HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Giaovienvietnam.com

Chủ đề 4:

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

I.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN:
A.Kiến thức cơ bản:
1.Góc giữa hai mặt phẳng:
a) Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vng góc
với 2 mặt phẳng đó.
* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2
mặt phẳng đó bằng 0o.
b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau:
Cho (P) ∩ (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c
Trong (P) qua I kẻ a ⊥ c.Trong (Q) qua I kẻ b ⊥ c.
Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b).
c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S. cos ϕ .
Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vng góc
của đa giác đó trên (Q), ϕ = góc ((P), (Q)).
2.Hai mặt phẳng vng góc:
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vng góc với nhau nếu góc của chúng bằng
90o.
+ Hai mặt phẳng (P), (Q) vng góc với nhau, kí hiệu : (P) ⊥ (Q) hay (Q) ⊥
(P).
b)Tính chất :
* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vng góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1
đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ ( P) : a ⊥ (Q) .
* Nếu 2 mặt phẳng vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt
phẳng này và vng góc với giao tuyến thì vng góc với mặt phẳng kia.

Tóm tắt : (P) ⊥ (Q), (P) ∩ (Q) = c, a ⊂ ( P), a ⊥ c ⇒ a ⊥ (Q)
* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua điểm A và vng góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Tóm tắt : (P) ⊥ (Q), A ∈ ( P), A, a ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ ( P)
* Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùn vng góc với 1 mặt phẳng thì giao tuyến của
chúng vng góc với mặt phẳng đó .
Tóm tắt: (P) ∩ (Q), ( P) ⊥ ( R), (Q) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R)
* Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có duy nhất 1 mặt phẳng
(Q) vng góc với mặt phẳng (P).
Tóm tắt: a ⊥ ( P) ⇒ ∃!(Q) ⊃ a, (Q) ⊥ ( P)
3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:


Giaovienvietnam.com
a)Hình lăng trụ đứng:
* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vng góc với
mặt đáy.
b)Hình lăng trụ đều:
* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và
vng góc với mặt đáy .
c)Hình hộp đứng:
* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
d)Hình hộp chữ nhật:
* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
e)Hình lập phương :
* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
a)Hình chóp đều:
* Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác
đều và các cạnh bên bằng nhau.
* Nhận xét:
+ Đường vng góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
+ Một hình chóp là hình chóp đều ⇔ đáy của nó là đa giác đều và chân đường
cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.
+ Một hình chóp là hình chóp đều ⇔ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh
bên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau.
b)Hình chóp cụt:
* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1
hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
* Nhận xét:
+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau.
+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
+ Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau.
B.Kĩ năng cơ bản:
1. Chứng minh 2 mặt phẳng vng góc
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vng góc với
mặt phẳng kia.
2. Xác định và tính góc giữa 2 mặt phẳng
Phương pháp: Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
II.CÁC VÍ DỤ:


Giaovienvietnam.com
1/ Loại tốn tự luận:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC). Trong tam giác ABC vẽ các đường
cao AE và CF cắt nhau tại O. Gọi H là trực tâm của tam giác SBC.

S
CMR: a) S, H, E thẳng hàng
b) (SBC) ⊥ (SAE), (SBC) ⊥ (CFH).
c) OH ⊥ (SBC).
Giải:
⇒
a) + SA ⊥ (ABC), AE ⊥ BC SE ⊥ BC
H
(Theo định lí 3 đường vng góc)
Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên
A
S, H, E thẳng hàng
F
O
b) * Ta có : BC ⊥ AE, BC ⊥ SE
E
c) ⇒ BC ⊥ (SAE)
Mà BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAE).
B
* Vì SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ CF và AB ⊥ CF ⇒ CF ⊥ ( SAB) ⇒ CF ⊥ SB
Mặt khác do H là trực tâm tam giác SBC ⇒ CH ⊥ SB
Từ đó suy ra SB ⊥ (CFH), mà SB ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ (CFH )
d) Theo chứng minh trên ta có:
+ BC ⊥ (SAE), OH ⊂ ( SAE ) ⇒ BC ⊥ OH
+ SB ⊥ (CFH), OH ⊂ (CFH ) ⇒ SB ⊥ OH
Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC) → OH ⊥ (SBC).
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là
tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD).
a)CMR: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).
b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).

c)Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng
S
(SHC) ⊥ (SDI).
t
Giải:
a)* Gọi H là trung điểm của AB.
- Vì SAB là tam giác đều ⇒ SH ⊥ AB.
Do (SAB) ⊥ (ABCD),
B
I
(SAB) ∩ (ABCD) = AB
⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AD (1)
- Vì ABCD là hình vng ⇒ AB ⊥ AD (2)
H
⇒
- Từ (1) và (2) AD ⊥ (SAB).
Mà AD ⊂ (SAD). Vậy (SAD) ⊥ (SAB)
* Lập luận tương tự ta có (SBC) ⊥ (SAB)
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)
A
D
và (SBC):

C

C


Giaovienvietnam.com
- Ta có AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC), AD // BC ⇒ (SAD) ∩ (SBC) = St // AD

- Vì (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB) ⇒ St ⊥ (SAB) ⇒ St ⊥ SA, St ⊥ SB
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB.
* Tính góc ASB:
Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60o
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60o.
c)Vì ABCD là hình vng, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC ⊥ DI
Mặt khác do SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ DI.
Vậy DI ⊥ (sHC), mà DI ⊂ ( SDI ) ⇒ ( SDI ) ⊥ ( SHC ).
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a
và SO ⊥ (ABCD), Đặt SO = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a)
Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN) ⊥ (SAB), (SMN) ⊥ SCD).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để 2 mặt
phẳng đó
t
vng góc.
S
Giải:
a)* Ta có SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AB
Từ giả thiết ⇒ MN ⊥ AB
⇒ AB ⊥ (SMN ) , mà AB ⊂ (SAB)
nên (SAB) ⊥ (SMN)
Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) bằng 90o
* Lập luận tương tự ta có (SCD) ⊥ (SMN)
B
⇒ góc giữa (SMN) và (SCD) bằng 90o
* Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h
M
tuỳ ý ta ln có mặt phẳng (SMN) vng

N
góc với 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
O
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAB)
A
D
và (SCD):
- AB ⊂ ( SAB), CD ⊂ ( SCD ), AB // CD ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = St // AB // CD
- Vì (SAB) ⊥ ( SMN ), ( SCD) ⊥ ( SMN ) ⇒ St ⊥ ( SMN ) ⇒ St ⊥ SM , St ⊥ SN
Do SM ⊂ ( SAB), SN ⊂ ( SCD) ⇒ góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa 2
đường thẳng SM và SN. Giả sử góc MSN = ϕ .đặt α = góc (SM,SN) ⇒ cos α = cos ϕ
*Tính góc α :
- Ta có SM2 = SN2 = h2 + a2, MN = 2a.
- Xét tam giác SMN: MN2 = SM2 + SN2 – 2 SM.SN.cos ϕ
h2 − a2
h2 − a2
α
=
⇒
cos
(1)
h2 + a2
h2 + a2
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là α mà cos α thoả mãn (1)
⇔ 4a2= 2(h2 + a2) – 2(h2+ a2).cos ϕ ⇒ cos ϕ =

C


Giaovienvietnam.com

*(SAB) ⊥ (SCD) ⇔ α = 90o ⇔ cos α = 0 ⇔ h = a.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
B’
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC).
Giải:
* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng
(A’BC) và (A’DC):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập
A’
phương nên
∆A' BC = ∆A' DC (c.c.c ) và
BD ⊥ ( AA' C' C) → BD ⊥ A' C (1)
- Trong mặt phẳng (A’DC)
B
kẻ DH ⊥ A’C
(2)
- Từ (1) và (2) ⇒ A' C ⊥ ( BDH ) → A' C ⊥ BH
Vì (A’BC) ∩ ( A' DC ) = A' C nên góc giữa
mặt phẳng (A’BC) và (A’DC) là góc
A
giữa 2 đường thẳng BH và DH.

C’

D’

H
C

D

Do vậy nếu gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC), ϕ là góc BHD thì
α = ϕ (nếu ϕ ≤ 90 0 ) hoặc α = 180 0 − ϕ (nếu ϕ 〉 90 0 )
* Tính α :
∆A' DC có
Xét
A’D
⊥ DC , A' D = a 2 , DC = a, A' C = a 3 ⇒ DH . A' C = A' D.DC ⇒ DH = a

2
3



- Vì ∆A' BC = ∆A' DC ⇒ BH = DH
- Xét ∆BDH : BD2 = BH2 + DH2 - 2BH.DH.cos ϕ
⇔ 2a 2 =

1
2a 2 2a 2
2a 2
+
−2
cos ϕ ⇒ coss ϕ =- ⇒ ϕ = 120 0 ⇒ α = 60 0
2
3
3
3

Vậy góc giữ 2 mặt phẳng (A’BC) và (A’DC) bằng 600

2/ Loại tốn trắc nghiệm:
Ví dụ 5: Mệnh đề nào sau đây đúng:
(A). Góc giữa 2 mặt phẳng ln là góc nhọn
(B). Góc giữa (P) và (Q) bằng h góc giũa (P) và (R) khi (Q) // (R) hoặc (Q) ≡ (R)
(C). Góc giữa (P) và (Q) bằng h góc giũa (P) và (R) th ì (Q) // (R).
(D). Cả 3 mệnh đề trên đều đúng.
Đáp án: (B).
HD: Dựa vào định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). Góc giữa mặt phằng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập
phương bằng nhau.


Giaovienvietnam.com
(B). Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập
phương bằng nhau và phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
(C). Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập
phương bằng α mà tan α =

1
2

(D). Cả 3 mệnh đề trên đều sai.
Đáp án: (A)
HD: Giả sử O = AC ∩ BD và hình lập phương có cạnh là a.
đặt α = góc A’OA ⇒ α là góc giữa mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ABCD)
Dễ dàng chứng minh được góc giữa mặt phẳng (A’BD) với các mặt phẳng chứa các
mặt của hình lập phương đều bằng α và tan α = 2
Ví dụ 7: Cho a, b, c là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). { a ⊥ b, a ⊂ ( P), b ⊂ (Q)} ⇒ ( P) ⊥ (Q)

(B). { a ⊥ b, a ⊂ ( P), b ⊂ (Q), (Q) ⊥ a} ⇒ ( P) ⊥ (Q)
(C). { a ⊥ b, ∀(Q) ⊃ b} ⇒ (Q) ⊥ a
(D). { } // b, c ⊥ a, c ⊥ b, c ⊂ ( P) ⇒ ( P) ⊥ mp(a,b)
Đáp án: (B)
HD: Theo điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc
Ví dụ 8: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). Hai mặt phẳng vng góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng n
sẽ vng góc với mặt phẳng kia.
(B). Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với 1 mặt phẳng thì vng góc với
nhau.
(C). Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với 1 mặt phẳng thì song song với
nhau.
(D). Ba mệnh đề trên đều sai
Đáp án (D)
Ví dụ 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
(A). Nếu hình hộp có 2 mặt là hình vng thì nó là hình lập phương.
(B). Nếu hình hộp có 3 mặt chung 1 đỉnh là hình vng thì nó là hình lập phương.
(C). Nếu hình hộp có 6 mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.
(D). Nếu hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.
Đáp án: (B).
HD: Nếu hình hộp có 3 mặt chung 1 đỉnh là hình vng thì 6 mặt của nó đều là
hình vng nên nó là hình lập phương.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và
vng góc với (P)?
(A). Khơng có.
(B). Có một
(C). Có một hoặc vơ số
(D).Có vơ số

Giaovienvietnam.com
Đáp án: (C).
HD: + Nếu a khơng vng góc với (P) thì có 1
+ Nếu a vng góc với (P) thì có vơ số.
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA
=

a
2

a) Góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
(A). Oo
(B). 30o
(C). 60o
(D). 90o
b) Góc giữa (SAB) và (SAC) bằng:
(A). 30o
(B). 45o
(C). 60o
(D). 90o
c) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng:
(A). 30o
(B). 45o
(C). 60o
(D). 90o
Đáp án: a) (D).
b) (C).
c) (A).
⊥
((

ABC
),
SA
⊂
(
SAB
)
⇒
(
SAB
)
⊥
(
ABC
)
⇒
HD: a) SA
góc (SAB,ABC) = 90 o
b) SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AC
( SAB) ∩ ( SAC ) = SA, AB ⊂ ( SAB ), AC ⊂ ( SAC ) ⇒ Góc (SAB,SAC) = góc BAC = 60o
b)
+ Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC , SM ⊥ BC ⇒ Góc(SBC,ABC) = Góc
SMA = α .
+ Xét tam giác vng SMA có SA =

1
a
a 3
⇒ α = 30 o
, AM =

⇒ tan α =
3
2
2

Ví dụ 12: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đội một vng góc với nhau. Gọi
α , β , γ tương ứng là các góc tạo bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt
phẳng (ABC). Khi đó 3 góc α , β , γ thoả mãn điều kiện nào dưới đây?
(A). cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2
(B).sin2 α +sin2 β +sin2 γ =2
(C). tan2 α + tan 2 β + tan2 γ = 2
(D). cot2 α + cot2 β + cot2 γ =2
A
Đáp án (B)
HD: * Xác định α , β , γ :
F
+ Gọi H là trực tâm của tam giác
D
ABC ⇒ OH ⊥ ( ABC )
α
H
Và CH ⊥ AB, CH ∩ AB = D
⇒ AB ⊥ (OCD ) ⇒ AB ⊥ DO
⇒ α = góc ODH.
+ Tương tự β = góc OEH, γ = góc

O

OFH (xem hình vẽ)
*

C

β
E

OH 2
1 
2  1
= OH
+

B .
2
2
OD
OB 2 
 OA
1
1
1
=
+
Vì trong tam giác vng OAB có OD ⊥ AB →
2
2
OD
OA
OB 2

+ Xét tam giác vng ODH có sin α =
2


Giaovienvietnam.com
2 
+ Tương tự sin2 α = OH .

1
1 
1 
 1
+
, sin 2 γ = OH 2 .
+

2
2 
2
OC 
OA 2 
 OB
 OC
1
1 
2
2
2
2  1
=2

Từ đó suy ra: sin α + sin β + sin γ = 2OH . 2 + 2 +
OB
OC 2 
 OA
1
1
1
1
=
+
+
Vì
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2

III. Bài tập:
1/ Bài tập tự luận:
1. Cho tứ dien ABCD có AB ⊥ CD và AH ⊥ (BCD)
a) CMR: (ABH) ⊥ (BCD) và (ABH) ⊥ (ACD)
b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD).
2. Cho hình chóp S.SBCD có đáy là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a
a) CMR: (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ⊥ (SAD)
b) CMR: (SAB) ⊥ (SBC), (SAC) ⊥ (SBD)
c) CMR: giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) vng góc với (SAB)
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng (SCD) và (SAD), (SCD) và (ABCD), (SAD)

và (SBC).
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BD = a, SC ⊥ (ABCD),
SC=

a 6
. Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD)
2

2/ Bài tập trắc nghiệm:
1. Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a. Góc giữa 2 mặt phẳng
(P) và (Q) khơng phải là góc nào sau đây?
(A). Góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vng góc với 2 mặt phẳng đó.
(B). Góc giữa 2 đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng đó và vng gốc
với đường thẳng a.
(C). Góc giữa 2 đường thẳng b và b’, trong đó b nằm trong (P) và vng góc với a,
cịn b’ là hình chiếu vng góc của b trên (Q).
(D). Góc giữa đường thẳng b vng góc với (P) và hình chiếu của b trên (Q).
2. Cho tứ diện ABCD có 3 đường thẳng AB BC, CD đơi một vng góc. Góc giữa 2
mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng góc nào sau đây?
(A). Góc ACB
(B). Góc ADB
(C). Góc AIB, I-trung điểm CD
(D). Góc DAB
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA = SC. Mặt phẳng (ABCD)
vng góc với mặt phẳng nào sau đây?
(A). (SAD)
(B). SBD)
(C). (SAC)
(D).(SAB)
4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Khi đó mặt bên (ABC) tạo với mặt đáy (BCD)

một góc ϕ thoả mãn điều kiện nào dưới đây?


Giaovienvietnam.com
1
2
1
(C). cos ϕ =
4

(A). cos ϕ =

(B). cos ϕ =
(D). cos ϕ =

1
3
2
2

5. Cho 3 mặt phẳng (P), (Q), (R). Mệnh đề nào sau đây đúng?
(A). Nếu (P) ⊥ (Q) và (R) ⊥ (Q) thì (P) // (R).
(B). Nếu (P) // (Q) và (P) ⊥ (R) thì (Q) // (R).
(C). Nếu (P) ⊥ (Q) và (Q) // (R) thì (P) ⊥ (R).
(D). Nếu (P) // (Q) và (Q) // (R) thì (P) ⊥ (R).
6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Bộ 3 mặt phẳng vng
góc với nhau từng đơi một là:
(A). (OAB), (OAC), (OBC)
(B). (AOB), (AOC), (ABC)
(C). (BOA), (BOC), (BAC)

(D). (COA), (COB), (CAB)
7. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 1 điểm A cho trước và vng góc với 2 mặt phẳng
phân biệt (P) và (Q) cho trước?
(A). Khơng có
(B). Có một
(C). Có vơ số
(D). Có một hoặc vơ số
8. Cho (P) ⊥ (Q), đường thẳng a ⊥ (Q).Khi đó:
(A). a ⊥ (P)
(B). a // (P)
(C). a ⊂ (P)
(D). a // (P) hoặc a ⊂ (P)
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và
(SAD) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A). Đường cao của hình chóp bằng a 3 .
(B). SB = a 2 .
(C). Tam giác SAC cân tại S.
(D). Cả (A), (B), (C), đều sai.
10. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α , β , γ lần lượt là góc của
đường chéo A’c với 3 cạnh AA’, A’B’, A’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A). cos α + cos β + cos γ = 3 .
(B). cos2 α + cos2 β + cos 2 γ = 1.
(C). sin2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2.
(D). Cả (A), (B), (C) đều đúng.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ
Chủ đề 4
1/ Bài tập tự luận:
1.a) * AH ⊥ ( BCD ), AH ⊂ ( ABH ) ⇒ ( ABH ) ⊥ ( BCD)
* AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD. Mặt khác AB ⊥ CD

Giaovienvietnam.com
(Theo giả thuyêt) ⇒ CD ⊥ ( ABH ) .Mà CD ⊂ ( ACD ) ⇒ ( ACD ) ⊥ ( ABH )
b) * Giả sử BH cắt CD tại BM ⊥ CD
* Vì CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ AM .
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (ACD)
và (BCD) là góc giữa 2 đường thẳng
AM và BM. Giả sử α = góc (AM, BM)
Ta có α = góc AMB, nếu góc AMB ≤ 90 o
B
α = 180o – góc AMB, nếu góc AMB > 90o.

A

D
H

2.a) * SA ⊥ ( ABCD), SA ⊂ ( SAB) ⇒ ( SAB) ⊥ ( ABCD)
*. SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ AB
. ABCD là hình vng ⇒ SA ⊥ AB
⇒ AB ⊥ (SAD) , mà AB ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (SAD).
b)*
. SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BC
. ABCD là hình vng ⇒ AB ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (SAB), mà BC ⊂ (SBC ) nên (SBC)
⊥ (SAB).
* . SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BD
. ABCD là hình vng ⇒ AC ⊥ BD
Từ đó suy ra BD ⊥ (SAC ), mà

BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC )
B

S

M

C
t

D

A

C

c) + Ta có AD ⊂ ( SAD), BC ⊂ ( SBC ), AD // BC ⇒ ( SAD) ∩ ( SBC ) = St // AD
+ Vì (SAD) ⊥ (SAB) và (SBC) ⊥ (SAB) nên St ⊥ (SAB)
d) * Ta có CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SAD)
Vậy góc giữa (SCD) và (SAD) bằng 90o
*+ (SCD) ∩ ( ABCD) = CD, AD ⊥ CD và CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD
nên góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc SDA.
+ Xét tam giác vng SAD có SA = AD = a suy ra góc SDA = 45o
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45o
*+(SAD) ∩ ( SBC ) = St
+ Theo chứng minh trên St ⊥ ( SAB) ⇒ St ⊥ SA, St ⊥ SB ⇒ góc giữa 2 mặt phẳng
(SAD) và (SBC) là góc ASB.
+ Xét tam giác vng SAB có SA = AB = a ⇒ góc ASB = 45o
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 45o
S

3.+ SC ⊥ ( ABCD) ⇒ SC ⊥ BD.


Giaovienvietnam.com
và ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD
Do đó BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SA (1)
+ Gọi O = AC ∩ BD . Trong mặt
phẳng (SAC) kẻ OH ⊥ SA
(2)
+ Từ (1) và (2)

H

D

A

⇒ SA ⊥ ( BDH ) ⇒ SA ⊥ BH , SA ⊥ DH

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và
(SAD) là góc giữa 2 đường thẳng
BH và DH.

O
C

B

+ ta có 2 tam giác vng AHO và ASC đồng dạng vì có góc A chung nên:
OH SC

OA.SC
=
⇒ OH =
OA SA
SA

(3)

+ Xét tam giác vng SCA có SC=

a 6
a 3
, AC = 2 AO = 2
=a 3
2
2

a 3
).
2
3a 2
9a 2
3a
⇒ SA 2 = SC 2 + AC 2 =
+ 3a 2 =
⇒ SA =
2
2
2
a 3 a 6

.
2
2 = a = 1 BD
⇒
OH
=
+ Từ (3) và (4)
3a
2 2
2

(Vì ∆ABD đều cạnh a ⇒ AO =

(4)

(5)

+ Tam giác HBD có đường trung tuyến HO thoả mãn hệ thức (5) nên nó là tam giác
vng tại H suy ra góc (BH,DH) = 90o suy ra (SAB) ⊥ (SAD).
2/Bài tập trắc nghiệm:
1.Đáp án (D)
HD: (D) sai khi (P) ⊥ (Q).
2.Đáp án (A)
HD: + AB ⊥ BC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( BCD) ⇒ AC ⊥ CD .
+ (ACD) ∩ ( BCD = CD ⇒ góc ACB là góc giữa 2 mặt phẳng (ACD) và
(BCD).
3.Đáp án (B)
HD: + Gọi O = AC ∩ BD , vì SA=SC ⇒ SO ⊥ AC
+ ABCD là hình thoi ⇒ BD ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (SBD) ,
mà AC ⊂ ( ABCD) ⇒ ( ABCD) ⊥ ( SBD)

4.Đáp án (B)
HD: + Kẻ AH ⊥ ( BCD) ⇒ DH ⊥ BC , DH ∩ BC = M ⇒ AM ⊥ BC ⇒ ϕ = góc AMH.


Giaovienvietnam.com
+ Ta có AM=DM=

HM 1
a 3
1
= .
, HM = DM ⇒ cos ϕ =
AM 3
2
3

5.Đáp án (C)
6. Đáp án (A)
HD: + OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ (OBC) ⇒ (OAB) ⊥ (OBC), (OAC) ⊥ (OBC)
+Tương tự : OB ⊥ (OAC ) ⇒ (OAB) ⊥ (OAC )
7. Đáp án (D)
HD: + Nếu (P) cắt (Q) thì có một vì qua A có duy nhất 1 mặt phẳng (R) vng
góc với giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ ( R) ⊥ ( P), ( R) ⊥ (Q).
+ Nếu (P) // (Q) thì có vơ số mặt phẳng vì qua A có duy nhất 1 đường
thẳng a vng góc với cả a (P) và (Q) suy ra có vơ số mặt phẳng chứa a sẽ vng
góc với (P) và (Q).
8. Đáp án (D)
HD: + Nếu a và (P) có điểm chung thì a ⊂ (P)
+ Nếu a và (P) khơng có điểm chung thì a // (P).
9. Đáp án (B)

HD: + Chứng minh tam giác SAB vuông cân tại A ⇒ SB = a 2 .
10. Đáp án (D)
A' A

1

1

⇒ (A), (B), (C) đều
HD: A’C=a 3 ⇒ cos α = A' C =
, cos β = coss γ =
3
3

đúng