34 BAI LUONG GIAC CO LG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đây là câu hỏi luôn có trong các đề thi đại học có điểm số là 1đ, câu này rất dễ lấy điểm. Hi vọng 34 bài tập sau đây sẽ giúp các bạn có tài liệu ôn tập và đạt kết quả tốt. 4. 4. sin x  cos x. . 1.  tan x  cot x . sin 2 x 2 Câu 1 : Giải phương trình : Giải : Điều kiện: sin 2 x 0 1 1 1  sin 2 2 x 1  sin 2 2 x 1  sin x cos x  1 1 2 2 (1)       1  sin 2 2 x 1  sin 2 x 0   sin 2 x 2  cos x sin x  sin 2 x sin 2 x 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 1 2 2 Câu 2 : Giải phương trình: cos x+ sin x sin 4 x −sin 4 x= 4 Giải : pt đã cho tương đương với pt: 1 1 1 1 (1+cos 2 x)+ (cos 3 x − cos 5 x)− (1 −cos 8 x )= 2 2 2 4 1 1 1 ⇔ cos 3 x cos 5 x+ cos 3 x − cos 5 x+ =0 2 2 2 1 1 ⇔ cos 5 x+ cos 3 x − =0 ⇔ 2 2 2π 2π x=± +k 1 15 5 cos 5 x+ =0 2 ¿ ¿  x=± π + k 2 π 1 9 3 cos 3 x − =0 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Câu 3 : Định m để phương trình sau có nghiệm       4sin3xsinx + 4cos  3x -  cos  x +   cos 2  2x +   m 0 4 4 4    Giải : 4sin3xsinx = 2  cos2x - cos4x  ;         4cos  3x -  cos  x +  2  cos  2x -   cos4x  2  sin 2x + cos4x  4 4 2      +/. (. (. )(. ). ).   1   1   cos 2  2x +    1  cos  4x +     1  sin 4x  4  2 2  2   +/ 1 1 2  cos2x + sin2x   sin 4x + m - 0 (1) 2 2 Do đó phương trình đã cho tương đương:   t cos2x + sin2x = 2cos  2x -  4  (điều kiện:  2 t  2 ).  Đặt 2 Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t  1 . Phương trình (1) trở thành: t 2  4t  2m  2 0 (2) với  2 t  2. (2)  t 2  4t 2  2 m.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y 2  2m (là đường song song với Ox 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): y t  4t với  2 t  2 .   2; 2  2  , hàm số y t  4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2  4 2 tại t  2 và đạt giá trị Trong đoạn  lớn nhất là 2  4 2 tại t  2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2  4 2 2  2m 2  4 2   2 2 m 2 2 . 1 2(s inx  cos x)  cot x  1 Câu 4 : Giải phương trình : tanx  cot 2x s inx.cos x 0  Giải : Điều kiện : sinx.cosx cot x 1. Phương trình đã cho tương đương với phương trình:. 2  s inx  cosx  s inx cos2x cos x  s inx  cos x s in2x s inx 3  x   k2  2 4 cos x   (k  Z) 2  x  3  k2  4 Giải được 1. . x. 3  k2, (k  Z) 4. Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 5x x 4 3 sin x cos 2 x  2cos cos  3 sin 2x  3cos x  2 2 2 0 2sin x  3 Câu 5 : Giải phương trình: sin x . 3 2. Giải : Điều kiện : Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 3 sin 2x cos x  cos 3x  cos 2x  3 sin 2x  3cos x  2 0 . 3 sin 2x  2 cos x  1   cos 3x  cos x    cos 2x  1  2cos x  1 0. . 3 sin 2x  2 cos x  1  4 cos x.sin 2 x  2sin 2 x  2 cos x 1 0. . 3 sin 2x  2 cos x  1  2sin 2 x  2 cos x 1   2 cos x  1 0.   2 cos x  1. . . 3 sin 2x  2sin 2 x  1 0   2 cos x  1. . . 3 sin 2x  cos 2x  2 0. 1  2   cos x  2  x  3  2k    k    cos  2x     1  x k; x     k     3 2 3  Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:  2  x k; x   k2; x   k2(k  Z) 3 3 2 2 Câu 6 : Giải phương trình: sin 3x cos 2 x  sin x 0 Giải : Pt tương đương:  2 cos x  1 0    3 sin 2x  cos 2x  2 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> sin 2 3x cos 2 x  sin 2 x 0  (3sin x  4sin 3 x) 2 cos 2 x  sin 2 x 0  sin 2 x  (3  4sin 2 x) 2 cos 2 x  1 0   [3  2(1  cos 2 x)]2 cos 2 x 1 0  sin 2 x  (1  2 cos 2 x) 2 cos 2 x  1 0  sin 2 x  4 cos 3 2 x  4 cos 2 2 x  cos 2 x 1 0.  sin x 0    cos 2 x  1  2 2  4 cos 2 2 x 1 0 (VN)  sin x  cos 2 x  1  4 cos 2 x  1 0.  x k  (k  )  x   k   2. 2  cos x  sin x  1  cot x  1 Câu 7 : Giải phương trình lượng giác: tan x  cot 2 x  cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x  0  cot x 1 Giải : Điều kiện:  2  cos x  sin x  1 cos x.sin 2 x    2 sin x sin x cos 2 x cos x cos x  1 sin x Phương trình tương đương cos x sin 2 x.  2sin x.cos x  2 sin x   x   k 2  2 4  cos x    k    2  x   k 2  4 Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là Câu 8 : Giải phương trình trên khoảng (0;  ) :. 4sin 2  2  1  cos x  . Giải :  2  2 cos x . x  2. 3 cos 2 x 1  2 cos 2 ( x . x .   k 2  k   4. 3 ) 4. 3   3 cos 2x 1  1  cos  2x   2  . 3 cos 2x 2  sin 2x.   2 cos x  3 cos 2x  sin 2x . ( Chia 2 vế cho 2 )   cos x .   3 1 cos 2x  sin 2x  cos  2x   cos    x  6  2 2. 5 2 7 k a  hoÆc x   h2   b   18 3 6 x   0,   Do nên họ nghiệm (a) chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chọn h = 1. Do đó pt có ba nghiệm x 5 17 5 x  , x  ,x  1 2 3  0,  là: 18 18 6 thuộc  x. Câu 9 : Giải phương trình lượng giác 1  sin 2 x  cos 2 x cos x(sin 2 x  2 cos 2 x) 2 1  tan x . Giải : Điều kiện: cosx ≠ 0. Biến đổi PT về:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)Û 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) 0) Û (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0 Û (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0 Û (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 Û sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0    k Û tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) Û x = 4 , (k Î Z) Câu 10 : Giải phương trình :. ( vì cosx ≠.  5  2.cos 5 x  sin(  2 x) sin   2 x  .cot 3 x.  2 . Giải : ĐK: sin 3 x 0 pt . 2cos5 x  sin 2 x cos 2 x.cot 3 x . 2cos5 x sin 3 x  sin 2 x cos 3 x cos 2 x.cos3 x. 2cos5 x sin 3 x  cos5 x 0  cos5 x( 2 sin 3 x  1) 0  k 2  x    12 3  1  x   k 2 sin 3 x  0 2 4 3 +) (t/m đk)    k x  10 5 (t/m đk) +) cos5 x 0 . . Câu 11 : Giải phương trình : Giải : Điều kiện cos x 0. tan 2 x   1  tan 2 x   2  3sin x   1 0. 1  tan 2 x 2  3sin x  2 1  tan 2 x  2  3sin x cos2 x  2sin x  3sin x  1 0 Phương trình viết lại 1  sin x 1 ;sin x  2 1  5 sin x   x   k 2 ; x   k 2  k   2 6 6 so sánh đ/k chọn.   1   cos  x    cos  x    cos 2 x  1. 4 4 3   Câu 12 : Giải phương trình Giải :  1 2 cos x.cos   2cos 2 x  1  1  4 3  3 2cosx 2 cos 2 x  4  2 cos 2 x  3 2 cos x  4 0 2 2 3 (cos x  2 2)( cos x  )=0  cos x  x   2k  2 2  4 . cos 2 x  5 2 2(2  cos x )sin( x   ) 4 Câu 13 : Giải phương trình: Giải :. Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0  cos x  sin x  1    cos x  sin x 5 (loai vi cos x  sin x  2).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x   k 2  2  (k  Z )  2 sin x   1  sin x   sin   x   k 2 4 4 4.  .  . cos3 x  cos 2 x 2  1  sin x  . sin x  cos x. Câu 14 : Giải phương trình: Giải : ĐK: sin x  cos x 0. Khi đó. PT   1  sin 2 x   cos x  1 2  1  sin x   sin x  cos x .   1  sin x   1  cos x  sin x  sin x.cos x  0   1  sin x   1  cos x   1  sin x  0.   x   k 2   2   k , m  Z  x   m2 (thoả mãn điều kiện)  x   k 2  k , m  Z 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: và x   m2  sin x  1   cos x  1. 4sin 4 x  4cos 4 ( x . cos2x   cos2x 0  x   k ( k  ) 4 2 ĐK:. Câu 15 : Giải phương trình Giải :.  ) 1 4 2. .. (1). 2.    (1)  (1  cos2x) 2   1  cos(2x- )   1 2cos2x  (1  cos2x) 2  (1  sin 2x) 2  1 2cos2x 2   2 2 2  2  2cos2x+2sin 2x 2cos2x  2cos2x-sin2x 1  2(cos x  sin x)  (cosx+ s inx) 0   x   k  cosx+sinx 0   (cosx+sinx)(cosx  3sinx) 0    ( k  ) 4   cosx  3s inx 0  x arctan 3  k Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là x arctan 3  k. ( k  ).  4sin x.sin( x  )  5 3 sin x  3(cos x  2) 3 1 1  2 cos x Câu 16 : Giải phương trình:  x   k 2 3 Giải : ĐK :.    PT  1  2.cos(2 x  )  5( 3 sin x  cos x)  5 0  4.sin 2 ( x  )  10sin( x  )  4 0 3 6 6      sin( x  6 )  1/ 2 x   k 2 (L)    3  sin( x   )  2 (VN )  x   k 2   6 S    k 2  VËy.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> cos 2 x.  cos x  1. Câu 17 : Giải phương trình:. x . sin x  cos x. 2  1  sin x .   k 4 .. Giải : ĐK: PT  (1  sin x)(1  sin x)(cos x  1) 2(1  sin x)(sin x  cos x)   x   k 2  1  sin x  0   1  sin x 0  2    1  sin x cos x  1  0    x   k 2  sin x  cos x  sin x cos x  1 0  ( Thoả mãn điều kiện) 2.  2sin 2 x 2       sin   x   sin   3x    2 1  cot x 2  4  4  ..  sin x  cos x  Câu 18 : Giải phương trình :. Giải : Điều kiện sin x 0 hay x k ; k  Z .Phương trình đã cho tương đương với     2 cos   2 x  sin x  cos   2 x   sin x  1 0 4  4  3 k     x   cos  2 x  0 8 2      k, m  Z  4     x   m2  sin x  1 0  2 3 k  x  ; x   m2 ;  k , m  Z  8 2 2 So với điều kiện nghiệm của phương trình là.  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x . 1 2(s inx  cos x)  tanx  cot 2x cot x  1 .. Câu 19 : Giải phương trình : s inx.cos x 0  Giải : Điều kiện : cot x 1. 1 s inx cos2x  Phương trình đã cho tương đương với phương trình: cos x s in2x Giải được. cos x . . 2  s inx  cosx  cos x  s inx s inx. 2 3 3  x   k2, x   k2(k  Z) 2 4 4 x. 3  k2, (k  Z) 4. Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: sin 2 x 1  2cosx sin x  cos x 2. tan x Câu 20 : Giải phương trình: . sin x  0, cos x  0,sin x  cos x  0. Giải : ĐK : cos x 2sin x cos x + −2 cos x=0 Phương trình đã cho tương đương : √ 2 sin x sin x +cos x cos x 2 cos 2 x      0  cos x  sin( x  )  sin 2 x  0 4 2 sin x sin x  cos x  .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> π +) cos x=0 ⇔ x= +kπ , k ∈ Z . 2     x   m 2 2 x  x   m2    4 4 sin 2 x sin( x  )     m, n  Z ⇔ x= π + t 2 π , t ∈ Z .  n 2   4 4 3 x    2 x   x   n 2  4 3 4  +) π π t2π x= + , k ,t ∈ Z . Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x= +kπ ; 2 4 3   sin( x  )  cos(  x) 1 x 6 3  (cos x  s inx.tan )  2 2 cos x Câu 21 : Giải phương trình: cos x . cos x 0   x cos 2 0 Giải : Điều kiện . 2  cos(  x)  cos(  x ) 1 x 3 3  (cos x  2sin 2 )  2  cos x 2 cos x Phương trình   2 cos(  x) cos 1 2 6  1  1  3 s inx  tan 2 x  3 t anx   (cos x  1  cos x)  2 cos x cos x cos 2 x cos x  x k  tan x 0 2 tan x  3 tan x 0    (k  Z )  x   k  tan x  3  3   x 2l  (l  Z )  x   l 3 Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là  cos 2 x − sin 4 x =√ 3 Câu 22 : Giải phương trình: 2 2 cos 2 x+ sin 2 x − 1 −2 sin 2 2 x +sin 2 x +1 ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠1 1 Giải : ĐK: sin 2 x ≠− 2 ¿{ cos 2 x − sin 4 x =√ 3  cos 2 x − sin 4 x=√ 3 ( sin 2 x +cos 4 x ) − 2 sin2 2 x+ sin 2 x +1 π π  cos 2 x − √ 3 sin 2 x=√ 3cos 4 x +sin 4 x  cos 2 x + =cos 4 x − 3 6 π π 2 x + =4 x − +k 2 π 3 6 ¿ π π π π 2π 2 x + =−4 x+ + k 2 π x= +kπ Ú x=− + k . 3 6 4 6 3 ¿ ¿ ¿ ¿. (. ) (. ). .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> So lại điều kiện được nghiệm phương trình đã cho x=−. π 2π +k 6 3. x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2 2 0 2sinx 3 Câu 23 : Giải phương trình: 3 x s inx  cos 0 2 và 2 Giải : Điều kiện: và cosx ≠ 0  cosx = 1   cosx = 1  2 Biến đổi pt về: 4cos3x - 4 cos2x – cosx + 1 = 0 2 Câu 24 : Giải phương trình 2cos x  2 3 sin x cos x 1 3(sin x  3 cos x) . Giải : 2cos 2 x  2 3 sin x cos x  1 3(sin x  3 cos x)  (sin x  3 cos x) 2  3(sin x  3 cos x) 0  sin x  3 cos x 0 Ú sin x  3 cos x 3 (1) Phương trình sin x  3 cos x 3 vô nghiệm vì Nên (1).  tan x  3  x . √ 3¿ 2< 32 2. 1 +¿.    k x   k 3 3 ( k   ). Vậy, PT có nghiệm là: ( k   )..  5  2 2 cos   x  sin x 1  12  Câu 25 : Giải phương trình : Giải :   5  5   2  sin  2 x    sin  1 12  12   . 5  5 1  5   5    sin  2 x   sin  sin  2 x     sin  sin  sin 12  12 4 12  4 12 2          2 cos sin    sin    3  12   12   5    x   k 2x    k 2   5      6 12 12  sin  2 x    k    sin      12    12   x 3  k  2 x  5 13  k 2  12 12  4 2 3 4 2 3 4 Câu 26 : Giải phương trình: sin x  sin x  sin x  sin x cos x  cos x  cos x  cos x Giải :  sin x  cosx 0  (sin x  cosx). 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx  0    2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx 0  sin x  cosx 0  x   k (k  Z ) 4 + Với sin x  cosx + Với 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx 0 , đặt t =. (t    2; 2  ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  x   m2  t  1   (m  Z )   x    m2 2   t  3(loai) t = -1 được pt : t2 + 4t +3 = 0   x   k , x   m2 , x   m2 (m  Z , k  Z ) 4 2 Vậy :.  2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos 2 (2 x  ) 4. Câu 27 : Giải phương trình : Giải :.    PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin 2 x)  3  1  cos(4x+ )   cos4x+ 3 sin 4 x  cos2x+ 3 sin 2 x 0 2  .    x   k     18 3  sin(4 x  )  sin(2 x  ) 0  2sin(3 x  ).cosx=0   6 6 6  x=   k  2    x   k x  k 2 18 3. Vậy PT có hai nghiệm và sin 2 x 1  2cosx sin x  cos x 2. tan x Câu 28 : Giải phương trình: . Giải : Điều kiện: sin x 0, cos x 0,sin x  cos x 0. cos x. . 2 sin x cos x  2 cos x 0 sin x  cos x. Pt đã cho trở thành 2 sin x cos x 2 cos 2 x      0  cos x  sin( x  )  sin 2 x  0 4 2 sin x sin x  cos x    cos x 0  x   k , k   . 2 +).      x  4  m2  2 x  x  4  m2  sin 2 x sin( x  )    m, n   4  t 2  x   n 2  2 x   x    n 2  x  , t  .   4 3  4  4 3 +)   t 2 x   k x  , k, t   . 4 3 2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : ; Câu 29 : Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0 Giải : Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0 ⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0 1   ⇔ tan x 1; cos x  ⇔ x   k . ; x   l .  k , l   2 4 3 ( k,l Z). Câu 30 : Giải phương trình Giải :. sin x cos 2 x  cos 2 x  tan 2 x  1  2sin 3 x 0. .. Điều kiện cos x 0 sin x cos 2 x  cos 2 x  tan 2 x  1  2sin 3 x 0  sin x  1  2sin 2 x   2 sin 2 x  1  2sin 3 x 0.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1   5  2sin 2 x  sin x  1 0  sin x  1;sin x   x   k 2 ; x   k 2 ; x   k 2 2 2 6 6 . 5   S   k 2 ;  k 2  6 6  Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm. Câu 31 : Giải phương trình: Giải : Điều kiện: (1) . 2.cos 2 x . x k. 2.cos 2 x . 1 1  sin x cos x (1).  2. 2 cos x  sin x (cos x  sin x )(cos x  sin x)sin 2 x  (cos x  sin x) 0 0  2 sin x.cos x.  (cos x  sin x)  (cos x  sin x)sin 2 x . 2  0.     2 sin  x  4  0    2 0  (cos x  sin x)  1  (cos x  sin x) 2   2 0   x  k    4  sin  x  4  0    3  x  k  (cos x  sin x)3  (cos x  sin x)  2 0  x  4  k 2 4 ĐS:  cos x  sin x 0   (cos x  sin x)sin 2 x . . 1 3x 7 cos4x + cos 2 4 = 2. Câu 32 : Giải phương trình: 4cos4x – cos2x Giải : 1 3x 7  cos4x + cos 4 = 2 . 4cos4x – cos2x 2 1 3x 7 3x  (2cos 2 2 x  1) + cos cos 4 = 2  cos2x + 4 =2  (1 + cos2x)2 – cos2x 2  x k cos2x = 1    m8 (k ; m  )  3x x  cos  1   3 4  ( vì VT ≤ 2 với mọi x)    x = 8n ( n  ) 1 1 2x 2 x +cos = sin Câu 33 : Giải phương trình sau : . 4 3 2 2 Giải : 2x 1  cos 1 x 1 x 1 3 1  cos x  cos2  sin 2   4 3 2 2 4 2 4 2x x   1  2  2 cos 1  cos x  2  2 cos 2a  cos 3a a  3 3 .  2  2  2 cos 2 a  1   4 cos3 a  3 cos a   2  4 cos2 a  2  4 cos 3 a  3 cos a 0  cos a  4 cos2 a  4 cos a  3 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>   cos a 0  1   cos a   2  3  cos a   2. x  x  3   cos 3 0    k x   k 3   3 2  2   cos x cos   x   k 2  x   k 6 .   3 3 3 3  loại .  2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos 2 (2 x  ) 4. Câu 34 : Giải phương trình : Giải :.    PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin 2 x)  3  1  cos(4x+ )  2    cos4x+ 3 sin 4 x  cos2x+ 3 sin 2 x 0    sin(4 x  )  sin(2 x  ) 0 6 6     x  18  k 3   2sin(3x  ).cosx=0   6  x=   k  2    x   k x  k 2 18 3. Vậy PT có hai nghiệm và. ON TAP LUONG GIAC 4. 4. sin x  cos x sin 2 x. Câu 1 : Giải phương trình :. . 1 2.  tan x  cot x . 2 2 Câu 2 : Giải phương trình: cos x+ sin x sin 4 x −sin 4 x=. 1 4. Câu 3 : Định m để phương trình sau có nghiệm       4sin3xsinx + 4cos  3x -  cos  x +   cos 2  2x +   m 0 4 4 4    Câu 4 : Giải phương trình :. 1 2(s inx  cos x)  tanx  cot 2x cot x  1. 5x x cos  3 sin 2x  3cos x  2 2 2 0 2sin x  3. 4 3 sin x cos 2 x  2cos Câu 5 : Giải phương trình:. 2 2 Câu 6 : Giải phương trình: sin 3x cos 2 x  sin x 0. 2  cos x  sin x  1  cot x  1 Câu 7 : Giải phương trình lượng giác: tan x  cot 2 x Câu 8 : Giải phương trình trên khoảng (0;  ) :. 4sin 2. x  2. 3 cos 2 x 1  2 cos 2 ( x . 3 ) 4.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Câu 9 : Giải phương trình lượng giác 1  sin 2 x  cos 2 x cos x(sin 2 x  2 cos 2 x) 1  tan 2 x ..  5  2.cos 5 x  sin(  2 x) sin   2 x  .cot 3 x.  2 . Câu 10 : Giải phương trình : tan 2 x   1  tan 2 x   2  3sin x   1 0 Câu 11 : Giải phương trình :   1   cos  x    cos  x    cos 2 x  1. 4 4 3   Câu 12 : Giải phương trình cos 2 x  5 2 2(2  cos x )sin( x   ) 4 Câu 13 : Giải phương trình: Câu 14 : Giải phương trình:. cos3 x  cos 2 x 2  1  sin x  . sin x  cos x. 4sin 4 x  4cos 4 ( x  Câu 15 : Giải phương trình. cos2x.  ) 1 4 2. .. (1).  4sin x.sin( x  )  5 3 sin x  3(cos x  2) 3 1 1  2 cos x Câu 16 : Giải phương trình: cos 2 x.  cos x  1. Câu 17 : Giải phương trình:. sin x  cos x. 2  1  sin x . 2.  2sin 2 x 2       sin   x   sin   3x    2 1  cot x 2  4  4  . Câu 18 : Giải phương trình : 1 2(s inx  cos x)  cot x  1 Câu 19 : Giải phương trình : tanx  cot 2x . sin 2 x 1  2cosx sin x  cos x 2. tan x Câu 20 : Giải phương trình: ..  sin x  cos x . 1 x  (cos x  s inx.tan )  2 2 Câu 21 : Giải phương trình: cos x cos 2 x − sin 4 x =√ 3 Câu 22 : Giải phương trình: 2 2 cos 2 x+ sin 2 x − 1. sin( x .   )  cos(  x) 6 3 cos x .. x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2 2 0 2sinx 3 Câu 23 : Giải phương trình: 2 Câu 24 : Giải phương trình 2cos x  2 3 sin x cos x  1 3(sin x  3 cos x) .  5  2 2 cos   x  sin x 1  12  Câu 25 : Giải phương trình : 2 3 4 2 3 4 Câu 26 : Giải phương trình: sin x  sin x  sin x  sin x cos x  cos x  cos x  cos x  2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos 2 (2 x  ) 4 Câu 27 : Giải phương trình :.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> sin 2 x  sin x  cos x. 1 2cosx 2. tan x .. Câu 28 : Giải phương trình: Câu 29 : Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0 sin x cos 2 x  cos 2 x  tan 2 x  1  2sin 3 x 0 Câu 30 : Giải phương trình . 1 1 2.cos 2 x   sin x cos x (1) Câu 31 : Giải phương trình: 1 3x 7  cos4x + cos 4 = 2 Câu 32 : Giải phương trình: 4cos4x – cos2x 2 1 x 1 x +cos 2 = sin 2 Câu 33 : Giải phương trình sau : . 4 3 2 2.  2cos3x.cosx+ 3(1  s in2x)=2 3cos 2 (2 x  ) 4. Câu 34 : Giải phương trình :. 1. Giải : Điều kiện: sin 2 x 0 1 1 1  sin 2 2 x 1  sin 2 2 x 1 sin x cos x   1 1 2 2 (1)       1  sin 2 2 x 1  sin 2 x 0   sin 2 x 2  cos x sin x  sin 2 x sin 2 x 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 2. Giải : pt đã cho tương đương với pt: 1 1 1 1 (1+cos 2 x)+ (cos 3 x − cos 5 x)− (1 −cos 8 x )= 2 2 2 4 1 1 1 ⇔ cos 3 x cos 5 x+ cos 3 x − cos 5 x+ =0 2 2 2. (. ).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> (. ⇔ cos 5 x+. 1 1 cos 3 x − =0 ⇔ 2 2. )(. ). 1 cos 3 x − =0 2. ¿. . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. 3. Giải : 4sin3xsinx = 2  cos2x - cos4x . 2π 2π +k 15 5 ¿ π 2π x=± + k 9 3 ¿ ¿ ¿ ¿. x=±. 1 cos 5 x+ =0 2. ;.         4cos  3x -  cos  x +  2  cos  2x -   cos4x  2  sin 2x + cos4x  4 4 2      +/   1   1   cos 2  2x +    1  cos  4x +     1  sin 4x  4  2 2  2   +/ 1 1 2  cos2x + sin2x   sin 4x + m - 0 (1) 2 2 Do đó phương trình đã cho tương đương:   t cos2x + sin2x = 2cos  2x -  4  (điều kiện:  2 t  2 ).  Đặt 2 Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t  1 . Phương trình (1) trở thành: t 2  4t  2m  2 0 (2) với  2 t  2. (2)  t 2  4t 2  2 m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y 2  2m (là đường song song với Ox 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): y t  4t với  2 t  2 .   2; 2  2  , hàm số y t  4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2  4 2 tại t  2 và đạt giá trị Trong đoạn  lớn nhất là 2  4 2 tại t  2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2  4 2 2  2m 2  4 2   2 2 m 2 2 . s inx.cos x 0  4. Giải : Điều kiện : sinx.cosx cot x 1 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:. 2  s inx  cosx  s inx cos2x cos x  s inx  cos x s in2x s inx 3  x   k2  2 4 cos x   (k  Z) 2  x  3  k2  4 Giải được 1. . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:. x. 3  k2, (k  Z) 4.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> sin x . 3 2. 5. Giải : Điều kiện : Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 3 sin 2x cos x  cos 3x  cos 2x  3 sin 2x  3cos x  2 0 . 3 sin 2x  2 cos x  1   cos 3x  cos x    cos 2x  1  2cos x  1 0. . 3 sin 2x  2 cos x  1  4 cos x.sin 2 x  2sin 2 x  2 cos x 1 0. . 3 sin 2x  2 cos x  1  2sin 2 x  2 cos x 1   2 cos x  1 0.   2 cos x  1. . . 3 sin 2x  2sin 2 x  1 0   2 cos x  1. . . 3 sin 2x  cos 2x  2 0. 1  2   cos x  2  x  3  2k    k    cos  2x     1  x k; x     k     3 2 3  Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:  2  x k; x   k2; x   k2(k  Z) 3 3 6. Giải : Pt tương đương: sin 2 3x cos 2 x  sin 2 x 0  (3sin x  4sin 3 x) 2 cos 2 x  sin 2 x 0  2 cos x  1 0    3 sin 2x  cos 2x  2 0.  sin 2 x  (3  4sin 2 x) 2 cos 2 x  1 0   [3  2(1  cos 2 x)]2 cos 2 x  1 0.  sin 2 x  (1  2cos 2 x) 2 cos 2 x 1 0  sin 2 x  4 cos 3 2 x  4 cos 2 2 x  cos 2 x 1 0  sin x 0  x k    cos 2 x  1  (k  )  x   k  2 2  4 cos 2 2 x 1 0 (VN)  sin x  cos 2 x  1  4 cos 2 x  1 0  2 cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x  0  cot x 1 7. Giải : Điều kiện:  2  cos x  sin x  1 cos x.sin 2 x    2 sin x sin x cos 2 x cos x cos x  1 sin x Phương trình tương đương cos x sin 2 x.  2sin x.cos x  2 sin x   x   k 2  2 4  cos x    k   2  x    k 2  4 Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã  x   k 2  k   4 cho là 3    2  1  cos x   3 cos 2x 1  1  cos  2x   2   8. Giải :  2  2 cos x . 3 cos 2x 2  sin 2x.   2 cos x  3 cos 2x  sin 2x . ( Chia 2 vế cho 2 ).

<span class='text_page_counter'>(16)</span>   cos x .   3 1 cos 2x  sin 2x  cos  2x   cos    x  6  2 2. 5 2 7 k a  hoÆc x   h2   b   18 3 6 x   0,   Do nên họ nghiệm (a) chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chọn h = 1. Do đó pt có ba nghiệm x 5 17 5 x1  , x 2  ,x 3  0,   18 18 6 thuộc là: 9. Giải : Điều kiện: cosx ≠ 0 Biến đổi PT về: cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)Û 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) ( vì cosx ≠ 0) Û (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0 Û (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0 Û (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 Û sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0    k Û tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) Û x = 4 , (k Î Z)  x. 10. Giải : ĐK: sin 3 x 0 pt . 2cos5 x  sin 2 x cos 2 x.cot 3 x . 2cos5 x sin 3x  sin 2 x cos3 x cos 2 x.cos3 x. 2cos5 x sin 3 x  cos5 x 0  cos5 x( 2 sin 3x  1) 0  k 2  x    12 3  1  x   k 2 sin 3 x  0 2 4 3 +) (t/m đk)    k x  10 5 (t/m đk) +) cos5 x 0 . . 11. Giải : Điều kiện cos x 0 1  tan 2 x 2  3sin x  2 1  tan 2 x  2  3sin x cos2 x  2sin x  3sin x  1 0 Phương trình viết lại 1  sin x 1 ;sin x  2 1  5 sin x   x   k 2 ; x   k 2  k   2 6 6 so sánh đ/k chọn. 12. Giải :.  1   2cos 2 x  1  1  4 3  3 2cosx 2 cos 2 x  4  2 cos 2 x  3 2 cos x  4 0 2 2 3 (cos x  2 2)( cos x  )=0  cos x  x   2k  2 2  4 . 2 cos x.cos. 13. Giải :. Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0  cos x  sin x  1    cos x  sin x 5 (loai vi cos x  sin x  2).

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  x   k 2  2  (k  Z )  2 sin x   1  sin x   sin   x   k 2 4 4 4 sin x  cos x  0 14. Giải : ĐK:.  . Khi đó.  . PT   1  sin 2 x   cos x  1 2  1  sin x   sin x  cos x .   1  sin x   1  cos x  sin x  sin x.cos x  0   1  sin x   1  cos x   1  sin x  0.   x   k 2   2   k , m  Z  x   m2 (thoả mãn điều kiện)  x   k 2  k , m  Z 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: và x   m 2  sin x  1   cos x  1.   cos2x 0  x   k (k  ) 4 2 ĐK:. 15. Giải :. 2.    (1)  (1  cos2x)   1  cos(2x- )   1 2cos2x  (1  cos2x) 2  (1  sin 2x) 2  1 2cos2x 2   2 2 2  2  2cos2x+2sin 2x 2cos2x  2cos2x-sin2x 1  2(cos x  sin x)  (cosx+ s inx) 0   x   k  cosx+sinx 0   (cosx+sinx)(cosx  3sinx) 0    ( k  ) 4   cosx  3s inx 0  x arctan 3  k 2. Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là x arctan 3  k. ( k  ).  x   k 2 3 16. Giải : ĐK :.    PT  1  2.cos(2 x  )  5( 3 sin x  cos x)  5 0  4.sin 2 ( x  )  10sin( x  )  4 0 3 6 6      sin( x  6 )  1/ 2 x   k 2 (L)    3   sin( x   )  2 (VN )  x   k 2  6 S    k 2  Vậy  x   k 4 17. Giải : ĐK: . PT  (1  sin x)(1  sin x)(cos x  1) 2(1  sin x)(sin x  cos x)   x   k 2  1  sin x 0  1  sin x 0  2     x   k 2  sin x  cos x  sin x cos x  1 0   1  sin x   cos x  1 0 ( Thoả mãn điều kiện). 18. Giải : Điều kiện xác định sin x 0 hay x k ; k  Z . Phương trình đã cho tương đương với.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>     2 cos   2 x  sin x  cos   2 x   sin x  1 0 4  4  3 k     x   cos  2 x  0 8 2      k, m  Z  4     x   m2  sin x  1 0  2 3 k  x  ; x   m2 ;  k , m  Z  8 2 2 So với điều kiện nghiệm của phương trình là s inx.cos x 0  19. Giải : Điều kiện : sinx.cosx cot x 1.  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x . 1 s inx cos2x  Phương trình đã cho tương đương với phương trình: cos x s in2x Giải được. cos x . . 2  s inx  cosx  cos x  s inx s inx. 2 3 3  x   k2, x   k2(k  Z) 2 4 4 x. 3  k2, (k  Z) 4. Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 20. Giải : ĐK : sin x 0, cos x 0,sin x  cos x 0. cos x 2sin x cos x + −2 cos x=0 Phương trình đã cho tương đương : sin x +cos x √ 2 sin x cos x 2 cos 2 x      0  cos x  sin( x  )  sin 2 x  0 4 2 sin x sin x  cos x   π +) cos x=0 ⇔ x= +kπ , k ∈ Z . 2     x   m 2 2 x  x   m 2     4 4 sin 2 x sin( x  )     m, n  Z ⇔ x= π + t 2 π , t ∈ Z .  n 2   4 4 3 x    2 x   x   n 2   4 3  4  +) π π t2π x= + , k ,t ∈ Z . Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x= +kπ ; 2 4 3 cos x 0   x cos 2 0 21. Giải : Điều kiện . 2  cos(  x)  cos(  x ) 1 x 3 3  (cos x  2sin 2 )  2  cos x 2 cos x Phương trình   2 cos(  x) cos 1 2 6  1  1  3 s inx  tan 2 x  3 t anx   (cos x  1  cos x)  2 cos x cos x cos 2 x cos x  x k  tan x 0 2 tan x  3 tan x 0    (k  Z )  x   k   tan x  3 3 .

<span class='text_page_counter'>(19)</span>  x 2l  (l  Z )  x   l 3 Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là  2 −2 sin 2 x +sin 2 x +1 ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠1 1 22. Giải : ĐK: sin 2 x ≠− 2 ¿{ cos 2 x − sin 4 x =√ 3  cos 2 x − sin 4 x=√ 3 ( sin 2 x +cos 4 x ) − 2 sin2 2 x+ sin 2 x +1 π π  cos 2 x − √ 3 sin 2 x=√ 3cos 4 x +sin 4 x  cos 2 x + =cos 4 x −  3 6 π π 2 x + =4 x − +k 2 π 3 6 ¿ π π π π 2π 2 x + =−4 x+ + k 2 π x= +kπ Ú x=− + k . 3 6 4 6 3 ¿ ¿ ¿ ¿ π 2π So lại điều kiện được nghiệm phương trình đã cho x=− + k 6 3 3 x s inx  cos 0 2 và 2 23. Giải : Điều kiện: và cosx ≠ 0  cosx = 1   cosx = 1  2 Biến đổi pt về: 4cos3x - 4 cos2x – cosx + 1 = 0 24. Giải : 2cos 2 x  2 3 sin x cos x  1 3(sin x  3 cos x)  (sin x  3 cos x) 2  3(sin x  3 cos x) 0. (. ) (. ).  sin x  3 cos x 0 Ú sin x  3 cos x 3 (1) Phương trình sin x  3 cos x 3 vô nghiệm vì  tan x  3  x . √ 3¿ 2< 32 12 +¿.    k x   k 3 3 ( k   ). Vậy, PT có nghiệm là: ( k   ).. Nên (1) 25 . Giải :   5  5   2  sin  2 x    sin  1 12  12    5  5 1  5   5    sin  2 x   sin  sin  2 x     sin  sin  sin 12  12 4 12  4 12 2          2 cos sin    sin    3  12   12   5    x   k 2x    k 2   5      6 12 12  sin  2 x    k    sin      12    12   x 3  k  2 x  5 13  k 2   12 12 4.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 26. Giải :  sin x  cosx 0  (sin x  cosx). 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx  0    2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx 0  sin x  cosx 0  x   k (k  Z ) 4 + Với sin x  cosx (t    2; 2  ) + Với 2  2(sin x  cosx)  sin x.cosx 0 , đặt t =  x   m2  t  1   (m  Z )   x    m2 2   t  3(loai) t = -1 được pt : t2 + 4t +3 = 0   x   k , x   m2 , x   m2 ( m  Z , k  Z ) 4 2 Vậy : 27. Giải :    PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin 2 x)  3  1  cos(4x+ )   cos4x+ 3 sin 4 x  cos2x+ 3 sin 2 x 0 2  .    x  k     18 3  sin(4 x  )  sin(2 x  ) 0  2sin(3 x  ).cosx=0    6 6 6  x=  k  2    x   k x  k 2 18 3. Vậy PT có hai nghiệm và 28. Giải : Điều kiện: sin x 0, cos x 0,sin x  cos x 0. cos x. . 2 sin x cos x  2 cos x 0 sin x  cos x. Pt đã cho trở thành 2 sin x cos x 2 cos 2 x      0  cos x  sin( x  )  sin 2 x  0 4 2 sin x sin x  cos x    cos x 0  x   k , k   . 2 +).     x   m2 2 x  x   m2    4 4 sin 2 x sin( x  )    m, n   4  t 2  x   n 2  2 x   x    n 2  x  , t  .  4 3 4   4 3 +)   t 2 x   k x  , k, t   . 4 3 2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : ; 29.Giải : Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0 ⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0 ⇔ 1   tan x 1;cos x  x   k . ; x   l.  k , l   ⇔ 2 4 3 ( k,l Z). 30.Giải : Điều kiện cos x 0 sin x cos 2 x  cos 2 x  tan 2 x  1  2sin 3 x 0  sin x  1  2sin 2 x   2 sin 2 x  1  2sin 3 x 0.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 1   5  2sin 2 x  sin x  1 0  sin x  1;sin x   x   k 2 ; x   k 2 ; x   k 2 2 2 6 6 . 5   S   k 2 ;  k 2  6 6  Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm. 31.Giải : Điều kiện: (1) . 2.cos 2 x . x k.  2. 2 cos x  sin x (cos x  sin x )(cos x  sin x)sin 2 x  (cos x  sin x) 0 0  2 sin x.cos x.  (cos x  sin x)  (cos x  sin x)sin 2 x . 2  0.    2 sin x    0  4    2 0  (cos x  sin x)  1  (cos x  sin x) 2   2 0   x  k    4  sin  x  4  0    3  x  k  (cos x  sin x)3  (cos x  sin x)  2 0  x  4  k 2 4 ĐS:  cos x  sin x 0   (cos x  sin x)sin 2 x . 32.Giải : 1 3x 7 cos4x + cos 4 = 2 . 4cos4x – cos2x 2 1 3x 7 3x  (2cos 2 2 x  1) + cos cos 4 = 2  cos2x + 4 =2  (1 + cos2x)2 – cos2x 2  x k cos2x = 1    m8 (k ; m  )  3x  x  3 cos 4 1  ( vì VT ≤ 2 với mọi x)   x = 8n ( n  ) 33.Giải : 2x 1  cos 1 x 1 x 1 3 1  cos x  cos2  sin 2   4 3 2 2 4 2 4 2x x   1  2  2 cos 1  cos x  2  2 cos 2a  cos 3a a  3 3  .  2  2  2 cos 2 a  1   4 cos3 a  3 cos a   2  4 cos2 a  2  4 cos 3 a  3 cos a 0  cos a  4 cos2 a  4 cos a  3 0   cos a 0  1   cos a   2  3  cos a   2 34.Giải :. x  x  3   cos 3 0  3  2  k x   k 3     2   cos x cos   x   k 2  x   k 6 .  3  3 3  3  loại .

<span class='text_page_counter'>(22)</span>    PT  cos4x+cos2x+ 3(1  sin 2 x)  3  1  cos(4x+ )  2    cos4x+ 3 sin 4 x  cos2x+ 3 sin 2 x 0    sin(4 x  )  sin(2 x  ) 0 6 6     x  18  k 3   2sin(3x  ).cosx=0   6  x=   k  2    x   k x  k 2 18 3. Vậy PT có hai nghiệm và.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>