Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Giới hạn của dãy

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa:
• Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô
cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy
số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn
số dương đó. Kí hiệu: lim un = 0 .Hay là: lim un = 0 khi và chỉ khi với
x→+∞

x→0

mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho:
un < ε , ∀n > n0 .

• lim un = a ⇔ lim ( un − a) = 0 , tức là: Với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, luôn
x→+∞
x→+∞
tồn tại số tự nhiên n0 sao cho un − a < ε , ∀n > n0 .
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt
1
• lim
= 0 với k Ơ *
nk
n
ã Nu q < 1 thỡ lim q = 0
n→+∞

• Nếu un = c (với c là hằng số) thì lim un = lim c = c
n→+∞
n→+∞
un = a .
Chú ý: Ta viết limun = a thay cho cách viết nlim
→+∞
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un < vn kể từ số hạng nào đó trở đi
và limvn = 0 thì limun = 0 .
Định lí 2. Cho limun = a, limv n = b . Ta có:
• lim(un + vn ) = a + b

•

lim(un − vn ) = a − b
• lim(un .vn ) = a.b

• lim

un
vn

=

a
(b ≠ 0)
b

• Nếu un ≥ 0 ∀n thì lim un = a
3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa q < 1. Khi đó tổng
S = u1 + u2 + ... + un + .... gọi là tổng vô hạn của CSN và

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

139


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

S = limSn = lim

u1(1− qn )
1− q

=

u1

1− q

.

4. Giới hạn vơ cực
4.1. Định nghĩa:
• lim un = +∞ ⇔ với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của
n→+∞

dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .

• lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ .
n→+∞

n→+∞

4.2. Một số kết quả đặc biệt
• limnk = +∞ với mọi k > 0
• limqn = +∞ với mọi q > 1 .
4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực.
Quy tắc 1: Nếu limun = ±∞ , limvn = ±∞ thì lim(un .vn ) được cho như
sau;
limun
limvn
lim(un vn )
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 2: Nếu limun = ±∞ , limvn = l thì lim(un .vn ) được cho như
sau;
Dấu của l
limun

lim(un vn )
+∞
+
+∞
−
−∞
+∞
−∞
−∞
+
−
−∞
+∞
Quy tắc 3: Nếu limun = l , limvn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một
số hạng nào dó trở đi thì lim
Dấu của l
+∞
+∞
−∞
−∞

un
vn

được coi như sau;

Dấu của vn
+
−
+

−

lim

un

vn
+∞
−∞
−∞
+∞

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp:
140


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

• Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý
luôn tồn tại một số na sao cho un < a ∀n > na .
• Để chứng minh limun = l ta chứng minh lim(un − l) = 0 .
• Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy
ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀n > nM .
• Để chứng minh limun = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ .
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. lim
lim

n+2
=1
n+1

1− 2n

n2 + 1
Lời giải.

2. lim

n2 − 1

1
2
2n + 1
2

=

3.

= −2

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >

1
− 1, ta có:
a

n+2
1
1
−1 =
<
< a với ∀n > na
n+1
n + 1 na + 1
Suy ra lim

n+ 2
n+ 2
− 1 = 0 ⇒ lim
= 1.
n+1
n+1
3
− 1 , ta có:
a

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
n2 − 1

1
3
3
=
<
< a với ∀n > na

2
2
2n + 1 2 n + 1 na + 1
2

−

Suy ra lim

n2 − 1

1
n2 − 1 1
= 0 ⇒ lim
= .
2n2 + 1 2
2n2 + 1 2
−

9

3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na >
1− 2n
2

n +1

+2=

1− 2n + 2 n2 + 1

2

n +1

<

a2

− 1 , ta có:

1− 2n + 2(n + 1)
2

n +1

=

3
2

n +1

<

3
na2 + 1

< a với

∀n > na .

Suy ra lim

1− 2n
n2 + 1

+ 2 = 0 ⇒ lim

1− 2n
n2 + 1

= −2 .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

141


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (−1)n khơng có giới hạn.
Lời giải.
Ta có: u2n = 1⇒ limu2n = 1; u2n+1 = −1⇒ limu2n+1 = −1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un)
khơng có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
2− n
n2 + 1
= −∞
1. lim

2. lim
= +∞
n
n
Lời giải.
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
n2 + 1
M + M2 − 4
> M ⇔ n2 − Mn + 1 > 0 ⇔ n >
n
2
 M + M 2 − 4
2
 thì ta có: n + 1 > M , ∀n > n
Ta chọn n0 = 
0
2


n


n2 + 1
= +∞ .
n
2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:
Do đó: lim

2

 M + M2 + 8
÷
> M ⇔ n − M n − 2> 0⇔ n > 

÷
2
n


2


2
n−2
 M + M + 8 ÷ 
n
=
> M , ∀n > n0
Ta chọn 0 
thì ta có:

÷ 
2
n

 

2− n
= −∞ .
Do đó: lim

n
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng:
1
1
sin2 n
=0
1. lim
2. lim k = 0 (k ∈ ¥ *)
3. lim
=0
n+1
n
n+ 2
n−2

2

5. lim 1− n = −∞
n
Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau
cosn + sinn
2
=0
=0
1. lim
2. lim
n+1
n2 + 1
4. lim(2n + 1) = +∞

lim
142

n+1
=0
n+ 2

3.


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

4. lim

3n3 + n
n2

5. lim

= +∞

2− n
n+1

= −∞ .

Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :
2n + 3
2n + 1

1. A = lim
2. B = lim 2
n−2
n +1

3.

n2 + 1 .
n+1
Bài 4 Tìm các giới hạn sau

C = lim

1. A = lim
3. C = lim

n−2 n
2n
1
2

n +2 n +7

2. B = lim
4. D = lim

nsinn − 3n2
n2
4n + 1
n2 + 3n + 2

.

Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (un ) : un = (−1)n n khơng có giới hạn.
Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau:
1. lim

an
=0
n!

2. lim n a = 1 với a > 0

Bài 7
1. Nếu dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình
 x1 + x2 + ... + xn 

÷ cũng có giới hạn là a .
n


2. Dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện 1 < x1 < 2 và
1
xn+1 = 1+ xn − xn2 ,∀n ∈ ¥ * . Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm
2
limxn .

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

f(n)
• Khi tìm lim
ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là
g(n)
bậc lớn nhất của tử và mẫu.
• Khi tìm lim  k f(n) − m g(n)  trong đó limf(n) = limg(n) = +∞ ta thường


tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

143


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

1. A = lim
B = lim

n 1+ 3 + 5 + ... + (2n − 1)

2.

2n2 + 1
1+ 2 + ... + n − n

3 2

1 + 22 + ... + n2 + 2n
Lời giải.
1. Ta có: 1+ 3 + 5 + ... + 2n − 1 = n2
Suy ra

A = lim

n2
2

2n + 1

1

= lim

2+

1

=

1
2.

n2

n(n + 1)

;
2
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + ... + n2 =
6

2. Ta có: 1+ 2 + ... + n =


1
n2  1+ ÷
n
n(n + 1)

 −n
−n
2
2
= lim
=
Suy ra : B = lim
n(n
+
1)(2n
+
1)

1

1


3
3
+ 2n
n  1+ ÷ 2 + ÷
3
6
n 
n

+ 2n
6
.
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :

1 
1 
1 
1. C = lim  1− 2 ÷ 1− 2 ÷... 1− 2 ÷
2 
3  
n 

 1
1
1
1 
+
+
+ ... +

2. D = lim 

1.2
2.3
3.4
n(n
+ 1) 

Lời giải.
1. Ta có: 1−

1

=

(k − 1)(k + 1)

nên suy ra
k
k2

1 
1 
1  1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + 1
=
 1− 2 ÷ 1− 2 ÷... 1− 2 ÷ = 2 . 2 ...
2n

2 
3  

n  2 3
n2
n+1 1
= .
Do vậy C = lim
2n
2
1
1
1
= −
2. Ta có
nên suy ra
k(k + 1) k k + 1
2

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
= 1−
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
n+1
144

1
−1
2
1
3 +2
3


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt


1 
Vậy D = lim  1−
÷ = 1.
n + 1

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
1. A = lim

4n+1 − 5n+1

2. B = lim

4n + 5n

4.3n+ 2 − 2.7n−1
4n + 7n+1

Lời giải.
n

 4
4 ÷ − 5
 5
= −5 ( do
1. Chia cả tử và mẫu cho 5n ta có: A = lim
n
 4
 5÷ + 1
 
n

 4
lim  ÷ = 0 ).
 5
n

 4
2
36 ÷ −
7
7
2
 
=−
2. Ta có: B = lim
.
n
49
 4

 7÷ + 7
 

1 
1 
1 
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C = lim  1− 2 ÷ 1− 2 ÷... 1− 2 ÷
2 
3  
n 

Lời giải.
Ta có: 1−

1
k

2

=

(k − 1)(k + 1)
k2

nên suy ra


1 
1 
1  1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + 1

=
 1− 2 ÷ 1− 2 ÷... 1− 2 ÷ = 2 . 2 ...
2n

2 
3  
n  2 3
n2
n+1 1
= .
Do vậy C = lim
2n
2
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
1. A = lim

2n2 + 3n + 1
3n2 − n + 2

2n + 1)
3. C = lim (
2

4

17

n

D = lim

( n + 2) 9

2. B = lim

n2 + 2n
n − 3n2 + 1

4.

+1

3

n2 + 1 − 3n3 + 2
4

2n4 + n + 2 − n
Bài 2 Tìm các giới hạn sau :

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

145


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

 2


1. A = lim  n + 6n − n ÷



3 3

2
2. B = lim  n + 9n − n ÷



3.2n − 3n

3. C = lim

n+ 1

3 3
 2
2
4. D = lim  n + 2n − n + 2n ÷ .



n+ 1

2 +3
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
 2


1. A = lim  n + 2n + 2 + n ÷


4

3. C = lim



2
2. B = lim  2n + 1 − n ÷



3n3 + 1 − n

4. D = lim

2n4 + 3n + 1 + n

ak nk + ... + a1n + a0
bpnp + ... + b1n + b0

(Trong đó k,p là các số nguyên dương; ak bp ≠ 0 ) .

(

)

3
5. A = lim n − 2n + 1

(

k
k−1
+ ... + a0
7. C = lim ak n + ak−1n

)

 2

6. B = lim  n + n − 1 + n ÷


với ak ≠ 0

3 3


8. D = lim  2n − n + 1÷



9. E = lim

3n3 + n − 1
(2n − 1)(n + 3)2

10. F = lim

(n − 2)7(2n + 1)3
(n2 + 2)5

 2

3

2
3
11. H = lim  n + n + 1 − n ÷
12. M = lim  1− n − 8n + 2n ÷




3


2
3
13. N = lim  4n + 1 − 8n + n ÷


3
 3

2

2
14. K = lim  n + n − 1 − 3 4n + n + 1 + 5n ÷.


Bài 4. Tìm các giới hạn sau
1. A = lim
3. C = lim

2n + 1
1− 3n
n3 + 1
n(2n + 1)2

3
5. E = lim n + 2n + 1
n+2

2. B = lim
4. D = lim
6. F = lim

4

4n2 + 3n + 1
(3n − 1)2

n3 − 3n2 + 2
n4 + 4n3 + 1

n4 − 2n + 1 + 2n

3

3n3 + n − n

 2

7. M = lim  n + 6n − n ÷



3 3

2
8. N = lim  n + 3n + 1 − n ÷



3 3

2
9. H = limn  8n + n − 4n + 3 ÷



10. K = lim

Bài 5 Tìm các giới hạn sau
146

3.2n − 3n

2n+1 + 3n+1

.


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1. A = lim

2n3 + sin2n − 1
3

n +1
3.3n + 4n

3. C = lim
D = lim

2. B = lim

n

n!

3

n + 2n

4.

3n+1 + 4n+1
n+1

n2( 3n2 + 2 − 3n2 − 1)
6. F = lim

5. E = lim( n2 + n + 1 − 2n)

(

n + 1+ n

)

 2

8. K = limn  n + 1 − n ÷.



p

7. H = lim(k n2 + 1 − n2 − 1)

Bài 6. Tìm giới hạn của các dãy số sau
1
1
1
+
+ ... +

1. un =
2 1+ 2 3 2 + 2 3
(n + 1) n + n n + 1
2. un =

(n + 1) 13 + 23 + ... + n3

3n3 + n + 2
1
1
1
n(n + 1)
3. un = (1− )(1− )...(1− ) trong đó Tn =
.
T1
T2
Tn
2
4. un =
un =

23 − 1 33 − 1 n3 − 1
.
....
23 + 1 33 + 1 n3 + 1

n

2k − 1

k =1

2k

∑

5.

6. un = q + 2q2 + ... + nqn với q < 1

7. un =

Bài 7 Tìm các giới hạn sau:
1. A = lim

2. B = lim

ak .nk + ak−1nk−1 + ... + a1n + a0

bp .np + bp−1np−1 + ... + b1n + b0
3

n

∑

n
2

k =1 n

+k

với ak bp ≠ 0

n6 + n + 1 − 4 n4 + 2n − 1
(2n + 3)2



2
3. C = lim  4n + n + 1 − 2n ÷


3 3


2
2
4. D = lim  n + n + 1 − 2 n + n − 1 + n ÷


Bài 8
1. Cho các số thực a,b thỏa a < 1; b < 1 . Tìm giới hạn

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

147

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

1+ a + a2 + ... + an

I = lim

.
1+ b + b2 + ... + bn
1
2. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = ,xn+1 = xn2 + xn ,∀n ≥ 1
2
1
1
1
+
+L +
Đặt Sn =
. Tính limSn .
x1 + 1 x2 + 1
xn + 1
3. Cho dãy (xk ) được xác định như sau: xk =

1 2
k
+ + ... +
2! 3!
(k + 1)!

n

Tìm limun với un = n x1n + x2n + ... + x2011
.

 u0 = 2011
3

1 . Tìm lim un .
4. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
u
= un +
n
 n+1
u2n

5. Cho dãy số (un ) xác định bởi : un = n + 2 − 2 n + 1 + n .
Đặt Sn = u1 + u2 + L + un . Tìm limSn .
u1 = 1;

6. Cho dãy (un ) xác định như sau: 
u2n . Tìm
u
=
u
+
 n+ 1
n
2010


u 

lim  ∑ n ÷
÷.
 u n+ 1 
7. Cho dãy số (un ) với un =

4n + 1
2n

n

. Dãy (sn ) được cho bởi sn = ∑ ui .
i =1

Tìm limsn .
8. Cho dãy số (un ) được xác định bởi:
u1 = 3

.

un (un + 1)2 − 8
, (n ≥ 1,n ∈ N)
 u n+ 1 =
5

n

Xét sự hội tụ và tính giới hạn sau nếu tồn tại: lim ∑

ui − 2

n→∞ i =1 u2 + 1
i

.

Bài 9 Cho dãy số ( un ) xác định như sau: u1 = 2 và
u n+ 1 =

u2n

2010
u với n = 1,2,3,...
2011 2011 n
+

1. Chứng minh ( un ) là dãy số tăng và không bị chặn trên.

148


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2. Tính

n

∑u
n→+∞
lim

ui

i =1 i +1 − 1

.

Bài 10.
1. Cho dãy số (xn ) được xác định như sau:
x1 = 1,x2 = 2,xn+ 2 = xn+1 + xn ,∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
n


1
2. Cho dãy số (un ) : un =  1+ ÷ . Chứng minh rằng dãy (un ) có giới
n

hạn hữu hạn.
u1 = 2

u2n − un + 3
3. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
u
=
, ∀n = 1,2,....
 n+ 1
u2n + un + 1

Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
4. Cho dãy số (un ) thỏa: un + un+1 ≥ 2un+ 2 và dãy (un ) bị chặn. Chứng

minh rằng dãy (un ) tồn tại giới hạn hữu và tìm giới hạn đó.
u0 = 1,u1 = 5

5. Cho dãy (un ) được xác định bởi: 
u
+ un2 + 6 . Chứng minh
 u n+ 2 = n+ 1
3

rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
u1 = 1

u2n + 4un + 1
6. Cho dãy số (un ) thỏa mãn: 
. Chứng minh
u
=
,n ≥ 1
 n+ 1
2
un + u n + 1

dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
x1 = 1;x2 = 2
7. Cho dãy số (xn ) sao cho 
. Chứng minh dãy số
xn+1 = 4xn + 3xn−1
trên có giới hạn và tìm giới hạn trên.
Bài 11. Cho dãy số (xn ) xác định như sau:
2

x0 = 2011, xn+1 =
; ∀n = 0,1,2,...
1+ x2n
1. Đặt un = x2n ,∀n = 1,2,3,... Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu
hạn.
2. Chứng minh rằng dãy (xn ) cũng có giới hạn hữu hạn.
Bài 12. Tìm limun biết:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

149


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

1. un =
3. un =

n. 1+ 3 + 5 + ... + (2n − 1)
2n + 1
1
2 1+ 2

4. un = (1−
5. un =
un =

+

1
3 2+ 2 3

+ ... +

1 + 22 + ... + n2 + 2n

1
(n + 1) n + n n + 1

23 − 1 33 − 1 n3 − 1
.
....
23 + 1 33 + 1 n3 + 1
2k − 1

k =1

2k

7. un = q + 2q2 + ... + nqn với q < 1
9. un =

1+ 2 + ... + n − n
3 2

1
1
1
)(1− )...(1− ) trong đó Tn = n(n + 1) .

T1
T2
Tn
2

n

∑

2. un = lim

2

n

∑

k =1

1
n2 + k

6.

8. un =

n

n

∑

2

k =1 n

+k

2 42...
10. un = 1444
24442
43 .
n dau can

Bài 13. Cho dãy số (xn ) thỏa mãn xn = 2n + a3 8n3 + 1∀n ∈ N , a là số
thực cho trước.
1. Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn.
2. Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng.
Bài 14. Cho số thực α và xét dãy số (xn ) với

x1 = α
( n ∈ ¥ * ).

2
xn+1 = xn − 2xn + 2
1. Với α ∈(1;2) . Chứng minh 1 < xn < 2 với mọi n ∈ ¥ * và (xn ) là dãy số
giảm.
2. Với α ∈ [1; +∞ ). Tùy vào giá trị của α , tìm giới hạn của (xn ) .
Bài 15.
4

4 8
3un . Tìm
1. Gọi (un ) là dãy số xác định bởi u1 = ; un+1 = − +
9
9 9
limun .
2. Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa
mãn bất phương trình: 9f ( 4x) ≥ 4 + 4 12f ( 3x) − 9f ( 4x) .
Chứng minh: f ( x) ≥ un ∀ n ∈ ¥ ;x ∈ ¡ . Từ đó hãy suy ra f ( x) ≥
3. Cho các dãy số (xn ),(yn ),(zn ) được xác định như sau:

150

4
.
3


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

x1 = a;y1 = b;z1 = c


yn−1 + zn−1
z
+x
x
+ yn−1
,yn = n−1 n−1 ,zn = n−1
xn =


2
2
2
a+ b+ c
Chứng minh rằng các dãy trên cùng hội tụ về giá trị
.
3
x1 = a

5. Cho a > 2 và dãy số ( xn ) với 
2 n+3 .
2xn+1 = 3xn +
n

*
x
>
1
a) Chứng minh : n
, với n ∈ ¥

b)Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 16.

3
a1 = a2 = 2
1. Dãy số (an ) được xác định bởi : 
.
2

an+1 =
, ∀n = 2,3,4..
an + an−1

Chứng minh rằng dãy số (an ) hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.
2. Cho dãy số (un ) được xác định như sau
u1 = 1
.

un+1 = un (un + 1)(un + 2)(un + 3) + 1; n = 1,2,..
n

1
. Tìm limvn .
i =1 ui + 2

Đặt vn = ∑


1
x1 = 2
3. Cho dãy (xn ) : 
. Chứng minh
 , ∀n ≥ 2
x = 1  x2 + 4x
+
x
÷
n
n−1

n−1
2  n−1


n

rằng dãy (yn ) xác định bởi yn = ∑

1

2
i =1 xi

có giới hạn và tìm giới hạn đó.

4. Cho a,b ∈ ¥ å ,(a,b) = 1;n ∈ { ab + 1,ab + 2,...} . Kí hiệu rn là số cp s
(u,v) Ơ

ồ

ìƠ

ồ

sao cho n = au + bv . Chứng minh rằng lim

n→∞

rn
n

=

1
.
ab

Bài 17.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

151


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

1. Cho dãy (xn ) : x1 = 1; xn+1 =

(2 + cos2α)xn + cos2 α

(2 − 2cos2α)xn + 2 − cos2α

trong đó α là số

n

1
∀n ≥ 1. Tìm α để dãy số (yn ) có giới hạn hữu
i =1 2xi + 1

hạn và tìm giới hạn đó.
2. Cho c là một số thực dương. Dãy (xn ) được xây dựng như sau:
thực. Đặt yn = ∑

xn+1 = c − c + xn , n = 0,1,2.. nếu các biểu thức dưới dấu căn khơng

âm. Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x0 ∈ ( 0;c) ,
dãy (xn ) xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn.

GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng
hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn là L khi
x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0 , ta có:
f(xn ) → L . Ta kí hiệu:
lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → x .
0

x→x0

1.2.Giới hạn một bên:
* Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0;b) .Số L gọi là giới hạn bên
phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy
(xn ) : x0 < xn < b mà xn → x0 thì ta có: f(xn ) → L . Kí hiệu: lim+ f(x) = L .
x→ x
0

* Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;x0) .Số L gọi là giới hạn bên trái
của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn ) :a < xn < x0
lim f(x) = L

mà xn → x0 thì ta có: f(xn ) → L . Kí hiệu: x→x−
.
0

Chú ý:

lim f(x) = L ⇔ lim f(x) = lim f(x) = L

x→x0

x→x+
0

x→x−
0

.

1.3. Giới hạn tại vơ cực
* Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞) có giới hạn là L khi
x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn > a và xn → +∞ thì f(xn ) → L . Kí
f(x) = L .
hiệu: xlim
→+∞

152


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

* Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là L khi
x → −∞ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn < b và xn → −∞ thì f(xn ) → L . Kí
f(x) = L .
hiệu: xlim
→−∞
1.4.Giới hạn vơ cực
* Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vơ cực khi x dần tới
x0 nếu với mọi dãy số (xn ) : xn → x0 thì f(xn ) → +∞ . Kí hiệu:
lim f(x) = +∞ .

x→x0

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vơ cực
* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi −∞ hoặc +∞ .
2. Các định lí về giới hạn
Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L ≠ 0)
khi x → x0 (hay x → +∞;x → −∞ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các
giới hạn đó khi x → x0 (hay x → +∞;x → −∞ ) .
Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là
hữu hạn. Ta khơng áp dụng cho các giới hạn dần về vơ cực
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Cho ba hàm số f(x),g(x),h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể
các hàm đó khơng xác định tại x0 ). Nếu g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K và
lim g(x) = lim h(x) = L thì lim f(x) = L .
x→ x
x→x

x→ x0

0

0

3. Một số gới hạn đặc biệt
*

lim x2k = +∞

x→+∞
(x→−∞ )

;

lim x2k+1 = +∞ (−∞)

x→+∞
(x→−∞ )

k
= 0 (k ≠ 0) .
x→x0 f(x)

* lim f(x) = +∞ (−∞) ⇔ lim
x→x0

Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy
số.
Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa :
2
1. A = lim(3x + x + 1)
x→1

3. C = lim

x→2

x+ 2− 2
x− 2

x3 − 1
x→1 x − 1
3x + 2
4. D = lim
x→+∞ x − 1
2. B = lim

Lời giải.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

153


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

1. Với mọi dãy (xn ) mà limxn = 1 ta có:

(

)

A = lim 3x2n + xn + 1 = 3 + 1+ 1 = 5
2. Với mọi dãy (xn ) mà limxn = 1 và xn ≠ 1 ∀n ta có:
B = lim

(xn − 1)(xn2 + xn + 1)
= lim x2n + xn + 1 = 3 .
xn − 1

(

)

3. Với mọi dãy (xn ) mà limxn = 2 và xn ≠ 2 ∀n ta có:
B = lim

xn + 2 − 2
xn − 2

= lim

(xn − 2)
(xn − 2)

(

)

xn + 2 + 2

= lim

1
xn + 2 + 2

=

1
4

4. Với mọi dãy (xn ) mà limxn = +∞ ta có:
3x + 2
D = lim n
= lim
xn − 1

2
xn
= 3.
1
1−
xn
3+

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau khơng có giới hạn:
1

1. f(x) = sin
khi x → 0
2. f(x) = cos5 2x khi x → −∞ .
x
Lời giải.
1
1
(xn ) : xn =
,(yn ) : yn =
2
(nπ)2
1. Xét hai dãy
π

+
n2
π
2
÷


Ta có: limxn = limyn = 0 và limf(xn ) = 1; limf(yn ) = 0 .
Nên hàm số khơng có giới hạn khi x → 0 .
π
2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: xn = nπ; yn = + nπ
4
f(x) = 0 thì lim f(x) = 0 .
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu xlim
x→x
→x

0

0

Lời giải.
Với mọi dãy (xn ) :limxn = x0 ta có: lim f(xn ) = 0 ⇒ limf(xn ) = 0
⇒ lim f(x) = 0 .
x→x0

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa
x+ 1
3
x+ 3− 2
1. lim
2. lim x + 1
3. lim
x
→
2
x→1 x − 2
x→1
x−1
2
x+ 3
3x + 2
2x − x + 1
4. lim
5. lim
. 6. lim

x→+∞ x − 2
x
→
1
2x − 1
x→−∞
x+ 2

(

154

)


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

4x − 3
3x − 1
x+ 4− 2
8. lim
9. lim
x→0
2x
x→1+ x − 1
x→2− x − 2
Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau khơng có giới hạn :
1
1. f(x) = sin khi x → 0
2. f(x) = cosx khi x → +∞

x
Bài 3 Bằng định nghĩa hãy tìm các giới hạn sau
x+1
2
1. lim 2x + x − 3
2. xlim
3.
→2
( 2 − x) 4
x→1
x−1
7. lim

lim

3x2

x→+∞ 2x2 + 1

(

)

2

5. lim−

4. lim x + x − 1
x→−∞

x→2

x2 − 4

( x + 1) ( 2− x)

6.

4

x2 + 3x + 2
.
x+ 1
x→−1−
lim

Bài 4 Chứng minh rằng các hàm số sau khơng có giới hạn
1
1. f(x) = cos 2 khi x → 0
2. f(x) = sin2x khi x → +∞
x

Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số
f(x) biết f(x) xác định tại x .
Bài tốn 01: Tìm xlim
0
→x
0

Phương pháp:

* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng
f(x0)
* Nếu f(x) cho bởi nhiều cơng thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để
hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:
1. lim

sin2x + 3cosx + x

2. lim

2x + cos2 3x

x→0

x2 + 3 − 2x

x→2 3 x + 6 + 2x − 1

Lời giải.
1. Ta có: lim

x→0

2. Ta có: lim

sin2x + 3cosx + x
2

2x + cos 3x
x2 + 3 − 2x

x→2 3 x + 6 + 2x − 1

=

=

sin0 + 3cos0 + 0
2.0 + cos2 0

22 + 3 − 2.2
3

2 + 6 + 2.2 − 1

=

=3

7−4
.
5

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

155

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay
khơng? Nếu có hay tìm giới hạn đó?
 x2 + 3x + 1
khi x < 1

 x2 + 2
1. f(x) = 
khi x → 1;
 3x + 2
khi x ≥ 1
 3
 2x2 + 3x + 1 khi x ≥ 0
f(x)
=
2.
khi x → 0
 2
 − x + 3x + 2 khi x < 0
Lời giải.
3x + 2 5
= .
1. Ta có: lim f(x) = lim
3
3
x→1+
x→1+
x2 + 3x + 1 5

5
= ⇒ lim f(x) = lim f(x) = .
2
−
+
−
3 x→1
3
x +2
x→1
x→1

lim f(x) = lim

x→1−

Vậy limf(x) =
x→1

5
.
3

2
2. Ta có: lim+ f(x) = lim+ (2x + 3x + 1) = 1.
x→0

x→0

lim f(x) = lim (−x2 + 3x + 2) = 2 ⇒ lim f(x) ≠ lim f(x) .

−
+
−

x→0−

x→0

x→0

x→0

Vậy hàm số f(x) khơng có giới hạn khi x → 0 .
Ví dụ 3. Tim m để các hàm số:
 x2 + mx + 2m + 1
khi x ≥ 0


x+1
1. f(x) = 
có giới hạn khi x → 0 .
 2x + 3m − 1
khi x < 0
 1− x + 2
 x2 + x − 2
+ mx + 1
khi x < 1

2. f(x) =  1− x
có giới hạn khi x → 1.

3mx + 2m − 1
khi x ≥ 1

Lời giải.
1. Ta có: lim f(x) = lim
x→0+

x→0+

x2 + mx + 2m + 1
= 2m + 1
x+1

2x + 3m − 1 3m − 1
=
3
1− x + 2
x→0−

lim f(x) = lim

x→0−

Hàm số có giới hạn khi x → 0 khi và chỉ khi lim+ f(x) = lim− f(x)
x→0

⇔ 2m + 1 =
156

3m − 1

4
⇔ m= − .
3
3

x→0


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2. Ta có: lim+ f(x) = lim+ (3mx + 2m − 1) = 5m − 1
x→1

x→1

 x2 + x − 2

lim f(x) = lim 
+ mx + 1÷

÷
1− x
x→1−
x→1− 


(

)

= lim −(x + 2) 1− x + mx + 1 = m + 1
x→1−

Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi lim+ f(x) = lim− f(x)
x→1

x→1

1
.
2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau:
⇔ 5m − 1 = m + 1 ⇔ m =

2tanx + 1
2. B = limπ sinx + 1
x→

x2 − x + 1
x→1 x + 1

1. A = lim

3

x+ 2− x+ 1
3x + 1
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
3. C = lim

x→0

1. A = lim

x+ 1

x→−2 x2 + x + 4

3. C = lim

2x2 − x + 1 − 3 2x + 3

6

4. D = lim

x→1

2. B = limπ
x→

3

7x + 1 + 1
.
x− 2

sin2 2x − 3cosx
tanx

6

4. D = lim 3

3x + 1 − 2

x→1 3x + 1 − 2
3x2 − 2
Bài 3 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay
khơng ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ?
3x3 − 5x2 + 4 khi x ≥ 1
1. f(x) = 
khi x → 1
khi x < 1
3x − 1
 x3 − 8

khi x > 2
2. f(x) =  x − 2
tại x → 2 .
2x + 1
khi x ≤ 2

x→1

Bài 4 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay
khơng ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ?
3x2 − 5x + 1 khi x ≥ 1
1. f(x) = 

tại x = 1.
khi x < 1
−3x + 2
 x3 − 8

khi x > 2
2. f(x) =  x − 2
tại x = 2.
2x + 1
khi
x
≤
2

Bài 5
1. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

157


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

x2 + ax + 1 khi x > 2
f(x) = 
.
2
2x − x + 1 khi x ≤ 2

2. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0
5ax2 + 3x + 2a + 1
khi x ≥ 0

f(x) = 
.
1+ x + x2 + x + 2 khi x < 0
Bài 6 Tìm a để hàm số
5ax2 + 3x + 2a + 1 khi x ≥ 0

1. f(x) = 
có giới hạn tại x → 0
1+ x + x2 + x + 2 khi x < 0
x2 + ax + 1 khi x > 1
2. f(x) =  2
có giới hạn khi x → 1.
2x − x + 3a khi x ≤ 1
f(x)
trong đó f(x0) = g(x0) = 0 .
x→x0 g(x)

Bài tốn 02. Tìm A = lim

0
.
0
Để khử dạng vơ định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có :
Dạng này ta gọi là dạng vơ định

f(x) = (x − x0)f1(x) .
*Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x − x0)f1(x) và
g(x) = (x − x0)g1(x) . Khi đó A = lim

f1(x)

x→x0 g1(x)

, nếu giới hạn này có dạng

0
0

thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx+c có hai nghiệm x1,x2 thì ta
ln có sự phân tích ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) .
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên
hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.
Các lượng liên hợp:
1. ( a − b)( a + b) = a − b
2. (3 a ± 3 b)( 3 a2 m 3 ab + 3 b2 ) = a − b
3. (n a − n b)(n an−1 + n an−2b + ... + n bn−1 ) = a − b
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử
dụng phương pháp tách, chẳng hạn:
Nếu
158

n u(x), m v(x) → c

thì ta phân tích:

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
n u(x) − m v(x)

= (n u(x) − c) − (m v(x) − c) .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên khơng đi đến kết quả
ta phải phân tích như sau: n u(x) − m v(x) = (n u(x) − m(x)) − (m v(x) − m(x)) ,
trong đó m(x) → c .
* Một đẳng thức cần lưu ý:
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + ... + abn−2 + bn−1) .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:
xn − 1
x→1 x − 1

1. A = lim
B = lim

2.

x5 − 5x3 + 2x2 + 6x − 4
x3 − x2 − x + 1

x→1

Lời giải.
1. Ta có: xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + ... + x + 1)
Suy ra:

xn − 1 n−1 n− 2
=x
+x
+ ... + x + 1
x−1

(

)

n −1
+ xn− 2 + ... + x + 1 = n .
Do đó: A = lim x
x→1

2. Ta có: x5 − 5x3 + 2x2 + 6x − 4 = (x − 1)2(x + 2)(x2 − 2)
x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2(x + 1)
(x + 2)(x2 − 2)
3
=− .
x→1
x+1
2
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:

Do đó: B = lim

1. C = lim

x→0

(1+ mx)n − (1+ nx)m

2
3
2. D = lim (1+ 2x) (1+ 3x) − 1
x→0
x

x2

Lời giải.
1. Ta có: (1+ mx)n = 1+ mnx +
Với A = C 3n + mxC 4n + ... + ( mx)

( 1+ nx) m = 1+ mnx +

m2n(n − 1)x2
+ m3x3.A
2

n− 3

C nn

n2m(m − 1)x2
+ n3x3B
2

Với B = C 3m + nxC 4m + ... + ( nx)

m− 3

Cm
m

 m2n(n − 1) − n2m(m − 1)

+ x m3A − n3B 
Do đó: C = lim 
x→0 
2



(

)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

159


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

m2n(n − 1) − n2m(m − 1) mn(n − m)
.
=

2
2
3
2
3
1+ 2x2 ( 1+ 3x) − 1


2. Ta có: ( 1+ 2x) ( 1+ 3x) − 1
=
+
x
x
=

(

)

(

)

(1+ 2x)2 − 1
2
= ( 1+ 2x) 9 + 27x + 27x2 − (4 + 4x)
x
2
2
Suy ra: D = lim ( 1+ 2x) 9 + 27x + 27x − (4 + 4x) = 5

x→0 

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:
+

(

)

2x − 1 − x

1. A = lim

2. B = lim

2

x −1

x→1

3

3x + 2 − x
3x − 2 − 2

x→2

Lời giải.
2x − 1− x2

1. Ta có: A = lim

x→1(x − 1)(x + 1)(

2. Ta có: B = lim

x→2

2x − 1 + x)

−(x − 1)

= lim

x→1(x + 1)(

2x − 1 + x)

=0

(3x + 2 − x3)( 3x − 2 + 2)
3(x − 2)(3 (3x + 2)2 + 23 3x + 2 + 4)

= lim

x→2

−(x2 + 2x + 1)( 3x − 2 + 2)
2

3

3

3( (3x + 2) + 2 3x + 2 + 4)

= −1 .

Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
1. B = lim

x→1

3

2x − 1 − 1
x−1

2. C = lim

x→1

2x − 1.3 3x − 2.4 4x − 3 − 1
x−1

Lời giải.
3
2t + 1 − 1 2
1. Đặt t = x − 1 ta có: B = lim

=
t→0
t
3

2. Ta có:

2x − 1.3 3x − 2.4 4x − 3 − 1 = 2x − 1.3 3x − 2

(

+ 2x − 1

3

)

(

4

)

4x − 3 − 1 +

3x − 2 − 1 + 2x − 1 − 1

3
4
2x − 1 − 1

3x − 2 − 1
4x − 3 − 1
= lim
= lim
=1
x→1
x
→
1
x
→
1
x−1
x−1
x−1
Nên ta có: C = 1+ 1+ 1 = 3.

Mà: lim

Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:
3
1. A = lim 7x + 1 − 5x − 1
x→1
x−1

Lời giải.
160

2. B = lim

x→7

x + 2 − 3 x + 20
4

x+ 9− 2


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1. Ta có: A = lim

3

7x + 1 − 2 − ( 5x − 1 − 2)
x−1

x→1

I = lim

x→1

3

7x + 1 − 2
5x − 1 − 2
− lim
=I−J
x→1

x→1
x−1
x−1
7(x − 1)

= lim

(x − 1)(3 (7x − 1)2 + 23 7x − 1 + 4)
7

= lim

x→1 3

(7x − 1)2 + 23 7x − 1 + 4
5(x − 1)

J = lim

x→1(x − 1)(

Vậy A = −

5x − 1 + 1)

= lim

x→1

=

7
12 .
5

5
5x − 1 + 1 3
=

2
.
3

x + 2 − 3 3 x + 20 − 3
−
x + 2 − x + 20
x− 7
= lim x − 7
2. Ta có: B = lim
4
4
x→7
x
→
7
x+ 9− 2
x+ 9− 2
x− 7
x+ 2− 3
1

1
= lim
=
Mà: lim
x→7
x→7 x + 2 + 3 6
x− 7
3

lim

3

x + 20 − 3
1
1
= lim
=
x→7 (3 x + 20)2 + 33 x + 20 + 9 27
x−7

4

x+ 9− 2
1
1
= lim
=
.
3

2
4
4
4
x→7 ( x + 9) + 2( x + 9) + 4 x + 9 + 8 32
x−7

x→7

lim

x→7

1 1
−
6
27 = 112
B
=
Vậy
.
1
27
32
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm các gới hạn sau :
1. A = lim

x→1

x3 − 3x2 + 2
x2 − 4x + 3

(1+ 3x)3 − (1− 4x)4
x→0
x
Bài 2 Tìm các gới hạn sau :
3. C = lim

1. A = lim

xn − 1

x→0 xm

−1

(m,n ∈ ¥ *)

2. B = lim

x4 − 5x2 + 4

x3 − 8
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) − 1
4. D = lim
.
x→0
x
x→2

2. B = lim

x→0

n

1+ ax − 1
(n ∈ ¥ *,a ≠ 0)
x

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

161


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
n

3. A = lim m

1+ ax − 1

với ab ≠ 0

1+ bx − 1
αβγ
≠
0

với
.
Bài 3 Tìm các gới hạn sau :
x→0

4. B = lim

x→0

2x2 − 5x + 2

1. A = lim

2. B = lim

x3 − 3x − 2

x→2

4. D = lim

x→3 x2 − 4x + 3

5. E = lim

3

4

2x + 2 − 2

m

9. G = lim

x→0

8. N = lim

x2

x→0

x→0

x + 1− 1

(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1
x

6. F = lim

1+ 4x − 3 1+ 6x

7. M = lim

3

x→0 4 2x + 1 − 1

4x − 1 − x + 2

x→7

x4 − 3x + 2

x→1 x3 + 2x − 3

2x + 3 − x

3. C = lim

1+ αx 3 1+ βx 4 1+ γx − 1
x

m

x→0

1+ ax n 1+ bx − 1
x

10.

n
m
1+ mx) − ( 1+ nx)
(
V = lim

x2

x→0

( 1− x ) ( 1− x ) ...( 1− x )
11. K = lim
3

1+ ax − n 1+ bx
x

n

( 1− x) n−1

x→1

n

n

 1+ x2 + x −  1+ x2 − x 

÷ 
÷
12.



L = lim 

x→0
x
Bài 4 Tìm các gới hạn sau :
2x2 − 5x + 2

1. A = lim

2. B = lim

x3 − 8

x→2

x→1

2x + 3 − 3

3. C = lim

4. D = lim

x→3 x2 − 4x + 3

5. E = lim

3

7. M = lim

x→0

x→0

6. F = lim

2x + 2 − 2

1+ 4x − 1+ 6x
1− cos3x

( 1+ mx) − ( 1+ nx)

x3 + 2x − 3
3

x + 1− 1

2x + 1 − 1

n (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1

x

x→0

3

n

9. V = lim

x→0

4x − 1 − x + 2
4

x→7

x4 − 3x2 + 2

8. N = lim

m

x→0

m

1+ 2x − 3 1+ 3x

n

1+ ax − 1+ bx
1+ x − 1

( 1− x ) ( 1− x ) ...( 1− x )
10. K = lim
.
1
−

x
( )
3

x→1

2

n

n −1

Bài 5 Tìm các giới hạn sau
1. A = lim

x→0

162

4x + 1 − 3 2x + 1
x

2. B = lim 3
x→1

4x + 5 − 3
5x + 3 − 2


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

3. C = lim

4

2x + 3 + 3 2 + 3x

4. D = lim

x+ 2−1
Bài 6 Tìm các giới hạn sau
x→−1

1. A = lim

1+ 2x − 3 1+ 3x

2. B = lim

x2

x→0

x− x+ 2

x→2 x − 3 3x + 2

x→−1

.

5 + 4x − 3 7 + 6x
x3 + x2 − x − 1

f(x)
, trong đó f(x),g(x) → ∞ , dạng này ta
x→±∞ g(x)

Bài toán 03: Tìm B = lim

∞
.
∞
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vơ định ở dãy số. Ta cần
tìm cách đưa về các giới hạn:
cịn gọi là dạng vơ định

*

lim x2k = +∞

x→+∞
(x→−∞ )

lim x2k+1 = +∞ (−∞)

;

x→+∞
(x→−∞ )

.

k
lim
= 0 (n > 0;k ≠ 0) .
* x→+∞
xn
(x→−∞ )

k
= 0 (k ≠ 0) .
x→x0 f(x)

* lim f(x) = +∞ (−∞) ⇔ lim
x→x0

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:
1. A = lim

x→+∞

(4x + 1)3(2x + 1)4

2. B = lim

(3 + 2x)7

x→−∞

4x2 − 3x + 4 + 3x
x2 + x + 1 − x

Lời giải.
3

4


1 
1
 4+ x ÷  2+ x ÷

 
 =8
1. Ta có: A = lim
7
x→+∞
3

 x + 2÷


− 4−
2. Ta có: B = lim

x→−∞

− 1+

3 4
+
+3
x x2
1 1
+
−1
x x2

=

1
2

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
1. A = lim

x→+∞

B = lim

2x2 + 1 − x2 + 1
2x + 2

2.

3x2 − 2 + x + 1

x→−∞

x2 + 1 − 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

163