Các chuyên đề luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

Website:
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chƣơng 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:


Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2  a .



Cho số thực a không }m. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
a là một số thực khơng âm x m| bình phương của nó bằng

a:

x  0
a  0
 2

 ax
x  a


a  b ab.



Với hai số thực không âm a, b ta có:



Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần
lưu ý:
+

A0
A
A2  A  
nếu
A0
 A

+

A2 B  A B  A B với A, B  0 ;

A2 B  A B   A B

với A  0; B  0
+
+

A

B

A.B

B2

M
M. A
với A  0 ;(Đ}y gọi là phép khử căn thức ở

A
A

mẫu)
+

A.B
với AB  0, B  0
B





M A
B
M

với A, B  0, A  B (Đ}y gọi là phép
A B
A B

trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.

Kiến thức cần nhớ:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

1


Website:


Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là



Cho a  R; 3 a  x  x3 



Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.



Nếu a  0 thì

3

a  0.



Nếu a  0 thì

3

a 0.



Nếu a  0 thì

3

a  0.

 a
3



3

a 3a
với mọi b  0 .

b 3b



3

ab  3 a . 3 b với mọi a, b .



ab 3 a  3 b .



A 3 B  3 A3 B .



3




3

3

A

B

A

B

3

3

3

3

a là số x sao cho x3  a

a

AB 2
với B  0
B

A
B3

1

A3 B

3

A2

AB  3 B 2
với A   B .
A B
3

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a  R, n  N ; n  2 . Căn bậc n của một số a là một số mà
lũy thừa bậc n của nó bằng a.


Trường hợp n là số lẻ: n  2k  1, k  N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:



2 k 1

a  x  x2 k 1  a , nếu a  0 thì

2 k 1

a  0 , nếu a  0 thì

2 k 1

2 k 1

a  0 , nếu a  0 thì

a 0

Trường hợp n là số chẵn: n  2k , k  N .
Mọi số thực a  0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc
chẵn dương kí hiệu là

2k

a (gọi l| căn bậc 2k số học của a ).

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

2


Website:
Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a ,

2k

a  x  x  0 và x 2k  a ;

2k a  x  x  0 và x 2k  a .

Mọi số thực a  0 đều khơng có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) P  x4  4
b) P  8x3  3 3
c) P  x4  x2  1
Lời giải:




3  4 x



a) P   x 2  2  x 2  2   x  2 x  2  x 2  2  .
b) P   2 x  
3

 3    2x 
3

2



 2 3x  3 .

c) P   x 2  1  x 2   x 2  x  1 x 2  x  1 .
2

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) A  x  x  x 

1
khi x  0 .
4

b) B  4 x  2 4 x  1  4 x  2 4 x  1 khi x 

1
.

4

c) C  9  5 3  5 8  10 7  4 3
Lời giải:
2

1
1

a) A  x  x  x   x   x    x 
4
2


+ Nếu

x

1
1
 x  thì
2
4

+ Nếu

x

1
1

 0  x  thì
2
4

x

x

1
2

1
1
1
 x   A .
2
2
2
x

1
1
1
 x   A2 x 
2
2
2

b)

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

3


Website:
B  4 x  2 4 x  1  4 x  2 4 x  1  4 x  1  2 4 x 1  1  4 x 1  2 4 x 1  1

Hay B 








2

4x 1 1 



2

4x 1  1 

4x 1 1 

4x 1  1

4x 1 1  4 x 1  1

+ Nếu

4x 1 1  0  4 x 1  1  x 

1
thì
2

4x 1 1  4 x 1 1

suy ra B  2 4 x  1 .
+ Nếu

4x 1 1  0  4x 1  1 

1
1
 x  thì
4
2

4 x  1  1   4 x  1  1 suy ra B  2 .



c) Để ý rằng: 7  4 3  2  3



2

 74 3  2 3

Suy ra

C  9  5 3  5 8  10(2  3)  9  5 3  5 28 10 3
 9 5 3 5

5  3 

2

.Hay

C  9  5 3  5(5  3)  9  25  9  5  4  2
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A  7  2 6  7  2 6 là số nguyên.
b) B  3 1 

84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào
 1
9
9

lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG H| Nội 2006).

c) Chứng minh rằng: x  3 a 
a

a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
 a
với
3
3
3
3

1
là số tự nhiên.
8

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

4


Website:



d) Tính x  y biết x  x 2  2015

 y 



y 2  2015  2015 .

Lời giải:
a) Dễ thấy A  0,
Tacó

A2 



72 6  72 6

  7  2 6  7  2 6  2 7  2 6. 7  2 6
2

 14  2.5  4

Suy ra A  2 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v3  3uv  u  v  . Ta có:
3

3



84 3
84 
84
84

84 3
84 
  1

B3   3 1 
 1
1
 3 3 1 
. 1


9
9 
9
9
9
9 





84 3
84 
 3 1
 . Hay
 1

9
9 





84 
84 
84
3
3
3
B3  2  3 3 1 
1


.B  B  2  3 3 1  B  B  2  B  B  B  2 

9 
9 
81

2

1 7

  B  1  B  B  2   0 mà B  B  2   B     0 suy ra B  1 .
2 4

2

2

Vậy B là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v3  3uv  u  v 
3

Ta có

x3  2a  1  2a  x  x3   2a  1 x  2a  0   x  1  x 2  x  2a   0

Xét đa thức bậc hai x2  x  2a với   1  8a  0
+ Khi a 

1
1
1
ta có x  3  3  1 .
8
8
8

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

5


Website:
1
+ Khi a  , ta có   1  8a }m nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất
8
1

x  1 Vậy với mọi a  ta
8

có: x  3 a 

a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
 a
 1 là số tự nhiên.
3
3
3
3

d) Nhận xét:



x 2  2015  x





x 2  2015  x  x 2  2015  x 2  2015 .
x 2  2015  x  y 2  2015  y

Kết hợp với giả thiết ta suy ra

 y 2  2015  y  x2  2015  x  x2  2015  x  y 2  2015  y  x  y  0

Ví dụ 4)
a) Cho x  4  10  2 5  4  10  2 5 . Tính giá trị biểu thức:
P

x 4  4 x3  x 2  6 x  12
.
x 2  2 x  12

b) Cho x  1  3 2 . Tính giá trị của biểu thức
B  x4  2 x4  x3  3x2  1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường

PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG H| Nội năm 2015-2016).
c) Cho x  1  3 2  3 4 . Tính giá trị biểu thức:
P  x5  4 x4  x3  x2  2 x  2015

Giải:
a) Ta có:
2



x 2   4  10  2 5  4  10  2 5   8  2 4  10  2 5 . 4  10  2 5



 x2  8  2 6  2 5  8  2





5 1

2

82

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038





5 1  6  2 5 





5 1

6

2


Website:
 x  5  1 . Từ đó ta suy ra  x  1  5  x 2  2 x  4 .
2

x
Ta biến đổi: P 

2

 2 x   2  x 2  2 x   12
2

x 2  2 x  12



42  3.4  12
 1.
4  12

b) Ta có x  1  3 2   x  1  2  x3  3x 2  3x  3  0 . Ta biến đổi
3

biểu thức P thành:

P  x 2 ( x3  3x 2  3x  3)  x  x3  3x 2  3x  3   x3  3x 2  3x  3  1945  1945

c) Để ý rằng: x  3 22  3 2  1 ta nhân thêm 2 vế với

3

2  1 để tận

dụng hằng đẳng thức: a3  b3   a  b   a 2  ab  b2  . Khi đó ta có:

  2 1  2  2 1
  2  1 x  1  2 x  x  1  2 x



3

2 1 x 

3

3

3

2

3

3

3

  x  1  x3  3x 2  3x  1  0 .
3

Ta biến đổi:

P  x5  4 x 4  x3  x 2  2 x  2015   x 2  x  1 x3  3x 2  3x  1  2016  2016

Ví dụ 5) Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  1 .
a) Tính giá trị biểu thức:

1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y 
2

Px

2

2

1  x2

2

2

1 y2

2

1 z2

b) Chứng minh rằng:

x
y

z



2
2
1 x 1 y 1 z2

2 xy

1  x 1  y 1  z 
2

2

2

Lời giải:
a) Để ý rằng: 1  x2  x2  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z )
Tương tự đối với 1  y 2 ;1  z 2 ta có:

1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x y  z


2

x

1  x2

2

 x  y  x  z 

Suy ra P  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2  xy  yz  zx   2 .
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

7


Website:
b) Tương tự như c}u a)
Ta có:

x
y
z
x
y
z





2
2
2
1 x 1 y 1 z
 x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x 



x  y  z   y  z  x  z  x  y
2 xy


 x  y  y  z  z  x 
 x  y  y  z  z  x 

2 xy

1  x 1  y 1  z 
2

2

2

Ví dụ 6)
a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:
x12  12  2 x2 2  22  ..  n xn 2  n2 

1 2
x1  x2 2  ...  xn 2 

2

4n  4n 2  1
với n nguyên dương. Tính
2n  1  2n  1

b) Cho f (n) 

f (1)  f (2)  ..  f (40) .

Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:



 
2

x12  12  1 



2

x2 2  22  2  ... 



xn 2  n2  n



2

0

Hay x1  2, x2  2.22 ,..., xn  2.n2

 x 2  y 2  4n

b) Đặt x  2n  1, y  2n  1   xy  4n 2  1 .
 x2  y 2  2

Suy ra

f ( n) 

x 2  xy  y 2 x3  y 3 1 3
1
 2
  x  y3  
2
x y
x y
2
2

  2n 1 

 2n  1

3

3

.

Áp dụng vào bài toán ta có:
f 1  f  2   ..  f  40  



1
2





1
2 



 

33  13 



53  33  .. 





813  793 


813  13  364

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

8


Website:
Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng:

1
1
1

 .... 
 4 . Đề
1 2
3 4
79  80

thi chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng:

1
1

1
1
1 



 ... 
 2 1 
.
1 2 2 3 3 4
n n 1
n 1 

c) Chứng minh: 2 n  2 

1
1
1
1
1



 ... 
 2 n 1
1
2
3
4
n

với mọi số nguyên dương n  2 .
Lời giải:
a) Xét A 
B

1
1
1
,

 .... 
1 2
3 4
79  80

1
1
1

 .. 
2 3
4 5
80  81

Dễ thấy A  B .
Ta có
A B 

1

1
1
1
1


 .... 

1 2
2 3
3 4
79  80
80  81

1

Mặt khác ta có:
Suy ra A  B 



k  k 1

 

2 1 





3



k 1  k


2   ...   81 

k 1  k



k 1  k



 k 1  k



80  81  1  8 . Do

A  B suy ra 2 A  A  B  8  A  4 .

b) Để ý rằng:

1
1

1
1
với



k
k 1
2k k  1
k (k  1) k  1  k





mọi k nguyên dương.
Suy ra

1   1
1 
1 
1 
 1


VT  2 1 


  ..  2 
  2 1 

.
  2
2  2
3
n 1 
n 1 

 n

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

9


Website:
c) Đặt P 

1
1
1
1
1



 ... 
1
2
3
4

n

2

Ta có:

n  n 1

1
2
2
với mọi số tự nhiên


n 2 n
n  n 1



n 2.

Từ đó suy ra
2



n 1  n 



2



n 1  n 





2
2
2


2
n 1  n 2 n
n  n 1
2
2
n



n  n 1





n  n  1 hay



  3  2   ...   n  1  n   T và
T  1  2  2  1   3  2   .... n  n  1 .



Do đó: 2 


2 1 

Hay 2 n  2  T  2 n  1.
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
a 1  b2  b 1  c 2  c 1  a 2 
a 2  b2  c 2 

3
.Chứng minh rằng:
2

3
.
2

a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x 1  y 2  y 2  z 2  z 3  x2  3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào

lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP H| Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có
a 1  b2  b 1  c 2  c 1  a 2 

a 2  1  b2 b2  1  c 2 c 2  1  a 2 3


 .
2
2
2
2

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

10


Website:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a  1  b 2
a 2  1  b 2

 2
3

2

2
2
2
2
b  1  c  b  1  c  a  b  c  (đpcm).
2

c 2  1  a 2
2
c

1

a


b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1  y 2  2 y 2  z 2  2 z 3  x 2  6 .
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab  a 2  b2 ta có:
2x 1  y 2  2 y 2  z 2  2z 3  x 2  x 2  1 y 2  y 2  2  z 2  z 2  3 x 2  6

. Suy ra VT  VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi:

 x 2  y 2  z 2  3; x, y, z  0
 x, y , z  0
x  1 y2
 2
 2
2


2

x  y  1
x  y  1
2
y

2

z


 x  1; y  0; z  2

 2
 2
2
2
y

z

2
y

z

2




z  3  x2
2
2


 z 2  x2  3
z

x

3



x

Ví dụ 9) Cho A 



x  4 x 4  x 4 x 4
x 2  8 x  16

 với x  4

a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A x{c định là x  4 .


x
A 
x





x4 2



2



 x  4

x 4 2

x42


2

2 
x4 2  x






x4 2 
x4

x4 2





x4

+ Nếu 4  x  8 thì

A

x



x  4  2  0 nên

x 4  2 2 x4
x4



4x
16
 4
x4
x4

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

11


Website:
Do 4  x  8 nên 0  x  4  4  A  8 .
+ Nếu x  8 thì



x  4  2  0 nên

x4 2 x4 2

  2x

x4
2x
8

 2 x4 
 2 16  8
x4

x4
x4
x4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

A

x

2 x4 

8
 x4  4  x 8.
x4

Vậy GTNN của A bằng 8 khi x  8 .
b) Xét 4  x  8 thì A  4 

16
, ta thấy A  Z khi và chỉ khi
x4

16
 Z  x  4 l| ước số nguyên dương của 16 . Hay
x4

x  4 1;2;4;8;16  x  5;6;8;12;20 đối chiếu điều kiện suy ra

x  5 hoặc x  6 .
+ Xét x  8 ta có: A 

có: A 

2  m2  4 
m

 x  m2  4
x4  m 
khi đó ta
m  2

2x
, đặt
x4

 2m 

8
suy ra m 2;4;8  x 8;20;68 .
m

Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x 5;6;8;20;68 .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với x  0 , cho hai biểu thức A 

2 x
và B 
x

x 1 2 x 1

.

x
x x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x  64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tính x để

A 3
 .
B 2

Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

12


Website:

1) Cho biểu thức A 

x 4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x 2


x

4  x  16
2) Rút gọn biểu thức B  
(với

:
 x 4
x  4  x  2

x  0, x  16 )

3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên
của x để giá trị của biểu thức B  A  1 là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A 

x
10 x
5
, với x  0, x  25 .


x  5 x  25
x 5

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x  9 .
1
3) Tìm x để A  .
3

Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho P 

x
2 x 3x  9
, với x  0, x  9 .


x 3
x 3 x 9

1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P  .
3

3) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:

A

5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

x
1  
2
6 

B


 : 1 

x 3 
x x3 x 
 x3 x

 x  0 .

Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

13


Website:
Thu gọn các biểu thức sau:

x
3  x 3
với x  0, x  9 .
A  


.
x  3  x  9
 x 3

B  21



2 3  3 5

 
2

6

2 3  3 5

 15 15 .
2

Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức P 

x 2
2x  2
, với x  0, x  2 .

x2
2 xx 2

Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho A 
B  1

1
1
1
1
và


 ... 
1 2
2 3
3 4
120  121

1
1
.
 ... 
2
35

Chứng minh rằng B  A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức P 

x3  y 3
x y

. 2
,x  y.
2
2
x  xy  y x  y 2

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x  7  4 3 và y  4  2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a, b ; a  b .

Chứng minh rằng:



a  b

3

a b



3

 b b  2a a

a a b b



3a  3 ab
 0.
ba

Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vƣơng Phú Thọ)

A

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x


; x  0, x  9 .
x 9
x  x  12 x  4 x

Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

14


Website:

Cho biểu thức A 

1
1
2 x



2 x 2 x 4 x

 x  0, x  4  .

1
Rút gọn A và tìm x để A  .
3

Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
1) Cho biểu thức P 

3
3
x xx
. Tìm tất


x 3  x
x 3  x
x 1

cả các giá trị của x để P  2 .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y   x 2 v| đường thẳng

 d  : y  mx  1 ( m

là tham số). chứng minh rằng với mọi giá

trị của m , đường thẳng  d  ln cắt  P  tại hai điểm phân

biệt có ho|nh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức C 

a
2
2
.


a  16
a 4
a 4

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa v| rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a  9  4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
 2
3
5 x 7  2 x 3
Cho biểu thức A  


 :
x

2
2
x


1
2
x

3
x

2

 5 x 10 x

 x  0, x  4  .
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
1) Tính giá trị của biểu thức A 

x 1
, khi x  9 .
x 1

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

15


Website:
1  x 1
 x2
2) Cho biểu thức P  

với x  0 và

.
x  2  x 1
 x2 x

x  1.
x 1
.
x

a) Chứng minh rằng P 

b) Tìm các giá trị của x để 2P  2 x  5 .
Câu 17) Cho a  3  5  2 3  3  5  2 3 . Chứng minh rằng
a 2  2a  2  0 .

Câu 18) Cho a  4  10  2 5  4  10  2 5 .
Tính giá trị của biểu thức: T 

a 2  4a3  a 2  6a  4
.
a 2  2a  12

Câu 19) Giả thiết x, y, z  0 và xy  yz  zx  a .
Chứng minh rằng:

 a  y  a  z   y  a  z   a  x 
2

x

2

a  x2

2

a  y2

2

 a  x  a  y   2a .
2

z

2

a  z2

Câu 20. Cho a  2  7  3 61  46 5  1 .
a) Chứng minh rằng: a 4  14a 2  9  0 .
b) Giả sử f  x   x5  2x 4  14x3  28x 2  9 x  19 . Tính f  a  .
Câu 21. Cho a  3 38  17 5  3 38  17 5 .
Giả sử có đa thức f  x    x3  3x  1940 
Câu 22. Cho biểu thức f  n  

2016

. Hãy tính f  a  .

2n  1  n  n  1
n  n 1

.

Tính tổng S  f 1  f  2   f  3  ...  f  2016  .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1

1 1 1
1 5
 2  2  ...  2  .
2
1 2 3
n
3

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

16


Website:
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 , ta có

1 1 1
1 65

 3  3  ...  3 
.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:

43
1
1
1
44


 ... 

44 2 1  1 2 3 2  2 3
2002 2001  2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1
1
1
1

 ... 
 1
.
2 2 1 1 3 3  2 2

n 1
 n  1 n  1  n n
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 , ta có:

1 4 7 10 3n  2 3n  1
1
. . . ....
.

.
3 6 9 12
3n 3n  3 3 n  1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x  64 ta có A 
B





 

2  64 2  8 5

 .
8
4
64



x 1 . x  x  2 x  1 . x



x. x  x

Với x  0 , ta có:





x x  2x
1
 1

x xx
x 1

A 3
2 x 2 x 3
 
:
 
B 2
x
x 1 2

x 2
x 1

x 1 3

2
x

 2 x  2  3 x  x  2  0  x  4 (do x  0 ).

2. Lời giải:
1) Với x  36 , ta có A 

36  4 10 5
  .
36  2 8 4

2) Với x  0, x  16 ta có:



 

 x x 4 4 x 4
B


x  16
x  16


 





x  2  x  16  x  2
x 2


 x  16  x  16  x  16 
x  16


Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

17


Website:
x 2 x 4 x 2
2

 
x  16 
x 2
 x  16

3) Biểu thức B  A  1 

B  A  1 nguyên, x nguyên thì x  16 l| ước của 2 , mà
U  2   1; 2 . Ta có bảng giá trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên thì x 14;15;16;17 .
3). Lời giải:
A





x  5 x  10 x  5 x  25







x 5

x 5

x 5

A

x.

x

10 x
5



x  5 x  25
x 5







x 5












 x  5 x  5

x  5  10 x  5.

x  10 x  25
x 5



x 5

x 5





2

x 5



 A

x 5
. Với x  9 ta có:
x 5

x  3 . Vậy

3  5 2
1


 .
35 8
4

4). Lời giải:
1) P 
2) P 

x



1

3



x 3  2 x



x 3







x  3  3x  9
x 3





3
x 3

3
1
  x  3  9  x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3 3

3) Với x  0, P 

3
3

 1  Pmax  1 khi x  0 (TM).
x 3 03

5. Lời giải:

A

5 5
5

3 5


52
5 1 3  5

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

18


Website:



5  5 
 5  2


5  2 

5 2

5





5 1



5 1



3 5 3 5





 3  5 3  5 

5 1

5  5 9 5  15
5  5  9 5  15

 3 5 5
4
4
4

 3 5 5

 3 5 552 5  5 .

x

1  
2
6 

B


 : 1 
  x  0
x 3 
x x3 x 
 x3 x



x
1   x 2
6
 

:


x 3 
x
x x 3
 x 3






x 1 
:
x 3 











 x  3  6  


x  x  3


x 1 .

x 2

 x  x x  1.

6. Lời giải:

Với x  0 và x  9 ta có:



x 3 x 3 x 9  x 3 1
A
.

3.
 x 3
x
x 3  x 9









 



2
21
4 2 3  62 5 3 42 3   6 2 5
2
2

2
21

3  1  5  1  3 3  1  5  1  15 15
2
2
15

3  5  15 15  60 .
2

B








 15 15
2





7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
P
2x



x 2
2 x



 

2



x 2

x 2





x 2





x
2


 1.
2 x
x 2

8. Lời giải:
Ta có: A 

1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
120  121

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

19


Website:


1 2



1  2 1  2  

2 3
2 3



2 3



 ... 



120  121
120  121



120  121

1 2
2 3
120  121

 ... 
1

1
1
 2  1  3  2  ...  121  120  1  121  10 (1)


Với mọi k 

*

Do đó B  1 

, ta có:

1
2
2


2
k
k k
k  k 1



k 1  k



1

1
 ... 
2
35

 2  1  3  2  4  3  ...  36  35 
 B  2   1  36   2  1  6   10 (2) . Từ (1) và (2) suy ra B  A .
B2

9. Lời giải:
x3  y 3
x y
x y
1) P  2
.
.

2
x  xy  y  x  y  x  y  x  y

2) Với x  7  4 3  2  3 và y  4  2 3  3  1
Thay vào P ta được:
P

2  3  3 1

2  3  



3 1



1
3 2 3
.

3
3 2 3

10.Lời giải:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

20




Website:



Ta có: Q 









a b


3



3

a b

a b



3

 b b  2a a


a a b b

a b



 a  b





3

3

 b b  2a a



a  b a  ab  b



a  b a  ab  b

3 a





a a  3a b  3b a  b b  2a a



3a  3 ab
ba









a b

3 a
a b

3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a





a  b a  ab  b



a b





a b



0



 0 (ĐPCM).



11. Lời giải:

A

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x


x 9
x  x  12 x  4 x



x 2

x 3





x  7 x  19
x 3



x 4





x 5
x 4

x  2 x  8  x  7 x  19  x  8 x  15



x 3



x 4



12. Lời giải:







x  3
x 1




x  4

x 4

x 1
.
x 3



A

1
1
2 x
4

2 x 2 2 x
2






. Với
4 x
2 x 2 x 4 x 4 x 4 x
2 x

A

1
2
1
1

  x  4  x  16 (nhận). Vậy A  khi x  16 .
3
3
2 x 3

13. Lời giải:
1) ĐKXĐ: x  3

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

21


Website:

3
3
x xx


x 3  x
x 3  x
x 1

P






3 x  3  3 3  3 x  3  3 x x x 1
6 x 3


 x  x 2 x 3 .
3
 x  3  x
x 1

Vì P  2  x  2 x  3  2   x  3  2 x  3  1  0







2

x  3  1  0  x  3  1  0  x  3  1  x  4 .Vậy x  3 và

x  4.
2) Phương trình ho|nh độ giao điểm của  P  và  d  là:
x2  mx  1  0 .

có   m2  4  0 với mọi m , nên phương trình ln có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m và x1 x2  1
  x1  x2    m   x12  x22  2 x1 x2  m2
2

2

  x1  x2   4 x1 x2  m2   x1  x2   4.  1  m2
2

2

  x1  x2   m2  4  4 với mọi m  x1  x2  2 với mọi m (ĐPCM).
2

14. Lời giải:
1) Biểu thức C có nghĩa khi:

a  0
a  0
a  16  0


a  16

 a  0, a  16 .


a

4

0
a

16


 a  4  0 a  0

Rút gọn
C



a
2
2



a  16
a 4
a 4



a

a 4



a 4





2
2

a 4
a 4

 a  4  2  a  4  a  2 a  8  2 a  8 
 a  4 a  4
 a  4 a  4 

a2

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

a4 a
a 4



a 4


22


Website:



a





a 4

a 4





a 4





a
.
a 4

2) Giá trị của C khi a  9  4 5 .
Ta có:



a  a  94 5  44 5 5  2 5
Vậy C 



a
a 4







2

 a

2  5 

2

 52

5 2
5 2

 94 5 .
5 24
52

15. Lời giải:
1) Với x  0, x  4 biểu thức có nghĩa ta có:
 2
3
5 x 7  2 3 3
A  



 :
 x  2 2 x  1 2 x  3 x  2  5 x  10 x

 
 : 2 x 3
5 x  x  2
 x  2 2 x  1
5 x  x  2
2 x 3
5 x

.

.
2
x

3
2
x

1
x

2
2
x


1








 

2 2 x 1  3

x 2  5 x 7

Vậy với x  0, x  4 thì A 
2) Ta có
A

5 x
.
2 x 1

x  0, x  0, x  4 nên A 

5 x
 0, x  0, x  4
2 x 1

5 x

5
5
5
5
 
 , x  0, x  4  0  A  , kết hợp với
2
2 x 1 2 2 2 x 1 2





A nhận giá trị là một số nguyên thì A 1, 2 .

A  1  5 x  2 x 1  x 

1
1
 x  thỏa mãn điều kiện.
3
9

A  2  5 x  4 x  2  x  2  x  4 không thỏa mãn điều kiện.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

23


Website:

Vậy với x 

1
thì A nhận giá trị là nguyên.
9

16. Lời giải:
1) Với x  9 ta có A 

3 1
 2.
3 1

2) a)


x2 x
P
 x x 2








. x 1  
 x 1 








x 1 .
x





x  2  x 1
.

 x 1
x 2




x 1
.
x

x 1
x

b) Theo câu a) P 

2 x 2
 2 x 5
x
2 x  2  2 x  5 x  2 x  3 x  2  0 và x  0

 2P  2 x  5 







1
1
1

x 2  x  0 x   x  .
2
2
4


17. Giải:




3  . Do a  0 nên

a2  3  5  2 3  3  5  2 3  2 9  5  2 3  6  2 4  2 3



 62



3 1

2

 62







3 1  4  2 3  1 

2

a  3  1 . Do đó  a  1  3 hay a 2  2a  2  0 .
2

18. Giải:





a 2  8  2 16  10  2 5  8  2 6  2 5  8  2
 8 2









5 1

2

5  1  6  2 5 . Vì a  0 nên a  5  1 . Do đó  a  1  5
2

hay a 2  2a  4 . Biểu diễn

a
T

2

 2 a   3  a 2  2a   4

2

a 2  2a  12



42  3.4  4 1
 .
4  12
2

19. Giải:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

24