ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MÔN TOÁN LỚP 8

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TOÁN LỚP 8 (2000 – 2001)
Thời gian: 120 phút




Câu 1. Cho M  1 

a   1
2a

 3
:

2
a 1   a 1 a  a  a 1 
2

a) Rút gọn M và tìm M biết 2a  1  1.
b) Tìm a  Z để M  Z .
c) Tìm a để M  7 ; Tìm a để M  0.
Câu 2. Tìm x :
a) x4  4x2  12x  9  0.

b) x3  x2  4  0

c.  2 x  1 x  1  2 x  3  18.
2

Câu 3. Xác định các hằng số a, b sao cho:  x4  7 x3  4 x2  ax  b  chia hết cho  x 2  4 x  3 với

a, b  Q.
Câu 4. Cho ABC vng góc tại đỉnh A . Đường cao AH , dựng về phía ngồi tam giác các hình vng

ABMN , ACIK. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm M , A, I thẳng hàng.
b) Tứ giác CKNB là hình thang cân.
c) AH đi qua trung điểm D của NK và các đường thẳng AH , IK , MN cắt nhau tại một điểm E.
d) Ba đường thẳng AH , CM , BI đồng quy và AN 2  NK 2  AK 2 .
Câu 5.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 

6x  2
.
3x3  1

b) Cho tứ giác lồi ABCD , E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC , AD;

G  AE  BF , H  CF  DE. Chứng minh rằng: S EGFH  S AGB  S DHC .
Nếu M và N nằm trên hai cạnh cịn lại của tứ giác sao cho MENF là hình chữ nhật. Chứng minh
rằng: S MENF 

1
S ABCD .
2
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2001 – 2002)
Thời gian: 120 phút




1
3 y  x2  2
2   x2  y 2
 2

 1 .
: 2
2
2
y  4x
2x  y   4x  y
 2x  y


Câu 1. Cho biểu thức: A  
a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A biết x  1  2; y  2001

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Chứng minh A  0.
Câu 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
b) a2  2ab  1  2b  2a  3b2 .

a) x4  x3  2 x2  x  1

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2 x  5 x  4 .
2

Câu 4. Cho hình vng ABCD , M là trung điểm AB. Gọi N là giao điểm của DM và CB.
a) Chứng minh tứ giác ANBD là hình bình hành.
b) Kẻ tia C x song song với DN , C x cắt AB tại P. Chứng minh tứ giác MNPC là hình thoi.
c) Tứ giác DNPC có phải là hình thang khơng? Có phải là hình thang cân khơng? Vì sao?
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác NDC. Chứng minh SGDC  SGNC  SGDN .
Câu 5.
a) Chứng minh rằng: nếu

1 1 1
1
1 1
   2 và a  b  c  abc thì 2  2  2  1 với (a, b, c  0 và
a b c
a b c

a  b  c  0).
b) Cho tứ giác ABCD , các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F và G theo thứ tự là
trung điểm của các đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng: S EFG 

1
S ABCD .
4

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2003 – 2004)
Thời gian: 120 phút

 2 x 2 x
4x2   2
x3 

 2

:
.
 2  x 2  x x  4   2  x 2x  x2 

Câu 1. Cho biểu thức B  
a) Rút gọn B.

b) Tìm x để B  0.

Câu 2. Tìm đa thức P  x  biết:
a) P  x  chia cho đa thức  x  4 thì dư là 2.
b) P  x  chia cho đa thức  x  7  thì dư là 5.
c) P  x  chia cho đa thức  x2  3x  28 thì được thương là 3x và cịn dư.
Câu 3. Cho hình vng ABCD , một điểm E bất kì trên cạnh BC . Tia AK  AE cắt cạnh CD kéo dài
tại F . Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K . Đường thẳng qua E
và song song với AB cắt AI tại G.
a) Tam giác AEF là tam giác gì?
b) Tứ giác EGFK là hình gì?
c) Chứng minh B, I , D thẳng hàng.

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

d) Cho AB  a, tính chu vi tam giác.
e) Chứng minh diện tích tam giác AKE 

1 2
a .
2

f) Dựng hình bình hành AEPF , chứng minh đỉnh P ln chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

1

1

x  2003
 x  2004 2

1

1

1

Câu 5. Cho thỏa mãn x     y     z     2 và x3  y3  z 3  1.
x z x y
 y z
Tính P 

1 1 1
  .
x y z
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2004 – 2005)
Thời gian: 120 phút

2  x2
x2  y 2
y2 
x y

 2
.
Câu 1. Cho biểu thức M    2
. 2
x  x  xy
xy
y  xy  x  xy  y 2
2
2
a) Chứng minh rằng: x  xy  y  0 x, y  0.

b) Chứng minh rằng: M 

x y
.
xy

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình M  1.

Câu 2.
a) Phân tích thành nhân tử: A  x 2  y 2  3x  3 y  2 xy  10.
b) Chứng minh rằng:  x  y  z   x 3  y 3  z 3  3  x  y  y  z   z  x  .
3

Áp dụng: cho x  y  z  1 và x3  y3  z 3  1. Tính B  x2005  y 2005  z 2005.

x4  x2  1
c) Cho x  4 x  1  0. Tính x 
.
x2
2

4
3
2
d) Tìm x : 15 x  8 x  14 x  8 x  15  0.

Câu 3. Tìm các hệ số a, b, c để f  x   ax3  bx 2  c chia hết cho  x  2 còn khi chia cho  x 2  1 thì
dư là  x  5 .
Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm P bất kì trên đường
chéo BD ( P nằm giữa O và D ). Gọi M là điểm đối xứng của C qua P .
a) Chứng minh tứ giác AMDB là hình thang. Xác định vị trí điểm P trên BD để AMDB là hình
thang cân.
b) Kẻ ME  AD, MF  BA . Chứng minh rằng EF //AC và ba điểm E, F , P thẳng hàng.

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Trên cạnh AB lấy điểm X , trên cạnh DC lấy điểm J sao cho AX  CJ . N là điểm tùy ý trên

cạnh AD . Gọi G, H thứ tự là giao điểm của XJ với NB, NC . Tính diện tích tứ giác AXJD theo

S ABCD  S . Chứng minh rằng: S AXDH  S AHJD  SGBCH .
d) Gọi K là điểm trên cạnh AB sao cho góc ADK  15 và AB  2BC. Chứng minh rằng:

CDK cân.
Câu 5. a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A 

16 x  16
.
12 x 2  3

2
2
2
b) Cho ba số a, b, c  0 . Chứng minh rằng nếu ta có  a  b  c   a  b  c thì:
2

a2
b2
c2
bc
ca
ab
 2
 2
 1 và 2
 2
 2
 1.

2
a  2bc b  2ca c  2ab
a  2bc b  2ac c  2ab
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2005-2006)
Thời gian: 120 phút
Bài 1.

 2  x 4x2
2  x  x 2  3x
 2

Cho biểu thức A  
: 2 3
 2  x x  4 2  x  2x  x
a) Chứng tỏ rằng A 

4x2
tại các giá trị thích hợp của biến.
x 3

b) Tính giá trị A khi 2 x  3  x  5
Bài 2.

Phân tích đa thức thành nhân tử
a)  a 3  27    3  a  6a  9 
b)  x  a   4a 4
4

c)  x  1 x  2  x  3 x  4   120

Câu 3.

Cho f  x   x3  ax 2  2 x  b; g  x   x 2  x  1 .
a) Tìm a, b sao cho f  x  g  x  .
b) Với a  b  2 . Tìm x  * sao cho f  x  g  x  .

Câu 4.

Cho tam giác ABC , vuông tại A . Đường thẳng d quay quanh A khơng cắt cạnh BC . Kẻ BI ,

CK vng góc với d

 I , K  d  . Gọi

E , M , D lần lượt là trung điểm AB , BC , CA .

a) Tứ giác AEMD là hình gì ? Tại sao ?
b) G  tia đối CK sao cho: CG  BI . Chứng minh rằng I , M , G thẳng hàng. Và MI  MG .
c) MK giao tia IB tại H . Tứ giác IKGH là hình gì ?
d) - Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác IKGH là hình vuông.
- Khi tam giác ABC cố định xác định d sao cho chu vi tứ giác IKGH lớn nhất.

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Câu 5.

Cần ít nhất bao nhiêu quả cân và một cái cân đĩa để có thể cân được những khối lượng có giá trị
là số nguyên từ 1 đến số 13.
---- HẾT ---ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

MƠN TỐN LỚP 8 (2006-2007)
Thời gian: 120 phút

Bài1.

2

x  4   12

x2
1  x3  2 x 2  2 x  4


Cho biểu thức: A  
…..
:
2
x3  8
x  2  x3  2 x 2  2 x  4
 6 x   x  2 


a) Tìm các giá trị thích hợp của biến làm cho biểu thức có nghĩa. Sau đó rút gọn A .
b) Tính giá trị của A nếu x 
Bài2.

2
.
3

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)  a 3  8    2  a  4a  5  .
b)  a 2  4  a 2  6a  5   45 .
c) 4 x 2 y 2  2 x  y   y 2 z 2  z  y   4 x 2 z 2  2 x  z  .

Bài3.

a) Tìm a và b để đa thức x 4  3x 2  ax  b chia hết cho đa thức x 2  3x  4 .
b) Tìm tất cả các số nguyên x để x 2  5 chia hết cho  x  2  .

Bài4.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  AC và đường cao AH . Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD  HA , vẽ hình vng AHDE .
a) CMR: Điểm D thuộc đoạn thẳng HC . Gọi F  DE  AC . CMR: AHB  AEF .
b) Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại điểm

G . Tứ giác ABGF là hình gì?
c) CMR: AG, BF , HE đồng quy.
d) CMR: tứ giác DEHG là hình thang.
Nếu cho độ dài AB  5cm, AH  4cm . Hãy tính diện tích hình thang DEHG .
Bài5.

(Dành cho lớp 8C)
a) Cho a  b  c  0 . Đặt P 

a b bc c  a
c
a
b



;Q


c
a
b
a b b c c a

CMR: P.Q  9 .
b) CMR số N 
Biểu điểm

x5 x 4 7 x3 5 x 2 x
 

 luôn luôn là một số tự nhiên với mọi số tự nhiên x .
120 12 24 12 5

2  2,5  1,5  4 (Với lớp 8C là 2  2  1  4  1 )

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TOÁN LỚP 8 (2007 – 2008)
Thời gian: 120 phút

 x2  2 x

 1 1 
2x2

. 1    .

 2 x3  8 8  4 x  2 x 2  x3   x x 2 

Câu 1. Cho biểu thức M  

a) Tìm điều kiện của x để

M có nghĩa sau đó rút gọn biểu thức M .

b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho

M nguyên.

Câu 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)

A  2 x3  3x 2  2 x.

b)

c) C   x  x  5  x  x  7   1.
2

2

B  x3  19 x  30.

d) D   a  b  1   a  b  1  4  a  b  .
2

3

Câu 3. Cho hình thoi ABCD. Đường chéo AC khơng nhỏ hơn đường chéo BD.
trên AC. Đường thẳng qua

2

M là một điểm tùy ý

M song song với AB cắt AD tại E, cắt BC tại G. Đường thẳng qua

M song song với AD cắt AB tại F , cắt CD tại H .
a) Chứng minh rằng tứ giác
b) Xác định vị trí điểm

MEAF là hình thoi. Từ đó suy ra tứ giác EFGH là hình thang cân.

M sao cho EFGH là hình chữ nhật.

c) Hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện gì để hình chữ nhật EFGH ở câu b) là hình vng.
d) Biết hình thoi ABCD có hai đường chéo là d1 và d 2 . Xác định

M sao cho chu vi tứ giác

EFGH là nhỏ nhất. Tính chu vi đó theo d1 , d 2 .
Câu 4.

a) Cho đa thức f  x   x  2ax  4 x  3b. Tìm các hệ số
3

2

a, b biết khi chia đa thức cho đa thức

x  3 , ta được đa thức dư 5 và khi chia cho đa thức x  1 dư 1.
b) Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và AD lần lượt là các điểm
đầu mút). Gọi

E, F (không trùng

K là giao điểm DE và BF . Chứng minh rằng diện tích ABKD bằng diện tích

CEKF .
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2008– 2009)
Thời gian: 120 phút
 1 2x
x
2 x 2   24  12 x 
Câu 1. Cho biểu thức: A  


 .
.
 4  2 x 3x  6 12  3x 2   6  13x 

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm x để

A.

A  2,5.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Tìm x để biểu thức

A rút gọn có giá trị dương.

Câu 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)

6 x3  x 2  2 x.

b)

x3  4 x 2  29 x  24.

c) x  53x y  196 y .
4

2

2

4

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  , đường cao
thứ tự là hình chiếu của

AH , trung tuyến AM . Gọi D, E

H trên AB và AC, hạ MK vng góc với AB  K  AB  , giao điểm của

AM với HE là N .
a) Tứ giác

AEHD, ABHN là hình gì? Tại sao?

b) Lấy P đối xứng với H qua AB ,

Q đối xứng với H qua AC . Chứng minh tứ giác BPQC là

hình thang vng.
c) Chứng minh AM //DE và BN //DE .
d) Chứng minh rằng ba đường

AH , BN , MK đồng quy.

Câu 4.
1. a) Tìm giá trị của k để đa thức f  x   x  2 x  7 x  3k  5 chia hết cho đa thức
4

2

x 2  3x  2.

x2  y 2  z 2 x2 y 2 z 2
 
 . Chứng minh rằng: x  y  z  0.
b) Cho 2
a  b2  c2 a 2 b2 c2
2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 1 để

 n  1 2n  1

chia hết cho 6 và thương trong phép chia

 n  1 2n  1 cho 6 là một số bình phương.
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2009– 2010)
Thời gian: 120 phút

Câu 1. Cho P 

3x 2  3x  3 x  1 x  2


.
x2  x  2
x  2 1 x

a) Rút gọn P.
b) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên.
c) Tính

P với x thỏa mãn x 2  4 x  5  1.

Câu 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)

x3  13x  12.

b)

 x  1 x  1 x  3 x  5  15.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


Câu 3. Cho tam giác nhọn

ABC, ba đường cao AA, BB, CC cắt nhau tại H . Các đường thẳng

AB tại B , vng góc với AC tại C cắt nhau tại điểm D.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDCH là hình bình hành.

vng góc với

b) Gọi

O, I lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh OI 

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh ba điểm
d) Cho BC  a; AA  h. Từ một điểm
cắt hai cạnh AB và AC tại P và

1

AH .
2

H , G, O thẳng hàng.

M trên đường AA vẽ đường thẳng song song với BC

Q. Vẽ PS và QR vng góc với BC . Tính diện tích tứ giác

PQRS theo a, h, x ( x là độ dài đoạn AM ) . Xác định vị trí của điểm M trên AA để diện tích
PQRS lớn nhất?
Câu 4. Cho 10a

2

2
 100b 2  c 2 . Chứng minh rằng:  7a  3b  2c  7a  3b  2c    3a  7b  .

Câu 5. (Dành cho lớp 8C). Cho các số

a, b, c  0 và khác nhau đôi một thỏa mãn:

ab bc ca
 a  b  c 


. Tính giá trị biểu thức M  1   1   1   .
c
a
b

 b  c  a 
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2010-2011)
Thời gian: 120 phút

Bài 1.

x  5 x  1  7 x  14
 9  3x
Cho biểu thức A   2


 2
 x  4x  5 1  x x  5  x 1

a) Rút gọn A .
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
c) Tìm x sao cho A  0 và tìm x để A  3 .
Bài 2.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)  2 x  1  x 2  2 x  1  1  2 x  x  3 .
b) 2 x3  x 2  5 x  2 .
c)  a  b  c    a  b  c   4c 2 .
2

Bài 3.

2

a) Chứng minh rằng 2n3  3n2  n chia hết cho 6 với mọi n nguyên.
b) Cho f  x   3x 2  ax  b , biết f  x  chia x dư 27 và chia x  5 thì dư 2. Tìm a, b .

Bài 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là một điểm thuộc cạnh BC , từ M vẽ các đường
vuông góc với cạnh AB ở D và vng góc với cạnh AC ở E .
a) Chứng minh AM  DE .

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


b) Gọi I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M . Chứng minh
tứ giác DIEK là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn IK , DE, AM cắt nhau tại trung điểm O
mỗi đoạn.
c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC . Chứng minh góc DHE bằng 90 .
d) Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác DIEK là hình thoi.
Bài 5.

a) Tìm n

để n4  n2  1 là số nguyên tố.

b) ( Dành cho học sinh lớp 8C). Cho tam giác ABC . Ta lấy điểm D trên cạnh AB và điểm E
trên cạnh AC sao cho

CE 1
BD 1
 . Gọi F là giao điểm của BE và CD . Tính diện tích
 và

AD 3
AE 4

tam giác ABC theo S biết diện tích tam giác ABF là S .
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2011– 2012)
Thời gian: 120 phút

 x  1 2  x  x2   1
x2 

:

 
.
x3  x   x  1 x3  1 
 x

Câu 1. Cho biểu thức P  
a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị của x để P  3x.
c) Với x  1 , hãy so sánh P với 3.
Câu 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2  x 2 y  y  1

b) 7 x3  3x2  43x  33.

c) 4 x4  17 x2 y 2  4 y 4 .

d)  x2  x  10 x 2  x  8  8.

Câu 3. Xác định các số a, b sao cho f  x   x3  ax 2  bx  1 chia hết cho g  x   x 2  x  2.
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H , các đường cao BD, CE . Gọi M là trung điểm của BC.
Lấy điểm F đối xứng với điểm C qua H .
a) Qua F kẻ một đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại P, nối PH cắt AC tại Q,
chứng minh HP  HQ.
b) Chứng minh MH  PQ.
c) Gọi I là trung điểm của DE , J là trung điểm của AH . Chứng minh I , J , M thẳng hàng.
d) Chứng minh SPBC  SQBC  SBHC .
Câu 5.
a) Cho các số x, y thỏa mãn 2 x  3 y  13. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q  x2  y 2 .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) (Dành cho lớp 8C) Cho x  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của S 

x2  3
.
x 1

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2012– 2013)
Thời gian: 120 phút

 3x 2  3
x 1
1 
x 1


Câu 1. Cho biểu thức B   3
 2

 . 3
.
 x  1 x  x  1 x  1   2 x  5x  5 
a) Tìm điều kiện có nghĩa của B và rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x thỏa mãn: x  1  2.
c) Tìm x sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) A  3x2  7 x  10.

b) B  x4  3x3  4x2  3x  1.

c) C   x  2 x  3 x  4 x  5  24.

d) D  ab  a  b   ac  a  c   bc  2a  b  c .

Câu 3. Tìm đa thức f  x  biết f  x  chia cho đa thức x  3 thì dư 2, chia cho đa thức x  4 thì dư 9 và
chia cho đa thức x2  x  12 thì được đa thức thương là  x  1 và cịn dư.
Câu 4. Cho tam giác ABC có góc BAC   và tổng AB  AC  2a. Dựng pía ngồi của tam giác

ABC các tam giác ABE và ACF vng cân tại A.
a) Chứng minh CE vng góc và bằng BF .
b) Chứng minh tứ giác GHIJ là hình vng.
c) Chứng minh AH vng góc và bằng

1
EF .

2

d) Chứng minh diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác AEF . Xác định số đo góc  sao
cho diện tích tứ giác BEFC lớn nhất. Tính diện tích này theo a.
Câu 5. Cho hình chữ nhật có chu vi khơng nhỏ hơn 2 2 và có một tứ giác có đỉnh nằm trên bốn cạnh
của hình chữ nhật đó. Chứng minh rằng: Chu vi của tứ giác khơng nhỏ hơn 2.
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2013– 2014)
Thời gian: 120 phút

1
x3  x 
1
1 
 2
 2
Bài 1. Cho biểu thức P 
 2
.
x  1 x  1  x  2x  1 x 1 
a) Tìm điều kiện có nghĩa của P và rút gọn P.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Tìm các số nguyên x để

1
nhận giá trị là các số nguyên.
P

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

A  x2 y  x 2  y  1.
B   x 2  x   4  x 2  x   12.
2

2
C   6 x  5  3x  2  x  1  6.

Bài 3. Cho P  x   x  3x  x  ax  b và Q  x   x 2  2 x  3.
4

3

2

Xác định a và b sao cho đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M nằm trên cạnh BC , hạ MD và ME lần lượt
vng góc với AB và AC

 D  AB; E  AC  . Lấy điểm

I đối xứng với D qua A, K đối xứng

với E qua M .
a) Chứng minh tứ giác DIEK là hình bình hành.
b) Chứng minh ba đường thẳng IK , DE, AM giao nhau tại một điểm.
c) Tìm vị trí điểm M trên BC để tứ giác ADME là hình vng.
d) Khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC , gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh

AJ vng góc DE.
Bài 5.
a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C   x 2  4 y  y 2  4 x   8xy
b) (Dành cho lớp 8C)
Cho tứ giác ABCD có E, F , G, H nằm trên cạnh AB sao cho AE  EF  FG  GH  HB và

M , N , P, Q nằm trên cạnh CD sao cho DM  MN  NP  PQ  QC. Chứng minh rằng diện tích
của tứ giác FGPN bằng

1
diện tích của tứ giác ABCD.
5

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TOÁN LỚP 8 (2014– 2015)
Thời gian: 120 phút

x
2  x2  2x  4
1  
10  x 2 


:
x

2


 

8  x2
x2 
x2 
 x2  4



Bài 1. Cho biểu thức A  

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A , biết x 2  x  1  3.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3  3x2  4.

c) x  x  1 x  2 x  3  24.

b) x 4  4.

Bài 3. Xác định a và b để đa thức P  x   x  3x  ax  b chia hết cho đa thức Q  x   x 2  3x  4.
3

2

Bài 4. Cho hình vng ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD . Kẻ ME  AB, MF  AD.
a) Chứng minh DE  CF và DE  CF .
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF , CM đồng quy.
c) Chứng minh MA2  MC 2  MB2  MD2 .
d) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 5.
a) Cho a 

1 3
1 3
;b
; Tính giá trị biểu thức C  a 4  b4 .
2
2

b) (Dành riêng cho lớp 8A và 8B) Cho x, y  0 và x  y  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A  x3 y 5  x 5 y 3 .
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 1- TỐN 8
TRƯỜNG CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ SỐ 1 – NĂM HỌC 2014 -2015


x 2  x 2



 

x 3



Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức A   1 
:
x 3
x 3 2 x

a) Rút gọn A

b) Tính A biết | 2 x  5 | 1

11x  8 

x2  x  6 

c) Tìm x 

để A 

Bài 2. (2,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 y3  x 2 y 2  4

b) 2 x 4  5x3  2 x 2  x  2

c) ( x  3)( x  5)( x  6)( x  10)  24 x 2 d) (a  b  c)(ab  bc  ac)  abc

Bài 3. (1 điểm) Tìm đa thức f ( x) biết f ( x) chia x  3 dư 2, f ( x) chia x  4 dư 9, f ( x) chia
x 2  x  12 được thương x 2  3 và còn dư.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình thoi ABCD và điểm M thuộc đường chéo AC. Đường thẳng qua
M và song song với AB cắt AD ở E, cắt BC ở G. Đường thẳng qua M và song song
với AD cắt AB ở F, cắt CD ở H.
a) Tứ giác AEMF, MHCG là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
c) Tìm vị trí của điểm M trên đường chéo AC để EFGH là hình chữ nhật;
d) Chứng minh rằng diện tích của tứ giác EFGH khơng thay đổi khi M chuyển động
trên đường chéo AC.

Bài 5. (0,5 điểm)
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a) Chứng minh biểu thức sau không âm với mọi x , y, z :
M  4 x( x  y)( x  y  z)( x  z)  y 2 z2

b) Tính giá trị E 

(a  x )2
(b  x )2
(c  x )2
x2


biết 1 
0
a(b  a)(c  a) b(a  b)(c  b) c(a  c)(b  c)
abc
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 1- TỐN 8

TRƯỜNG CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ SỐ 2 – NĂM HỌC 2014 -2015

Bài 1. (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
2) 3x3  4 x 2  3x  4

1) 2 x3  x 2  6 x

3) (a  b)(a2  b2 )  (b  c)(b2  c2 )  (c  a)(c2  a2 )

4) x 2  4 xy  4y 2  xz  2yz

Bài 2. ( 1 điểm) Xác định a, b, c sao cho 2x 4  ax 2  bx  c chia hết x  2 và chia x 2  1 thì dư
2 x  43

 2  3x

Bài 3. ( 2 điểm) Cho biểu thức A  

 2  3x

a) Rút gọn A



36 x 2
2  3x  x 2  x

:
9 x 2  4 2  3x  2 x 2  3x 3

b) Tìm giá trị x để A nguyên dương

Bài 4. ( 3 điểm) Cho hình vng ABCD, AB = 5 cm, O là tâm hình vng. Dựng tam giác ABI vng
cân tại I ra phía ngồi hình vng.
a) Chứng minh rằng IBCO là hình bình hành. Tính IC;
b) Kéo dài AC về phía A, trên đó lấy điểm E sao cho AE 

DB
. Chứng minh rằng: EB  ID
2

c) Chứng minh rằng: Với mọi điểm M thuộc miền trong tứ giác IBCE, luôn tồn tại 4
điểm P, Q, R, S thuộc 4 cạnh của tứ giác này sao cho độ dài các cạnh của chúng lần
lượt bằng ME, MI, MB, MC.

Bài 5. (1 điểm) Cho a  b  c  2014 . Tính giá trị P 

a3  b3  c3  3abc
a2  b2  c 2  ab  bc  ca

Bài 6. (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A 

6x  1
12 x 2  1

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 1- TOÁN 8
TRƯỜNG CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ SỐ 3 – NĂM HỌC 2014 -2015

Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức P 

1
x3  x 
1
1 
 2
. 2
 2

x  1 x  1  x  2x 1 x 1 

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Tìm các số nguyên x để

1
nhận giá trị là các số nguyên
P

Bài 2. (2,5 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3  4 x 2  29 x  24

b) (6 x  5)2 (3x  2)( x  1)  6

2) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

C  ( x 2  4y)(y2  4 x)  8xy

Bài 3. (1 điểm) Cho P( x)  x 4  3x3  x 2  a x  b và Q( x)  x 2  2 x  3 . Tìm a, b sao cho P( x ) chia
hết cho Q( x )

Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy điểm M nằm trên cạnh BC, hạ MD và ME lần lượt
vng góc với AB và AC (D và E lần lượt nằm trên AB và AC). Lấy điểm I đối xứng với D qua A,
K đối xứng với E qua M.
a) Chứng minh tứ giác DIEK là hình bình hành;
b) Chứng minh ba đường thẳng IK, DE, AM giao nhau tại một điểm;
c) Tìm vị trí của M trên BC để tứ giác ADME là hình vng;
d) Khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC , gọi J là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh rằng AJ vng góc với DE.

Bài 5. (1 điểm)
a) Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H trên cạnh AB sao cho AE  EF  FG  GH  HB và M , N , P, Q

1
trên cạnh CD sao cho DM  MN  NP  PQ  QC . Chứng minh SFPGN  .SABCD
5
b) Cho P( x) có bậc là 4 thỏa mãn : P( x )  P( x  1)  x( x  1)(2 x  1) và P(1)  0 . Tìm P( x)

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 1- TOÁN 8
TRƯỜNG CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ SỐ 4 – NĂM HỌC 2014 -2015
 x 1

x3

4x  2  

x 1 

Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức A  


: 1

2  
 x 3 x 3 9 x   x 3
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A và rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Bài 2. (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

A  x2 y  x2  y  1

B  x3  4 x 2  29 x  24

C   x2  x   4  x2  x   12
2

b) Cho x  y  z  0 . Chứng minh x3  x 2 z  y 2 z  xyz  y 3  0

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 3. (1,5 điểm) Xác định đa thức P( x) biết P( x) chia cho  x  2  dư 1, chia cho  x  1 dư 2, chia
cho  x 2  x  2  được thương là  2 x  1 và còn dư

Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm trên cạnh BC. Từ D kẻ Dx vng góc
BC cắt AB, AC tại E , F . Vẽ hình chữ nhật BDEH , DCKF . Gọi I và O là tâm của
BDEH , DCKF .

a) Chứng minh AIDO, AKOI là hình bình hành
b) Chứng minh A là trung điểm HK
c) Gọi M là trung điểm IO . Khi D di động trên BC , chứng minh M nằm trên đoạn I1O1 , trong đó

I1 , O1 là trung điểm AB, AC

Bài 5. ( 1 điểm)
a) Cho ΔABC , gọi P là điểm nằm trong tam giác . Các tia AP, BP, CP cắt các cạnh BC , CA, AB

PD PE PF


1
AD BE CF

tại D, E , F . Chứng minh

b) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a100  b100  a101  b101  a102  b102 . Tính a 2013  b2013

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 1- TỐN 8
TRƯỜNG CHUN HÀ NỘI – AMSTERDAM
ĐỀ SỐ 5 – NĂM HỌC 2014 -2015


9  3x

x5

x  1  7 x  14



Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức A   2
: 3
 x  4x  5 1 x x  5  x 1

a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để A  0 , tìm x để A  3

Bài 2. (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a)  2 x  1  x 2  2 x  1  1  2 x  x  3
b) 2 x3  x 2  5 x  2
c)  a  b  c    a  b  c   4c 2
2

2

Bài 3. (1 điểm)
a) Chứng minh rằng 2n3  3n2  n chia hết cho 6 với mọi giá trị n nguyên
b) Cho f ( x)  3x 2  ax  b , biết f ( x) chia x dư 7, chia x  5 dư 2. Tìm a, b

Bài 4. (4 điểm) Cho ΔABC vuông tại A. Gọi M là một điểm thuộc cạnh BC , từ M vẽ các dường
vng góc với AB, AC tại D, E .
a) Chứng minh AM  DE

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Gọi I là điểm đối xứng D qua A , K là điểm đối xứng E qua M . Chứng minh tứ giác DIEK là
hình bình ahnfh . Từ đó suy ra 3 đoạn IK , DE, AM cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn.
c) Gọi AH là đường cao của ΔABC . Chứng minh DHE  900
d) Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để DIEK là hình thoi

Bài 5. (1 điểm) Cho ΔABC . Lấy điểm D trên cạnh AB và E trên AC sao cho

BD 1 CE 1
 ;
 .
AD 3 AE 4

Gọi F là giao BE và CD . Tính diện tích ΔABC biết diện tích tam giác ABF là S

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2015 – 2016)
Thời gian: 120 phút

x2  1
1
1 
 1
: 3
 2

Bài 1. Cho biểu thức P  2


x  2x  1  x 1 x  x  1 x 1 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm x để P 

2
.
3

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)  x  1  x 2  x  1  x 2  1
b)  x  2 x  3 x  4 x  5  360.
c)  a 2  b 2  ab   a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2 .
2

Bài 3. Xác định a và b để đa thức x4  2 x3  ax2  5x  b chia hết cho đa thức x2  x  2 có dư là

3x  4 .
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A.  A  90 . Hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H . Trên nửa
mặt phẳng bờ BC không chứa A, kẻ tia Cx vng góc với AC , cắt AM tại K .
a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
b) Hạ BF vng góc với đường thẳng CK tại F . CHứng minh N , M , F thẳng hàng.
c) Dựng hình chữ nhật KMCI , kéo dài IM cắt BN ở E . Chứng minh tứ giác HCIE là hình
thang.
d) Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tứ giác HCIE là hình thang cân.
Bài 5.
a) Cho a  b  c  2. Tính giá trị của biểu thức: P 

2   ab  bc  ca 

2

2

4 
4 
4

a    b    c  
3 
3 
3


2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) (Dành riêng cho hai lớp 8A và 8B) Chứng minh A  n3  5n2  4n chia hết cho 120 với mọi số
tự nhiên n .
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2016-2017)
Thời gian: 120 phút

 x3  1 x 2  1  
x 

Bài 1: (2,5 điểm)Cho biểu thức : A   2
:x


x 1 
 x 1 x 1  
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A .
b) Tìm x để A  3 .
c) Tìm x nguyên sao cho A cũng nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 4  x 2  4 xy  4 y 2
b)  x  1 x  2  x  7  x  8   8
Bài 3: (2điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn: x  y  1; x3  y 3  2 . Tính giá trị của các biểu thức:
a) M  xy
b) N  x5  y 5
Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F thứ tự là các điểm đối xứng với O
qua AD và BC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vng.
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh OI  CD
c) Biết diện tích của hình lục giác ABFCDE bằng 6. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.
d) (dànhriêngcholớp 8A – 0,5đ) Lấy K là một điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi G là trọng tâm
của AIK . Chứng minh rằng điểm G thuộc một đường thẳng cố định khi K di chuyển trên cạnh BC.
Bài 5: (0,5điểm) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không
phụ thuộc vào a, b, c .
P

a2
b2
c2


 a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b 

---------------Hết--------------Chú ý: Biểu điểm bài 2 đối với lớp 8A là 1,5 điểm.

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TOÁN LỚP 8 (2017-2018)
Thời gian: 120 phút
Bài 1.

(2,5 điểm)

 1
x2 x2  2x  4 
1

.
.
Cho biểu thức P  
: 2
3
x2  x 4
 x2 8 x

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
c) Tìm các giá trị nguyên x để P

x

2

 1 .

Bài 2. (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

A  x   2x2  x  3
B  a; b; c    a  b  b  c  c  a   abc
Bài 3 (1 điểm ) Cho hai đa thức P  x   x3  a. x  b và Q  x   x 2  3.x  2 . Xác định các hệ số a, b sao
cho với mọi giá trị của x thì P  x  Q  x 
Bài 4. (3.5 điểm)
Cho hình thoi ABCD có D  600 . Gọi E, H , G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD và DA
a. Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
b. Cho AG cắt HF tại J . Chứng minh rằng HF  4FJ .
c. Gọi I là trung điểm FJ và P là giao điểm của EH và DB.
Chứng minh : IG vuông góc với IP .
d. Cho AB  2cm . Tính độ dài IP .
Bài 5 (1 điểm ).
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn  a  b  c  ab  bc  ca   2017 và abc  2017 .
Tính giá trị của biểu thức P   b 2 c  2017  c 2 a  2017 a 2 b  2017
b) Tìm các số tự nhiên x, n sao cho số p  x 4  24 n  2 là một số nguyên tố.

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM
MƠN TỐN LỚP 8 (2019-2020)
Thời gian: 90 phút
Bài 1.

  x  12
1   x3  1 x3  1 
1  :  2


(3,0 điểm) Cho biểu thức Q   2
.
x   x  x x 2  x 
 x  x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức Q .
b) Tìm x ngun để biểu thức Q có giá trị ngun.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2.

 x  1
P
Q

2

 x 1 .

(2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A  x3  3x 2  4 .
b) B  x 2  y 2  x 2 y 2  xy  x  y .

Bài 3.

(1,0 điểm) Xác định đa thức f  x  biết f  x  chia hết cho 2 x  1 , chia cho x  2 thì dư 6, chia
cho 2 x2  5x  2 được thương là x  2 và còn dư.

Bài 4.

(3,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB và một điểm M thay đổi trên đoạn AB ( M không trùng với
A và B ). Vẽ các hình vng AMCD và BMEF thuộc cùng một nửa mặt phẳng với bờ AB .

a) Chứng minh AE  BC và AE  BC .
b) Gọi G, I , N , K lần lượt là trung điểm của AB, AC , CE , EB . Tứ giác GINK là hình gì? Vì
sao?
c) Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB .
d) Chứng minh rằng trung điểm Q của IK luôn nằm trên một đường cố định khi M di chuyển
trên AB .
Bài 5.

(0,5 điểm)
a) (Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E)
Cho các số a, b, c thỏa mãn

a
b
c


 0 . Chứng minh rằng
bc c a a b

a

b  c 

2



b

c  a

2



c

a  b

2

 0.

b) (Dành cho các lớp 8A)
Tìm tất cả các bộ ba số  a; b; c  là các số nguyên dương thỏa mãn a  b  c và
 1  1  1 
1  1  1    2 .
 a  b  c 

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122