Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Trờng đại học vinh
Khoa toán

=== ===

lê thị phơng thanh

kỳ vọng của biến ngẫu
nhiên

khóa luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân khoa học toán

Vinh, 2009
= =

LI NểI U
Hm phõn phối của đại lượng ngẫu nhiên X cho ta lượng thông tin tương đối
đầy đủ để khảo sát bản thân X.

1


Tuy nhiên việc biết toàn bộ phân phối của đại lượng ngẫu nhiên nào đó rất
khó gặp trong thực tế. Vì vậy cần phải tìm một số đặc trưng của phân phối để
qua đó có thể nhận biết một số tính chất cần thiết của phân phối. Do vËy c¸c đặc
trng của phân phối cho ta một lợng thông tin nào đó về đại lợng ngẫu nhiên tơng
ứng.
Cỏc c trng thường được sử dụng trong lý thuyết xác suất và thống kê
toán học là kỳ vọng toán học, phương sai, mơment, median,… Trong khố luận
này nghiên cứu về các tính chất của kỳ vọng tốn học. Kho¸ ln gåm hai phần

Phần I: trình bày về các kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày phần II.
Phần II: trình bày nội dung chính của khoá luận.
1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.
2. Trình bày và chứng minh cụ thể một số mệnh đề của kỳ vọng.
Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng và sự góp ý
tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ xác suất thống kê và toán ứng
dụng khoa Toán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo
Nguyễn Văn Quảng, các thầy cô giáo trong khoa toán và bạn bè đà giúp đỡ tác giả
hoàn thành khoá luận này.
Vì năng lực và thời gian hạn hẹp khoá luận này không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong quý thầy, cô giáo và bạn bè góp ý giúp đỡ.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 4 năm 2009
Tác giả

Phần I : KIN THC CHUN B
1.1 Biến ngẫu nhiên
Giả sử (, F) là không gian đo đã cho,
 = [-; +].

1.1.1 Định nghĩa. Hàm thực X = X() xác định trên  lấy giá trị trên  gọi là
hàm F-đo được hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng nếu
2


{: X()  B} = X (B) } = X (B} = X (B) )  F , với mỗi B} = X (B)  B(  ).
(Ở đây B(  ) là  - đại số các tập B} = X (B) orel của trục thực  ).
Thêm vào đó, nếu
X:    = (-, +)
thì X đợc gọi là bin ngu nhiờn.

1.1.2 Định lý. Giả sử X: Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng
a. X là biến ngẫu nhiên.
b. { : X() < x }  F víi mäi x   .
c. { : X()  x } F víi mäi x   .
d. { : a  X()  b} F víi a < b bÊt kú.
1.1.3 Hàm Borel. Hàm : ( n , B( n ))  (  , B (  )) được gọi là hàm Borel, nếu
nó B( n )- đo được, nghĩa là
 (B} = X (B) )  B( n ) với mỗi B} = X (B)  B (  ).
Nhận xét. Từ định nghĩa suy ra, nếu  : n   là hàm liên tục thì  cịng
là hàm B} = X (B) orel. Đặc biệt các hàm
(x, y)  x + y; (x, y)  xy;
(x, y)  x  y = max (x, y); (x, y) 

x  y = min (x, y)

là các hàm B} = X (B) orel 2 biến.
1.1.4 Định lý. Giả sử X1, …, Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (, F
) và  (t1,…, tn) là hàm Borel giá trị thực. Khi đó Y = (X1, …, Xn) cũng là biến
ngẫu nhiên.
Hệ quả Giả sử X, Y l cỏc bin ngu nhiờn cùng xác định trên (, F), a 


Khi ®ã, a ,   Y ,     0 ,   = (-  )  0 ,    

cũng là các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt nếu Y không triệt tiêu thì X/Y là biến ngẫu
nhiên.
1.1.5 Định lý. Giả sử (Xn, n  1) là dãy biến ngẫu nhiên cïng xác định trên (, F)
v

sup , inf

n
n
n
n

n là
 n , inf
 n , lim sup  n , lim inf
hữu hạn trên . Khi đó, sup
n
n
n
n

3


các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt nếu lim  n =  ,  hữu hạn thì  cũng là biến ngẫu
nhiên.
1.1.6 Cấu trúc của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (, F) khi đó,
a) Tồn tại dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đều đến X.
b) Nếu X  0 thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (X ) sao cho X X.
1.1.7 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Giả sử (, F, P) l khụng gian xỏc sut, X : là biến ngẫu nhiên. Khi
đó, hàm tập P : B ( )  
B  P  (  ) = P ( 1 ()) đợc gọi là phân phối xác suất của X .

Tính chất
+/ P là độ đo xác suất trên B ( ).

+/ Nếu Q là độ đo xác suất trên B ( ) thì Q là phân phối xác suất
của một biến ngẫu nhiên X nào đó.
1.1.8 Hàm phân phối xác suất
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (, F, P). Khi đó, hàm số F ( x) P

x , x

đợc gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.

Nhận xét Theo định nghĩa, hàm phân phối của X là thu hẹp của độ đo xác
suất PX trên lớp các khoảng (- ; x), x . Từ đó hàm phân phối F ( x) F ( x) có
các tính chất sau:
+) F(x) đơn điệu: x y F(x) F(y).
+) F(x) liên tục trái, có giới hạn tại mọi điểm.
+) 0 F(x) 1.
F ( x) 0 ; F () : lim F ( x) 1 .
+) F(-):= xlim

x

1.1.9 Các loại biến ngẫu nhiên
a) Biến ngẫu nhiên rời rạc
Một biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một số
hữu hạn hoặc đếm đợc giá trị. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất cả các
giá trị có thể có của nó có thể đợc liệt kê bằng một dÃy hữu hạn hay vô hạn
x1 , x2 ,..., xn ,... Tập tất cả giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X đợc kí hiệu là X(  ).

4

Bảng phân phối Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1 , x2 ,..., xn ,...
với các xác suất tơng ứng là P ( xi )  pi (i 1, 2,..., n,...) . Khi đó bảng phân phối của
X có dạng
X
P




x1

x2

p1

p2

(chú ý

p

i

i

xn
pn

1 )

b) Biến ngẫu nhiên liên tục
Biến ngẫu nhiên X đợc gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu hàm phân phối F(x) của
nó là hàm liên tục và tồn tại hàm số p(x) sao cho
+) p(x)  0.
x

+) F(x) = p(t )dt

 x .



Hàm số p(x) nêu trên đợc gọi là hàm mật độ xác suất của X.
Tính chÊt
b

+) P (a    b) p( x)dx

víi -   a < b  + 

a



+)

p( x)dx 1 .

+) p( x) F ' ( x) tại mọi điểm x mà p(x) liên tục.
1.2 Tớnh c lp
Gi s (, F, P ) là không gian xác suất cố định.
1.2.1 Định nghĩa. Họ hữu hạn {Fi, i  I} là các -đại số con của F được gọi là
độc lập nếu
P( Ai) = P(Ai)

đối với Ai  Fi (iI) bất kỳ

Họ vô hạn {Fi , i  I} các -đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ
con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên { i , i  I} được gọi là độc lập nếu họ các -đại số
sinh bởi chúng {F ( i ), i  I} là độc lập.

5


Họ các biến cố {Ai, i  I}  F được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu
nhiên {   , i  I} là độc lập.
i

1.2.2 Định lý. Giả sử {Ci , i  I} là họ tuỳ ý các lớp con của F có các tính chất
sau
a) Mỗi lớp Ci đóng đối với phép giao.
b) Họ {Ci , i  I} độc lập theo nghĩa đối với J  I hữu hạn bất kỳ và C  C
ta có

( j  J bÊt kú).

P (C) = P (C)

Khi đó, họ {(Ci), i I} cịng độc lp.

Phần II: K VNG của biến ngẫu nhiên
1. nh ngha và các tính chất cơ bản
1.1 Định nghĩa. Giả sử (, F, P) là không gian xác suất, X:    là biến ngẫu
nhiên (bnn).
Kỳ vọng của bnn X là một số, ký hiệu là EX được xác định bởi cơng thức
 =XdP.

Chú ý Kỳ vọng của X có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của biến
ngẫu nhiên X tồn tại nếu tích phân vế phải công thức trên tồn tại.
1.2 Lược đồ xây dựng kỳ vọng
* Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng
n

X=



ai

 i

n

thì EX : =

i 1



aiP(Ai).

i 1

KÝ hiƯu L lµ tập hợp tất cả các biến ngẫu nhiên đơn giản xác định trên (, F, P).
* Nếu X là biến ngẫu nhiên khơng âm thì X là giới hạn của một dãy tăng các
biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn, n  1)
n.2 n

k1 k1
k
  n   n
n
2
 2
k 1 2

 n 

Khi đó
6


  n. (  n) .


EX : = nlim
  EXn.
KÝ hiƯu L+ lµ tập các biến ngẫu nhiên X là giới hạn của dãy tăng các biến ngẫu
nhiên đơn giản khơng âm (Xn).
§Ĩ chøng tỏ định nghĩa EX cho mỗi X L+ bởi công thức trên là đúng đắn ta
chứng minh bổ đề sau:
Bỉ ®Ị. Giả sử 0  XnX, 0  Yn X và (Xn), (Yn)  L . Khi đó
lim EXn = lim EYn.
n
n

Chứng minh
Thật vậy, cố định m. Do tính liên tục của hàm số (x, y)  inf (x,y) nên
lim  inf (Xn, Ym) = inf(X, Ym) = Ym.
n

Từ đó ta có
lim EXn  lim E[inf(Xn, Ym)] = EYm .
n
n
lim EYm.
Cho m   ta có lim
m
n EXn 

Đổi vai trò của (  n ) và ( Ym ) ta cũng có
lim EYn  lim EXm .
n

m



* Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X+ -   .
Trong đó X+ = max ( X, 0)  0,
  = max (   , 0)  0.

Khi đó  : =   -   (nếu có nghĩa).
1.3 Ý nghĩa cđa kú väng
Kỳ vọng của một biÕn ngẫu nhiên là giá trị trung bình theo xác suất của đ¹i
lượng ngẫu nhiên ấy.
Trong trường hợp X nhận c¸c giá trị với xác suất như nhau thì kỳ vọng chính
là trung bình cộng của X.
Đối với hệ cơ học thì kỳ vọng chính là trọng tâm của hệ.
1.4 Ví dụ
1) Lấy A  F, X =   . Khi đó EX = P(A).
7


Thật vậy
Do X =   = 1.   + 0.  
suy ra EX = 1. P(A) + 0. P(  ) = P(A).
2) Tung 2 đồng xu cân đối, đồng chất, gọi X là số mặt sấp xuất hiện. Tính EX.
Giải Ta có
 = {(S, S), (N, N), (S, N), (N, S)}.
X:    xác định bởi
X(S,S) = 2;

X(N,S) = 1;

X(S,N) = 1;

X(N,N)= 0;

suy ra EX =XdP = 0. P ((N,N)) + 1.P((S,N) ;(N,S)) + 2.P ((S,S))
= 1.

1
1
+ 2. = 1.
2
4

3) Cho  0 ,   1 . T×m  [max( , 0 )];  [min( , 0 )].
Giải
Đặt = max( , 0 ),
  = max(  , 0 ) =  min( , 0 ),
suy ra   =  [max( , 0 )],
  =  [  min( , 0 )] =   [min( , 0 )], suy ra  [min( , 0 )]=    .
Ta cã    0,    0 vµ       ;       .
Suy ra  (      )      ,
  (      )      .
     0

Mµ  0,   1 suy ra 
suy ra
      1

1

2

VËy  [max( , 0 )]= ,  [min( , 0 )] = 

  1
  2

   1

2

1
.
2

1.5 Tính chất
1) E(.) là phiếm hàm tuyến tính trên L.
2) NÕu X  0 thì EX  0.
3) NÕu X  Y thì EX  EY. Do đó     .
Chøng minh
NÕu    hoặc Y thì bất đẳng thức đầu hiển nhiên. NÕu     th×
    . Do  Y nªn   Y  ,   Y  . Tõ ®ã Y   Y . Tơng tự đối

8


với Y . Bất đẳng thức   suy tõ      vµ tính đơn điệu của
kỳ vọng.
4) Nu Xn X ( tng ứng XnX ) thì EXn EX (tương ứng EXn  EX).
Chứng minh

* Trong L10 :
Giả sử Xn  0.
Đặt C = max
X1(). Khi đó, với mọi  > 0, 0  Xn  C.I[  n >  ] + .

Do đó, 0  EXn  C. P[Xn > ] + .
Cho n   với lưu ý [Xn > ]  , ta có 0  lim
n EXn  .
Vậy lim
n EXn = 0 (vì  nhỏ tuỳ ý).
Do trên, nếu XnX ( tương ứng ) thì X-Xn  0 (tương ứng Xn-X  0) và
EX - E  n = E(X-Xn)  0 (tương ứng EXn - EX  0).



* Trong L+ :
V× Xn  L+ nên có 1 dãy (  mn ) m1  L không âm, tăng theo m và
lim  X (nm ) = Xn , (n1).
m

Đặt Ym =

sup X ( m ) ,
n m

n

m  1. Ta có,

 (nm )  Ym = sup

X (nm )  sup
X (nm 1)  nsup
X (nm 1) = Ym+1  nsup
Xn =
n m
n m
m 1
m 1

Xm+1, n  m.
Vậy X (nm )  Ym  Xm , Ym  Ym+1, n  m,
E(X (nm ) )  E(Ym)  E(Xm), E(Ym)  E(Ym+1), n  m.
Cho m  , sau đó cho n   ta có
lim  Ym
X = lim
n  Xn =
m
lim
và lim
n  EXn = m  EYm = EX

* Đối với biến ngẫu nhiên bÊt kỳ, ta biểu diễn dưới dạng
Xn = Xn+- Xn- với Xn+, Xn-  L+
9




5) Nếu X = C (hằng số) thì EX = C.
6) Nếu tồn tại EX thì với mọi C  R ta có E(CX) = C. EX.

Chứng minh
Nếu C 0 và  0 thì tồn tại (  n )  L,
 n = C .
(C  n ) = C lim
0  n   suy ra 0  C n  C và (C ) = lim
n
n

Với X bất kỳ nửa khả tích, chẳng hạn     và C 0 , ta có:
(C )  = C   khả tích và (C )  = C   .

Khi đó  ( C ) = C   - C   = C .
Tương tự với C  0 ta cũng có
(C  ) = ( C   ) – ( C   ) = C .

7) NÕu  , Y khả tích thì (   Y ) cũng khả tích vµ (   Y )   Y .
Chứng minh
Đầu tiên ta giả thiết  và Y 0 .
Khi đó có 2 dãy (  n ), ( Yn )  L sao cho 0  n   , 0 Yn  Y .
Do đó ta có 0  n  Yn    Y vµ (  n  Yn )  (   Y ) ,
(  n  Yn )  n  Yn    Y .

Từ đó suy ra (   Y )   Y .
Xét trường hợp tổng quát, từ bất đẳng thức
 Y    Y ,

suy ra Z   Y cịng khả tích và chú ý rằng
 = Z  - Z  = (   Y )  - (   Y )  =    Y  - (    Y  ),

nên

Z  + (    Y  ) = Z  + (    Y  ).

Từ đó và điều vừa chứng minh ta có
Z  +   + Y  = Z  +    Y  ,

chuyển vÕ với lưu ý Z  ,   , Y  khả tích nên ta có Z   Y .

10




8)

x p
i

i

i

nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2,... víi P (   xi )  pi .

EX=


x. p( x).dx

nếu X liên tục có hàm mật ®é p(x).



Tổng quát.
Nếu f :    là hàm đo được và Y = f(X) thì

 f (x ) p
i

EY =

i

i

nếu X rời rạc nhận các giá trị x1, x2,…víi P (   xi )  pi



f ( x) p( x)dx

nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).



9) Định lý P. Levi về hội tụ đơn điệu
Nếu  n   (tương ứng  n   ) và tồn tại n để  n < ( tương ứng  n
< )
thì  n   ( tương ứng  n   ).
Chứng minh

Giả sử  n   và  no < 
Khi đó, với n n0 ta có  n   no ,     no , do đó  n ( n n0 ) và nửa
khả tích.
Mt khỏc 0  Xn +  no   +  no với n0  n  ,
và theo tính chất (4) ta có
 n +  no   +  no , n   hay  n   .



Trường hợp Xn  X ta chứng minh tương tự.
10) Bổ đề Fatou
Giả sử Y , X 1 , , X n là dãy c¸c biến ngẫu nhiên.
a) Nếu  n Y , n  1 và Y > - thì  lim  n 
11

lim

 n ..


b) Nếu X n  Y, n  1 và Y <  thì

lim

 n

  lim  n .

c) Nếu  n  Y , n  1 và Y < thì  lim  n 
lim

lim

 n  lim  n  

n .

Chứng minh
a) Ta có

lim

inf
 m )   Y  < + (vì Y > -).
 ( inf
Xn = lim
n  mn Xm và
mn

Từ đó và khẳng định (9) ta có
(

lim

 ( inf
Xn) = lim
n
mn Xm) 

lim

EXn..



b) Chứng minh tương tự.
c) Là hệ quả của a, b.
11) Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn
Giả sử Y , X 1 , , X n là dãy c¸c biến ngẫu nhiên sao cho  n Y , n  1
và Y < . Khi đó nếu  n   thì  khả tích và E  n    0.
Chứng minh
Đặt Z n   n   .
Rõ ràng, vì   Y nên X khả tích và 0  Z n  2Y .
Áp dụng bổ đề Fatou với lưu ý Z n  0, ta có
0 =  lim Z n 

lim

Z n  lim Z n   lim Z n = 0

Z n = 0 hay   n    0.
Vậy lim
n



Nhận xét. Từ bất đẳng thức  n      n   suy ra, nếu   n    0
thì  n   .
12) Nếu X= 0 (h.c.c) th× EX = 0.
Chứng minh

Giả sử  0 , khi đó có (  n )  L10 : 0  n   .
mn

Giả sử Xn =  xk( n )  ,
k 1

n
k

12


do 0  n  và  0 (h.c.c), từ đó nếu P( nk ) > 0 thì xk( n ) = 0 và do đó
 n 0 với mọi n và  0 . Nếu X bất kỳ thì       .

Do  =      nên   0 (h.c.c).
Theo trên     0 suy ra  0 .



13) Nếu X  0 và EX = 0 thì X = 0 (h.c.c).
Chứng minh
Ta có 0 

 

1
  n 



 suy ra

1


0  .P         1n   X = 0.




n

1

Do đó, P     = 0 với n = 1, 2, …
n



Từ đó, P[ X > 0] = P(


n 1

1

   n  ) 



 P[ 



n 1

1
] = 0.
n

hay X = 0 (h.c.c).



14) Nếu X = Y (h.c.c), X khả tích thì EX = EY.
Chứng minh
Giả sử X khả tích, X = Y (h.c.c).
Khi đó Z = Y – X = 0 (h.c.c),
suy ra Z khả tích và Y = X + Z cịng khả tích.
Từ đó EY = EX + EZ = EX,



15) Bất đẳng thức Markov
Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó, nếu  EX
thì với mọi a > 0 ta có: P [X  a]  EX.
Chứng minh
EX =XdP =XdP +XdP (do X  0) XdP  adP = a.P[Xa].
Do ®ã P[Xa]  EX.

Tính chất này kéo theo P[  a]  E  ,
Tổng quát:

P(   a) 

1
k

k . E
a

13

a>0.
a>0, k >0.


k

P(   a) = P(   a k ).
16) Bất đẳng thức Jensen

 :    là hàm lồi dưới, X và (X) là các biến ngẫu nhiên khả tích.
Khi đó, E(X)  (EX).

.

Chứng minh
Do  là hàm lồi nên nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại mọi điểm. Ngoài
ra x, xo   ,

(x)  (xo) + ’(xo) (x – xo).
Thay x bởi X, xobởi EX vào bất đẳng thức trên, sau đó lấy kỳ vọng 2 vế ta
được E((X))  (EX) + ’(EX) (E(X – EX)) = (EX) ( h.c.c).



2. Các mệnh đề
2.1 MƯnh ®Ị. Giả sử X1,…, Xn là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn. Khi
®ã,
Emax {X1,…,Xn}  max {EX1,…, EXn} và
Emin{X1,…,Xn}  min {EX1,…, EXn}.
Chứng minh
+) Đặt Y = max {X1, X2,…, Xn}.
Ta cã

Y  X1, Y  X2,…, Y  Xn,

suy ra EY  EX1, EY  EX2, …, EY  EXn , do ®ã EY  max {EX1, …,
EXn}.
Hay Emax {X1,…, Xn}  max {EX1,…, EXn}
+) Tương tự đặt Z = min {X1, X2,…, Xn}.
Ta cã Z  X1, X  X2, …, X  Xn, suy ra EZ  EX1,…, EZ  EXn ,
do ®ã EZ  min {X1, X2,…, Xn} hay Emin{X1,…,Xn}  min {EX1,…,
EXn}.
2.2 MƯnh ®Ị. Giả sử  

p

<  (p > 0 nào đó). Khi đó,

lim t p P [  > t] = 0.
t 

14




Chứng minh
Ta có



p

p

p

p

=  dP =  dP +  dP.

p
p
p
Suy ra  >     dP + t p dP =  dP + t p P [  > t ].
p

p

Cho t thì  dP    .
p

p

     + lim t p P( > t)

Do đó

Điều này kéo theo lim
tP.P (  > t) = 0 .
t 



2.3 MƯnh ®Ị. Giả sử X1, X2,…, Xn là các biến ngẫu nhiên mơment bậc 0 <  
1.
Khi đó  X1   2  ...   n



  X1  + … +   n .

Chứng minh






Ta áp dụng bất đẳng thức a  b  a + b ,

với 0 <   1.

LÊy kú väng hai vÕ ta cã
 a b

suy ra

 a b















 ( a  b )  a   b ,

0<1



  a  b ,

0 <   1.

Do đó, nÕu X1, X2,…, Xn là các biến ngẫu nhiên mômen bậc 0 <   1 th×






 X1   2  X1   X 2 ,




 X1   2   3  X1   2   X 3














  X1   X 2   X 3 ,


suy ra  X1   2   3   X1   X 2   X 3 .
…
 X1   2   3 ... n







2.4 Mệnh đề. Giả sử X lµ biÕn ngẫu nhiên bất kỳ.
Khi đó,   <  



 P {   n} < .
n 1

Chứng minh
Giả sử   <  khi đó,
 =

X

dP =

X

dP +



  X1   X 2  ...   X n .

X

dP +

X

15

dP +…




 0 + 1. P {1 

< 2} + 2P{2 

X



=  m .P {m 

< m + 1} = 

m 1

P {m 



n 1


X

n 1



nE

Ngược lại, giả sử  P {

X

dP +

X

< m + 1}

 n}.

<.

 n}  .

X

n 1

X

X

n 1



Khi đó,   =

P {m 

n1

< m + 1} =  P {

X

m n

Do đó  P {



m 1





= 

m



X

< 3} +…

X

X

dP +

dP + …

X

< 1.P {0   < 1} + 2. P {1   < 2} + 3.P {2   < 3} +
…


=  (m+1) P {m   < m + 1} < .
m 0


Vậy   <    P (

X

n 1

n) < .



2.5 Mệnh đề. Giả sử X l biến ngẫu nhiên chỉ nhận giá trị nguyên, không âm, có


kỳ vọng hữu hạn. Khi đó, EX =  P (X  n).
n 1

Chứng minh


Đặt S ' =  P (X  n).

n 1


EX =  n. P (X = n)
n 1

= S.
n

Khi đó Sn =



k. P (X = k)  Sn, =

k 1

n

P (X  k)


k 1

n

=





k. P (X = k) +



n.P (X=k)

k n 1

k 1



= Sn +



n.P (X=k).

k n 1

Suy ra

S = S' .


16

2.6 MƯnh ®Ị. Giả sử 1 , ,  n là dãy c¸c biÕn ngẫu nhiên khơng âm. Khi đó,






hội tụ hầu chắc chắn th× (  n ) =

nếu chuỗi   n
n 1

n 1

 

n

.

n 1

Chứng minh
n

Đặt Sn =



k

.

k 1

Khi đó dãy { Sn } thoả mãn điều kiện của định lý hội tụ đơn điệu nên ta có
S n  S .
n

n





 (  k )  (  n )    k  (  n )
k 1

 nlim


n 1

n

n 1



Y

k

k 1

k 1

= (  n ) với Yk  k
n 1





  Yn = (  n ) .
n 1

n 1



hay



(  n ) =
n 1

 

n

.



n 1

2.7 MƯnh ®Ị. Giả sử X là biÕn ngẫu nhiên dương, khơng suy biến, có kỳ vọng
hữu hạn. Khi đó,

1


1

 
   .
 

Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
1 
1
1   .       ,
 
 

suy ra

1


1
.





Mở rộng. X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, nhận các giá trị dơng. Khi
k

®ã, víi mäi k 0 ta cã

 k

   k .
Y
Y 

Chøng minh
17


Theo mệnh đề trên có

k
k
1

k
1
k
k
( k )  .  k   . k  k .
Y k
Y
Y
Y
Y 
k

 k

   k .
Y
Y 

Do ®ã



2.8 MƯnh ®Ị. Giả sử 1 , ,  n là các biÕn ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn,
Yk 1   2  ...   k , (k = 1, 2, …, n).
n

Yk > ) 
Khi đó, với mọi  > 0 ta có P ( max
1k n

 

k

k 1

.



Chứng minh
Yk > ) = P({ Y1 > } …  { Yn > })
Ta có P ( max
1k n

= P({ 1 > } …  { 1  ...   n > })
 P( 1  ...   n > ).
Từ đó áp dụng bất đẳng thức Markov ta nhận được
( 1  ...   n )
 1  ...    n
=



P ( max
> ) 
1k n
n

P ( max

> ) 
1k n

hay

 
k 1

k

.





2.9 MƯnh ®Ị. Giả sử X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị
nguyên, khơng âm và EXi < . Khi đó,


Emin {X1, X2,…, Xn} =  P(X1  i). P(X2  i)… P(Xn  i).
i 1

Chứng minh
Trước hết ta nhận xét rằng theo mƯnh ®Ị (2.5) nếu X là biến ngẫu nhiên nhận


giá trị ngun, khơng âm thì EX =  P(X  i).
i 1



Suy ra Emin {X1, X2,…, Xn} =  P (min{X1, X2,…, Xn}  i)
i 1

18




=  P(X1  i, X2  i,…, Xn  i)
i 1


=  P(X1  i) P(X2  i)…P(Xn i).
i 1



2.10 Mệnh đề Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó,
( Y ) .Y .

Tổng quát
Giả sử X1, X2,, Xn l cỏc biến ngu nhiờn độc lập. Khi ®ã,
E (X1. X2…. Xn) = EX1. EX2…. EXn .
Chứng minh
+) NÕu X, Y lµ hai biÕn ngÉu nhiên rời rạc
() x1 , x2 ,..., xn ... ; Y ()  y1 , y2 ,..., ym ,... .

Khi đó Z .Y là đại lợng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị zij = xi y j với các

xác suất tơng ứng là pij = P (   xi ; Y  y j ) P (  xi ) P (Y  y j ) = pi q j ( vì X, Y là hai
biến ngẫu nhiên độc lập ), ( i 1, 2,..., n,...; j 1, 2,..., m,...) .
Suy ra Z   xi y j pij  xi y j pi q j   xi pi  y j q j .Y .
i

j

i

j

i

j

+) , Y là hai biến ngẫu nhiên không âm, khi đó , Y là giới hạn của các
dÃy các biến ngẫu nhiên đơn giản ( n , n 1);(Yn , n 1) ,
n.2 n

k1 k1
k
  n   n
n
2
 2
k 1 2

 n 



  n. (  n) .


n.2n

k1 k1
k 
  n Y  n   n.(Y n) .
n
2 
 2
k 1 2

Yn 

DƠ thÊy, víi mäi n ta cã  n và Yn độc lập. Do đó,
Y (lim n lim Yn ) (lim  nYn ) lim  nYn
n 

n 

n 

n 

lim  n Yn lim  n lim Yn Y .
n 

n 

n 

+)  , Y lµ biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó,
  ; Y Y   Y  .
XÐt thấy các biến ngẫu nhiên không âm
nhiên không âm

Y , Y

,

, ta đợc
Y (     )(Y   Y  )

19

độc lập đối với các biến ngẫu


   Y    Y     Y     Y  
  Y    Y     Y     Y  
(      )(Y   Y  ) Y .

Bây giờ giả sử ( i )i 1,n là họ độc lập, khi đó (1 ) và (  k , 2 k n) ®éc lËp.
Suy ra 1 và 2 . 3 ... n độc lập, do ®ã
( 1. 2 ... n ) 1.(  2 ... n ) .

L¹i cã  ( 1 2 ) và ( k ,3 k n) độc lập. Suy ra  2 vµ  3 . 4 ... n ®éc lËp, do ®ã
(  2 . 3 ... n )  2 .(  3 ... n ) .

Tiếp tục quá trình trên sau hữu hạn bớc ta sẽ đợc
E (X1. X2. Xn) = EX1. EX2. EXn .



2.11 MƯnh ®Ị Giả sử X là biến ngẫu nhiên khơng õm, cú k vng hu hn, F(x)
là hàm phân phối cđa X. Khi đó
EX = [1- F(x)]dx.
Chứng minh
Ta có

EX = XdP
= dx dP
= I(X x)dx dP
= (I(X x)dx) dP
= I(X x)dP dx.
= P(X x)dx

(đổi thứ tự tích phân theo định lý Fubini)

= [1-F(x)]dx.



2.12 Mệnh đề. Gi sử X là bin ngu nhiờn khụng õm, F(x) là hàm phân phối của
X và  <  ( > 0 nào đó). Khi đó,
-1
 = .x . [1- F(x)]dx.

Chứng minh

Gäi F ( x) là hàm phân phối của . Khi đó,
F ( x) = P (   x) P (   x1/ ) F ( x1/ ) .

Sư dơng mƯnh ®Ò (2.11) cho  suy ra
EX = [1- F(x1/)]dx
20