Tổng hợp các công thức toán THPT

Gv. Nguyễn Bá Hùng mail:
Công thức toán
1. Phương trình bậc hai một ẩn:
2
0 (a 0)ax bx c+ + = ≠
Phương pháp:
2
4b ac∆ = −

0∆ > ⇒
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1
2
b
x
a
− + ∆
=
,
2
2
b
x
a
− − ∆
=

0
∆ = ⇒
Phương trình có nghiệm kép
1 2

2
b
x x
a
−
= =

0
∆ < ⇒
Phương trình vô nghiệm.
2
' 'b ac∆ = −

' 0∆ > ⇒
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1
' 'b
x
a
− + ∆
=
,
2
' 'b
x
a
− − ∆
=

' 0

∆ = ⇒
Phương trình có nghiệm kép
1 2
'b
x x
a
−
= =

' 0
∆ < ⇒
Phương trình vô nghiệm.

Áp dụng định lý Vi-ét nhẩm nghiệm:
+ Nếu
0a b c+ + =
thì pt có 1 nghiệm
1x =
còn nghiệm kia là
c
x
a
=
.
+ Nếu
0a b c− + =
thì pt có 1 nghiệm
1x = −
còn nghiệm kia là
c

x
a
= −
.
2. Xét dấu tam thức bậc hai:
2
( ) ( 0; , ; ; )
b
f x ax bx c a S
a
α β α β
= + + ≠ ∈ℜ < = −

0
( ) 0,
0
f x x
a
∆ ≤

≥ ∀ ∈ℜ ⇔

>


0
( ) 0,
0
f x x
a

∆ ≤

≤ ∀ ∈ℜ ⇔

<


α
là nghiệm của
( ) ( ) 0f x f
α
⇔ =


1 2
( ) 0x x af
α α
< < ⇔ <

1 2
2
0
( ) 0
0
S
x x af
α
α
α
∆ >

>
− >


< < ⇔




1 2
2
0
( ) 0
0
S
x x af
α α
α
∆ >


< < ⇔ >


− <


1 2
( ) 0
( ) 0

af
x x
af
α
α β
β
<

< < < ⇔

<


1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
α
α β
β
<

< < < ⇔

>


1 2

( ) 0
( ) 0
af
x x
af
α
α β
β
>

< < < ⇔

<


1 2
1 2
0
( ) 0
x x
x x af
α
α α
< <
∆ >


⇔



< < >



1 2
1 2
( ) ( ) 0
x x
f f
x x
α β
α β
α β
< < <

⇔ <

< < <


1 2
2
2
0
( ) 0
( ) 0
0
0
S
S

af
x x af
α
α β β
α
α
∆ >


>


< < < ⇔ >


− >

− <



3. Cấp số cộng:
a/. Định nghĩa: Dãy số
1 2
, , , ,
n
u u u
gọi là một cấp
số cộng có công sai d nếu
1k k

u u d
−
= +
.
b/. Số hạng thứ n:
1
( 1)
n
u u n d= + −
.
c/. Tổng n số hạng đầu tiên:
1 2 1 1
( ) [2 ( 1) ]
2 2
n n n
n n
S u u u u u u n d= + + + = + = + −
.
4. Cấp số nhân:
a/. Định nghĩa: Dãy số
1 2
, , , ,
n
u u u
gọi là một cấp số
nhân có công bội q nếu
1
.
k k
u u d

−
=
.
b/. Số hạng thứ n:
1
.
n
n
u u q=
c/. Tổng n số hạng đầu tiên:
1 2 1
1
. (q 1)
1
n
n n
q
S u u u u
q
−
= + + + = ≠
−
Gv. Nguyễn Bá Hùng mail:
Nếu
1 1q− < <
(
| | 1q <
) thì
1
lim

1
n
n
u
S
q
→∞
=
−
.
5. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-Si):

, 0 thì
2
a b
a b ab
+
≥ ≥
,dấu“=”xảy ra
a b
⇔ =
. 
, , 0a b c ≥
thì
3
3
a b c
abc
+ +
≥

,dấu “ =” xảy ra
a b c
⇔ = =
6. Lũy thừa: a,b > 0

. .a a a a
α β γ α β γ
+ +
=

a
a
a
α
α β
β
−
=

a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 

( )

.a b a b
α
α α
=

k
n
k
n
a a=

.
.
k
m
n m nk k
m n
a a a= =
7. Phương trình, bất phương trình mũ:

( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
a a
f x g x
< ≠

= ⇔


=

hoặc
1
( ), ( ) có nghia
a
f x g x
=




( ) ( )
0
( 1)[ ( ) ( )] 0
f x g x
a
a a
a f x g x
>

> ⇔

− − >

8. Logarit:
1 2
0 , , và 0 , 1N N N a b< < ≠
ta có:


log
M
a
N M N a= ⇔ =

1
1 2
2
log log log
a a a
N
N N
N
 
= −
 ÷
 

log
M
a
a M=

log log
a a
N N
α
α
=


log
a
N
a N=

log log
a
a
N N
β
α
α
β
=

log
log
log
b
a
b
N
N
a
=

2 1
log log
1 2

a a
N N
N N=

1
log
log
a
b
b
a
=

( )
1 2 1 2
log . log log
a a a
N N N N= +

1
2
1
log log log
2
a a a
N N N= =
9. Phương trình, bất phương trình logarit:

0 1
log ( ) log ( ) ( ) 0 v ( ) 0

( ) ( )
a a
a
f x g x f x g x
f x g x
< ≠


= ⇔ > >


=


0 1
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) 0
( 1)[ ( ) ( )] 0
a a
a
f x
f x g x
g x
a f x g x
< ≠


>


> ⇔

>


− − >

II. LƯỢNG GIÁC
A. Công thức lượng giác:
1. Hệ thức cơ bản.

2 2
sin os 1x c x+ =

tan .cot 1x x
=

sin
tan
cos
x
x
x
=

cos
cot
sin
x
x

x
=

2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =

2
2
1
1 tan
cos
x
x
+ =
2. Các cung liên kết:

Đối
cos(- x) = cos x
sin(- x) = - sin x
tan(- x) = - tan x
cot(- x) = - cot x

Bù


( )
sin sinx x
π
− =

( )
cos cosx x
π
− = −

( )
tan tanx x
π
− =

( )
cot cotx x
π
− = −

Phụ

sin cos
2
x x
π
 
− =
 ÷
 


cos sin
2
x x
π
 
− =
 ÷
 

tan cot
2
x x
π
 
− =
 ÷
 

cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 

Hơn kém
π


( )
tan tanx x
π
+ =

( )
cot cotx x
π
+ =

( )
sin sinx x
π
+ = −

( )
cos cosx x
π
+ = −

Hơn kém
2
π

sin cos
2
x x
π
 

+ =
 ÷
 

cos sin
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 

tan cot
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 

cot tan
2
x x
π
 
+ = −
 ÷
 

3. Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cosx x x
=

2 2
cos 2 cos sinx x x= −
=2cos
2
x – 1
=1 – 2 sin
2
x

2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−
4. Công thức hạ bậc
Gv. Nguyễn Bá Hùng mail:

2
1 cos 2
sin
2

x
x
−
=

2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=
5. Công thức nhân ba

3
sin 3 3sin 4sinx x x= −

3
cos3 4cos 3cosx x x= −

3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
x x
x
x
−

=
−
6. Ct biêủ diễn qua
tan
2
x
t =

2
2
sin
1
t
x
t
=
+

2
2
1
cos
1
t
x
t
−
=
+


2
2
tan
1
t
x
t
=
−
Gv. Nguyễn Bá Hùng mail:
B. Công thức biến đổi
1. Công thức cộng

( )
sin sin .cos cos .sinx y x y x y± = ±

( )
cos cos .cos sin .sinx y x y x y± = m

( )
tan tan
tan
1 tan .tan
x y
x y
x y
±
± =
m
2. Tích thành tổng


1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= − + +

1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= − − +

1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b= − + +

Đặc biệt

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x

π π
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   

( )
2
1 sin 2 sin cosx x x± = ±
3. Tổng thành tích

cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =

cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −

sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −

+ =

sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =

sin( )
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
±
± =

sin( )
cot cot
sin .sin
y x
x y
x y
±
± =
4. Phương trình lượng giác
a/. Phương trình cơ bản

( )

2
sin sin
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
 Đặc biệt:

sin 1 2 ;
2
x x k
π
π
= ⇔ = +

sin 1 2 ;
2
x x k
π
π

= − ⇔ = − +

sin 0x x k
π
= ⇔ =

( )
cos cos 2 x x k k
α α π
= ⇔ = ± + ∈¢

Đặc biệt:

cos 1 2x x k
π
= ⇔ =

cos 1 2x x k
π π
= − ⇔ = +

cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +

( )
tan tan x x k k

α α π
= ⇔ = + ∈¢

cot cotx x k
α α π
= ⇔ = +
b/. Phương trình bậc n theo một hàm lượng giác

Phương pháp: Đặt t = sin x (hoặc cos x, tan x, cot x)
ta có
1
1 0
0
n n
n n
a t a t a
−
−
+ + + =
Nếu t = cosx hoặc t = sinx thì có điều kiện
1 1t− ≤ ≤
c/. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
sin cos (a.b 0)a x b x c+ = ≠
Điều kiện có nghiệm
2 2 2
a b c+ ≥

Phương pháp: Chia cả hai vế cho
2 2
a b+

sau đó
đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
c./ Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và
cosx
2 2
.sin .sin .cos .cos 0a x b x x c x+ + =

Phương pháp:
+ Xét
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
có phải là nghiệm không.
+ Xét
cos 0x ≠
chia 2 vế cho
2
cos x
và đặt
tant x=
.
d/. Phương trình dạng:
.(sin cos ) .sin .cosa x x b x x c± + =

Phương pháp: Đặt
sin cos 2 sin ; 2 2
4

t x x x t
π
 
= ± = ± − ≤ ≤
 ÷
 
2
1
sin .cos
2
t
x x
−
⇒ =
(hoặc
2
1
sin .cos
2
t
x x
−
=
) và giải
phương trình bậc hai theo t.
C. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Định lý hàm số cosin:
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
2. Định lý hàm số sin:

Gv. Nguyễn Bá Hùng mail:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
3. Công thức đường trung tuyến:
2 2 2
2 4
a
b c a
m
+
= −
4. Công thức diện tích tam giác
1 1
. .sin . ( )( )( )
2 2 4
a
abc
S a h ab C p r p p a p b p c
R
= = = = = − − −
III. Đạo hàm và tích phân
1. Đạo hàm:

( )
' ' 'u v u v± = ±


( )
. ' '. '.u v u v v u= +

2
'. '.
'
u u v v u
v v
−
 
=
 ÷
 

( ( )) ' . '
u x
y f u x y u= ⇒

( )
1
' .x x
α α
α
−
=

( )
1
'
2

x
x
=

2
1 1
'
x x
 
= −
 ÷
 

( )
sin ' cosx x=

( )
cos ' sinx x= −

( )
2
1
tan '
cos
x
x
=

( )
1

' . . 'u u u
α α
α
−
=

( )
'
'
2
u
u
u
=

2
1 '
'
u
u u
 
= −
 ÷
 

( )
sin ' '.cosu u u=

( )
cos ' '.sinu u u= −


( )
2
'
tan '
cos
u
u
u
=

( )
2
1
cot '
sin
x
x
= −

( )
'
x x
e e=

( )
' .ln
x x
a a a=


( )
1
ln 'x
x
=

( )
1
log '
.ln
a
x
x a
=

( )
2
'
cot '
sin
u
u
u
= −

( )
' '.
u u
e u e=


( )
' '. .ln
u u
a u a a=

( )
'
ln '
u
u
u
=

( )
'
log '
.ln
a
u
u
u a
=
2. Bảng các nguyên hàm:

dx x C= +
∫

1
( -1)
1

x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠
+
∫

2
1dx
C
x x
= − +
∫

ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

cos sinxdx x C= +
∫


sin cosxdx x C= − +
∫

ln | |
dx
x C
x
= +
∫

x x
e dx e C= +
∫

2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫

2
cot
sin
dx
x C
x
= − +

∫
Chú ý: Nếu
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
thì
1
( ) ( )f ax b dx F ax b C
a
+ = + +
∫
IV. Số phức

Đơn vị ảo
i
:
2
1i = −

4
1
k
i =

4 1k
i i
+
=

4 2
1

k
i
+
= −

4 3k
i i
+
= −

Dạng đại số:
; ,z a bi a b= + ∈¡
⇒
số đối
z a bi
− = − −

' 'a bi a b i+ = +
{ }
'; 'a a b b⇔ = =

( ) ( )a bi a bi+ ± +
( ') ( ')a a b b i= ± + +

z a bi
= +
⇒
số phức liên hợp
z a bi= −


( )( ' ' )a bi a b i+ +
=
( ' ') ( ' ')aa bb ab ba i− + +

z z=

' 'z z z z+ = +

. ' . 'z z z z=
z là số thực
z z⇔ =
z là số ảo
z z⇔ = −

2 2
| | .z a b z z= + =

| . '| | |.| '|z z z z=

1
2
1
.
| |
z z
z
−
=

1

2
' '.
'.
| |
z z z
z z
z z
−
= =

' 'z z
z z
 
=
 ÷
 

' | '|
| |
z z
z z
=

z là căn bậc hai của w
2
wz⇔ =
Nếu
z x yi= +
,
w a bi= +

thì
2 2
2
x y a
xy b

− =

=


Dạng lượng giác

(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
với
2 2
cos ;sin
r z a b
a b
r r
ϕ ϕ

= = +


= =




' '(cos ' sin ')z r i
ϕ ϕ
= +
suy ra
Gv. Nguyễn Bá Hùng mail:
' '[cos( ') sin( ')]
[cos( ') sin( ')]
' '
(cos sin )
2 2
cos sin
n n
n n
zz rr i
z r
i
z r
z r n i n
k k
z r i
n n
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ π ϕ π
= + + +




= − + −


= +


+ +
 
= +

 ÷
 

0, 1k n= −
V. Nhị thức Niwton.

( )
0 1 1 2 2 2
0

n
n
n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C a b C b C a b
− − −
=
+ = + + + + =
∑


0
1
n
n n
C C= =

k n k
n n
C C
−
=

1
1
k k k
n n n
C C C
−
+
+ =

!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=

−

!
( )!
k
n
n
A
n k
=
−

!
n
P n=
Chúc các em học tập tốt!