PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT ĐIỂN HÌNH TRONG TÍCH PHÂN

PHNG PHÁP VÀ K THUT IN HÌNH
TRONG TÍNH PHÂN

Nguyn Vn Cng, THPT M c A, Hà Ni
T: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526
Email:
ng ti ti

Phép tính tích phân là mt phn quan trng ca gii tích toán hc nói riêng
và trong Toán hc nói chung,không nhng nh là mt đi tng nghiên cu
trng tâm ca gii tích mà còn có đc lc trong nghiên cu lý thuyt v phng
trình, lý thuyt v hàm s.
Ngoài ra phép tính vi phân còn đc s dng nhiu trong các môn khoa
hc khác nh Vt lý Thiên vn hc ,c hc nó nh là mt gii pháp hu hiu
ca các mô hình toán hc c th Hc sinh lp 12 Khi ôn thi tt nghip ,Thi đi
hc –cao đng thng rt gp khó khn khi gii các bài tp trong chuyên đ này.
Nhng ngi mi hc và làm quen vi Tích phân thng cha hiu rõ t tng
cng nh phng pháp tip cn lý thuyt , đc bit là khâu vn dng lý thuyt vào
gii các bài toán thc t.
Bài vit này xin nêu ra mt s phng pháp đin hình thng đc dùng đ
gii các bài tp v tích phân trong các k thi i hc. Ni dung bài vit cng là ni
dung c bn ca đ tài sáng kin kinh nghim ca tôi trong nm hc 2010 đã đc
S giáo dc và đào to Hà Ni xp loi B.
Mc dù đã tham kho mt s lng ln các tài liu hin nay đ va vit,
va đi ging dy trên lp đ kim nghim song vì nng lc và thi gian có hn
,rt mong đc s đóng góp ca các bn đng nghip và nhng ngi yêu thích
môn toán đ chuyên đ này có ý ngha thit thc hn trong nhà trng ,góp phn
nâng cao hn na cht lng Giáo dc ph thông.Giúp các em có phng pháp -

k nng khi gii các bài Tích phân trong các k thi cui cp đng thi bc đu
trang b cho các em kin thc v phép tính vi phân –Tích phân trong nhng nm
đu hc đi hc. Xin vui lòng gii thiu vi các bn đng nghip và nhng ngi
yêu toán chuyên đ :
“Phng pháp và k thut đin hình tính tích phân”


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 2

I - K thut bin đi vi phân (đa v bng nguyên hàm)

Khi s dng k thut bng nguyên hàm ta cn lu ý đn mt s phép toán vi phân
đn gin sau:
f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là mt nguyên hàm ca hàm s f(x)
dx=
1
( )
d ax b
a
+
x
k
dx=d
1
( )
1
k
x

a
k
+
+
+
sinxdx=d(-cosx)
2
2 2
( )
dx d x x a
x a x x a
+ +
=
+ + +
;
2
(t anx)
os
dx
d
c x
= ;
2
( cot x)
sin
dx
d
x
= -

Mt s công thc suy rng sau
cos
sin
kx
kxdx c
k
= - +
ò
;
sin
os
kx
c kxdx c
k
= +
ò
;
kx
kx
e
e dx c
k
= +
ò
;
,
ln
kx
kx
a

a dx c k R
k a
= + " Î
ò

Ví d 1( HA -2010) Tính tích phân :
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
I dx
1 2e
+ +
=
+
ò

Li gii
1 1 1
2
2
0 0 0
(1 2 )
1 2 1 2
x x x
x x
x e e e
I dx x dx dx
e e

+ +
= = +
+ +
ò ò ò
;
1
1
3
2
1
0
0
1
;
3 3
x
I x dx
= = =
ò

1
2
0
1 2
x
x
e
I dx
e
=

+
ò
=
1
0
1 (1 2 )
2 1 2
x
x
d e
e
+
+
ò
=
1
0
1
ln(1 2 )
2
x
e
+ =
1 1 2
ln
2 3
e
+
æ ö
ç ÷

è ø
Vy I =
1 1 1 2
ln
3 2 3
e
+
æ ö
+
ç ÷
è ø

Ví d 1( HA -2009) Tính tích phaân
2
3 2
0
I (cos x 1)cos xdx
p
= -
ò

Li gii
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2
3 2 5 2 4 2
1
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2

2 2
2 4 2
2
0 0
0 0 0 0 0
cos 1 cos cos cos , cos cos 1 sin cos
8 1 cos2 1 1 1 1
1 2sin sin (sinx) , cos cos2 sin 2
15 2 2 2 2 4 4
I x xdx xdx xdx I x xdx x xdx
x
x x d I xdx dx dx xdx x x
p p p p p
p p p p p
p p
p
= - = - = = - =
+
- + = = = = + = + =
ò ò ò ò ò
ò ò ò ò ò

Tính tích phân
3
x
1
dx
I
e 1
=

-
ò

Ví d 3 HKD -09) Tính tích phân
3
x
1
dx
I
e 1
=
-
ò

Li gii
3 3 3
x x x
3
x
x x
1
1 1 1
1 e e e
I dx dx dx 2 ln e 1
e 1 e 1
- +
= = - + = - + -
- -
ò ò ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 3


3 2
2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)
= - + - - - = - + + +

Ví d 1 (HKB -03) Tính I=
/4
2
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
p
-
+
ò

Li gii:
Nhn thy d(1+sin2x)=
1
os2
2
c xdx
, 1-2sin

2
x=cos2x nên ta có
I =
/4 /4 /4
2
/4
0
0 0 0
1 2sin os2 1 (1 sin 2 ) 1 1
ln(1 sin 2 ) ln 2
1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
x c x d x
dx dx x
x x x
p p p
p
- +
= = = + =
+ + +
ò ò ò

Ví d 2 (H KA-06)
J =
/4
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx

c x x
p
+
ò

Li gii:
Nhn thy d(cos
2
x+4sin
2
x)=sin2xdx do đó ta có

J=
/4
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx
c x x
p
+
ò
=
/4
2 2
2 2
0
1 ( os 4sin )

3
os 4sin
d c x x
dx
c x x
p
+
+
ò
=
1
2 2 /4
2
0
2
( os 4sin )
3
c x x
p
+
=
1
( 10 2)
3
-

Ví d 3
Tính K=
3
2

1
ln 2 ln
e
x x
dx
x
+
ò
(HKB-04)
Li gii:
K =
3
2
3 2 2 1/3 2
3
3
1 1 1
ln 2 ln 1 3
2 ln ln (ln ) (2 ln ) (2 ln ) (3 3 2 2)
2 8
e e e
x x
dx x xd x x d x
x
+
= + = + + = -
ò ò ò

Nhn xét 1:

- Các tích phân trên có th gii đc bng phng pháp đi bin s song nu ta
khéo léo bin đi vi phân thì đa đc v các tich phân c bn .
-Dùng phép bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm c bn giúp Li gii ngn
gn,so vi Phép đi bin s thì không phi đi cn ,Trong gii toán thêm mt
phép toán là thêm mt nguy c sai. đ làm rõ u đim ca phng pháp này ta xét
bài toán sau

Ví d 4: Tính L=
( )
ln ( ) ( )
( )( )
b
x a x b
a
dx
x a x b
x a x b
+ +
é ù
+ +
ë û
+ +
ò
vi b>a>0
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 4

Vit li L=

( )ln( ) ( )ln( )
( )( )
b
a
x a x a x b x b
x a x b
+ + + + +
+ +
ò
dx =
ln( ) ln( )
b
a
x a x b
dx
x b x a
+ +
é ù
+
ê ú
+ +
ë û
ò
=
[ ]
ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
b
a
x x d x b x b d x a
+ + + + +

ò

=
[ ]
ln( )ln( ) ln( )ln( ) ln ln( )
b
b
a
a
a
d x b x b x a x b a b
b
+ + = + + = +
ò

Nhn xét 2

-ây là mt trong nhng bài toán đin hình minh ho tính u vit cho phng
pháp s dng phng pháp bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm
-Mt trong nhng phng pháp c bn nht đ tính tích phân lng giác đó là bin
đi
Vi phân đa v bng nguyên hàm c bn,khi đó ta cn dùng các công thc bin
đi lng giác nh h bc ,nhân đôi ,tng thành tích ta xét các ví d sau

Ví d 5 Tính
M=
/2
sin
0
( cos ) cos

x
e x xdx
p
+
ò
(H K D-05)
Li gii:
M=
/2 /2
sin
0 0
1 os2
(cos ) 1
2 4
x
c x
e d x dx e
p p
p
+
+ = - +
ò ò


Ví d 6: Tính
N=
/3
2 2
/4
sin

os 1 os
xdx
c x c x
p
p
+
ò

Li gii:

N=
/3 /3 /3
2 1/2 2
2 2
2
/4 /4 /4
2
sin tan 1
(2 tan ) (2 tan ) 5 3
2
1
os 2 tan
os cos 1
os
xdx xdx
x d x
c x x
c x x
c x
p p p

p p p
-
= = + + = -
+
+
ò ò ò

Ví d 7: Tính P=
2
3
1
2
0
1
x
x
e dx
x
+
+
ò

Li gii:
P=
2 2 2 2
3 3 3
1
1 1 2 2 1 2 1 3 2
2
1

2
0 0 0
(1 ) (1 ) (1 )
1
x x x x
x
e dx e x d x dx e d x e e e
x
-
+ + + +
= + + = + = = -
+
ò ò ò


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 5

Mt s sai lm thng gp khi tính tích phân bng phng pháp bin đi vi
phân
Víd 7 : Tính I=
0
1 sinx
dx
p
+
ò

Nhn xét: Hc sinh khi gii thng gp sai lm sau

t x=tanx/2
dx=
2
2
0
2 2 2
0 0 0
2 1 1 2 2 2 2
; 2 (1 ) ( 1)
1 1 sinx (1 ) 1 sinx (1 ) tan 0 1
t an 1 tan 1
2 2
dt t dx dt
t d t
x
t t t
p p p
p
p
-
+ - - -
= Þ = = + + = = -
+ + + + + +
+ +
ò ò ò

Do tan
2
p
không xác đnh nên tích phân trên không tn ti.

Nguyên nhân sai lm :Do tích phân là tng vô hn các hng t nên
2
0
tan 1
2
p
-
Þ
+

vn đc tha nhn.
Li gii đúng: I=
0
1 sinx
dx
p
+
ò

=
0
1 os( )
2
dx
c x
p
p
+ -
ò
=

0
2
0
( )
2 4
tan( ) tan tan( )
2 4 4 4
1 os ( )
2 4
x
d
x
x
c
p
p
p
p p p
p
-
= - = - -
+ -
ò
=2
Qua bài toán trên ngi thy nên lu ý vi hc sinh khi đi bin s trc ht phi
ngh ngay ti phép đi bin có tn ti hay không?( cng ging nh khi ta gii
phng trình cn đt điu kin cho n s nu có)
Ví d 8 I=
4
2

0
6 9
x x dx
- +
ò

Nhn xét:
Hc sinh thng mc sai lm sau
I=
4
2
0
6 9
x x dx
- +
ò
=
4 4
2
2 2 4
0
0 0
( 3)
( 3) ( 3) ( 3) 4
2
x
x dx x d x
-
- = - - = = -
ò ò

Nguyên nhân sai lm là phép bin đi
2
( 3) 3
x x
- = -
không tng đng đng
trên
[
]
0,4
vì |x-3|=
3;3 4
3 ;0 3
x x
x x
- £ £
ì
í
- £ £
î

Li gii đúng là
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 6

I=
4
2

0
6 9
x x dx
- +
ò

=
4 4 4 3 4
2 2
0 0 0 0 3
( 3) ( 3) ( 3) | 3| ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
x dx x d x x d x x d x x d x
- = - - = - - = - - - + - -
ò ò ò ò ò

=
2 2
3 4
0 0
( 3) ( 3)
| 5
2 2
x x- - -
+ =

Ví d 9: Tính I=
2
2
2
( 1)

dx
x
-
+
ò

Hc sinh thng mc sai lm khi bin đi nh sau

I =
2
2
2
( 1)
dx
x
-
+
ò
=
2
2
2
( 1)
( 1)
d x
x
-
+
+
ò

=
2
2
1 4
|
1 3
x
-
- -
=
+

Nguyên nhân sai lm là do hàm s y=
2
1
( 1)
x +
gián đon trên đon
[
]
2;2
- nên
không s dng đc công thc NeW ton –leibnitz nh trên.
Li gii đúng là :
hàm s y=
2
1
( 1)
x +
không xác đnh ti x=-1

[
]
2;2
Î - nên gián đon trên
[
]
2;2
- ,do vy
tích phân trên không tn ti.

Tng kt:
 s dng đc thành tho k thut s dung bng nguyên hàm hc sinh hiu
đc bn cht ca các công thc,phi hiu công thc trong trng thái đng.khi
đng trc bài toán tính tích phân cn xem xét k biu thc di du tích phân,nu
có ý tng s dng bng nguyên hàm thì đnh đa v công thc nào trong bng
nguyên hàm.  làm đc điu đó hoc sinh phi hiu k bn cht ca công thc,
có t duy trong bin đi vi phân mt cách logic, đ tip nhn nó mt cách t
nhiên ,không gng ép . Chng hn khi hng dn hc sinh s dung công thc
1
1
x
x dx c
a
a
a
+
= +
+
ò
, hc sinh phi hiu giá tr x trong hai s

x
a
và dx là ging nhau,
nu thay x trong hai s đó bi mt biu thc khác th công thc trên vn đúng ví
d thay

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 7

X = 2t+1 thì ta có
1
(2 1)
(2 1) (2 1)
1
t
t d t c
a
a
a
+
+
+ + = +
+
ò
,Nhng nu ch có dng
(2 1)
t dt
a
+

ò
mun s dng đc công thc trên phi bin đi dt =
1
(2 1)
2
d x
+
.ngha
là ta đã bin đi vi phân. Tng t đi vói các nguyên hàm khác.
 luyn tp k thut trên ta có th làm tng t các bài tp sau
1/I=
4
3
sinx
dx
p
p
ò
; 2/J=
4
3
cos
dx
x
p
p
ò
; 3/K=
32 3
1

x x dx
-
ò
;4/L=
tan x
dx
ò
;5/ M=
4
dx
cos x
ò


6/N=
2 4 2
1 os 1
x
x c x
+ +
ò
; 7/ P=
2
1
ln
(ln 1)
e
x
x x
+

ò
; 8/Q=
2001
2 1002
(1 )
x dx
x+
ò
;

9/y=
2
2 2
0
sin x cos
3sin 4 os
xdx
x c x
p
+
ò
; 10/T=
3
3 5
6
sin os
dx
xc x
p
p

ò
; 11/H=
4
6 6
0
sin 4
sin os
xdx
x c x
p
+
ò





II-Tính tích phân bng cách đa biu thc di du tích phân v do hàm
ca mt hàm s
khi s dng k thut này ta chú ý đn các tính cht quan trng sau
· ( UV)
’
=UV
’
+U
’
V
·
'
' '

2
U U V UV
V V
-
æ ö
=
ç ÷
è ø

·
(
)
(
)
' '
U V UV dx d UV
+ =
ò ò

·
' '
2
U V UV U
dx d
V V
-
æ ö
=
ç ÷
è ø

ò ò

Ví d 1 I=
2
1
2 ln
ln
e
e
x dx
x
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò
(H NT-00)
Li gii:
Ta có
' ' '
1
2 ln 2 ln .( ) (2 ln ) (2 ln )
ln
x x x x x x x
x
+ = + =

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 8

Do ú I=
2 2
2
2
1
2 ln (2 ln )= 2 ln 2 2 2
ln
e e
e
e
e e
x dx d x x x x e e
x
ổ ử
+ = = -
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ

Vớ d 2 J=
2
0
1 sinx
1 cos
dx
x
p
+
+

ũ
(H -Dc -00)
Li gii:
J=
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
2 2
0
1 2sin os
1 sinx 1
2 2
tan tan
1 cos 2 2
2 os 2 os
2 2
tan
2
x x x x x
x
x x
c
x x
e dx e dx e e dx d e
x x
x
c c
x
e e
p p p p

p p
ộ ự
+
ờ ỳ
+
ổ ử
= = + = =
ờ ỳ
ỗ ữ
+
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ ũ ũ

Nhn xột :Ngoi cỏch gii trờn ta cũn cú th gii nh sau
Cỏch 2 Phõn tớch K=
2 2 2
1 2
0 0 0
1 sinx 1 sinx
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
e dx e dx e dx K K
x x x
p p p

+
= + = +
+ + +
ũ ũ ũ

2 2 2 2
2
1 0
2
0 0 0 0
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
0 0
1 1
(tan ) tan tan
1 cos 2 2 2
2 os
2
sin sin
1 cos
2 os
2
x x x x x
x x
x x x
K e dx e dx e d e e dx
x
x

c
x x
e e dx e e dx K K e K K e
x
x
c
p p p p
p
p p
p p p p
= = = = -
+
= - = - - ị = + - =
+
ũ ũ ũ ũ
ũ ũ

Cỏch 3: Cú th t
2 2
(1 cos ) sinx
1 sinx
(1 cos ) (1 cos )
1 cos
x
x
x
du
u
x x
x

dv e dx
v e
ỡ
ộ ự
+
+
ỡ
= -
=
ù
ù
ờ ỳ
+ +
ị
+
ớ ớ
ở ỷ
ù ù
=
=
ợ
ợ
dx
T ú ta cú K=
2 2
'
2 2
2 2
0
2 2 2

1 sinx (1 cos ) sinx 1 e
2 ( )
1 cos (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos )
1
2 ( )
2 1 cos
x x x
x
o
o
x
o
x e e
e dx e dx
x x x x
e
e e
x
p p
p p
p p p
ộ ự
+ +
- - = - - =
ờ ỳ
+ + + +
ở ỷ
- - =
+
ũ ũ

Vớ d 3 K =
2
2
.
( 2)
x
x e
x +
ũ
dx
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 9

K =
2
'
2 2 2
'
. 4 4 2 1 1 1
4 4 ( ) ( )
( 2) ( 2) ( 2) 2 2
4 ( ) 4( )
2 2
x
x x x x x x
x x
x x

x e x x
dx e e dx e dx e e e dx
x x x x x
e e
e dx e C
x x
é ù
+ + -
é ù
= - = - = - +
ê ú
ê ú
+ + + + +
ë û
ë û
- = - +
+ +
ò ò ò ò
ò

 luyn tp ta tính các tích phân sau

I=
4
2 2
0
4 tan (1 tan )
2 2
x x
x x dx

p
é ù
+ +
ê ú
ë û
ò
HD: I=
2
tan
8 8
p p

J=
1
2
2
0
( 1)
( 1)
x
x e
dx
x
+
+
ò
HD: J=1
K=
2
sinx

0
(1 cos )
e x x dx
p
+
ò
HD: K=
2
e
p








III-K thut đi bin s
1/i bin s dng 1:

i bin s là mt trong nhng phng pháp quan trng nht đ tính nguyên hàm
và tích Phân .C s ca phng pháp đi bin s dng 1 là công thc sau

,
[ ( )] ( )
b
a
f u x u x dx
ò

=
( )
f u du
b
a
ò

Trong đó f(x) là hàm s liên tc và hàm s u(x) có đo hàm liên tc trên K sao
cho
f[u(x) ] xác đnh trên K và
( ), ( )
u a u b
a b
= =
.
Áp dng tính cht trên ta có quy tc đi bin sau
Xét tích phân
( )
b
a
f x dx
ò
. t t=V(x) khi đó ta bin đi f(x)dx=g(t)dt do đó
( )
b
a
f x dx
ò
=
( )

g t dt
b
a
ò
và
( ), ( )
u a u b
a b
= =

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 10

Khi i bin s iu quan trng l chn c hm V(x) thớch hp sao cho tớch
phõn vi bin mi phi n gin hn so vi tớch phõn ban u ,v gn lin vi vic
i bin ú l phi i cn , ta xột mt s bi toỏn sau trc khi rỳt ra nhng kinh
nghim trong
vic la trn hm V(x).
Vớ d 0(HKB-2010): Tớnh tớch phõn I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
ũ

( )
2
1
ln
2 ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ
;
1
ln
u x du dx
x
= ị =
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1 2
2
2 2
u
I du du
u
u u
ổ ử

= = -
ỗ ữ
ỗ ữ
+
+ +
ố ứ
ũ ũ

1
0
2
ln 2
2
u
u
ổ ử
= + +
ỗ ữ
+
ố ứ
( )
2
ln3 ln2 1
3
ổ ử
= + - +
ỗ ữ
ố ứ

3 1

ln
2 3
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ


Vớ d 1: Tớnh I=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
ũ
(HKA-03)
Li gii: t t=
2
4
x
+
khi x=
5
,t=3 x=
2 3
,t=4. t
2
=x

2
+4 suy ra x
2
=t
2
-
4,tdt=xdx

I=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
ũ
=
2 3
2 2
5
4
xdx
x x
+
ũ
=
4 4 4 4 4
2 2
3 3 3 3 3

1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 2)
( 4) 4 4 ( 2)( 2) 4 2 4 2
tdt dt t t d t d t
dt
t t t t t t t
+ - - - +
= = = - =
- - + - - +
ũ ũ ũ ũ ũ

4
3
1 2 1 5
ln ln
4 2 4 3
t
t
-
=
+
.
Nhn xột 1:
-Dng tng quỏt ca tớch phõn trờn l
2
( )
b
a
dx
mx n px qx c
+ + +

ũ
ngoi cỏch gii nh
trờn l t t=
2
px qx c
+ +
ta cũn cú th gii nh sau:
t mx+n=
1
t
. Sau ú chuyn tớch phõn trờn v bin mi t ta cng thu c kt qu
trờn
-i vi cỏc tớch phõn cú cha biu thc
( )
n
f x
ta thng ngh ti vic la chon
t=
( )
n
f x

( tr mt s trng hp s cú du hiu i bin s dng 2 s trỡnh by sau ).Ta xột
thờm mt s vớ d lm sỏng t

Vớ d 2 :
Tớnh (HKA-04)
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 11

J=
2
1
1 1
dx
x
+ -
ò

Li gii:
Thc hin phép biên đi t=
1
x
-
,x=1 thì t=o,x=2 thì t=1,t
2
=x-1 suy ra x=t
2
+1
2tdt = dx t đó ta có

2
1
1 1
dx
x
+ -
ò
=

1
2
0
( 1)2
1
t tdt
t
+
+
ò
=
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
4 ( 1) 11
[2 2 4 ] 2 2 4 4ln 2
1 1 3
d t
t t dt t dt dt
t t
+
- + - = - - = -
+ +
ò ò ò ò

Ví d 3:( HKB-04)
K=
1
1 3ln ln
e

x x
dx
x
+
ò

Li gii:
Nhn thy K=
1
1 3ln ln (ln )
e
x xd x
+
ò
do vy ta chn t=
1 3ln
x
+
, x=1,t=1,x=2,t=2
lnx=
2
1
2
t
-
và 2tdt=
3
dx
x
.Do đó

K=
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
ò
=
2 2 2
2
4 2
1 1 1
( 1)2 2 116
[ ]
3.3 9 135
t t
tdt t dt t dt
-
= - =
ò ò ò

Ví d 4: Tính L=
3
2
1
ln
ln 1
e

x
dx
x x +
ò
( thi d b KD-2005)
Li gii:
t t=
2 2
3
ln 1 ln 1 2 , 1 ln
2; 1 1
dx
x t x tdt t x
x
x e t x t
+ Þ = + Þ = - =
= Þ = = Þ =

L=
3
2
2
4 2
1 1
ln 76
2 ( 2 1)
15
ln 1
e
x

dx t t dt
x x
= - + = =
+
ò ò


Ví d 5:
Tính M=
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
x
+ +
ò

Li gii:
t t=
3
4
1
x
+
x=0,t=1,x=
4
7

,t=2.Ta có t
3
=x
4
+1 suy ra 3t
2
dt=4x
3
dx do đó
M=
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
x
+ +
ò
=
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
3 3 ( 1) 1 3 3 ( 1) 3 3 3
( 1) ( 1) ln
4 1 4 1 4 4 1 8 4 2
t dt t d t
t d t
t t t

+ - +
= = - - + = +
+ + +
ò ò ò ò

Nhn xét 2:
Do đc thù mt s tích phân phc tp ,trc khi đi bin s dng 1 đôi khi ta phi
bin
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 12

đi đ d nhn thy bin mi rõ hn
Ví d 6: Tính N=
2
11 4
1
1
dx
x x
+
ò

Li gii:
Bién đi N=
2
11 4
1
1
dx

x x
+
ò
=
1
13
0
4
1
1
dx
x
x
+
ò
t t=
5
2
4 4
4
2
1
1 1
1 1,
1
1
dx
x
suyra t dt
x x

x
-
+ = - =
+

Và t đó
2
4 5
2 2
13 4 4
1 1
( )
1
( 1)
2
1 1
dx
dx
x x
t dt
x x x
= = - -
+ +
,x=1,t=
17
2, 2, 2,
16
x x t= = =

N=

1
11 4
0
1
dx
x x
+
ò
=
17
16
4 2
2
1
( 2 1)
2
t t dt
- - +
ò
ta đa v tích phân quen thuc

Nhn xét 3
-Các tích phân cha các hàm s lng giác trc khi nhn din đc bin mi cn
có hng bin đi lng giác nh vào các công thc quen thuc nh:công thc
nhân đôi , h bc,tng thành tích ,
Ví d 7:
Tính L=
/4
0
sin( / 4)

sin 2 2(1 sinx cos )
x
dx
x x
p
p
-
+ + +
ò
(HKB-08)
Li gii:
Nhn xét :tích phân trên mi nhìn ta thy khó nhn din đc bin mi ta th
xem mu và t sô có mi qua h gì ?
sin2x+2(1+sinx+cosx)=1+2sinxcosx+2(sinx+cosx)+1=(sinx+cosx)
2
+
2(sinx+cosx)+1 =(sinx+cosx+1)
2
, d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx=
-
2 sin( / 4)
x
p
-
dx
Do đó đt t=sinx+cosx khi đó đi cn ta có:
L=
/4
0
sin( / 4)

sin 2 2(1 sinx cos )
x
dx
x x
p
p
-
+ + +
ò
=
2
2
1
( 1)
2 4 3 2
2 ( 1) 4
d t
dt
t
+
- -
=
+
ò


Ví d 8
Tính P=
/6
4

0
tan
os2
x
dx
c x
p
ò
(HKA-08)
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 13

Nhn xét P=
/6
4
0
tan
os2
x
dx
c x
p
ò
=
/6
4
2 2
0

tan
os sin
x
dx
c x x
p
-
ò
=
/6
4
2 2
0
tan
(1 tan ) os
x
dx
x c x
p
-
ò
=
/6
4
2
0
tan (t anx)
(1 tan )
xd
x

p
-
ò

t tanx=t ,x=0thì t=0,x=
6
p
thì t=
1
3
.
Do đó P=
/6
4
0
tan
os2
x
dx
c x
p
ò
=
1
3
4
2
0
1
t

dt
t
-
ò
=

1 1 1
3 3 3
4
2
2 2
0 0 0
1 (1 ) 10 1
(1 ) ln(2 3)
1 1 2
9 3
t dt
dt t dt
t t
- -
= - + = - + +
- -
ò ò ò

Nhn xét 4
-khi tính tích phân dng
(tan )
os2
b
a

f x
dx
c x
ò
hoc
(tan )
sin 2
b
a
f x
dx
x
ò
ta vit nh sau
Cos2x=cos
2
x(1-tan
2
x); sin2x=2cos
2
xtan
2
x sau đó đt t= tanx thì
dt=
2
os
dx
c t
sau đó a v tích phân c bn.
-Bài toán tng quát ca bài trên là P=

4
tan
; ,
os2
a x
dx a b R
bc x
b
a
Î
ò


- Vi cánh khai thác trên ta có th gii quyt bài toán tng quát hn nh sau

P
1
=
4
2 2
tan
; , , ,
sin sin x cos os
a x
dx a b c d R
b x c x dc x
b
a
Î
+ +

ò
vi chú ý là
(bsin
2
x+csinx cosx+dcos
2
x)=(btan
2
x+ctanx+d)cos
2
x do đó ta chn t =tanx
- i vi các tích phân lng giác
(sinx,cos )
b
a
R x dx
ò
cha hai hàm lng giác
sinx,cosx ta có my điu quan trng sau
+ Nu l theo bc ca sinx thì nên chn t=cosx
+Nu l theo bc ca cosx thì nên đt t=sinx
+chn theo sinx và cosx thì đt t=tanx

Ví d 9: Tính Q=
/2
0
sin 2 cos
1 os
x x
dx

c x
p
+
ò
(HKB-05)
Li gii:
Bin đi
Q=
/2
0
sin 2 cos
1 os
x x
dx
c x
p
+
ò
=
/2
2
0
sin cos
2
1 os
x x
dx
c x
p
+

ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 14

t t=1+cosx (vì bc ca sinx l) suy ra dt=-sinxdx ,x=0thì t=
/ 2
p
,x=
/ 2
p
thì
t=1

Q=
/2
0
sin 2 cos
1 os
x x
dx
c x
p
+
ò
= Q=
2
2
1

( 1)
2ln 2 1
t
dt
t
-
= -
ò

Nhn xét 5:
-Tích phân trên có dng tng quát Q=
sin 2 cos
os
a x x
dx
b Cc x
b
a
+
ò
có hai cách đt
C1: t=b+ ccosx
C2: t=cosx
Ví d 10:
R=
/3
2
/4
sin 2sin xcos
dx

x x
p
p
-
ò

Li gii: Nhn xét bc ca sinx chn nên ta ngh ti cách đt t= tanx
R=
/3
2
/4
sin 2sin x cos
dx
x x
p
p
-
ò
= R=
/3
2 2
/4
1
(tan 2 t anx) os
dx
x c x
p
p
-
ò

=
/3
2
/4
(t anx)
(tan 2 t anx)
d
x
p
p
-
ò

đt t=tanx ta có R=
/3
2
/4
(t anx)
(tan 2 t anx)
d
x
p
p
-
ò
=
3 3
2
1 1
1 1 1 1 2

( ) ln(1 )
2 2 2 2
3
dt
dt
t t t t
= - = -
- -
ò ò

Nhn xét 6
- Tích phân tng quát ca tích phân trên là R=
2 2
sin sin x cos os
dx
a x b x cc x
b
a
+ +
ò

Ta bin đi R=
2 2
( tan t anx ) os
dx
a x b c c x
b
a
- +
ò

=
2
(t anx)
( tan t anx )
d
a x b c
b
a
- +
ò

sau đó đt t=tanx
- Tng t đi vi tích phân lng giác có dng R=
2 2 2 2
sin x cos
,
( sin os )
n
xdx
n N
a x b c x
b
a
Î
+
ò

Nhn xét 7:
i vi mt s tích phân không có du hu đc bit nh cha
( )

n
f x
hay cha các
hàm
s lng giác nh đã xét  trên khi đó ta phi quan sát k và khéo léo phân tích đ
có th nhn diên đc bin mi.Ta xét thêm mt s các ví d sau
Ví d 11
Tính G=
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò

Li gii:
Nhn xét (
2 2
2 2
1 1 1 1
) ( ) 2, ( ) (1 )
x x d x dx
x x x x
+ = + - + = -

t đó ta bin đi nh sau
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 15

G=
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
=
2
2
2
1
2
1
1
1
x
dx
x

x
-
+
ò
= G=
2
2
2
1
1
1
1
( ) 2
x
dx
x
x
-
+ -
ò
=
2
2
1
1
( )
1
( ) 2
d x
x

x
x
+
+ -
ò

t t=x
1
x
+
,x=1 thì t=2,x=2 thì t=5/2
Khi đó ta có
G=
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
=
5/2 5/2
5/2
2
2

2 2
(5 2 2)(2 2)
1 ( 2) ( 2) 1 2 1
ln ln
2
2 2 ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 6 2
dt t t t
dt dt
u
t t t
- +
- - - -
= = =
-
- + + -
ò ò

Ví d 12

Y=
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
-
+ -
ò
(HKB-06)

Li gii:
Nhn xét
2
( )
2 3 3 2 ( 1)( 2)
x x
x x x x x x
dx e dx d e
e e e e e e
-
= =
+ - - + - -

t t=e
x
,x=ln3 thì t=3,x=ln5 thì t=5
Y=
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
-
+ -
ò
=
5
3
( 1)( 2)

dt
t t
=
- -
ò

5 5 5
5
3
3 3 3
( 1) ( 2) ( 2) ( 1) 2 3
ln ln
( 1)( 2) 2 1 1 2
t t dt d t d t t
t t t t t
- - - - - -
= - = =
- - - - -
ò ò ò

Ví d 13
H=
2
7
7
1
1
(1 )
x
dx

x x
-
+
ò

Li gii:
Nhn thy
7 7 6 7
7
7) 7 7 7
1 (1 ) 1 (1 )
( )
(1 (1 ) 7 (1 )
x x x x
dx dx d x
x x x x x
- - -
= =
+ + +
do đó ta ngh ti đt t=x
7

H=
2
7
7
1
1
(1 )
x

dx
x x
-
+
ò
=
128
1
1 (1 )
7 ( 1)
t dt
t t
-
+
ò
=
128
1
1 (1 ) 2
7 ( 1)
t t
dt
t t
+ -
=
+
ò
128 128
1 1
1 1 512

[ 2 ] ln
7 1 7 16641
dt dt
t t
- =
+
ò ò


Ví d 14
K=
1
5 3 6
0
(1 )
x x dx
-
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 16

Li gii:
Nhn xét x
5
(1-x
3
)
6

=x
3
(1-x
3
)
6
x
2
=-
3 3 6 3
1
(1 ) (1 )
3
x x d x
- -
=
3 3 6 3
1
[1 (1 )](1 ) (1 )
3
x x d x
- - - - -

Do đó ta đt t=1-x
3
và ta có
K=
1
5 3 6
0

(1 )
x x dx
-
ò
=
0
6
1
1
(1 )
3
t dt
- - =
ò
0
6
1
1 1
(1 ) (1 )
3 168
t d t- - =
ò

Nhn xét 8:
Các ví d trên đc gii nh vào vic bit phân tích mi quan h gia các biu
thc di du tích phân.ta gi chung là đi bin nh ‘Phân tích’

Nhn xét chung:
i bin s dng 1 là mt trong nhng phng pháp rt c bn, hc sinh thng
gp trong Các k thi tt nghiêp và thi vào các trng i hc,bi nó có th phát

huy ti đa t duy Linh hot ca hc sinh ,Hc sinh không th dùng mt công thc
đi bin tông quát nào áp dng Cho các bài toán khác nhau.Chính vì l đó trong
ging dy hc sinh dùng phng pháp đi bin s dng 1 ,ngi thy không quá sa
đà vào vic dy hc sinh nhng dng toán có tính cht công thc,máy móc. iu
quan trng là phát trin  hc sinh t duy logíc,s sáng to ,các em t mình chim
lnh kin thc ,t rút ra nhng bài hc b ích t vic gii đc hay không gii đc
nhng bài tích phân,có nh vy khi đng trc nhng bài toán mi hay nhng bài
toán đc ngy trang thì các em vn có đc ‘sc đ kháng’’ đ vt qua.Tôi coi
đó là t tng ch yu ca dy hc tích phân nói riêng và môn toán nói chung.

2-i bin s dng hai:
T tng ca k thut này là :Gi s ta cn tính tích phân I=
( )
b
a
f x dx
ò
thì ta chn
X=u(t),vi u(t) là hàm s ta chn thích hp
Biu din dx=u
’
(t)dt, u(
) , ( )
a u b
a b
= =

Biu th f(x)dx theo t và dt,gi s f(x)dx=g(t)dt
I=
( )

b
a
f x dx
ò
=
( )
g t dt
b
a
ò
là tích phân d tìm hn tích phân ban đu.
Ví d 1: Tính I=
2
2
2
2
0
1
x dx
x
-
ò

Li gii :
Nx: ta có sin
2
t+cos
2
t =1 nên 1-sin
2

t=cos
2
t,
2
1 sin cos
t t
- = do đó ta ngh ti
t x=sint

t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú
ë û
x=0,t=0,x=
2
,
2 4
t
p
=
,dx=costdt
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 17

I=

2
2
2
2
0
1
x dx
x
-
ò
= I=
/4 /4 /4
2 2
2
0 0 0
sin cos sin cos 1 os2 1
cos 2 8 4
1 sin
x tdt t t c t
dt dt
t
t
p p p
p
-
= = = -
-
ò ò ò

Nhn xét 1 :

- Có th đt x=cost t
[
]
0;
p
Î
-i vi nhng tích phân có cha các biu thc
2 2
a x
-
ta có th đt x=acost ,
t
[
]
0;
p
Î
hoc x= asint , t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú
ë û

Ví d 2: Tính J=
6
2
3 2

9
dx
x x
-
ò

Li gii:
t x=
3
,
sin
t

(0; / 2)
t
p
Î

dx=
2
3cos
sin
tdt
t
-
,
1 1
3 2,sin , 6,sin
4 2 6
2

x t t x t t
p p
= = Þ = = = Þ =

J=
6
2
3 2
9
dx
x x
-
ò
=
/6
2
/4
2
3cos
3 9
sin 9
sin sin
tdt
t
t t
p
p
-
-
ò

=
/4 4
/6 /6
1 cos 1
cos
3 3 36
sin
sin
tdt
dt
t
t
t
p p
p p
p
= =
ò ò


Nhn xét 2:
- có th đt x=
3
,
os
c t

- đi vi nhng tích phân có cha biu thc
2 2
x a

-
(a>0) ta có th đt x=
os
a
c t

hoc X=
,
sin
a
t

Ví d 3
Tính K=
3
2
2
1
1 x
dx
x
+
ò

Li gii;
t x=tant,t
( ; )
2 2
p p
Î -

1 , 3
4 3
x t x x
p p
= Þ = = Þ =
,
2 2
2
1
; 1 1 tan
os cos
dt
dx x x
c t t
= + = + =

K=
3
2
2
1
1 x
dx
x
+
ò
=
/3 /3 /3
2

2 2 2 2
/4 /4 4
2
1 (sin )
sin
os cos sin sin (1 sin )
cos
os
dt dt d t
t
c t t t t t
t
c t
p p p
p p p
= = =
-
ò ò ò
3
2
2 2
2
2
(1 )
du
u u
=
-
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 18


3
2
2
2
2
du
u
+
ò

3
2
2
2
2
1
du
u
-
ò
=
3 2 2 3
ln(2 3)( 2 1)
3
-

+ - +

Nhn xét 3:
-i vi nhng tích phân có cha biu thc (a
2
+x
2
)
k
(a>0)ta thng đt x=atant
hoc x=acott
-Mt s tích phn sau khi bién đi mi đa v dng có cha biu thc (a
2
+x
2
)
k
.ta
xét ví d sau
Ví d 4 Tính L=
1
4 2
0
1
xdx
x x
+ +
ò

Li gii:

L=
1
4 2
0
1
xdx
x x
+ +
ò
=
1
2
2 2 2
0
1 ( )
2 ( ) 1
d x
x x
+ +
ò
=
1
2
0
1 ( )
2 ( ) 1
d t
t t
+ +
ò

=
1
2 2
0
1
( )
1
2
2
1 3
( ) ( )
2 2
d t
t
+
+ +
ò
=
3
2
1
2 2
2
1 ( )
2
3
( ) ( )
2
d u
u +

ò

t
3
tan , ( ; )
2 2 2
t
p p
a
Î -
,u=
3 1
tan 3 ,,
2 3 2 6
u
p p
a a a
Þ = Þ = = Þ =

L =
3
2
1
2 2
2
1 ( )
2
3
( ) ( )
2

d u
u +
ò
=
3 3
2 2
6 6
3
1 3 3
2
3
2 3 18
os . (1 tan )
4
d
d
c
p p
p p
a
p
a
a a
= =
+
ò ò
,
Nhn xét 5
Mt s tích phân có cha các biu thc
( )( )

x a b x
- -
,b>a>0 Khi đó ta đt
X=a+(b-a)sin
2
t , t
0;
2
p
é ù
Î
ê ú
ë û
.ta xét ví d sau
Ví d 5: Tính M=
3
2
5
4
( 1)(2 )
x x dx
- -
ò

Li gii :
Nhn xét a=1,b=2 t x=1+sin
2
t
t
0;

2
p
é ù
Î
ê ú
ë û
,dx=2sintcostdt,x=
5 3
;
4 6 2 4
t x t
p p
Þ = = Þ =

M=
3
2
5
4
( 1)(2 )
x x dx
- -
ò
=
3
2
5
4
( 1)(2 )
x x dx

- -
ò
=2
4
2 2
6
sin (1 sin ) sin cos
t x t tdt
p
p
- =
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 19

2
4
2 2
6
sin cos
t tdx
p
p
=
ò
4
6
1 1 3

(1 os2 ) ( )
2 8 12 8
c t d
p
p
p
- = -
ò
.
Nhn xét 6:
Bng cách khai thác tng t ta s rút ra đc các cách bin s dng 2 đi vi
nhng tích phân có cha nhng biu thc đc thng kê qua bng sau:





Du hiu Cách chn

2 2
a x
-
(a>0)
X=asint t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú

ë û
hoc
x=acost t
[
]
0;
p
Î

2 2
x x
-
(a>0)
X=
sin
a
t
t
;
2 2
p p
é ù
Î -
ê ú
ë û
\0
X=
os
a
c t

t
[
]
0;
p
Î \
/ 2
p


2 2
a x
+
(a>0)
X=atant t
;
2 2
p p
æ ö
Î -
ç ÷
è ø
ho c
X=acott t
(
)
0;
p
Î

a x
a x
+
-
hoc
a x
a x
-
+

X=acos2t


( )( )
x a b x
- -

X=a+(b-a)sin
2
t

Nhn xét 7:
-ôi khi đ s dng đi bin s dng 2 la bt đu t dng 1
Ví d 6: Tính K=
2
4
4 2
4
sin
os (tan 2 t anx 5)

xdx
c x x
p
p
-
- +
ò
( thi d b 2008-B)
Li gii:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 20

Bin đi K=
2 2
4 4
4 2 2
4 4
sin tan (t anx)
os (tan 2 t anx 5) (tan 2 t anx 5)
xdx xd
c x x x
p p
p p
- -
=
- + - +
ò ò

t tanx=t đi cn đa K v dng

K=
1 1 1 1
2 2
2 2 2
1 1 1 1
( 2 5)
3
( 2t 5) 2 5 ( 1) 4
t dt d t t dt
dt
t t t t
- - - -
- +
= + -
- + - + - +
ò ò ò ò

Li đt t-1=2tant đi cn tính toán ta đc K=2-ln2
3
8
p


-Mt trong nhng phép đi bin hay dùng na là phép thay bin x=a-t đói vi
nhng tích phân có cn trên là a và hàm di du tích phân cha các biu thc
lng giác và các biu thc này có liên quan đn cn trên là a (Theo ngha chúng
có mi quan h đn các góc liên quan đc bit).Vì l đó các tích phân này thng
có cn trên là
; ;2 ,
2

p
p p

Khi tính các tích phân này thng dn ti gii mt phng trình đn gin vi n
s là t
Ví d 7:

Tính H=
/2
4
4 4
0
sin
os sin
xdx
c x x
p
+
ò

Li gii: t x=
2
t dx dt
p
- Þ = -
và ta có
I=
0
4
4 4

2
sin
os sin
xdx
c x x
p
-
+
ò
=
/2
4
4 4
0
os
os sin
c xdx
c x x
p
+
ò
suy ra
2I=
/2 /2
4 4
4 4
0 0
sin os
/ 2
os sin 4

x c xdx
dx x
c x x
p p
p
p
+
= = Þ =
+
ò ò

Ví d 8
Tính F=
2
3
0
os
xc xdx
p
ò

Li gii:
t x=
2
t dx dt
p
- Þ = -
và ta có
I=
0 2 2 2

3 3 3 3
2 0 0 0
(2 ) os (2 ) (2 ) os 2 os os
t c t dt t c tdt c tdt tc tdt
p p p
p
p p p p
- - - = - = -
ò ò ò ò

2
3
0
2 os
I c tdt
p
Þ =
ò
=
2
0
os3 3cos
0
4
c t t
dt
p
+
=
ò

Ví d 9:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 21

Tính M=
2
0
sinx
1 os
x
dx
c x
p
+
ò

Li gii:
t x=
t dx dt
p
- Þ = -

M=
2
0
sinx
1 os
x

dx
c x
p
+
ò

=
0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
( )sin sin sin sin sin
2
1 os 1 os 1 os 1 os 2 1 os
t tdt tdt t tdt tdt tdt
M M
c t c t c t c t c t
p p p p
p
p p
p p
-
= - Þ = Þ =
+ + + + +
ò ò ò ò ò

Li đt u=cost suy ra du=sintdt
M=
1 1
2
2 2 2

0 1 0
sint
2 1 os 2 1 1 4
dt dt
dt
c t t t
p
p p p
p
-
= = =
+ + +
ò ò ò

Nhn xét 8:

Li gii ca các bài toán trên da vo tính cht :
Nu hàm s f(x) liên tc trên
[
]
;
a b
tho mãn f(x)=f(a+b-x) thì
( ) ( )
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
+

=
ò ò

c bit hn :
Nu f(x) là hàm s liên tc trên
[
]
0;1
thì
(sinx) (sinx)
2
xf dx f dx
p a p a
a a
p
- -
=
ò ò

Nu f(x) là hàm s liên tc trên
[
]
0;1
thì
2 2
( osx) ( osx)
xf c dx f c dx
p a p a
a a
p

- -
=
ò ò

Các tính cht này s đc chng minh và ng dng trong k thut s dng lp các
Tích phân đc bit .




IV-K thut s dng Tích phân tng phn

C s lý thuyt :Theo công thc v phép tính vi phân ta có

d(uv)=udv+vdu
Hay udv=uv-vdu
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 22


b b
b
a
a a
udv uv vdu
Þ = -
ò ò
(I)

Công thc trên gi là công thc tính tích phân tng phn ,Phng pháp s dng
công thc Trên đ tính gi là phng pháp tích phân tng phn.
Nhn dng :
Hàm s di du tích phân thng là hàm hai bin s khác nhau
Ý ngha:
a mt tích phân phc tp v mt tích phân đn gin hn .Trong nhiu
trng hp khi s dng tích tng phn s gim bt hàm s di du tích
phân và cui cùng ch còn mt hàm s di du tích phân.
Nh vy đ tính
b
a
udv
ò
ta chuyn v tính
b
a
vdu
ò
,Nh vy điu quan trng nht khi
tính tích phân tng phn là phi chn u,v thích hp đm bo hai nguyên tc c bn
sau
-Chon u,v sao cho du đn gin dv d tính
-Tích phân
b
a
vdu
ò
d tính hn so vi
b
a

udv
ò

Sau đây là mt s dng Tích phân thng đc s dng k thut “Tích phân tng
phn”
1-Dng I ( ) ln
b
k
a
P x xdx
ò
: (
)
K Z
Î

Thng chn:
1
ln
ln
( )
( )
k
k
du k xdx
u x
v p x dx
dv p x dx
-
ì

=
ì
=
ï
Þ
í í
=
=
î
ï
î
ò

Chn u nh vy đ kh lnx di du Tích phân , đng thi d tìm V
Ví D 0: (HKD-2010)Tính tích phân
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
æ ö
= -
ç ÷
è ø
ò

1 2
1 1 1
3 1

2 ln 2 ln 3 ln .
e e e
I I
I x xdx x xdx x dx
x x
æ ö
= - = -
ç ÷
è ø
ò ò ò
14243 14243
1
1
ln
e
I x xdx
=
ò
;t
ln
dx
u x du
x
= Þ =
;
2
2
x
dv xdx v= Þ =
2 2 2 2

1
1
1 1
1 1 1
ln
2 2 2 2 2 4
e e
e
x e x e
I x xdx
æ ö æ ö
+
= - = - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 23

Tính I
2
: t t = lnx Þ
dx
dt
x
=
x = 1 ; t = 0; x = e ; t = 1.
1

1
2
2
0
0
1
2 2
t
I tdt
æ ö
= = =
ç ÷
è ø
ò
. Vy
2
2
2
e
I
-
=

Ví D 1: (HKD-2009): Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)

+
=
+
ò

3
3 3 3 3 3
1 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
3 ln x dx ln x dx 3 3 ln x
I dx 3 dxI 3 I dx
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 4 (x 1)
+ -
= = + = = = =
+ + + + + +
ò ò ò ò ò

t u = lnx
dx
du
x
Þ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+

Chn
1
v
x 1
-
=
+

3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= - + = - + - = - +
+ + +
ò ò ò
Vy :
3
I (1 ln3) ln2
4
= + -


Ví D 2: (HKD-08) I=
2
3
1

ln
x
dx
x
ò

Li gii:
t
3
3 2
ln
1
2
dx
du
u x
x
dx
dx
dv
v
x
x x
ì
ì
=
=
ï
ï ï
Þ Þ

í í
-
=
ï ï
= =
î
ï
î
ò
: I=
2 2
2
3 2 3
1
1 1
ln ln 3 2ln 2
2 2 16
x x dx
dx
x x x
- -
= + =
ò ò

Nhn xét: Mt s tích phân mun đa v dng trên cn thông qua đi bin s dng
1

Ví d 3:
J=
2

2
6
cos ln(sinx)
sin
x
dx
x
p
p
ò

Li gii:
Vit li J=
2
2
6
ln(sinx)
(sinx)
sin
d
x
p
p
ò
t t=sinx , i cn ta đi đn tích phân sau
J=
1
2
1
2

ln
t
dt
t
ò
t
2
2
ln
1
dt
du
u t
t
dt
dt
dv
v dt
t
t t
ì
ì
=
=
ï
ï ï
Þ Þ
í í
-
=

ï ï
= =
î
ï
î
ò
M=
1
1
1
2
1
2
ln
1 2ln 2
t dt
t t
-
= + = -
ò


MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 24

Ví d 4: K=
3
2
4

ln(tan x)
os
dx
c x
p
p
ò

Li gii:
Ngoài cách trình bày bng đi bin sau đó dùng tích phân tng phn nh trên ta
có th trình bày trc tip nh sau

K=
3
2
4
ln(tan x)
os
dx
c x
p
p
ò
=
3
4
ln(t anx) (t anx)
d
p
p

ò
t
ln (t anx)
sin x cos
(t anx)
t anx
dx
du
u
x
dv d
v
ì
ì
=
=
ï
Þ Þ
í í
=
î
ï
=
î

K=
3
3 3
4 4
4

t anx 3ln 3 3 ln 3
tan x ln(t anx) tanx 3 1
sin cos 2 2
dx
x x
p
p p
p p
p
- = - = - +
ò


Nhn xét 2 :Do không có công thc tính nguyên hàm ca biu thc cha lnx nên
mc ích ca ta khi tính tích phân trên là kh lnx ,vì vy s ln s dung công
thc Tính tích phân tng phn ph thuc vào s K trong tích phân
( )ln
b
k
a
P x xdx
ò
.C
th là k=1 (nh ví d trên) dùng mt ln,k=2 s dng 2 ln ta xét thêm ví d
sau mô ta điu đó

Ví d 5: L=
3 2
1
ln

e
x xdx
ò
(HKD-07)
Li gii:

t
2
4
3
3
2ln
ln
4
xdx
du
u x
x
x
dv x dx
v x dx
ì
=
ï
ì
=
ï ï
Þ Þ
í í
=

ï
î
ï
= =
ï
î
ò
L=
4 2 4
3 '
1
1
ln 1
ln
4 2 4
e
e
x x e
x x L
- = -
ò

Li đt
4
3
3
ln
4
dx
du

u x
x
x
dv x dx
v x dx
ì
=
ï
ì
=
ï ï
Þ Þ
í í
=
ï
î
ï
= =
ï
î
ò
L
’
=
'
4 4
3
1
1
ln 1 3 1

4 4 16 16
e
e
x x e
x dx- = -
ò

T đó L=
4
5 1
32
e
-

Nhn xét 3:
M s tích phân cha p(x) phc tp ,ta vn da vào cách đt trên đ kh lnf(x)
MATHVN.COM | www.MATHVN.com

Nguyn Vn Cng, M c A, Hà Ni - www.MATHVN.com 25

Ví d 6: N=
3
2
2
1
ln( 1)
1
x x x
x
+ +

+
ò

Li gii:
t
2
3
2
2 2 3
1
2
0
2
2
ln( 1)
1
1ln( 1) 2ln 3 3
1
1
1
dx
du
u x x
x
N x x x dx
x
x
dv
v dx x
x

x
ì
=
ì
= + +
ï
ï
+
ï
Þ Þ = + + + - = -
í í
=
ï ï
= = +
+
î
ï
+
î
ò
ò


Dng 2: ( )cos
b
a
P x xdx
ò
( ( ) cos
b

a
P x xdx
ò
)
t
cos
( )
u x
dv P x dx
=
ì
í
=
î
Hoc
cos
( )
dv x
u P x dx
=
ì
í
=
î

Ví d 1: I=
/4
2
0
(2cos 1)

x x dx
p
-
ò

Li gii:
vit li I=
/4
2
0
(2cos 1)
x x dx
p
- =
ò
/4
0
os2
xc xdx
p
ò

t
/4
/4
/4
0
0
0
sin 2

cos 2
sin 2
1 sin 2 os2
sin 2 ( )
2
2 2 2 4
1
8 2
x
dv xdx
v dx
x x
x x c x
I xdx
u x
du dx
p
p
p
p
ì
=
=
ì
ï
Þ Þ = + = -
í í
=
î
ï

=
î
= +
ò

Ví d 2
J=
1
cos(ln )
e
x dx
p
ò

Li gii
t
sin(ln )
cos(ln )
x dx
u x
du
x
dv dx
v x
ì
=
=
ì
ï
Þ

í í
=
î
ï
=
î

J=xcos(lnx)|
1
e
p
-
1
1
sin(ln )
e
x dx e J
p
p
= - -
ò