CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC 3 ĐẠI SỐ 9

CHUYÊN ĐỀ
CĂN BẬC 3

ĐẠI SỐ 9

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


CHUYÊN ĐỀ 11: CĂN BẬC BA
Giáo viên: Nguyễn Chí Thành
LỚP TOÀN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Lý thuyết:
 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3  a .
 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
 AB 3 A  3B



A.B  3 A .3 B

3

 Với B  0 ta có:

3

A

B

3

A

3

B

Dạng 1: Thực hiện phép tính

 3 a 3  a

3 3

a a;

Phương pháp: Áp dụng công thức:

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

và các hằng đẳng thức: (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 ,

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) ,

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )

BÀI MẪU
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a)

3

216

b)

3

729

c) 3 1331

d)

3

343

e)

3

1728

f)

3

8
27

Hướng dẫn
a)

3

216  3 63  6

d)

3

343 

3

b)

 7 

 7

3

e)

3
3
c) 3 1331  11  11

729  3 93  9

3

1728 

3

3

 12

3

3

 12

f)

3

8 3 2
2
   
27
3
3

3

64  3 125  3 216

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
d)

3

( 2  1)(3  2 2)

b)

 3 4  13   3 4  13

e)

3

(4  2 3)( 3  1)

c)

 3 9  3 6  3 4  3 3  3 2 
Hướng dẫn

a)

3





2 1



2 1

b) Tương tự câu a:

2



3





3

2 1  2 1

3 1

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122

c) 4  5  6  3
d) Khai triển theo hằng đẳng thức:

 4  3 16  3
3

e)

3

 

 3   2 
3

3

3



4  1  4  3 3 16  3 3 4 1  6 3 16  2  12 3 2  2
3

5

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) A  3 2  5  3 2  5

b) B  3 9  4 5  3 9  4 5

c) C  (2  3).3 26  15 3

d) D  3 3  9 

125 3
125
 3  9 
27
27

Hướng dẫn
a) Nhân vào hai vế với 2 ta được: 2 A  3 16  8 5  3 16  8 5  3





3



5 1  3 1 5



3

2

Suy ra A = 1.
Cách khác: Lập phương hai vế ta được: A3 







 A3  2  5  2  5  3 3 2  5 2  5 .



3

3

2 5  3 2 5

2 5  3 2 5





3





 A3  4  3 3 1. A  A3  3 A  4  0   A  1 A2  A  4  0  A  1
3 5 
b) Tương tự câu a: B  3 . Chú ý: 9  4 5  

 2 

3

c) C  1 . Chú ý: 26  15 3  (2  3)3
d) D  1 . Đặt a  3 3  9 

Bài 4.

Cho

3

125
125
5
, b  3 3  9 
 a3  b3  6, ab  . Tính D 3 .
3
27
27

16  3 54  3 128  3 2.a . Tính a

Hướng dẫn
3

16  3 54  3 128  2 3 2  3 3 2  4 3 2  3 3 2 . Vậy a  3

Bài 5. Cho a3  3. 3 2  1  3. 3 4 . Tính a
Hướng dẫn
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


2  3. 3 22 .1  3. 3 2.12  1 

1  3 

Bài 6. Biết

2





3

2 1



3

suy ra a  3 2 1

1  3 

2

là các số nguyên. Tính x  y

 x  y 3 với x, y

Hướng dẫn



1 3



2





1 3



2

 1  3  3  1  2 3 suy ra x  0; y  2  x  y  2

Bài 7. Tính giá trị biểu thức A   3x  8 x  2 
3

2

2009

3

2009

biết


x

52



3

17 5  38

5  14  6 5

Hướng dẫn
Chú ý:

3

17 5  38  3



5 —2



3

 5  2; 14  6 5 

3  5 

2

 3 5

1
nên x   A  0
3

Bài 8. Cho biểu thức: A   x3  12 x  33

2016

. Tính A khi x  3 16  8 5  3 16  8 5

Hướng dẫn

x  3 16  8 5  3 16  8 5 . Các em lập phương hai vế được:

x3  12 x  32  0 . Suy ra x3  12 x  33  1  A  1
4  3 2 2
42 3
Bài 9. Tính: A  3
; B  3  3  3 10  6 3 ; C 
3
3
4  2 1
10  6 3
3

Hướng dẫn





3
2. 3 4  3 2  1
4  3 2 2 3 4  3 2  3 8
A 3
 3

32
3
3

3
3
4  2 1
4  2 1
4  2 1
3



Chú ý : 3 10  6 3  3
42 3
C

3 1





3 1

3 1



3

3 1  3 1  B  3 1

2

 3 1

Bài 10. Tính giá trị biểu thức:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a)

3

4. 3 1  3. 6 4  2 3

b)

3

2
4
3
3 1
9  3 3 1

c)

3

75 2  6 8

Hướng dẫn

a)

3



4. 3 1  3. 6 4  2 3  3 4. 3 1  3. 6 1  3







2

 3 4. 3 1  3. 3 1  3



 3 4. 3 1  3 1  3  3 4. 3 2  3 8  2
2
2
4
3

b) 3
3 1
9  3 3 1

c)

3







7  5 2  6 8  3 1 2

 

9  3 3 1  4

3

3



3



3 1

3

3

2

3 1



9  3 3 1

3

9  63 3  6 3
 9  33 3  3 3 9
3 1

 6 23  1  2  2  1

Bài 11.
a) Cho x 
b) Cho x 

2
6
xy
. Tính giá trị P 
;y 3
3
3
x y

2 2 2 4
2 2 2 4
3

3

3
8  3 5  3 64  12 20 3
9 2
2 93 9
.
8

3
5
;
y


. Tính xy
3
3
57
3  4 2 4 2  3 81

Hướng dẫn
a) x  3 4  3 2; y  3 4  3 2
b) x  3 9; y  4 3 3

Bài 12. Tính: A 

 1 2 6 
3

6



25  4 6 . 3 2 6  1  1

Hướng dẫn



Ta có: 1  2 6



2

 25  4 6 nên 3 1  2 6  6 25  4 6  0  A  1

Bài 13. Tính: A 

3

72 5

42 3  3

Hướng dẫn

1  2   1 

3 1  3   3
3

A

3

72 5

42 3 

3

2

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


 92 3

3

3
2

. 3

3
 3 2


6
3  108

Bài 14. Chứng minh rằng:

52  3 52

3

Hướng dẫn

 3   2 
3.
3

92 3

33 2

3

3





 3 3  3. 3 2  3 4  3 3  3 3 2  3. 3 4

3 2
3

 92 3

 3 3 2  . 3  9  6 3. 3 2  3 3 4 

3
 3 2

 92 3
 33

3
 3 2

3  6 108


2 . 3


3 

3. 3 2



2

 3  3. 3 2  3  6 108

1 .

Đặt A  3 5  2  3 5  2 . Lập phương hai vế tính được A  1 .
Vậy VT  VP  1

Bài 15. Tính:



a)

3

2  5.

c)

4

56  24 5

e)

3

7 5 2  3 7 5 2

6

94 5  3 2 5



b) 4 17  12 2  2
d)

4

28  16 3  1

Hướng dẫn
a)
=

3

3

 94 5  2 5   2
5.  2  5  2  5   2. 2 

2  5.
2

6

3

3

3

3

3













b) 4 17  12 2  4 3  2 2
c)

4

56  24 5  4 6  2 5

d)

4

28  16 3  4 4  2 3

e)

3





3



2 1  3 1 2



3

2


5.  6




52



2


 3 2 5 


5.3 2  5  2

 3  2 2  2 1

2

 6  2 5  5 1

2

 4  2 3  3 1

2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Tính các biểu thức sau:

Bài 16.
a)

3

6 3  10  3 6 3  10

b)

3

5  2 13  3 5  2 13

c)

3

45  29 2  3 45  29 2

d)

3

2  10

e)

3

4

1
1
 3 2  10
27
27

5 31 3
5 31
 4
3 3
3 3

Hướng dẫn
Lập phương hai vế.
a) 2

b) 1

c) 6

d) 2

e) 1

Bài 17.
a) B  3 1 

84 3

84
 1
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên
9
9

ĐHQG Hà Nội 2006).
b) Chứng minh rằng: x  3 a 

a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
1
 a
với a  là số tự nhiên.
3
3
3
3
8

Hướng dẫn
a) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v 3  3uv  u  v  . Ta có:
3



84 3
84 
84 3
84 

84
84
84 3
84   3
.
  1
  1
 1
B3   3 1 
 1
1
 3 3 1 
. 1


9
9 
9
9 
9
9
9
9  




 
3



Hay B3  2  3 3 1 


84 
84 
84
3
3
3
1


 .B  B  2  3 3 1  B  B  2  B  B  B  2  0

9 
9 
81
2

1 7

  B  1  B  B  2   0 mà B  B  2   B     0 suy ra B  1 . Vậy B là số nguyên.
2 4

2

2

b) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v 3  3uv  u  v 
3

Ta có x3  2a  1  2a  x  x 3   2a  1 x  2a  0   x  1  x 2  x  2a   0
Xét đa thức bậc hai x 2  x  2a với   1  8a  0
+ Khi a 

1
1
1
ta có x  3  3  1 .
8
8
8
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


1
8

+ Khi a  , ta có   1  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x  1
Vậy với mọi a 

a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
1
ta có: x  3 a 
 a
 1 là số tự nhiên.
3

3
3
3
8

Bài 18.
a) Cho x  1  3 2 . Tính giá trị của biểu thức B  x 4  2 x 4  x3  3x 2  1942 .(Trích đề thi vào lớp 10
Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
b) Cho x  1  3 2  3 4 . Tính giá trị biểu thức: P  x5  4 x 4  x3  x 2  2 x  2015
Hướng dẫn
a) Ta có x  1  3 2   x  1  2  x3  3x 2  3x  3  0 . Ta biến đổi biểu thức P thành:
3

P  x 2 ( x3  3x 2  3x  3)  x  x 3  3x 2  3x  3   x 3  3x 2  3x  3  1945  1945

b) Để ý rằng: x  3 22  3 2  1 ta nhân thêm 2 vế với
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2  . Khi đó ta có:





3





3

3

2 1 để tận dụng hằng đẳng thức:

 

2 1 x 

3



2 1

3



22  3 2  1

2 1 x  1  3 2 x  x  1  2 x3   x  1  x3  3x2  3x 1  0 .
3

Ta biến đổi: P  x5  4 x 4  x3  x 2  2 x  2015   x 2  x  1 x3  3x 2  3x  1  2016  2016



Bài 19. Cho a  3 38  17 5  3 38  17 5 .Giả sử có đa thức f  x   x3  3x  1940



2016

. Hãy tính f  a  .

Hướng dẫn
Vì a 3  38  17 5  38  17 5  3.3. 3 38  17 5. 3 38  17 5
 a 3  76  3a  a 3  3a  76  f  a    76  1940 

Bài 20.

2012

 20162016 .

Cho a  2  7  3 61  46 5  1 .

a) Chứng minh rằng: a 4  14a 2  9  0 .
b) Giả sử f  x   x5  2 x 4  14 x3  28 x 2  9 x  19 . Tính f  a  .
Hướng dẫn
a) Vì

3

61  46 5 

1  2 5 

3

3

 1 2 5

Từ đó a  2  7  1  2 5  1  2  5

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


 a2 



2 5



2

 a 2  7  2 10  a 4  14a 2  9  0 .

b) Do f  x    x 4  14 x 2  9   x  2   1 và x 4  14a 2  9  0 nên ta được f  a   1 .

Cho 0  a  1 . Rút gọn biểu thức sau:

Bài 21.

A  6  4 2 . 20  14 2 
3

3



a 1

a  3a  1 :
 1
 2 a 1




 a  3





Hướng dẫn





 

A 2 2 2 2 

2





a 1

4

Tính giá trị biểu thức:

Bài 22.
3

a) P 

a  2 a 1



a 1 :

x x  3x  1  x 2  3  x 
x 1

 x

với x  2018

b) M 

4

x  2 8 x  1  1 với x  256

Hướng dẫn

 x   3  x  .x  3
3

3

a) P 

2

x .x 2  x 3

x 1

b) M 



Bài 23.

Cho hai số a, b:

8

a) a  3 3 



 x 0

2

x 1  1  8 x

368 3
368
 3
27
27

; b

1
2



3

20  14 2  3 20  14 2



100

3
Tính giá trị biểu thức : P  2a  b

b) a 

1
25  621 3 25  621 


 3 4  15 ; b  1  3
3


3
2
2
4  15


1

3
3
2
Tính giá trị của biểu thức: P  a  b  3a  b  100

Hướng dẫn
a) a 3  3 



368
368
368 
368 
3
 3a. 3  3 
3


  6  5a
27
27
27 
27 



suy ra (a  1)(a 2  a  6)  0  a  1
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


1
b   3 2 2
2





3



 3 2 2



3


  2 suy ra P = 10.


3
3
b) Tương tự câu a các em lập phương lên : a  3a  8  a  3a  8

1  3b 

3

25  621 3 25  621

suy ra (1  3b)3  25  3(1  3b)  b3  b 2  1 nên P  107
2
2

Cho x  3 3  2 2  3 3  2 2 ; y  3 17  12 2  3 17  12 2 .

Bài 24.

Tính giá trị biểu thức sau: P  x3  y 3  3  x  y   2004
Hướng dẫn
Lập phương hai vế x và y ta được:
 x3  3x  6
 3
 y  3 y  34

suy ra x3  y 3  3  x  y   40  x3  y 3  3  x  y   40

 P  40  2004  2044

Cho a 

Bài 25.

2





5  2 . 3 17 5  38
42 3  3

. Tính giá trị biểu thức: P   a11  a10  a9  a8  a   99
20

Hướng dẫn
a

2



  5  2
 3  1  3

3

5  2 .3

2



2





52 .

5 2

3 1 3

 1

suy ra P = 100.

Bài 26.

Rút gọn các biểu thức sau:

3

a) A   9  4 5  3 2  5  . 3 5  2



a  3 2  5.

b) B 
3

2  5.

3

3

94 5

9  4 5  3 a2  3 a

Hướng dẫn
a)



3



2  5  3 2  5 . 3 5  2  2 3 2  5. 3 5  2  2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


B

b)

 5  2
 5  2  a 
2

a 3 2 5 .3
3

2  5.


5 

2

3

 5  2
5  2  a 

3

a 3 2 5


3



2

2

3

a


3
3

a

2  5.

a 1

1  a  a
3

2

3




3

5  2  3 a2  3 a

3



a 1




3

3



a  a 1

2

  

a2  3 a  1
3

3



a 1

Rút gọn biểu thức:

Bài 27.

 a 3 a  2a 3 b  3 a 2b2 3 a 2b  3 ab2
b) B  
 3
3 2
3

a3b
a

ab


a 4  3 a 2b 2  3 b 4

3

a) A 

3



2

a  3 2  5 .3 5  2

3

a 2  3 ab  3 b 2

 1
.
 3 a2


Hướng dẫn
a) Đặt

3

a  x; 3 b  y suy ra :







2



x2  y 2  x2 y 2
x 2  xy  y 2 x 2  xy  y 2
x4  x2 y 2  y 4
A 2


x  xy  y 2
x 2  xy  y 2
x 2  xy  y 2



 x 2  xy  y 2  3 a 2  3 ab  3 b2
b) Tương tự câu a, B = 1.

5  3  29  6 20

4

Bài 28. Cho biểu thức: x 

3

10  6 3.





3 1

. Tính giá trị biểu thức: A   x5  7 x 2  3

100

 199

Hướng dẫn
Các em tính được x  2  A  200

Bài 29.

Cho biểu thức: A 

x5  x 4 . 3 6  x3 . 3 36
. Rút gọn và Tính giá trị biểu thức tại x  2. 3 6
x3  3  3

Hướng dẫn
Xét x3  3  0  3 3  x  3 6 .
A



x3 x 2  x. 3 6  3 36
x3  3  3

  x x
3

2

 x. 3 6  3 36
x3  6





x3 x 2  x. 3 6  3 36

 x  6  x
3

2



 x. 3 6  3 36





x3
(1)
x 3 6

Xét x3  3  0  0  x  3 3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


A



x3 x 2  x. 3 6  3 36
3 x 3
3

 

x

2



 x. 3 6  3 36 (2)

 2. 6 

3

Thay x  2. 3 6  3 3 vào (1) suy ra A 

3

2. 6  6
3

3



48
 8. 3 36
6

3

Bài 30.
a) Cho a 

1
a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
.
 a
.
. Tính giá trị biểu thức sau: D  3 a 
3

3
3
3
8

b) Cho b  2020 . Tính giá trị biểu thức: C 
3





b3  3b  b2  1 . b2  4

3

2



3





b3  3b  b 2  1 . b 2  4
2

Hướng dẫn

a) Lập phương hai vế ta được:
 a  1  8a  1
D3  2a  3D. 3 a 2  
 D3  2a  D 1  2a    D  1 D 2  D  2a  0
 .
3
 3 
2

Vì a 





1
nên D2  D  2a  0 suy ra D = 1.
8

b) Tương tự câu a. C 3  b3  3b  3C   C  b   C 2  bC  b 2  3  0
 C  b  3 2020
 2
.
2
C  bC  b  3  0





2
2
Xét C  bC  b  3  0 . Ta có: Δ  3  4  b2   3 4  3 2020  0 . Vậy C  3 2020

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
3

1.

5 2

3

7

5 2

3

7

2)

2
3

3)

3

15 3 26

15 3

26

4
3

5) 17 5

38

3

4)

8 5 16

6)

3

53 5 124

3

8)

32 5 72

3

6 3 10

3

8 5 16

2
3

8 5 16

3

32 5

3

7)

6 3 10

72

3

17 5 38 1

5

9 3 11 2 3 9 3 11 2
2 3

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


3

9)

3

11)

10 7

Bài 2.
a)
c)

3

3

3

11 5 17 2
3

22

3

3

14 5 18 3
2

10)

16 7

24 3
5

3

26 5
3

22 7

19 7 50

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

1
16  12  3 9

b)

1
9 634

d)

3

3

4

3

1
2  4  4 8  4 16
4

1
9  3  24  3 243  3 375
3

3

Hướng dẫn
Sử dụng HĐT: a 3  b3   a  b   a 2 ab  b 2 
Bài 3. Tính giá trị biểu thức:
3

a)

17 5  38

5  14  6 5

.



52



b)

3

3 2  2 5. 6

6 10  19
2

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp:
+ Tính giá trị biểu thức và chỉ ra điều phải chứng minh.

+ Biến đổi tương đương
BÀI MẪU
Bài 1. Chứng minh rằng:

3

9  80  3 9  80  3

Hướng dẫn
Đặt

3

9  80  3 9  80  A . Lập phương hai vế tính A rồi chỉ ra A < 3.

Bài 2. Chứng minh rằng:
a)



3



3

2  1 .3

2 1
1

3

5 1 4 3  2 4 5

4
5 1
3 24 5

4

b)

Hướng dẫn



a) Đặt
a3 



b) Đặt

3

3



2  1 .3



3

2 1 .
4

3

3

2 1
 a suy ra
3

2 1 
 2 1 33 2

3



3



3
2 1
2 1  .



3

1

3



23 4 .

3



2 1  1 suy ra a  1

5  a rồi khai triển hai vế. chú ý a  5
4

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau là một số nguyên.
a)

3

20  14 2  3 14 2  20

b) 3 1 

84 3
84
 1
9
9

c)

3

70  4901  3 70  4901

Hướng dẫn
Lập phương hai vế:
a) 4

b) 1

c) 5

Bài 4. Chứng minh các số sau là các số nguyên: A 

2 3  5  13  48
6 2

; B  3 1

84 3
84
 1

9
9

Hướng dẫn

a) Ta có:

A

2 3  5  13  48
6 2



2 3 5

2

6 2



3 1

2



2 3 4 2 3
6 2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122






2 3



3 1

6 2

2



2 2 3
2 42 3

1
6 2
2 3 1





Lập phương hai vế của B đê tính B.
Bài 5. Chứng minh tổng: 3 18  5 13  3 18  5 13 là một số nguyên tố
Hướng dẫn
Đặt x  3 18  5 13  3 18  5 13
Ta có: x 
3

 18  5 13 
3

3

18  5 13



3

 18  5 13  18  5 13  3 3 18  5 13  3 18  5 13  3 18  5 13  3 18  5 13 









 36  3 182  25.13 x  36  3x  x3  3x  36  0





  x  3 x 2  3x  12  0  x  3  0 vì x 2  3x  12  0, x

 x3

Vậy:

3

18  5 13  3 18  5 13 là một số nguyên tố

Bài 6.
a) Cho A  3 60  3 60  3 60 . Chứng minh 3  A  4
3
b) Cho A  24  3 24  3 24  3 24 ; B  20  20  20  20 .

Chứng minh 7  A  B  8
Hướng dẫn
a) Cộng thêm 4 vào số 60 trong dấu căn cuối cùng ta được:
A  3 60  3 60  3 64  4 . Mặt khác A  3 27  3  3  A  4

b) A  3 24  3 24  3 24  3 24  3  3; B  20  20  20  20  5  5
nên A  B  3  5  8
mà A  B  20  3 24  7

Bài 7. Chứng tỏ rằng: x 

3

5  2  3 5  2 là nghiệm phương trình:

x3  3x  4  0

Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


x

3

52 

5  2 suy ra x 
3

3

 x3  5  2 





52 

3



5  2  3 3 5  2. 3 5  2.



3

3

5 2



3

5 2  3 5 2



 x3  4  3x  x3  3x  4  0

Bài 8. Cho a  2  7  3 61  46 5  1
a) Chứng minh rằng: a 4  14a 2  9  0
b) Giả sử : f  x   x5  2 x 4  14 x3  28 x 2  9 x  19 . Tính f (a)
Hướng dẫn
a)

3

61  46 5  1  2 5 nên a  2  5 suy ra a 2  7  2 10 nên

a

2

7



2

 40

 a 4  14a 2  9  0
b) x5  2 x 4  14 x3  28 x 2  9 x  19   x 5  14 x 3  9 x   2  x 4  14 x 2  9   1
Suy ra f (a)  1

Bài 9. Đơn giản biểu thức sau: A 

x 1
23 3  2. 6 5  2 6  x 

1
x

Hướng dẫn
x 1

23 3  2. 6



3 2



2

x

1
x

x 1



23 3  2. 3 3  2  x 

1
x

x 1



2 x

3

Bài 10. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: P  x 
4

1
x



x 1

 x  1

2



x
x 1

x

2  3. 6 7  4 3  x

9  4 5. 2  5  x

Hướng dẫn
3

P x
4

=

x

2  3. 7  4 3  x
6

9  4 5. 2  5  x





3



x
4





2  3. 6 2  3



2



2

x

5 2 . 2 5  x

 x

3

2  3. 3 2  3  x
5  2. 2  5  x



1 x 1 x
1 x
 x
 x 1 x  1
1 x
1 x
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 11. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A

8 x
2 3 x

3 2 

3
x
2 3 x   3 x2  4 
:2

x


 ; x  8; x  0

 .  3 2
3
3
3

 

2

x
x

2

x

2
x






Hướng dẫn

2  x 4  2
A
3

3

x  3 x2

 :  4  2



2 3 x


x  3 x2   3 x2  

.




  3 x 2 
2 3 x
 
 
3



3

x 2
3

x





3



x 2 


x 2


3



 2 3 x  3 x  2



Bài 12. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y xy   3 2



 2 3 2.xy
xy  3 2  2 xy
xy
P   2 2 3 

 .
3
3
3
 x y  4 2 xy  2 2  xy  2 xy  2

Hướng dẫn
Đặt

3

 2a.xy

xy  a  2 xy
xy



.
2 2
2
 x y  a 2 xy  2a  xy  a xy  a

2  a suy ra P  


2axy
xy  a  2 xy
xy



.
  xy  a  xy  a  2  xy  a   xy  a xy  a
2
 2axy   xy  a 2  2 xy

 2 xy
xy  a 

xy
xy





.
.
 2  xy  a  xy  a   xy  a xy  a  2  xy  a  xy  a   xy  a xy  a



xy
xy

0
xy  a xy  a

Bài 13.
a) Cho hai số a và b thỏa mãn: a 

2
6
3
3
. Tính A  ab  a b
;
b

3
3
3
3

2 2 2 4
2 2 2 4

b) Chứng minh rằng: x0  3 20  14 2  3 20  14 2 là nghiệm của phương trình

x3  3x2  x  20  0
c) Chứng minh rằng: x0  3 a  a 2  b3  3 a 2  b3  a là nghiệm của phương trình
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


x3  3bx  2a  0
3
d) Chứng minh rằng x  3 9  4 5  3 9  4 5 là nghiệm phương trình x  3x  18  0

Hướng dẫn

Tương tự b  3 4  3
b) x0 

3

2

2 
3








 4  2  2 2  2  4   4    2 
2  A  ab(a  b)(a  b)  8  16  4 
2

2

a) a  3
2 2 2 3 4

3

432

3

3

3



3

2

3

432

3

3

2

3

 3432 .

3

3

3

3

2  4
3

c) x03  2a  3bx0
d) x3  9  4 5  9  4 5  3 3 9  4 5. 3 9  4 5

Bài 14. Cho

3



3



9  4 5  3 9  4 5  18  3x

a  3 b  3 c  3 a  b  c . Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại hai số đối nhau.

Hướng dẫn
Lập phương hai vế giả thiết đưa về dạng:



3

a3b



3

b3c



3



a3 c 0

Bài 15. Cho biểu thức: A  x 2  3 x 4 y 2  y 2  3 x 2 y 4 . Chứng minh:

3

A2  3 x 2  3 y 2

HD:
Đặt

3

x2  a; 3 y 2  b  A  a3  a 2b  b3  ab2   a  b  . a  b 

a  b

3

Suy ra A2   a  b   3 A2  a  b  3 x 2  3 y 2
3

Bài 16. Chứng minh rằng, nếu: ax3  by 3  cz 3 và

1 1 1
   1 thì
x y z

3

ax 2  by 2  cz2  3 a  3 b  3 c

.
Hướng dẫn
Đặt ax 3  by3  cz3  t  a 

Ta có:

3

ax 2  by 2  cz 2  3

t
x

3

,b 

t
y

3

,c 

t
z3

.

1 1 1
t 2 t 2 t 2
.x  3 . y  3 .z  3 t      3 t
3
x
y
z
x y z

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


3

a3b3c

3

3
t
t
t
t 3 t 3 t 3 1 1 1 3
3
3






 t    t
x3
y3
z3
x
y
z
x y z

Vậy VT  VP  3 t

Bài 17. Chứng minh đẳng thức:
x  y  z  33 xyz 

1
2

2
2
2
 3 x  3 y  3 z   3 x  3 y    3 y  3 z    3 z  3 x  

Hướng dẫn
Khai triển và rút gọn ta được vế trái

Bài 18. Chứng minh rằng : Nếu

3

 a  1

2

 3 a 2  1  3  a  1  1 thì
2

3

a 1  3 a 1  2

Hướng dẫn
Nhận xét: nếu
Vậy

3

3

a  1  3 a  1 thì

a  1  a  1 . Đặt
3

3

3

a  1  3 a  1  0 ( vơ lí) .

 x 2  xy  y 2  1
a  1  x; a  1  y suy ra 
3
3
 x y 2
3

Suy ra x  y  2 . Đpcm.
Cách khác:
3

a  1  3 a 1 



3



2
2
a  1  3 a  1  3  a  1  3 a 2  1  3  a  1 



 3  a  1  3  a  1  2
3

3

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Chứng minh rằng :
1)

3

2)

3

2303
6  3
27
1

2303
 6 là một số nguyên
27

84 3
84
là một số nguyên.
 1
9
9

3
Bài 2. Chứng minh rằng: x  3 2  1  3 2  1 là nghiệm của phương trình x  3x  2  0

Bài 3. Chứng minh rằng x  3 9  4 5  3 9  4 5 là nghiệm của phương trình  x3  3x  17 
Bài 4. Chứng minh rằng

3 3

2 1 

3

1 32 34


9
9
9

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

2020

1  0


Dạng 3: So sánh căn bậc ba
Phương pháp:
+ Thực hiện phép tính rồi dựa vào tính chất A  B  3 A  3 B
BÀI MẪU
Bài 1. So sánh:
3

a) 7 và

345

b)

23
3
18 và 3 12
3
4

c) 3 130  1 và 3 3 12 1

Hướng dẫn
a) 7  3 343  3 345 nên 7  3 345
23
8
1
18  3
.18  3 5
3
27
3

b)

3

c)

;

33
27
1
12  3
.12  3 5
4
64
16
3 3 12  1  3 324  1  3 343  1  7  1  6

130  1  3 125  1  6 ;

Bài 2. So sánh:
a) A  2 3 3 và B  3 23

b) A  33 và B  3 3 133

c) A  53 6 và B  6 3 5

Hướng dẫn
a)A= 2 3 3  3 8.3  3 24  3 23 nên A  B
b) A  B

c) A  B

Bài 3. So sánh: A  3 20  14 2  3 20  14 2 và B  2 5
Hướng dẫn

3

Chú ý: 20  14 2   2  2 

nên 𝐴 = 4 ⇒ 𝐴 < 𝐵.

Bài 4. So sánh:
a) 3 124  3 7  3 26 và 10

b)

3

29  3 65  3 8 và 5

Hướng dẫn
a) 3 124  3 7  3 26  3 125  3 8  3 27  5  2  3  10
b)

3

29  3 65  3 8  3 27  3 64  3 8  3  4  2  5

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 5. So sánh:

3

2011  3 2013 và 2 3 2012

Hướng dẫn
Đặt

3

2011  a; 3 2013  b suy ra

a 3  b3
2 2012 
.8  3 4 a 3  b3
2
3



3

3

2012  3

a 3  b3
2



Xét 4  a3  b3    a  b   3  a  b  .  a  b   0  3 4  a3  b3   a  b
3

2

Vậy 2 3 2012  3 2011  3 2013
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 6. So sánh :
a) 4 và
d)

3

3

b) 2. 3 5 và

70

9  3 28  3 65 và 9

e)

3

3

c) 5. 3 6 và 6 3 5

49

7  3 26  3 63 và 9.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc ba.
Phương pháp:

3

A  B  A  B3

BÀI MẪU
Bài 1. Giải phương trình:
b) 2 3 27 x 

a) 3 1000 x  3 64 x  3 27 x  15

13
343x  3 729 x  2
7

Hướng dẫn
3

a)

1000 x  3 64 x  3 27 x  15  10 3 x  4 3 x  3 3 x  15  3 3 x  15  3 x  5  x  125 . Vậy…

b) Tương tự câu a: x  

1
8

Bài 2. Giải phương trình:

3

27  x  1  3 x  1  3 64  x  1  2

Hướng dẫn
3 3 x  1  3 x  1  4 3 x  1  2  2. 3 x  1  2  3 x  1  1  x  2 . Vậy: …

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

3

2x  1  3

b)

3

2  3x  2

c)

3

x 1 1  x

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

d)

3

x3  9x2  x  3

e)

3

5 x  x  5
Hướng dẫn

a) Lập phương hai vế ta được: 2 x  1  27  x  13 . Vậy: ….
10
3

b) x 

c) x  0; x  1; x  2

Bài 4. Giải phương trình:

3

d) x  1

e) x  5; x  4; x  6

x  2015  3 x  2016  3 x  2017  0

Hướng dẫn
Đặt x  2016  y suy ra

3

y 1  3 y  3 y  1  0 

3

y 1  3 y  1   3 y

Lập phương hai vế: 2 y  3. 3  y 2  1 . y   y  y  3  y 2  1 . y  y 3  y 3  y  y  0  x  2016

Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)

3

b) 3 13  x  3 22  x  5

x  2  x 1  3

c)

3

x 1  x  3

Hướng dẫn
Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
a) Đặt:

3

x  2  a; x  1  b  0. Suy ra a3  x  2; b 2  x  1 .

 a  b  3 1
Ta có hệ phương trình:  3 2
. Từ (1) suy ra b  3  a . Thay vào 2 ta được:
a  b  3  2 
x  2  1
 x3
a 3  a 2  6a  6  0  a 2  6  a  1  0  a  1 . Suy ra b  2 hay 
x 1  4



b) Đặt:

3

13  x  a ;



3

 ab 5

22  x  b Suy ra: :  3 3
ta tìm được: x  14; y  5
a

b

35


c) Tương tự câu a, x  7
Bài 6. Tìm x Biết: 2 x3   x  1

3

Hướng dẫn



3



2 x   x  1  3 2 x  x  1  x
3

3



3



2  1  1  x   3

1
2 1

Bài 7. Giải phương trình sau : 2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2 

2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Hướng dẫn
pt 



3

x  2  3 3x



3

 0  x 1

Bài 8. Giải phương trình:

3

x 1  3 7  x  2

Hướng dẫn
Lập phương hai vế ta được: x  1  7  x  3 3 x  1. 3 7  x.2  8
(sử dụng hđt: (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b)
 x  1
Suy ra ( x  1)(7  x)  0  
x  7

 x  1
Vậy phương trình có có 2 nghiệm 
x  7





Bài 9. Giải phương trình: x. 3 35  x3 . x  3 35  x3  30
Hướng dẫn
Đặt y  3 35  x3  x3  y 3  35

 x. y  x  y   30
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  3 3
, giải hệ này ta tìm được

 x  y  35

 x; y    2;3 ;  x; y    3; 2  . Tức là nghiệm của phương trình là

Bài 10.

x  2;3

Giải phương trình 4 17  x8  3 2 x8  1  1 .
Hướng dẫn

Đặt

4

17  x8  y với y  0 và

3

2 x8  1  z . Khi đó ta được hệ

y  z 1
z  y 1
 4
.
 4 3
3
2 y  z  33 2 y  ( y  1)  33

Xét 2 y 4  ( y  1)3  33  ( y  2)(2 y 3  5 y 2  7 y  17)  0 .
Suy ra y  2 . Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1.

Bài 11. Giải phương trình

3

x 2  2  2  x3 .

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


Hướng dẫn
Đặt

3

2
3

x  y  2
x  2  2  x = y với y  0 . Khi đó ta được hệ  3
và từ phương trình ban đầu ta
2

x  2  y

2

3

có x   2 . Xét hiệu hai phương trình của hệ ta được phương trình ( x  y)( x 2  xy  y 2  x  y)  0 .

Với x   y thì x   3 x 2  2 , dẫn đến vơ nghiệm.
Cịn x 2  xy  y 2  x  y  ( y  x)(1  x)  y 2  0 với mọi y  0 và x   2 . Do đó hệ vơ nghiệm hay
phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 12. Giải các phương trình:
1)

3

x  1  3 x  2  1  3 x 2  3x  2

2)

3

x  1  3 x2  3 x  3 x2  x

Hướng dẫn
1. Pt 



3



x 1 1

3



x  0
x  2 1  0  
 x  1

2. Nhận xét: x  0 khơng phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của pt cho
3



3

x ta có:



 x 1  3
x 1 3
 x  1  3 x  1   3
 1 x  1  0  x  1
x
x



Bài 13. Giải phương trình:

3

x 2  1  x  3 x3  2 .

Hướng dẫn
Đk x  3 2
Nhận thấy x  3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình :
3



x 2  1  2  x  3  x 3  2  5   x  3 1 


x3

Ta chứng minh : 1 
3

x

2

 1  2 x  1  4
2

3

2


2
  x  3  x  3 x  9 


2
3 2
x3  2  5
3 x2  1
   2 x  1  4 

 1

x3



x3
3



2

x 1 1  3
2

2

x 2  3x  9
x3  2  5

Vậy pt có nghiệm duy nhất x  3 .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


3x  x

Bài 14. Giải phương trình :

3x

Hướng dẫn
Điều kiện: 0  x  3 khi đó phương trình đã cho tương đương :
3

3
1 
10
10  1

x  3.x  x  3  0   x 


x


3 3 3
3

3

2

Bài 15. Giải phương trình: x3  1  2. 3 2 x  1
Hướng dẫn
Đặt y  3 2 x  1  y3  1  2 x
3

x 1  2 y
- Phương trình được chuyển thành hệ :  3
.
y

1

2
x




 1  5 1  5 

Giải hệ trên được các nghiệm là: x  1;
;

2
2 




Bài 16. Giải phương trình:

3

2  x

2

 3  7  x   3  7  x  2  x   3
2

Hướng dẫn
u  3 2 x

u 2  v 2  uv  3
 3 3
  u; v   1; 2   x  1; 6
v  3 7 x  u v 9

Bài 17. Giải phương trình:

3

2  x  1 x 1

Hướng dẫn
3

u  2  x  u  v  1
Đặt 

  3 2   u; v    0;1 ; 1;0  ;  2;3  x  1; 2;10

 v  x  1 u  v  1

Bài 18. Giải phương trình:
a)

3

x  2  3 x  2  3 5x

b) 2. 3  x  2   3  x  2   3 x 2  4
2

c)

3

2

x  5  3 2 x  1  3 3x  2  2

Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122