hàm ƣớc lƣợng
I.1.1. Khái niệm
Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật phân phối xác suất đã biết dạng,
nhưng giá trị của tham số  chưa biết. Ta phải ước lượng  thông qua các kết quả
thực nghiệm.
Muốn vậy ta thực hiện n phép thử độc lập về X. Khi đó ta có mẫu ngẫu nhiên kích
thước n.
W = (X1; X2;...;Xi;...; Xn)
Từ mẫu này ta lập thống kê G  f X1 , X 2 ,..., X n ,  .
Vì G là hàm của các biến ngẫu nhiên nên nó được gọi là hàm ước lượng của  .

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 1

Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

I.1.2. Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng
I.1.2.1. Ước lượng không chệch
Định nghĩa: Thống kê G được gọi là ước lượng không chệch của tham số  của
biến ngẫu nhiên X nếu E (G)   .
Ngược lại nếu E (G)   thì G được gọi là ước lượng chệch của  .
Như vậy theo §4 chương 6, ta có thể rút ra 1 số kết luận sau:
* Trung bình mẫu X là ước lượng khơng chệch của kỳ vọng toán của biến ngẫu
nhiên X
* Tần suất mẫu f là ước lượng không chệch của xác suất p trong trường hợp biến
ngẫu nhiên gốc phân phối A(p)
* Phương sai mẫu S2 và phương sai S* 2 là ước lượng khơng chệch của phương sai

2
Thí dụ: Để ước lượng trung bình (m) của một phân phối gốc. Người ta lập mẫu
ngẫu nhiên kích thước n = 2 và xây dựng các hàm ước lượng sau:
a.

X 

1
1
X1  X 2
2
2

b.

G1 

1
2
X1  X 2
3
3

c.

G2 

3
2
X1  X 2
5
5

Hãy chứng tỏ rằng các ước lượng này là không chệch của m.
Giải
Từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể, ta lập mẫu ngẫu nhiên kích
thước n = 2 Ta có:

W = (X1; X2)

Khi đó ta có: E(X1) = E(X2) = E(X) = m
Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 2


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

V(X1) = V(X2) = V(X) =  2
Vậy:
1
1
1

1 
1
 1
E ( X )  E X 1  X 2   E X 1   E X 2   E  X 1   E  X 2 
2
2
2

2 
2
 2
1
1
E( X )  m  m  m
2
2

X

là ước lượng không chệch của m

Tương tự như X , ta dễ dàng thấy rằng G1 và G2 cũng là ước lượng không chệch
của m.
I.1.2.2. Ước lượng hiệu quả
Định nghĩa: Thống kê G được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của tham số  của
biến ngẫu nhiên gốc X nếu nó là ước lượng khơng chệch và có phương sai nhỏ nhất so
với mọi ước lượng khơng chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó.
Để xét xem G có phải là ước lượng hiệu quả nhất của tham số  của biến ngẫu
nhiên gốc X hay khơng ta cần phải tìm được giá trị nhỏ nhất có thể có của phương sai
các hàm ước lượng.
Người ta chứng minh được rằng:
+

Trung bình mẫu X là ước lượng hiệu quả nhất của kỳ vọng toán  của biến

ngẫu nhiên X ~ N ; 2  .
+

Tần suất mẫu f là ước lượng hiệu quả nhất của xác suất P của biến ngẫu nhiên

X~A(P).
Khi 2 ước lượng nào đó đều là các ước lượng khơng chệch của  , song khơng phải
là ước lượng hiệu quả nhất thì có thể so sánh phương sai của chúng để tìm ra ước
lượng hiệu quả hơn.Ước lượng nào có phương sai nhỏ hơn là ước lượng hiệu quả hơn.

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 3


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Thí du: Trở lại thí dụ trong mục 1.2.1. Ta có các ước lượng X , G1 và G2 đều là các
ước lượng không chệch của m. Ta xét xem trong các ước lượng X , G1 và G2, ước
lượng nào hiệu quả hơn.
Ta có:
1
1
1

1 
1
 1
V ( X )  V  X 1  X 2   V  X 1   V  X 2   V X 1   V X 2 
2
4
2

2 
2
 4
1
1
2 2  2
V (X )   2   2 


 0,5 2
4
4
4
2

Tương tự ta có:

5 2
13
  0,56 2 ;V (G2 )   2  0,52 2
9
25

V(G1) =

Như vậy: V( X ) < V(G2) < V(G1), nên X hiệu quả hơn 2 ước lượng
G1 và G2
I.1.2.3. Ước lượng vững
Khi xét mẫu có kích thước n thì ta thấy mẫu càng lớn thống kê G của mẫu càng gần
tham số  cần ước lượng .
Định nghĩa: Thống kê G được gọi là ước lượng vững của biến ngẫu nhiên X nếu G
hội tụ theo xác suất đến  khi n   .
+ Trung bình mẫu là ước lượng vững của kỳ vọng toán của biên ngẫu nhiên gốc X
tuân theo quy luật phân phối chuẩn, vì:





lim P X      1
n 

+ Tần suất mẫu f là ước lượng vững của biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy
luật A(P), vì:

lim P f  P     1
n 

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 4


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

I.2. Phƣơng pháp ƣớc lƣợng hợp lý tối đa
Giả sử biết quy luật phân phối xác suất tổng quát của biến ngẫu nhiên gốc X dưới
dạng hàm mật độ xác suất  cần phải ước lượng  của X. Lập mẫu ngẫu nhiên kích
thước n :
W  X1 , X 2 ,..., X n 

Xây dựng hàm của đối số  tại 1 giá trị cụ thể của mẫu.
Lx1 , x 2 ,..., x n ,   f x1 ,  f x2 , ... f xn , 

Hàm L được gọi là hàm hợp lý của tham số  . Giá trị của hàm hợp lý chính là xác
suất hay mật độ xác suất tại điểm x1 , x 2 ,..., x n  . Còn giá trị của thống kê G tại điểm

đó:
g  f x1 , x 2 ,..., x n 

được gọi là ước lượng hợp lý tối đa của  nếu ứng với giá trị này của  , hàm hợp
lý đạt cực đại.
* Các bước tìm giá trị của  để hàm L đạt cực đại:
a. Tìm đạo hàm bậc nhất của lnL theo 
( vì L và lnL đạt cực đại tại cùng giá trị  )
b. Giải phương trình
 ln L
=0


Giả sử ta tìm được nghiệm:     f x1 ; x2 ,...xn 
^

c. Tìm đạo hàm bậc 2:
^

Nếu tại    mà

 2 ln L
 2

 2 ln L
 0 thì tại đó lnL đạt cực đại.
 2

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 5


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Khi đó   f x 1 , x 2 ,..., x n  là ước lượng hợp lý tối đa cần tìm của  .
^

I.3. Phƣơng pháp ƣớc lƣợng điểm
Sau khi xác định được hàm ước lượng G dùng để ước lượng tham số  (G phải có
các tính chất nêu trên, tối thiểu là tính khơng chệch) dựa vào mẫu tính được giá trị g
của G và có thể lấy g làm giá trị xấp xỉ cho  . Cách ước lượng giá trị  như vậy gọi là
phương pháp ước lượng điểm
II. PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
II.1. Nội dung của phƣơng pháp
Để ước lượng tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể, người ta chọn
thống kê G nào đó của mẫu, xây dựng 1 khoảng giá trị [ T1 ;T2 ] sao cho với xác suất
bằng 1    cho trước, khoảng trên thỏa mãn:
PT1    T2   1  

(1)

Khi đó T1 ,T2  thỏa mãn (1) được gọi là khoảng tin cậy của ước lượng.
Còn xác suất 1    được gọi là độ tin cậy (hệ số tin cậy) của ước lượng. Để tìm
khoảng tin cậy, ta xuất phát từ thống kê G của mẫu. Xây dựng hàm h  h , G  , sao
cho quy luật phân phối xác suất của nó đã biết và khơng phụ thuộc vào  .
II.2. Đƣờng lối chung để tìm khoảng tin cậy
Bước 1: Từ tập hợp tổng quát ta rút ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n

Từ đó xác định thống kê G của mẫu để ước lượng  .
Bước 2: Chọn hàm h  h , G  sao cho quy luật phân phối xác suất của h đã biết
và không phụ thuộc vào tham số  .
Bước 3: Với độ tin cậy 1    cho trước, tìm cặp giá trị 1 &  2 thỏa mãn:
1   2  
Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 6


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Từ đó xác định cặp giá trị h1 & h2 tương ứng sao cho:
Ph1  h  h2   1  

Bước 4: Suy ra biểu thức tương đương:
PT1    T2   1  

III. ƢỚC LƢỢNG KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI
CHUẨN
Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn X ~ N  ,  2  nhưng
chưa biết tham số  = E(X) của nó.
Để xác định  , từ tập hợp tổng quát ( từ tổng thể ) ta rút ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích
thước n:
W  X1 , X 2 ,..., X n 

Từ mẫu ta xác định được trung bình mẫu X  và độ lệch tiêu chuẩn mẫu S  .
Để chọn hàm h thích hợp ta xét 2 trường hợp sau:

III.1. Trƣờng hợp đã biết phƣơng sai của biến ngẫu nhiên X
Hàm h được chọn là:
h U 

X   

n



Biến ngẫu nhiên U ~ N( 0 , 1 ).
Với độ tin cậy 1    cho trước ta có thể tìm được cặp giá trị 1 &  2 sao cho
1   2  

Từ đó ta tìm được 2 giá trị :
h1  U 11 và h2  U  2

Với độ tin cậy 1    tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X sẽ nằm trong khoảng:
Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 7


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người






 X 
U2 ; X 
U 1 
n
n



(2c)

Đây là khoảng tin cậy tổng quát. Ta có các khoảng tin cậy đặc biệt là:
1. Khoảng tin cậy đối xứng: 1   2 


2




P X 
U    X 
U
n 2
n 2



  1




(3)

2. Nếu 1   ; 2  0 ta có khoảng tin cậy bên trái của  (ước lượng tối đa).



P      X 
U    1  
n



(4)

3. Nếu 1  0; 2   ta có khoảng tin cậy bên phải của  (ước lượng tối thiểu).



P X 
U        1  
n



(5)

Minh họa hình học
- Khoảng tin cậy đối xứng (hình 1)

1 



2 

2

T1


2

T2

(hình 1)

- Khoảng tin cậy bên phải (hình 2), bên trái (hình 3).

Xác suất và thống kê tốn học – Bài 5

Trang 8


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

1  

2  

T1

T2

( hình 2)

(hình 3)

* Với cùng 1 độ tin cậy 1    hiển nhiên khoảng tin cậy nào ngắn hơn sẽ tốt hơn.
Độ dài khoảng tin cậy ký hiệu là I, ta thấy I sẽ ngắn nhất khi khoảng tin cậy là đối
xứng và I được xác định bằng cơng thức :
I

2
n

U

(6)

2

Từ (6) có thể tìm được kích thước mẫu tối thiểu n sao cho với độ tin cậy 1    cho
trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị I0 cho trước,
Khi đó:
Chú ý:

n

4 2 2
U
I 02
2

(7)

Trong cơng thức (3) nếu ta ký hiệu:



n

U

(8)

2

thì  được gọi là độ chính xác của ước lượng. Nó phản ánh mức độ sai lệch của
trung bình mẫu so với trung bình tổng thể với xác suất 1    cho trước.
Thí dụ:

Trọng lượng của 1 con sợi là 1 biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ

lệch chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 con sợi loại này ta thu được bảng số liệu:

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 9


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Trọng lượng (gam)

20

21

22

23

Số con sợi

2

7

12

4

Với độ tin cậy 0,95, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình
của các con sợi nói trên.

Giải
Gọi X là:” Trọng lượng các con sợi”.
Theo giả thiết X ~ N  ,  2  , trong đó  = E(X) là trọng lượng trung bình của các
con sợi, μ chưa biết cần ước lượng.
Đây là bài toán ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng giá trị của tham số  của
biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn N  ,  2  trong trường hợp đã biết
 2 ,   1 .

Khoảng tin cậy đối xứng của  là :



P X 
U    X 
U
n
n
2
2



  1



Lấy từ tổng thể ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 25. Gọi Xi là trọng lượng của





con sợi thứ i , i  1,25 . Ta có mẫu:
W  X1 , X 2 ,..., X 25 

Từ đó:

X

1 25
1 k
X i  x   ni xi  21,72

25 i 1
25 i 1

Với độ tin cậy (1   )  0,95  U   U 0,025  1,96 .
2

Vậy khoảng tin cậy đối xứng của  là

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 10


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người



1
1
1,96;21,72 
1,96 
 21,72 
25
25



21,72  0,392;21,72  0,392

21,328;22,122 gam
Vậy với độ tin cậy 0,95, qua mẫu cụ thể, khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng
trung bình của các con sợi là :

21,328    22,122 gam.

III.2. Trƣờng hợp chƣa biết phƣơng sai của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng
thể và kích thƣớc mẫu n < 30
Ta chọn hàm h:
h T 

X   

n

S

trong đó X là trung bình mẫu; S là độ lệch tiêu chuẩn mẫu.
Ta đã biết T ~ T n1 . Với độ tin cậy 1    cho trước ta tìm được cặp giá trị
1 &  2 sao cho:

1   2  

Từ đó tìm được 2 giá trị tới hạn Student tương ứng là :
h1  t1n11  & h2  tn22 

Hoàn toàn tương tự mục (2.1) ở trên ta có khoảng tin cậy của  với độ tin cậy

1    là :

S n 1
S n1 
 X 
t 2 ; X 
t 
n
n 1 


Từ đó ta có khoảng tin cậy trong những trường hợp đặc biệt sau:
a.

Khoảng tin cậy đối xứng: 1   2 

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5


2

Trang 11


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người


S n 1
S n 1 
P X 
t    X 
t   1  
n 2
n 2 


b.

(9)

Khoảng tin cậy bên phải khi 1   ; 2  0 .

S n1 
P      X 
t   1  
n




c.

(10)

Khoảng tin cậy bên trái khi 1  0; 2   .


S n1
P X 
t       1  
n



(11)

* Độ dài khoảng tin cậy ngắn nhất cũng bằng 2 lần độ chính xác và được xác định
bằng biểu thức:
I  2. 

2S
n

t n 1

(12)

2

* Việc xác định kích thước mẫu tối thiểu n sao cho với độ tin cậy bằng 1    cho
trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị I0 cho trước được giải quyết bằng
phương pháp mẫu kép dưới đây.
Trước hết điều tra 1 mẫu sơ bộ m  2
W1  X1 , X 2 ,..., X m 

Từ đó xác định phương sai mẫu của mẫu sơ bộ đó:
S2 

Với :

X



1 m
 Xi  X
m  1 i 1



2

1 m
 Xi .
m i 1

Sau đó lập mẫu thứ 2 kích thước( n – m ):

W2  X m1 , X m2 ,..., X n 

Người ta chứng minh được rằng:

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 12


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

1 n

  Xi   n
n i 1

T
~ T m 1 .
S

Khi đó ta có thể tìm được t m 1 sao cho:
2

1 n
S m1
1 n
S m1 

P  X i 
t     X i 
t    1  
n
n
n
n
i 1
2
2
 i 1


I

Do đó:

2S
n

t m 1
2

Từ đây ta suy ra kích thước mẫu cần tìm:
4S 2
n
I0

 m1 
t 



 2 

2

(13)

Như vậy, dựa vào mẫu sơ bộ đã có ta tìm được kích thước mẫu chính thức đáp ứng
yêu cầu về chất lượng của ước lượng. Trên thực tế chỉ cần điều tra tiếp mẫu thứ 2 có
kích thước ( n – m ) là đủ.
Chú ý: Trong trường hợp chưa biết  2 của biến ngẫu nhiên gốc X và kích thước
mẫu n > 30 thì trong các cơng thức (9, 10, 11, 12, 13 ) ta dùng U  thay cho tn1 .
Thí dụ: Phỏng vấn 5 gia đình có 3 người về chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm
thu được các số liệu sau: 150 ngàn đồng; 180 ngàn đồng; 200 ngàn đông; 250 ngàn
đồng; 300 ngàn đồng.
Vậy phải phỏng vấn bao nhiêu gia đình cùng loại để với độ tin cậy 95% sai số của
việc ước lượng chi phí trung bình hàng tháng cho nhu yếu phẩm khơng vượt quá 30
ngàn đồng. Giả thiết chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn .
Giải
Gọi X là chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm  X ~ N  ,  2 ,
Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 13


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

 = E(X) chính là chi phí nhu yếu phẩm trung bình chưa biết cần ước lượng . Đây

là bài tốn xác định kích thước mẫu tối thiểu cho việc ước lượng tham số  của phân
phối N  ,  2  khi chưa biết rõ  2 .
Theo phương pháp mẫu kép, từ mẫu sơ bộ kích thước n = 5 . Ta có:
X  216 ngàn ; S 2  3530 ;

t 04,975  2,776

 I 0  2  2.30  60 ngàn.

Theo công thức (12) ta có :
 4.3530
2


n
2
,
776
  31 gia đình.
2
 60


Như vậy cần phỏng vấn thêm 31 – 5 = 26 gia đình nữa.

IV. ƢỚC LƢỢNG KỲ VỌNG TỐN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI
A(P)

Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên X phân phối A(P), với E(X) = p và
V(X) = P.(1-P), trong đó P chưa biết cần phải xác định.
Để xác định P, từ tập hợp tổng quát ta rút ra mẫu ngẫu nhiên kích thước n:
W  X1 , X 2 ,..., X n 

Với n khá lớn ta chọn:
h U 

 f  P

n
~ N (0,1)
f (1  f )

Tiến hành hoàn toàn tương tự bài 4 . Ta có:
a. Nếu 1   2 


2

, khoảng tin cậy đối xứng của P là :

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 14


Trung tâm Đào tạo E-Learning



P f 



b.

f (1  f )
n

f (1  f )

.U   P  f 

n

2


U   1

2 

(14)

Nếu 1   ; 2  0 , khoảng tin cậy bên trái (ULTĐ) của P:

P    P  f 



c.

Cơ hội học tập cho mọi người

f (1  f )
n


U   1  



(15)

Nếu 1  0; 2   , khoảng tin cậy bên phải (ULTT) của P:

P f 



f (1  f )
n


U   P     1  



(16)

* Độ dài khoảng tin cậy ngắn nhất :
I  2 

2 f (1  f )
n

U

(17)

2

* Kích thước mẫu tối thiểu đảm bảo độ tin cậy bằng 1    cho trước và độ dài
khoảng tin cậy không vượt quá giá trị I0 cho trước.
 4 f (1  f ) 2 
n
U 
2
I
0
2 


(18)

Trong đó f là tần suất của mẫu sơ bộ kích thước m  2 .

Thí dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của nhà máy A. Ta thấy có 160 sản
phẩm loại I. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa của nhà máy với độ tin cậy
0,95.

Giải
Gọi P là tỷ lệ sản phẩm loại I của nhà máy.
Bài toán yêu cầu ước lượng tham số P của một biến ngẫu nhiên phân phối theo quy
luật A(P) bằng khoảng tin cậy tối đa..
Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 15


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Công thức cần sử dụng là:

P    P  f 



Theo bài ra, ta có:

f (1  f )
n


U   1  



n  400

m 160
 f  
 0,4
m  160
n 400
1    0,95  U   U 0,05  1,645

Vậy khoảng tin cậy tối đa của P là:


0,4  (1  0,4)
 P  0,4 
 1,645 


400


 P  0,4  0,0403  P  0,4403

Kết luận: Với độ tin cậy 0,95, tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa là: 0,4403%.
V. ƢỚC LƢỢNG PHƢƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN THEO QUY LUẬT
CHUẨN
Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối theo quy luật chuẩn





N  ,  2 , nhưng  2 = V(X) là độ phân tán của X chưa biết cần ước lượng.

Để ước lượng  2 từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n:
W  X1 , X 2 ,..., X n 

Từ mẫu ta xác định được tham số đặc trưng mẫu của mẫu. Để chọn thống kê G ta
xét 2 trường hợp :
V.1. Đã biết kỳvọng toán  của biến ngẫu nhiên X
Chọn :

G  2 

nS *2

2

(19)

Thống kê  2 phân phối theo quy luật chuẩn với n bậc tự do :  2 (n) .

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 16


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Do đó với độ tin cậy 1    cho trước ta có thể tìm được cặp giá trị 1 &  2 sao cho
1   2   .

Cuối cùng ta có:
 nS *2
nS *2 
P 2
2  2
 1
   ( n)


(
n
)
1


1
 2


(20)

Với độ tin cậy 1    cho trước, khoảng tin cậy của  2 có dạng:
 nS *2
nS *2 

;
  2 (n)  12 (n) 
1
 2



(21)

Ta có các khoảng tin cậy sau:
a. Nếu 1   2 


2

,ta có khoảng tin cậy hai phía:



2 
 nS *2
nS
*
P 2
2  2
  1

(
n
)
  ( n) 
 
1
2
 2



(22)

Cần chú ý là khoảng tin cậy này không đối xứng.
b. Nếu 1   ; 2  0 , khoảng tin cậy bên phải của  2

nS *2 
  1
P 0   2  2
1 (n) 


(23)

c. Nếu 1  0; 2   , khoảng tin cậy bên trái của  2
 nS *2

P 2
  2     1  
   ( n)


(24)

V.2. Chƣa biết kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X
Chọn thống kê :
G  2 
Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

n  1S 2
2
Trang 17


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Thống kê  2 phân phối theo quy luật  2 với ( n – 1 ) bậc tự do, ta tìm được cặp giá
trị 1 &  2 để sao cho 1   2   .
 (n  1) S 2
(n  1) S 2 
P 2
2  2
 1
   (n  1)


(
n

1
)
11
 2


Từ đó ta có:

a. Nếu 1   2 


2

, ta có khoảng tin cậy hai phía của  2



 (n  1) S 2
(n  1) S 2 
2
P 2
  2
  1
  (n  1) 
   (n  1)
1
2
 2


b.

(26)

Nếu 1   ; 2  0 , khoảng tin cậy bên trái của  2


n  1S 2 

2

  1
P 0    2


(
n

1
)
1



c.

(25)

(27)

Nếu 1  0; 2   , khoảng tin cậy bên phải của  2
 (n  1) S 2

P 2
  2     1  
   (n  1)


(28)

Thí dụ: Hãy ước lượng phương sai của kích thước các chi tiết trên cơ sở các số
liệu mẫu cho trong bảng

Kích thước SP

135

140

145

150

155

Số sản phẩm

4

8

10

5

3

Biết 1   2  0,05 và kích thước chi tiết phân phối theo quy luật chuẩn.

Giải

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 18


Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

Gọi X là kích thước của các chi tiết. Theo giả thiết X ~ N  ,  2  ;   E (X ) là
kích thước trung bình chưa biết,  2  V ( X ) là độ phân tán của X chưa biết cần ước
lượng.
Công thức cần sử dụng là:


 (n  1) S 2
(n  1) S 2 
2
P 2
  2
  1
  (n  1) 
   (n  1)
1
2
 2


Số liệu đã có: n = 30, 1 -  = 0,9

   0,1 


2

 0,05

 2 n  1   02,05 29  42,56

Vậy:

2



2
1



n  1   02,95 29  17,71

2

Qua mẫu cụ thể ta tìm được :
x  144,163
ms  33,48
n

30
ms  .33,48  34,63
n 1
29
 s  5,89
s2 

Vậy khoảng tin cậy của  2 là :
29.34,63 
 29.34,63
2 


17,71 
 42,56



21,98  

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

2

 62,77



Trang 19

Trung tâm Đào tạo E-Learning

Cơ hội học tập cho mọi người

TÓM LƢỢC
1. Phương pháp mẫu cho phép giải quyết bài toán ước lượng tham số như sau:
Từ tổng thể nghiên cứu, rút ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n và dựa vào đó xây
dựng 1 thống kê G dùng để ước lượng  . Thống kê G phải có một số tính chất nào đó,
tối thiểu phải là ước lượng khơng chệch của tham số θ. Có 2 phương pháp thường sử
dụng G để ước lượng  :
- Phương pháp ước lượng điểm và
- Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy.
2. Chương này đề cập tới 3 bài tốn ước lượng cụ thể, đó là: ước lượng giá trị trung
bình của tổng thể, ước lượng giá trị phương sai và ước lượng tỷ lệ cấu thành của tổng
thể.
Chúc Anh/ Chị học tập tốt!

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TỐNG ĐÌNH QUỲ: Giáo trình xác suất thống kê.NXB Giáo dục, 1999
2. NGUYỄN CAO VĂN, TRẦN THÁI NINH: Giáo trình Lý thuyết Xác suất và
Thống kê toán, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội 2002.
3. NGUYỄN THẾ HỆ: Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Viện Đại Học Mở Hà Nội
2011
4. NGUYỄN VĂN HỘ: Xác suất thống kê toán , Viện Đại Học Mở Hà Nội, 2001

Xác suất và thống kê toán học – Bài 5

Trang 20