Bài giảng Đồ họa máy tính: Các phép biến đổi hai chiều - Ngô Quốc Việt

BÀI GIẢNG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HAI CHIỀU

NGÔ QUỐC VIỆT
2009


Nội dung
•
•
•
•
•

Giới thiệu.
Các phép biến đổi cơ bản
Biểu diễn ma trận
Bài tập
Giải đáp thắc mắc

2


Giới thiệu
• Định nghĩa: biến đổi là ánh xạ các điểm (x,y) từ
một hệ tọa độ thành (x’, y’) trong hệ tọa độ khác.

3

Một số thuật ngữ

4


Các biến đổi cơ bản

5


Biến đổi tỉ lệ
• Scaling: mỗi giá trị tọa độ được nhân với tỉ lệ khác
nhau.
• Uniform scaling: các giá trị tọa độ được nhân với
cùng tỉ lệ.


2

6


Biến đổi tỉ lệ
• Non-uniform scaling: different scalars per component:

X  2,
Y  0.5

• Có thể biểu diễn phép biến đổi bằng ma trận?

7


Biến đổi tỉ lệ
• Biến đổi tỉ lệ

• Dạng ma trận

 x' ax 
 y '  by 
   

 x' a
 y '  0
  

0  x 



b  y 

Ma trận tỉ lệ

8


Phép quay
(x’, y’)
(x, y)



x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()

9


Phép quay

(x’, y’)
(x, y)



f

x = r cos (f)
y = r sin (f)
x’ = r cos (f + )
y’ = r sin (f + )

Trig Identity…
x’ = r cos(f) cos() – r sin(f) sin()
y’ = r sin(f) sin() + r cos(f) cos()
Substitute…
x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()

10


Phép quay
• Biểu diễn bằng ma trận:
 x' cos    sin    x 
 y '   sin   cos     y 
  
 

• Mặc dù sin() và cos() khơng là hàm
tuyến tính theo ,
– x’ là kết hợp tuyến tính của x và y.
– y’ là kết hợp tuyến tính của x và y.
11


Các biến đổi cơ bản
• Tịnh tiến:
– x’ = x + tx
– y’ = y + ty

• Tỉ lệ:
– x’ = x * sx
– y’ = y * sy

• Biến dạng:
– x’ = x + hx*y
– y’ = y + hy*x

• Quay:

Có thể kết hợp các
biến đổi

– x’ = x*cosQ - y*sinQ
– y’ = x*sinQ + y*cosQ

12


Các biến đổi cơ bản
• Translation:
– x’ = x + tx
– y’ = y + ty

• Scale:
– x’ = x * sx
– y’ = y * sy

• Shear:
– x’ = x + hx*y
– y’ = y + hy*x

• Rotation:
– x’ = x*cosQ - y*sinQ
– y’ = x*sinQ + y*cosQ

13

Các biến đổi cơ bản
• Translation:
– x’ = x + tx
– y’ = y + ty

• Scale:
– x’ = x * sx
– y’ = y * sy

(x,y)
(x’,y’)

• Shear:
– x’ = x + hx*y
– y’ = y + hy*x

• Rotation:
– x’ = x*cosQ - y*sinQ
– y’ = x*sinQ + y*cosQ

x’ = x*sx
y’ = y*sy

14


Các biến đổi cơ bản
• Translation:
– x’ = x + tx

– y’ = y + ty

• Scale:
– x’ = x * sx
– y’ = y * sy

• Shear:
– x’ = x + hx*y
– y’ = y + hy*x

• Rotation:
– x’ = x*cosQ - y*sinQ
– y’ = x*sinQ + y*cosQ

(x’,y’)

x’ = (x*sx)*cosQ - (y*sy)*sinQ
y’ = (x*sx)*sinQ + (y*sy)*cosQ

15


Các biến đổi cơ bản
• Translation:
– x’ = x + tx
– y’ = y + ty

• Scale:
– x’ = x * sx
– y’ = y * sy

(x’,y’)

• Shear:
– x’ = x + hx*y
– y’ = y + hy*x

• Rotation:
– x’ = x*cosQ - y*sinQ
– y’ = x*sinQ + y*cosQ

x’ = ((x*sx)*cosQ - (y*sy)*sinQ) + tx
y’ = ((x*sx)*sinQ + (y*sy)*cosQ) + ty

16


Các biến đổi cơ bản
• Translation:
– x’ = x + tx
– y’ = y + ty

• Scale:
– x’ = x * sx
– y’ = y * sy

• Shear:
– x’ = x + hx*y
– y’ = y + hy*x

• Rotation:
– x’ = x*cosQ - y*sinQ
– y’ = x*sinQ + y*cosQ

x’ = ((x*sx)*cosQ - (y*sy)*sinQ) + tx
y’ = ((x*sx)*sinQ + (y*sy)*cosQ) + ty

17


Biểu diễn bằng ma trận
• Biểu diển biến đổi hai chiều bằng ma trận
a b 
 c d 

• Thực hiện biến đổi bằng cách nhân ma
trận cho từng tọa độ điểm.
 x'   a b   x 
 y'  c d   y 

x'  ax  by
y '  cx  dy
18


Biểu diễn bằng ma trận
• Các biến đổi có thể kết hợp bằng phép
nhân ma trận
 x'   a b   e
 y'  c d   g

f  i
h  k

j x
l   y 

Matrices are a convenient and efficient way
to represent a sequence of transformations!

19


Biểu diễn bằng ma trận
• Các phép biến đổi cơ bản như tỉ lệ, quay,
đối xứng, biến dạng đều biểu diễn được
bằng ma trận 2x2, ngoại trừ phép tịnh tiến.
 x '  s x
 y '   0
  

0  x
s y   y 

 x ' cos Q  sin Q  x 
 y '   sin Q cos Q   y 
  
 

 x '     1 0  x   x '     1

 y '  0 1  y   y '  0
 x '  1
 y '   sh
   y

sh x   x 
1   y 

0  x
 1  y 
20


Sử dụng hệ tọa độ đồng nhất
• Tọa độ đồng nhất: biểu
 x
diễn tọa độ 2 chiều  x  homogeneous coords  
vector 3 thành phần.
 y      y 
 
 1 
• Có vẻ khơng trực quan,
nhưng hiệu quả cho tính
tốn.

21


Biểu diễn các biến đổi bằng ma trận 3x3
• Tịnh tiến:

1

Translation  0
0


0
1
0

tx 

ty 
1 

 x ' 1 0 t x   x   x  t x 
 y '  0 1 t   y    y  t 
y  
y
  

 1  0 0 1   1   1 

tx = 2
ty = 1
22


Biểu diễn các biến đổi bằng ma trận 3x3

 x ' 1
 y '  0
  
 1  0

0
1
0

t x  x
t y   y 
1   1 

 x '  s x
 y '   0
  
 1   0

Translate

 x' cos Q
 y '   sin Q
  
 1   0
Rotate

0
sy
0

0  x 
0  y 
1  1 

Scale

 sin Q
cos Q
0

0  x 
0  y 
1  1 

 x '  1
 y '   sh
   y
 1   0

sh x
1
0

0  x 
0  y 
1  1 

Shear

23

Biến đổi Affine
• Là các biến đổi tuyến tính & tịnh tiến.
• Các tính chất của của biến đổi Affine
– Bảo tồn tính song song
– Bảo tồn tỉ lệ.

• Có thể kết hợp nhiều biến đổi thông qua nhân
ma trận
 x'   1
 y '    0
 w'  0

p’ =

0
1
0

T(tx,ty)

tx  cos Q
ty   sin Q
1   0
R(Q)

 sin Q
cos Q
0

0  sx
0  0
1  0

S(sx,sy)

0
sy
0

0   x 
0   y 
1   w

p
24


Biến đổi Affine
• Chú ý: nhân ma trận khơng có tính giao hốn.
• Ví dụ:
a
a

a
Sai
R(45)

Đúng

T(-3) R(45) T(3)

1 0  3 cos(45)  sin(45) 0 1 0 3  a x   a' x 
0 1 0   sin(45) cos(45) 0 0 1 0 a   a' 



 y   y 
0 0 1   0
0
1 0 0 1  1   1 

25