Số tam giác và đa thức faulhaber

Số tam giác và Đa thức Faulhaber
I Số tam giác
1/- Khái niệm & định nghĩa
a/- Số tam giác thứ n là tổng các số tự nhiên từ 1 tới n
Có thể xem đây như là công thức của số hạng; Mỗi số tam giác là hệ số kép: Số tam
giác thứ n là 1 số của sự ghép cặp được lựa chọn từ n+1 đối tượng.
Ứng dụng dạng này giải quyết “Bài toán bắt tay”, - Khi cần đếm số lần bắt tay của mỗi
người trong một căn phòng kín chứa n+1 người, đó là tổng số lần bắt tay 1 lần với mỗi
người khác.
Chuỗi số tam giác (sequence A000217 in OEIS) cho n = 1, 2, 3
là:::1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,
b/- Quan hệ với các số hình học khác
Số tam giác có quan hệ rất rông với các loại Số hình học khác. Đơn giản nhất là tổng
của 2 số tam giác liên tiếp là một số chính phương. Về mặt đại số,
Một sự lựa chọn, những số giống như vậy có thể biểu diễn bằng hình minh hoạ:
16 25
Có vô số số tam giác đồng thời là số chính phương; Ví dụ: 1, 36 một vài trong số
chúng có thể phát sinh từ công thức đệ quy đơn giản:
với S1 = 1
Tất cả các số chính phương tam giác được tìm ra từ công thức đệ quy:
Sn = 34Sn − 1 − Sn − 2 + 2 với S0 = 0 và S1 = 1
1
Cũng vậy Số chính phương tam giác được xem như là tổng lập phương các số tự nhiên
từ 1 tới n.
Tổng của n số tam giác đầu tiên là số tứ diện thứ n,:
Tổng quát hơn, hiệu số giữa số đa giác m cạnh thứ n và số đa giác m+1 cạnh thứ n là số
tam giác thứ (n-1). Ví dụ: Số thất giác thứ 6 (81) trừ Số lục giác thứ 6 (66) là số tam
giác thứ 5, 15.
2/-Những đặc tính khác của Số tam giác
Số tam giác là bậc cơ sở cơ bản nhất của Công thức Faulhaber
Mọi số hoàn thiện chẵn đều là số tam giác (Được nhận bởi công

thức khi Mn là Số nguyên tố Mersenne). Cho
đến nay chưa có số hoàn thiện lẻ nào được tìm ra, vì thế mọi số hoàn thiện đều là số
tam giác.
3/- Công thức Faulhaber
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Công thức Faulhaber được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học Johann Faulhaber. Công
thức đó biểu diễn tổng:
dưới dạng một đa thức bậc (p + 1) với biến n, và các hệ số liên quan đến số Bernoulli.
Công thức tổng quát:
Trong đó:
 chỉ số j có giới hạn trên là p;
 B
j
là các số Bernoulli
B
0
= 1,
, hoặc (tùy vào trường hợp cụ thể),
2
B
3
= 0,
 là tổ hợp chập j của (p+1), còn được kí hiệu
là .
Ví dụ:
p = 2,
là một
đa thức bậc 3 biến nvà các hệ số
.
Bản thân Faulhaber không biết công thức tổng quát trên, ông chỉ tính tổng : với 17 giá

trị đầu tiên của p, và rút ra một số nhận xét. Mãi sau này, công thức tổng quát mới được tìm
ra khi người ta đã biết đến số Bernoulli.
Ví dụ
a/ - số tam giác

b/- số hình chóp vuông (tiếng Anh là square pyramidal number))
(

3
c/- số tam giác vuông (tiếng Anh là squared triangular number))
Liên hệ với đa thức Bernoulli
Công thức tổng quát cũng có thể được viết dưới dạng:
với φ
j
là đa thức Bernoulli bậcj.
II Đa thức Faulhaber
1/- Khái niệm
Một số tác giả sử dụng thuật ngữ đa thức Faulhaber để chỉ một dạng đa thức tổng quát
khác. Bản thân Faulhaber nhận xét rằng, nếu p lẻ thì tổng:
là đa thức với biến là
Ví dụ:
4
Trường hợp p = 3, còn được biết đến với tên gọi Định lý Nicomachus.
Các đa thức ở vế phải còn được gọi là đa thức Faulhaber với biến a. Chúng đều chia được
cho a
2
bởi vì với j > 1 lẻ thì số Bernoulli B
j
bằng 0.
Faulhaber đã biết rằng với bậc p lẻ, nếu tổng được viết dưới dạng:

thì với bậc p chẵn tổng sẽ có dạng:
Vì a = n(n + 1)/2, nên với bậc p lẻ (lớn hơn 1), tổng là 1 đa-thức biến n có-chứa các nhân
tử n
2
and (n + 1)
2
, còn nếu p chẵn thì tổng sẽ là đa thức có chứa nhân tử n, n + ½ và n + 1.
Công thức Faulhaber có thể gặp trong tự nhiên. Ví dụ, số hiệu nguyên tử của các nguyên tố
hóa học thuộc nhóm kim loại kiềm thổ(Be, Ca, Ba) thỏa-mãn công-thức (4/3)n(n + 1/2)
(n + 1), với n là số thứ tự của các kim loại này trong nhóm.
2/- Lịch sử
Công thức Faulhaber còn có tên gọi khác là công thức Bernoulli. Bản thân Faulhaber
không biết công thức ở dạng tổng quát. Ông chỉ tính tổng với 17 giá trị đầu tiên của bậc p, và
rút ra một vài tính chất của dạng tổng quát.
[2]
Faulhaber nhận ra rằng với bậc p lẻ,
là đa thức không chỉ với biến n mà còn nhận số tam giác N = n(n + 1)/2 làm biến. Ví dụ, ông
nhận xét:
Những công thức trên chỉ là nhận xét của Faulhaber rút ra khi nghiên cứu các giá trị cụ thể
của p. Chứng minh chặt chẽ cho các công thức đó với mọi bậc p lẻ mãi đến năm 1834 mới
được đưa ra bởi nhà toán học Carl Jacobi
Nguồn : Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
5