conh thuc toan thpt

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÍ KÍP ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN GV Đoàn Quốc Đông x. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. (a  b)2 a2  2 ab  b2. 4. (a  b)3 a3  3a2 b  3ab 2  b3. 2. (a  b) a  2 ab  b. 5. (a  b)3 a3  3a2 b  3ab2  b3. 2. 2. 2. 3. a 2  b 2 (a  b)(a  b). ax  b.  trái dấu a. . b a 0.  cùng dấu a “Phải cùng, trái trái”. 2 2.Dấu của tam thức bậc hai: f ( x ) ax  bx  c(a 0). 6. a3  b3 (a  b)( a 2  ab  b 2 ). 7. a3  b3 (a  b)(a 2  ab  b2 ). 1.Dấu của nhị thức bậc nhất: f ( x ) ax  b(a 0). x. 0. 2. II.Phương trình bậc hai: ax  bx  c 0(a 0). . . f ( x). 2 1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:  b  4ac    0 : Phương trình vô nghiệm.. x1  x2 .   0 : Phương trình có nghiệm kép:    0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:.  0. b 2a. x f ( x). x. 0. b  b  x1  x2  2a 2a ; 2.Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:. f (x). cùng dấu a. .  cùng dấu a.  cùng dấu a. b 2a 0. x1 0.  cùng dấu a x2. trái dấu a. 0.  cùng dấu a. “Trong trái, ngoài cùng” 3.Dấu của đa thức bậc  3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a Nếu “b chẵn” (ví dụ b 4;2 3;2m;  2(m  1);... ) ta dùng công thức của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi nghiệm thu gọn. dấu.  b  b'   2 2 IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R .  ' b '  ac   2   '  0 : Phương trình vô nghiệm. Cho tam thức bậc hai: f ( x ) ax  bx  c (a 0) b' a  0 a  0 x1  x2  f ( x )  0x  R   f ( x ) 0x  R   a   ' 0 : Phương trình có nghiệm kép:   0  0   '  0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: a  0 a  0 f ( x )  0x  R   f ( x ) 0x  R    b '  '  b '  '   0   0 x1  x1  a a ; V.Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối x1 , x2 ax 2  bx  c 0 a( x  x1 )( x  x2 ) A , khi A 0  Chú ý: với là hai nghiệm A  2  A , khi A  0 1.Phương trình : của phương trình bậc 2: ax  bx  c 0. .   A 0   A B A B     A  0   A B. .  B 0  A B    A B   A  B . 2 3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2 ax  bx  c 0 có 2 nghiệm. x1 , x2. thì:.  b S  x1  x2  a   P  x .x  c 1 2  a  “Tổng bà, tích ca” 4.Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:.  A B A B    A  B.  x1 1   x c  2 a  Nếu a  b  c 0 thì phương trình có nghiệm:   x1  1   x  c  2 a a  b  c 0  Nếu thì phương trình có nghiệm:  2 5.Dấu của nghiệm số: ax  bx  c 0(a 0).  . . Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.  2.Bất phương trình:. .  A B A B    A  B. x1  0  x2  P  0. Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt   0   P  0 S  0  Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt   0   P  0 S  0 . A  B A B  A   B. 0  x1  x2. . AB A B  AB  A  B A B    A B. . x1  x2  0. A  B  A2  B 2  A2  B 2  0  ( A  B)( A  B)  0 A  B  A2 B 2  A2  B 2 0. VI.Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai 1.Phương trình:. III.Dấu của đa thức:.  1.  B 0 A B   2  A B.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 5.Công thức nhân đôi: sin 2a 2sin a cos a.  A 0(B 0) A B  A B.  2.Bất phương trình:. . cos2 a cos2 a  sin2 a 2 cos2 a  1 1  2sin 2 a 2 tan a tan 2a  1  tan 2 a.  B  0    A 0 A B     B 0   A  B 2. 1 sin x.cos x  sin 2 x 2 Hệ quả: 6.Công thức hạ bậc: 1  cos2 x 1  cos2 x 1  cos2 x sin 2 x  ;cos2 x  ;tan 2 x  2 2 1  cos2 x 7.Công thức nhân ba:.  B  0    A 0 A B     B 0   A B 2. . sin3a 3sin a  4sin3 a;cos3a 4 cos3 a  3cos a 8.Công thức biến đổi tích thành tổng:.  A 0  A  B  B  0  A  B2 . 1 cos a cos b   cos(a  b)  cos( a  b)  2 1 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 2 1 sin a cos b   sin(a  b)  sin(a  b) 2 9.Công thức biến đổi tổng thành tích:.  A 0  A B   B 0  A B 2 . . ab a b cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b sin a  sin b 2sin cos 2 2 ab a b sin a  sin b 2 cos sin 2 2 cos a  cos b 2 cos.  A 0 A B A  B.  A 0 A B  A B VII. LƯỢNG GIÁC 1.Định nghĩa giá trị lượng giác:. 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém  - tan, cot. . Hai cung bù nhau:  và sin(   ) cos(   ) tan(   ) cot(   ). .   Hai cung đối nhau: và cos(  ) cos sin(  )  sin  tan(  )  tan  cot(  )  cot . sin  OK cos OH tan   AT cot  BS 2.Các công thức lượng giác cơ bản: sin  cos cos 2)cot   sin . 1)tan  . 3)sin 2   cos 2  1. 1 4)1  tan   2 cos  3.Các giá trị lượng giác đặc biệt: 2. 5)1  cot 2  . 1 sin 2 . 6)tan  .cot  1. .  sin   cos  tan   cot .   Hai cung phụ nhau:  và 2   sin     cos  2    cos     sin  2    tan     cot  2    cot     tan  2 . . 4.Công thức cộng: cos(a  b) cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a cos(a  b) cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a tan a  tan b tan a  tan b tan(a  b)  ;tan(a  b)  1  tan a tan b 1  tan a tan b. Hai cung hơn kém  :  và   sin      sin . Hệ quả:. 2. cos    .  cos. tan    . tan . cot    . cot .

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  sin x   sin x  cos x   cos x. sin( x  k ) cos( x  k ) tan( x  k ) cot( x  k ) . , k chaün , k leû. k Z. , k chaün , k leû. kZ. tan x cot x. nhất và bậc hai theo 1 hàm số tang hoặc cotang)  . k Z k Z.  Phương trình có chứa cả tan x và cot x : Điều kiện TH2: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu  Điều kiện: mẫu 0 sin x 0  x k .     2 2 Hai cung hơn kém : và   sin     cos  2    cos     2    tan     2    cot     2 .  x   k tan x 2 Phương trình có chứa : Điều kiện Phương trình có chứa cot x : Điều kiện x k. cos x 0  x . .  sin . tan x 0  x k.  2. cot x 0  x k.  2.  b). Cách chuyển hàm:.  tan .   sin  cos     2     cos sin     2     tan  cot     2 . “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ” 11.Công thức tính sin x,cos x,tan x theo. tan. x 2:. 2t 1  t2 2t x sin x  ;cos x  tan x  2 2 2 1  t 1  t 1  t2 Nếu đặt thì: 12.Một số công thức khác: t tan. .     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4   . .     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4    cot x  tan x .   . c). a sin 2 x  b sin x  c 0. 2. a cos2 x  b cos x  c 0. . . Cách loại dấu trừ:  sin  sin(  )  tan  tan(  )  cot  cot(  ). Ngoại lệ:  cos cos(   ) 14. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng. cot x  tan x 2 cot 2 x. sin4 x  cos4 x  sin 2 x  cos2 x. .   cot  tan     2 . 2 sin2x. 1 s in2x  sin x cos x .  2.   k 2. .  cot . x k. . 2.  2sin 2 x cos2 x 1 . 1 2 sin 2 x 2. sin 6 x  cos6  sin 2 x  cos 2 x sin 4 x  sin 2 x cos2 x  cos 4 x. . . a tan2 x  b tan x  c 0 a cot 2 x  b cot x  c 0. .  Đặt:. t sin x  t cos x  . 3 2 sin 2 x 4 13.Phương trình lượng giác cơ bản 1 .  u v  k 2 sin u sin v    u   v  k 2. Điều kiện  1 t 1. t tan x  t cot x  . Không có điều kiện t. Các công thức cần nhớ: 2 2 sin x 1  cos x sin 2 x  cos2 x 1   2 2  cos x 1  sin x.  u arcsin a  k 2 sin u a    u   arcsin a  k 2. Đặc biệt:  sin u 1  u   k 2 2 sin u 0  u k  sin u  1  u   k 2 2. . 2 2  cos2 x 2 cos x  1 1  2sin x 15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx và cosx : Là phương trình có dạng a sin x  b cos x c .. a 2  b 2 ta được:. Chia 2 vế của phương trình cho.  u v  k 2  u arccos a  k 2 cos u cos v   cos u a    u  v  k 2  u  arccos a  k 2 Đặc biệt: cos u 1  u k 2  cos u 0  u   k 2 cos u  1  u   k 2. a 2. a b. 2. sin x . b 2. a b. 2. cos x . 2. c 2. a  b2. 2.     a b     1  2 2  2 2  a  b a  b     Vì nên tồn tại 1 cung   a cos  2  a  b2  b sin    2 a  b2 .  Khi đó phương trình trở thành:. tan u tan v  u v  k tan u a  u arctan a  k cot u cot v  u v  k cot u a  u arccot a  k Lưu ý: a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện nếu gặp một trong hai trường hợp sau: TH1: Phương trình có chứa hàm số tang hoặc cotang (trừ phương trình bậc 3. sao cho.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> c. sin x.cos   sin  .cos x .  sin( x   ) . a 2  b2. c a  b2 2. c. a b 2 a c b c x 2 x '  ax 2  bx  c  a' b' a' c' b' c'    2 2 2 a ' x  b ' x  c ' ( a ' x  b ' x  c ')  . a2  b2. 1 . “anh bạn ăn cơm bằng chén”. a 2  b 2 c 2 Điều kiện có nghiệm: Công thức cần nhớ: sin  cos  sin  cos sin(  ). . IX.Các dạng toán về hàm số: 1.Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)  Tập xác định:.  16.Phương trình thuần nhất bậc hai: là phương trình có dạng. a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos2 x 0 (*).  cos x 0  x   k 2 TH1:.  sin. 2. . x 1.  thế vào (*). . 2 TH2: cos x 0 . Chia 2 vế (*) cho cos x ta được phương trình bậc 2 theo tan x. . 2 2 Lưu ý: Phương trình a sin x  b sin x.cos x  c cos x d với d 0 có thể đưa về dạng (*) bằng cách: 2. . 2. a sin x  b sin x.cos x  c cos x d. 17. Phương trình đối xứng và phản xứng : là phương trình có dạng a(sin x cos x )  b sin x cos x  c 0. . Đặt :. .   t sin x  cos x  2 sin  x   4   Điều kiện  2 t  2 2 t 1  sin x cos x  2. .   t sin x  cos x  2 sin  x   4   Điều kiện  2 t  2 2 1 t  sin x cos x  2. . VIII.Công thức tính đạo hàm: (c ) '  0.  u v . '. (ku)' k .u '. ( x )' 1 u 'v '.  uv . '. u ' v  uv '. '.  u  u ' v  uv '    v2  v ( x )' n.x n. n 1.  uvw  (u )' n.u n. '. n 1. '. u ' vw  uv ' w  uvw '. .u '. '. 1 1    2 x x   ' 1 x  2 x.  1 1    2 .v ' v v   ' u' u  2 u. (sin x )' cos x. (sin u)' cos u.u '. (cos x )'  sin x. (cos u)'  sin u.u '.  .  . 1 1 (tan x ) 1  tan x  2(tan u)' (1  tan 2 u).u '  2 .u ' cos x cos u 1 ' 1 ' 2 (cot x )  (1  cot x )  (cot2u)  .u '  (1  cot 2 u).u ' sin x sin 2 u '. 2. (e x )' e x. (eu )' eu .u '. (a x )' a x .ln a. (a u )' au .ln a.u '. (ln x )' . 1 x. (loga x )' . 1 (ln u)'  .u ' u 1 x ln a. (log a u)' . a b '  ax  b  c d ad  cb     2 cx  d ( cx  d ) ( cx  d )2  . 1 .u ' u ln a. ax  b cx  d ). Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y ' 0 tìm nghiệm. ax  b y cx d : Đối với hàm phân thức a b c d ad  bc y'   0 (cx  d )2 (cx  d )2.  a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos 2 x d (sin 2 x  cos2 x ). . Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức Đạo hàm: y '. y. (hoặc  0 ) x  D. Bảng biến thiên: Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị. Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức Vẽ đồ thị:. y. ax  b cx  d ). 3 2 Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y ax  bx  cx  d (a 0) Số a0 a0 nghiệm của phương trình y ' 0 y ' 0. có 2 nghiệm phân biệt y ' 0. có nghiệm kép. y ' 0. vô nghiệm. 4 2 Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y ax  bx  c(a 0) a0 a0. y ' 0. có 3 nghiệm phân biệt. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> y ' 0. 3 Ta có: y ' 0  4ax  2bx 0. có 1 nghiệm duy nhất.  2 x (2 ax 2  b) 0  x 0  2  2ax  b 0. Các dạng đồ thị của hàm số phân thức. y.  x 0   2 b x  2a . ax  b (c 0, ad  bc 0) cx  d. y'  0. y'  0. . (1) (2). Hàm số có 3 cực trị  Phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 b  0 2a .. Hàm số có 1 cực trị  Phương trình y ' 0 có 1 nghiệm  Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 b  0 2a . 4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) xác . 2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định: 3 2 a.Hàm bậc 3: y ax  bx  cx  d Tập xác định D R .. định trên 1 đoạn [a; b] . Đạo hàm y ' 3ax  2bx  c là 1 tam thức bậc 2. 2. .   y ' 0  y ' 0, x  R   ay '  0  Hàm số đồng biến trên R   y ' 0  y ' 0, x  R   ay '  0  Hàm số nghịch biến trên R ax  b y cx d b.Hàm nhất biến:. .  . . ad  cb (cx  d )2 có dấu phụ thuộc vào dấu của tử. Đạo hàm  Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  0 (Không có dấu “=”) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  0 (Không có dấu “=”). 3.Cực trị của hàm số:.  y '( x0 ) 0  x  y ''( x0 ) 0  Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại 0    y '( x 0 ) 0  x  y ''( x 0 )  0  Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại 0    y '( x0 ) 0  x  y ''( x0 )  0  Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại 0   3 2 a.Hàm bậc 3: y ax  bx  cx  d (a 0). Tìm. các. nghiệm. y( xi ) Tính y(a) , y(b) , So sánh và kết luận.. Tìm tập xác định. Tính đạo hàm y '. Lưu ý : Trục hoành có phương trình y 0 7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình. Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm.  y ' 3ax 2  2bx  c. . y ' 0 ..   Lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận. 5.Tìm giao điểm của hai đường. (C ) : y  f1 ( x ) (C ) : y  f2 ( x )  Cho hai đồ thị 1 và 2 . (C1 ) (C2 )  Phương trình hoành độ giao điểm của và là : f1 ( x )  f2 ( x ) (*)  Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào y  f1 ( x ) y  f2 ( x ) 1 trong 2 hàm số hoặc được tung độ giao điểm. 6.Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm cho trước. (C ) : y  f1 ( x ) (C ) : y  f2 ( x )  Cho hai đồ thị 1 và 2 . (C1 ) (C2 )  Phương trình hoành độ giao điểm của và là : f1 ( x )  f2 ( x ) (*) (C1 ) (C2 )  và cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có n nghiệm phân biệt.. y' . . Giải phương trình xi  [a; b](i 1,2,3...). b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng (a; b),(a; ),( ; b),[a; b),(a; b] ….  d D R \    c Tập xác định. . Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Tính đạo hàm y ' .. Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)  phương trình  y '  0  ay ' 0 y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt. của phương trình h( x , m) 0 .  . Hàm số không có cực trị  Phương trình y ' 0 vô nghiệm   y ' 0  ay ' 0 hoặc có nghiệm kép. 4 2 b.Hàm bậc 4 trùng phương: y ax  bx  c(a 0). . g(m). ….  y ' 4 ax 3  2bx 5. Biến đổi phương trình h( x , m) 0 về dạng f ( x ) g(m) (*). Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ  y  f ( x ) (C )  y g(m) (d ) thị :  Bảng kết quả : m Số giao điểm Số nghiệm … … ….

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …) 8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm. M 0 ( x 0 ; y0 ). là:. Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:.  .  x0   y0  f ( x 0 )  f '( x ) 0 . logb c c logb a Đặc biệt: a loga b b 10) a. Các tính chất quan trọng: loga   loga      Nếu a  1 thì loga   log a       Nếu 0  a  1 thì XI.Phương trình và bất phương trình mũ: 1.Phương trình mũ:. x0. . x0. Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm f ( x 0 )  y0 x  Giải phương trình tìm 0 . x f '( x0 )  Thay 0 vào y ' tính y  f '( x0 )( x  x0 )  y0  Phương trình tiếp tuyến: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .. y0. ..   Lưu ý:. . f '( x0 ).a  1  f '( x0 ) . thì X.Các công thức về lũy thừa và lôgarit: 1.Công thức lũy thừa:. a 1. a .a a m. 0. a n  n. 1 an. m. a .  a a    n b  b. n. n. a  a. f (x). log a x b  x a b. . loga f ( x ) b  f ( x ) a b. log a f ( x ) loga g( x )  f ( x ) g( x )  2.Bất phương trình lôgarit:. am a m  n an.  ab . n. . a n .b n. . 1 n. m.  Lưu ý lôgarit:. n. a  a. .  2. Công thức lôgarit: log a 1 0 1) log a a 1 2). loga b  log a b. 4). 1 loga b  log a b . 5).  . Đặc biệt:. log a ( bc) log a b  log a c. log a x  b  x  a b. . m n. g(x). .   Nếu a  1 thì a  a       Nếu 0  a  1 thì a  a    . 3). nếu a  1 a  b  f ( x )  log a b nếu a  1 x a  b  x  log a b nếu 0  a  1 f (x) a  b  f ( x )  log a b nếu 0  a  1 f (x) g(x) a  a  f ( x )  g( x ) nếu a  1.  a  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1  a XII.Phương trình và bất phương trình lôgarit: 1.Phương trình lôgarit:. Các tính chất quan trọng: . a x  b  x  log a b. . 1 a.. a m . n. n. a f ( x ) b  f ( x ) log a b. . n m n. . f (x). Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax  b thì f '( x0 ) a . Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax  b(a 0). . a x b  x log a b. . f '( x0 ) k x Giải phương trình tìm 0 . x y Thay 0 vào y ta tìm được 0 . y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Phương trình tiếp tuyến:. . . f (x) a g ( x )  f ( x ) g( x )  a 2.Bất phương trình mũ:. M 0 ( x 0 ; y0 ). Giả sử tiếp điểm là. . log a b.log b c log a c. 7). y vào y tính 0 x f '( x0 ) Thay 0 vào y ' tính y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Phương trình tiếp tuyến: Thay. 9). 6). y  f '( x0 )( x  x0 )  y0. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm  Tính đạo hàm y ' . 8). b log a b  log a c c (lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit) log b log a b  c logc a (đổi cơ số) 1 log a b  log b a log a. nếu a  1 loga f ( x )  b  f ( x )  a b nếu a  1 b log a x  b  x  a nếu 0  a  1 log a f ( x )  b  f ( x )  a b nếu 0  a  1 log a f ( x )  loga g( x )  f ( x )  g( x ) nếu a  1 log a f ( x )  loga g( x )  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1 đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và. a f ( x )  Không có điều kiện.  f (x)  0   f ( x ) 1  g( x )  0 log f ( x ) g( x )  Điều kiện:  x Đặt t a  Điều kiện: t  0. t log a x   Đặt Không có điều kiện t XIII.Công thức nguyên hàm-tích phân  Công thức nguyên hàm:. 1 log a n b  log a b n. Nguyên hàm cơ bản. 1.dx x  C  1. x  x dx   1  C. (lôgarit của tích bằng tổng các. lôgarit) 6. Nguyên hàm mở rộng. a.dx ax  C 1 (ax  b) 1  ( ax  b ) dx  . C  a  1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1. 1. x dx ln x  C. . 1. 1. dx 2 x  C. x. Ñaët P( x ) P( x ) A B C     2 Q( x ) ( x  a) ( x  b) ( x  a)2 x  a x  b. 1. ax  b dx  a .ln ax  b  C 1.  ax  b dx  a .2. 1 1  1 1      ( x  a)( x  b) a  b  x  a x  b . ax  b  C. 1 1 x 2 dx  x  C. 1 1 1 (ax  b)2 dx  a . ax  b  C. cos xdx sin x  C. 1 cos(ax  b)dx  a .sin(ax  b)  C. sin xdx  cos x  C. sin(ax  b)dx  a .cos(ax  b)  C. 1 cos2 x dx tan x  C. 1 1 cos2 (ax  b) dx  a .tan(ax  b)  C. 1. sin. 2. x. . . b. 1. S f ( x ) dx. . 1. S f ( x )  g( x ) dx. 2. e. ax  b. 1 dx  .e ax  b  C a. .  e x dx  e x  C. . dx . x C ln . . ax  b. b. V  [ f ( x )]2 dx a. b. t(b). a. t (a). XIV.Số Phức. I f [t( x )].t '( x )dx   f (t )dt. 1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng z a  bi , trong đó a, b là các số thực, i 2  1 . a: được gọi là phần thực b: được gọi là phần ảo. 1. f (ln x) x dx  x. x. Đặt t ln x. . f (e )e dx . . f (sin x )cos xdx . Đặt t sin x. . f (cos x )sin xdx . Đặt t cos x. . f (tan x ) cos. . f (cot x ) sin. . Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa. 2. x. 1. . . 2. x. dx  dx . Đặt t cot x.  . Số phức liên hợp: của số phức z a  bi là z a  bi Phép cộng hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i ) (a  a ')  (b  b ')i.  . Phép trừ hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i) (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân hai số phức: (a  bi).(a ' b ' i) ( aa ' bb ')  (ab ' ba ')i. . Phép chia hai số phức:. n. A thì đặt t  n A. z1 z1 .z2  z2 z2 .z2. a 2  x 2 thì đặt x a sin t x. Hàm có chứa. x 2  a 2 thì đặt. . Hàm có chứa. a 2  x 2 hay a2  x 2 thì đặt x a tan t b. u.dv uv a. b a. ).. 2 Cho phương trình bậc hai az  bz  c 0 ( a, b, c  R và a 0 )  b 2  4ac    0 : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:. b.  v.du a. x1 .  b   i  b   i x2  2a 2a ;. b x1  x2  2 a  0  : Phương trình có nghiệm kép thực :    0 : Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:. P( x ) Q( x) dx Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:  Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) : Chia đa thức tử cho mẫu. . z2.  Số phưc nghịch đảo của z là: 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:.  sin x    ln x  P( x )   cos x  x e    Thứ thự ưu tiên: . (nhân cả tử và mẫu cho 1 z  z z.z. a sin t. . Tích phân từng phần:. z  a2  b2 Môđun của số phức z a  bi :. . sin m x cosn xdx Khi tính tích phân dạng  : o Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc. o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t sin x .. Hàm có chứa. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo. Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau a a ' a  bi a ' b ' i   b b ' “Thực và phần ảo bằng nhau. bằng thực, ảo bằng ảo”. Đặt t tan x. o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t cos x . Phương pháp đổi biến số dạng 2: . .   . x Đặt t e. 1. a Công thức: Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là:. 1  ax  b dx  . C a ln . Phương pháp đổi biến số dạng 1: Một số cách đổi biến thường gặp: . a Công thức: Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số y  f ( x ), y g( x ) , hai đường thẳng x a, x b b. sin (ax  b) dx  a .cot(ax  b)  C. dx  cot x  C. x e dx e  C. x. Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b .. 1. x. . Đặc biệt: Tính diện tích hình phẳng. x1 . Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) :  Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:. Chú ý: 7. b  b  x2  2a 2a ;.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> (không đồng thời xảy ra).. 4 2  Khi giải phương trình trùng phương az  bz  c 0 trên tập số. -. 2 phức C , ta đặt t z (không cần điều kiện cho t ) 2  z  a(a  0)  z  ai. . TỔ HỢP – XÁC SUẤT. A  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.. (A và A xung khắc và A  A  ) n( A) P( A)  n () Xác suất của biến cố:. Trong đó: I. Quy tắc đếm n( A) : Số kết quả thuận lợi cho biến cố A. 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án A hoặc B. Nếu có m cách thực hiện phương án A, n n() : Số phần tử của không gian mẫu. cách thực hiện phương án B thì sẽ có m+n cách hoàn thành công  Tính chất của xác suất: việc. P( ) 0, P() 1 2. Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện qua hai hành động 0 P( A) 1 , với mọi biến cố A. liên tiếp A và B. Nếu có m cách thực hiện hành động A, n cách thực hiện hành động B thì sẽ có m n cách hoàn thành công việc. Nếu A và B xung khắc thì: Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp nếu P( A  B) P( A)  P( B) (công thức cộng xác suất) thỏa mãn 3 điều kiện sau: P A 1  P ( A)  Đề cho có chữ số 0. , với mọi biến cố A.  Số cần tìm có các chữ số khác nhau. HÌNH HỌC PHẲNG  Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) hoặc số chia hết cho I. Một số công thức thường dùng trong hình học phẳng: 5. II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho ABC , ký hiệu  1. Hoán vị: Từ n phần tử sắp thứ tự a, b, c: độ dài 3 cạnh R: bán kính đường tròn ngoại tiếp  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n a 2 b 2  c2  2 bc cos A  2 phần tử đó. 2 2 b a  c  2 ac cos B Pn n! n(n  1)...2.1 c 2 a 2  b 2  2ab cos C  Số hoán vị của n phần tử: n!: đọc là “n giai thừa”  Định lí côsin:  a b c 2. Chỉnh hợp: Từ n  lấy k  sắp thứ tự   2 R sin A sin B sin C  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1 ). Lấy ra k  Định lí sin: phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi kết quả  2 2 b 2  2c 2  a 2 thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.  ma  4   Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: 2  2 a  2 c2  b2 2 n! k m   b An  n(n  1)...(n  k  1) 4  (0 k n) (n  k )!  2 2a 2  2 b2  c 2 3. Tổ hợp: Từ n  lấy k  mc  4  n  1  Công thức tính độ dài trung tuyến:  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ). Lấy ra k 2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: phần tử, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.  Số các tổ hợp chập k của n phần tử: n! Cnk  k !(n  k )! (0 k n).  . III.Nhị thức Niu-tơn  Công thức nhị thức Niu – tơn:.  a  b. n. 0 n. 1 n 1 n. 2 n. C a  C a b  C a n. C a k n. n k. b  ...  C k. n. n 1 n. 2 2 2  BC  AB  AC (ñònhlí Pitago). n 2 2. ab. b  . n 1. C b n n. 2  AB BH .BC. n. 2  AH BH .CH  AH .BC  AB.AC. n.    Cnk a n  k b k   Cnk a k b n  k  k 0  k 0  Cnk a n  k b k. 1 1 1  2 2 AB AC 2  AH 3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn:. Cnk a k b n  k.  Số hạng tổng quát: hoặc IV.Xác suất  Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đó mà: Kết quả của nó không đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.  Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu  (ô-mê-ga).  Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu.. . Biến cố không  là biến cố không bao giờ xảy ra. Biến cố chắc chắn  là biến cố luôn xảy ra Phép toán trên các biến cố: A  B : Hợp của các biến cố A và B ( A  B xảy ra  A xảy ra hoặc B xảy ra). A  B (hay A.B ): Giao của các biến cố A và B ( A  B xảy ra  A và B đồng thời xảy ra). -. AC 2 CH .BC. A  B  thì ta nói A và B là 2 biến cố xung khắc. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> AC BC AB  BC AC  AB AB  AC. sin  cos  tan  cot  4. Lưu ý:   . Đối ( Ñi hoïc) Huyeàn Keà  ( Khóc hoài) Huyeàn Đối  ( Đừng khóc) Keà Keà  ( Keïo ñaây) Đối. . A. . Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông có độ dài bằng ½ cạnh huyền Hình vuông có độ dài đường chéo bằng cạnh x 2 . Cạnh huyển của tam giác vuông cân có độ dài bằng. J H. B. * Tính chất:  Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm của tam giác. 3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp  Qua trung điểm một cạnh  Vuông góc với cạnh đó A. cạnh góc vuông x 2 . caïnh 3 2  Đường cao của tam giác đều có độ dài bằng . 5.Các công thức tính diện tích:  Tam giác thường: 1 1 1 S  aha  bhb  chc h ,h ,h 2 2 2  ( a b c : độ dài 3 đường cao) 1 1 1 S  ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 2 2  S. . abc 4R.  S  pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp, . p. abc 2 : nửa chu vi). S  p( p  a)( p  b)( p  c ). .     . Tam giác đều:. caïnh 2 . 3 4. 2 Hình vuông: S Caïnh Hình chữ nhật: S daøi roäng. B. C. * Tính chất:  Ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác và đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4.Đường phân giác_Tâm đường tròn nội tiếp  Xuất phát từ một đỉnh  Chia góc ứng với đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau * Tính chất:  Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. A J B. . A. E. 1 2 x tích 2 đường chéo. Hình thang:. S. (đáy lớn  đáy bé) cao 2. 2  Hình tròn: S  R II.Các đường trong tam giác: 1.Đường trung tuyến_Trọng tâm  Xuất phát từ đỉnh  Qua trung điểm cạnh đối diện. C. Đường phân giác của tam chia cạnh đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy. Hình bình hành: S đáy cao hoặc S  AB. AD.sin A Hình thoi: S đáy cao hoặc S  AB. AD.sin A hoặc S. . I. (Công thức Hê-rông) 1 S 2 x tích 2 cạnh góc vuông Tam giác vuông: S. C. I. D. B. DB AB  ; DC AC. C. EB AB  EC AC. 5.Đường trung bình  Qua trung điểm hai cạnh A M B. N C.  MN / / BC   1  MN  BC  2. * Tính chất:  Song song với cạnh đáy 1 2 G  Có độ dài bằng cạnh đáy III.Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác 2 1 AG  AM ; GM  AM C M B  Cạnh – Góc – Cạnh 3 3  Góc – Cạnh – Góc * Tính chất:  Cạnh – Cạnh – Cạnh  Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm và Nếu là tam giác vuông: điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.  Cạnh huyền – Góc nhọn 2  Cạnh huyền – Cạnh góc vuông  Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng 3 độ dài đường IV.Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác  2 góc bằng nhau trung tuyến.  1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ 2.Đường cao_Trực tâm  3 cạnh tỉ lệ  Xuất phát từ đỉnh Nếu là tam giác vuông:  Vuông góc cạnh đối diện  1 góc nhọn bằng nhau  2 cạnh tỉ lệ 9 A.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. Quan hệ song song: 1) Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. 2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) nếu d không nằm.  d. trong ( ) và d song song với một đường thẳng d ' nằm trong ( ) .. . d  ( )    ( )  (  ) d  (  ). d d'. Tính chất:  Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.. . 3). d  ( )   d  d '   d  ( ) d '  ( ) Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. a. . M. b.  ( )  (  )  ( )  (  ) d   a  ( ) a  (  ), a  d . . a, b  ( )   a  b M   ( )  (  ) a, b  (  ) . . Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.. II. Quan hệ vuông góc: 1). Hai đường thẳng d và d ' vuông góc với nhau nếu góc giữa 0 chúng bằng 90 .. 2). Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( ) ..  ( )  ( )  ( )  ()   d  ( ) ( )  (  ) d   d a  d b    d  ( ) a  b I  a, b  ( ). III. Góc: 1) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.. Tính chất: . . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) thì d sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) .. (Định lý 3 đường vuông góc) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( ) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để a vuông góc với d là a vuông góc với hình chiếu d ' của d trên ( ) .. 3). a  d  a  d' Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt kia. 10. (a, b) (a ', b '). 2). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d trên ( ) .. (d ,( )) (d , d '). Cách tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) :  Tìm hình chiếu d’ của d trên ( ) ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  Khi đó góc giữa d và ( ) bằng góc giữa d và d’: Ta có thể trình bày như sau: - Vì O  ( ) nên hình chiếu của O trên ( ) là O. - Vì AH  ( ) nên hình chiếu của A trên ( ) là H..  Hình chiếu của AO trên là HO  , HO )  AOH   ( AO ,( )) ( AO. 3). Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng, cùng vuông góc với giao tuyến.. MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a M  a  N  b  MN  a, MN  b . . b d I. . . a. ( )  ( ) d   a  ( ), a  d   (( ),(  )) (a, b) b  (  ), b  d .  . Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) : Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) và (  ) d (a, b) d (b,( )) d ( M ,( )) d ( M ,( ABC )) . Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( ) và (  ) mà cùng vuông góc với giao tuyến d.. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. IV. Khoảng cách: 1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:. . -. Trong đó ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b và M là điểm tùy ý trên đường thẳng b. V. Hình chóp – khối chóp: Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao 1 V  Sđáy cao 3 Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:  Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có: SABM BM  SABC BC. với mặt phẳng ( ) theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong mặt phẳng (  ) , kẻ AH  a.  . . 3VM . ABC S ABC. AH  ( )  d ( A,( ))  AH Từ A kẻ Phương pháp tìm đoạn AH: Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ (  ) chứa A và vuông góc.  AH  ( )  d ( A,( ))  AH. 2). và b nếu Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần có diện tích bằng nhau.. VI. Các khối hình chóp thường gặp: 1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.. d ( A,( )) AO  AO  (  )  O Lưu ý: Nếu thì d ( I ,( )) IO. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:  Cách 1: Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.. 11. Tính chất của hình chóp đều:  Đường cao đi qua tâm của đáy.  Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau.  Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chú ý:  Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giao điểm của 2 đường chéo.  Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai đường trung tuyến.  Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau. 2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:. Ta có:. VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  . . VS . ABC SA SB SC. (Công thức này chỉ được dùng cho. khối chóp tam giác) Các trường hợp đặc biệt:  C C '. VS . A ' B ' C ' SA ' SB '  . VS . ABC SA SB. Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:  SA  ( ABCD ). . C C '; B B '. (SAB) và (SAD ) cùng vuông góc với ( ABCD) (SAB )  ( ABCD )  (SAD )  ( ABCD )  SA  ( ABCD ) (SAB )  (SAD ) SA  Ta có: Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó” Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.. . 3). VS . A ' B ' C ' SA '  VS . ABC SA VIII. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: 1 1 VS . ABC  S ABC .cao  SABC .d (S ,( ABC )) 3 3 Ta có:.  d (S ,( ABC )) . 3VS . ABC SABC. Tương tự: Chú ý:  Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”  Đường cao SH của SAB chính là đường cao của hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng.  Thường bài toán cho “ SAB là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau: - Gọi H là trung điểm AB - Vì SAB đều  SH là đường cao của SAB. 3VA.SBC SSBC. d ( B,(SAC )) . 3VB .SAC SABC. d (C ,(SAB)) . 3VC .SAB SSAB. V VB.SAC VC .SAB VS . ABC Trong đó: A.SBC IX. Hình lăng trụ - khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao.  SH  AB. Ta có:. d ( A,( SBC )) . (SAB)  ( ABCD )  (SAB)  ( ABCD )  AB  SH  ( ABCD )  SH  (SAB), SH  AB . VII. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.. V Sđáy cao. Tính chất của hình lăng trụ:  Các cạnh bên song song và bằng nhau.  Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.  Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Đối với hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên cũng là đường cao. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau. 3) Hình hộp:  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.  Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.  Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Thể tích hình hộp chữ nhật V abc (a, b, c: 3 kích thước)  Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. 3 Thể tích hình lập phương V a (a: độ dài cạnh) X. Mặt cầu – Khối cầu: 1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng R không đổi. Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối cầu. . 2). Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:. 2 Diện tích mặt cầu: S 4 R 4 V   R3 3  Thể tích khối cầu: XI. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ: 1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.. . Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ.  Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.  Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.  Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.  Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối trụ. Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ: S 2 rl l  Diện tích xung quanh mặt trụ: xq ( : độ dài đường r sinh, : bán kính đáy ) . 2). 13. S Sxq  2Sđáy 2 rl  2 r 2 Diện tích toàn phần hình trụ: tp V Sđáy .cao  r 2 h h  Thể tích khối trụ: ( : chiều cao) XII. Mặt nón – Hình nón - Khối nón: 1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón.. . Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của hình nón.  Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.  Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.  Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón. 2) Diện tích mặt nón và thể tích khối nón: S  rl l  Diện tích xung quanh mặt nón: xq ( : độ dài đường r sinh, : bán kính đáy ) S Sxq  Sđáy  rl   r 2  Diện tích toàn phần hình nón: tp 1 1 V  Sđáy .cao   r 2 h 3 3  Thể tích khối nón: ( h : chiều cao) XIII. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp thường gặp Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại B, SA  ( ABC ) . . Cách đặc biệt. Gọi I là trung điểm của SC. SAC vuông tại A  IA IS IC (1) BC  AB    BC  (SAB ) BC  SA   BC  SB  SBC vuông tại B  IB IS IC (2) Từ (1) và (2)  IA IB IC IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 1 R IS  SC 2 Bán kính:. Hình 2: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, SA  ( ABC ) ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Cách tính bán kính: SMI #SOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S). Gọi O là trung điểm của BC  O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Qua O dựng đường thẳng  vuông góc với mp(ABC)   là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC .. . IS SM SA.SM   IS  SA SO SO. Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật), SA  ( ABCD ). Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d  . Cách đặc biệt.  I  d  IA IS  I    IA IB IC Ta có:   IA IB IC IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2. 1  R IA  AO 2  OI 2   BC   AM 2 2   Bán kính: Hình 3: Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA  ( ABC ). Gọi I là trung điểm của SC. SAC vuông tại A  IA IS IC (1). .. BC  AB    BC  (SAB ) BC  SA   BC  SB  SBC vuông tại B  IB IS IC (2) CD  AD    CD  (SAD ) CD  SA   CD  SD  SCD vuông tại D  ID IS IC (3) Từ (1), (2) và (3)  IA IB IC ID IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.. Gọi J là trung điểm BC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Qua O dựng đường thẳng  vuông góc với mp(ABC)   là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC .. 1 R IS  SC 2 Bán kính: Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.. Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d    I  d  IA IS   I    IA IB IC. Ta có:  IA IB IC IS. Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2. 2  R IA  AO 2  OI 2   AJ   AM 2 3  Bán kính: Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo  SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d  SO  I  d  IA IS  I  SO  IA IB IC ID Ta có:   IA IB IC ID IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: R IS Cách tính bán kính: SMI #SOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I d  SO  I  d  IA IS  I  SO  IA IB IC Ta có:   IA IB IC IS. . IS SM SA.SM   IS  SA SO SO. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ   đơn vị lần lượt là: i, j , k. Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: R IS 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> V.Tích vô hướng của hai vectơ:.  a (a1; a2 ; a3 ), Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu   b (b1; b2 ; b3 ) a.b a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 thì: “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao” Ứng dụng:   a  a12  a22  a22 a (a1; a2 ; a3 )  Độ dài vectơ: Nếu thì  Độ dài đoạn thẳng AB:. . .      u  x; y; z   u  xi  y j  zk II.Tọa độ của vectơ:     Đặc biệt: 0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)  III.Tọa độ của điểm: M ( x; y; z)  OM ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Đặc biệt: z 0  M  (Oxy)  M.     . x M 0. M  (Oyz) . y 0 M  (Oxz)  M y zM 0 M  Ox  M x zM 0 M  Oy  M x yM 0 M  Oz  M. M ( x M ; y M ; zM ) Hình chiếu vuông góc của điểm lên: M1 ( x M ;0;0)  Trục Ox là: M (0; yM ;0)  Trục Oy là: 2 M (0;0; zM )  Trục Oz là: 3 M ( x ; y ;0)  mp(Oxy) là: 12 M M M ( x ;0; zM )  mp(Oxz) là: 13 M M (0; yM ; zM )  mp(Oyz) là: 23   a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) IV.Các công thức về tọa độ: Nếu thì:   a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )   ka (ka1; ka2 ; ka3 ), k  R .  . AB  ( xB  x A )2  (yB  y A )2  (zB  zA )2. Tọa độ vectơ. .  x A  xB  xI  2  y A  yB   yI  2   zA  zB  zI  2 Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: . .  x A  xB  xC  xG  3  y A  yB  yC   yG  3   zA  zB  zC  zG  3 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: . Điều kiện hai vectơ vuông góc:    a  b  a.b 0  a1b1  a2 b2  a3b3 0.  a, b   a2 . .  b2. a3 a3 ; b3 b3. a1 a1 a2  ;   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b1 b1 b2  Quy. tắc: 23-31-12  Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính 1.Máy 570VN PLUS . ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ  a. . AC  MODE  8  2  1: Nhập tọa độ Vectơ  b. AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5  4  = 2.Máy 570ES PLUS . . ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ  a. . AC  SHIFT  5  2  2  1: Nhập tọa độ  Vectơ b AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5  4  =.  3.Máy 570MS. ON  SHIFT  5  1  1  3: Nhập tọa độ  Vectơ a  AC  SHIFT  5  1  2  3: Nhập tọa độ  Vectơ b  AC  SHIFT  5  3  1  X  SHIFT  5  3 2  = Tính chất của tích có hướng:       n   a, b    thì n  a và n  b  Nếu       Hai vectơ a và b cùng phương với nhau  [a, b]  0        Ba vectơ a , b và c đồng phẳng với nhau  [a, b].c 0    [ a ( , b].c được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ) Ứng dụng của tích có hướng:      AB, AC  0    A, B, C thẳng hàng . AB ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA ). . .   a (a , a , a ) 1 2 3  b  ( b , b , b )  1 2 3 Định nghĩa: Cho hai vectơ  . Tích có hướng của hai   vectơ a và b là 1 vectơ được xác định như sau:. . a a a  1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 . Góc giữa hai vectơ:  a1b1  a2 b2  a3 b3 a.b   cos(a, b )     2 a.b a1  a22  a32 . b12  b22  b32. VI.Tích có hướng của hai vectơ:. a1 b1    a b  a2 b2  a b 3  3 “Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”       a cùng phương b (b 0)  tồn tại một số k sao cho: a kb a1 kb1   a2 kb2 a kb 3  3. . . . 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> .   .      AB, AC  . AD 0   A, B, C, D đồng phẳng Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)     AB, AC  . AD 0     S   AB, AD  Diện tích hình bình hành ABCD: ABCD  1   SABC   AB, AC  2 Diện tích tam giác ABC: Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:    VABCD . A ' B ' C ' D '  [ AB, AD ].AA '. (): Dạng 6: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), ():. 1    VABCD  [ AB, AC ]. AD 6  Thể tích tứ diện ABCD: VII.Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi  M (x ; y ; z ) qua 0 0 0 0 và có VTPT n ( A; B; C ) là:. A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0. . Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D 0 thì () có VTPT  là n ( A; B; C ). . Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP của mặt kia.. . Khoảng. cách. từ. M 0  x0 ; y0 ; z0 . điểm. ( ) : Ax  By  Cz  D 0 :. d  M 0 ,( ) . đến. mặt.    n( )  VTPT n ,VTPT n .  Khi đó VTPT của () là Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H (() là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H):. phẳng. Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 – Tìm tâm I của mặt cầu (S). mp(Oxy ) : z 0  mp(Oxz) : y 0 mp(Oyz) : x 0 . –.  Đặc biệt: Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.  M x0 ; y0 ; z0 n  A; B; C Dạng 1: () đi qua điểm có VTPT : A x  x0  B y  y0  C z  z0 0 ():  M x0 ; y0 ; z0 Dạng 2: () đi qua điểm có cặp VTCP a , b :. . . . . . . . . . Qua H    ( ) :  VTPT n( ) IH. Dạng 8: () song song với mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):. . . . ) song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng – Vì ( Ax  By  Cz  m 0(m D )  Khi đó VTPT của () là.   n  a, b . .. M  x0 ; y0 ; z0 . Dạng 3: () đi qua điểm Ax + By + Cz + D = 0:. – Vì (. ) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I ,( )) R  Giải phương trình này ta tìm được m .. và song song với mặt phẳng ():. Dạng 9: () đi qua điểm AB:.    Khi đó VTPT n VTPT n  ( A; B;C ) . Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:.  Khi đó VTPT của () là. 16. và vuông góc với đường thẳng.   n  AB. Dạng 10: () đi qua điểm  x  x0  at  d :  y y0  bt  y z  ct 0  :.    n  AB, AC   Khi đó VTPT của () là   Dạng 5: () là mặt phẳng trung trực của MN:. M  x0 ; y0 ; z0 . M  x0 ; y0 ; z0 . và vuông góc với đường thẳng.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>   n VTCP u d (a; b; c) Khi đó VTPT của () là  Dạng 11: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau (hoặc cắt nhau):. Qua M    ( ) :    VTPT n  VTCPu d ,VTPT n    – VIII.Phương trình mặt cầu:  Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x  a )2  ( y  b ) 2  ( z  c ) 2  R 2 . 2 2 2 Dạng 2: Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 với 2 2 2 điều kiện a  b  c  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b;. c) và bán kính R =. a2  b2  c 2  d. Điều kiện mặt cầu S (I , R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d (I ,(P )) R Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: 2 2 2 2 (S): ( x  a)  ( y  b)  ( z  c) R . Qua M    ( ) :  VTPT n   VTCPu d1 ,VTCPu d2    . Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:. Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):. – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:. Qua M1  d1     ( ) :    VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2  Dạng 13: () chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:.  x A  xB  xI  2  y A  yB   yI  2   zA  zB  zI  2 . - Trên d lấy 1 điểm A Qua M     ( ) :    VTPT n  AM ,VTCPu d   Dạng 14: () chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:. – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: . AB – Bán kính R = IA = 2 . Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d 0 (S).. – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  (). Qua M    ( ) :  VTPT n   VTCPu d1 ,VTCPu d2     – Dạng 15: () chứa 2 đường thẳng song song d1, d2:. – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D 0 :. – Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2 Qua M1      ( ) :    VTPT n  M1M 2 ,VTCPu d 1  –. R d ( I ,( P )) . Dạng 16: () chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (): – Bán kính:. Aa  Bb  Cc  D A2  B 2  C 2. IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm  M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) u và có VTCP (a; b; c) thì d có. – Lấy một điểm M thuộc d  M  (). 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>  x  xo  at  (t  R)  y yo  bt  z z  ct o  Phương trình tham số là:  x  x0 y  y0 z  z0   a b c  Phương trình chính là: (nếu a, b, c đều khác 0) Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.  M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Dạng 1: d đi qua điểm và có VTCP u (a; b; c) :  x  xo  at  d :  y yo  bt ( t  R)  z z  ct o  Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:. Qua M0    d : VTCP u d  VTCP u d1 ,VTCP u d2  Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với đường thằng :. Qua M    d : VTCP ud  VTPT n P ,VTCPu   Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:. Qua A    d : VTCP u d  AB Dạng 3: d đi qua điểm trước:. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ). và song song với đường thẳng  cho. – –. Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB. M (x ; y ; z ) Dạng 9: d đi qua điểm 0 0 0 0 , vuông góc và cắt đường thẳng :. Qua M 0   d : VTCP ud VTCP u  Dạng 4: d đi qua điểm trước:. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ). và vuông góc với mặt phẳng (P) cho M và hình chiếu H của 0 trên đường thẳng  M (x ; y ; z ) Dạng 10: d đi qua điểm 0 0 0 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2:  d qua. M0. Qua M 0   d : VTCP ud VTPT n P Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):. –. Gọi (P) =. –. Gọi. ( M 0 , d1 ). , (Q) =. ( M 0 , d2 ). ..    u d  nP , nQ  – Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, VTCP của d là . Dạng 11: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:. –. –. ( P )  (Q) Tìm toạ độ một điểm M  d: bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho x 0 ) Qua M    d : VTCP u d  VTPT n P ,VTPT nQ . Dạng 6: d đi qua điểm d1, d2:. M0 ( x0 ; y0 ; z0 ). và vuông góc với hai đường thẳng (P). là. mặt. phẳng. chứa. d1. song. song. :. phẳng. chứa. d2. song. song. :. Qua M1  d1     (P ) :  VTPT n p  u  , u d1     –. Gọi. (Q). là. mặt. Qua M 2  d2     (Q) :    VTPT nQ  u  , u d2  18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> – Khi đó d = (P)  (Q). Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng  x  x1  a1t  x  x2  a2t   d1 :  y y1  b1t d2 :  y  y2  b2t  z z  c t  z z  c t 1 1 2 2   và chéo nhau:. –. Giả sử d cắt. d1. tại I, d cắt. d2. . Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung điểm của MM’ nên:.  x M ' 2 xH  x M   yM ' 2 yH  y M  z 2 z  z H M  M'  Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:. –. tại J.. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. Qua M   (P ) :  VTPT n p VTCP u d.  I  d1  I ( x1  a1t1; y1  a1t1; z1  c1t1 )   J  d2  I ( x2  a2t2 ; y2  a2t2 ; z2  c2t2 ) – Vì  ,    IJ .u d1 0    IJ .u d2 0 t ,t – Giải hệ phương trình: ta tìm được 1 2 từ đó suy ra tọa độ I, J. – d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J. Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P):. – . bằng cách: Khi đó: H d  ( P ). Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm của MM’ nên:.  x M ' 2 xH  x M   yM ' 2 yH  y M  z 2 z  z H M  M'. XI.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: ( P ) : A1 x  B1y  C1z  D1 0 Cho hai mặt phẳng và (Q ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 A : B : C  A2 : B2 : C2 (P), (Q) cắt nhau  1 1 1 A1 B1 C1 D1    A B2 C2 D2  (P) // (Q)  2 – Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với mặt A1 B1 C1 D1    phẳng (P) bằng cách: A2 B2 C2 D2  (P)  (Q)  Qua M          (Q) :  n  nQ  n P .nQ 0  A1 A2  B1B2  C1C2 0 (P)  (Q)  P VTPT n Q  n P , u      Đặc biệt: XII.Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng: – Khi đó d = (P)  (Q). Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2: Cho mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D 0 và đường thẳng d: .  x  x0  ta   y y0  tb   z z0  tc. Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1 phương trình bậc nhất ẩn t: A( x 0  at )  B( y0  bt )  C (z0  ct )  D 0 (*)  TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)  TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)  TH3: (*) có vô số nghiệm thì d  (P)        d  (P )  n p cùng phương u d   n P , u d  0 Đặc biệt: XIII.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:. – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1. – Tìm giao điểm N của (P) và d2 – Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.  Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):. –. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với. –. Qua M   d : VTCP u d VTPT n p mp(P) bằng cách: Khi đó: H d  ( P ) 19.  x  x1  a1t  x  x2  a2t   d1 :  y y1  b1t d2 :  y  y2  b2t  z z  c t  z z  c t 1 1 2 2   Cho hai đường thẳng và  d1 A( x1; y1; z1 ) u (a1; b1; c1 ) qua có VTCP 1  d2 B( x2 ; y2 ; z2 ) u (a2 ; b2 ; c2 ) qua có VTCP 2.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> . .      d2   u1 , u 2  .AB 0 chéo      u1 , u2  0          u1 , u2  .AB 0 d1 d2   cắt hoặc d1. hệ. phương. . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.. . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.. . Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng  : M  Cách 1: Giả sử đường thẳng  đi qua 0 và có vectơ chỉ  phương là u . Ta có:    M M ,u   0  d  M,   u. trình.  x1  a1t1  x2  a2 t2   y1  b1t1 y2  b2t2  z  c t z  c t  1 1 1 2 2 2 có 1 nghiệm.      u1 , u 2  0     A  d2 d1 d2   //      u1 , u2  0     A  d2 d1 d2    d  d2  u d1 .u d2 0  a1a2  b1b2  c1c2 0 Đặc biệt: 1 XIV.Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt phẳng () và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.  d ( I ,( ))  R thì () và (S) không có điểm chung.. . Cách 2:. – Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng  . – Khi đó d ( M , ) MH  . . d ( I ,( )) R thì () và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói () tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp diện của (S) tại H.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng đường thẳng.  Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp(). d (I ,( ))  R thì () và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn (C). Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên 2. mp(), bán kính của (C) là r  R  d. 2. XV.Khoảng cách:  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0. và 1. 2. :. đến. 2. d (1 ,  2 ) d ( M1 ,  2 ) MH . với d d (I ,( )) .. 1.   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 :  M  Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm 1 và có vectơ   M2 u chỉ phương là 1 , đường thẳng 2 qua điểm và có  u vectơ chỉ phương là 2 . Ta có:     u , u  .M M  1 2  1 2 d (1 ,  2 )   u ,u   1 2 . Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 1.  và 2 bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.. d  M 0 ,( )  . Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> x  x 0 y  y0   a 0, b 0  a b.  Phương trình chính tắc: 2.Phương trình tổng quát của đường thẳng:  Phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm  M 0 ( x 0 ; y0 ) n , nhận ( A; B) làm vectơ pháp tuyến là: –. song với. 2. bằng cách:. Qua  ( ) :  VTPT . M1   n( )  VTCP u 1 , VTCP  d (1 ,  2 ) d ( M2 ,( )).   u 2  . . – Khi đó: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY I.Các công thức tọa độ:   a (a1; a2 ); b (b1; b2 ) Cho hai vectơ   a b a b   1 1 a2 b2  Hai vectơ bằng nhau: “hoành bằng hoành, . . .  .  . . Nếu đường thẳng. d có phương trình tổng quát  Ax  By  C 0 , thì vectơ pháp tuyến của (d) là n ( A; B) .  n Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là ( A; B ) thì d có   vectơ chỉ phương là u ( B; A) hay u (B;  A)  Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u (a; b) thì d có   vectơ pháp tuyến là n ( b; a) hay n (b;  a) Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax  By  C 0 :. Nếu d’ song song với d thì d’ có phương trình là Ax  By  m 0 (m  D )  Nếu d’ vuông góc với d thì d’ có phương trình là  Bx  Ay  m 0 3.Phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có hệ số góc cho trước: . tung bằng tung”    Tọa độ của a b, ka :   a b (a1 b1; a2 b2 )  ka (ka1; ka2 )  AB ( x B  x A ; yB  y A ) Công thức tính tọa độ của vectơ:  x A  xB  x I  2   y  y A  yB  I 2 I là trung điểm AB. Phương trình đường thẳng d qua điểm. M 0 ( x 0 ; y0 ). , có hệ số góc k là:. y  y0 k ( x  x0 ).  x A  x B  xC  xG  3  y  y  yC y  A B  G 3 G là trọng tâm ABC Tích vô hướng của hai vectơ:     a.b  a . b .cos a, b   a.b a1.b1  a2 .b2  “hoành x hoành + tung x tung” Điều kiện vuông góc giữa hai vectơ:    a  b  a.b 0  a1.b1  a2 .b2 0 Độ dài của vectơ - khoảng cách giữa hai điểm:   a (a1; a2 )  a  a12  a22   AB  AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2    a1.b1  a2 .b2 a.b cos a, b     2 a.b a1  a22 . b12  b22 Góc giữa hai vectơ: Công thức tính diện tích tam giác:    AB ( x; y )    AC ( x '; y ').  . . A( x  x0 )  B( y  y0 ) 0.  Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song. 4.Các dạng toán viết phương trình đường thẳng:  Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của M (x ; y ) đường thẳng  ta cần xác định một điểm 0 0 0   và  một VTCP u (a; b) của .  x  x0  at   y y0  bt PTTS của :  x  x 0 y  y0  (a, b 0) b PTCT của : a  Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác  M (x ; y ) định một điểm 0 0 0   và một VTPT n ( A; B) của . A( x  x0 )  B( y  y0 ) 0 PTTQ của : Dạng 1: Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B:. Qua A     AB :  VTCP u  AB  VTPT n Dạng 2: Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC..  .  . SABC. 1 x y 1   xy ' x ' y 2 x' y' 2. II.Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 1.Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng:  M (x ; y ) Đường thẳng d qua điểm 0 0 0 , nhận u (a; b) làm vectơ chỉ phương có:. . Phương trình tham số là:. Qua A    AH :  VTPT n BC Dạng 3: Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.  x  xC yB  yC  M B ;  2 2  Vì M là trung điểm của BC nên . Qua A     AM :  VTCP u  AM  VTPT n Dạng 4: Viết phương trình đường trung trực của AB..  x  x0  at  t  R   y  y0  bt.  x  xB y A  yB   M A ;  2   2 Gọi M là trung điểm AB. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> . Qua M   d : VTPT n  AB. Dạng 1: Đường tròn ( x  a)2  ( y  b)2 R 2 (C). tâm. I(a;b). bán. kính. R:. x 2  y 2  2ax  2by  c 0 * Dạng 2: Cho phương trình * 2 2 Nếu a  b  c  0 thì là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán. . . V.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:  : A x  B1y  C1 0  : A x  B2 y  C2 0 Cho hai đường thẳng 1 1 và 2 2 2 2 kính R  a  b  c . Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: XI.Các dạng toán viết phương trình đường tròn  A1 x  B1y  C1 0 Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm   A2 x  B2 y  C2 0 I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) (1) là: A1 B1  ( x  a)2  ( y  b)2 R 2 A2 B2  1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm (nếu Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. A2 , B2 ,C2 0 ) A1 B1 C1   A2 B2 C2  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm (nếu A2 , B2 ,C2 0 ) A1 B1 C1 – Bán kính R = IA.   A2 B2 C2 Dạng 2: (C) có đường kính AB.  1  2  hệ (1) có vô số nghiệm (nếu A2 , B2 ,C2 0 )   1   2  n1  n2  A1 A2  B1B2 0  Đặc biệt: VI.Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng : Ax  By  C 0 và hai điểm.  . M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ).  . M, N nằm cùng phía đối ( AxM  ByM  C )( Ax N  ByN  C )  0 .  M, N nằm khác phía đối ( AxM  ByM  C )( Ax N  ByN  C )  0 . VII.Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thằng 1 : A1 x  B1y  C1 0 . với. . . với. . .  x  xB y A  yB   I A ;  2 2   – Tâm I là trung điểm của AB ( x B  x A )2  ( y B  y A )2 AB  2 – Bán kính R = 2 . Dạng 3: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ..  2 : A2 x  B2 y  C2 0. cos  1 ,  2  . A1 A2  B1B2 2 1. A  A22 B12  B22. – Bán kính R = d (I , ) . Dạng 4: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).. VII.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: M (x ; y ) Cho 0 0 0 và  : Ax  By  C 0. d ( M0 , ) . 2 2 – Phương trình của (C) có dạng: x  y  2ax  2by  c 0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của. Ax0  By0  C A2  B 2. IX.Tìm hình chiếu và điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng. Để tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d, ta thực hiện như sau:  Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d, bằng cách: Qua M   : VTCP u VTPT nd  Khi đó H = d    Nếu bài toán yêu cầu tìm M đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm của MM nên:  x M ' 2 x H  x M   x M ' 2 yH  yM X.Phương trình đường tròn trong mặt phẳng. 22. (C). Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d..  d (I , 1 ) d (I ,  2 )  I d – Tâm I của (C) thoả mãn:  . d ( I , 1 ) – Bán kính R = . Dạng 7: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. I  d  d (I , ) IA – Tâm I của (C) thoả mãn:  . – Bán kính R = IA. Dạng 8: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với ..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. XII.Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . Dạng 1: Tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm thuộc đường tròn.. Qua M    : Vtpt n  IM Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : Ax  By  C 0. -. Giả sử  là tiếp tuyến của đường tròn.  / /d Vì nên phương trình  : Ax  By  m 0(m C ). của.  d I ,  R   là tiếp tuyến với (C) Tìm m Dạng 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : Ax  By  C 0. . . M ( x 0 ; y0 ). -. . Giả sử  là tiếp tuyến của đường tròn. d Vì nên phương trình  :  Bx  Ay  m 0. của.  d  I ,   R   là tiếp tuyến với (C) Tìm m M ( x 0 ; y0 ) Dạng 4: Tiếp tuyến đi qua điểm -. . -. Giả sử  là tiếp tuyến qua M và có hệ số góc k.  : y k ( x  x 0 )  y 0. d I ,  R   là tiếp xúc với (C) nên Tìm k Lưu ý: Nếu không tìm được 2 tiếp tuyến ta phải xét đường thẳng  : x  x0 (là đường thẳng qua M và không có hệ số góc) d I ,  R Kiểm tra điều kiện tiếp xúc. . . . . 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>