TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC (HỮU TỶ)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (298.38 KB, 26 trang )
Bài số 5: TÍCH PHÂN ( TIẾT 1 )
I. Khái niệm tích phân
1. Diện tích hình thang cong .
• Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong
• Từ đó suy ra cơng thức : xlim
→x
0
S ( x ) − S ( x0 )
= f ( x0 )
x − x0
2. Định nghĩa tích phân
• Cho hàm f liên túc trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F
là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số : F(b)-F(a) được gọi là tích phân
b
của f đi từ a đến b , ký hiệu là :
∫ f ( x)dx
a
b
• Có nghĩa là :
∫ f ( x)dx = F ( b ) − F ( a )
a
b
• Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) thì :
b
b
∫ f ( x)dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
a
• Trong đó :
- a : là cận trên , b là cận dưới
- f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân
- dx : gọi là vi phân của đối số
-f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
II. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta
có :
a
1.
∫ f ( x)dx = 0
a
b
2.
a
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx . ( Gọi là tích chất đổi cận )
a
b
3.
∫
a
b
4.
∫[
a
b
c
b
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a
c
b
b
a
a
f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx . ( Tích phân củ một tổng hoặc hiệu hai tích
phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) .
b
a
5.
b
a
∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx . ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngồi dấu
tích phân được )
Ngồi 5 tính chất trên , người ta cịn chứng minh được một số tính chất khác như :
6 . Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] thì :
b
∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b ]
a
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
b
b
a
a
7. Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx . ( Bất đẳng thức trong tích
phân )
8. Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] và với hai số M,N ta ln có : M ≤ f ( x) ≤ N . Thì :
b
M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ N ( b − a ) . ( Tính chất giá trị trung bình của tích phân )
a
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
1.Trong phương pháp này , chúng ta cẩn :
• Kỹ năng : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương của nhiều
hàm số khác , mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản
tìm ngun hàm của chúng .
• Kiến thức : Như đã trình bày trong phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc
các kiến thức về Vi phân , các cơng thức về phép tốn lũy thừa , phép toán căn
bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ .
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a/
2
∫
x +1
2
1
3
c/
∫
a/
2
∫
1
(
b/
(
2 x 1+ x
(
) dx =
x 2 x4 −1 + 1
x2
∫ ( x + 1)
3
dx
0
2 x x − 2 x + ln 1 + x
1
Giải
) dx
(
x 2 x4 −1 + 1
)
) dx
2
∫
d/
2
x3 + x 2 − x + 1
dx
x4 − 2x2 + 1
2
2 x x2 −1 x2 + 1
x
x
+
÷dx = ∫ 2 x x 2 − 1 +
÷dx
∫
2
2
2
2
x +1
x +1
x +1 ÷
x +1
1
1
2
2 2
2 3
1
x 2 − 1d x 2 − 1 + ∫ d x 2 + 1 =
x2 −1
+ x2 + 1 = + 5 − 2
1
1 2
2
1
1
)
(
2
⇒∫
1
2
) (
(
)
b/
( x + 1 − 1) dx = 1 ( x + 1) − 2 x + 1 + 1 dx = 1 1 − 2 1 + 1 dx
dx = ∫
3
∫ ( x + 1) 3
∫ ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 ∫ x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 3
( x + 1)
0
0
0
0
1
1
1
1
d ( x + 1)
d ( x + 1) 1 d ( x + 1)
1 1 1 1
3
⇒I =∫
− 2∫
+∫
= ln x + 1 + 2
−
= ln 2 +
2
3
2
0
x +1
x + 1 0 2 ( x + 1) 0
8
0
0 ( x + 1)
0 ( x + 1)
1
c/
3
∫
2
1
x2
(
2 x x − 2 x + ln 1 + x
(
2 x 1+ x
1
3
⇒I =∫
1
(
) dx =
(
ln 1 + x
1
)
3
ln 1 + x 1
x −1 +
dx =
∫ 1+ x
∫
1+ x 2 x
1
1
3
(
) (
(
) d 1+ x = 2 x
)
(
) 3 ( )
1+ x
( 1 + 3 ) − ln 2
3
x − 1 dx + ∫
= 2 3 − 4 + ln 2
Trang 2
)
2
)
3
(
(
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
)
dx
x −1 +
1+ x 2 x
)
)
3
3
− x + ln 2 1 + x =
1
1
2
(
(
ln 1 + x
)
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
2
∫
d/
2
2
1
=
4
1 4 ( x 3 − x ) dx
∫ 4 x4 − 2 x2 + 1 +
2
2
x3 + x 2 − x + 1
dx =
x4 − 2x2 + 1
∫
2
d ( x 4 − 2 x 2 + 1)
1
+
4
2
( x − 2 x + 1) 2
1
4
2
= ln ( x − 1)
2
2
1
∫ ( x 2 − 1) dx +
2
2
∫
2
(x
2dx
2
− 1)
2
2
2
1
1 1
1
1
∫ x − 1 − x + 1 ÷dx + 2 ∫ 4 x − 1 − x + 1 ÷ dx
2
2
2
1 x −1 2 1 1
1
x −1 2
+ ln
+ −
−
− ln
=
x +1 2
2 2 x +1 2 2 x −1 x +1
2
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
a/
π
2
∫
2sin x ( sin 2 x − 1)
1 + cosx
0
1
c/
1
∫ 4− x
−1
2
b/
dx
π
3
∫ 2sin
2
0
π
4
2+ x
ln
÷dx
2− x
sin 2 x
dx
x + 3cos 2 x
d/ ∫ s inx+ 1+tanx dx
2
0
cos x
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
2
x2 −1
b/ ∫ 2 x x 2 + 1 dx
(
)
1
e2
ln 3 x + 1
dx
a/ ∫
x ln 3 x
e
π
4
π
3
4 + sin 3 2 x
dx
c/ ∫
sin 2 2 x
π
d/ ∫ sin 3 x.cosxdx
0
6
B. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
• Bước 1: Đặt x=v(t)
• Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
• Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
v (b )
b
• Bước 4: Tính
∫ f ( x)dx = ∫
a
g (t )dt = G (t )
v (a)
v(b)
v(a )
v (b)
• Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(a)
2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu
Cách chọn
a −x
π
π
x = a sin t ↔ − 2 ≤ t ≤ 2
x = a cost ↔ 0 ≤ t ≤ π
2
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 3
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
x2 − a2
a
π π
↔ t ∈ − ;
x =
sin t
2 2
a
π
↔ t ∈ [ 0; π ] \
x =
cost
2
a2 + x2
π π
x = a tan t ↔ t ∈ − 2 ; 2 ÷
x = a cot t ↔ t ∈ ( 0; π )
a+x
a−x
∨
a−x
a+x
x=a.cos2t
2
x=a+ ( b − a ) sin t
( x − a) ( b − x)
b. Quan trọng nhất là các em phải nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
β
β
β
1
1
1
1
dx = ∫ 2
du
∫ ax 2 + bx + c dx ( ∆ < 0 ) = α
∫
2
2
aα u +k
b −∆
*α
a x+ ÷ +
÷
2a 2a
b
−∆
, du = dx ÷.
Với : u = x+ , k =
÷
2a
2a
β
dx
∫ 2 2 2k +1 ( k ∈ Z ) .
* áp dụng để giải bài toán tổng quát : α
(a +x )
β
*
β
1
∫
2 + 2x − x2
α
dx = ∫
α
1
( 3)
2
− ( x − 1)
dx
2
. Từ đó suy ra cách đặt : x − 1 = 3 sin t
3/ Một số ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
1
a/
∫
1 − x 2 dx
b/
0
1
2
∫
0
Giải
2
1
1 − 2x
2
c/
dx
∫
1
π π
a/ Đặt x=sint với : t ∈ − ;
2 2
x = 0 ↔ sin t = 0 → t = 0
π
• Suy ra : dx=costdt và :
x = 1 ↔ sin t = 1 → t = 2
1
2
2
2
2
• Do đó : f(x)dx= 1 − x dx = 1 − sin tcostdt=cos tdt = ( 1 + cos2t ) dt
b/ Đặt : x =
Trang 4
π
2
0
• Vậy :
1
0
∫ f ( x)dx = ∫
π
1 π 1 π −1
÷ 2 = − ÷=
4
0 2 2 2
( 1 + cos2t ) dt = 1 t + 1 sin 2t
2
2
2
1
π π
sin t t ∈ − ;
2
2 2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
1
3 + 2 x − x2
dx
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
x=0 ↔ sint=0 → t=0
1
• Suy ra : dx = costdt ⇒ x= 1 ↔ 1 = 1 sin t → t = π
2
2
2
2
2
• Do đó :
1
2
1
2
1
∫
1 − 2x2
0
1
2
dx = ∫
0
1
1 2
÷− x
2
1
dx =
2
π
2
π
2
π
1
1
1
π
costdt =
∫ dt = 2 t 2 = 2 2
20
1 − sin 2 t 2
0
1
∫
1
2
0
c/ Vì : 3 + 2 x − x 2 = 4 − ( x − 1) . Cho nên :
2
π π
x −1
• Đặt : x − 1 = 2sin t t ∈ − 2 ; 2 ↔ sin t = 2 ( *)
1 −1
x = 1 ↔ sin t = 2 = 0 → t = 0
π
⇒ t ∈ 0; → cost>0
• Suy ra : dx= 2 costdt và :
6
x = 2 ↔ sin t = 2 − 1 = 1 → t = π
2
2
6
1
1
1
dx =
dx =
2 cos tdt = dt
2
• Do đó : f(x)dx= 3 + 2 x − x 2
4 ( 1 − sin 2 t )
4 − ( x − 1)
2
• Vậy :
∫
1
π
6
π
π
f ( x)dx = ∫ dt = t 6 =
6
0
0
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
1
a/
∫
1
b
2
a − x2
b/ ∫ x 2 + x + 1 dx
0
12 x − 4 x 2 − 5dx
1
5
1
dx
c/ ∫ 2
x − 4x + 7
2
d/
* Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa
(
∫
0
( a + x2 )
2
dx
)
x 2 + a , a 2 − x 2 , ta còn sử dụng phương
pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t)
1
Ví dụ 1 : Tính tích phân sau
1
∫
x2 + 1
0
dx
Giải :
• Đặt : x 2 + 1 = x − t ⇒ x =
t −1
2t
2
x = 0 → t = −1; x = 1 → t = 1 − 2
• Khi đó :
t2 +1
dx =
2t 2
1
• Do vậy :
∫
0
1
x2 + 1
dx =
1− 2
∫
−1
−2t t 2 + 1
.
dt =
t 2 + 1 2t 2
1− 2
∫
−1
dt
1− 2
= ln t
= − ln
t
−1
(
)
2 −1
1
2
2
Ví dụ 2: Tính tích phân : I = ∫ x 1 − x dx
0
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 5
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
π
2
1 1 − cos4t
2
2
2
2
2
2
• Do đó : f(x)dx= x 1 − x dx = sin t. 1 − sin tcostdt=sin t cos tdt = 4 2 ữdt
1
12
1 1
1
=
ã Vậy : I= ∫ f ( x)dx = ∫ ( 1 − cos4t ) dt = t − sin 4t ữ 2 =
80
8 4
0 8 2 16
0
ã t : t=sinx , suy ra dt=cosxdx và khi x=0,t=0 ; Khi x=1 , t=
II. Đổi biến số dạng 2
1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước
sau : )
• Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
• Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
• Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
u (b )
b
• Bước 4: Tính
∫
f ( x)dx =
a
∫
g (t ) dt = G (t )
u(a)
u (b)
u (a )
u (b)
• Kết luận : I= G (t ) u (a)
2. Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
β
A. DẠNG : I= ∫
α
P ( x)
dx
ax+b
( a ≠ 0)
β
* Chú ý đến công thức :
β
m
m
dx = ln ax+b . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc
∫
α
a
α ax+b
bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến
β
β
β
β
P ( x)
m
1
∫ ax+b dx = α Q( x) + ax+b dx = α Q( x)dx + mα ax+b dx
∫
∫
∫
α
2
x3
dx
Ví dụ 1 : Tính tích phân : I= ∫
2x + 3
1
Giải
Ta có : f ( x) =
Do đó :
3
x
1
3
9 27 1
= x2 − x + −
2x + 3 2
4
8 8 2x + 3
2
2
x3
3
9 27 1
27
13 27
1
1 3 3 2 9
2
dx = ∫ x 2 − x + −
∫ 2 x + 3 1 2 4 8 8 2 x + 3 ÷dx = 3 x − 8 x + 8 x − 16 ln 2 x + 3 ÷ 1 = − 6 − 16 ln 35
1
3
Ví dụ 2: Tính tích phân : I=
∫
5
x2 − 5
dx
x +1
Giải
Ta có : f(x)=
Trang 6
x −5
4
= x −1−
.
x +1
x +1
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
3
∫
Do đó :
5
x2 − 5
dx =
x +1
β
B. DẠNG :
∫ ax
2
α
3
4
1
∫ x − 1 − x + 1 ÷dx = 2 x
2
5
5 +1
3
− x − 4 ln x + 1 ÷
= 5 − 1 + 4 ln
4 ÷
÷
5
P( x)
dx
+ bx + c
1. Tam thức : f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt
β
Cơng thức cần lưu ý :
β
u '( x )
∫ u ( x) dx = ln u( x) α
α
Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
1
4 x + 11
Ví dụ 3: Tính tích phân : I= ∫ x 2 + 5 x + 6 dx .
0
Giải
Cách 1: ( Hệ số bất định )
A ( x + 3) + B ( x + 2 )
4 x + 11
4 x + 11
A
B
=
=
+
=
x + 5 x + 6 ( x + 2)( x + 3) x + 2 x + 3
( x + 2)( x + 3)
Ta có : f(x)=
2
Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A và thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy ra B=1
3
1
+
x+2 x+3
1
1
1
4 x + 11
1
3
dx = ∫
+
Vậy : ∫ x 2 + 5 x + 6
÷dx = ( 3ln x + 2 + ln x + 3 ) 0 = 2 ln 3 − ln 2
x+2 x+3
0
0
Do đó : f(x)=
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
2 ( 2 x + 5) + 1
2x + 5
1
2x + 5
1
1
Ta có : f(x)= x 2 + 5 x + 6 = 2. x 2 + 5 x + 6 + x + 2 x + 3 = 2. x 2 + 5 x + 6 + x + 2 − x + 3
(
)(
)
Do đó : I=
1
∫
0
1
2x + 5
1
1
x+2
2
f ( x)dx = ∫ 2. 2
+
−
÷dx = 2 ln x + 5 x + 6 + ln
x + 5x + 6 x + 2 x + 3
x+3
0
1
÷ 0 = 2 ln 3 − ln 2
2. Tam thức : f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm kép
β
Công thức cần chú ý :
β
u '( x )dx
= ln ( u ( x) )
∫ u ( x)
α
α
Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3
x3
Ví dụ 4 : Tính tích phân sau : I= ∫ x 2 + 2 x + 1 dx
0
Giải
3
x
3
3
x
3
dx
Ta có : ∫ x 2 + 2 x + 1 dx = ∫
2
0
0 ( x + 1)
Đặt : t=x+1 suy ra : dx=dt ; x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4 .
3
Do đó :
∫ ( x + 1)
0
4
x3
2
dx = ∫
1
( t − 1)
t2
3
4
3 1
1 4
3
1
dt = ∫ t − 3 + − 2 ÷dt = t 2 − 3t + ln t + ÷ = 2 ln 2 −
t t
t1
2
2
1
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 7
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
1
4x
Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I= ∫ 4 x 2 − 4 x + 1 dx
0
Giải
4x
4x
Ta có : 4 x 2 − 4 x + 1 = 2 x − 1 2
(
)
x = 0 ↔ t = −1
x = 1 ↔ t = 1
1
1
1
1 4. ( t + 1)
1
4x
4x
1
1 1
1 1
Do đó : ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫ 2 2
dt = ∫ + 2 ÷dt = ln t − ÷ = −2
2
4x − 4x +1
t
2
t t
t −1
0
0 ( 2 x − 1)
−1
−1
1
2
Đặt : t= 2x-1 suy ra : dt = 2dx → dx = dt ;
3. Tam thức : f ( x) = ax 2 + bx + c vô nghiệm :
b
u = x + 2a
P( x)
P ( x)
=
;
2
2
2
2
Ta viết : f(x)=
b −∆ a ( u + k ) k = −∆
a x + ÷ +
÷
2a
2a 2a
Khi đó : Đặt u= ktant
2
x
Ví dụ 6: Tính tích phân : I= ∫ x 2 + 4 x + 5 dx
0
Giải
2
x
2
x
• Ta có : ∫ x 2 + 4 x + 5 dx = ∫ x + 2 2 + 1 dx
)
0
0 (
x = 0 ↔ tan t = 2
1
• Đặt : x+2=tant , suy ra : dx= cos 2t dt ; ⇒ x = 2 ↔ tan t = 4
t2
t
tan t − 2 dt
sin t
dx = ∫
= ∫
− 2 ÷dt = ( − ln cost − 2t ) 2 ( 1)
• Do đó : ∫
2
2
2
t1
1 + tan t cos t t1 cost
0 ( x + 2) + 1
t1
2
x
t2
1
1
2
2
tan t = 2 ↔ 1 + tan t = 5 ↔ cos t = 5 → cost1 = 5
Từ :
1
1
tan t = 4 ↔ 1 + tan 2 t = 17 ↔ cos 2t =
→ cost 2 =
17
17
t2
cost
• Vậy : ( − ln cost − 2t ) t = − ( ln cost 2 − 2t2 ) − ( ln cos t1 − 2t1 ) = − ln cost2 + 2 ( t2 − t1 )
1
1
cost
1
1
5
. 5 = 2 ( arctan4-arctan2 ) − ln
• ⇔ − ln cost2 + 2 ( t2 − t1 ) = 2 ( arctan4-arctan2 ) − ln
2 17
17
1
2
Ví dụ 7: Tính tích phân sau : I=
x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
dx
∫
x2 + 4
0
Giải
x + 2x + 4x + 9
1
= x+2+ 2
2
x +4
x +4
2 3
2
2
2
x + 2x + 4x + 9
1
dx
1 2
2
dx = ∫ x + 2 + 2
= 6 + J (1)
• Do đó : ∫
÷dx = x + 2 x ÷ 0 + ∫ 2
2
x +4
x +4
x +4
2
0
0
0
• Ta có :
Trang 8
3
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
2
1
Tính tích phân J= ∫ x 2 + 4 dx
0
x = 0 → t = 0
2
π
π ↔ t ∈ 0; → cost>0
• Đặt : x=2tant suy ra : dx = cos 2t dt ;
4
x = 2 → t = 4
π
π
π
2
4
1
1
1
2
14
1
π
dt = ∫ dt = t 4 =
• Khi đó : ∫ 2 dx = ∫
2
2
x +4
4 0 1 + tan t cos t
20
2
8
0
0
π
• Thay vào (1) : I = 6 +
8
β
P( x)
dx
C. DẠNG : ∫ 3
2
α ax + bx + cx + d
3
2
1. Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có một nghiệm bội ba
β
Cơng thức cần chú ý :
1
∫x
m
dx =
α
1
1 β
. m −1
1− m x α
1
Ví dụ 8: Tính tích phân : I=
x
∫ ( x + 1)
3
dx
0
Giải
Cách 1:
• Đặt : x+1=t , suy ra x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2
1
• Do đó :
x
∫ ( x + 1)
0
2
2
t −1
1 1
1 1 12 1
dt = ∫ 2 − 3 ÷dt = − + 2 ÷ =
3
t
t t
t 2t 1 8
1
1
dx = ∫
3
Cách 2:
( x + 1) − 1
x
1
1
• Ta có : x + 1 3 = x + 1 3 = x + 1 2 − x + 1 3
(
)
(
)
(
) (
)
1
1
1
1
1 1 1 1
dx = ∫
−
dx = −
+
=
• Do đó : ∫
3
2
3
2
( x + 1)
( x + 1) x + 1 2 ( x + 1) 0 8
( x + 1)
0
0
0
4
x
dx .
Ví dụ 9 : Tính tích phân : I= ∫
3
−1 ( x − 1)
1
x
Giải
• Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 và : khi x=-1 thì t=-2 và khi x=0 thì t=-1 .
0
• Do đó :
x4
∫ ( x − 1)
−1
3
dx =
−1
∫
−2
( t + 1)
t3
4
−1 4
−1
t + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1
6 4 1
dt = ∫
dt = ∫ t + 4 + + 2 + 3 ÷dt
3
t
t t
t
−2
−2
−1
6 4 1
4 1 1 −1 33
1
⇔ ∫ t + 4 + + 2 + 3 ÷dt = t 2 + 4t + 6 ln t − − 2 ÷ = − 6 ln 2
•
t t
t
t 2 t −2 8
2
−2
3
2
2. Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
3
Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I=
1
∫ ( x − 1) ( x + 1)
3
dx
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 9
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
Giải
Cách 1. ( Phương pháp hệ số bất định )
• Ta có :
A ( x + 1) + B ( x − 1) ( x + 1) + C ( x − 1)
A
B
C
=
+
+
=
2
x − 1 ( x + 1) ( x + 1) 2
( x − 1) ( x + 1)
2
1
( x − 1) ( x + 1)
2
1
A = 4
1 = 4 A
• Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số : 1 = −2C ⇔
. Khi đó (1)
C = − 1
2
2
( A + B) x + ( 2 A + C ) x + A − B − C ⇒ A − B − C = 1 ⇔ B = A − C −1 = 1 + 1 −1 = − 1
⇔
2
4 2
4
( x − 1) ( x + 1)
1 1
1
1
1 1
dx = ∫ .
+ .
−
÷dx
∫ ( x − 1) ( x + 1) 2
4 x − 1 4 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ÷
2
2
1
1
1 3 1
3
⇔ I = ln ( x − 1) ( x + 1) + .
= ln 8 = ln 2
2 ( x + 1) 2 4
4
4
3
3
1
• Do đó :
Cách 2:
• Đặt : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 .
3
• Khi đó : I= ∫
2
4
4
4
dt
1 t − ( t − 2)
1
1
1
= ∫ 2
dt = ∫
dt − ∫ dt ÷
2
t ( t − 2) 2 3 t ( t − 2)
2 2 t ( t − 2)
t ÷
3
3
4
1
( x − 1) ( x + 1)
2
dx = ∫
4
4
11 1
1
1 1 t−2 1
4 3
⇔ I = ∫
− ÷dt − ∫ dt ÷ = ln
− ln t ÷ = ln 2
22 2t −2 t
t 4
t
2
3 4
3
( 3t 2 − 4t ) − 1 3t 2 − 4t − 4 = 3t 2 − 4t − 1 ( 3t + 2 ) = 3t 2 − 4t − 1 3 + 2
1
= 3
Hoặc : 3
÷
÷
t − 2t 2
t − 2t 2
4 t 3 − 2t 2 t 3 − 2t 2 4 t 2 t 3 − 2t 2 4 t t 2
4
3t 2 − 4t 1 3 2
1
2 4 3
3
2
• Do đó : I= ∫ t 3 − 2t 2 − 4 t + t 2 ÷÷dt = ln t − 2t − 4 3ln t − t ÷÷ 3 = 4 ln 2
3
2
2
1
1 t − ( t − 4)
=
Hoặc : 2
t ( t − 2) 4 t 2 ( t − 2)
• Do đó : I=
1 1
t+2 1 1
1 2
÷=
− 2 ÷=
− − 2÷
÷ 4t −2 t 4t −2 t t
4
1 1
1 2
1 t −2 2 4 1 1 1
1 2 1
1
∫ t − 2 − t − t 2 ÷dt = 4 ln t + t ÷ 3 = 4 ln 2 + 2 − ln 3 − 3 ÷ = 4 ln 3 − ln 2 − 6 ÷
4 3
3
Ví dụ 11: Tính tích phân sau : I=
x2
∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx
2
2
Giải
Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 .
( t + 1) dt = 2 t 2 + 2t + 1 dt
dx = ∫ 2
Do đó : ∫
2
∫ t 2 ( t + 3)
t ( t + 3)
2 ( x − 1) ( x + 2 )
1
1
3
2
x2
2
Cách 1; ( Hệ số bất định )
( At + B ) ( t + 3) + Ct = ( A + C ) t + ( 3 A + B ) t + 3B
t 2 + 2t + 1 At + B
C
=
+
=
Ta có : 2
2
t ( t + 3)
t
t +3
t 2 ( t + 3)
t 2 ( t + 3)
2
Trang 10
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
1
B = 3
A + C =1
5
t 2 + 2t + 1 1 t + 3 4 1
=
+
Đồng nhất hệ số hai tử số : 3 A + B = 2 ⇔ A = ⇒ 2
9
t ( t + 3) 9 t 2
9 t +3
3B = 1
4
C = 9
Do đó :
2
2
t 2 + 2t + 1
1 1 3 4 1
1
3 4
2 17 4
7
dt = ∫ + 2 ÷+
÷÷dt = ln t − ÷+ ln t + 3 ÷ 1 = + ln 5 − ln 2
∫ t 2 ( t + 3)
9 t t 9 t + 3
t 9
6 9
9
9
1
1
Cách 2:
• Ta có :
2
2
1 3t 2 + 6t 1 t − ( t − 9 )
t 2 + 2t + 1 1 3t 2 + 6t + 3 1 3t 2 + 6t
3
=
+
=
÷=
÷+
t 2 ( t + 3) 3 t 3 + 3t 2 3 t 3 + 3t 2 t 2 ( t + 3) 3 t 3 + 3t 2 9 t 2 ( t + 3 )
1 3t 2 + 6t 1 1
1 t − 3 1 3t 2 + 6t 1 1
1 1 3
= 3
+
−
= 3
+
− − 2 ÷
2 ÷
2
2 ÷
3 t + 3t 9 t + 3 9 t
3 t + 3t 9 t + 3 9 t t
ữ
ữ
ã Vậy :
2
1 3t 2 + 6t 1 1
1
t 2 + 2t + 1
1 3
1 t + 3 3 2
dt = ∫ 3
+
− + 2 ÷÷dt = ln t 3 + 3t 2 + ln
− ÷
2 ÷
∫ t 2 ( t + 3)
3 t + 3t 9 t + 3 t t
27
t
t 1
3
1
1
17 4
7
• Do đó I= + ln 5 − ln 2
6 9
9
ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có ba nghiệm :
3. Đa thức : f(x)=
2
3
1
Ví dụ 12: Tính tích phân sau : I= ∫ x x 2 − 1 dx
(
)
2
Cách 1: ( Hệ số bất định )
• Ta có : f(x)=
A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1)
1
1
A
B
C
=
= +
+
=
x ( x − 1) ( x + 1)
x ( x 2 − 1) x ( x − 1) ( x + 1) x x − 1 x + 1
• Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm : x=0;x=1 và x=-1 vào
A = −1
x = 0 → 1 = − A
1
1 1 1 1 1
hai tử ta có : x = −1 → 1 = 2C ⇔ B = ⇒ f ( x) = − +
÷+
÷
2
x 2 x −1 2 x +1
x = 1 → 1 = 2B
1
C = 2
• Vậy :
3
3
1
1 1
1 1
3
1
3 5
dx = ∫
+
÷− ÷dx = ( ln ( x − 1) ( x + 1) ) − ln x 2 = ln 2 − ln 3
∫ x ( x 2 − 1)
2 x −1 x +1 x
2
2
2
2
2
Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu )
x 2 − ( x 2 − 1)
1
x
1 1 2x
1
=
= 2
− =
−
Ta có :
2
2
2
x −1 x 2 x −1 x
x ( x − 1)
x ( x − 1)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 11
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
3
3
3
1
1 2 xdx
1
3
1
3 5
2
Do đó : ∫ x x 2 − 1 dx = 2 ∫ x 2 − 1 − ∫ x dx = 2 ln ( x − 1) − ln x ÷ 2 = 2 ln 2 − 2 ln 3
(
)
2
2
2
4
x +1
Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I= ∫ x x 2 − 4 dx
(
)
3
Cách 1:
A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 )
x +1
x +1
A
B
C
=
= +
+
=
Ta có :
x ( x2 − 4) x ( x − 2) ( x + 2) x x − 2 x + 2
x ( x2 − 4)
Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số :
Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4
Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8
Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8 .
Do đó : f(x) = − ÷−
÷+
÷
4 x 8 x−2 8 x+2
Vậy :
1 1
1
1
3
1
4
3
3
3
x +1
1 1
1
1
3
1
1
3
1
3
dx = − ∫ dx − ∫
dx + ∫
dx = − ln x − ln x − 2 + ln x + 2 ÷ =
∫ x ( x2 − 4)
42x
8 2 x−2
8 2 x+2
8
8
4
2
3
5
3
1
= ln 3 − ln 5 − ln 2
8
8
4
Cách 2:
Ta có :
2
2
x +1
1
1
1 1
1 1 x − ( x − 4)
=
+
=
−
÷+
x ( x2 − 4) ( x2 − 4) x ( x2 − 4) 4 x − 2 x + 2 4 x ( x2 − 4 )
1 1
1
1 2x
1
÷=
−
+
− ÷
2
÷ 4 x−2 x+2 2 x −4 x
4
4
x +1
1 1
1
1 2x
1
1 x − 2 1
4
2
Do đó : ∫ x x 2 − 4 dx = 4 ∫ x − 2 − x + 2 + 2 x 2 − 4 − x ÷dx = 4 ln x + 2 + 2 ln ( x − 4 ) − ln x 3
(
)
3
3
3
x2
Ví dụ 14: Tính tích phân sau : ∫ x 2 − 1 x + 2 dx
)( )
2 (
Giải
Cách 1: ( Hệ số bất định )
A ( x + 1) ( x + 2 ) + B ( x − 1) ( x + 2 ) + C ( x 2 − 1)
x2
x2
A
B
C
=
=
+
+
=
( x 2 − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 ) x − 1 x + 1 x + 2
( x 2 − 1) ( x + 2 )
Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số :
Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy ra : A=1/2
Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2
Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4
Do đó :
3
3
x2
1 1
5 1
1 x −1 5
3 1 3
1 1
dx = ∫
−
−
dx
− ln x + 2 = ln
÷ = ln
I= ∫ x 2 − 1 x + 2
2 x −1 2 x +1 4 x + 2
)( )
2 x +1 4
2 2 2
2 (
2
Cách 2.( Nhẩy tầng lầu )
Trang 12
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
Ta có :
x2
x2 −1 + 1
1
1
1
1 x ( x + 1) − ( x − 1) ( x + 2 )
= 2
=
+
=
+
2
( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 2 ) x + 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 ) x + 2 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 )
1
1
x
1
1
1 1 1
1
1
+
−
+ 1 +
−
=
÷−
x + 2 2 ( x − 1) ( x + 2 ) x + 1 x + 2 2 3 x − 1 x + 2 x + 1
=
Từ đó suy ra kết quả .
β
D. DẠNG
∫ ax
4
α
R ( x)
dx
+ bx 2 + c
Những dạng này , gần đây trong các đề thi đại học ít cho ( Nhưng không hẳn là
không cho ) , nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các
trường ra đề thi riêng , mong các em học sinh khá ,giỏi tham khảo để rút kinh
nghiệm cho bản thân .
Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
1
a.
1
1
∫
( x 2 + 3x + 2 )
0
2
1 + x2
b. ∫ 1 + x3 dx
1
dx
2
Giải
1
1
a. ∫
2
0 ( x + 3x + 2 )
2
dx
Ta có :
1
1
x + 3 x + 2 = ( x + 1) ( x + 2 ) ⇒ f ( x) =
=
=
−
2
2
( x 2 + 3x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 )
1
1
2
1
1
1
1
=
+
−
=
+
− 2
−
÷. Vậy :
2
2
2
2
x +1 x + 2
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 )
1
2
1
∫
0
(x
+ 3x + 2 )
2
2
1
1
1
1
1
x +1
1
dx = ∫
+
− 2
−
−
− 2 ln
÷ dx = −
2
2
x+2
x + 1 x + 2
x +1 x + 2
( x + 2)
0 ( x + 1)
1
1
2
1
1 2
÷0 = 3 + 2 ln 3
1
1 + x2
b. ∫ 1 + x3 dx
1
2
1 + x2
1 − x + x2 + x
1 − x + x2
x
f ( x) =
=
=
+
Ta có :
3
1+ x
( 1 + x ) ( 1 − x + x2 ) ( 1 + x ) ( 1 − x + x2 ) ( 1 + x ) ( 1 − x + x2 )
1
⇔ f ( x) =
1
x
1 2x
1
+
⇒ ∫
+
dx
÷
3
1+ x 1+ x
2 1 + x3
1 x +1
2
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
3
a.
∫
1
1
x2 −1
dx
x4 − x2 + 1
x4 + 1
b. ∫ x 6 + 1 dx
0
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 13
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
3
a.
∫
1
x2 −1
dx . Chia tử và mẫu cho x 2 ≠ 0 , ta có :
4
2
x − x +1
1
x2 ⇒
f ( x) =
1
x2 + 2 −1
x
1−
3
∫
3
f ( x)dx =
1
∫
1
1
1 − 2 ÷dx
x
2 1
x + 2 ÷− 1
x
( 1)
x =1 → t = 2
1
1
1
2
2
Đặt : t = x + ⇒ x + 2 = t − 2, dt = 1 − 2 ÷dx ↔ x = 3 → t = 4
x
x
x
3
Vậy :
4
3
3
∫
∫t
f ( x)dx =
1
2
dt
=
−3
2
4
3
∫
2
1
( t − 3) ( t + 3)
dt =
1
2
4
3
1
3 ∫ t−
2
3
−
1
÷dt
t+ 3
4
1 1
7−4 3
1
3=
ln − ln
÷=
7
÷ 2 3 ln 7 + 4 3 )
7
2 3
2
t− 3
I=
ln
2 3 t+ 3
(
1
1
x4 + 1
b. ∫ x 6 + 1 dx . Vì :
0
)
x 6 − 1 = ( x 2 ) 3 − 1 = ( x 2 − 1) ( x 4 + x 2 + 1)
6
3 2
2
3
x − 1 = ( x ) − 1 = t − 1( t = x )
Cho nên :
1
1
2
x4 + 1
x4 − x2 + 1
x2
1 − 1 3x
dx
f ( x) = 6
=
−
⇒ f ( x)dx = ∫ 2
x + 1 3 ( x3 ) 2 + 1
x + 1 ( x 2 + 1) ( x 4 − x 2 + 1) ( x 3 ) 2 + 1 ∫
0
0
1 1
0 3
1
0
1
3
2
Vậy : I = arctan x − arctan ( 3x ) = arctan1- arctan3 =
π 1
− arctan3
4 3
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
1
1
x2 + 1
x2 −1
a. ∫ x 4 + 1 dx ∨ ∫ x 4 + 1dx
0
0
2
b.
∫x
1
1
dx
+1
4
Giải
1
1
x +1
2
x −1
2
a. ∫ x 4 + 1 dx ∨ ∫ x 4 + 1dx . Ta có :
0
0
1
1
1− 2
2
2
x +1
x , g ( x) = x − 1 =
x
f ( x) = 4
=
. Cho nên
4
x + 1 x2 + 1
x + 1 x2 + 1
x2
x2
1
1
1
2
2
t = x + x ⇒ dt = 1 − x 2 ÷dx, x + x 2 = t − 2, x = 1 → t = 2, x = 2 → t =
Đặt :
1
1
1
2
2
t = x − ⇒ dt = 1 + 2 ÷dx, x + 2 = t + 2, x = 1 → t = 0, x = 2 → t =
x
x
x
1+
2
2
⇔∫
1
5
2
5
2
5
2
5
2
3
2
. Vậy :
5
1
1 1
1
1
t− 2
dt
f ( x) dx = ∫ 2
dt =
−
ln
2
÷=
÷dt =
t −2 ∫ t− 2 t+ 2
2 2 ∫ t − 2 t + 2
2 2 t+ 2 2
2
2
2
Trang 14
(
)(
)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
3
2
2
1
dt
t +2
0
⇔ ∫ g ( x)dx = ∫
1
( 1) .
2
1
3
3 2
du ↔ t = 0 → u = 0, t = → u = arctan
= u1
2
cos u
2
4
u1
u1
2du
2
2 u1
2
Do đó (1) ⇔ ∫ cos 2u 2 + 2 tan 2 u = ∫ 2 du = 2 u 0 = 2 u1
(
) 0
0
Đặt : t = 2 tan u → dt = 2
2
1
1
b. ∫ 4 dx . Ta có : F ( x) = 4 =
x +1
x +1
1
1 1 + x2 + 1 − x2
÷=
2
x4 +1
1 x2 + 1 x2 −1 1
−
÷ = ( f ( x) − g ( x) )
2 x4 +1 x4 +1 2
Đã tính ở trên ( phần a)
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
2
a.
∫(x
2
1
c.
1− 5
2
∫
1
5
2
x −1
dx
− 5 x + 1) ( x 2 − 3 x + 1)
2
b.
∫x
4
3
2
dx
− 4x2 + 3
x7
dx
d. I = ∫
1 + x 8 − 2x 4
2
3
x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1
Giải
2
a.
∫(x
1
x −1
dx . Ta có :
2
− 5 x + 1) ( x 2 − 3 x + 1)
2
1
1
2
2
1 − 2 ÷dx
2
x −1
x
x
f ( x) = 2
=
⇒ ∫ f ( x )dx = ∫
2
1
1
( x − 5x + 1) ( x − 3x + 1) x + 1 − 5 x + 1 1
1 x+
− 5 ÷ x + − 3 ÷
÷
÷
x
x −3
x
x
1
1
5
Đặt : t = x + → dt = 1 − 2 ÷dx , x = 1 → t = 2, x = 2 → t =
x
2
x
1−
2
( 1)
Vậy (1) trở thành :
5
2
5
5
1 2 1
1
1 t −5
1
1 5
∫ ( t − 5) ( t − 3) = 2 ∫ t − 5 − t − 3 ÷dt = 2 ln t − 3 2 = 2 ( ln 5 − ln 3) = 2 ln 3
2
2
2
dt
5
2
b.
∫x
3
2
4
1
1
1 1
1
dx
. Ta có : f ( x) = x 4 − 4 x 2 + 3 = x 2 − 1 x 2 − 3 = 2 x 2 − 3 − x 2 − 1 ÷
2
− 4x + 3
(
)(
)
5
2
Do đó :
5
2
∫ f ( x)dx = ∫ x
3
2
3
2
2
1
1
− 2 ÷dx = I − J
− 3 x −1
( 1) Với :
5
5
5
2
1
1
1 2 1
1
1
x− 3 2
1
37 − 20 3
I =∫ 2
dx = ∫
dx =
∫ x − 3 − x + 3 ÷dx = 2 3 ln x + 3 3 = 2 3 ln 65 7 − 4 3
2 3 3
x+ 3
3 x −3
3 x− 3
2
2
2
2
5
2
(
)(
)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
(
)
Trang 15
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
5
5
1
1
1
1 2 1
1
1 x −1 2 1 3
1 1 15
J =∫ 2
dx = ∫
dx = ∫
−
= ln − ln ÷ = ln
÷dx = ln
x −1
x − 1) ( x + 1)
2 3 x −1 x +1
2 x +1 3 2 7
5 2 7
0
0 (
2
2
1
c.
1− 5
2
∫
1
x2 + 1
dx .
4
2
x − x +1
1
x
Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a . Chỉ khác là đặt : t = x − , sẽ ra kết quả .
3
x7
x4
x 3dx
2
d. I = ∫ 1 + x 8 − 2x 4 dx = ∫ 4
2
2 x −1
3
(
)
( 1)
dt = 3x 3 dx, x = 2 → t = 15; x = 3 → t = 80
4
Đặt : t = x − 1 ⇒ f ( x)dx = 1 x 4 3x3dx = 1 ( t + 1) dt = 1 1 + 1 dt
÷
3 ( x 4 − 1)
3 t2
3 t t2
80
1 1 1
1
1 80 1 16 13
I = ∫ + 2 ÷dt = ln t − ÷ = ln +
Vậy :
3 t t
3
t 15 3 3 720
15
β
E. TRƯỜNG HỢP :
R ( x)
∫ Q( x) dx
( Với Q(x) có bậc cao hơn 4 )
α
Ở đây tơi chỉ lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới
hai bậc hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có
cách giải ngắn gọn hơn . Phương pháp chung là như vậy , nhưng chúng ta khéo léo
hơn thì cách giải sẽ hay hơn .
Sau đay tơi minh họa bằng một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau .
2
dx
a. ∫ x x 4 + 1
(
)
1
b.
1
2
x2 + 1
∫ ( x − 1) ( x + 3) dx
2
0
Giải
2
dx
a. ∫ x x 4 + 1 . Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có :
(
)
1
4
3
2
1
A Bx 3 + Cx 2 + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E )
f ( x) =
= +
=
=
x4 + 1
x ( x 4 + 1) x
x ( x 4 + 1)
A + B = 0
A =1
C = 0, D = 0
B = −1
( A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A ⇒
1
x3
⇔ f ( x) =
⇔
⇒ f ( x) = − 4
x x +1
x ( x 4 + 1)
E = 0
C = 0, D = 0,
A =1
E = 0
4
3
2
Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn .
Vì x và x3 cách nhau 3 bậc , mặt khác x ∈ [ 1; 2] ⇒ x ≠ 0 . Cho nên ta nhân tử và mẫu với
x ≠ 0 . Khi đó f ( x ) =
3
Trang 16
x3
4
3
3
. Mặt khác d ( x ) = 4 x dx ⇔ dt = 4 x dx
4
4
x ( x + 1)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
( t = x ) , cho nên :
4
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
f ( x) dx =
1 3 x 3dx
1 dt
1 1 1
=
= −
÷ = f (t ) . Bài tốn trở nên đơn giản hơn rất
4
4
3 x ( x + 1) 3 t ( t + 1) 3 t t + 1
nhiều . ( Các em giải tiếp )
b.
1
2
x2
∫ ( x − 1) ( x + 3) dx
2
0
Nhận xét :
* Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm như sau :
- f ( x) =
x2 + 1
A
=
( x − 1) ( x + 3) ( x − 1)
3
3
+
B
( x − 1)
2
+
C
D
+
x −1 x + 3
1
2
3
8
- Sau đó quy đồng mẫu số , đồng nhất hệ số hai tử số , ta có : A = , B = , C = − D =
1
2
Do vậy : I = ∫
0
1
2 ( x − 1)
3
+
3
8 ( x − 1)
2
+
5
5
−
32 ( x − 1) 32 ( x + 3)
5
32
÷dx
÷
1 5
1
3
5
5
1
= −
−
+ ln x − 1 − ln x + 3 2 = ln
2
8 ( x − 1) 32
32
8 ( x − 1)
0 32 28
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :
3
1
d.
∫
0
x2 + 1
b. ∫ 6 dx
x +1
1
1
x3
(1+ x )
2 3
2
2
x4 − 1
a. ∫ 6 dx
x −1
2
dx
e.
∫
0
x 4 + 3x 2 + 1
( 1+ x )
2 3
dx
c. ∫ x 1 + x 4
(
)
1
dx
1
f.
∫
1
3
1
3 3
( x−x )
x4
dx
Giải
a.
2
3
3
x4 − 1
x4 + x2 + 1
x2 + 2 ÷
1
x2
1
1 ÷
∫ x6 − 1 dx = ∫ ( x 2 − 1) ( x 4 + x 2 + 1) − 3 2 ÷dx = ∫ x 2 − 1 dx + ∫ 3 2 + x3 − 1 − x3 + 1 ÷dx
1
1
2
2 ( x ) −1
÷
( x ) − 1 ÷
3
Tính J : J= artanx = artan3-artan2 .
2
2
dt = 3 x 2 dx, x = 2 → t = 8; x = 3 → t = 27
3
Tính K . Đặt t = x ⇒ g ( x)dx = x 2 dx = 1 dt = 1 1 1 − 1 dt
÷
x3 − 1
3 ( t 2 − 1) 3 2 t − 1 t + 1
3
27
27 1 t − 1 27 1 117
1 1
1
1
−
= ln
Do đó : K= ∫ g ( x)dx = ∫
÷dt = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) 8 = ln
6 8 t −1 t +1
6
6 t + 1 8 6 98
2
3
3
1
1
Tính E= ∫ x3 − 1 dx = ∫ x − 1 x 2 + x + 1 dx
)(
)
2
2 (
Ta có : h( x) =
x 2 − ( x 2 − 1)
1
x2
x2 − 1
=
= 3
−
( x − 1) ( x 2 + x + 1) ( x − 1) ( x 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 17
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
=
( x − 1) ( x + 1) = x 2 − x + 1 = x 2 − 1 2 x + 1 + 1
x2
−
÷
x 3 − 1 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) x3 − 1 x 2 + x + 1 x3 − 1 2 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1
1 3x 2
1 ( 2 x + 1)
1
I = ∫ 3 dx − ∫ 2
dx − ∫
dx
2
2
3 2 x −1
2 2 x + x +1
2
Vậy :
1 3
÷
x+ ÷ +
2 2
3 1
3
1
1 28 1 13
= ln ( x 3 − 1) − ln ( x 2 + x + 1) − F = ln − ln − F ( 2 )
2 2
2
3
3 9 2 6
3
3
3
3 1
dt
dx =
1
3
2 cos 2t
Tính F : Đặt : x + = tan t ⇒
2
2
x = 2 → tan t = 5 → t = a; x = 3 → tan t = 10 → t = b
3
3
b
Do đó F= ∫
a
3 1
dt
b
b
5
5
10
2 cos 2t
= ∫ dt = t = b − a t ant=
→ t = a = artan
; b = artan
÷
a
3
3
3
3
1 + tan 2 t ) a
(
2
Thay vào (2) ta có kết quả .
2
1
2
2
x2 + 1
x2 + 1
1
1
b. ∫ x 6 + 1 dx = ∫ ( x 2 + 1) ( x 4 − x 2 + 1) dx = ∫ 2 2 2 dx = ∫ ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) dx
1
0
1 ( x − 1) − x
1
1
Ax+B
Cx + D
Ta có : ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1) = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1
( A + C ) x3 + ( B − A + C + D ) x 2 + ( A − B + C + D ) x + ( B + D )
=
x4 − x2 + 1
1
A = − 2
A + C = 0
A = −C
C = 1
B − A + C + D = 0
1 − 2C = 0
2
⇔
⇔
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
A − B + C + D = 0
− B + D = 0
D = 1
B + D = 1
B + D = 1
2
1
B =
2
2
2
1
1
1− x
x +1
dx + ∫ 2
dx ÷ = ( J + K ) ( 1)
Vậy : I = ∫ 2
2 1 x + x +1
x − x +1 2
1
Tính J=
2
2
2
2
2
−x +1
1 2x +1− 3
1
2x +1
3
1
1
dx = − ln x 2 + x + 1 + E
2
∫ x 2 + x + 1 dx = − 2 ∫ x2 + x + 1 dx = − 2 ∫ x 2 + x + 1 dx + 2 ∫
2
1
2
1
1
1
1
1 3
x+ ÷ +
÷
2 2
2
3
1
dx
2
∫
1
3
2
Tính E = 2 1 1 3
, học sinh tự tính bằng cách đặt : x + = tan t
÷
2
2
x+ ÷ +
2 2
Tính K
Trang 18
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
( 2)
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
2
K =∫
1
2
2
1
2
x +1
1 2x −1+ 3
1
2x −1
3
1
1
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2
dx + ∫
dx = ln x 2 − x + 1 + F
2
2
2
1
x − x +1
2 1 x − x +1
2 1 x − x +1
20
2
1 3
x− ÷ +
÷
2 2
( 2)
2
3
1
dx
2
∫
1
3
2
21
3
Tính F=
, học sinh tự tính bằng cách đặt : x − = tan t
1
÷
2 2
x− ÷ +
2 2
4
4
2
2
2
dx
1
3x 3
1 d ( x ) d ( x ) 1 x 4 2 1 32
÷ = ln
= ∫ 4
dx = ∫ 4 −
c. ∫
÷ = ln
4
3 1 x ( 1 + x4 )
31 x
1 + x 4 ÷ 3 1 + x 4 1 3 17
1 x (1+ x )
1
1
3
2
2
x
1
x
dx = ∫
2 xdx ( 1) . Đặt : t = 1 + x 2 ⇒ x = t − 1; dt = 2 xdx
3
3
d. ∫
2
2 0 ( 1 + x2 )
0 (1+ x )
x = 0 → t = 1, x = 1 → t = 2
2
2
t −1
1 1
1 1 2 13
Do đó I = ∫ 3 dt = ∫ 2 − 3 ÷dt = − + 2 ÷ =
t
t t
t 4t 1 16
1
1
1
e.
∫
x 4 + 3x2 + 1
(1+ x )
2 3
0
( 1 + x2 ) 2
1
1
x2 ÷
1
x2
dx = ∫
+
dx = ∫
dx + ∫
dx = J + K ( 1)
2 3
( 1 + x2 ) 3 ( 1 + x2 ) 3 ÷
1 + x2
0
0
0 ( 1+ x )
1
Tính J : Bằng cách đặt x = tan t ⇒ J =
π
4
1
1
÷dx = E + F ( 2 )
−
Tính K= ∫
2 2
2 3 ÷
0 ( 1+ x )
(1+ x )
1
dx = cos 2t dt
x = tan t ↔
Tính E : Bằng cách đặt
x = 0 → t = 0; x = 1 → t = π
4
1
1
2
π
4
2
π
4
π
4
2
Vậy : E = 2 ∫ 1 + x 2 ÷ dx = 2 ∫ 1 + tan 2 t ÷ cos 2t dt = 2 ∫ 1 cos 2t dt = 2 ∫ cos tdt
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos 4t
π
4
1
= ∫ ( 1 + cos2t ) dt =
40
π
1 1
1π 1 π +2
t + sin 2t ÷ 4 = + ÷ =
4 2
16
0 4 4 2
Tính F. Tương tự như tính E ;
1
dx = cos 2t dt
x = tan t ↔
Bằng cách đặt
x = 0 → t = 0; x = 1 → t = π
4
1
3
π
4
3
π
4
π
4
4
Vậy : F = 2 ∫ 1 + x 2 ÷ dx = 2 ∫ 1 + tan 2 t ÷ cos2t dt = 2 ∫ 1 cos 2t dt = 2 ∫ cos tdt
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos 6t
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 19
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
π
4
π
4
π
1
1
1 + cos4t
2
= ∫ ( 1 + cos2t ) dt = ∫ 1 + 2cos2t +
dt
÷ 4=
80
8 0
2
0
π
4
π
1
1
1
1 π
3π + 8
÷
∫ ( 3 + 4 cos 2t + cos4t ) dt = 16 3t + 2sin 2t + 4 sin 4t ÷ 4 = 16 3 4 + 2 = 64
16 0
0
1
f.
∫
1
3 3
( x−x )
x4
1
3
1
1
1
x − x3 3 1
1
3 1 dx
dx = ∫ 3 ÷ 3 dx = ∫ 2 − 1÷ 2 .
x x
x x
1
1 x
1
3
3
dx
dt = − x
1
1
Đặt : t = 2 − 1÷⇒ t + 1 = 2 ⇔
x
x
x = 1 → t = 8; x = 1 → t = 0
3
0 1
8
4
1
3 7 3 48 3
3
24 3 468
I = − ∫ t 3 ( t + 1) dt = ∫ t 3 + t 3 ÷dt = t 3 + t 3 ÷ = .27 + .2 4 = 16 + ÷ =
Khi đó
4 0 7
4
7
7 4
7
8
0
* Chú ý : Cịn có cách khác
1
1 1 3
− 3÷
1
x ∈ ;1 → x ≠ 0 . Đặt x = 1 ⇒ dx = − 1 dt ; f ( x )dx = t t
Vì :
4
3
t
t2
1
÷
t
= −t ( t − t )
3
1
3
3
1
1
1
1
1 3
dt = dt = −t 1 − 2 ÷ dt (2) . Đặt : u = 1 − 2 ⇔ 2 = 1 − u; du = dt
t
t
t
t
2
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
1
a.
∫
1
1
a
p
e p +2
x2
x
p+2
+1
∫
b.
dx
0
x 3 dx
3
( x2 + a2 ) 2
2a
x+e
c. ∫ e dx
x
d.
0
∫x
2ax − x 2 dx
0
Giải
p
a..
e
1
p +2
∫
1
x
x
p
2
p+2
+1
dx ( ĐHTNguyên-98) : Ta có :
f ( x )dx =
x 2 dx
+
.
p2 2
x ÷ +1
2
p
e
dt = x 2 dx
dt
t=x
=x ⇒
⇔I= ∫ 2
- Đặt :
1
t +1
1
x = 1 → t = 1; x = e p + 2 → t = e
du
u1
u1
dt = cos 2u
du
π
⇔I=∫
= ∫ du = − u1
- Đặt : t = tan u ⇒
1
2
2
4
π
π cos u ( 1 + tan u )
π
t = 1 → u = , t = e 2 → u = u1
4
4
4
π
- Từ : tan u = e ⇒ u = u1 = artan e ⇔ I = − artan e
4
p+2
2
Trang 20
1
3
t ( t −t)
1
dt
− 2 ÷dt = −
t
t
2
p
+1
2
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
a
b.
∫
0
x 3 dx
(x
2
+a
3
2 2
)
a
Vậy : I = ∫
0
dt
π
dx=a cos 2t ; x = 0 → t = 0, x = a → t = 4
3
3
3
. Đặt : x = atant ⇒ f ( x) = x dx 3 = a tan t 3 a dt = a cos t.tan 3 tdt
cos 2t
x2 + a2 ) 2 a3 1 2
(
2 ÷
cos t
π
4
π
4
π
4
π
4
( 1 − cos t ) sin t dt =
sin t
sin t
f ( x)dx = ∫ a cos t.tan tdt = ∫ a cos t.
dt = ∫ a.
dt =a ∫
3
2
cos t
cos t
cos 2t
0
0
0
0
3
3
3
2
π
1
du = − s intdt;t= 4 → u = 2 ; t = 0 → u = 1
- Đặt : cost=u ⇒
2
f (t )dt = ( 1 − u ) − du = 1 − 1 du
( ) 2÷
u2
u
Vậy : I =
2
2
∫
1
2
1
1
2
2
3
3 2
3 2 −4
+
−2=
−2=
−2=
1 − 2 ÷du = u + ÷ 2 =
u
2
2
2
2
2
u
1
1
dt = e x dx; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = e
x
x
e x + e dx = ∫ e x e e dx . Đặt : t = e x ⇒
c. ∫
x ex
t
0
0
f ( x)dx = e e dx = e dt
1
e
e
I = ∫ f ( x)dx = ∫ et dt = et = ee − e
Vậy :
1
0
1
1
2a
d.
2a
∫x
2ax − x dx =
2
0
∫x
a 2 − ( x − a ) dx
2
0
π
π
dx = a.costdt,x=0 → t=- 2 ;x=2a → t= 2
Đặt : x − a = a.sin t ⇒
f ( x)dx = ( a + a.sin t ) a 2cos 2t .a.costdt
Vậy :
π
π
π
π
2
2
2
2
1 + cos2t
3
2
3
2
2
3
2
I = a ∫ ( 1 + sin t ) cos tdt = a ∫ cos tdt + ∫ cos t sin tdt = a ∫
dt − ∫ cos td ( cost )
2
π
π
π
−
−
−
−π
−π
2
2
2
2
2
π
π
1 1
1
1 π π
π
= a 3 t + sin 2t ÷ 2 − cos3t 2 = a 3 + ÷ = a 3
π
2
2 2
−π 3
2 2 2
−
2
2
π
2
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
1
3
dx
a. ∫ 5 2
x −x
2
1
c.
∫
0
b.
x3 − 2 x
(x
2
+ 1)
2
∫
0
2
dx
d.
∫
1
x 7 dx
(1+ x )
4 2
1 + x3
dx
x4
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 21
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
3
3
dx
1
a. ∫ x5 − x 2 = ∫ x 2 x − 1 x 2 + x + 1 dx
(
)(
)
2
2
1
( 1)
A
B
Cx + D
E
Xét : f ( x) = x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = x 2 + x + x 2 + x + 1 + x − 1
=
A ( x 2 + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + ( Cx + D ) x 2 ( x − 1) + E ( x 2 + x + 1) x 2
x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
( B + C + E ) x 4 + ( A + D − C + E ) x 3 + ( E − D ) x 2 − Bx − A
=
.
x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
1
D = 3
B + C + E = 0
C = − E
1
A + D −C + E = 0
E + E + E = 1 C = −
1
1
1
3
− x+
1
3+ 3
⇔ B = 0
⇔ B = 0 ⇒ f ( x) = − 2 + 23
E − D = 0
x
x + x +1 x −1
B = 0
E = D
1
E =
3
A = −1
A = −1
A = −1
1
1
1
3
3
1 −3x+3
3 ÷dx = − 1 − 1 x − 1 + 1 1 dx
+
Vậy : I = ∫ − 2 + 2
÷
∫ x 2 3 x 2 + x + 1 ÷ 3 ( x − 1) ÷
÷
x
x + x +1 x −1 ÷
2
2
2
3
1 1
( x − 1) + 1 arctan 2x+1 3
1
dx
1 1
3
2
= − ln x + x + 1 + ln x − 1 ÷ − ∫
= + ln 2
÷
2
2
3
3
3 ÷2
x 6
2 2
1 3 x 6 x + x +1
÷
x+ ÷ +
2 2
1 1
7
5
+
− arctan
arctan
÷
6
3
3
3
1
1
x 7 dx
1
x4
= ∫
3x 3 dx ( 1) .
2
2
b. ∫
4
3 0 ( 1 + x4 )
0 (1+ x )
=
dt = 3x 3 dx, x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2
4
Đặt : t = 1 + x ⇒
1 t −1
1 1 1
f ( x) dx = 3 t 2 ÷dt = 3 t − t 2 ÷dt
2
1 1 1
1
1 2 1
1
Vậy : I = ∫ 3 t − t 2 ÷dt = 3 ln t + t ÷ 1 = 3 ln 2 − 2 ÷
0
2
1
1 ( x − 2)
c. ∫ 2 2 dx = 2 ∫ 2 2 2 xdx
0 ( x + 1)
0 ( x + 1)
1
x3 − 2 x
Trang 22
( 1)
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
dt = 2 xdx; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2
Đặt : t = 1 + x ⇔ x − 2 = t − 3 ⇒ f ( x)dx = 1 t − 3 dt = 1 1 − 3 dt
÷
÷
2 t2
2 t t2
2
1 1 3
1
3 2 1
3
I = ∫ − 2 ÷dt = ln t + ÷ = ln 2 − ÷
Vậy :
2t t
2
t 1 2
2
1
2
2
d.
∫
1
2
2
1 + x3
1 + x3 2
dx = ∫
x dx
x4
x6
1
( 1) .
2tdt = 3 x 2 dx; x = 1 → t = 2, x = 2 → t = 3
3
2
3
Đặt : t = 1 + x ↔ t = 1 + x ↔ f ( x)dx = 1 1 + x3 3x 2 dx = 1 t 2tdt = 2 t 2 dt
3 x6
3 ( t 2 − 1) 2
3 ( t 2 − 1) 2
Vậy :
2
I=
3
=
2
2
3
1
1 1
1
2 1 1
1 1
∫ t + 1 + 2 t − 1 − t + 1 ÷÷ dt = 3 ∫ 4 t + 1 − t − 1 ÷ = 6
2
2
3
1
1
1
1
+
−
−
÷÷
∫ ( t + 1) 2 ( t − 1) 2 t − 1 t + 1 ÷dt
2
3
1 1
1
t − 1 3 1 −2t
t −1 3 8 2 − 3 1
÷
−
−
− ln
= 2
− ln
=
+ ln 2 2 − 2
6 t +1 t −1
t + 1 2 6 ( t − 1)
t +1 ÷ 2
24
3
(
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :
4
∫x
a.
7
3
∫
c.
dx
1
x2 + 9
x5 − 2 x3
x2 + 1
0
∫
b.
0
1
d.
dx
(x
2
)
− x ) dx
x2 + 1
∫ (1− x )
2 3
dx
0
Giải
4
a.
∫x
7
4
dx
x +9
2
=
∫x
7
xdx
2
x2 + 9
( 1) .
5
5
t 2 = x 2 + 9 ↔ tdt = xdx, x 2 = t 2 − 9
dt
dt
Đặt : t = x + 9 ⇒
. Do đó : I = ∫ t t 2 − 9 = ∫ t ( t − 3) ( t + 3)
) 4
4 (
x = 7 → t = 4, x = 4 → t = 5
2
A ( t 2 − 9 ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t
1
A
B
C
= +
+
=
Ta có : f (t ) =
t ( t − 3) ( t + 3) t t − 3 t + 3
t ( t 2 − 9)
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có :
- Với x=0 : -9A=1 → A = −
1
9
1
9
1
- Với x=3 : 9B=1 → B =
9
5
5 1 t 2 − 9 5 1 144
1 1
1
1 1
I = ∫ − +
+
dt = ln ( t 2 − 9 ) − ln t = ln
= ln
Vậy :
÷
4 9
9 4 t t −3 t +3 9
t 4 9 35
- Với x=-3 : 9C=1 → C =
* Chú ý : Nếu theo phương pháp chung thì đặt : x = 3sin t → dx = 3cos tdt .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 23
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
7
x = 7 → 7 = 3sin t ↔ sin t =
3
Khi :
. Như vậy ta không sử dụng được phương pháp
4
x = 4 → 4 = 3sin t ↔ sin t = > 1
3
này được .
1
b.
∫
0
(x
2
− x ) dx
x +1
2
1
1
x2
=∫
x +1
2
0
dx − ∫
0
x
x +1
2
dx = J − K
( 1)
* Để tính J :
1
π
dx = cos 2t dt , x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 4
1
Đặt : x = tan t ⇒
. Tính tích phân này khơng đơn
tan 2 t.
dt
2
tan 2 t
cos t =
dt
f ( x)dx =
cost
1 + tan 2 t
giản , vì vậy ta phải có cách khác .
x2
- Từ : g ( x) =
x2 + 1
=
x2 + 1 −1
x2 + 1
= x2 + 1 −
1
1
x2 + 1
1
1
⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x 2 + 1dx − ∫
0
0
0
1
x2 + 1
- Hai tích phân này đều tính được .
1
1 2
1 1 x2
1
+/ Tính : E = ∫ x + 1dx =x x + 1 − ∫ 2 dx = 2 − ∫ x + 1dx − ∫ 2 dx ÷
0 0 x +1
x +1
0
0
0
1
2 1
= 2 − E + ln x + x 2 + 1 ⇒ 2 E = 2 + ln 1 + 2 ⇔ E =
+ ln 1 + 2
0
2 2
1
1
1
1
x
1
dx = x 2 + 1 = 2 − 1 ; ∫
dx = ln x + x 2 + 1 = ln 1 + 2
* Tính K= ∫ 2
0
0
x +1
x2 + 1
0
0
1
2
2
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
2 1
2 3
+ ln 1 + 2 + ln 1 + 2 =
+ ln 1 + 2
2 2
2 2
3 5
3
3
x − 2 x3
x5
x3
c. ∫ 2 dx = ∫ 2 dx − 2 ∫ 2 dx = J − K ( 1)
x +1
x +1
x +1
0
0
0
2
2
x = t − 1; xdx = tdt ; x = 0 → t = 1, x = 3 → t = 2
2
2
2
- Tính J: Đặt t = x + 1 ⇒
x 4 xdx ( t − 1) tdt
=
= ( t 4 − 2t 2 + 1) dt
f ( x)dx =
2
t
x +1
Do vậy : I=
2
2
1
5
4
2
3
Suy ra : J= ∫ ( t − 2t + 1) dt = t − t + t ÷ =
1
1
5
2
3
38
15
x 2 = t 2 − 1; xdx = tdt ; x = 0 → t = 1, x = 3 → t = 2
2
2
- Tính K: Đặt t = x + 1 ⇒
x 2 xdx ( t − 1) tdt
=
= ( t 2 − 1) dt
f ( x)dx =
2
t
x +1
2
1 3 2 4
2
Suy ra : K= ∫ ( t − 1) dt = t − t ÷ =
3
1 3
1
28 4 48 16
Vậy : I= + = =
15 3 15 5
Trang 24
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
)
dx
Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : T2 năm 2012 )
1
d.
∫ (1− x )
2 3
0
π
dx = costdt. x=0 → t=0;x=1 → t= 2
dx . Đặt : x = sin t →
f ( x )dx = ( 1 − x 2 ) 3 dx = cos 6tcostdt=cos 4tdt
π
2
2
π
2
π
2
Do đó I= ∫ 1 − cos2t dt = 1 ∫ 1 − 2 cos 2t + 1 + cos4t dt = ∫ 3 − 1 cos2t+ 1 cos4t dt
÷
÷
÷
0
2
4 0
2
0
4
2
8
π
1
3π
3 1
= t − sin 2t + sin 4t ÷ 2 =
32
8
4 4
0
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218
Trang 25
