De HSG Hay20162017 35

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. Năm học 2011 - 2012 Khóa ngày 08/01/2012. MÔN THI: TOÁN LỚP 9 (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề). Đề: Bài 1: (2 điểm). 2 3 2010 2011 2012 Chứng minh rằng số n = 7  7  7  ...  7  7  7 chia hết cho 400.. Bài 2: (2 điểm). Hãy tính tổng S = a + b + c. Biết a,b,c là các số thực dương thỏa điều kiện: a 2 + b 2 + c 2 = (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 và ab + bc + ca = 9 Bài 3: (2 điểm). 2 3 Rút gọn biểu thức sau:. 2  2 3. . 2 2. 3 2. 3. Bài 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình sau:  x 2  xy  y 2  13 0  2 2 3 4 2  x y  xy  y  13 y  y  4 0 P= Bài 5: (4 điểm). Cho biểu thức: Chứng minh rằng:. 0<P<. 3 1 4   x 4 - x 3 + x -1 x 4 + x 3 - x - 1 x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 1. 32 9 với mọi x 1 .. Bài 6: (3 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M trong tam giác sao cho    MAC MBA MCB . Hãy so sánh diện tích hai tam giác ABM và CBM. Bài 7: (5 điểm). Cho tam giác AHC có ba góc nhọn, đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với AH; hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O. a. Chứng minh ΔABH ΔMKO . b. Chứng minh:. IO3 + IK 3 + IM 3 2 = 3 3 3 IA + IH + IB 4 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ----- Hết ----UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. Năm học 2011 - 2012 Khóa ngày 08/01/2012. HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1: (2 điểm) 2 3 2010 2011 2012 Ta có: n = 7  7  7  ...  7  7  7 2 3 4 5 6 7 8 2009 2010 2011 2012 n = (7  7  7  7 )  (7  7  7  7 )  ...  (7  7  7  7 ) 2. 3. 5. 2. 3. = 7(1  7  7  7 )  7 (1  7  7  7 )  ...  7 2 3 5 2009 = (1  7  7  7 )(7  7  ...  7 ). 2009. 2. 3. (1  7  7  7 ). (0,5 điểm). 5 2009 = 400(7  7  ...  7 ) 400 Vậy n 400. (0,5 điểm) (0,5 điểm). Bài 2: (2 điểm) Ta có: a 2 + b 2 + c 2 = (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 2 2 2  a + b + c = 2(ab + bc + ca) = 18. (0,5 điểm). 2. Do đó ta có: (a + b + c) = 36  a + b + c = 6 (với a > 0, b > 0, c > 0). Vậy: a + b + c = 6 Bài 3: (2 điểm) 4  2 3 ( 3  1) 2 2 3   2 2 Ta có: 2. và 2 3 . 2  2 3. 3 . 4  2 3 ( 3  1)  2 2 2. 2. 3 2. (0,5 điểm). (1 điểm) (0,5 điểm). (0,25 điểm). 2. (0,25 điểm) ( 3  1) 2. . ( 3  1) 2. 3 = 2 2 2 2 3 2 2  2 2 ( 3  1) 2 ( 3  1)2  = 2 2  2( 3  1) 2 2  2( 3  1) ( 3  1)2 ( 3  1) 2 ( 3  1) 2 ( 3  1) 2    3 2  6 3 2  6 6( 3  1) 6( 3  1) =. 3. (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 1 3 1 2 3    2 6 6 6. (0,25 điểm). Bài 4: (2 điểm) Xem hệ phương trình  x 2  xy  y 2  13 0 (1)  2 2 3 4 2  x y  xy  y  13 y  y  4 0 (2) Ta có: 2 2 2 (2)  ( x  xy  y  13) y  y  4 0. (0,25 điểm). =. 2. 2. Nhưng: x  xy  y  13 0  y  4 0  y 4 2 Do đó ta có: (1)  x  4 x  3 0  ( x  1)( x  3) 0  x 1    x 3  x 1  y 4 Vậy: Hệ phương trình có hai nghiệm là:  và Bài 5: (4 điểm) Ta có: 4 3 2 * x - x + x -1= (x - 1)(x + 1)(x - x + 1) 4. 3.  x 3   y 4. 2. * x + x - x -1= (x - 1)(x + 1)(x + x + 1) 5 4 3 2 4 2 * x - x  x -x + x -1= (x - 1)(x + x + 1) = (x - 1)(x 2 + x + 1)(x 2 - x +1) 2. P= Suy ra. (0,25 điểm) (0,5 điểm). (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm). 2. 3(x + x + 1) - (x - x +1) - 4(x + 1) (x - 1)(x + 1)(x 2 + x + 1)(x 2 - x +1). . 2(x 2 - 1) (x - 1)(x + 1)(x 2 + x + 1)(x 2 - x +1). 2 2 = >0 2 x + x +1 (x 2 + 1 )2 + 3 2 4 Mặt khác, ta có: P=. (0,5 điểm) (0,5 điểm). (0,5 điểm). 4. (1 điểm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 32 32 2 32(x 4 + x 2 + 1) - 18 -P = - 4 2 = 9 9 x +x +1 9(x 4 + x 2 +1) 4. 2. 2. (0,5 điểm). 2. 2(16x +16x +7) 2[(4x + 2) + 3]  >0 3 9(x 4 + x 2 +1) 2 1 2 9[(x + ) + ] 2 4 32 P< 9 Suy ra: 32 0<P< 9 , với mọi x 1 . Vậy: Bài 6: (3 điểm) .   Vì tam giác ABC cân tại A, từ giả thiết suy ra MBC = MCA   Do đó BMC = AMC .. Kéo dài BM cắt AC tại N, hạ CH  BN , AI  BN , CK  AM . Ta thấy ABI = CAK (cạnh huyền, góc nhọn) Suy ra AI = CK (1)   Mặt khác: BMC = AMC    CMH = CMK  CH = CK (2) Từ (1) và (2) suy ra CH = AI =S Từ đó ta có: SABMΔCBM . Bài 7: (5 điểm). (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm). (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a. Ta có:. MO // HA (cùng vuông góc với BC), OK // BH (cùng vuông góc với AC),    KOM=BHA (góc có cạnh tương ứng song song). Ta cũng có MK // AB (do M, K lần lượt là trung điểm của BC, AC)    HAB=KMO (góc có cạnh tương ứng song song). Do đó: ΔABH ΔMKO (*) b. Từ (*) suy ra: MO MK 1 = = AH AB 2. Xét ΔAIH và MIO, ta có: MO MI 1 = = AH AI 2 (do I là trọng tâm ΔABC )   OMI=HAI và (hai góc so le trong) IO 1 =   IH 2 ΔAIH ΔMIO IO IM IK 1 = = = IA IB 2 Do đó: IH 3 3 3 IO IM IK IO3 + IM 3 + IK 3 1 = = 3 =  3 3 3 3 3 IH IA IB IH + IA + IB 8 hay 3. Vậy:. 3. (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm). (0,25 điểm). (0,5 điểm) (0,25 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm). 3. IO + IK + IM 2 = 3 3 3 IA + IH + IB 4 .. * Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ điểm.. (0,5 điểm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>