CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Giaovienvietnam.com

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM
CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho
trước)

 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f '( x) . Tìm các điểm tại đó f '( x) bằng 0 hoặc f '( x) không xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính f '( x) . Giải phương trình f '( x)  0 và ký hiệu xi  i  1, 2,3,....... là các nghiệm của
nó.
�
�
 x  và f �
 xi 
- Tính f �

�
 xi  suy ra tính chất cực trị của điểm
- Dựa vào đấu của f �

xi .

LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
x4
3
a) y  3x2  2x3
c) y    x2 
2
2
 x2  3x  6
b) y 
2
d) y  x x  4
x 2
e) y  x2  2x  5
f) y  x  2x  x2
Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) f  x   x  x  2 
b) f  x   2sin 2 x  3
c) f  x   x  sin 2 x  2

d) f  x   3  2 cos x  cos 2 x

1


Giaovienvietnam.com
GIẢI
a) TXĐ: D=R

�
�x  x  2  ..voi..x �0

f  x  �
 x  x  2  ..voi..x  0
�

 x   2 x  2  0 (vì x  0 )
 Với x  0 : f �

 x   2 x  2 , f �
 x   0 � x  1
 Với x  0 : f �

x0, f�
 x  0

Bảng biến thiên:
x

y�

y

�

+

-1
0

�

0
-

1

+
0

Kết luận:

o Hàm số đạt cực đại tại x  1 , fCD  f  1  1
o Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 , fCT  f  0   0
b) TXĐ: D=R



f�
 x   4 cos 2 x , f �
 x   0 � cos 2 x  0 � 2 x   k � x   k , k ��
2
4
2
�
f�
 x   8sin 2 x

8..voi..k  2n
�
�
�

��
�
Tính: f �
, n ��
�  k � 8sin �  k � �
8..voi..k  2n  1
2�
�4
�2
��
Kết luận:

�
�
 HS đạt cực đại tại x   n , fCD  f �  n � 1
4
�4
�


�3
�
 HS đạt cực tiểu tại x    2n  1 , fCD  2sin �  2n � 3  2  3  5
4
2
�2
�
c) TXĐ: D = R
1



f�
 x   1  2 cos 2 x , f �
 x   0 � cos 2 x   cos � x  �  k , k ��
2
3
6
�
f�
 x   4sin 2 x


�
�
�
�
�
Tính: f �
�  k � 4sin �  k 2 � 2 3  0 � x   k là điểm cực tiểu
6
�6
�
�3
�

�
�
�
�
�

f�
  k 2 � 2 3  0 � x    k là điểm cực đại
�  k � 4sin �
6
�6
�
�3
�
Kết luận:

3
�
� 
+ Hàm số đạt cực đại tại x    k , fCD  f �  k �   k   2
2
�6
� 6
6
2


Giaovienvietnam.com
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x 



3
�
2
 k , fCT  f �

�  k �  k 
2
�6
� 6
6

d) TXĐ: D=R

f�
 x   2sin x  2sin 2 x  2sin x  4sin x cos x  2sin x  1  2 cos x 

x  k
x  k
�
�
sin x  0
�
f�
��
 x  0 � �
1
2 � �
2
�
�
1

2
cos
x


0
cos
x



cos
x  �  k 2
�
2
3
3
�
�

�
f�
 x   2 cos x  4 cos 2 x

Xét:
�
 k   2 cos k  4 cos k 2  2 cos k  4  0
+ f�
� HS đat cực tiểu tại các điểm

x  k ,

fCT  f  k   3  2 cos k  cos k 2  2  2cos k
2

2

4

1

1

�
�
� � � �
�
�  k 2 � 2 cos
 4 cos
 2�
 � 4 �
 � 3  0
+ f�
�
3
3
� 3
�
� 2� � 2�
2
� HS đat cực đại tại các điểm x  �  k 2

3

2
4 9
� 2
�
fCD  f �
�  k 2 � 3  2 cos
 cos

3
3
3
2
�
�

3


Giaovienvietnam.com

 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ
Lưu ý:
1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f  x   ax  bx  cx  d ta làm như sau:
f  x
x 
 Ax  B 
� f  x    Ax  B  f �
 x    x   (*)
3

f�
 x

Gọi

xi

2

f�
 x

 x   0 ( xi là các điểm cực trị)
là nghiệm của pt f �

f  xi    Ax  B  f �
 x    xi  
1 2 3i
� f  xi    xi  

0

Trong đó  x   là phần dư của phép chia
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

f  x
f�
 x

y x 

 x   0 , nên từ (*) ta suy ra
( Vì toạ độ của điểm cực trị M  x; y  thoả pt f �
y x   )
2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:
y

u�
 x  v  x   u  x  v�
 x
ax 2  bx  c u  x 
�
y


2
,
a�
x  b� v  x 
�
v  x �
�
�

y�
 0 � u�
 x  v  x   u  x  v�
 x   0 (1)
Gọi

xi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:

u�
 xi  v  xi   u  xi  v�
 xi   0 �

u  xi 
v  xi 



u�
 xi 
v�
 xi 

Các giá trị cực trị là:
u  xi  u �
 xi   2axi  b
y  xi  

v  xi  v�
a�
 xi 
Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y

2ax  b
a�

3
Bài 1: Cho hàm số: y   m  2  x  mx  2
Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số khơng có điểm cực đại và điểm cực tiểu.

4


Giaovienvietnam.com
GIẢI
TXĐ: D = �
 3  m  2  x2  m
Đạo hàm: y�

 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
Để hàm số khơng có cực trị thì phương trình y�

�  �0 � 0  4.3m  m  2  �0 � 0 �m �2

1 3
2
2
Bài 2: Cho hàm số: y  x  mx   m  m  1 x  1
3
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1
GIẢI
TXĐ: D = �
 x 2  2mx  m 2  m  1
Đạo hàm: y�
�

y�
 2 x  2m

�
 1  0
�
m 2  3m  2  0
�y�
� �
Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 � �
2  2m  0
�
�
y
1

0


�
�
m  1 �m  2
�
� �
m 1
�
Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1
Bài 3: Cho hàm số y  x3  3x 2  3 x  2
a) Tìm cực trị của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

GIẢI
a) TXĐ: D = �
 x2  6x  3
Đạo hàm: y�
�
x  1 2
2
�
y

0
�
x

2
x

1

0
�
�
Cho
x  1 2
�
 x  , ta được:
Chia f  x  cho f �
1�
�1
f  x    3 x 2  3x  3 � x  � 4 x  1

3�
�3

Giá trị cực trị là: f  x0   4 x0  1







�f 1  2  3  4 2
�
��
�f 1  2  3  4 2
�

Lập bảng biến thiên � CĐ, CT.
b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
5

y  4 x  1


Giaovienvietnam.com
3
2
Bài 4: Cho hàm số y  x  6 x  3  m  2  x  m  6
Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị.

b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
GIẢI
a) TXĐ: D = �
 3x 2  12 x  3  m  2 
Đạo hàm: y�

 0 � x 2  4 x  m  2  0 (*)
Cho y�

�
 4   m  2  2  m

Để hàm số có 2 cực trị thì: �
 0 � 2m  0 � m  2
 x  , ta được:
b) Chia f  x  cho f �
2�
�1
f  x  �
3 x 2  12 x  3  m  2  �
 4 x  2mx  m  2
� x �
�
�
3�
�3

� giá trị cực trị là:
f  x0   4 x0  2mx0  m  2  2 x0  m  2   m  2   m  2   2 x0  1
Gọi

x1 , x2 là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu � f  x1  . f  x2   0

�  m  2   2 x1  1  m  2   2 x2  1  0

�  m  2

 2 x1  1  2 x2  1  0
2
�  m  2   4 x1 x2  2 x1  2 x2  1  0
2
�  m  2   4 x1 x2  2  x1  x2   1  0
2

(1)

12
 4 , x1.x2  m  2
3
2
4  m  2   2.4  1�
Do đó (1) �  m  2  �
�
� 0
Mặt khác: x1  x2 

17
�

�m  
�  m  2   4m  17   0 � �
4
�
�m �2
2

Kết hợp với điều kiện có cực trị

m  2 , ta được: 

17
m2
4

1 3
1
2
Bài 5: Cho hàm số: y  mx   m  1 x  3  m  2  x 
3
3
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x1  2 x2  1
GIẢI
TXĐ: D = �
6


Giaovienvietnam.com
 mx 2  2  m  1 x  3  m  2 
Đạo hàm: y�

�
�m �0
Hàm số có 2 cực trị � �
2
  m  1  3m  m  2   0
��
�m �0
�m �0
�
�� 2
�� 6
(*)
6

2
m

4
m

1

0
1


m

1


�
�
2
� 2

Gọi

 0 thì:
x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y�

�
�x1  2 x2  1 1
�
2  m  1
�
 2
�x1  x2 
m
�
�
3 m  2
 3
�x1.x2 
m
�

Từ (1) và (2) � x1  3 

4
2

, x2  1 
m
m

2�
�
� 4 � 3 m  2
1  �
3  �
Thay vào (3) � �
�
m
� m�
� m�
� 3m 2  5m  4  0 � m  2 �m 

2
(Nhận so với điều kiện)
3

2
3
x3 x 2
Bài 6: Cho hàm số: y    mx
(ĐH Y - Dược)
3 2
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hồnh độ lớn hơn m.
GIẢI
TXĐ: D = �
 x2  x  m

Đạo hàm: y�
Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hồnh độ x  m
� y�
 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa m  x1  x2

Vậy: m  2 �m 

�
�  0
�
� �y�
 m  0
�s
� m
�2
Vậy � m  2

�
1  4m  0
�
�2
� �m  2m  0
�1
�  m
�2

� 1
�m  4
�
� �m  2 �m  0

�
1
�m  
2
�

� m  2

3
2
Bài 7: Cho hàm số: y  f  x   2 x  3  m  1 x  6  m  2  x  1 (1)
Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu
song song với đường thẳng y  3 x  4

7


Giaovienvietnam.com
GIẢI
TXĐ: D = �
 6 x 2  6  m  1 x  6  m  2 
Đạo hàm: y�

 0 � x 2   m  1 x   m  2   0
Cho y �
Hàm số (1) có cực trị �    m  1  4  m  2   0 �
 m۹ 3
2

Lấy (1) chia cho

2

1
f�
 x  ta được:
6

1
2
 2 x  m  1 f �
 x    m  3 x  m 2  3m  3
6
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
2
y    m  3 x  m 2  3m  3 (d)
y

Để (d) song song với đường thẳng y  3x  4 thì:
  m  3   3
2

� m 3  � 3 � m  3� 3

Bài 8: Cho hàm số: y 

x 2  3x  5
x2

a) Tìm cực trị của hàm số.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
GIẢI

a) TXĐ: D  �\  2

Đạo hàm: y�

x2  4x  1

 x  2

2

�
x  2  3
 0 � x2  4 x  1  0 � �
, y�
x  2  3
�

Giá trị cực trị là:
y  xo  





u�
 x0   2 x0  3
v�

1
 x0 

y 2  3  1  2 3 ,





y 2  3  1  2 3

Lập bảng biến thiên � CĐ, CT.
b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y  2x  3

x 2  mx  m
 m �0  . Tìm m để hàm số:
Bài 9: Cho hàm số: y 
xm
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

a) TXĐ: D  �\  m

GIẢI

8

0

m

3


Giaovienvietnam.com

Đạo hàm: y�

x 2  2mx  m 2  m

 x  m

2

 0 � x 2  2mx  m 2  m  0 (1)
, y�

Hàm số có cực đại, cực tiểu � (1) có 2 nghiệm phân biệt





� �
 0 � m2  m2  m  0 � m  0
b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:
y�
 0 có 2 nghiệm phân biệt

Đồ thị khơng cắt trục ox ( Pt y  0 vô nghiệm)

�
�
m0
m0
�
�
y� 0
�
��
��2
��
� 0m4


0
0

m

4
m

4
m

0
�
�y

�
Bài 10: Cho hàm số: y 

mx 2  2mx  m  1
x 1

Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu
GIẢI
TXĐ: D  �\  1
mx 2  2mx  3m  1

 0 � mx 2  2mx  3m  1  0
Đạo hàm: y�
, y�
2
 x  1
Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
y�
 0 có 2 nghiệm phân biệt
y  0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)
1
�
�
�
�
4m 2  m  0
m   �m  0
y � 0
1
�

�
�m
��
��
� �
4
4
y  0
m  0
�
�
�
m0
�
Vậy

m

1
4

9