KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH 9 MÔN TOÁN

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HUYỆN BA VÌ

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH 9
NĂM HỌC 2020 - 2021
Thời gian làm bài: 90 phút

Bài I (2 điểm)
2 x
x
3x  3
2 x 2


và B 
 1 với x  0 ; x  9
x 3
x 3 x9
x 3
a) Tính giá trị của biểu thức B với x  3 64
b) Rút gọn biểu thức S  A : B
c) Tìm giá trị của x để biểu thức P  4 S đạt giá trị nguyên.
Bài II (2,5 điểm).
Cho biểu thức: A 

1) Vòng quay Mặt Trời tại khu du lịch Hạ Long – Quảng Ninh nằm trong tốp 10 vòng quay lớn nhất
thế giới và là vịng quay lớn nhất Việt Nam, có đường kính 115 m . Hãy tính chu vi của vòng quay này
( làm tròn đến đơn vị mét).
2) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi xe máy từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h thì xe
đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 4 km / h thì xe đến B muộn hơn dự định 1 giờ.

Tính vận tốc dự định và thời gian dự định của người đó khi đi từ A đến B.
3) Cột cờ tại một trường học cao 6 m . Bóng của cột cờ tại một thời điểm trong ngày in xuống mặt đất
dài 4 m . Tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó.
Bài III ( 2,0 điểm)
4
 3
 x4  y2 7

1) Giải hệ phương trình: 
 5  1 4
 x  4 y  2
2) Cho phương trình x 2  mx  m  1  0
a) Giải phương trìn với m  1
b) Tìm m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.
Bài IV (3,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB , điểm C nằm giữa A và B . Vẽ các đường tròn tâm O, O1 , O2 có đường kính lần
lượt là AB, AC, CB. Đường thẳng vng góc với AB tại C cắt đường trịn tâm O tại D . Các đoạn
thẳng DA , DB cắt đường tròn tâm O1 , O2 lần lượt tại M và N .
1) Chứng minh tứ giác DMCN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh MD.DA  DN .DB
3) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp.
4) Đường thẳng MN cắt đường trịn tâm O tại E và F . Tìm vị trí điểm C để DE , DF lớn nhất.
0  x  1; 2  y  3
Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn 
.
x  y  3
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
.


x 1 y  2

NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>

HƯỚNG DẪN
Bài I (2 điểm)
2 x
x
3x  3
2 x 2
và B 


 1 với x  0 ; x  9
x 3
x 3 x9
x 3
a) Tính giá trị của biểu thức B với x  3 64
b) Rút gọn biểu thức S  A : B
c) Tìm giá trị của x để biểu thức P  4 S đạt giá trị nguyên.
Cho biểu thức: A 

Hướng dẫn
a) Ta có: B 

2 x 2
1

x 3

ĐKXĐ: x  0 ; x  9

Thay x  3 64  4 (thỏa mãn) vào biểu thức B có: B 

2 4 2
2
1 
 1  3
1
4 3

Kết luận: Tại x  3 64 thì giá trị biểu thức B là  3
b) Ta có: A 

A

A

A

2 x

x 3

x
3x  3

x 3 x9

3x  3

2 x
x


x 3
x 3
2

 x  3 x  3
x  x  3  x  x  3   3 x  3
 x  3 x  3

2 x  6 x  x  3 x  3x  3



 x  3
3  x  1
A
 x  3 x  3
Ta có: B 

x 3

2 x 2
2 x 2 x 3
1 


x 3
x 3

Ta có: S  A : B 

3





x 3



x 1



x 3



:

x 1
x 3

x 1


x 3

3





x 3



x 1



x 3



.

x 3

x 1

3
x 3

3
với x  0 ; x  9
x 3
12
c) Ta có: P  4 S 
x 3

Kết luận: S 

12
 4 mà
x 3
Vậy 4  P  0 nên để P nguyên thì P  4; 3; 2; 1

Theo ĐKXĐ là x  0  x  0  x  3  3 

x 3 3 0

12
0
x 3

TH1: P  4  x  3  3  x  0  x  0 (thỏa mãn)
TH2: P  3  x  3  4  x  1  x  1 (thỏa mãn)
TH3: P  2  x  3  6  x  3  x  9 (không thỏa mãn)
TH4: P  1  x  3  12  x  9  x  81 (thỏa mãn)
Kết luận: Các giá trị x thỏa mãn bài là: x  0;1;81
NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>

Bài II (2,5 điểm).
1) Vòng quay Mặt Trời tại khu du lịch Hạ Long – Quảng Ninh nằm trong tốp 10 vòng quay lớn nhất
thế giới và là vòng quay lớn nhất Việt Nam, có đường kính 115 m . Hãy tính chu vi của vịng quay này
( làm trịn đến đơn vị mét).
2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi xe máy từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h thì xe
đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 4 km / h thì xe đến B muộn hơn dự định 1 giờ.
Tính vận tốc dự định và thời gian dự định của người đó khi đi từ A đến B.
3) Cột cờ tại một trường học cao 6 m . Bóng của cột cờ tại một thời điểm trong ngày in xuống mặt đất
dài 4 m . Tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó.
Hướng dẫn
1) Chu vi của vòng quay Mặt Trời là:

 .115  361  m 
2) Gọi vận tốc dự định của người đó khi đi từ A đến B là : x  km / h; x  4 
và thời gian dự định của người đó khi đi từ A đến B là: y (giờ; y  2 )
Quãng đường từ A đến B là xy ( km)
Vì nếu tăng vận tốc thêm 14 km / h thì xe đến B sớm hơn dự định 2 giờ nên ta có phương trình:

 x  14  y  2   xy 1
Vì nếu vận tốc giảm đi 4 km / h thì xe đến B muộn hơn dự định 1 giờ nên ta có phương trình:

 x  4  y  1  xy  2 
Từ 1 và  2  ta có hệ phương trình:
 x  14  y  2   xy
 xy  2 x  14 y  28  xy
 2 x  14 y  28
  x  7 y  14





  x  4  y  1  xy
 xy  x  4 y  4  xy
 x  4y  4
 x  4y  4
 3 y  18
y6



( TMĐK)
 x  4  4.6  28
x  4 y  4
Vậy vận tốc dự định của người đó khi đi từ A đến B là 28 km / h
và thời gian dự định của người đó khi đi từ A đến B là 6 giờ.
3) Gọi góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là  .
6 3
Theo đề bài ta có: tan    .
4 2
   56 018 '
Vậy góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là 56 018 '

Bài III ( 2,0 điểm)
4
 3
 x4  y2 7

3) Giải hệ phương trình: 

 5  1 4
 x  4 y  2
2
4) Cho phương trình x  mx  m  1  0
a) Giải phương trìn với m  1
b) Tìm m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.

NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>

Hướng dẫn
1) Giải hệ phương trình
4
 3
 x4  y2 7


 5  1 4
 x  4 y  2
ĐK: x  4; y  2
1
1
Đặt
 a  0;
 b  0 ta có
y2
x4
3a  4b  7
3a  4b  7

23a  23
a  1



 tm 

5a  b  4
20a  4b  16
b  5a  4
b  1
 1
 x  4  1  x  4  1  x  5



 tm 
 y  1
 y  2  1
 1 1
 y  2
Vậy  x; y    5; 1

2)
a) Với m  1 ta có phương trình :
x  0
x 2  x  0  x  x  1  0  
x  1
Vậy m  1 phương trình có hai nghiệm x  0; x  1.
b) có   m 2  4m  4   m  2 

Để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
2

   0   m  2  0  m  2  0  m  2
2

Vậy với m  2 thì phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Bài IV (3,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB , điểm C nằm giữa A và B . Vẽ các đường tròn tâm O, O1 , O2 có đường kính lần
lượt là AB, AC , CB. Đường thẳng vng góc với AB tại C cắt đường tròn tâm O tại D . Các đoạn
thẳng DA , DB cắt đường tròn tâm O1 , O2 lần lượt tại M và N .
1) Chứng minh tứ giác DMCN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh MD.DA  DN .DB
3) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp.
4) Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm O tại E và F . Tìm vị trí điểm C để DE , DF lớn nhất.
Hướng dẫn
D
1) Chứng minh tứ giác DMCN là hình chữ nhật.
M
  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Đường trịn tâm O có: MDN

  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Đường trịn tâm O1 có: AMC
  90 (kề bù với 
 CMD
AMC )
  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Đường trịn tâm O2 có: BNC
  90 (kề bù với BNC

)
 CND

N
A

O1

O C

O2

  CMD
  CND
  90  DMCN là hình chữ nhật.
Xét tứ giác DMCN có: MDN
2) Chứng minh MD.DA  DN .DB
ACD vng tại C (vì DC  AB (giả thiết)) có đường cao CM .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có: CD 2  MD.DA
(1)
BCD vng tại C (vì DC  AB (giả thiết)) có đường cao CN .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có: CD 2  DN .DB
(2)
NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>
B


Từ (1) và (2)  MD.DA  DN .DB .

3. Theo chứng minh ý 2 có: MD.DA  DN .DB 

DM DN

.
DB DA

 chung
D

  DBA

Xét DMN và DBA có:  DM DN  DMN ∽ DBA  DMN


 DB DA
  tứ giác AMNB nội tiếp (góc trong bằng góc ngồi đỉnh đối).
Xét tứ giác AMNB có 
ABN  DMN
4.
* Chứng minh: EF  OD
  DBA
.
Theo chứng minh câu 3. Có DMN

1
ABD  
ADx  sdAD
Kẻ tiếp tuyến Dx của đường trịn  O  . Có 

2

 DMN
ADx  Dx // MN  Dx // EF  OD  EF  DE  DF (Quan hệ đường kính và dây
cung)
* Chứng minh DF  OF .
Xét DHI vuông tại I  DI  DH
DC
DO
 DI  OI  FD  FO hay FD  R .
Mà DH 
, DC  DO  DI 
2
2
Dấu "  " xảy ra khi DI  DH  H  I  C  O .
Vậy khi C  O thì DE , DF đạt độ dài lớn nhất.
Bài 5 (0,5 điểm)
0  x  1; 2  y  3
Cho các số thực x, y thỏa mãn 
.
x  y  3
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

.
x 1 y  2
Hướng dẫn
Cách 1:
Do x  y  3  y  3  x .

Ta có:
1
1
1
1
1
1
5  x  x 1
6
P






 2
x  1 y  2 x  1 3  x  2 x  1 5  x  x  1 5  x   x  4 x  5
NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI

/>



6
6

2
 x  2 x  1  2 x  2  8   x  1  2  x  1  8
2

Vì 0  x  1  x  1  0  2  x  1  0 mà   x  1  0    x  1  2  x  1  8  8
2

P

2

6 3
 .
8 4

x  1
Dấu “=” xảy ra  
(thỏa mãn).
y  2
x  1
3
Vậy Pmin   
.
4
y  2
Cách 2:
Do 0  x  1; 2  y  3 nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

1
x 1
1 x 1

2

.
1
x 1
4
x 1 4
1
y2
1 y2 1

2
.

y  2 16
y  2 16
2
Từ (1); (2)  P 

(1)
(2)

1
1
1  x 1 y  2  3 1
3 3

 1  

    4 x  4  y  2     x  3
x 1 y  2
2  4

16  2 16
2 16

3 3
3
 .4  (do x  1  x  3  4 )
2 16
4
x  1
Dấu “=” xảy ra  
(thỏa mãn).
y  2
x  1
3
Vậy Pmin   
.
4
y  2
P

---HẾT---

NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>

NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>

NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI

/>