Bài tập tự luận và trắc nghiệm đại số và giải tích lớp 11, Phan Quốc Cường

ỆU
LI

TỰ

ỌC
H

TÀ
I

PHAN QUỐC CƯỜNG

N

HI

ỆM

TỰ

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
 />ĐỨC HỊA, 3/09/2021

UẬ

C

G

N

TRẮ

TỐN 11

L


MỤC LỤC
MỤC LỤC
Chương 1.

§1 –

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
 Dạng 1.1: Tập Xác Định Của Hàm Số LG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
 Dạng 1.2: Tính Tuần Hồn Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

 Dạng 1.3: Tính Chẵn, Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
 Dạng 1.4: Tập Giá Trị, Min-Max Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . 5

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§2 –

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
 Dạng 2.1: Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
 Dạng 2.2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Điều Kiện Nghiệm
15
 Dạng 2.3: Sử Dụng Công Thức Biến Đổi Đưa Về Phương Trình Lượng
Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

§3 –

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . . . . . . 24
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 Dạng 3.1: Phương Trình Bậc Hai Đối Với Hàm Số Lượng Giác . . . . . . 25
 Dạng 3.2: Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sin Và Cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
 Dạng 3.3: Phương Trình Bậc Hai Đối Với sin x và cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
 Dạng 3.4: Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x. cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
 Dạng 3.5: Phương Trình Tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


 />
 Tốn Thầy Cường

 MỤC LỤC

Chương 2.

§1 –

36

TỔ HỢP - XÁC SUẤT

QUY TẮC ĐẾM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 Dạng 1.1: Quy Tắc Cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 Dạng 1.2: Quy Tắc Nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
 Dạng 1.3: Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

§2 –

HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
 Dạng 2.1: Hoán Vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
 Dạng 2.2: Chỉnh Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
 Dạng 2.3: Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
 Dạng 2.4: Cơng thức hốn vị - chỉnh hợp - tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
 Dạng 2.5: Hoán Vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
 Dạng 2.6: Chỉnh Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
 Dạng 2.7: Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
 Dạng 2.8: Tổng Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

§3 –

NHỊ THỨC NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

§4 –

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
 Dạng 4.1: Mô tả không gian mẫu và xác định số kết quả có thể của
phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
 Dạng 4.2: Xác định biến cố của một phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
 Dạng 4.3: Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

ii

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

ii


iii

 />
 Toán Thầy Cường

 MỤC LỤC

Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Chương 3.

§1 –

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

70

Nhị Thức Niu-Tơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
 Dạng 1.1: Chứng minh đẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
 Dạng 1.2: Một số bài toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

 Dạng 1.3: Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§2 –

Dãy Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
 Dạng 2.1: Dự đốn cơng thức và chứng minh quy nạp công thức tổng
quát của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
 Dạng 2.2: Xét sự tăng giảm của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
 Dạng 2.3: Xét tính bị chặn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§3 –

Cấp Số Cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
 Dạng 3.1: Chứng Minh Một Dãy Số un Là Cấp Số Cộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
 Dạng 3.2: Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
 Dạng 3.3: Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

§4 –

CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
 Dạng 4.1: Chứng Minh Một Dãy Số Là Cấp Số Nhân Và Các Yếu Tố
Liên Quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
 Dạng 4.2: Xác định q. uk của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
 Dạng 4.3: Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

iii

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />
 Toán Thầy Cường

 MỤC LỤC

Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Chương 4.

§1 –

108

GIỚI HẠN

GIỚI HẠN DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
 Dạng 1.1: Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
 Dạng 1.2: Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Có Giới Hạn Hữu Hạn . . . . . . . . . 109
 Dạng 1.3: Dãy số có giới hạn vơ hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

§2 –

GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
 Dạng 2.1: Giới Hạn Của Hàm Số Tại 1 Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
 Dạng 2.2: Giới hạn của hàm số tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

§3 –

GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
 Dạng 3.1: Giới Hạn Hữu Hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
 Dạng 3.2: Giới Hạn Vô Hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
 Dạng 3.3: Bài Toán Chứng Minh Sự Tồn Tại Của Giới Hạn Tại 1 Điểm.
135

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

§4 –

HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
 Dạng 4.1: Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Tại Một Điểm . . . . . . . . . . . . . . . 141
 Dạng 4.2: Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Trên Khoảng, Nửa Khoảng,
Đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
 Dạng 4.3: Chứng minh phương trình có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

iv

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

iv


v

 />
 Tốn Thầy Cường

Chương 5.

§1 –

 MỤC LỤC

151

ĐẠO HÀM

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
 Dạng 1.1: Tìm số gia của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
 Dạng 1.2: Tính Đạo Hàm Bằng Định Nghĩa Tại Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
 Dạng 1.3: Tính Đạo Hàm Của Hàm Số Trên 1 Khoảng Bằng Định
Nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
 Dạng 1.4: Mối Quan Hệ Giữa Liên Tục Và Đạo Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

§2 –

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
 Dạng 2.1: Quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
 Dạng 2.2: Chứng minh, giải phương trình và bất phương trình chứa
đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

§3 –

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B

Các dạng toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
 Dạng 3.1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
 Dạng 3.2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết điểm đi qua . . . . . . . . . . . 171
 Dạng 3.3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
 Dạng 3.4: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

§4 –

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
 Dạng 4.1: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
 Dạng 4.2: Chứng minh, giải phương trình và bất phương trình . . . . . . . 183

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

v

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />
 Tốn Thầy Cường

 MỤC LỤC

§5 –

ĐẠO HÀM CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

§6 –

VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A

Kiến thức cần nắm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

B

Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

C

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

vi

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

vi

LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG

CHƯƠNG
CHƯƠNG

1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM -SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
GIÁC

BÀI

1

HÀM SỐ LƯỢNG
HÀM GIÁC
SỐ LƯỢNG GIÁC

A

KIẾN THỨC CẦN NẮM

1. Hàm
1. Hàm
số ysố
= ysin

= xsin x
✓ Tập xác định D = R;
✓ Tập giá trị T = [−1; 1] , tức là −1 ≤ sin x ≤ 1;
✓ Hàm số tuần hồn với chu kì 2π, tức là sin (x + k2π) = sin x với k ∈ Z;
π
π
✓ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π; + k2π và
2
2ã
Å
3π
π
nghịch biến trên mỗi khoảng
+ k2π;
+ k2π ,k ∈ Z;
2
2
✓ Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
y

1
π
−
2

−2π
3π
−
2

3π
2
O
−1

2. Hàm
2. Hàm
số ysố
= ycos
= xcos x
✓ Tập xác định D = R;

π
2

2π
x


 />
 Toán Thầy Cường

 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2

✓ Tập giá trị T = [−1; 1] , tức là −1 ≤ sin x ≤ 1;
✓ Hàm số tuần hồn với chu kì 2π, tức là cos (x + k2π) = cos x với k ∈ Z;
✓ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π),k ∈
Z;

✓ Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

y

1
−π
−2π

−

−

π
2

π
2

3π
2

π

3π
2
2π

O
−1

3. Hàm
3. Hàm
số ysố
= ytan
=x
tan x
✓ Tập xác định D = R\

π
+ kπ, k ∈ Z ;
2

✓ Tập giá trị T = R;
✓ Là hàm số tuần hồn với chu kì π, tức là tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;
✓ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −

π
π
+ kπ; + kπ với k ∈ Z;
2
2

✓ Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
y

−2π

−π
3π
−

2

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

π
π
−
2

O π
2

2

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

3π
2

2π x

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

x


3

 />
 Toán Thầy Cường

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4. Hàm
4. Hàm
số ysố
= ycot
= xcot x
✓ Tập xác định D = R\ {kπ, k ∈ Z} ;
✓ Tập giá trị T = R;
✓ Là hàm số tuần hồn với chu kì π, tức là tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;
✓ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ Z;
✓ Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Chú ý

1) Hàm số y = sin (ax + b) tuần hồn với chu kì T0 =

2π
.
|a|

2) Hàm số y = cos (ax + b) tuần hồn với chu kì T0 =

2π
.
|a|

3) Hàm số y = tan (ax + b) tuần hồn với chu kì T0 =

π
.
|a|

4) Hàm số y = cot (ax + b) tuần hồn với chu kì T0 =

π
.
|a|

B

BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG

1

Tập Xác Định Của Hàm Số LG

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y = tan 2x +
c) y =

π
.
6

b) y = cot −2x −

2
.
sin 2x

d) y = 2 cos

π
.
3

√
x2 − 3x + 2.

Bài 2. Tìm tập xác định các hàm số sau:
1 − 2x2
.
a) y =
1 − cos 2x
√
c) y = 2 − 2 sin x .
…
1 − cos x
e) y =
.
1 + cos x
g) y = cot

3x
.

b) y = cos √ 2
x −1
√
d) y = sin x − 1.
f) y = tan x +

π
.
4

π
2
− 2x −
.
4
1 − cos x

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

3

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />

 Toán Thầy Cường

 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a) y =

1
;
1 − sin 4x

c) y = √

b) y = tan 3x −

sin x
3 sin x + cos x

d) y =

π
;
4

tan x + cotx
.
cot2 x − 1

Bài 4. Tìm m để hàm số sau xác định trên R.
a) y =

√

b) y = √

2m − 3 cos x.

Bài 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
trên R.

2
sin2 x − 2 sin x + m − 1
5 − m sin x − (m + 1) cos x xác định

DẠNG

2

Tính Tuần Hồn Của Hàm Số Lượng Giác

Bài 6. Tìm chu kì tuần hồn các hàm số sau
a) y = 1 − sin 5x

b) y = 2 cos2 2x

c) y = tan (−3x + 1)

d) y = 2 − 3 cot(2x − 1)

Bài 7. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 − sin 5x.

Å ã
Å ã
2
2
x . cos
x .
c) y = sin
5
5

b) y = cos2 x − 1.
d) y = cos x + cos

√

3.x

Bài 8. Tìm chu kỳ của hàm số y = sin 3x + 3 cos 2x.
Bài 9. Chứng minh các hàm số sau đây là hàm số tn hồn, tìm chu kì của mỗi hàm số.
b) y = cos2 x − sin2 x;

a) y = sin2 2x + 1;

c) y = cos2 x + sin2 x.

DẠNG

3

Tính Chẵn, Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác

Bài 10. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y = 2 cos 3x;

b) y = x + sin x;

c) y = x. cot x + cos x;

d) y = x2 + tan |x|.

Bài 11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y = 2x sin x ;
c) y =

b) y = cos x + sin 2x ;

cos 2x
;
x

d) y = tan7 2x. sin 5x.

Bài 12. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

4

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

4


5

 />
 Toán Thầy Cường

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

a) y = |x| sin x;
c) )y =

b) )y =

cos x + x2 − 1
;
sin4 x

d) y =

tan x − sin x
;
2 + cos x + cot2 x
sin4 x + 1
.
2 + cos6 x

Bài 13. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
1) y = f (x) = tan x + cot x ;
Å
ã
9π
2) y = f (x) = sin 2x +
;
2
3) f (x) =

sin2020n x + 2020
,n∈Z
cos x

Bài 14. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f (x) = 3m sin 4x + cos 2x là hàm chẵn.
DẠNG

4

Tập Giá Trị, Min-Max Của Hàm Số Lượng Giác

Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
a) y = 2 sin 3x −

π
− 3;
2

b) y = −5 + 2 cos2 2x −

√
c) y = 2 cos 3x − 1;

d) y =

π
;
3

sin2 (3x)
− 3 cos2 (3x).
2

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
√
a) y = 4 − 2 cos 2x.
b) y = 3 + sin2020 x.
c) y = sin x − cos x + 3.
ï

π 5π
e) y = 4 cos x − 4 cos x + 3 với x ∈
;
3 6

d) y = sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x + 5.
ò
ï
π 5π

f) y = cos 2x + 5 sin x + 2 với x ∈
;
3 6

ò

2

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tập xác định D của hàm số y = 2 sin x là
A. D = [−2; 2].
B. D = [−1; 1].
√
Câu 2. Tập xác định D của hàm số y = cos x là
A. D = [−1; 1].
B. D = [0; 1].

C. D = [0; 2].

D. D = R.

C. D = [0; +∞).
D. D = R.
2021
không xác định?
Câu 3. Trên [0; 2π] có bao nhiêu điểm mà hàm số y = cos x +
sin x

A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. Vô số.
2
Câu 4. Tập xác định D của hàm số y =
π là
sin x −
3
π
π
A. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
B. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
3
3
C. D = R\{k2π, k ∈ Z}.
D. D = R\{kπ, k ∈ Z}.
 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

5

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 />
 Toán Thầy Cường

 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2021 − sin x
là
cos x − 1
π
A. D = R.
B. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
2
C. D = R\{kπ, k ∈ Z}.
D. D = R\{k2π, k ∈ Z}.
Å
ã
π 3π
2021
Câu 6. Trên − ;
có bao nhiêu điểm mà hàm số y =
không xác định?
2 2
sin2 x − 1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
π
Câu 7. Tập xác định D của hàm số y = cot 2x −

+ sin 2x là
4
A. D = ∅.
B. D = R.
π
π
π
C. D = R\
+ k ,k ∈ Z .
D. D = R\
+ Kπ, K ∈ Z .
8
2
4
x π
Câu 8. Tập xác định D của hàm số y = 3 tan2
−
là
2
4
ß
™
3π
π
A. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
B. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
2
ß2

™
3π
π
C. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
D. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
2
2
Câu 5. Tập xác định D của hàm số y =

Câu 9. Tập xác định D của hàm số y = 2020 tan2021 2x là
π
π
A. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
B. D = R\ k , k ∈ Z .
2
2
π
π
C. D = R.
D. D = R\
+ k ,k ∈ Z .
4
2
Câu 10. Tập xác định D của hàm số y = tan x − cot 2x là
π
π
A. D = R\ k , k ∈ Z .

B. D = R\ k , k ∈ Z .
4
2
C. D = R\{kπ, k ∈ Z}.
D. D = R\{k2π, k ∈ Z}.
1
Câu 11. Tập xác định D của hàm số y =
π là
tan x −
4
™
ß
3π
π
+ kπ, k ∈ Z .
+ kπ, k ∈ Z .
A. D = R\
B. D = R\
4
2
π
π
π
C. D = R\
+ k ,k ∈ Z .
D. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
4
2
4

3 tan x − 5
Câu 12. Tập xác định D của hàm số y =
là
1 − sin2 x
π
π
A. D = R\
B. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
+ kπ, k ∈ Z .
2
2
C. D = R\{Kπ, K ∈ Z}.
D. D = R.
cos 2x
không xác định trong khoảng nào sau đây?
Câu 13. Hàm số y =
1 + tan
Å
ãx
π
3π
π
π
A.
+ k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
B. − + k2π; + k2π với k ∈ Z.
4
2

Å2
ã
Å 2
ã
3π
3π
3π
C.
+ k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
D. π + k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
4
2
2
1
Câu 14. Tập xác định D của hàm số y =
là
sin x − cos x
π
A. D = R.
B. D = R\ − + kπ, k ∈ Z .
4
π
π
+ k2π, k ∈ Z .
+ kπ, k ∈ Z .
C. D = R\
D. D = R\
4

4
√
Câu 15. Tập xác định D của hàm số y = sin 2x + 1 là
A. D = R\{kπ, k ∈ Z}.
B. D = R.
 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

6

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

6


7

 />
 Toán Thầy Cường

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π
π
π
+ kπ; + kπ, k ∈ Z .
D. D = R\

+ k2π, k ∈ Z .
4
2
2
√
Câu 16. Tập xác định D của hàm số y = sin x − 2 là
A. D = ∅.
B. D = [−1; 1].
C. D = [2; 3].
D. D = R.
√
√
Câu 17. Tập xác định D của hàm số y = 1 − sin 2x − 1 + sin 2x là
A. D = ï∅.
B. D = ïR.
ò
ò
π
5π
5π
13π
C. D =
+ k2π;
+ k2π , k ∈ Z.
D. D =
+ k2π;
+ k2π , k ∈ Z.
6
6
6

6
…
1 − cos x
Câu 18. Tập xác định D của hàm số y =
là
cos2 x
A. D = R\{kπ, k ∈ Z}.
B. D = R.
π
π
C. D = R\
D. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
+ k2π, k ∈ Z .
2
2
…
1 − sinx
Câu 19. Tập xác định D của hàm số y =
là
cos x − 4
A. D = ∅.
B. D = R.
π
π
C. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
D. D =
+ k2π, k ∈ Z .
2

2
Câu 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2021
có tập xác định là D = R.
A. Hàm số y =
1 + tan2 x
sin x
B. Hàm số y =
có tập xác định là D = R\{3}.
3 − cos x
√
C. Hàm số y = cos x + 1 có tập xác định là D = R.
D. Hàm số y = tan2 x + cot2 x có tập xác định là D = R.
C. D = R\

1
Câu 21. Tập xác định D của hàm số y = √
là
1 − sin x
A. D = ∅.
B. D = R.
π
π
C. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
D. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
2
2
π

Câu 22. Tập xác định D của hàm số y = tan
cos x là
2
π
π
A. D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
B. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
2
2
C. D = R.
D. D = R\{kπ, k ∈ Z}.
√
Câu 23. Tập xác định D của hàm số y = − cos x là
A. D = [−π
B. D = [π + k2π; 2π + k2π], k ∈ Z.
ï + k2π; k2π], k ∈òZ.
π
3π
π
π
C. D =
+ k2π;
+ k2π , k ∈ Z.
D. D = − + k2π; + k2π , k ∈ Z.
2
2
2
2

2 − sin 2x
Câu 24. Tìm m để hàm số y = √
xác định trên toàn trục số.
m cos x + 1
A. −1 ≤ m ≤ 1.
B. −1 < m < 1.
C. m > 0.
D. 0 < m < 1.
√
Câu 25. Cho hàm số y = 2m − 3 sin x Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc (0; 2022) để
hàm số xác định trên R?
A. 2018.
B. 2019.
C. 2020.
D. 2021.
Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin x.
B. y = cos x.
C. y = tan x.

 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

7

D. y = cot x.

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />
 Toán Thầy Cường

 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 27. Đồ thị của hàm số nào sau đây có trục đối xứng?
A. y = sin 2x.

C. y = cos x · cot x.

B. y = x cos x.

D. y =

Câu 28. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = | sin x|.
B. y = x2 sin x.
C. y = |x| sin x.

tan x
.
sin x

D. y = x + sin x.

Câu 29. Cho các hàm số y = x sin x, y = x2 cos x, y = 2x3 tan x và y = cot 4x Trong các hàm số đã
cho có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
π
A. y = sin x cos 2x.
B. y = sin3 x · cos x −
.
2
tan x
.
C. y =
D. y = cos x sin3 x.
tan2 x + 1
Câu 31. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = − sin x.
B. y = cos x − sin x.
C. y = cos x + sin2 x.

D. y = cos x sin x.

Câu 32. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = cos x + sin4 x. B. y = sin x + cos x.
C. y = − cos x.

D. y = sin x · cos 3x.

Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = 1 − sin2 x.

B. y = | cot x| · sin2 x.
C. y = x2 tan 2x − cot x.
D. y = 1 + | cot x + tan x|.
π
Câu 34. Cho các hàm số y = 2022 + tan4x, y = sin x2 −
, y = tan2 x và y = | cot x| Trong các
2
hàm số đã cho có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4..
Câu 35. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số y = | sin x| đối xứng qua gốc tọa độ O..
B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = | tan x| đối xứng qua trục Oy.
D. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O..
Câu 36. Cho hàm số f (x) = sin 2x và g(x) = tan2 x Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. f (x) lẻ và g(x) chẵn.
B. f (x) chẵn, g(x) lẻ.
C. f (x) và g(x) cùng chẵn.
D. f (x) và g(x) cùng lẻ.
cos 2x
|sin 2x| − cos 3x
và g (x) =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1 + sin 3x
2 + tan2 x
A. f (x) lẻ và g(x) chẵn.

B. f (x) chẵn, g(x) lẻ.
C. f (x) và g(x) cùng chẵn.
D. f (x) và g(x) cùng lẻ.

Câu 37. Cho f (x) =

Câu 38. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
1
π
A. y =
B. y = sin x +
.
3 .
sin x
4
√
√
π
C. y = 2 cos x −
.
D. y = sin 2x.
4
Câu 39. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
π
π
π
A. y = 2 cos x +
+ sin(π − 2x).
B. y = sin x −
+ sin x +

.
2
4
4
 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

8

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

8


9

 />
 Toán Thầy Cường

√
√
π
− sin x.
D. y = sin x + cos x.
4
Câu 40. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
π

π
A. y = x4 + cos x −
.
B. y = x2021 + cos x −
.
3
2
2022
2021
2022
C. y = 2023 + cos x + sin
x.
D. y = tan
x + sin
x.
C. y =

√

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2 sin x +

Câu 41. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì 2π.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
C. Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì 2π.
D. Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π.
x
Câu 42. Tìm chu kì T của hàm số y = cos

+ 2021
2
A. T = −2π.
B. T = π.
C. T = 2π.
D. T = 4π.
Câu 43. Tìm chu kì T của hàm số y = tan(3πx + 2020)
1
π
4
2π
A. T = .
B. T = .
C. T = .
D. T =
.
3
3
3
3
Câu 44. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
x
A. y = cos x và y = cot .
B. y = sin x và y = tan 2x.
2
x
x
C. y = sin và y = cos .
D. y = tan 2x và y = cot 2x.
2

2
Câu 45. Trong các hàm số y1 = sin x, y2 = sin 2x, y3 = tan x, y4 = cot x có bao nhiêu hàm số thỏa mãn
tính chất f (x + kπ) = f (x) với mọi x ∈ R và k ∈ Z
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 46. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π?
x
x
A. y = cos3 x.
B. y = sin cos .
2
2

C. y = sin2 (x + 2).

Câu 47. Cho các hàm số y = sin x, y = x + sin x, y = x cos x và y =
bao nhiêu hàm số có tính tuần hồn?
A. 1.
B. 2.

C. 3.

D. y = cos2

x
+1 .
2

sin x
Trong các hàm số đã cho có
x
D. 4.

Câu 48. Cho hàm số y = sin x Mệnh đề nào sau đây đúng?
Å
ã
3π
π
; π , nghịch biến trên khoảng π;
.
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
2
Å2
ã
π π
3π π
B. Hàm số đồng biến trên khoảng − ; −
, nghịch biến trên khoảng − ;
.
2
2
2 2
π
π
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;
, nghịch biến trên khoảng − ; 0 .
2
Å2

ã
π 3π
π π
, nghịch biến trên khoảng
;
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng − ;
2 2
2 2
π
Câu 49. Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0;
khác với các hàm số còn lại?
2
A. y = sin x.
B. y = cos x.
C. y = tan x.
D. y = − cot x.
Å
ã
31π 33π
Câu 50. Với x ∈
;
, mệnh đề nào sau đây đúng?
4
4
A. Hàm số y = sin x đồng biến.
B. Hàm số y = cos x nghịch biến.
C. Hàm số y = cot x nghịch biến.
D. Hàm số y = tan x nghịch biến.
π π

Câu 51. Hàm số nào sau đây đồng biến trên nửa khoảng
; ?
4 2
A. y = tan x.
B. y = cot x.
C. y = sin 2x.
D. y = cos 4x.
 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

9

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />
 Toán Thầy Cường

 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

π π
π
Câu 52. Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên − ;
? y = sin 2x +
,
3 6
6

π
π
π
y = cos 2x +
, y = tan 2x +
và y = cot 2x +
6
6
6
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
π
Câu 53. Để hàm số y = sin x +
đồng biến, ta chọn x thuộc khoảng nào sau đây?
4
π
π
A. − + k2π; + k2π .
B. (π + k2π; 2π + k2π).
2
Å 2
ã
Å
ã
3π
π
3π
π

C. −
+ kπ; + kπ .
D. −
+ k2π; + k2π .
4
4
4
4
π
Câu 54. Trong khoảng 0;
, hàm số y = sin x − cos x là
2
A. hàm số đồng biến.
B. hàm số nghịch biến.
C. hàm hằng.
D. hàm số không đơn điệu.
π
π
Câu 55. Cho hàm số y = 4 sin x +
cos x −
− sin 2x Mệnh đề nào sau đây đúng?
6
6
Å
ã
π
3π
và
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 0;
;π .

4
4
B. Hàm số đã cho đồng biến trên (0; π).
ã
Å
3π
.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên 0;
4
π
π
và nghịch biến trên
;π .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên 0;
4
4
Câu 56. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x − 2
A. M = 1, m = −5.
B. M = −3, m = −1. C. M = 2, m = −2.
D. M = 0, m = −2.
Câu 57. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 3 cos 2x + 5
A. T = [−1; 1].
B. T = [−1; 11].
C. T = [2; 8].
Câu 58. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 5 − 3 sin x
A. T = [−1; 1].
B. T = [−3; 3].
C. T = [2; 8].
√
π

Câu 59. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = − 2 sin 2021x +
√
√
√ 3
A. m = −2017 2.
B. m = −2016 2.
C. m = − 2.
Câu 60. Hàm số y = cos |3x − 5| có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 0.
B. −1.
C. 1.

D. T = [5; 8].
D. T = [5; 8].
D. m = −1.
D. −2.

Câu 61. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 − 2| cos 3x|
A. M = 3, m = −1.
B. M = 1, m = −1.
C. M = 2, m = −2.
D. M = 0, m = −2.
Câu 62. Hàm số y = (3 − 5 sin x)2022 có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m Giá trị của M + m
bằng
A. 22022 .
B. 24044 .
C. 22022 (1 + 24044 ).
D. 26066 .
π
|sin x| lần lượt là

Câu 63. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f (x) = sin
√3 √
√
3
3
3
A. −1 và 1.
B. 0 và 1.
C. −
và
.
D. 0 và
.
2
2
2
1
Câu 64. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y =
cos x + 1
√
1
1
A. m = .
B. m = √ .
C. m = 1.
D. m = 2.
2
2
 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

10

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

10


11

 />
 Toán Thầy Cường

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

√
Câu 65. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f (x) = 1 + 2 4 + cos 3x lần lượt là
√
√
√
√
A. 1 + 2 3; 1 + 2 5.
B. 2 3; 2 5.
√
√
√
√

C. 1 − 2 3; 1 + 2 5.
D. −1 + 2 3; −1 + 2 5.
Câu 66. Hàm số y = 5 + 4 sin 2x cos 2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 3.
B. 4.
C. 5.

D. 6.

Câu 67. Tập giá trị của hàm số y = sin 2021x − cos 2021x là
√ √
A. [−1; 1].
B. [−4042; 4042].
C. − 2; 2 .

√
D. 0; 2 .

Câu 68. Hàm số y = sin4 x − cos4 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x0 Mệnh đề nào sau đây đúng?
π
π
A. x0 = + kπ, k ∈ Z.
B. x0 = + k2π, k ∈ Z.
4
4
π
C. x0 = kπ, k ∈ Z.
D. x0 = + kπ, k ∈ Z.
2
4

4
Câu 69. Cho hàm số y = cos x + sin x Mệnh đề nào sau đây đúng?
√
1
A. y ≤ 2, ∀x ∈ R.
B. y ≤ 2, ∀x ∈ R.
C. y ≤ 1, ∀x ∈ R.
D. y ≤ , ∀x ∈ R.
2
6
6
Câu 70. Tập giá trị của hàm số yï = sin
ò x + cos x là
ò
ï
ï
ò
1
1
1
;1 .
;1 .
A. [0; 2].
B.
C.
D. 0; .
2
4
4
π

Câu 71. Hàm số y = sin x +
− sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
3
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
2
Câu 72. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =
1 + tan2 x
1
2
A. M = .
B. M = .
C. M = 1.
D. M = 2.
2
3
√
π
Câu 73. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4 sin2 x + 2 sin 2x +
4
√
√
√
7
A. M = 2.
B. M = 2 − 1.
C. M = 2 + 2.
D. M = .

2
Câu 74. Hàm số y = 1 + 2 cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x0 Chọn mệnh đề đúng:
π
A. x0 = π + k2π, k ∈ Z.
B. x0 = + kπ, k ∈ Z.
2
C. x0 = k2π, k ∈ Z.
D. x0 = kπ, k ∈ Z.
√
Câu 75. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 7 − 3 cos2 x
√
√
A. M = 10, m = 2.
B. M = 7, m = 2.
√
√
C. M = 10, m = 7.
D. M = 0, m = 1.
3
√
Câu 76. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y =
lần lượt là
1 + 2 + sin2 x
−3
3
3
4
2
3
3

3
√ và
√ . B.
√ và
√ . C.
√ và
√ . D.
√ và
√ .
A.
1+ 3
1+ 2
1+ 3
1+ 2
1+ 3
1+ 2
1+ 3
1+ 2
Câu 77. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 8 sin2 x + 3 cos 2x bằng
A. 2.
B. 8.
C. 11.
D. 15.
Câu 78. Hàm số y = cos2 x + 2 sin x + 2 đạt
√ giá trị nhỏ nhất tại x0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
1
A. sin x0 = −1.
B. sin x0 = −
.

C. sin x0 = − .
D. sin x0 = 0.
2
2
Câu 79. Hàm số y = cos2 x − cos x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 và có giá trị nhỏ nhất là m. Giá trị của
m + sin2 x0 bằng
 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

11

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />
 Tốn Thầy Cường

 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1
3
.
C. .
D. 1.
2
4
Câu 80. Hàm số y = 4 sin4 x − cos 4x − 4 cos 2x − 8 đạt giá trị nhỏ nhất tại x1 và đạt giá trị lớn nhất tại

x2 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cos 2x1 − cos 2x2 = −2.
B. cos 2x1 − cos 2x2 = −1.
C. cos 2x1 − cos 2x2 = 0.
D. cos 2x1 − cos 2x2 = 2.
√
√
Câu 81. Cho hàm số y = 1 + cos x + 1 − cos x có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Giá
trị của biểu thức M 2 + m2 bằng
√
A. 2 2.
B. 4.
C. 6.
D. 8.
A. 0.

B.

Câu 82. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâuÅh (mét) của
ã mực nước trong
πt π
kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức h = 3 cos
+
+ 12. Mực nước
8
4
của con kênh cao nhất khi
A. t = 13 (giờ).
B. t = 14 (giờ).
C. t = 15 (giờ).

D. t = 16 (giờ).
BẢNG ĐÁP ÁN
1.
11.
21.
31.
41.
51.
61.
71.
81.

D
C
D
C
C
D
B
C
C

2.
12.
22.
32.
42.
52.
62.
72.

82.

C
B
D
D
D
B
D
D
B

3.
13.
23.
33.
43.
53.
63.
73.

B
B
C
C
A
D
D
C

4.
14.
24.
34.
44.
54.
64.
74.

A
D
B
C
B
A
A
B

5.
15.
25.
35.
45.
55.
65.
75.

D
B
C

A
C
A
A
B

6.
16.
26.
36.
46.
56.
66.
76.

B
A
B
A
C
A
C
D

7.
17.
27.
37.
47.
57.

67.
77.

C
B
D
C
A
C
C
B

8.
18.
28.
38.
48.
58.
68.
78.

A
C
A
A
D
C
C
A

9.
19.
29.
39.
49.
59.
69.
79.

D
D
C
C
B
C
C
B

10.
20.
30.
40.
50.
60.
70.
80.

B
C
B

B
A
B
C
D

BÀI

PHƯƠNG
LƯỢNG
TRÌNH
GIÁC
LƯỢNG GIÁC
2PHƯƠNG TRÌNH

A

KIẾN THỨC CẦN NẮM

1. Phương
1. Phương
trìnhtrình
sin xsin
=xa = a
✓ Trường hợp 1: |a| > 1. Phương trình vơ nghiệm, vì −1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x.
✓ Trường hợp 2: |a| ≤ 1.
Đặt a = sin α hoặc a = sin β ◦ , phương trình tương đương với
 α đặc biệt ⇒

x = α + k2π

x = π − α + k2π

 α không đặc biệt ⇒

(k ∈ Z)

x = arcsin a + k2π
x = π − arcsin a + k2π

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

12

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

(k ∈ Z)
 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

12


13

 />
 Toán Thầy Cường

◦

 sin x = sin β ⇔

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

x = β ◦ + k.360◦
x = 180◦ − β ◦ + k.360◦

(k ∈ Z).

f (x) = g (x) + k2π

 Tổng quát 2.1. sin f (x) = sin g (x) ⇔

f (x) = π − g (x) + k2π

(k ∈ Z).

Chú ý
π
+ k2π (k ∈ Z).
2
π
2) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π (k ∈ Z).
2
1) sin x = 1 ⇔ x =

3) sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z).
2. Phương
2. Phương
trìnhtrình

cos xcos
=xa = a
✓ Trường hợp 1: |a| > 1 ⇒ Phương trình vơ nghiệm.
✓ Trường hợp 2: |a| ≤ 1.
Đặt a = sin α hoặc a = sin β ◦ , phương trình tương đương với
 α đặc biệt
cos x = cos α ⇔

 α không đặc biệt: cos x = a ⇔

x = α + k2π
x = −α + k2π

x = arccos a + k2π
x = − arccos a + k2π

, (k ∈ Z)

(k ∈ Z).

 cos x = cos β ◦ ⇔ x = ±β ◦ + k.360◦ (k ∈ Z).
 Tổng quát 2.2. cos f (x) = cos g (x) ⇔ f (x) = ±g (x) + k2π (k ∈ Z).
Chú ý
1) cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z).
2) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z).
3) cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (k ∈ Z).
2

3. Phương
3. Phương
trìnhtrình
tan x
tan
=xa = a
Điều kiện cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ. Đặt a = tan α.
2

✓ α đặc biệt
tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ
 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

13

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”


 />
 Tốn Thầy Cường

 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

✓ α không đặc biệt
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z)
✓ tan x = tan β ◦ ⇔ x = β ◦ + k.180◦ (k ∈ Z).
 Tổng quát 2.3. tan f (x) = tan g (x) ⇔ f (x) = g (x) + kπ(k ∈ Z).
4. Phương
4. Phương
trìnhtrình
cot xcot
=xa = a
Điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ. Đặt a = cot α.
✓ α đặc biệt
cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ
✓ α không đặc biệt
cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ, k ∈ Z.
✓ cot x = cot β ◦ ⇔ x = β ◦ + k.180◦ (k ∈ Z).
 Tổng quát 2.4. cot f (x) = cot g (x) ⇔ f (x) = g (x) + kπ(k ∈ Z).

B

BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG

Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

1

Bài 1. Giải các phương trình sau:
√

3
x π
−
=−
.
a) sin
2
3
4
Å
ã
3π
π
c) sin 3x −
= sin
−x .
4
6
π
e) cos −x +
3

b) sin (3x − 30◦ ) = sin 45◦ .
d) sin 4x −

π
f) cos 5x −
3

= 1.

√

◦

g) cos (2x + 25 ) = −

π
3

2
.
2

h) cos

= 0.
Å

ã
7π
= sin
− 2x .
4

1
π
− 2x = − .
6
4

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) tan (2x − 1) = tan −x +
c) 3 tan 3x +

π
6

π
.
3

b) tan (3x − 10◦ ) =

π
= 1.
3
π
π
f) cot x +
= cot −2x +
.
3
6

= −1.

d) cot 2x −

e) 2 cot (3x) = 3.

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

√
3.

14

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

14


15

 />
 Toán Thầy Cường

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG

2

Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Điều Kiện
Nghiệm

π
Bài 3. Giải các phương trình sau, biết nghiệm thuộc khoảng − ; 2π .
4
π
a) sin
+ 2x = −1.
6
π
π
b) cos 2x +
= cos x −
.
3
3
π
π
c) tan 3x −
= tan x +
.
4
6
Bài 4. Giải các phương trình sau, biết nghiệm thuộc khoảng [−π; π].
Å
ã
3π
a) cot −x +
= 0.
4
√
π

b) 2 sin x +
= 2.
6
c) tan (−x) = tan (2x + 1).
DẠNG

3

Sử Dụng Công Thức Biến Đổi Đưa Về Phương Trình
Lượng Giác Cơ Bản

Bài 5. Giải các phương trình sau:
π
π
− sin 2x +
= 0.
a) cos 3x −
6
3
Bài 6. Giải các phương trình sau:
Å
ã
4π
π
2
2
a) cos x −
= sin 2x +
.
5

5

b) tan 3x + tan x = 0.

b) 4 cos2 (2x − 1) = 1.

Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) cos x + cos 2x + cos 3x = 0.

b) 8 sin 2x. cos 2x. cos 4x =

c) cos 3x − cos 5x = sin x.

d) sin 7x − sin 3x = cos 5x.

Bài 8. Giải các phương trình sau:
Å
ã
5π
π
a) cot
− 3x − tan 2x +
= 0.
3
3
√
π
Bài 9. Giải các phương trình: 2 sin 2x +
4
Bài 10. Tìm m để:

√
2.

b) cot x. cot 2x = −1.
= 3 sin x + cos x + 2

Å
ị
π 3π
a) Phương trình sin x = m có đúng hai nghiệm thuộc − ;
.
4 4

ị
π 3π
.
b) Phương trình (2 cos x − 1) (sin 2x − m) = 0 có đúng hai nghiệm thuộc − ;
4 4
 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

15

Å

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 />
 Tốn Thầy Cường

 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Phương trình s inx = sin α có nghiệm là
x = α + k2π
A.
; k ∈ Z.
x = π − α + k2π
C.

x = α + kπ
x = −α + kπ

B.

; k ∈ Z.

D.

Câu 2. Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
π
A. sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z.

2
C. sin x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z.

x = α + kπ
x = π − α + kπ
x = α + k2π
x = −α + k2π

; k ∈ Z.

; k ∈ Z.

B. sin x = 1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z.
π
D. sin x = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2

Câu 3. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là:
π
π
A. x = − + kπ.
B. x = − + k2π.
2
2
Câu 4. Phương trình sin x = 0 có nghiệm là:
π
A. x = + k2π.
B. x = kπ.
2
Câu 5. Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai

π
A. sin x = −1 ⇔ x = − + k2π.
2
C. sin x = 0 ⇔ x = k2π.

C. x = kπ.

D. x =

3π
+ kπ.
2

C. x = k2π.

D. x =

π
+ kπ.
2

B. sin x = 0 ⇔ x = kπ.
π
D. sin x = 1 ⇔ x = + k2π.
2

1
Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = là:
2
π

π
A. x = + k2π.
B. x = + kπ.
C. x = kπ.
D. x =
3
6
ã
Å
2x π
= 0 (với k ∈ Z) có nghiệm là
Câu 7. Phương trình sin
−
3
3
2π k3π
π
A. x = kπ.
B. x =
+
.
C. x = + kπ.
D. x =
3
2
3
1
π
π
Câu 8. Phương trình sin x = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là :

2
2
2
5π
π
π
A. x =
+ k2π.
B. x = .
C. x = + k2π.
D. x =
6
6
3
√
2
Câu 9. Nghiệm phương trình sin 2x =
là:
2


π
π
x = + k2π
x = + kπ


4
4
A. 

(k ∈ Z).
B. 
(k ∈ Z).
3π
3π
+ k2π
+ kπ
x=
x=
4
4


π
π
x = + kπ
x = + k2π


8
8
(k
∈
Z).
(k ∈ Z).
C. 
D.

3π
3π

x=
+ kπ
x=
+ k2π
8
8
Câu 10. Nghiệm của phương trình sin(x + 10◦ ) = −1 là
A. x = −100◦ + k360◦ .
B. x = −80◦ + k180◦ .
C. x = 100◦ + k360◦ .
D. x = −100◦ + k180◦ .
1
x+π
= − có tập nghiệm là
Câu 11. Phương trình sin
5
2
 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

16

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

π
+ k2π.
6

π k3π
+
.

2
2
π
.
3

 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

16


17

 />
 Toán Thầy Cường


11π
x=
+ k10π

6
A. 
(k ∈ Z).
29π
x=−
+ k10π
6


11π
x=−
+ k10π

6
C. 
(k ∈ Z).
29π
x=−
+ k10π
6

 Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



11π
+ k10π

6
B. 
(k ∈ Z).
29π
x=
+ k10π
6

11π
x=

+ k10π

6
D. 
(k ∈ Z).
29π
x=
+ k10π
6

√

x=−

3
Câu 12. Số nghiệm của phương trình sin 2x =
trong khoảng (0; 3π) là
2
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 4.
π
Câu 13. Nghiệm phương trình sin x +
= 1 là
2
π
π
A. x = + k2π.
B. x = − + k2π.

C. x = kπ.
D. x = k2π.
2
2
Câu 14. Phương trình: 1 + sin 2x = 0 có nghiệm là:
π
π
π
π
A. x = − + k2π.
B. x = − + kπ.
C. x = − + k2π.
D. x = − + kπ.
2
4
4
2
π
Câu 15. Số nghiệm của phương trình: sin x +
= 1 với π ≤ x ≤ 5π là
4
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
π
Câu 16. Nghiệm của phương trình 2 sin 4x −
− 1 = 0 là:
3
π

π
7π
π
π
A. x = + k ; x =
+k .
B. x = k2π; x = + k2π.
8
2
24
2
2
π
C. x = kπ; x = π + k2π.
D. x = π + k2π; x = k .
2
√
Câu 17. Phương trình 3 + 2 sin x = 0 có nghiệm là:
π
π
π
2π
A. x = + k2π ∨ x = − + k2π.
B. x = − + k2π ∨ x =
+ k2π.
3
3
3
3
π

π
2π
4π
C. x = + k2π ∨ x =
D. x = − + k2π ∨ x =
+ k2π.
+ k2π.
3
3
3
3
Câu 18. Nghiệm của phương trình sin 3x = sin x là:
π
π
π
A. x = + kπ.
B. x = kπ; x = + k .
2
4
2
π
C. x = k2π.
D. x = + kπ; k = k2π.
2
1
Câu 19. Phương trình sin 2x = − có bao nhiêu nghiệm thõa 0 < x < π.
2
A. 1.
B. 3.
C. 2.

D. 4.
π
Câu 20. Số nghiệm của phương trình sin x +
= 1 với π ≤ x ≤ 3π là:
4
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Câu 21. Nghiệm của phương trình cos x = 1 là
π
A. x = kπ.
B. x = + k2π.
2
Câu 22. Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng
π
A. cos x = 1 ⇔ x = + kπ.
2
π
C. cos x = −1 ⇔ x = − + k2π.
2
Câu 23. Phương trình: cos 2x = 1 có nghiệm là
π
A. x = + k2π.
B. x = kπ.
2
 Lớp Toán Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hòa - Long An

C. x = k2π.

D. x =

π
+ kπ.
2

π
+ kπ.
2
π
D. cos x = 0 ⇔ x = + k2π.
2
B. cos x = 0 ⇔ x =

C. x = k2π.

17

D. x =

π
+ kπ.
2

 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 />
 Tốn Thầy Cường

 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 24. Nghiệm của phương trình cos x = −1 là
π
3π
A. x = π + kπ.
B. x = − + k2π.
C. x = π + k2π.
D. x =
+ kπ.
2
2
1
Câu 25. Nghiệm phương trình cos x = là
2


π
π
x = + k2π
x = + k2π

6
6
A. 
(k ∈ Z).

B. 
(k ∈ Z).
π
5π
x
=
−
+
k2π
x=
+ k2π
6
6


π
π
x = + k2π
x = + k2π

3
3

C. 
(k
∈
Z).
D.
(k ∈ Z).
π

2π
x
=
−
+
k2π
x=
+ k2π
3
3
Câu 26. Nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là
π
π
π
2π
A. x = − + k2π; x = + k2π.
B. x = − + k2π; x =
+ k2π.
3
3
6
3
2π
2π
π
π
C. x =
+ k2π; x = −
+ k2π.
D. x = + kπ; x = − + kπ.

3
3
3
3
π
Câu 27. Phương trình cos 2x −
= 0 có nghiệm là
2
π kπ
A. x = +
.
B. x = π + kπ.
C. x = kπ.
D. x = k2π.
2
2
π
Câu 28. Nghiệm phương trình cos x +
= 1 là:
2
π
π
A. x = + k2π.
B. x = − + k2π.
C. x = kπ.
D. x = k2π.
2
2
√
Câu 29.

trình lượng giác:
2 cos x + 2 = 0 có nghiệm
là
 Phương



π
π
3π
5π
x = + k2π
x = + k2π
x=
+ k2π
x=
+ k2π




4
4
4
4
.
A. 
B. 
. C. 
. D. 

.
−π
3π
−3π
−5π
x=
+ k2π
+ k2π
x=
x=
+ k2π
x=
+ k2π
4
4
4
4
√
2
Câu 30. Nghiệm phương trình: cos 2x =
là
2




π
π
π
π

x = + k2π
x = + kπ
x = + kπ
x = + k2π
4
4
8
8
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
π
π
π
π
x = − + k2π
x = − + kπ
x = − + kπ
x = − + k2π
4
4
8
8
1
Câu 31. Nghiệm của phương trình cos x = − là:

2
π
π
2π
π
A. x = ± + k2π.
B. x = ± + k2π.
C. x = ±
+ k2π.
D. x = ± + kπ.
3
6
3
6
√
3
Câu 32. Nghiệm của phương trình cos x +
= 0 là:
2
5π
π
π
2π
+ kπ.
+ k2π.
A. x =
B. x = − + k2π.
C. x = + k2π.
D. x = ±
6

3
6
3
√
π
Câu 33. Số nghiệm của phương trình: 2 cos x +
= 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là
3
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
√
Câu 34. Phương trình 2 cos x − 3 = 0 có họ nghiệm là
π
π
A. x = ± + kπ(k ∈ Z).
B. x = ± + k2π(k ∈ Z).
3
3
π
π
C. x = ± + k2π(k ∈ Z).
D. x = ± + kπ(k ∈ Z).
6
6
 Sưu tầm, biên soạn: Phan Quốc Cường

18

“Ngọc bất trác bất thành khí, nhân bất học bất tri lý”

 Lớp Tốn Thầy Cường - ĐT: 0981.931.093

 Đức Hịa - Long An

18