Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, Nguyễn Hoàng Việt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.27 MB, 86 trang )

MỤC LỤC

Chương 1.
§1 –

§2 –

§3 –

§4 –

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1
1

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

19

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

B

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

37

A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
A

i/83

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

59

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm
số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

ii

MỤC LỤC

Kết nối tri thức với cuộc sống

B
§5 –

§6 –

ii/83

BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

73

A

Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B

Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ

83

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

Chươ

ng

HÀM SỐ
SỐ LƯỢNG
LƯỢNG GIÁC
GIÁC VÀ
VÀ
HÀM
PHƯƠNG
TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
GIÁC
PHƯƠNG
LƯỢNG
HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁCTRÌNH
VÀ

1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số y = sin x

1.

○ Tập xác định: D = R.
○ Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1,
∀x ∈ R.
○ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm
số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

y

− π2
−π

π

π
2

x

Đồ thị hàm số y = sin x

○ Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2π,
nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z.
2.

Hàm số y = cos x

○ Tập xác định: D = R.
○ Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈
R.
○ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm
số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

y

− π2

−π

π
x

π
2

Đồ thị hàm số y = cos x

○ Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì
T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z.
3.

y

Hàm số y = tan x

π
○ Điều kiện cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2
π
Tập xác định: D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
2
○ Tập giá trị: R.
○ Là hàm số lẻ.

−π − π2
O

π
2

π

x

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa
là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z.

1/83

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

2

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

4.

Kết nối tri thức với cuộc sống

Hàm số y = cot x

○ Điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} .
○ Tập giá trị: R.
○ Là hàm số lẻ.
○ Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa
là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z.

y

−π

3π
2

− π2
O

5.

π
2

π

x

Một số trường hợp đặc biệt

Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x
sin

sin

sin

B
cos

O

sin x = 1 ⇔ x =

π
2

A

cos

O

cos

O

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

+ k2π

A

sin x = 0 ⇔ x = kπ

Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x
B

A

A
O

sin

sin

sin

cos

O

cos x = 1 ⇔ x = k2π

cos

O

cos

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

B
cos x = 0 ⇔ x =

π
2

+ kπ

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Ta chú ý một số điều kiện sau:
f (x)
a) y =
xác định ⇔ g(x) = 0.
g(x)
b) y =
2/83

2n

f (x) xác định ⇔ f (x)

0, trong đó n ∈ N∗ .
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

3

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

c) y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) =

Kết nối tri thức với cuộc sống

π
+ kπ, k ∈ Z.
2

d) y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) = kπ, k ∈ Z.
Ą Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
a) y =

2 sin x + 3
cos x

b) y =

1 + cos x
1 − cos x

c) y =

2 + 3 cos 2x
sin x

d) y =

1 + cos x
1 + sin x

e) y =

sin x − 3
cos x + 1

f) y =

2 sin x + 3
cos x + 2

g) y =

2 sin x + 3
sin x − 1

h) y =

j) y =

√

3 − 2 cos x.

2 sin x − 3
2 sin x + 3
√
cos x − 2
k) y =
1 + cos x

i) y = sin
…
l) y =

x−1
.
x+2

1 + cos x
1 − cos x

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
3/83

.................................................
.................................................
.................................................

4

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

Ą Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
a) y = 2 tan x + 3

b) y = 2 tan 2x − 4 sin x

c) y = cot x +

π
+1
4

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

sin x − 1
cos x + m

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
4/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

5

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =
định R.

cos2 x − (2 + m) cos x + 2m có tập xác

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
5/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hồng Việt –

0905.193.688

6

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................

Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số
Ta thực hiện các bước sau:
a) Tìm tập xác định D của hàm số – Tập D phải đối xứng.
b) Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả. Khi đó
• Nếu f (−x) = f (x): hàm số đã cho là hàm chẵn.
• Nếu f (−x) = −f (x): hàm số đã cho là hàm lẻ.
• Nếu khơng rơi vào 2 trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.
CHÚ Ý

① Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.

② Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

③ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.

④ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.

Ą Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Å
ã
9π
a) y = f (x) = sin 2x +
;
2

b) y = f (x) = tan x + cot x.
ɓ Lời giải.

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
6/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

7

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

.................................................

.................................................
.................................................

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................

Ą Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

Ta thường dùng một trong 3 phương pháp sau:
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản
① −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R;

② −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R;

③ 0 ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R;

④ 0 ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R.

⑤ Cô – si:

⑥ Bunhiacopxki:

√
a + b ≥ 2 ab, với mọi a, b ≥ 0
Dấu bằng xảy ra khi a = b.

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d2 )
Dấu bằng xảy ra khi

a
c
= .
b
d

Sử dụng điều kiện có nghiệm
① sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1.
② cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1.

③ sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2 .
Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận.
Ą Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
√
2 + cos x − 1

a) y = 2 sin x + 3

1 − 2sin2 x
b) y =
3

c) y =

d) y = 4 sin x cos x + 1;

e) y = 4 − 3 sin2 2x.

f) y = (3 − sin x)2 + 1

g) y = sin4 x + cos4 x

h) y = sin6 x + cos6 x
ɓ Lời giải.

7/83

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

8

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
8/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

9

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

√
Ą Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

9/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

10

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................

Ą Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
√
a) y = 3 sin x + cos x
b) y = sin 2x − cos 2x

c) y = 3 sin x + 4 cos x

ɓ Lời giải.
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
Ą Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
a) y = 2sin2 x − 3 sin x + 1

b) y = 2cos2 x + 3 cos x − 2

c) y = cos 2x − sin x + 3

ɓ Lời giải.
10/83

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

11

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

√

Ą Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

11/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

12

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................

Ą Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

sin x + 3 cos x + 1
.
sin x − cos x + 2

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................

Ą Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x.
π
A D = R\ k |k ∈ Z .
B D = R\{kπ|k ∈ Z}.
2
π
C D = R\{k2π|k ∈ Z}.
D D = R\
+ kπ|k ∈ Z .
2
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
Ą Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y =
π
A x = + kπ, k ∈ Z.
2
kπ
C x=
, k ∈ Z.
2

.................................................
.................................................
1 − 3 cos x
là
sin x
B x = k2π, k ∈ Z.

D x = kπ, k ∈ Z.

ɓ Lời giải.
12/83

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

13

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

.................................................

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................

2 sin x + 1
Ą Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y =
là
1 − cos x
π
π
A x = k2π.
B x = kπ.
C x = + kπ.
D x = + k2π.

2
2
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................

π
Ą Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x −
là
3
π
π
5π
π
5π
π
A x= +k .
B x=
+ kπ.
C x = + kπ.
D x=
+k .
6
2
12
2
12

2
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây?
A R.
B (−∞; 0].
C [0; +∞].

D [−1; 1].

ɓ Lời giải.
.................................................
Ą Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là
A [−2; 2].
B [0; 2].

.................................................

C [−1; 1].

D [0; 1].

ɓ Lời giải.

.................................................
Ą Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.

.................................................

B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.
ɓ Lời giải.

.................................................
Ą Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:
A y = sin2 x.
B y = x cos 2x.

.................................................

C y = x sin x.

D y = cos x.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
13/83

.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

14

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

Ą Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x.
π
A x = kπ, k ∈ Z.
B x = + kπ, k ∈ Z.
2
kπ
C x=
, k ∈ Z.
D x ∈ R.
2
ɓ Lời giải.
.................................................

Ą Câu 11. Tập xác định của hàm số y =
A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}.
π
C D = R \ { + kπ; k ∈ Z}.
2

.................................................

2 cos 3x − 1
là
cos x + 1
B D = R \ {k2π; k ∈ Z}.
D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}.
ɓ Lời giải.

.................................................
.................................................
Ą Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì π.
C Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π.

.................................................
.................................................

B Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì π.
D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
Ą Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là
π
A T = 2π.
B T = .
2

.................................................

.................................................

C T = π.

D T = 4π.

ɓ Lời giải.
.................................................
Ą Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn?
π
π
A y = sin x +
.
B y = cos x +
.
2
2

.................................................

C y = sin 2x.

D y = tan x − sin 2x.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................

.................................................
.................................................

Ą Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được
liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
14/83

Th.S Nguyễn Hồng Việt –

0905.193.688

15

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

y
1
−π

π
O

2π

B y = 1 − sin x.

C y = sin x.

x

−1
A y = 1 + sin x.

D y = cos x.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê
ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?
y

2

1
−π

A y = cos x + 1.

−

π O
2

B y = 2 − sin x.

π
2

x

π

C y = 2 cos x.

D y = cos2 x + 1.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................

√
Ą Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.
A max y = 3 và min y = 1.
B max y = 3 và min y = 2.
C max y = 3 và min y = −2.
D max y = 3 và min y = −1.
ɓ Lời giải.

B max y = 5, min y = 2 5.
√
√
C max y = 5, min y = 2.
D max y = 5, min y = 3.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
15/83

.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

16

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

Ą Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x −
A min y = −2, max y = 4.
C min y = −2, max y = 3.

π
.
4

B min y = 2, max y = 4.
D min y = −1, max y = 4.
ɓ Lời giải.

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x.
A min y = 1, max y = 2.
B min y = 1, max y = 3.
C min y = 2, max y = 3.
D min y = −1, max y = 3.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

√
Ą Câu 21. Tìm tập giá trị lớn
nhất,
giá
trị
nhỏ
nhất
của
hàm
số
sau
y
=
1
+
√
√ 2 + sin 2x.
A min y = 2, max y = 1 + 3.
B min y = 2, max y = 2 + 3.
√
C min y = 1, max y = 1 + 3.
D min y = 1, max y = 2.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
16/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

17

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

.................................................

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................

Ą Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x.
3
A max y = 4, min y = .
B max y = 3, min y = 2.
4
3
C max y = 4, min y = 2.

D max y = 3, min y = .
4
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1.
A max y = 6, min y = −2.
B max y = 4, min y = −4.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 6, min y = −1.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A min y = −6; max y = 4.
B min y = −6; max y = 5.
C min y = −3; max y = 4.
D min y = −6; max y = 6.
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A max y = 4, min y = −6.
B max y = 6, min y = −8.
C max y = 6, min y = −4.
D max y = 8, min y = −6.
ɓ Lời giải.
.................................................

.................................................
17/83

.................................................
.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

18

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

Ą Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y =
nguyên của T .
A 4.

B 6.

1 2
3
sin x − cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị
2
4
C 7.

D 3.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Ą Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng
9
9
A 3; 1.
B 1; −1.
C ; 0.
D ; 2.
4
4
ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................

Ą Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos2 x − sin 2x + 5 là
√
√
√
A 6 + 2.
B 6 − 2.
C 2.

√
D − 2.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
sin x + 2 cos x + 1
.
sin x + cos x + 2
C M = 3.

Ą Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =
A M = −2.

B M = −3.

D M = 1.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

—HẾT—

18/83

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

19

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trình sin x = a.

1.

Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.
sin

sin

sin

B
cos

O

sin x = 1 ⇔ x =
.
®
Trường hợp a ∈

π
2

+ k2π

A
cos

O

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

sin x = 0 ⇔ x = kπ

√
√ ´
1
2
3
;±
. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc β ◦
± ;±
2
2
2

tương ứng.
① Công thức theo đơn vị rad:
ñ
x = α + k2π
sin x = a ⇔

,k∈Z
x = π − α + k2π

.

A

cos

O

sin

N

② Công thức theo đơn vị độ:
ñ
x = β ◦ + k360◦
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = 180◦ − β ◦ + k360◦

a

M

O

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.
.

ñ
x = arcsin a + k2π
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = π − arcsin a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)
.
ñ
f (x) = g(x) + k2π
sin[f (x)] = sin[g(x)] ⇔
,k∈Z
f (x) = π − g(x) + k2π
Phương trình cos x = a.

2.

Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.
sin

B

sin

A
O

.
19/83

cos

cos x = 1 ⇔ x = k2π

A

O

cos

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

cos

O

B
cos x = 0 ⇔ x =

π
2

+ kπ

Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

20

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

®
Trường hợp a ∈

Kết nối tri thức với cuộc sống

√
√ ´
1
2
3
;±
. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc β ◦
± ;±
2
2
2

tương ứng.
① Công thức theo đơn vị rad:
ñ
x = α + k2π
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = −α + k2π

M
cos

.

② Cơng thức theo đơn vị độ:
đ
x = β ◦ + k360◦
,k∈Z
cos x = a ⇔
x = −β ◦ + k360◦

a

O

N

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.
.
ñ
x = arccos a + k2π
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = − arccos a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)
.
ñ
f (x) = g(x) + k2π
cos[f (x)] = cos[g(x)] ⇔
,k∈Z
f (x) = −g(x) + k2π

3.

Phương trình tan x = a.
®
´
√
√
3
Trường hợp a ∈ 0; ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc
3
β ◦ tương ứng.
tang
N

① Công thức theo đơn vị rad:

a

tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
O

② Công thức theo đơn vị độ:
M
◦

◦

tan x = a ⇔ x = β + k180 , k ∈ Z

.

Trường hợp a khác các số ở trên thì
.
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z.
4.

Phương trình cot x = a.
® √
´
√
3
Trường hợp a ∈ ±
; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan
3
π
tương ứng. Riêng a = 0 thì α =
2

20/83

1
a

để đổi số a về góc α hoặc β ◦

Th.S Nguyễn Hồng Việt –

0905.193.688

21

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Kết nối tri thức với cuộc sống

a
① Công thức theo đơn vị rad:

cotang

N

cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
O

② Công thức theo đơn vị độ:
M

cot x = a ⇔ x = β ◦ + k180◦ , k ∈ Z

.

Trường hợp a khác các số ở trên thì
.
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z.

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản

• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay
xấu;
• Chọn và ráp cơng thức nghiệm.
Ą Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
√
π
3
a) sin 3x = −
b) 2 sin
−x =1
2
5
Å
ã
√
2π
d) cos x −
=1
e) 2 cos 2x − 1 = 0
3

c) 2 sin (x − 45◦ ) − 1 = 0
f) 3 cos x − 1 = 0.

ɓ Lời giải.
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
21/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
Th.S Nguyễn Hoàng Việt –

0905.193.688

22

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Kết nối tri thức với cuộc sống

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
22/83

.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................
.................................................

Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, Nguyễn Hoàng Việt

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về