tich phan 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG 3 : NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. NGUYÊN HÀM y  f  x y F  x  1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên K , hàm số được gọi là nguyên y  f  x F ' x   f  x  hàm của hàm số trên K khi và chỉ khi: x  K , ta có: . Kí hiệu: f  x  dx F  x  . 4 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y  x  x. Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y 2sin x 2. Tính chất: y F  x  y  f  x - Định lý 1: Nếu hàm số là nguyên hàm của hàm số thì hàm số f  x  dx F  x   c y F  x   c y  f  x cũng là nguyên hàm của hàm số . Khi đó ta có:  với c là hằng số. u u  x  , v v  x  - Định lý 2: Cho các hàm số xác định trên K . Khi đó ta có:  u v  dx udx vdx 1.  kvdx k vdx 2.  , với k là hằng số. - Định lý 3: Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số liên tục trên đoạn.  a; b . đều có nguyên hàm trên. a; b.  đoạn  3.Bảng nguyên hàm cơ bản: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 1  1  x dx  x C   1 dx x ln x  C  x 0  x x e dx e  C ax  C  0  a 1 ln a cos xdx sin x  C. du u  C 1  1  u du  u C   1 du u ln u  C  u 0  u u e du e  C au  C  0  a 1 ln a cos udu sin u  C. x a dx . u a du . sin xdx  cos x  C. sin udu  cos u  C. dx. cos. 2. x. tan x  C. dx sin 2 x  cot x  C. du. cos. 2. u. tan u  C. du sin 2 u  cot u  C. Bảng nguyên hàm mở rộng:. dx 1 x a  ln x2  a2 2a x  a  C 1. . Đặc biệt. dx 1 x 1  x 2  12 2 ln x  1  C.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2..  . dx 2. 2. 2. 2. x a dx. ln. x2  a 2  x  C. ln. x2  a2  x  C. x  a dx x sin x ln tan 2  C 4. dx  x   ln tan    C cos x  2 4 5. xdx 1  ln x 2  a 2  C 2 2  2 6. x  a xdx 1  ln x 2  a 2  C 2 2  2 7. x  a xdx 2 2  x2  a2  x  a  C 8. xdx 2 2  x2  a2  x  a  C 9. x 2 a 2 2 2 x  a dx  x  a  ln x  x 2  a 2  C  2 2 10. x a x 2  a 2 dx  x 2  a 2  ln x  x 2  a 2  C  2 2 11. 3.. §2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I. PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:. 1 I x8dx  x 9  C 9 • dx 1 1 I =  5 x  5dx  x  51  C  x  4  C x  5 1 4 • 2 1 4 I  x 2  2 x  dx  x 4  4 x3  4 x 2  dx  x 5  x 4  x 3  C 5 3 • dx 1 dx 1 I     ln x  C 2x 2 x 2 • 1 I e 2 x dx  e 2 x d  2 x  e 2 x  C 2 • 1 1 I e 4 x dx  e 4 x d  4 x   e 4 x C 4 4 •.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> •. 1 1 I cos 2 xdx  cos 2 xd  2 x   sin 2 x  C 2 2 1 1 I sin 2 xdx  sin 2 xd  2 x   cos 2 x  C 2 2 2 2 1 1 2 I x.e x dx  e x d  x 2   e x  C 2 2 d  cos x  sin x I tan xdx  dx    ln cos x  C cos x cos x d  sin x  cos x I cot x  dx  ln sin x  C sin x sin x sin 2 x 1 d  cos 2 x  1 I tan 2 xdx  dx    ln cos 2 x  C cos 2 x 2 cos 2 x 2 cos 2 x 1 d  sin 2 x  1 I cot 2 xdx  dx    ln sin 2 x  C sin 2 x 2 sin 2 x 2 1 I sin 2 x.cos xdx sin 2 xd  sin x   sin 3 x  C 3 1 I cos 2 x.sin xdx  cos 2 xd  cos x   cos3 x  C 3 1 I sin x.cos 4 xdx  cos 4 xd  cos x   cos5 x  C 5 1 I cos x.sin 4 xdx sin 4 xd  sin x   sin 5 x  C 5. •. I  1  3sin 2 x  cos xdx  1  3sin 2 x  d  sin x . • • • • • • • • • •. d  sin x   3sin 2 xdx sin x  sin 3 x  C •. I cos3 xdx cos 2 x.cos xdx  1  sin 2 x  .cos xdx.  1  sin 2 x  d  sin x  sin x  • • • •. 1 3 sin x  C 3. 1 I sin 3 xdx sin 2 x.sin xdx   1  cos 2 x  d  cos x   cos3 x  cos x  C 3 1  cos 2 x 1 1 1 1 I sin 2 xdx  dx  dx  cos 2 xdx  x  sin 2 x  C 2 2 2 2 4 1  cos 2 x 1 1 1 1 I cos 2 xdx  dx  dx  cos 2 xdx  x  sin 2 x  C 2 2 2 2 4 1  cos 4 x 1 1 x 1 I sin 2 2 xdx  dx  dx  cos 4 xdx   sin 4 x  C 2 2 2 2 8.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1  cos 4 x 1 1 x 1 I cos 2 2 xdx  dx  dx  cos 4 xdx   sin 4 x  C 2 2 2 2 8 • sin 2 x 1  cos 2 x dx 2 I tan xdx  2 dx  dx  2  dx tan x  x  C 2 cos x cos x cos x • cos 2 x 1  sin 2 x dx I cot xdx  2 dx  dx  2  dx  cot x  x  C 2 sin x sin x sin x • 2. 2. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm: Trong Ví dụ này cần chú ý:. d  tan x  . dx  1  tan 2 x  dx 2 cos x. B1 tan 3 xdx  tan 3 x  tan x  tan x  dx  tan x  tan 2 x  1  tan x  dx • sin x tan x  tan 2 x  1 dx  tan xdx tan xd  tan x    dx cos x 1  tan 2 x  ln cos x  C 2 B2 tan 4 xdx  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x  dx tan 2 x  tan 2 x  1 dx  tan 2 xdx •. •. 1 tan 2 xd  tan x    tan x  x   C  tan 3 x  tan x  x  C 3 5 5 3 3 B3 tan xdx  tan x  tan x  tan x  tan x  tan x  dx tan 3 x  tan 2 x  1 dx  tan x  tan 2 x  1 dx  tan xdx. •. 1 1 tan 3 xd  tan x   tan xd  tan x   tan xdx  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C 4 2 6 6 4 4 2 2 B4 tan xdx  tan x  tan x  tan x  tan x  tan x  dx tan 4 x  tan 2 x  1 dx  tan 2 x  tan 2 x  1 dx  tan 2 xdx tan 4 xd  tan x   tan 2 xd  tan x   tan 2 xdx. •. 1 1  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C 5 3 7 B5 tan xdx  tan 7 x  tan 5 x  tan 5 x  tan 3 x  tan 3 x  tan x  tan x  dx tan 5 x  tan 2  1 dx  tan 3 x  tan 2  1 dx  tan x  tan 2  1 dx  tan xdx tan 5 xd  tan x   tan 3 xd  tan x   tan xd  tan x   tan xdx. 1 1 1  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln cos x  C 6 4 2 3. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> •. dx dx 1 d  2 x  1 1 1 I  2     . 2 x  1  C 2 2 4 x  4 x  1  2 x  1 2  2 x  1 2. d  sin x  cos x  sin x  cos x I  dx  ln sin x  cos x  C sin x  cos x sin x  cos x • d  e x  1 e x dx I  x  x ln e x  1  C e 1 e 1 • d  e x  e x  e x  e x I  x dx  x ln e x  e  x  C x x e e e e • I  • •. e x dx 2x. . x. e  4e  4. e x dx. e. x.  2. 2. d  e x  2 e x dx  x  x ln e x  2  C e 2 e 2. cos 2 x   cos x  cos3 x  cos x  cos 2 x  cos3 x I  dx  dx sin x  sin 2 x  sin 3 x sin 2 x   sin x  sin 3 x  cos 2 x  2cos 2 x cos x  cos 2 x  1  2cos x  dx  dx sin 2 x 1  2cos x   sin 2 x  2sin 2 x cos x cos 2 x 1 d  sin 2 x  1  dx    ln sin 2 x  C sin 2 x 2 sin 2 x 2. II. PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP. DẠNG. Đặt t ax  b.  ax  b  dx x .x dx n 1. f . n. n 1 Đặt t x.  2dxx. x .. Đặt t  x. f  sin x  cos xdx f  cos x  sin xdx dx. f  tan x  cos. 2. x. dx sin 2 x x x f  e  .e dx. f  cot x . dx x 1  1  f  x  x  . x  x  dx. f  ln x . CÁCH ĐỔI BIẾN. Đặt t sin x Đặt t cos x Đặt t tan x Đặt t cot x x Đặt t e. Đặt t ln x. Đặt. t x . 1 x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2. MỘT VÀI VÍ DỤ •. I  x 2004  1.x 2003dx t x 2004  1  dt 2004 x 2003dx  x 2003dx . Đặt. •. 1 dt 2004 . Từ đó ta được:. 1 1 1 1 2 23 2 I tdt  t dt  . t C 2004  2004  2004 3 3 1 1  t3  C  x 2004  1  C  3006 3006 e x  x 1 e x 1 x I e dx e .e dx x x Đặt e t  e dx dt . Thay vào ta được:. L et 1dt et 1d  t  1 et 1  C ee •. I e 2 x. 2. ln x. Đặt. 2. 2 x 2 t  4 xdx dt  xdx  M et. dt 4. dt 1 t 1 2  e  C  e2 x  C 4 4 4. x dx x 1. I 10 Đặt. •. C. M e 2 x .eln x dx e 2 x .xdx. Ta được •. 1. dx 2. Ta có:. x. 10. x  1 t  x  1 t 10  dx 10t 9dt . Từ đó ta được:. t10  1 10 10 9 N  .10t 9 dt 10 t10  1 t 8dt 10 t18  t 8  dt  t19  t C t 19 9 10 10 19 9  10  x  1  10  x  1  C 19 9 10 I x 2  1  x  dx Đặt 1  x t  dx  dt . Từ đó ta được: 2. O  1  t  t 10   dt    1  2t  t 2  .t 10dt  t 10dt  2t 11dt  t 12dt. 1 11 1 12 1 13 1 1 1 11 12 13 t  t  t  C   1  x    1  x    1  x   C 11 6 13 11 6 13 2 x I  dx 100 1  x 1  x t . •. (Đặt. ). 2. •. I . x dx 2 x (Đặt. 2  x t ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> •. I . x5 1 x. 2. dx. 2 (Đặt 1  x t ). sin x.cos3 x 1 2sin x cos x.cos 2 x 1 cos 2 x I  dx   dx   .sin 2 xdx 2 2 2 1  cos x 2 1  cos x 2 1  cos x • 2 Đặt 1  cos x t  sin 2 xdx  dt 1t1 1 1 dt 1 1  S   dt   dt    t  ln t  C 2 t 2 2 t 2 2 III. PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 1. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả sử cần tính. I f1  x  . f 2  x  dx. , ta làm như sau:. u  f1  x    dv  f x dx    2 Đặt  I uv  vdu. du ...  v .... Từ đó. 2. CHÚ Ý Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:.  sin x,cos x  x Lôgarít  Đa thức   e. (Hàm lượng giác) (Hàm mũ). 3. MỘT SỐ VÍ DỤ Tìm các nguyên hàm: •. I xsin2xdx. Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt u x. du dx   1 v  cos 2 x  2 Đặt 1 1 1 1  I  x cos 2 x  cos 2 xdx  x cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 4 2 2x I x e dx u x   dv sin 2 xdx. •. Đặt. u x 2   2x dv e dx. du 2 xdx   1 2x 1  I  x 2e 2 x  v  2 e 2. xe. 2x. 1 dx  x 2e2 x  I1 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tính. I1 xe 2 x dx. u x   2x dv  e dx . Đặt Từ đó:. du dx 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x   1 2 x  I1  xe  e dx  xe  e  C 2 2 2 4 v  2 e. 2 x 2  2 x  1 e 2 x  1 2 2x 1 2x 1 2x I  x e  xe  e  C  C 2 2 4 4 1  cos 4 x 1 1 1 I x cos 2 2 xdx x. dx  xdx   x cos 4 xdx  x 2  I1 2 2 2 4 • 1  1 du  dx   u  x  2   2  1 dv cos 4 xdx v  1 sin 4 x I1  x cos 4 xdx  4 2 Tính . Đặt 1 1 1 1  I1  x sin 4 x  sin 4 xdx  x sin 4 x  cos 4 x  C 8 8 8 32 1 1 1 I  x 2  x sin 4 x  cos 4 x  C 4 8 32 Từ đó: •. I  2 x 2  x  1 e x dx P x 2. Với bài này, khi mà bậc của   , sử dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử dụng một cách khác được chỉ ra ở đây! • Cách 1: Đặt:. Tính. 2 u 2 x  x  1 du  4 x  1 dx    I  2 x 2  x  1 e x   x x dv e dx v e u 4 x  1 du 4dx    x x x I1  4 x  1 e dx dv e dx v e. . Đặt. x.  I1  4 x  1 e  4e x dx  4 x  1 e x  4e x  C  4 x  3 e x  C  I  2 x 2  x  1 e x   4 x  3 e x  C  2 x 2  3x  4  e x  C • Cách 2: Giả sử.  2 x. 2.  x  1 e x dx  ax 2  bx  c  e x  C '. '.   2 x  x  1 e dx    ax  bx  c  e  C    2 x  x  1 e  2ax  b  e   ax  bx  c  e 2. . 2. x. x. 2 x. x. 2. x. x.  4 x  1 e dx.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>   2 x 2  x  1 e x  ax 2   2a  b  x   b  c   e x 2 a   2 x 2  x  1 ax 2   2a  b  x   b  c   1 2a  b  1 b  c  Vậy •. a 2  b  3 c 4 .  I  2 x 2  3 x  4  e x  C. I e 2 x cos3xdx. du 2e 2 x dx u e 2 x   1  dv cos3 xdx v  sin 3x  3 Đặt 1 2 1 2  I  e2 x sin 3 x  e2 x sin 3 xdx  e 2 x sin 3 x  I1 3 3 3 3 2x du 2e dx u e2 x    1 dv sin 3xdx v  cos3 x 3  Đặt 1 2 1 2  I1  e 2 x cos3x  e2 x cos3x  e 2 x cos3x  M 3 3 3 3 Từ đó: 1 2 1 2 1 2 1 2  I  e2 x sin 3 x  M 1  e 2 x sin 3x  I1  e 2 x sin 3 x    e 2 x cos 3x  I  3 3 3 3 3 3 3 3 . 1 2 4 13 1 2  e2 x sin 3x  e 2 x cos3x  I  I  e 2 x sin 3x  e 2 x cos3 x  C1 3 9 9 9 3 9 2x  3sin 3x  2cos3x  e  C  I 13. • • •. 1 1 I  x 3 ln x  x 3  C 3 9 (ĐS: ) 1 4 1 4 3 I  x ln x  x C x ln xdx 4 16 (ĐS: ) 1 1 1 1 1 x 2 ln  x  1 dx ... x 2 ln  x  1  x 3  x 2  x  ln x  1  C 3 9 6 3 3. I x 2 ln xdx I. I. . x ln x  x 2  1. •. I . x2  1.  dx.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> . . u ln x  x 2  1 dx   du  2 x 1    x dx dv  2  2 v  x  1  x  1  Đặt . Ta được •. . . I  x 2  1ln x  x 2  1  x  C. . . I ln 2 x  x 2  1 dx dx  2 u ln 2 x  x 2  1  du 2ln x  x  1 . 2   x 1  dv dx v  x  Đặt: xdx  I x.ln 2 x  x 2  1  2ln x  x 2  1 . x2  1. . . . . . . . . . . . . u ln 2 x   dx  dv   x2 . dx  du  2ln x .  x  v  1  x .. x ln 2 x  x 2  1  2 x 2  1.ln x  x 2  1  2 x  C. 2. 2  ln x  ln x I  I  2 dx  dx  x  x • . Ta có . Đặt 1 1 I  ln x   C x x Ta được 1  dx dx  1 I   2  dx    2 I1  I 2 ln x ln x  ln x ln x  • . 1 dx   u  du  ln x   x ln 2 x  dv dx v x Tính I1 . Đặt  .. Từ đó. •. I x ln. Đặt. I1 . x x  I2 I C ln x ln x . Từ đó. x 1 dx x 1 .. x 1  u ln x 1   dv xdx. 2dx  du   x2  1  1 x 1  x 1 x2 I x  ln C  2 x  1 2 . Từ đó.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> •. I e. 3x.  3sin 2 x  sin 2 xdx ... . 2 2x. • •. I x e.  2x dx ... . 2.  2 x  1 e 2 x. 4 I  2 x 3  5 x 2  2 x  4  e 2 x dx Giả sử:. 2cos 2 x  e3 x C 13 C. Q  2 x 3  5 x 2  2 x  4  e 2 x dx  ax 3  bx 2  cx  d  e 2 x  C.   2 x3  5 x 2  2 x  4  e2 x  3ax 2  2bx  c  e2 x  2  ax3  bx 2  cx  d  e 2 x.  2 x3  5 x 2  2 x  4 2ax3   3a  2b  x 2   2b  2c  x  c  2d 2 2a 5 3a  2b      2  2 b  2 c  4 c  2d.  a 1 b 1   Q  x3  x 2  2 x  3 e 2 x  C  c  2 d 3. R  2 x 2  x  1 e x dx ...  2 x 2  3x  4  e x  C IV. PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN •. I sin xdx Đặt Đặt. x t  x t 2  dx 2tdt  I sin t. 2tdt  2t sin tdt u 2t   dv sin tdt.  du 2dt  I  2t cos t  2cos tdt  2t cos t  2sin t  C  v  cos t. Vậy I 2sin x  2 x cos x  C. dx  dt   dx xdt t ln x   x t  x e I sin  ln x  dx  • . Đặt x  sin  ln x   cos  ln x   I et sin tdt   C 2 Từ đó 2 3x dx dt 3 x t   6 2 3 I x8e x dx  x t •. •. . Đặt. .. 3 1 1 I  t 2et dt   x 6  2 x 3  2  e x  C 3 3 Từ đó I e x dx x t  x t 2  dx 2tdt  I 2 tet dt 2 xe. . Đặt. x.  2e. x. C.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> V. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ. I f  x  dx. Giả sử cần tính . Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ I  J I  J tính và đơn giản hơn. Chẳng hạn:. J g  x  dx. sao cho việc. sin x I  dx sin x  cos x • cos x J  dx sin x  cos x Ta có thể xét Khi đó:. sin x  cos x I  J  dx dx x  C sin x  cos x d  sin x  cos x  sin x  cos x I  J  dx    ln sin x  cos x  C sin x  cos x sin x  cos x 1 2 I x  ln sin x  cos x  C  I   x  ln sin x  cos x   C 2 Từ đó suy ra: 4 cos x I  4 dx sin x  cos 4 x • sin 4 x J  4 dx 4 sin x  cos x Ta có thể xét Khi đó:. sin 4 x  cos 4 x I  J  4 dx dx x  C sin x  cos 4 x cos 4 x  sin 4 x cos 2 x 2cos 2 x I  J  4 dx  dx   1 2 sin 2 2 x  2dx sin x  cos 4 x 1  sin 2 x 2 d  sin 2 x  1 sin 2 x  2    ln C 2 2 2 2 sin 2 x  2 sin 2 x  2.  . Từ đó suy ra:. 2 I x . 1 2 2. ln. sin 2 x  2 1 1 sin 2 x  2 C  I  x  ln C 2 sin 2 x  2 4 2 sin 2 x  2. ex I  x dx e  e x • e x J  x dx x e  e Ta có thể xét Khi đó:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> •. e x  e x I  J  x dx dx x  C e  e x d  e x  e x  e x  e x I  J  x dx  x ln e x  e  x  C x x e e e e 1 1 2 I x  ln e x  e  x  C  I  x  ln e x  e  x  C 2 2 Từ đó suy ra: 4sin x I  dx 3 sin x  cos x  . Ta có thể xét Khi đó:. I  J 4. J . 4cos x.  sin x  cos x . sin x  cos x.  sin x  cos x . 3. 3. dx. dx 4. dx.  sin x  cos x . 2. dx 4 2      2 sin  x  4     .   dx   4  2   2cot  x    C   4  sin 2  x   4  d  sin x  cos x  sin x  cos x 2 I  J 4 dx  4 2  sin x  cos x   C 3 3   sin x  cos x   sin x  cos x  Từ đó suy ra:  1  2   2 I  2cot  x    2  sin x  cos x   C  I   cot  x    C 2 4 4    sin x  cos x  §3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ 1. Phương pháp. Giả sử cần tính trường hợp:. P x. P x I  dx Q x. (trong đó. P  x  ; Q  x  là những đa thức của x ). Ta có hai. Q  x  . Xét các khả năng sau (ở đây ta xét Q  x  là đa thức. a) Bậc của   nhỏ hơn bậc của bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):. Q  x  có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử Q  x   x  a   x  b   x  c  . Khi đó ta P x A B C    Q x x a x b x c tìm A , B , C sao cho   . 2 Q x Q x  x  a   x  b  . Khi đó ta tìm A , B , C •   có nghiệm đơn và nghiệm kép,    •.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> sao cho. P  x A B C    Q  x x  a x  b  x  b 2. Q  x   x  a   x 2  px  q  ,  p 2  4q  0  Q x   • có một nghiệm đơn, . Khi đó ta tìm P  x A Bx  C   2 A , B , C sao cho Q  x  x  a x  px  q P x Q x P x Q x b) Bậc của   lớn hơn hoặc bằng bậc của   . Khi đó ta lấy   chia cho   và quay về trường hợp a). 2. Bài tập áp dụng: Tìm các nguyên hàm.. •. 6 x 2  10 x  2 6 x 2  10 x  2 I  3 dx  dx x  3x2  2 x  x  1  x  2  x Ta tìm A, B, C sao cho:. 6 x 2  10 x  2 A B C    x  x  1  x  2  x x  1 x  2  6 x 2  10 x  2  A  x  1  x  2   Bx  x  2   Cx  x  1  6 x 2  10 x  2  A  B  C  x 2   3 A  2 B  C  x  2 A 6  A  B  C  A 1 6 x 2  10 x  2 1 2 3    10 3 A  2 B  C   B 2     x  x  1  x  2  x x  1 x  2 2 2 A C 3   Từ đó:. •. 2 3  1 I    dx ln x  2ln x  1  3ln x  2  C  x x 1 x  2  6 x 2  26 x  26 6 x 2  26 x  26 J  3 dx  dx x  6 x 2  11x  6  x  1  x  2   x  3 Ta tìm A, B, C sao cho:. 6 x 2  26 x  26 A B C     x  1  x  2   x  3 x  1 x  2 x  3  6 x 2  26 x  26  A  x  2   x  3  B  x  1  x  3  C  x  1  x  2  Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A 3; B 2; C 1 Từ đó:. 2 1   3 J     dx 3ln x  1  2ln x  2  ln x  3  C  x  1 x  2 x  3 •. x 8 x 8 1   2 K  2 dx  dx    dx 2ln x  2  ln x  3  C x  x 6  x  2   x  3  x2 x  3.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> •. 3x 2  13x  11 3x 2  13x  11 L  3 dx  dx 2 x  5x2  8x  4 x  1 x  2    Ta tìm A, B, C sao cho:. 3x 2  13x  11.  x  1  x  2 . . 2. A B C   x 1 x  2  x  2 2 2.  3x 2  13x  11  A  x  2   B  x  1  x  2   C  x  1  3x 2  13x  11  A  B  x 2   4 A  3B  C  x   4 A  2 B  C  3  A  B  A 1    13 4 A  3B  C   B 2 11 4 A  2 B  C C 3   Từ đó:.  1 2 3  3 L    dx ln x  1  2ln x  2  C 2   x 1 x  2  x  2  x  2     2 x3  6 x 2  4 x  1 1 1   M  dx  2 x  dx  2 x        x  1  x  2   dx x 2  3x  2 x 2  3x  2    • 1 1   2  2 x   dx x  ln x  2  ln x  1  C x  2 x  1  d  x3  2 x 2  2 x  5 3x 2  4 x  2 N  3 dx  3 ln x 3  2 x 2  2 x  5  C 2 2 x  2x  2x  5 x  2x  2x  5 •. 3. Nguyên hàm dạng Ta xét một số ví dụ:. •. I . dx. I . 2.  x  a  x  b. 2. dx 2.  x  3  x  1. 2. Ta phân tích: 2. 1 2.  x  3  x  1. 2. 2 1   x  3   x  1  1 1 1         4   x  3  x  1  4  x 1 x  3 .  1 1 1 1 1 2 1 1 1             4   x  1 2  x  3 2  x  1  x  3  4   x  1 2  x  3 2 x  3 x  1 .

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Từ đó:.  1 1 1 1  I      dx 2 2 x  3 x  1 x  1 x  3       1 1 1 1 1 1  .  .  ln x  3  ln x  1  C 4 x 1 4 x  3 4 4. •. dx. J . 2.  x  3  x  4 . 2. Ta phân tích: 2. 1 2.  x  3  x  4 . 2. 1   x  4    x  3  1  1 2 1   .       49   x  3  x  4   49   x  3 2  x  3   x  4   x  4  2 . Từ đó:. J. 1 1 1 2 1 1 dx  dx  dx 2 49  x  3 49  x  3  x  4  49  x  4  2. 1 1 .  49 x  3 1 1  .  49 x  3 . 1 1 .  49 x  4 1 1 .  49 x  4. 1  1 1    dx  343  x  3 x  4  1 x 3 ln C 343 x  4. §4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số bài toán tìm nguyên hàm của hàm lượng giác có dạng khá đặc biệt.. dx I  sin  x  a  sin  x  b . I. Dạng 1. 1. Phương pháp tính Dùng đồng nhất thức: sin  a  b  sin   x  a    x  b   sin  x  a  cos  x  b   cos  x  a  sin  x  b  1   sin  a  b  sin  a  b  sin  a  b  Từ đó suy ra:. I. sin  x  a  cos  x  b   cos  x  a  sin  x  b  1 dx  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b . .  cos  x  b  cos  x  a   1    dx sin  a  b   sin  x  b  sin  x  a  . . 1  ln sin  x  b   ln sin  x  a    C sin  a  b  . 2. Chú ý Với cách này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> •. dx J  cos  x  a  cos  x  b  dx K  sin  x  a  cos  x  b . • 3. Ví dụ áp dụng. 1. sin  a  b  sin  a  b . 1. cos  a  b  cos  a  b . bằng cách dùng đồng nhất thức bằng cách dùng đồng nhất thức. dx I    sin x sin  x   6  •  sin   x     x   sin   6    2  sin  x    cos x  cos  x    sin x  6 1         1 6 6     sin 6 2 Ta có:          cos x     sin  x  6  cos x  cos  x  6  sin x   cos x 6        I 2 dx 2   dx     sin x   sin x sin  x   sin  x    6 6      Từ đó:    d  sin  x    d  sin x  6  sin x  2  2  2ln C   sin x   sin  x   sin  x   6 6   dx I    cos3 x cos  3 x   6  • Ta có:.  sin   3x     3x     6    2  sin  3 x    cos3 x  cos  3 x    sin 3 x  6 1         1 6 6     sin 6 2 sin. Từ đó:         sin  3 x    sin  3 x  6  cos3 x  cos  3 x  6  sin 3 x  sin 3 x 6      dx 2  I 2  dx  2  dx    cos3 x   cos3 x cos  3 x   cos  3 x   6 6  .    d  cos  3x    6   2 d  cos3x  2 2 cos3 x        ln C   3  3 cos3x 3  cos  3 x   cos  3x   6 6  .

<span class='text_page_counter'>(18)</span> dx I      sin  x   cos  x   3 12    •  cos   x      x        cos  3  12     4 1   2 cos 4 2 Ta có:            2  cos  x   cos  x    sin  x   sin  x    3 12  3  12               cos  x   cos  x    sin  x   sin  x   3 12  3  12    I  2  dx     sin  x   cos  x   3 12    Từ đó:     cos  x   sin  x   3 12   2  dx  2   dx     sin  x   cos  x   3 12             d  sin  x    d  cos  x    sin  x   3 12   3     2   2   2 ln C       sin  x   cos  x   cos  x   3 12  12     I tan  x  a  tan  x  b  dx. II. Dạng 2. 1. Phương pháp tính. tan  x  a  tan  x  b   Ta có: . sin  x  a  sin  x  b  cos  x  a  cos  x  b . sin  x  a  sin  x  b   cos  x  a  cos  x  b  cos  a  b   1 1 cos  x  a  cos  x  b  cos  x  a  cos  x  b . dx I cos  a  b   1 cos  x  a  cos  x  b . Từ đó: Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1. 2. Chú ý Với cách này, ta có thể tính được các nguyên hàm: •. J cot  x  a  cot  x  b  dx. •. K tan  x  a  tan  x  b  dx.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 3. Ví dụ áp dụng.     I cot  x   cot  x   dx 3  6  • Ta có:.     cos  x   cos  x      3 6   cot  x   cot  x        3  6   sin  x   sin  x   3  6  Ta có:         cos  x   cos  x    sin  x   sin  x   3 6 3  6     1     sin  x   sin  x   3  6       cos   x     x    3  6  3 1     1 . 1        2  sin  x   sin  x   sin  x   sin  x   3  6 3  6   3 1 3 I  dx  dx  I1  x  C    2  2 sin  x   sin  x   3  6  Từ đó: dx I1      sin  x   sin  x   3  6  Tính  sin   x       3   6 1   1 sin 6 2 Ta có: sin.     x   6  .           2  sin  x   cos  x    cos  x   sin  x    3 6 3  6              sin  x   cos  x    cos  x   sin  x   3 6 3  6   I1 2   dx     sin  x   sin  x   3  6  Từ đó:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>       cos  x   cos  x   sin  x   6 3 6  2  dx  2   dx 2ln C       sin  x   sin  x   sin  x   6 3 3        sin  x   sin  x   3 6 6   I  .2ln  x  C  3 ln  x C   2   sin  x   sin  x   3 3    Suy ra:     K tan  x   cot  x  dx 3  6  •     sin  x   cos  x      3 6   tan  x   cot  x        3  6   cos  x   sin  x   3  6  Ta có:         sin  x   cos  x    cos  x   sin  x   3 6 3  6     1     cos  x   sin  x   3  6       sin   x     x    3  6  1 1    1  . 1        2  cos  x   sin  x   cos  x   sin  x   3  6 3  6   1 1 1 K  dx  dx  K1  x  C    2  2 cos  x   sin  x   3  6  Từ đó: Đến đây, bằng cách tính ở Dạng 1, ta tính được:.   sin  x   dx 2 6  K1   ln C       3 cos  x   sin  x   cos  x   3  6 3     sin  x   3 6  K  ln  x C  3  cos  x   3  Suy ra:.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> dx I  a sin x  b cos x III. Dạng 3. 1. Phương pháp tính.   a b a sin x  b cos x  a 2  b 2  sin x  cos x  2 2 a2  b2  a b  Có:  a sin x  b cos x  a 2  b2 sin  x     I. 1 a 2  b2. dx. sin  x    . 1 a 2  b2. ln tan. x  C 2. 2. Ví dụ áp dụng. 2dx dx dx     3 sin x  cos x 3 1 sin x cos  cos x sin sin x  cos x 6 6 2 2 •    dx  x dx 6 6  C ln tan  x     C    ln tan       2 2 12   sin  x   sin  x   6 6   dx 1 dx J    cos 2 x  3 sin 2 x 2 1 3 cos 2 x  sin 2 x 2 2 •   d   2x  1 dx 1 dx 1 6         2 sin  cos 2 x  cos  sin 2 x 2   4   sin   2 x  sin   2 x  6 6 6  6    2x 1 1    6  ln tan  C  ln tan   x   C 4 2 4  12  I . dx I  a sin x  b cos x  c IV. Dạng 4. 1. Phương pháp tính.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 2dt  dx 1  t 2  sin x  2t  x 1 t2 tan t   2 2 cos x 1  t  1 t2  2t  tan x  1 t2  Đặt 2. Ví dụ áp dụng. dx I  3cos x  5sin x  3 • 2dt  dx   1 t2  x 2t  tan t  sin x  2 1 t2   1 t2 cos x  1 t2  Đặt 2dt 2dt 2dt 1 t2 I    3  3t 2  10t  3  3t 2 10t  6 1 t2 2t 3.  5  3 1 t2 1 t2 Từ đó: 1 d  5t  3 1 1 x    ln 5t  3  C  ln 5tan  3  C 5 5t  3 5 5 2 2dx J  2sin x  cos x  1 • 2dt  dx 1  t 2  x 2t  tan t  sin x  2 1 t2   1 t2 cos x  1 t2  Đặt 2dt 2. 4dt 4dt dt 1 t2 J    2 2  2 2 2 2t 1 t 4t  1  t  1  t 2t  4t t  t  2 2.  1 2 2 1 t 1 t Từ đó: 1  x x 1    dt ln t  ln t  2  C ln tan  ln tan  2  C 2 2  t t 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> dx K  sin x  tan x • 2dt  dx 1  t 2  x 2t  tan t  sin x  2 1 t2  2t  tan x   1 t2  Đặt 2dt 2 1 1 t2 1 dt 1 1  t K    dt    tdt 2t 2t 2 t 2 t 2  2 2 1 t 1 t Từ đó: 1 1 1 x 1 x  ln t  t 2  C  ln tan  tan 2  C 2 4 2 2 4 2 dx I  2 a.sin x  b.sin x cos x  c.cos 2 x V. Dạng 5. 1. Phương pháp tính. dx  a tan 2 x  b tan x  c  .cos2 x. I . tan x t . Đặt 2. Ví dụ áp dụng •. dx dt  dt I  at 2  bt  c cos 2 x . Suy ra. dx dx I  2  2 2 3sin x  2sin x cos x  cos x  3tan x  2 tan x  1 cos2 x. dx dt 2 cos x Đặt dt dt  I  2  3t  2t  1  t  1  3t  1 tan x t . 1  1 3  1 dt 1 d  3t  1  dt     4  t  1 3t  1  4 t  1 4  3t  1 1 t1 1 tan x  1  ln  C  ln C 4 3t  1 4 3tan x  1 dx dx J  2  2 2 sin x  2sin x cos x  2cos x  tan x  2 tan x  2  cos2 x . •. Đặt. tan x t . dx dt cos 2 x.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> d  t  1 dt  J  2  2 t  2t  2  t  1  3.  . . 1 2 3. ln. 2. . 1 2 3. ln. t  1 3 C t  1 3. tan x  1  3 C tan x  1  3. a sin x  b1 cos x I  1 dx a sin x  b cos x 2 2 VI. Dạng 6. 1. Phương pháp tính. Ta tìm A, B sao cho:. a1 sin x  b1 cos x  A  a2 sin x  b2 cos x   B  a2 cos x  b2 sin x  2. Ví dụ áp dụng. 4sin x  3cos x I  dx sin x  2cos x • Ta tìm A, B sao cho: 4sin x  3cos x  A  sin x  2cos x   B  cos x  2sin x   A  2 B 4  4sin x  3cos x  A  2 B  sin x   2 A  B  cos x    2 A  B 3 2  sin x  2cos x    cos x  2sin x  I  dx sin x  2cos x Từ đó: d  sin x  2cos x  2 dx   2 x  ln sin x  2cos x  C sin x  2cos x 3cos x  2sin x J  dx cos x  4sin x • Ta tìm A, B sao cho: 3cos x  2sin x  A  cos x  4sin x   B   sin x  4cos x   3cos x  2sin x  A  4 B  cos x    4 A  B  sin x 11  A    A  4 B 3 17    4 A  B 2  B  10  17 11 10  cos x  4sin x     sin x  4cos x  17 J 17 dx cos x  4sin x Từ đó: 11 10 d  cos x  4sin x  11 10  dx   x ln cos x  4sin x  C  17 17 cos x  4sin x 17 17.  A 2   B  1.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 3. Chú ý. I . a1 sin x  b1 cos x. dx. 2.  a2 sin x  b2 cos x  ta vẫn tìm A, B sao cho: 1. Nếu gặp a1 sin x  b1 cos x  A  a2 sin x  b2 cos x   B  a2 cos x  b2 sin x  a sin x  b1 cos x  c1 I  1 dx a sin x  b cos x  c 2 2 2 2. Nếu gặp ta tìm A, B sao cho: a1 sin x  b1 cos x  c1  A  a2 sin x  b2 cos x  c2   B  a2 cos x  b2 sin x   C Chẳng hạn:. I . . •. 8cos x 3 sin x  cos x. . 2. dx. Ta tìm A, B sao cho:.   3 cos x  sin x   8cos x  A 3  B  sin x   A  B 3  cos x. 8cos x  A. . 3 sin x  cos x  B.  A 3  B 0     A  B 3 8 2. I  Từ đó:. 2. .  A 2   B 2 3. . 3 sin x  cos x  2 3. . . 3 cos x  sin x. 3 sin x  cos x. . 2. . .  dx. d 3 sin x  cos x dx  2 3 2 I1  2 3 sin x  cos x 3 sin x  cos x. . . 2 3 C 3 sin x  cos x. dx 1 dx 1 dx     2 sin x cos   cos x sin  3 sin x  cos x 2 3 1 sin x  cos x 6 6 2 2 Tìm    dx  x 1 dx 1 6 1 6  C  1 ln tan  x     C       ln tan    2  2 2   2 2 2 12   sin  x   sin  x   6 6   2 3 x  I ln tan     C 2 12 3 sin x  cos x   Vậy I1 . 8sin x  cos x  5 J  dx 2sin x  cos x  1 •.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Ta tìm A, B, C sao cho:. 8sin x  cos x  5  A  2sin x  cos x  1  B  2cos x  sin x   C  8sin x  cos x  5  2 A  B  sin x    A  2 B  cos x  A  C 2 A  B 8  A 3     A  2 B 1   B 2  A  C 5 C 2   3  2sin x  cos x  1  2  2cos x  sin x   2 J  dx 2sin x  cos x  1 Từ đó: 2cos x  sin x dx 3dx  2  dx  2 2sin x  cos x  1 2sin x  cos x  1 3x  2ln 2sin x  cos x  1  2 J1 dx J1  2sin x  cos x  1 Tìm 2dt  dx   1 t2  x 2t  tan t  sin x  2 1 t2   1 t2 cos x  1 t2  Đặt 2dt dt dt 1 1 1  1 t2  J1      t 2  2t t  t  2  2  t t  2 dt 2t 1 t2 2.  1 1 t2 1 t2 x tan 1 t 1 2 C  ln  C  ln 2 t 2 2 tan x  2 2 x tan 2 C J 3x  2ln 2sin x  cos x  1  ln x tan  2 2 Vậy: VII. Dạng 7. Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản hoặc 6 dạng ở trên. 1  cos x  cos7 x  dx 2 • 1 1 1 1  cos xdx  cos7 xdx  sin x  sin 7 x  C 2 2 2 14 1 I cos x sin 2 x cos3xdx  sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x  dx 2 • I cos3x cos 4 xdx .

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 1 1 sin 2 x cos 2 xdx  sin 2 x cos 4 xdx 2 2 1 1  sin 2 xd  sin 2 x     sin 2 x  sin 6 x  dx 4 4 1 1 1  sin 2 2 x  cos 2 x  cos6 x  C 8 8 24     I tan x tan   x  tan   x  dx 3  3  • .     sin x sin   x  sin   x      3  3  tan x tan   x  tan   x   3  3  cos x cos    x  cos    x      3  3  Ta có: 2  1   sin x  cos 2 x  cos  sin x  1  2sin 2 x   3  2     2  1   cos x  cos 2 x  cos  cos x  2cos 2 x  1   3  2   sin x  3  4sin 2 x  3sin x  4sin 3 x sin 3 x    cos x  4cos 2 x  3 4cos3 x  3cos x cos3 x. •. sin 3x 1 d  cos3 x  1 I  dx    ln cos3 x  C cos3x 3 cos3x 3 Từ đó: I sin 3 x sin 3 xdx 3sin x  sin 3 x 4 Ta có: 3sin x  4sin 3 x  sin 3 x sin 3x  .sin3x 4 3 1 3 1  sin x sin 3 x  sin 2 3 x   cos 2 x  cos 4 x    1  cos6 x  4 4 8 8 3 3 1 1  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  8 8 8 8 3 1 1 3 I  cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  dx 8 8 8 8 Từ đó: 3 3 1 1  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  x  C 16 32 48 8 sin 3 x 3sin x  4sin 3 x  sin 3 x . •. I  sin 3 x cos 3 x  cos3 x sin 3x  dx. Ta có:. sin 3 x . 3sin x  sin 3 x 4.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 3cos x  cos 3x 4 3sin x  sin 3x 3cos x  cos 3 x sin 3 x cos 3x  cos3 x sin 3x  .cos 3 x  .sin 3 x 4 4 Suy ra: 3 1 3 1  sin x cos 3x  sin 3x cos 3x  cos x sin 3 x  cos 3x sin 3 x 4 4 4 4 3 3 3   sin   2 x   sin 4 x    sin   2 x   sin 4 x   sin 2 x 8 8 4 3 3 I  sin 2 xdx  cos 2 x  C 4 8 Vậy dx dx 1 1 dx 1 dx I    . .  1  tan 2 x   3 4 2 2 sin x cos x tan x cos x tan x cos x cos x tan x cos 2 x • dx tan x t  dt cos2 x Đặt cos3 x . t2 t dt 1 1  I  dt tdt    t 2  ln t  C  tan 2 x  ln tan x  C t t 2 2 dx cos xdx I  4  sin x cos x sin 4 x cos 2 x • Đặt sin x t  cos xdx dt dt 1 t4  t4 1 t2 dt  I  4  dt  dt  4    t 1 t2 t 1 t2  t 4 1 t 2  dt dt  4   2  t t. dt. 1.  t  1  t 1  3 t. 3. . 1 1 t1  ln C t 2 t 1. 1 1 1 sin x  1   ln C 3 3sin x sin x 2 sin x 1 sin 3 x sin 4 x sin 3 x sin 4 x I  dx  dx sin 4 x cos 2 x cos xdx sin 3 x tan x  tan 2 x cos x cos 2 x • 1 1 1   sin 6 x  sin 2 x  cos xdx  sin 6 x cos xdx  sin 2 x cos xdx 2 2 2 1 1   sin 7 x  sin 5 x  dx   sin 3 x  sin x  dx 4 4 1 1 1 1  cos 7 x  cos 5 x  cos 3x  cos x  C 28 20 12 4 dx I  3 sin x • . 1  cos x u    dx du  sin x   sin 2 x   dv  dx v  cot x 2  sin x  Đặt cot x cot x.cos x cot x  I   dx   I1 2 sin x sin x sin x.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> cos 2 x 1  sin 2 x dx dx x I1  3 dx  dx  3   I  ln tan  C 3 sin x sin x sin x sin x 2 Tính cot x cot x x  I   I1   I  ln tan  C sin x sin x 2 x cot x 1 x cot x  2 I ln tan   C  I  ln tan  C 2 sin x 2 2 2sin x dx 1  tan x  x   I  3 ...    ln tan      C cos x 3  cos x  2 4 •. A. TÍCH PHÂN b. b. f  x  dx F  x  a F  b   F  a . Công thức Newton – leibnizt:. a. b. b. udv  uv  a  vdu. Tích phân từng phần:. a. a. b. Định lí quan trọng:. b. c. b. f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a. a. b. c. với a  c  b. a. f  x  dx  f  x  dx a. b. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x4  3 f  x  x2 1. x f  x  2 sin 2 2 4.. 2. 5.. x f  x . 2.  1 x. 2. 2. 3.. f  x   tan x  cot x . 2. 6.. f  x  f  x . 1 2  3 x x. cos 2 x sin 2 x cos 2 x. x.   e f  x  e x  2   2 f x 2 sin 3 x cos 2 x f x 2a x  3 x cos x   7.   8. 9.   2 5 f  x  f  x  2 2 f x sin 7 x cos5 x cos x 1 x x  3x  2 10. 11. 12.   16.. f  x . . . x1 x 2. 2. 2. 17.. 19.. f  x  cos x. 21.. f  x  2sin 3 x cos 2 x. 20.. x 1 3 x. 18.. f  x  tan 2 x. 1 sin x cos 2 x. 21.. f  x  sin 3 x. f  x  e x  e x  1. 23.. f  x  e3 x 1. f  x  f  x . 22.. 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Bài tập 2: Tìm nguyên hàm 1. 3.. F  x. f  x  2  x 2 , F  2  . f  x. của hàm số. 7 3. 2.. thỏa mãn điều kiện:. f  x  4 x  x, F  4  0. x 3  3x 2  3x  1 1 f  x  , F  1  2 x  2x 1 3 4.. f  x  4 x3  3 x 2  2, F   1 3. Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:.  2x 1. . 2. 7.  1 xdx. 7.. . x 1 x. 5.. . 2. sin x dx 5 x.  10. cos. dx  13. sin x ex. 4.  5  x 2 dx. 3. 3x 2. x dx 2  x  5 4. 1. . x 2. . dx.  5  2x. 3. dx. ln 3 x  x dx 8. 11.. cot xdx. dx  14. cos x. 3.. x 2  1dx. x. 1 dx  e  1 6. x. 2. 9.. x 1 xe dx. tan x dx 2 x.  12. cos e. 15.. . x. x. dx. e tan x dx  ex  3 cos3 x sin 2 xdx 2   cos x 16. 17. 18. Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x 2  5  sin xdx x 2  2 x  3 cos xdx x sin 2 xdx     1. 2. 3.  x cos 2 xdx xe x dx ln xdx   4. 5. 6.  ln x dx 2  x ln xdx ln xdx   x 7. 8. 9. dx. x dx 2  cos x 10. e x cos xdx  13. 2 x xdx 16.  ln  x  1 dx  x2 19.. sin xdx 11.  x e dx 14.  x lg xdx 17.  3 x2. x 20. . 2. 2. ln  x  1 dx 12.  x ln  x  1 dx 15.  2 x ln  x  1 dx 18.  2. cos 2 xdx. DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dưới dấu tích phân. Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân. Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1 16 8 2 x  5x  3 2 2 x x  1 dx x x x  1 dx dx        3 x 1. 0 2. 1 3. 1.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 4. 4.. 1 x. x. 3. x. 1. 2. dx. 5. 2x2  x  5 dx  x  3 4 7. 4 x 3 dx 2  x  3 x  2 10. 3 2 2  x 1    dx  x  3   13. 1. 4. 3 dx  5 x  3 5. 1 5 2x  3 dx 2  x  3 x  2 4 8.. 2x  1 dx  1  x 6. 2 5 1 dx 2  x  3 x  2 4 9.. 5. 5. 3 dx 2  x  6 x  9 4 11. 1 x3 dx  x2 1 0 14. Bài tập 2: Tính các tích phân sau:. 1.. 4.. x. 12.. 2. 4. 2x  1 dx  6x  9.  2.  2.  2. cos3x cos xdx. sin 2 x sin xdx. cos x sin 3xdx. 0. 2.. 0.  2. sin 2 x cos5 xdx. cos. 5..  3. 4. sin. xdx 6.. 0. cos 2 x dx 2 2   sin x cos x.  4. ln 2. 2. 0.  3.  2 0. 3.. 2.  6. 1 dx x cos2 x.  e x  e 3  dx  cos 2 x   0 6 7. 8. Bài tập 3: Tính các tích phân sau: 8 1 1 x x 15 8 dx x 1  x dx dx    1  x 1  x 1. 3 2. 0 3. 0. . e x  1dx. . x. 3/2. dx. 2 4. 0 5. 1 x 1  x Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 1. 1.. x e. 2. 2. 6.. x. 2.. 0. 1. 1 2 sin x e cos xdx 0. 1  x2. 1/2.  2. xdx. dx. 3.. x. e x e e dx 0.  2. etgx e dx dx   cos 2 x x 0 1 4. 5. Bài tập 5: Tính các tích phân sau: e. ln x.  2. 1.. sin x dx  1  2 cos x 0 1. 4.. e 0. e. 2.. x. . dx 5.. 1. 1 dx  e x ln x 27. ex x. e2. 1. 3.. dx. . x 1 3 x. e. x. sin e x dx. 0. . . 6.. cos 0. 4. xdx.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> ln 2.  /2. dx x  e  e x 0. 7..  /2. 8.. 2 ln 2. cos x dx 3  sin x  /6. 9.. dx. . ex  1. ln 2.  2. 3. cos3 x dx  sin 3 x  cos3 x 0. sin x dx 3  sin x  cos3 x 0. 10. 11. Bài tập 6: Tính các tích phân sau:  /2. 1..  /2. e. x. cos xdx 2.. 0. 1. e. x ln  1  x  dx 2. 4.. 5.. 0.  /2. 7.. 8.. 0.  /2. e. x.  ln x . 2. sin xdx. 3.. dx 6.. 0.  1  ln x . 2. dx 9.. 1. 1.. x. a  x dx. . 2.. 2 /2. 1  x2 dx x2. 12..  1 2. e. x. x. 2.  2 x  3dx 5.. 0. x. 3.. 1. 4 x. 2. dx 8.. 2 2 x 1  x dx 0. 1   dx ln x  dx. x. 4  ln 2 x. 1. 1. 6.. 1. 1 2. 1 dx  9  x2 0. . e. 3. 3. 7.. 1/ e.  ln. 1. 4.. ln x dx. x ln  1  x  dx.  a  0. 0.  /6. e2. 1 2. x  sin x. 1  cos x dx. 1. a 2. 0. e. 10. 0 11. 0 Bài tập 7: Tính các tích phân sau: 2. x sin x dx 2 x. cos  /2. e. 2 x sin xdx. . x dx 2  sin x  /4. x. 2. 1. 2. 9.. x 1. 1 dx  2x  5 1. 2. 4  x2. Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 2 x 1. y  x  2 x, x  1, x 2, Ox 2. y  xe , y 0, x  1, x 2 2.  y tgx, x 0, x  , y 0 3 4. ln x x 1, x e, y 0, y  2 x 6.. 3. y  x  4 x, x  1, x  3 ln x y  2 , y 0, x 1, x 2 x 5. x 2  3x  1  y , x 0, x 1, y 0 y sin 2 x cos3 x, y 0, x 0, x  x 1 2 7. 8. Bài tập 9: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 5 y  x  1 , y e x , x 0, x 1 1. 1 1   y  2 ,y  2 ,x  ,x  sin x cos x 6 3 2.. dx.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 3.. y 2  sin x, y 1  cos 2 x, x   0;  . x2  C :y  2 x  1 và các đường 4. Tìm b  0 sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  thẳng y 1, x 0, x b bằng 4 . Bài tập 10: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau: 2 2 2 1. y  x  2 x, y  x  4 x 2. y  x  2 x và y  3 x 2 3. y  2 y  x 0 và x  y 0. y  x2  4 x  3 5. và y  x  3 Bài tập 11:. 2 4. y  x  5 0 và x  y  3 0 x2 x2 y y  4 4 2 4 và 6..   D  y tgx, y 0, x 0, x   3  1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: a) Tính diện tích hình phẳng D . b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox . P : y 2 8 x 2. Cho hình phẳng D giới hạn bởi:   và x 2 . Tính thể tích khối tròn xoay khi D quay hình phẳng   quanh trục Ox . 3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 2 1 x 1; x 2; y  ; y  x x. 2 2 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y 4  x và y  x  2 . Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này. Bài tập 12:   D  y tg 2 x, y 0, x 0, x   4  1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: a) Tính diện tích hình phẳng D . b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox . D  y  x ln x, y 0, x 1, x e 2. Tính VOx , biết   x3 D  y  , y  x 2  3   3. Tính VOx , biết   D  y 0; y  1  sin 4 x  cos 4 x ; x 0; x   2  4. Tính VOx , biết. 5. Tính VOx , biết. D  x 2  y 5 0; x  y  3 0. D  y 2 x 2 ; y 2 x  4 V Ox 6. Tính , biết D  y  x 2  4 x  6; y  x2  2 x  6 V Ox 7. Tính , biết.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> . D  y x2 ; y  x V Ox 8. Tính , biết. . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG SAU.  4 6. 2 3 2 7. y  x ; y 0; x 1; y sin x 8. y 0; x 0; x . x 1. y  x e ; Ox; x 1; x 2 2. y ln x; x 1; x 2; Ox. y tgx; y 0; x 0; x . 3 3. y  x  1; Ox; Oy; x 1 2 4. y 1  x ; y 0. x 2. 9. y  xe ; y 0; x 0; x 1 2 10. y  x  2 x; Ox. 5. y cos x; y 0; x 0; x  TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU e e ln 3 x dx x ln xdx 3   x 1. 1 2. 1. x. 2. ln xdx 5.. 1.  x  cos x  sin xdx 0. ln  x.  x  dx. 2. 1. 8.. 9.. 11.. ln x. x. 5. dx. 1.  /2 x. 0. 1. . 1. 1. x cos xdx.  1 dx.  x  x  ln xdx 2. 2 x tan xdx.  /4.  /2. 10.. 6.. 2. 0. e.  /3. 2. 7.. 3.. x ln  x.  /2. e. 4.. 1. xe dx. 12.. 0. e. x. cos xdx. 0. TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU 1. 1..  /2. xe. 3x. dx. x sin 2 xdx. 4. 7..  x  1 cos xdx. 2.. 0.  /2. 0. 5..  /6. 0.  2  x  sin 3xdx. 3.. 0. e. e. x ln xdx.  1  x  ln xdx 2. 6.. 0. 1. 3. 1. 2. 4 x ln xdx. 2 x ln  3  x  dx.  x. 1. 8.. 0. 10.. x cos xdx 0. 2. 13.. ln x. x. 5. 11.. dx. 1. sin xdx 0. x. 14..  /2 2. cos xdx 12.. 0. x cos. 2. xdx. 0. 15.. 2.  2 x  sin xdx. 0. e. x ln xdx. 18.. x. sin xdx. 0.  /3 2. 1.  x 1. e. 17..  1 e x dx. 1.  /2. 2. 16.. 9..  /2. . 2. x  sin x dx  cos 2 x 0.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>  /4. . 19.. x sin x cos  x  1. 2. ln x.  x  1. 2. x  2cos. e dx 23. dx 2. 1/ e. 26.. 2. x  1 dx. 0. e.  x ln x . 2. x ln  1  x  dx 2.  /2. dx 24.. 1. 0. cos x ln  1  cos x  dx 0. 1. 1. 2 x tan xdx.  x  2  e. 27.. 0. dx. 0.  x  cos x  sin xdx 3. 30. 3.  2 x  7  ln  x  1 dx. ln  x. 32.. 2x.  /2. ln x dx  x 1 29.. 2. 31. 0. ln  1  x  dx 2 x 1 21.. . e. 1. 28.. 20.. 2x. 0. e. 25.. xdx. 0. 1. 22.. 2. 2. 2.  x  dx. 0.

<span class='text_page_counter'>(36)</span>