Bài giảng trọng tâm Toán 11: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

<span class='text_page_counter'>(1)</span>chương 2 − đường thẳng và mặt phẳng trong kh«ng gian − quan hÖ song song A. KiÕn thøc cÇn nhí. I. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng quan hÖ song song. 1. më ®Çu vÒ h×nh häc kh«ng gian. Quan hÖ thuéc: Trong kh«ng gian: a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:  §iÓm A thuéc ®­êng th¼ng d, kÝ hiÖu a ∈ d.  §iÓm A kh«ng thuéc ®­êng th¼ng d, kÝ hiÖu a ∉ d. b. Với một điểm A và một mặt phẳng (P) có thể xảy ra hai trường hợp:  §iÓm A thuéc mÆt ph¼ng (P), kÝ hiÖu a ∈ (P).  §iÓm A kh«ng thuéc mÆt ph¼ng (P), kÝ hiÖu a ∉ (P). H×nh biÓu diÔn cña mét h×nh trong kh«ng gian: §Ó vÏ h×nh biÓu diÔn cña mét h×nh trong không gian, người ta đưa ra những quy tắc, chẳng hạn như:  §­êng th¼ng ®­îc biÓu diÔn bëi ®­êng th¼ng. §o¹n th¼ng ®­îc biÓu diÔn bëi ®o¹n th¼ng.  Hai ®­êng th¼ng song song (hoÆc c¾t nhau) ®­îc biÓu diÔn bëi hai ®­êng th¼ng song song (hoÆc c¾t nhau).  §iÓm A thuéc ®­êng th¼ng a ®­îc biÓu diÔn bëi mét ®iÓm A' thuéc ®­êng thẳng a', trong đó a' biểu diễn cho đường thẳng a.  Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn để biểu diễn cho những đường bị khuất. 2. c¸c tÝnh chÊt thõa nhËn cña h×nh häc kh«ng gian TÝnh chÊt thõa nhËn 1: TÝnh chÊt thõa nhËn 2: TÝnh chÊt thõa nhËn 3: TÝnh chÊt thõa nhËn 4:. TÝnh chÊt thõa nhËn 5:. Cã mét vµ chØ mét ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ph©n biệt cho trước. Cã mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm kh«ng thẳng hàng cho trước. Tån t¹i bèn ®iÓm kh«ng cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng. NÕu hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt cã mét ®iÓm chung th× chóng cã mét ®­êng th¼ng chung duy nhÊt chøa tÊt c¶ các điểm chung của hai mặt phẳng đó. §­êng th¼ng dã ®­îc gäi lµ giao tuyÕn cña hai mÆt phẳng đó. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.. 313.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §Þnh lÝ: NÕu mét ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ph©n biÖt cña mét mÆt ph¼ng th× mäi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. 3. điều kiện xác định mặt phẳng. Có bốn cách xác định một mặt phẳng: Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C kh«ng th¼ng hµng cña mÆt ph¼ng, kÝ hiÖu (ABC). Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và mét ®iÓm A kh«ng thuéc d, kÝ hiÖu (A, d). Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau a, b, kÝ hiÖu (a, b). Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng song song a, b, kÝ hiÖu (a, b). 4. H×nh chãp vµ h×nh tø diÖn. §Þnh nghÜa: Cho ®a gi¸c A1A2...An vµ cho ®iÓm S n»m ngoµi mÆt ph¼ng chøa ®a giác đó. Nối S với các đỉnh A1, A2, ..., An ta được n miền tam giác SA1A2, SA2A3, ..., SAn−1An. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2...An được gọi là hình chóp S.A1A2...An. S Trong đó:  Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.  Đa giác A1A2...An gọi là mặt đáy của hình chãp. A6  C¸c ®o¹n th¼ng A1A2, A2A3, ..., An−1An gäi lµ c¸c A1 cạnh đáy của hình chóp. A5  C¸c ®o¹n th¼ng SA1, SA2, ..., SAn gäi lµ c¸c A2 c¹nh bªn cña h×nh chãp. A3 P A4  C¸c miÒn tam gi¸c SA1A2, SA2A3, ..., SAn−1An gäi lµ c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp. Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, .. thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ....  Chó ý: 1. H×nh chãp tam gi¸c cßn gäi lµ h×nh tø diÖn. 2. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.. II. Hai ®­êng th¼ng song song 1. vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt. Cho 2 đường thẳng a và b. Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của 2 đường thẳng ta có bốn trường hợp sau: 314.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a. Hai ®­êng th¼ng song song: cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng vµ kh«ng cã ®iÓm chung, tøc lµ: a ⊂ ( P ) vµ b ⊂ ( P ) a // b ⇔  . a ∩ b = φ b. Hai ®­êng th¼ng c¾t nhau: chØ cã mét ®iÓm chung. a c¾t b ⇔ a ∩ b = {I}. c. Hai ®­êng th¼ng trïng nhau: cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt. a ∩ b = {A, B} ⇔ a ≡ b. d. Hai ®­êng th¼ng chÐo nhau: kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. a chéo b ⇔ a, b không đồng phẳng. a P. I. b P. a//b. a c¾t b. a b. b. a b. P. a≡b. a,b chÐo nhau. a. 2. Hai ®­êng th¼ng song song. TÝnh chÊt 1: Trong kh«ng gian, qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®­êng th¼ng cã mét vµ chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. TÝnh chÊt 2: Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®­êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau. Tøc lµ: a // c ⇒ a // b.  b // c Định lí (Về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Tøc lµ, víi α, β, γ ph©n biÖt vµ tho¶ m·n: α ∩ γ = a a // b // c  . β ∩ γ = b ⇒  a, b, c đồngquy α ∩ β = c  Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó). Tøc lµ: a ∈ α vµ b ∈ β  ⇒ c // a // b. a // b α ∩ β = c . 315.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> III. §­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho ®­êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng (P). C¨n cø vµo sè ®iÓm chung cña ®­êng th¼ng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a. §­êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng (P) kh«ng cã ®iÓm chung, tøc lµ: a ∩ (P) = ∅ ⇔ a // (P). b. §­êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng (P) chØ cã mét ®iÓm chung, tøc lµ: a ∩ (P) = {A} ⇔ a c¾t (P) t¹i A. c. §­êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng (P) cã 2 ®iÓm chung ph©n biÖt, tøc lµ: a ∩ (P) = {A, B} ⇔ a ⊂ (P). a a. P a∩(P) = ∅ ⇔ a // (P). P. A. a∩(P) = {A} ⇔ a c¾t (P). P. a B. A. a∩(P)={A, B} ⇔ a⊂(P). §Þnh nghÜa: Mét ®­êng th¼ng vµ mét mÆt ph¼ng gäi lµ song song víi nhau nÕu chóng kh«ng cã ®iÓm chung. 2. điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng. §Þnh lÝ 1: NÕu ®­êng th¼ng a kh«ng n»m trong mÆt ph¼ng (P) vµ song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song víi (P). Tøc lµ, víi a ⊄ (P) th× nÕu: a // d ⊂ (P) ⇒ a // (P).. a P. d. 3. tÝnh chÊt. §Þnh lÝ 2: NÕu ®­êng th¼ng a song song víi mÆt ph¼ng (P) th× mäi mÆt ph¼ng (Q) chøa a mµ c¾t (P) th× sÏ c¾t theo mét giao tuyÕn song song víi a. Q Tøc lµ, nÕu: a a //( P ) ⇒ a // d.  d a ⊂ (Q) ∩ ( P ) = d P HÖ qu¶ 1: NÕu mét ®­êng th¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng th× nã song song víi một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. HÖ qu¶ 2: NÕu hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®­êng th¼ng th× giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó. Q Tøc lµ: d ( P ) ∩ (Q) = d a  ⇒ d // a. ( P ) // a P (Q) // a  316.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> §Þnh lÝ 3: NÕu a vµ b lµ hai ®­êng th¼ng chÐo nhau th× qua a cã mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng song song víi b.. IV. Hai mÆt ph¼ng song song 1. vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt. Cho 2 mÆt ph¼ng (P) vµ (Q). C¨n cø vµo sè ®­êng th¼ng chung cña 2 mÆt ph¼ng ta có ba trường hợp sau: a. Hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) kh«ng cã ®­êng th¼ng chung, tøc lµ: (P) ∩ (Q) = ∅ ⇔ (P) // (Q). b. Hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) chØ cã mét ®­êng th¼ng chung, tøc lµ: (P) ∩ (Q) = a ⇔ (P) c¾t (Q). c. Hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) cã 2 ®­êng th¼ng chung ph©n biÖt, tøc lµ: (P) ∩ (Q) = {a, b} ⇔ (P) ≡ (Q). Q P (P)∩ (Q) = ∅ ⇔ (P)//(Q). a. P Q. (P)∩ (Q) = a ⇔ (P) c¾t (Q). P. Q. (P)∩(Q) = {a, b} ⇔ (P)≡(Q). §Þnh nghÜa: Hai mÆt ph¼ng gäi lµ song song nÕu chóng kh«ng cã ®iÓm chung. 2. điều kiện để hai mặt phẳng song song. §Þnh lÝ 1: NÕu mÆt ph¼ng (P) chøa hai ®­êng th¼ng a, b c¾t nhau vµ cïng song song víi mÆt ph¼ng (Q) th× (P) song song (Q). Tøc lµ: a b P a, b ∈ ( P )  ⇒ (P) // (Q). a c¾ t b Q a //(Q) vµ b //(Q)  3. tÝnh chÊt. TÝnh chÊt 1: Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét mÆt ph¼ng, cã mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng song song với mặt phẳng đó. Tøc lµ: O ∈ (Q) O ∉ (P) ⇒ ∃!(Q):  . ( P ) //(Q) Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:  Trong (P) dùng a, b c¾t nhau.  Qua O dùng a1 // a, b1 // b.  MÆt ph¼ng (a1, b1) lµ mÆt ph¼ng qua O vµ song song víi (P).. 317.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HÖ qu¶ 1: NÕu ®­êng th¼ng a song song víi mÆt ph¼ng (Q) th× qua a cã mét vµ chØ mét mÆt ph¼ng (P) song song víi (Q). HÖ qu¶ 2: Hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mÆt ph¼ng thø ba th× song song víi nhau. TÝnh chÊt 2: NÕu hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) song song th× mäi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và c¸c giao tuyÕn cña chóng song song. a P Tøc lµ: b ( P ) //(Q) Q  a = ( P ) ∩ (R) ⇒ a // b. R b = (Q ) ∩ ( R )  4. §Þnh lÝ Ta−lÐt trong kh«ng gian. Định lí 2 (Định lí Ta−lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. a b Tøc lµ: A1 A2 P ( P ) //(Q) //( R)  a ∩ ( P ) = A 1 vµ a ∩ (Q) = B 1 vµ a ∩ (R) = C 1 B2 Q B1 b ∩ ( P ) = A vµ b ∩ (Q) = B vµ b ∩ (R) = C 2 2 2  A1B1 B 1C 1 A 1C 1 C2 C1 = = . ⇒ R B 2C2 A2B2 A2C2 Định lí 3 (Định lí Ta−lét đảo): Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a1 và a2 lần lượt lấy các điểm A1, B1, C1 và A2, B2, C2 sao cho: A1B1 A C B C = 1 1 = 1 1 A2C2 B 2C2 A2B2 Khi đó, ba đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tøc lµ chóng cïng song song víi mét mÆt ph¼ng. 5. h×nh l¨ng trô vµ h×nh hép. §Þnh nghÜa h×nh l¨ng trô: H×nh l¨ng trô lµ mét h×nh ®a diÖn cã hai mÆt n»m trong hai mÆt ph¼ng song song gọi là hai đáy và tất c¶ c¸c c¹nh kh«ng thuéc hai đáy đều song song với nhau. Trong đó:  Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên cña h×nh l¨ng trô. 318. Q. A’6. A’1 A’2 A’3 A’4. P. A1 A2. A’5 A6. A3. A4. A5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  . C¹nh chung cña hai mÆt bªn gäi lµ c¹nh bªn cña h×nh l¨ng trô. Tuỳ theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,.... Tõ a. b. c.. định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: C¸c c¹nh bªn song song vµ b»ng nhau. C¸c mÆt bªn vµ c¸c mÆt chÐo lµ nh÷ng h×nh b×nh hµnh. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.. Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Từ định nghĩa của hình hộp, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là h×nh hép ch÷ nhËt. b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương. D1 C1 D1 D1 C1 C1 B1 B1 A1 B1 A1 A1 D A.  Chó ý:. D. C B. A. D. C B. A. C B. C¸c ®­êng chÐo cña h×nh hép c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng.. 6. h×nh chãp côt. §Þnh nghÜa: Cho h×nh chãp SA1A2...An. Mét mÆt ph¼ng S (P) song song víi mÆt ph¼ng chøa ®a gi¸c đáy cắt các cạnh SA1, SA2, ..., SAn theo thứ A’5 tù t¹i A’1, A’2, ..., A’n. H×nh t¹o bëi thiÕt diÖn A’1 A’4 A’1A’2 ...A’n và đáy A1A2...An của hình chóp P A’2 A’3 cïng víi c¸c mÆt bªn A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, ..., AnA1A’1A’n gäi lµ mét h×nh A5 chãp côt. A4 A1 A2 Trong đó: A3  Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.  C¸c mÆt cßn l¹i gäi lµ c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp côt.  C¹nh chung cña hai mÆt bªn kÒ nhau nh­ A1A’1, A2A’2, ...AnA’n gäi lµ c¹nh bªn cña h×nh chãp côt. Tuỳ theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, .. ta có hình chóp cụt tam giác, hình chãp côt tø gi¸c, h×nh chãp côt ngò gi¸c, ... 319.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÝnh chÊt: Víi h×nh chãp côt, ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. 2. C¸c mÆt bªn cña h×nh chãp côt lµ c¸c h×nh thang. 3. Cách cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.. V. PhÐp chiÕu song song 1. PhÐp chiÕu song song. l. M Cho mÆt ph¼ng α vµ mét ®­êng th¼ng l kh«ng song song víi α. Víi mçi ®iÓm M trong kh«ng gian, ®­êng th¼ng qua M song song víi l sÏ c¾t α t¹i ®iÓm M’. §iÓm M’ ®­îc gäi lµ M’ α h×nh chiÕu song song cña ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng α theo phương l. MÆt ph¼ng α gäi lµ mÆt ph¼ng chiÕu. Định nghĩa: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nã trªn α ®­îc gäi lµ phÐp chiÕu song song lªn mÆt ph¼ng α theo phương l..  Chó ý:. NÕu a // l th× h×nh chiÕu cña a lªn α lµ mét ®iÓm trªn α (chÝnh lµ giao ®iÓm cña a víi α), do vËy c¸c tÝnh chÊt trong phÇn sau chØ xÐt nh÷ng ®o¹n th¼ng hoÆc ®­êng th¼ng kh«ng song song víi l.. 2. tÝnh chÊt. TÝnh chÊt 1: H×nh chiÕu song song cña mét ®­êng th¼ng lµ mét ®­êng th¼ng. HÖ qu¶: H×nh chiÕu song song cña mét tia lµ mét tia, cña mét ®o¹n th¼ng lµ mét ®o¹n th¼ng. TÝnh chÊt 2: H×nh chiÕu song song cña hai ®­êng th¼ng song song lµ hai ®­êng th¼ng song song hoÆc trïng nhau. a b a b l l A A B α. A’. B’. a’. B. b’ α. A’. a’≡b’. Tính chất 3: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc song song hoặc cùng n»m trªn mét ®­êng th¼ng. Tøc lµ: AB A' B' . = BC B' C' 320. l. A α. B. C. A’ B’. C’.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3. H×nh biÓu diÔn cña mét h×nh kh«ng gian. Ta thường vẽ các hình không gian như hình chóp, hình lăng trụ, ... trên bảng hay trên trang giấy, các hình vẽ đó gọi là hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng. §Þnh nghÜa: H×nh biÓu diÔn cña mét h×nh H trong kh«ng gian lµ h×nh chiÕu song song của H lên một mặt phẳng nào đó theo một phương chiếu nào đó. Các yêu cầu đối với một hình biểu diễn: 1. Hình biểu diễn phải đúng: Để vẽ đúng chúng ta cần quan tâm tới các yếu tố được b¶o toµn sau: a. Sù th¼ng hµng vµ thø tù cña c¸c ®iÓm trªn mét ®­êng th¼ng. b. Sù song song cña c¸c ®­êng th¼ng, c¸c tia hoÆc c¸c ®o¹n th¼ng. c. Tỉ số độ dài của các đoạn thẳng cùng phương. Như vậy, các tính chất của hình không thay đổi qua phép chiếu song song đều ®­îc gi÷ nguyªn trªn h×nh biÓu diÔn. 2. Hình biểu diễn phải nổi: Giúp chúng ta dễ tưởng tượng. Chóng ta cã:  Tam gi¸c: Mét ∆ABC cã thÓ xem lµ h×nh biÓu diÔn cña mét tam gi¸c bÊt k× (đều, cân, vuông).  H×nh b×nh hµnh: Mét h×nh b×nh hµnh ABCD cã thÓ xem lµ h×nh biÓu diÔn cña c¸c lo¹i h×nh b×nh hµnh nh­ h×nh vu«ng, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi vµ h×nh b×nh hµnh bÊt k×.  §­êng trßn: §Ó biÓu diÔn ®­êng trßn chóng ta sö dông mét h×nh ElÝp.. B Phương pháp giải các dạng toán liên quan. Đ1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Dạng toán 1: Sử dụng các tính chất thừa nhận để xét vị trí tương đối của ®iÓm, ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Phương pháp áp dụng 1. §Ó biÕt khi nµo mét ®iÓm thuéc mét mÆt ph¼ng, ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:  Giả sử (P) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C thì khi đó A, B, C đều thuéc (P).  Nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), thì khi đó điểm M thuộc a đều thuéc (P). 2. §Ó chøng minh ®­êng th¼ng a n»m trong mÆt ph¼ng (P) ta ®i chøng minh tån t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B thuéc a vµ thuéc (P).  Nếu mặt phẳng (P) cố định thì ta khẳng định được thêm rằng "Đường thẳng a nằm trong một mặt phẳng cố định (P)".  Nếu hai điểm A, B cố định thì ta khẳng định được thêm rằng "Mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng cố định a". 321.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Thí dụ 1. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì chúng đồng quy hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng..  Gi¶i. Víi ba ®­êng th¼ng ph©n biÖt a, b, c. Gi¶ sö: a ∩ b = {A}, b ∩ c = {B}, c ∩ a = {C}. Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Ba điểm A, B, C là ba điểm phân biệt. Do a, b, c phân biệt nên A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Vậy chúng xác định một mặt phẳng (ABC). Ta cã:  §­êng th¼ng a cã hai ®iÓm A, C thuéc (ABC), nªn a ∈ (ABC).  Tương tự b ∈ (ABC) và c ∈ (ABC). VËy, ba ®­êng th¼ng a, b, c cïng thuéc mét mÆt ph¼ng (ABC). Trường hợp 2: Hai trong ba điểm A, B, C trùng nhau, giả sử A ≡ B. NÕu A ≠ C th× a ≡ c, m©u thuÉn. Do đó, ta phải có: A ≡ C ⇔ A ≡ B ≡ C ⇔ a, b, c đồng quy. Vậy, ba đường thẳng a, b, c đồng quy..  Chú ý: Kết quả của ví dụ trên gọi ý một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy.. ThÝ dô 2..  Gi¶i. a. Cho n điểm (n ≥ 4) trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Chøng minh r»ng kh«ng cã ba ®iÓm nµo trong chóng th¼ng hµng. b. Cho n điểm (n ≥ 4) trong đó bất kì bốn điểm nào cũng đồng phẳng. Chứng minh rằng n điểm đó đồng phẳng.. Víi n ®iÓm A1, A2, A3, A4, ...An. a. Gi¶ sö tr¸i l¹i cã ba ®iÓm A1, A2, A3 th¼ng hµng, suy ra cã bèn ®iÓm A1, A2, A3, A4 đồng phẳng − mâu thuẫn. b. Nếu các điểm A1, A2, A3, A4, ...An thẳng hàng thì rõ ràng chúng đồng phẳng. NÕu c¸c ®iÓm A1, A2, A3, A4, ...An kh«ng th¼ng hµng th× tån t¹i ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng (gi¶ sö lµ A1, A2, A3), ta ®­îc mÆt ph¼ng (A1A2A3). Vì bốn điểm bất kì của n điểm đã cho đều đồng phẳng, tức: (A1, A2, A3, Ai), i ≥ 4 đồng phẳng ⇒ Ai ∈ (A1A2A3), i ≥ 4. Tức n điểm đã cho đồng phẳng.. ThÝ dô 3. Trong mÆt ph¼ng α, cho gãc x¤y. A lµ ®iÓm ngoµi α. M, N lµ hai ®iÓm di động lần lượt trên Ox, Oy. 1. Gi¶ sö OM = ON. Chøng minh r»ng trung tuyÕn AP cña ∆AMN luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. 322.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2. Gọi d là đường thẳng cố định qua A và cắt α tại một điểm không.  Gi¶i. thuộc Ox, Oy. MN di động nhưng luôn cắt d. a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. b. Gọi B là điểm cố định trên d, B ≠ A và không thuộc α. AM và BN cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng Q thuộc đồng thời hai mặt phẳng cố định. Suy ra Q thuộc một đường thẳng cố định.. 1. Ta cã: OM = ON ⇒ P thuộc Oz là tia phân giác của góc xÔy − cố định. Vậy, trung tuyến AP nằm trong mặt phẳng cố định (A, Oz). (d) 2. Giả sử d ∩ α = {P} − cố định. A (∆) a. Ta cã ngay: Q d ∩ MN = {P} cố định. Vậy, đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định P. M x B b. Ta cã: O  Q ∈ BN ⊂ (B, Oy) − cố định α P ⇒ Q ∈ (B, Oy) − cố định. N  Q ∈ AM ⊂ (A, Ox) − cố định y ⇒ Q ∈ (A, Ox) − cố định. Vậy, điểm Q thuộc đường thẳng cố định ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định (A, Ox) và (B, Oy).. D¹ng to¸n 2: T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng Phương pháp áp dụng Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, cụ thể để t×m ®iÓm chung M cña hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) ta thường thực hiện:  T×m trong (P) ®­êng th¼ng a ®i qua M. P  T×m trong (Q) ®­êng th¼ng b ®i qua M. Khi đó M chính là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q). Bước 2: Đường thẳng qua 2 điểm chung đó là giao tuyến.. b Q. M. a. Thí dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có hai cạnh AB và CD cắt nhau. Gäi C' lµ mét ®iÓm n»m gi÷a S vµ C. H·y t×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (ABC') víi c¸c mÆt ph¼ng (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SAD)..  Gi¶i. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: 323.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> C¸ch 1: Tõ gi¶ thiÕt, gi¶ sö AB c¾t CD t¹i M. Nối MC' cắt SD tại D', khi đó ta nhận được: (ABC') ∩ (ABCD) = AB, (ABC') ∩ (SAB) = AB, (ABC') ∩ (SBC) = BC', (ABC') ∩ (SCD) = C'D', (ABC') ∩ (SAD) = AD'. C¸ch 2: Gi¶ sö AC c¾t BD t¹i O. Trong mÆt ph¼ng (SAC), ta cã AC' ∩ SO = {I}. Nối BI cắt SD tại D', khi đó ta nhận được: (ABC') ∩ (ABCD) = AB, (ABC') ∩ (SAB) = AB, (ABC') ∩ (SBC) = BC', (ABC') ∩ (SCD) = C'D', (ABC') ∩ (SAD) = AD'.. . S D' I. A. C'. O. D C. B M. NhËn xÐt: Tø gi¸c ABC'D' c¸c c¹nh n»m trªn nh÷ng giao tuyÕn cña mÆt phẳng (ABC') với các mặt của hình chóp S.ABCD. Tứ giác đó ®­îc gäi lµ thiÕt diÖn (hay mÆt c¾t) cña h×nh chãp S.ABCD c¾t bëi mÆt ph¼ng (ABC').. ThÝ dô 2. Trong mÆt ph¼ng α, cho tø gi¸c ABCD cã AB c¾t CD t¹i E, AC c¾t BD t¹i F, S lµ mét ®iÓm kh«ng thuéc α. a. T×m giao tuyÕn cña (SAB) vµ (SCD). b. T×m giao tuyÕn cña (SAC) vµ (SBD). c. T×m giao tuyÕn cña (SEF) víi c¸c mÆt ph¼ng (SAD) vµ (SBC)..  Gi¶i. S a. Ta cã ngay S lµ ®iÓm chung cña (SAB) vµ (SCD). MÆt kh¸c: E ∈ AB ⊂ (SAB) ⇒ E ∈ (SAB). A B E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD). N VËy, ta ®­îc SE = (SAB) ∩ (SCD). F C M b. Tương tự câu a), ta được SF = (SAC) ∩ (SBD). D c. Giả sử EF cắt AD và BC theo thứ tự tại M, N. Khi đó:  (SEF) vµ (SAD) cã hai ®iÓm chung lµ S vµ M nªn cã giao tuyÕn lµ SM.  (SEF) vµ (SBC) cã hai ®iÓm chung lµ S vµ N nªn cã giao tuyÕn lµ SN..  Chó ý:. 324. E. Trong câu c) chúng ta đã sử dụng ý tưởng trong phần chú ý của bài toán 2 để thực hiện tìm điểm chung thứ hai, cụ thể:  Trong mÆt ph¼ng (SEF) ta chän ®­êng th¼ng EF.  Trong mÆt ph¼ng (SBC) ta chän ®­êng th¼ng BC.  Ta cã EF vµ BC cïng n»m trong mÆt ph¼ng (ABCD) vµ EF ∩ BC = {N}.  Do đó N là điểm chung của hai mặt phẳng (SEF) và (SBC). §èi víi vÝ dô trªn, ®iÒu nµy rÊt trùc quan vµ thÊy ngay ®­îc. Tuy nhiªn, một vài bài toán các em học sinh cần hiểu được bản chất của vấn đề míi cã ®­îc lùa chän thÝch hîp..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> D¹ng to¸n 3: T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Phương pháp áp dụng Cho ®­êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng (P), gi¶ sö a c¾t (P). §Ó t×m giao ®iÓm A cña a và (P), ta lựa chọn một trong hai hướng sau: Hướng 1: Nếu trong mặt phẳng (P) có sẵn một đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A chính là giao điểm của a và (P). Q a Hướng 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a A sao cho giao tuyÕn c cña (P) vµ P c (Q) dễ xác định. Bước 2: Trong (Q), đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao ®iÓm cña a vµ (P). ThÝ dô 1. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD n»m trong mÆt ph¼ng (P) vµ ®iÓm S n»m ngoµi mÆt ph¼ng (P). Gäi M lµ ®iÓm n»m gi÷a S vµ A; N lµ ®iÓm n»m gi÷a S vµ B; giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng AC vµ BD lµ O. a. T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng SO vµ mÆt ph¼ng (CMN). b. X¸c giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (SAD) vµ (CMN). S  Gi¶i a. Trong mÆt ph¼ng (SAC), ta cã: N K = SO ∩ CM ∈ (CMN) ⇒ SO ∩ (CMN) = K. M K b. Trong mÆt ph¼ng (SBD), kÐo dµi NK c¾t SD t¹i E. B C VËy, ta ®­îc (SAD) ∩ (CMN) = ME. E.  NhËn xÐt: Nh­ vËy, trong vÝ dô trªn:. O. A. D. i.. Với câu a) chúng ta đã sử dụng hướng 1 để xác định giao điểm cña ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng. ii. ViÖc sö dông kÕt qu¶ ë c©u a) gióp chóng ta nhanh chãng thùc hiện được câu b). Điều này cho thấy câu a) được đề xuất với gợi ý để thực hiện câu b). C¸c em häc sinh cÇn lµm quen dÇn víi viÖc gÆp c¸c bµi to¸n kh«ng có câu gợi ý, và khi đó để xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng các em cần linh hoạt sử dụng kiến thức trong việc xác định gi¸o ®iÓm cña ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng. ThÝ dô 2. Trong mÆt ph¼ng α, cho tø gi¸c ABCD, S lµ mét ®iÓm kh«ng thuéc α. M lµ ®iÓm trªn c¹nh SC. a. T×m giao ®iÓm cña AM vµ (SBD). b. Gäi N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC, t×m giao ®iÓm cña SD vµ (AMN)..  Gi¶i a. Chän mÆt ph¼ng phô (SAC) chøa AM.. 325.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, suy ra:. S. (SAC) ∩ (SBD) = SO. Trong mÆt ph¼ng (SAC), ta cã: SO ∩ AM = O1 ⇒ AM ∩ (SBD) = O1. b. Chän mÆt ph¼ng phô (SBD) chøa SD. Gäi N1 lµ giao ®iÓm cña AN vµ BD, suy ra: (SBD) ∩ (AMN) = N1O1. Trong mÆt ph¼ng (SBD), ta cã:. D1 O1. A. M B. N1 D. O. N C. N1O1 ∩ SD = D1 ⇒ SD ∩ (AMN) = D1.. ThÝ dô 3. Cho h×nh chãp S.ABCD. Gäi M lµ mét ®iÓm n»m trong ∆SCD. a. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (SBM) vµ (SAC). b. T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng BM vµ mÆt ph¼ng (SAC). c. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)..  Gi¶i. S a. Ta lần lượt thực hiện:  KÐo dµi SM c¾t c¹nh BC t¹i N. F  Nèi BN c¾t AC t¹i O. Khi đó: M A (SBM) ∩ (SAC) = SO. D I E b. Nèi BM c¾t c¹nh SC t¹i I. N O VËy, ta ®­îc I chÝnh lµ giao ®iÓm cña BM vµ (SAC). C c. Ta lần lượt thực hiện:  Nèi AI c¾t SC t¹i E. B  Nèi EM c¾t SD t¹i F. Khi đó, các đoạn thẳng AB, BE, EF, FA là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (ABM) víi h×nh chãp. VËy, thiÕt diÖn lµ tø gi¸c ABEF.. D¹ng to¸n 4: ThiÕt diÖn cña h×nh chãp Phương pháp áp dụng §Ó t×m thiÕt diÖn cña mét h×nh chãp víi mét mÆt ph¼ng (P), ta thùc hiÖn theo c¸c bước sau: Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mÆt cña h×nh chãp (cã thÓ lµ mÆt ph¼ng trung gian). Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định ®­îc giao tuyÕn víi c¸c mÆt nµy. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.. 326.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Thí dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong ∆BCD lÊy ®iÓm M sao cho hai ®­êng th¼ng KM vµ CD c¾t nhau. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng (HKM)..  Gi¶i. Gọi I = KM ∩ CD. Ta có hai trường hợp: A (a). A. H B. D. K. M C. I. (b). I1. H B. I. M M1. K. D. C. Trường hợp 1: Điểm I thuộc đoạn CD (Hình a). Khi đó ta được ba đoạn giao tuyến là HK, KI và IH. Do đó, thiết diện cần tìm là ∆HIK. Trường hợp 2: Điểm I ở ngoài đoạn CD (Hình b). Khi đó:  Gäi M1 = KM ∩ BD.  Nèi IH c¾t AD t¹i I1. Ta được 4 đoạn giao tuyến là HK, KI và IH. Do đó, thiết diện cần tìm là tứ giác HKM1I1.. . Nhận xét: Khi thực hiện ví dụ trên, một số em học sinh thường chỉ đưa ra ®­îc mét trong hîp vÒ thiÕt diÖn dùa theo tÝnh chñ quan khi thiÕt lËp vÞ trÝ cña ®iÓm M cho h×nh vÏ cña m×nh. CÇn lu«n nhí r»ng cã ba vị trí tương đối của điểm I (I thuộc đường thẳng CD, I khác C, D) so víi ®o¹n th¼ng CD. C¸c em häc sinh h·y thùc hiÖn thªm yªu cÇu "Cho h×nh chãp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các c¹nh SA, AB. Trong tø gi¸c ABCD lÊy ®iÓm M. T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (HKM)." Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc xác định thiết diện với điều kiện định lượng kèm theo.. Thí dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Mặt phẳng (P) đi qua SA và chia đáy hình chóp thành hai phần có diện tích bằng nhau. Xác định thiÕt diÖn cña h×nh chãp khi c¾t bëi mÆt ph¼ng (P). S.  Gi¶i. Gäi I lµ trung ®iÓm BD, dùng Ix // AC vµ Ix c¾t mét trong hai c¹nh CB hoÆc CD (gi¶ sö Ix c¾t CD t¹i J). D Khi đó, tam giác SAJ là thiết diện cần dựng. Bạn đọc cần đi chứng minh rằng "Đường thẳng AJ chia tứ gi¸c ABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau".. J I. O. C. B. A 327.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  Hoạt động: Các em học sinh hãy thực hiện thêm yêu cầu "Cho hình chóp S.ABC, xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P), biết mÆt ph¼ng (P) ®i qua SA vµ chia ∆ABC thµnh hai phÇn cã: a. DiÖn tÝch b»ng nhau. b. Chu vi b»ng nhau. Thí dụ 3. Cho tứ diện ABCD, độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ®iÓm c¸c c¹nh AC, BC, gäi P lµ träng t©m ∆BCD. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng (MNP)..  Gi¶i. a. Xác định thiết diện: Trong ∆BCD, ta thấy ngay N, P, D thẳng hàng. Suy ra MND lµ thiÕt diÖn cÇn dùng. b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn. A XÐt ∆MND, ta cã ngay: 1 MN = AB = a, v× MN lµ ®­êng trung b×nh. M 2 B D 2a 3 2a 3 P N = a 3 , MD = =a 3, ND = 2 2 C vì ND, MD là đường trung tuyến trong tam giác đều. nh­ vËy∆MND c©n t¹i D, gäi H lµ ch©n ®­êng cao h¹ tõ D, ta ®­îc: D 1 1 S∆MND = MN.DH = MN DM 2 − MH 2 2 2 2. =. . 1 a 2 11 a a. (a 3 )2 −   = . 2 4 2. M H N Nhận xét: Như vậy, đi kèm với yêu cầu xác định thiết diện của hình chóp chúng ta thường gặp thêm đòi hỏi "Tính diện tích của thiết diện". Và để tính được diện tích của thiết diện, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định được hình dạng đúng của thiết diện, từ đó thiết lËp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch. (1) Bước 2: Sử dụng kiến thức trong hình học phẳng tính các giá trị về độ dài đoạn thẳng cần tìm hoặc số đo góc. (2) Bước 3: Thay (2) vào (1), ta nhận được kết quả. Tuy nhiên, trong những trường hợp thiết diện không phải là hình c¬ b¶n chóng ta cÇn thùc hiÖn phÐp chia nhá h×nh hoÆc nguyªn lÝ phần bù để tính được diện tích của nó.. Thí dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là là điểm đối xứng với D qua C, K là là điểm đối xứng với D qua B. a. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng (IJK) b. Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a). 328.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  Gi¶i a. Xác định thiết diện: Ta có ngay:  Nèi I vµ K c¾t AB t¹i M.  Nèi I vµ J c¾t AC t¹i N. Suy ra ∆IMN lµ thiÕt diÖn cÇn dùng. b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn: DiÖn tÝch ∆IMN sÏ ®­îc tÝnh b»ng c«ng thøc Hª−r«ng. A Ta lần lượt có: 2 2a I  V× M lµ träng t©m ∆ADK nªn = AM = AB . M 3 3 N D B Khi đó, trong ∆AIM ta có: IM2 = AI2 + AM2 − 2AI.AM.cosA 2 2 C a 2a 13a 2  a   2a  =  +   − 2. . .cos 600 = 2 3 36 2  3  J a 13 ⇔ IM = . 6 2 2a  V× N lµ träng t©m ∆ADJ nªn = AN = AC . Khi đó: 3 3 a 13 ∆AIM = ∆AIN ⇒ IN = IM = . 6  Từ hai khẳng định trên, suy ra: MN AM 2 2 2a ⇔= MN // BC ⇒ = = MN = BC . BC AB 3 3 3 Từ đó, ta được: S∆= IMN. K.  a 13 a  a a  a 13 a  a 2 +  . . .  −= .   6 3 3 3 6 3 6    .  Hoạt động: Trong ví dụ trước, với thiết diện là ta giác cân chúng ta đi tính độ. dài đường cao của nó, từ đó nhận được diện tích thiết diện. Tuy nhiªn, trong vÝ dô trªn chóng ta l¹i sö dông c«ng thøc Hª−r«ng với mục đích giúp các em học sinh ôn tập thêm các công thức tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c. Khi cã thªm kiÕn thøc vÒ phÐp chiÕu trong kh«ng gian, c¸c em häc sinh có thể sử dụng một cách khác để tính diện tích ∆IMN.. D¹ng to¸n 5: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng Phương pháp áp dụng §Ó chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng, ta chøng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó.. Q P. A B. C. 329.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ThÝ dô 1. Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng A, B, C cïng n»m ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng..  Gi¶i. Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F, ta đi chứng minh ba ®iÓm D, E, F th¼ng hµng. Trước tiên, ta thấy ngay ba điểm D, E, F thuộc mặt phẳng (P). C MÆt kh¸c, ta cã: D ∈ BC ⊂ (ABC) ⇒ D ∈ (ABC). B A E ∈ CA ⊂ (ABC) ⇒ E ∈ (ABC). F ∈ AB ⊂ (ABC) ⇒ F ∈ (ABC). E F P D VËy, ta ®­îc: (ABC) ∩ (P) = {D, E, F} ⇒ D, E, F th¼ng hµng.. . Chú ý: Việc chứng minh được ba điểmA, B, C thẳng hàng với C cố định, chóng ta thùc hiÖn ®­îc yªu cÇu "Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AB luôn đi qua một điểm cố định".. Thí dụ 2. Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm A, B cố định ở ngoài (P) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm C. M là điểm di động trong không gian sao cho MA, MB c¾t (P) t¹i A1, B1. Chøng minh A1B1 lu«n ®i qua một điểm cố định..  Gi¶i. Trước tiên, ta thấy C là một điểm cố định. NhËn xÐt r»ng: α ∩ (MAB) = {A1, B1, C} ⇒ A1, B1, C th¼ng hµng ⇔ A1B1 luôn đi qua điểm cố định C.. M A P. B B1. O. Dạng toán 6: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp áp dụng Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng a minh giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng nµy lµ ®iÓm b chung cña hai mÆt ph¼ng mµ giao tuyÕn lµ ®­êng c th¼ng thø ba.. C. Q P. I. ThÝ dô 3. Trong mÆt ph¼ng α, cho ∆BCD, A lµ mét ®iÓm kh«ng thuéc α. Gäi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng quy..  Gi¶i. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:. 330.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> C¸ch 1: Gäi O lµ giao ®iÓm cña HF vµ IG. Ta cã: A O ∈ HF ⊂ (ACD) ⇒ O ∈ (ACD). E O ∈ IG ⊂ (BCD) ⇒ O ∈ (BCD). Suy ra: B O ∈ (ACD) ∩(BCD) = CD. G Vậy, ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại O. D C¸ch 2: Gäi O lµ giao ®iÓm cña HF vµ CD. Ta cã: O ∈ HF ⊂ (HEF) ⇒ O ∈ (HEF). H O ∈ CD ⊂ (BCD) ⇒ O ∈ (BCD). Suy ra: O ∈ (HEF) ∩(BCD) = CD. Vậy, ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại O. Cách 3: Gọi O là giao điểm của IG và CD − Bạn đọc tự thực hiện.. F O. I C.  NhËn xÐt: Nh­ vËy, ba c¸ch gi¶i trong vÝ dô trªn chØ mang tÝnh minh ho¹. Thí dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB, E lµ giao ®iÓm cña hai c¹nh bªn cña h×nh thang ABCD vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ECD. a. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm S, E, M, G cïng thuéc mét mÆt ph¼ng (α) vµ mÆt ph¼ng nµy c¾t c¶ hai mÆt ph¼ng (SAC) vµ (SBD) theo cïng mét giao tuyÕn d. b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). c. LÊy mét ®iÓm K trªn ®o¹n SE vµ gäi C’ = SC ∩ KB, D’ = SD ∩ KA. Chứng minh rằng AC’, BD’ và đường thẳng d nói trên đồng quy..  Gi¶i. a. V× ABCD lµ h×nh thang nªn: EM ®i qua trung ®iÓm cña CD ⇒ G ∈ EM ⇒ S, E, M, G cïng thuéc mÆt ph¼ng (α). b. Giả sử AC cắt BD tại O thì O ∈ EM, từ đó suy ra ba mặt phẳng (α), (SAC) và (SBD) c¾t nhau theo giao tuyÕn SO. S Ta cã ngay: (SAD) ∩ (SBC) = SE. D' K C' c. Gi¶ sö AC' c¾t BD' t¹i O', suy ra: M O' ∈ AC' ⊂ (SAC) ⇒ O' ∈ (SAC), A B O O' ∈ BD' ⊂ (SBD) ⇒ O' ∈ (SBD), D C G từ đó, suy ra: O' ∈ (SAC) ∩ (SBD) = d. E Thí dụ 5. Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy. 331.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>  Gi¶i. A Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi M lµ trung ®iÓm CD, ta cã nhËn xÐt: 1 MG A MG B = ⇒ GAGB // BA. = G GB 3 MB MA B D Gäi G lµ giao ®iÓm cña AGA vµ BGB, ta cã: GA M GAG GBG GAGB 1 = . = = C AG BG AB 3 Chứng minh tương tự ta cũng nhận được khẳng định AGA và CGC cũng cắt nhau tại G. Vậy, ba đoạn AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy tại G. C¸ch 2: Gäi G lµ träng t©m cña tø diÖn ABCD (trung ®iÓm ®o¹n MN). Nèi AG c¾t BN t¹i A', ta cÇn chøng minh A' lµ träng t©m ∆BCD. A Kẻ NN' song song với AA' (N' ∈ BM), khi đó: NN' lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ABA' Q N ⇒ N'B = N'A'. (1) G B D GA' lµ ®­êng trung b×nh cña ∆N'MN N' A' ⇒ N'A' = MA'. (2) P M Tõ (1) vµ (2) suy ra BA' = 2MA'. C Vµ v× A' thuéc trung tuyÕn BM cña ∆BCD nªn A' lµ träng t©m ∆BCD, tøc lµ A' ≡ GA hay nãi c¸ch kh¸c AGA ®i qua G. Chứng minh tương tự, ta có BGB, CGC đi qua G. Vậy, ba đoạn AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy tại G.. D¹ng to¸n 7: (Bµi to¸n quü tÝch): T×m tËp hîp giao ®iÓm cña hai ®­êng thẳng di động Phương pháp áp dụng Gọi M là giao điểm hai đường thẳng di động d1, d2. Để tìm tập hợp các điểm M ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Phần thuận: Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d1 và d2. M di động trên giao tuyến cố định d của hai mặt phẳng đó. Bước 2: Giới hạn (nếu có) được tập d . Bước 3: Phần đảo: Gọi M là điểm bất kỳ trên d , ta đi chứng minh M là giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2. Bước 4: Kết luận..  Chó ý: 332. Nếu d di động nhưng luôn đi qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a không qua A thì d thuộc mặt phẳng cố định (A, a)..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ThÝ dô 1. Trong mÆt ph¼ng α, cho tø gi¸c ABCD cã AB vµ CD kh«ng song song. S là một điểm không thuộc α, M là điểm di động trên cạnh SB. Mặt ph¼ng (ADM) c¾t SC t¹i N. T×m tËp hîp giao ®iÓm cña AM vµ DN. S  Gi¶i PhÇn thuËn: Ta cã: P M AM ⊂ (SAB) − cố định. N Mặt khác, vì DN đi qua điểm cố định D và cắt D A đường thẳng cố định SC nên: DN ⊂ (SCD) − cố định. C B Gi¶ sö AB c¾t CD t¹i O, ta cã ngay: (SAB) ∩ (SCD) = SO. O Vậy, tập hợp giao điểm P của AM và định nghĩa thuộc đường thẳng SO. Giíi h¹n: Khi M di chuyÓn trªn c¹nh SB th× P di chuyÓn trªn ®o¹n SO. Phần đảo: Gọi P là điểm bất kỳ trên SO.  Nèi AP c¾t SB t¹i M.  Nèi DP c¾t SC t¹i N, N lµ giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng (ADM) víi SC vµ P chÝnh lµ giao ®iÓm cña AM vµ DN. KÕt luËn: VËy tËp hîp c¸c ®iÓm P lµ ®o¹n SO.. §2. Hai ®­êng th¼ng song song D¹ng to¸n 1: Chøng minh hai ®­êng th¼ng chÐo nhau Phương pháp áp dụng Để chứng minh hai đường thẳng a, b chéo nhau, ta thường sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, cụ thể ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Giả sử a, b không chéo nhau, tức là có một mặt phẳng (P) chứa cả a và b. Bước 2: Suy ra một kết luận vô lý (trái với giả thiết hoặc trái với các tiên đề, các định lí). Bước 3: Kết luận rằng hai đường thẳng a, b chéo nhau. ThÝ dô 1. Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lµ hai ®iÓm ph©n biÖt cïng thuéc ®­êng th¼ng AB; P, Q lµ hai ®iÓm ph©n biÖt cïng thuéc ®­êng th¼ng CD. XÐt vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của hai ®­êng th¼ng MP, NQ. A  Gi¶i a. Hai ®­êng th¼ng MQ, NP chÐo nhau, bëi nÕu tr¸i l¹i M tøc lµ: N MQ và NP đồng phẳng B D ⇒ bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng P ⇒ MN và PQ đồng phẳng Q ⇒ AB và CD đồng phẳng, điều này là mâu thuẫn. C 333.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> b. Hai ®­êng th¼ng MP, NQ chÐo nhau, bëi nÕu tr¸i l¹i tøc lµ: MP và NQ đồng phẳng ⇒ bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ MN và PQ đồng phẳng ⇒ AB và CD đồng phẳng điều đó là mâu thuẫn.. ThÝ dô 2. Cho hai ®­êng th¼ng chÐo nhau a, b. Trªn a lÊy hai ®iÓm ph©n biÖt A, B; trªn b lÊy hai ®iÓm ph©n biÖt C, D. a. Chøng minh r»ng AC vµ BD chÐo nhau. b. M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AC, N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD. MN cã thÓ song song víi AB hoÆc CD ®­îc kh«ng ? c. O lµ ®iÓm trªn ®o¹n MN. Chøng minh r»ng AO c¾t CN, vµ BO c¾t DM. A  Gi¶i a. Gi¶ sö AC vµ BD kh«ng chÐo nhau, suy ra: AC và BD đồng phẳng ⇒ AB và CD đồng phẳng M O ®iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. B VËy, ta cã AC vµ BD chÐo nhau. C b. MN kh«ng thÓ song song víi AB hoÆc CD bëi: a N  NÕu MN // AB th×: MN và AB đồng phẳng D b ⇒ AM và BN đồng phẳng ⇔ AC và BD đồng phẳng điều đó mâu thuẫn.  NÕu MN // CD th×: MN và CD đồng phẳng ⇒ CM và DN đồng phẳng ⇔ AC và BD đồng phẳng, mâu thuẫn. c. Ta lần lượt:  Chøng minh AO c¾t CN: Ta cã: O ∈ MN ⇒ O ∈ (CMN) vµ A ∈ CM ⇒ A ∈ (CMN) ⇒ AO và CN đồng phẳng. Ngoµi ra, AO vµ CN kh«ng thÓ song song víi nhau bëi nÕu: AO // CN ⇒ O n»m ngoµi ®o¹n MN, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy, ta cã kÕt luËn AO c¾t CN.  Tương tự ta chứng minh được BO cắt DM. D¹ng to¸n 2: Chøng minh hai ®­êng th¼ng song song Phương pháp áp dụng §Ó chøng minh hai ®­êng th¼ng song song víi nhau ta cã thÓ sö dông mét trong c¸c c¸ch sau: Cách 1: Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chøng minh song song trong h×nh häc ph¼ng (nh­ tÝnh chÊt ®­êng 334.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> trung bình của tam giác, định lí Talét đảo, tính chất song song của hai ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng thø ba, ...). Cách 2: Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3. Cách 3: áp dụng định lí về giao tuyến. Trước tiên, chúng ta sử dụng ví dụ để minh hoạ cho cách 1.. Thí dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm ∆SAB và ∆SAD. Chøng minh r»ng IJ // BD..  Gi¶i. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AD Ta cã: SJ 2 SI 2 = ⇒ IJ // MN. = vµ SN 3 SM 3. S. (1). MÆt kh¸c, trong ∆ABD ta cã MN lµ ®­êng trung b×nh nªn: MN // BD. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: IJ // BD, ®pcm.. J. D. C. I. N. M. A. B. Thí dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q theo thứ tù lµ trung ®iÓm cña SA, SB, SC, SD. Chøng minh r»ng MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh..  Gi¶i. Tõ gi¶ thiÕt ta cã ngay: // 1 MN = AB. 2 // 1 PQ = CD. 2. S. (1). Q. M. (2). N. //. A. P. D. Tõ (1) vµ (2) víi l­u ý AB = CD, suy ra: //. MN = PQ ⇔ MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh, ®pcm.. B. C. Thí dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. a. Chøng minh r»ng MN // CD. b. T×m giao ®iÓm P cña SC vµ mÆt ph¼ng (ADN). c. KÐo dµi AN vµ DP c¾t nhau t¹i I. Chøng minh r»ng SI // AB // CD. Tø gi¸c SABI lµ h×nh g× ? 335.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>  Gi¶i a. Trong ∆SAB, ta cã MN ®­êng trung b×nh nªn: MN // AB. (1) Mặt khác, hình thang ABCD đáy AB, CD nên: AB // CD. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra MN // CD. b. Gäi E = AD ∩ BC. P = SC ∩ EN ⊂ (ADN) ⇒ P = SC ∩ (ADN). c. Ta cã: AB ∈ (SAB ) vµ CD ∈ (SCD)  ⇒ SI // AB // CD. AB // CD (SAB ) ∩ (SCD) = SI . NhËn xÐt r»ng: // 1 MN = SI vµ MN 2. //. =. S. I N. M A. B. P D. C E. // 1 AB ⇒ SI = AB ⇔ SABI lµ h×nh b×nh hµnh. 2. D¹ng to¸n 3: T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ThiÕt diÖn chøa mét ®­êng th¼ng song song víi mét ®­êng thẳng cho trước Phương pháp áp dụng 1. Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ngoài phương pháp "Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng", ta sử dụng định lí về giao tuyến, như sau: Bước 1: Chỉ ra rằng α, β lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b. Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng. Bước 3: Khi đó α ∩ β = Mx // a // b. 2. ThiÕt diÖn c¾t bëi mét mÆt ph¼ng chøa mét ®­êng th¼ng song song víi mét đường thẳng cho trước được xác định bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết. Thí dụ 1. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với cạnh AD nếu: a. PR // AC. b. PR c¾t AC. B Gi¶i a. Ta cã: P R (ABC) ∩ (ACD ) = AC (ABC) ∩ ( PQR) = PR A  ⇒ Qx // PR // AC.  x S (ACD ) ∩ ( PQR) = Qx Q PR // AC D Gi¶ sö Qx c¾t AD t¹i S th× S chÝnh lµ giao ®iÓm cña (PQR) víi c¹nh AD.. 336. C.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> b. Ta cã: (ABC) ∩ (ACD ) = AC (ABC) ∩ ( PQR) = PR   (ACD ) ∩ ( PQR) = Qx PR ∩ AC = {I}. B R. P. y I. ⇒ Qy, PR và AC đồng quy tại I. Gi¶ sö Qx c¾t AD t¹i S th× S chÝnh lµ giao ®iÓm cña (PQR) víi c¹nh AD.. A. C S. Q D. Thí dụ 2. Cho tứ diện ABCD, các cạnh bằng nhau và bằng 6a. Gọi I, J lần lượt là trung ®iÓm cña AC, BC. Gäi K lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD. a. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiÕt diÖn lµ h×nh thang c©n. C b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a. I J  Gi¶i a. Ta cã: A B AB ∈ (ABD) vµ IJ ∈ ( IJK)  x ⇒ Kx // AB // IJ. AB // IJ K H (ABD) ∩ ( IJK) = Kx  D Giả sử Kx cắt AD theo thứ tự tại H. Khi đó ta được 4 đoạn giao tuyến là IJ, IH, HK và KJ. Do đó thiết diện là hình thang IJKH. MÆt kh¸c, ta thÊy ngay: ∆ACD = ∆BCD ⇒ IH = JK. VËy, thiÕt diÖn IJKH lµ h×nh thang c©n. b. Trong ∆ABC, ta cã IJ =. 1 AB = 3a. 2. H. K. Trong ∆ABD, ta cã: HK KD 1 1 = = ⇒ HK = AB = 2a. I P J AB BD 3 3 Trong ∆BJK, ta cã: BJ = 3a, BK = 4a JK2 = BJ2 + BK2 − 2BJ.BK.cosK B̂ J = (3a)2 + (4a)2 − 2.3a.4a.cos600 = 13a2 ⇒ JK = a 13 . XÐt h×nh thang IJKH, h¹ ®­êng cao KP, ta cã:  IJ − HK  JK 2 −   2  . 2. a 51 . 2. KP =. JK 2 − PJ 2 =. SIJKH =. 1 1 a 51 5a 2 51 (IJ + HK).KP = (3a + 2a). = . 2 2 2 4. =. 337.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> . NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i c©u b), v× thiÕt diÖn IJKH lµ h×nh thang c©n nªn việc tính diện tích của nó khá đơn giản. Q Trong nhận xét này, chúng ta cùng xem xét một đề xuất khác để tính được diện tích thiết diện và nó đặc biệt có ích trong trường hợp thiết diện là những đa K H giác không có dạng đặc thù. KÐo dµi IH vµ JK, chóng c¾t nhau t¹i Q. I J Khi đó SIJKH = S∆QIJ − S∆QHK.. §3. §­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng D¹ng to¸n 1: Chøng minh ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng Phương pháp áp dụng §Ó chøng minh ®­êng th¼ng d song song víi mÆt ph¼ng (P) ta chøng minh d kh«ng n»m trong (P) vµ song song víi mét ®­êng th¼ng a chøa trong (P)..  Chó ý:. NÕu a kh«ng cã s½n th× ta chän mét mÆt ph¼ng (Q) chøa d vµ nhËn a lµm giao tuyÕn cña (P) vµ (Q).. ThÝ dô 1. Cho tø diÖn ABCD. Gäi G1 vµ G2 theo thø tù lµ träng t©m ∆ABD vµ ∆ACD. Chøng minh G1G2 song song víi c¸c mÆt ph¼ng (ABC) vµ (BCD)..  Gi¶i. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi M, N, I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC, CD, BD. A Trong ∆ABD, ta cã ngay: AG 1 2 DG1 2 = . = vµ N M DM 3 AK 3 G Trong ∆ACD, ta cã ngay: G2 B 1 AG 2 2 DG 2 2 = vµ = . K AI 3 DN 3 I Từ đó, ta lần lượt có: D AG 2 2 AG1 = = ⇒ G1G2 // KI ⊂ (BCD) ⇒ G1G2 // (BCD). AK AI 3 DG 1 DG 2 2 = = ⇒ G1G2 // MN ⊂ (ABC) ⇒ G1G2 // (ABC). DN 3 DM C¸ch 2: Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD. Trong ∆ABD, ta cã ngay: BG1 2 = . BE 3 338. C.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Trong ∆ACD, ta cã ngay: CG 2 2 = . 3 CE Từ đó, ta có: BG 1 CG 2 2 = = ⇒ G1G2 // BC BE CE 3 V× BC thuéc (BCD) vµ (ABC) nªn: G1G2 // (BCD) vµ G1G2 // (ABC).. A E. G1 B. D. G2 C. Thí dụ 2. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, CD. Gäi P lµ trung ®iÓm cña SA. a. Chøng minh MN song song víi c¸c mÆt ph¼ng (SBC) vµ (SAD). b. Chøng minh r»ng SB song song víi (MNP). c. Chøng minh r»ng SC song song víi (MNP). d. Gäi G1 vµ G2 theo thø tù lµ träng t©m ∆ABC vµ ∆SBC. Chøng minh G1G2 song song víi (SAD)..  Gi¶i. a. Trong hình bình hành ABCD, ta có MN là đường trung bình, do đó: MN // BC ⊂ (SBC) ⇒ MN // (SBC).. S. MN // AD ⊂ (SAD) ⇒ MN // (SAD). b. Trong ∆SAB, ta có MP là đường trung bình, do đó: SB // MP ⊂ (MNP) ⇒ SB // (MNP). c. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã:. P x. Q N. D. C. O A. B. M. AD ∈ (SAD) vµ MN ∈ ( MNP )  ⇒ Kx // AD // MN. AD // MN (SAD) ∩ ( MNP ) = Px . Gi¶ sö Px c¾t SD t¹i Q, suy ra Q lµ trung ®iÓm SD. S. Trong ∆SCD, ta có NQ là đường trung bình, do đó: SC // NQ ⊂ (MNP) ⇒ SC // (MNP). C¸ch 2: Gäi O lµ trung ®iÓm MN, suy ra O lµ trung ®iÓm AC. Trong ∆SAC, ta có OP là đường trung bình, do đó: SC // OP ⊂ (MNP) ⇒ SC // (MNP). d. Gäi K lµ trung ®iÓm SB. Ta cã: CG 2 2 CG1 2 = vµ = ⇒ G1G2 // MK. CK 3 CM 3. K G1. D. C. G2 A. M. B (1) 339.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Mặt khác, trong ∆SAB, ta có MK là đường trung bình, do đó: MK // SA. Tõ (1) vµ (2) suy ra:. (2). G1G2 // SA ⊂ (SAD) ⇒ G1G2 // (SAD).. D¹ng to¸n 2: T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước Phương pháp áp dụng 1. Tìm phương giao tuyến bằng định lí 2 hoặc định lí 3. 2. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết. Thí dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện h×nh chãp khi c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua trung ®iÓm M cña c¹nh AB, song song víi BD vµ SA..  Gi¶i. ThiÕt diÖn ®­îc x¸c b»ng c¸ch: S  Trong mÆt ph¼ng (ABCD) kÎ Mx song song víi BD, Mx c¾t AC vµ AD theo thø tù t¹i I vµ N. Q R  Trong mÆt ph¼ng (SAB) kÎ My song song víi SA, P My c¾t SB t¹i R. A M N I  Trong mÆt ph¼ng (SAC) kÎ Iz song song víi SA, O Iz c¾t SC t¹i Q. D C  Trong mÆt ph¼ng (SAD) kÎ Nt song song víi SA, Nt c¾t SD t¹i P. Khi đó, ngũ giác MNPQR là thiết diện cần dựng.. B. Thí dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Có thể hay không cắt tứ diện bằng một mặt phẳng để: a. ThiÕt diÖn lµ h×nh thang ? b. ThiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh ? c. ThiÕt diÖn lµ h×nh thoi ?.  Gi¶i. a. ThiÕt diÖn cã thÓ lµ h×nh thang, cô thÓ nÕu mÆt ph¼ng chøa MN (víi N ∈ AC) vµ song song víi AD. A Khi đó, thiết diện được xác định như sau: M  Trong (ABD) kÎ Mx song song víi AD vµ c¾t BD t¹i F. B  Trong (ACD) kÎ Ny song song víi AD vµ c¾t BD F t¹i F. Từ đó, suy ra NE // MF ⇒ MNEF là hình thang. 340. D. M ∈ AB vµ. N C E.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> b. ThiÕt diÖn cã thÓ lµ h×nh b×nh hµnh, cô thÓ nÕu mÆt ph¼ng ®i M (víi M ∈ AB) song song víi AD vµ BC. A Khi đó, thiết diện được xác định như sau:  Trong (ABC) kÎ Mt song song víi BC vµ c¾t N M AC t¹i N.  Trong (ABD) kÎ Mx song song víi AD vµ c¾t B C BD t¹i F. F E  Trong (ACD) kÎ Ny song song víi AD vµ c¾t CD t¹i E. D Khi đó, từ cách dựng ta suy ra MF // NE. (1) MÆt kh¸c, ba mÆt ph¼ng (MNEF), (ABC) vµ (BCD) c¾t nhau theo ba giao tuyÕn MN, BC, EF vµ MN // BC nªn MN // EF. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra thiÕt diÖn MNEF lµ h×nh b×nh hµnh. c. ThiÕt diÖn cã thÓ lµ h×nh thoi, cô thÓ víi thiÕt diÖn ®­îc dùng nh­ trong c©u b). Khi đó, để MNEF là hình thoi điều kiện là: MN = MF. (*) Ta cã: AM AM.BC MN = ⇒ MN = . (3) AB BC AB MF AD.BM BM = ⇒ MF = . (4) AD AB AB Khi đó, điều kiện (*) trở thành: AM AD AM.BC AD.BM = ⇔ = . AB AB BM BC AD AM = ) song song VËy, mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M (víi M ∈ AB sao cho BM BC víi AD vµ BC sÏ c¾t tø diÖn theo mét thiÕt diÖn lµ h×nh thoi.. §4. Hai mÆt ph¼ng song song D¹ng to¸n 1: Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song Phương pháp áp dụng §Ó chøng minh 2 mÆt ph¼ng song song ta ®i chøng minh mÆt ph¼ng nµy chøa hai ®­êng th¼ng c¾t nhau song song víi mÆt ph¼ng kia (hoÆc song song víi hai ®­êng th¼ng c¾t nhau n»m trong mÆt ph¼ng kia)..  Chó ý:. 1. Sö dông tÝnh chÊt: ( P ) //(Q) ⇒ a // (P)  a ⊂ (Q) ta được thêm một phương pháp để chứng minh đường thẳng a song song với (P).. 341.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 2. Sử dụng định lí Talét đảo ta được thêm một phương pháp để chứng minh đường th¼ng song song víi mÆt ph¼ng, cô thÓ: Ba ®iÓm A1, B1, C1 thuéc ®­êng th¼ng a vµ ba ®iÓm A2, B2, C2 thuéc ®­êng th¼ng b (víi a vµ b chÐo nhau) tho¶ m·n: A1B1 A B = 2 2 B 1C 1 B2C2 suy ra tồn tại duy nhất bộ ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song lần lượt chứa các đoạn thẳng A1A2, B1B2, C1C2 , từ đó ta được các kết quả: A1A2 song song víi (Q) vµ (R). B1B2 song song víi (P) vµ (R). C1C2 song song víi (P) vµ (Q). §iÒu quan träng nhÊt cÇn chØ ra ®­îc sù tån t¹i cña mét trong ba mÆt ph¼ng.. ThÝ dô 1. Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ ABEF ë trong 2 mÆt ph¼ng kh¸c nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF t¹i M’, N’. a. Chøng minh r»ng (CBE) song song víi (ADF). b. Chøng minh r»ng (DEF) song song víi (MNN’M’). c. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN, t×m tËp hîp ®iÓm I khi M, N déng..  Gi¶i. a. Ta cã nhËn xÐt: BC // AD ⇒ (BCE) // (ADF).  BE // AF b. Ta cã nhËn xÐt: AM' AM BN AN ' ⇒ M'N' // DF. = = = AD AC BF AF MÆt kh¸c, ta cã MM' // CD. Tõ (1) vµ (2) suy ra: (MNN’M’) // (DEF). c. I ch¹y trªn trung tuyÕn cña ∆ADE kÎ tõ A.. E F O' N. (1) (2). N'. A. M'. C. B MO. D. Thí dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a. Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (OMN) vµ mÆt ph¼ng (SBC) song song víi nhau. b. Gọi I là trung điểm SC, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB và CD. Chøng minh IJ song song víi (SAB). c. Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các ®­êng ph©n gi¸c trong cña c¸c tam gi¸c ACD vµ SAB. Chøng minh r»ng EF song song víi (SAD). 342.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> S.  Gi¶i a. NhËn xÐt r»ng: OM // SC ⇒ (OMN) // (SBC).  ON // BC b. Gäi P, Q theo thø tù lµ trung ®iÓm AD vµ BC, suy ra J thuéc ®­êng th¼ng PQ. NhËn xÐt r»ng:. M. P. D. B. O. S. PQ // AB ⇒ (IPQ) // (SAB) ⇒ IJ // (SAB).  IQ // SB. c. Sö dông tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c, ta cã:. I. A. Q. J. C. N F. A. H. B. ED AD AS FS = = = C D E EC AC AB FB suy ra tồn tại duy nhất bộ ba mặt phẳng song song lần lượt chứa các đoạn thẳng SD, EF, CD và ta thấy ngay một trong ba mặt phẳng đó chính là (SAD), do đó:. EF // (SAD)..  Chó ý:. NÕu c¸c em häc sinh c¶m thÊy khã hiÓu trong lêi gi¶i cña c©u c) th× có thể sử dụng lời giải tường minh hơn như sau: Dùng EH // SD, H ∈ SC. (1) NhËn xÐt r»ng: HS ED AD AS FS = = ⇒ HF // BC ⇒ HF // AD. = = AB FB HC EC AC Tõ (1) vµ (2) suy ra: (HEF) // (SAD) ⇒ EF // (SAD).. (2). D¹ng to¸n 2: T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng Thiết diện song song với một mặt phẳng cho trước Phương pháp áp dụng 1. Ta sử dụng thêm tính chất 2 để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. 2. ThiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mét mÆt ph¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng cho trước được xác định thông qua việc tìm được các đoạn giao tuyến như trên. Thí dụ 1. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó..  Gi¶i. Với hai đường thẳng chéo nhau a và b thì theo định lí 3 của bài học 3:  Cã duy nhÊt mét mÆt ph¼ng (P) chøa a vµ song song víi b, nã ®­îc dùng b»ng c¸ch: - Tõ ®iÓm A thuéc a kÎ ®­êng th¼ng b' song song víi b. 343.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> - Khi đó (P) = (a, a').  Cã duy nhÊt mét mÆt ph¼ng (Q) chøa b vµ song song a b' A víi a, nã ®­îc dùng b»ng c¸ch: P - Tõ ®iÓm B thuéc b kÎ ®­êng th¼ng a' song song víi a. a' b B Q - Khi đó (Q) = (b, b'). Theo định lí 1, ta có ngay (P) song song với (Q).. Thí dụ 2. Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P) IM vµ (Q). T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I thuéc ®o¹n th¼ng MN sao cho = k, IN k ≠ 0 cho trước..  Gi¶i. P. M0. M. Với hai điểm cố định M0 và N0 theo thứ tự thuộc (P) và I M R I0 (Q), lÊy ®iÓm I0 thuéc M0N0 sao cho 0 0 = k, ta ®­îc: I0N0 N0 I N M N I M I0M0 IM Q = =k⇒ 0 0 = 0 0 = 0 0 IM IN MN I0N0 IN ⇒ M0M, I0I, N0N n»m trªn ba mÆt ph¼ng song song. VËy, tËp hîp c¸c ®iÓm I thuéc mÆt ph¼ng (R) qua I0 vµ song song víi (P).. Thí dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân đỉnh S với SA = 2a, α là mặt phẳng di động song song với (SAB), cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thø tù t¹i M, N, P, Q. a. Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n. b. Đặt x = AM, với 0 < x < a. Định x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó..  Gi¶i. a. Ta lần lượt có: α //(SAB )  MN = α ∩ (ABCD) ⇒ MN // AB. AB = (SAB ) ∩ . Lập luận tương tự ta cũng có: NP // BS, PQ // CD, QM // SA. NhËn xÐt r»ng: MN // PQ bëi AB // CD. MQ NP SA= SB DQ CP = = = ⇒ MQ = NP. SA DS CS SB VËy, thiÕt diÖn MNPQ lµ h×nh thang c©n. 344. S. Q. P. A M. B N D. C O.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> b. §Ó MNPQ ngo¹i tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn ®iÒu kiÖn lµ: MN + PQ = MQ + NP ⇔ MN + PQ = 2MQ. Trong ∆SAD, ta cã: MQ DM a − x = ⇒ MQ = 2(a − x). = SA a DA Trong ∆SCD, ta cã: PQ SQ AM x = ⇒ PQ = x. = = CD SD AD a Gi¶ sö AB c¾t CD t¹i O vµ OD = y, ta cã: a OD CD a ⇒ 3y = a + y ⇔ y = . = = OA AB 3a 2 a +a−x OM OD + DM MN = = = 2 ⇒ MN = 3a − 2x. a AB OA OD + DA +a Q P 2 Thay (2), (3) vµ (4) vµo (1), ta ®­îc: a 3a − 2x + x = 4(a − x) ⇔ x = . 3 N H a VËy, víi x = th× MNPQ ngo¹i tiÕp ®­îc mét ®­êng trßn. 3 Khi đó, xét hình thang cân MNPQ, hạ đường cao QH, ta có:. (1) (2). (3). (4). M. 2. QH =. MQ 2 − MH 2 =. a 7  MN − PQ  MQ 2 −   = 2 3  . suy ra b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp MNPQ lµ r =. 1 a 7 QH = . 2 6. D¹ng to¸n 3: Sö dông tÝnh chÊt cña h×nh l¨ng trô vµ h×nh hép − ThiÕt diÖn Phương pháp áp dụng 1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình lăng trụ và hình hộp để vẽ hình và chøng minh mét sè tÝnh chÊt kh¸c. 2. Việc xác định thiết diện của hình lăng trụ (hình hộp) cắt bởi một mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như đối với hình chóp. Lưu ý rằng " Hai đáy hình lăng trụ song song, do đó giao tuyến của mặt phẳng cắt 2 mặt đó, nếu có, là hai đoạn thẳng song song ". ThÝ dô 1. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. a. Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (BDA') // (B'D'C). b. Chøng minh r»ng ®­êng chÐo AC' ®i qua c¸c träng t©m G1, G2 cña hai tam gi¸c BDA' vµ B'D'C. c. Chøng minh r»ng G1 vµ G2 chia ®o¹n AC' thµnh ba phÇn b»ng nhau. 345.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> d. Chøng minh r»ng c¸c trung ®iÓm cña s¸u c¹nh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng..  Gi¶i. D'. C' O'. Q. A'. R. B'. P. a. Gäi O, O' theo thø tù lµ t©m cña c¸c h×nh b×nh hµnh ABCD vµ A'B'C'D', ta cã:. S. D. A' O // CO' ⇒ (BDA') // (B'D'C).  BD // B' D'. C. N M. A. B. b. V× AC', AO, CO' cïng n»m trong mÆt ph¼ng (ACC1A1) nªn gäi: G1 = AC' ∩ A'O vµ G2 = AC' ∩ CO'. Trong ∆A'BD, ®iÓm G1 thuéc trung tuyÕn A'O vµ v× AO // A'C' nªn: 1 GO AO = ⇒ G1 lµ träng t©m ∆A'BD. = GA' A' C' 2. Chứng minh tương tự G2 là trọng tâm ∆CB'D'. c. NhËn xÐt r»ng OG1, O'G2 theo thø tù lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ACG2 vµ ∆A'C'G1 nªn: AG1 = G1G2 = G2C' tøc lµ G1, G2 chia ®o¹n AC' lµm 3 phÇn b»ng nhau. d. Gäi M, N, P, Q, R, S theo thø tù lµ trung ®iÓm cña s¸u c¹nh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B. Vì các đoạn thẳng MN, NP, PQ, QR, RS đều song song với mặt phẳng (A'BD) nÓn chóng cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng.. ThÝ dô 2. Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C'. Gäi H lµ trung ®iÓm cña c¹nh A'B'. a. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng B'C song song víi mÆt ph¼ng (AHC'). b. T×m giao tuyÕn d cña hai mÆt ph¼ng (A'B'C') vµ (A'BC). Chøng minh r»ng d song song víi mÆt ph¼ng (BB'C'C). c. Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A'B'C' khi cắt bởi mặt ph¼ng (H, d)..  Gi¶i. a. Gi¶ sö: AC' ∩ A'C = {N} ⇒ N lµ trung ®iÓm AC' vµ A'C ⇒ B'C // NH − tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh ⇒ B'C // (AHC'), ®pcm. b. Gi¶ sö: AB' ∩ A'B = {M} ⇒ (A'B'C') ∩ (A'BC) = MN. 346. B'. C'. H M. R. A' N. B. C P. Q A.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Tõ tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh, suy ra: MN // BC ⊂ (BB'C'C) ⇒ MN // (BB'C'C), ®pcm. c. Nối MH cắt AB tại P (P là trung điểm AB), khi đó: (H, d) ∩ (ABC) = Px // MN // BC ⇒ Px c¾t AC t¹i Q (Q lµ trung ®iÓm AC). (H, d) ∩ (A'B'C') = Hy // MN // BC // B'C' ⇒ Hy c¾t A'C' t¹i R (R lµ trung ®iÓm A'C'). Khi đó, ta được thiết diện là hình bình hành HPQR.. D¹ng to¸n 4: C¸c bµi to¸n vÒ chãp côt Phương pháp áp dụng 1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình hộp để vẽ hình và chứng minh mét sè tÝnh chÊt kh¸c. 2. Việc xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi một mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như đối với hình lăng trụ. ThÝ dô 1. Cho h×nh chãp S.ABCD. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña c¹nh SA vµ A2 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AA1. Gäi (α) vµ (β) lµ hai mÆt ph¼ng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1. Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh : a. B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. b. B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D. c. Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD..  Gi¶i a. V× (α) song song víi (ABCD), suy ra: AB // A1B1 ⇒ A1B1 lµ ®­êng trung b×nh cña ∆SAB A1 ⇒ B1 lµ trung ®iÓm cña SB. A2 B 1 Chứng minh tương tự, ta được C1, D1 lần lượt là trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SC, SD. A B2 b. V× (β) song song víi (ABCD), suy ra: AB // A2B2 B ⇒ A2B2 lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang ABB1A1 ⇒ B2 lµ trung ®iÓm cña BB1 ⇒ B1B2 = B2B.. S. D1 C1 C2. D2. D. C. Thí dụ 2. Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', B'C', C'A'. Chøng minh MNP.M'N'P' lµ h×nh chãp côt. 347.

<span class='text_page_counter'>(36)</span>  Gi¶i §Ó chøng minh MNP.M'N'P' lµ h×nh chãp côt, ta cÇn ®i chøng minh:  Các đường thẳng MM', NN', PP' đồng quy. S  MN // M'N', NP // N'P', PM // P'M'. a. Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng AA', BB', CC', ta cã: P' A' C' AB // A'B' N ' M' M, M' theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, A'B' B' suy ra S ∈ MM'.. A Tương tự, ta cũng có S ∈ NN' và S ∈ PP'. M Vậy, các đường thẳng MM', NN', PP' đồng quy tại S. B b. Theo tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh, ta cã: MN // AC M'N' // A'C' ngoµi ra, theo tÝnh chÊt h×nh chãp côt AC // A'C' nªn MN // M'N'. Tương tự, ta cũng có NP // N'P', PM // P'M'. VËy, ta cã kÕt luËn MNP.M'N'P' lµ h×nh chãp côt.. C. P. N. C. C¸c bµi to¸n chän läc VÝ dô 1:.  Gi¶i. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD và OC. a. T×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (MNP) víi mÆt ph¼ng (SAC) vµ t×m giao ®iÓm cña SA víi (MNP). b. T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNP). c. TÝnh tû sè mÆt ph¼ng (MNP) chia c¸c c¹nh SA, BC vµ CD. S. a. Ta lần lượt thực hiện: S1 M  Nèi MN c¾t SO t¹i O1.  Nèi O1P c¾t SA t¹i S1. N B A O1 VËy, ta ®­îc: B1 (MNP) ∩ (SAC) = PS1. O D (MNP) ∩ SA = S1. B2 P b. Ta lần lượt thực hiện: D2 C D1  Nèi S1N kÐo dµi c¾t AD t¹i D1.  Nèi S1M kÐo dµi c¾t AB t¹i B1.  Nèi B1D1 c¾t CD, CB theo thø tù t¹i D2, B2. Khi đó, ta được 5 đoạn giao tuyến là S1M, MB2, B2D2, D2N và NS1. Do đó thiết diÖn cÇn t×m lµ ®a gi¸c S1MB2D2N.. 348.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> c. Ta lần lượt có:. MN lµ ®­êng trung b×nh cña ∆SBD nªn O1 lµ trung ®iÓm SO, suy ra: S S PC 1 S = . PO1 // SC ⇒ 1 = 3 S1A PA N S1  Xét ∆SAD với S1, N, D1 thẳng hàng, theo định lí Mªlªlaus, ta ®­îc: D D NS D 1 D S 1 A 1 A D1 D . . =1⇒ 1 = . (1) ND D 1 A S 1 S 3 D1A S  Xét ∆SAB với S1, M, B1 thẳng hàng, theo định lí M S1 Mªlªlaus, ta ®­îc: B B MS B 1 B S 1 A 1 . . =1⇒ 1 = . (2) 3 B1A MB B 1 A S 1 S B1 B A Tõ (1), (2), suy ra: BD // B1D1 ⇒ B2D2 lµ ®­êng trung b×nh cña ∆CBD ⇒ nªn B2, D2 theo thø tù lµ trung ®iÓm BC, CD D2D B B do đó = 1 vµ 2 = 1. D 2C B 2C .  Chó ý:. §Þnh lÝ Mªlªlaus cã néi dung nh­ sau: " Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CA cña ∆ABC (hoÆc trªn ph©n kÐo dµi cña chóng) lÊy c¸c ®iÓm C1, A1, B1 th× C1, A1, B1 th¼ng hµng khi vµ chØ khi:. VÝ dô 2:. A1B B 1C C 1A = 1 ". A1C B 1A C 1B. Trong mÆt ph¼ng α, cho tø gi¸c ABCD, S lµ mét ®iÓm kh«ng thuéc α. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC víi SI > IA vµ SJ < JC. Mét mÆt ph¼ng β quay quanh IJ c¾t SB t¹i M, T SD t¹i N. a. Chøng minh r»ng IJ, MN vµ SO đồng quy (với O là giao điểm cña AC vµ BD). Suy ra c¸ch dùng ®iÓm N khi biÕt ®iÓm M. b. AD c¾t BC t¹i E, IN c¾t MJ t¹i F. Chøng minh S, E, F th¼ng hµng. c. IN c¾t AD t¹i P, MJ c¾t BC t¹i Q. Chøng minh r»ng PQ lu«n ®i qua một điểm cố định khi α di động.. S M O1. I A. J. N F. B. O. D. C Q. E. P 349.

<span class='text_page_counter'>(38)</span>  Gi¶i. a. Gi¶ sö IJ ∩ SO = O1. Ta cã: O1 ∈ SO ⊂ (SBD) ⇒ O1 ∈ (SBD). O1 ∈ IJ ⊂ β ⇒ O1 ∈ β, Suy ra: O1 ∈ β ∩ (SBD) = MN. Vậy, ba đường thẳng IJ, MN, SO đồng quy tại O1. Nh­ vËy, khi biÕt ®iÓm M ta chØ cÇn nèi MO1 c¾t SD t¹i N. b. NhËn xÐt r»ng: (SAD) ∩ (SBC) = {S, E, F} ⇒ S, E, F th¼ng hµng. c. Trước tiên, vì IJ không song song với AC nên IJ ∩ AC = T − là một điểm cố định. NhËn xÐt r»ng: β ∩ (ABCD) = {T, P, Q} ⇒ T, P, Q th¼ng hµng ⇔ PQ luôn đi qua điểm cố định T.. . Chú ý: Trong một số trường hợp chúng ta đi chứng minh ba đường thẳng đồng quy dựa trên tính chất điểm.. Trong mÆt ph¼ng α, cho tø gi¸c ABCD, AB vµ CD kÐo dµi c¾t nhau t¹i E, AD vµ BC kÐo dµi c¾t nhau t¹i F vµ AD < DF. S lµ mét ®iÓm kh«ng thuộc α. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB. α là mặt phẳng di động qua IJ. α cắt SC, SD lần lượt tại M, N. S a. Chứng minh rằng IJ, MN, SE đồng quy. b. M chuyển động trên phần nào của cạnh SC ? c. T×m tËp hîp giao ®iÓm cña IM vµ JN. d. T×m tËp hîp giao ®iÓm cña IN vµ JM. I J K P  Gi¶i M a. Gäi K = IJ ∩ MN, ta cã: A E M0 B K ∈ IJ ⊂ (SAB) ⇒ K ∈ (SAB). N O K ∈ MN ⊂ (SCD) ⇒ K ∈ (SCD). C Do đó K ∈ SE = (SAB) ∩ (SCD). Vậy, ba đường thẳng IJ, MN, SE đồng quy tại K. D Q b. Nèi KD c¾t SC t¹i M0. V× N ch¹y trªn c¹nh SD nªn VÝ dô 3:. ^. tia KMN quét góc SKD , do đó M chạy từ S đến M0 vì khi đó α mới cắt cạnh SC, SD. c. Gäi P = IM ∩ JN. Ta ®i t×m tËp hîp ®iÓm P. PhÇn thuËn: Ta cã: P ∈ IM ⊂ (SAC) ⇒ P ∈ (SAC). P ∈ JN ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD). 350. F.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Do đó: P ∈ SO = (SAC) ∩ (SBD). Giíi h¹n: Nèi DJ c¾t SO t¹i P0. V× N ch¹y trªn c¹nh. S J. ^. N P0. SD nên tia JPN quét góc SJD , do đó P chạy từ S đến P0 vì khi đó α mới cắt cạnh SC, SD. D O B Phần đảo. Gọi P là điểm bất kỳ trên SP0. Nối JP cắt SD tại N, nối IP cắt SC tại M. M, N lµ giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng (IJMN) qua IJ víi c¸c c¹nh SC, SD vµ P chÝnh lµ giao ®iÓm cña IM vµ JN. KÕt luËn: VËy tËp hîp c¸c ®iÓm P lµ ®o¹n SP0 trªn SO. d. Gäi Q = IN ∩ JM. Ta ®i t×m tËp hîp ®iÓm Q. PhÇn thuËn: Ta cã: Q ∈ IN ⊂ (SAD) ⇒ Q ∈ (SAD). Q ∈ JM ⊂ (SBC) ⇒ Q ∈ (SBC). Do đó: Q ∈ SF = (SAD) ∩ (SBC). Giíi h¹n: V× AD < DF, nªn tia Ix song song víi SF vµ c¾t c¹nh SD t¹i N0. VËy N chạy từ S tới N0. Nối IN0 cắt SF tại F0, do đó Q chạy từ S đến F0. Phần đảo: Gọi Q là điểm bất kỳ trên SF0. Nối IQ cắt SD tại N, nối JQ cắt SC tại M. M, N lµ giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng (IJMN) qua IJ víi c¸c c¹nh SC, SD vµ Q chÝnh lµ giao ®iÓm cña IN vµ JM. KÕt luËn: VËy tËp hîp c¸c ®iÓm Q lµ ®o¹n SF0 trªn SF.. VÝ dô 4:. Gäi G lµ träng t©m cña tø diÖn ABCD. a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy. b. Gäi A' lµ träng t©m cña ∆BCD. Chøng minh r»ng GA = 3GA'..  Gi¶i. a. Nèi AG c¾t BN t¹i A', ta cÇn chøng minh A' lµ träng t©m ∆BCD. A Kẻ MM' song song với AA' (M' ∈ BN), khi đó: Q M MM' lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ABA' G ⇒ M'B = M'A'. (1) B M' GA' lµ ®­êng trung b×nh cña ∆M'MN A' P N ⇒ M'A' = NA'. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra BA' = 2NA'. C Vµ v× A' thuéc trung tuyÕn BN cña ∆BCD nªn A' lµ träng t©m ∆BCD.. D. b. Xét ∆ABA' với M, G, N thẳng hàng, theo định lí Mêlêlaus, ta được: 1 MB GA NA' GA . =1⇒ = ⇔ GA = 3GA', ®pcm. 3 MA GA' NB GA'. 351.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> VÝ dô 5:.  Gi¶i. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều. Cho SC = SD = a 3 . Gọi H, K lần lượt là trung ®iÓm cña SA, SB. M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AD. MÆt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N. a. Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n. b. §Æt AM = x (0 ≤ x ≤ a), tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c HKMN theo a, x. Tính x để diện tích này nhỏ nhất. c. T×m tËp hîp giao ®iÓm cña HM vµ KN; cña HN vµ KM.. a. Ta cã: KH ∈ ( MNKH ) vµ AB ∈ (ABCD)  KH // AB ( MNKH ) ∩ (ABCD) = MN . E0. E. S. t. H. ⇒ MN // AB // KH. (1) K A M D MÆt kh¸c, ta l¹i cã:  = SBC  ∆SAD = ∆SBC (c.c.c) ⇒ SAD B N C ⇒ ∆HAM = ∆KBN (c.g.c) ⇒ MH = NK. (2) K H Tõ (1) vµ (2) suy ra MNKH lµ h×nh thang c©n. 1 a b. Ta cã ngay MN = a vµ KH = AB = . 2 2 Trong ∆SAD, ta cã: M P N 1 SA 2 + AD 2 − SD 2 a 2 + a 2 − 3a 2  cos SAD = = =− . 2 2SA.AD 2a 2 Trong ∆HAM, ta cã:  MH2 = AH2 + AM2 − 2AH.AM.cos HAM a ax a2 a2 1 = + x2 − 2. .x.(− ) = + x2 + 4 2 2 4 2 1 ⇒ MH = 4 x 2 + 2ax + a 2 . 2 Trong h×nh thang c©n MNKH, gäi P lµ ch©n ®­êng cao h¹ tõ H, ta cã: 2. 1  MN − HK  HP = MH 2 − MP 2 = MH 2 −  16 x 2 − 8ax + 3a 2 .  = 2 4   1 1 a 1 SMNKH = (MN + KH)HP = (a + ). 16 x 2 − 8ax + 3a 2 2 2 2 4 3a = 16 x 2 − 8ax + 3a 2 . 16. 352.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Ta có biến đổi: 3a SMNKH = 16. ( 4 x − a ) 2 + 2a 2 ≥. 3a 2 2 . 16. a 3a 2 2 đạt được khi x = . 4 16 c. Hướng dẫn: Quĩ tích là đoạn SE0 trên St // AD.. VËy, ta ®­îc (SMNKH)Min =. VÝ dô 6:. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho lu«n cã. IA JB = . ID JC. a. Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định. b. Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước (tức điểm →. →. M tho¶ IM = k. MJ ) .. A.  Gi¶i a. Dùng JH // AB, H ∈ AC.. NhËn xÐt r»ng: HA JB IA = ⇒ HI // CD. = JC ID HC. H. B (2). I. F. (1). J. P M K Q. D E. C Gäi α lµ mÆt ph¼ng chøa AB vµ song song víi CD, suy ra α là mặt phẳng cố định và (HIJ) // α. b. Gi¶i sö (HIJ) c¾t BD t¹i K, dÔ thÊy HIKJ lµ h×nh b×nh hµnh. Qua M kÎ PQ song song víi AB (P ∈ HI vµ Q ∈ JK). Ta cã: AP ∩ BQ = E vµ EM ∩ AB = F. NhËn xÐt r»ng: ED PI MI = k ⇒ E lµ ®iÓm chia CD theo tØ sè k. = = EC PH MJ FA MP MI = k ⇒ F lµ ®iÓm chia AB theo tØ sè k. = = FB MQ MJ Vậy, tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k là đoạn EF với E, F lần lượt là điểm chia CD vµ AB theo tØ sè k.. VÝ dô 7:. Cho hình chóp S.ABC. Gọi K và N lần lượt là trung điểm của SA và BC, M lµ ®iÓm n»m gi÷a S vµ C. a. Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng ®i qua K, song song víi AB vµ SC th× ®i qua ®iÓm N. b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (KMN). Chøng tá r»ng KN chia thiÕt diÖn thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau. 353.

<span class='text_page_counter'>(42)</span>  Gi¶i a. Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua K, song song víi AB vµ SC, ta cã:  MÆt ph¼ng (Q) chøa AB vµ song song víi SC.  MÆt ph¼ng (R) chøa SC vµ song song víi AB. Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với nhau sẽ chắn trên hai cắt tuyến BC và SA các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, cụ thể: S BN CN BC BN AK ⇒ =1 = = = AK SK AS CN SK K M ⇒ BN = CN ⇒ N lµ trung ®iÓm BC. A C b. Ta xét hai trường hợp: P N Trường hợp 1: Nếu M là trung điểm SC thì thiết diện lµ h×nh b×nh hµnh MNPK víi P lµ trung ®iÓm AB. Vµ B hiển nhiên khi đó KN chia thiết diện thành hai phần S cã diÖn tÝch b»ng nhau. Trường hợp 2: Nếu M không trùng với trung điểm SC K M th× ta thùc hiÖn: A C D  Nèi KM c¾t AC t¹i D. O  Nèi ND c¾t AB t¹i P. N Khi đó, tứ giác MNPK là thiết diện cần dựng. P Goi {O} = KN ∩ MP, nhËn xÐt r»ng: B d(M, (P)) = d(S, (P)), d(P, (P)) = d(A, (P)), d(S, (P)) = d(A, (P)), suy ra d(P, (P)) = d(M, (P)) ⇒ OP = OM do đó KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau.. Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên SAD là tam giác đều. α là mặt phẳng qua ®iÓm M trªn c¹nh AB vµ song song víi SA vµ BC, α c¾t CD, SC, S B lần lượt tại N, P, Q. a. Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n. S b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a, b vµ x = AM, (0 < x < b). TÝnh gi¸ trÞ Q P lín nhÊt cña diÖn tÝch..  Gi¶i a. Ta lần lượt có: SA // α  ⇒ MQ // SA. SA ⊂ (SAB ) MQ ∈ (SAB ) ∩ α . 354. B. C M. N A. D I.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> BC // α  MN ∈ (ABCD) ∩ α ⇒ MN // PQ // BC. PQ ∈ (SBC) ∩ α . NhËn xÐt r»ng: MQ BM BQ CN CP NP = = = = = SA BA BS CD CS SD VËy, thiÕt diÖn MNPQ lµ h×nh thang c©n. b. Gi¶ sö AB c¾t CD t¹i I, ta cã:. SA= SD. ⇒ MQ = NP.. 1 BC ⇒ AD lµ ®­êng trung b×nh cña ∆IBC 2 do đó IA = AB = b và: //. AD =. MN IM b+x IA + AM a(b + x) = = ⇒ MN = . = BC IB IA + AB 2b b. Trong ∆SBC, ta cã:. P. PQ SQ AM x 2ax . = = = ⇒ PQ = BC SB AB b b. Q. Trong ∆SAB, ta cã:. N MQ BM b − x a(b − x) = ⇒ MQ = . = SA AB b b XÐt h×nh thang c©n MNPQ, h¹ ®­êng cao QH, ta cã: 2. 2. 2.  MN − PQ  MQ −   = 2   2. H. 3a(b − x) . 2b. QH =. MQ − MH =. SMNPQ =. 1 1  a(b + x) 2ax  3a(b − x) (MN + PQ).QH =  . + 2 2  b b  2b. = Ta biến đổi:. 3a 2 4b 2. M. .(b + 3x)(b − x).. 2 b   3a 2  4 b 2  3a 2 4 b 2 a2   SMNPQ = . ≤ . = . − x 3  −    3 3   4 b 2  3  4b 2 3. VËy (SMNPQ)Max = x 3 −. b 3. a2 3. , đạt được khi:. =0⇔x=. b . 3. 355.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> VÝ dô 9:. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng α di động song song víi (SBD) vµ qua ®iÓm I trªn ®o¹n AC. a. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α. b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a, b vµ AI = x..  Giải − Bạn đọc tự vẽ hình. a. Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếi I ∈ OA thì: α //(SBD)  ⇒ Ix // BD vµ Ix c¾t AB, AD theo thø tù M vµ N. Ix = α ∩ (ABCD) BD = (SBD) ∩ (ABCD)  Lập luận tương tự ta cũng có:  α c¾t mÆt ph¼ng (SAB) theo ®o¹n giao tuyÕn MP song song víi SB.  α c¾t mÆt ph¼ng (SAD) theo ®o¹n giao tuyÕn NP song song víi SD. Trường hợp 2: Nếi I ∈ OC thì: α //(SBD)  ⇒ Ix // BD vµ Ix c¾t CB, CD theo thø tù H vµ L. Ix = α ∩ (ABCD) BD = (SBD) ∩ (ABCD)  Lập luận tương tự ta cũng có:  α c¾t mÆt ph¼ng (SBC) theo ®o¹n giao tuyÕn HK song song víi SB.  α c¾t mÆt ph¼ng (SCD) theo ®o¹n giao tuyÕn LK song song víi SD. b. Trước tiên, ta có ngay: BD 2 3 b2 3 = . 4 4 Ta lần lượt xét hai trường hợp của thiết diện: a Trường hợp 1: Nếi I ∈ OA thì 0 < x < . 2 Ta cã:. S∆SBD =. 2. 2. S ∆MNP  MN  b2x2 3 4x 2  AI  . =  = 2 ⇒ S∆MNP =  = S ∆SBD  BD  a2 a  AO  a < x < a. Trường hợp 2: Nếi I ∈ OC thì 2 Ta cã: 2. 2. S ∆LHK  LH  b 2 (a − x ) 2 3 4(a − x) 2  CI  ⇒ S = . = = = ∆MNP    S ∆SBD  BD  a2 a2  CO . 356.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> Tãm l¹i, ta cã: b2x2 3 a khi 0 < x <  2  2 . Std =  a 2 2 a  b (a − x ) 3 khi < x < a  2 a2. Ví dụ 10: Cho lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1, đáy là tam giác đều cạnh a. Các mÆt bªn ABB1A1, ACC1A1 lµ h×nh vu«ng. Gäi I, J lµ t©m c¸c mÆt bªn nãi trªn vµ O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. a. Chøng minh IJ song song víi mÆt ph¼ng (ABC). b. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (IJO). Chứng minh thiÕt diÖn lµ thang c©n. TÝnh diÖn tÝch cña nã theo a. Gi¶i B1 a. NhËn xÐt r»ng: C1 IA1 JA1 H G =1 = IB. JC. ⇒ IJ // BC ⊂ (ABC) ⇒ IJ // (ABC). b. Ta lần lượt có: IJ ∈ ( IJO) vµ BC ∈ (ABC )  ⇒ Ox // IJ // BC. IJ // BC ( IJO) ∩ (ABC ) = Ox . I. B. E. A1. O. J. F. C. A. vµ Ox c¾t AB vµ AC theo thø tù t¹i E vµ F. Nèi EI c¾t A1B1 t¹i H vµ nèi FI c¾t A1C1 t¹i G. Nh­ vËy, thiÕt diÖn lµ tø gi¸c EFGH. NhËn xÐt r»ng: (ABC ) //( A1B1C1 )  ( IJO) ∩ (ABC ) = EF ⇒ EF // GH ⇒ EFGH lµ h×nh thang. ( IJO) ∩ (A B C ) = GH 1 1 1 . Vì ∆ABC nên AA1B1B = AA1C1C, do đó EH = FG. VËy, thiÕt diÖn EFGH lµ h×nh thang c©n.  Trong ∆ABC, ta cã: EF 2 2a . = ⇒ EF = BC 3 3  Trong ∆A1B1C1, ta cã: a HG A H BE 1 = 1 = = ⇒ HG = . 3 B1C1 A1B1 BA 3 357.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> . Trong ∆IBE, ta cã: IE2 = BI2 + BE2 − 2BI.BE.cos IB̂E 2. 2 a 2  a 2 a 5a 2 a   = +   − 2. . .cos450 =  2  2 3 18 3  . a 10 a 10 ⇒ EH = 2IE = . 6 3 Khi đó, xét hình thang cân EFGH, hạ đường cao HM, ta có:. ⇒ IE =. 2. a 39  EF − HG  . EH 2 −   = 2 6   G 1 SEFGH = (EF + HG).HM 2 1  2a a  a 39 a 2 39 = . =  + . 2  3 3 12 6 F. HM =.  Chó ý:. EH 2 − ME 2 =. H. M. E. Trong lêi gi¶i trªn:. 1. ë c©u a), chóng ta cã thÓ sö dông nhËn xÐt: //. IJ lµ ®­êng trung b×nh cña ∆A1BC ⇔ IJ =. 1 a BC (ta cã IJ = ). 2 2. 2. Khi đó, trong câu b), chúng ta có thể tính độ dài HG dựa trên tính chất IJ là ®­êng trung b×nh cña h×nh thang EFGH nh­ sau:. IJ =. 358. 2a a 1 a (EF + HG) ⇒ HG = 2IJ − EF = 2. − = . 3 2 2 3.

<span class='text_page_counter'>(47)</span>