HSG Toan 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ Đề thi chính thức. ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 NĂM HỌC 2015-2016 Thời gian làm bài 120 phút. Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau 1 1 1 1  1  2  ...  100        2, 4.42  21.4,8 2 3 4 5 A 1 1 1 1 1     ...  2 3 4 100 Bài 2: Tìm x biết: x  2015  1 2016 a) 2 10  131313 131313 131313 131313  x  70 :       5 3 11 151515 353535 636363 999999   b). 46.95  69.120 B  4 12 11  8 .3  6. 3x  5y 7y  3z 5z  7x   2 3 4 Bài 3: a) Tìm x, y, z biết và x + y + z = 17 b) Tìm các cặp số thực (x; y) sao cho x, y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau x x 2  y 2 và y 2xy 0  Bài 4: Cho tam giác ABC có A  90 . Ở phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE a) Chứng minh rằng CD = BE và CD  BE b) Kẻ đường thẳng đi qua A vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE 0  c) Lấy điểm K nằm trong ABD sao cho ABK 30 và BA = BK. Chứng minh rằng AK = KD 1 1 1 12x 24y 36z      2016 Bài 5: Tính tổng S x  2y  3z , biết rằng x  2y 2y  3z 3z  x 2y  3z 3z  x x  2y. BÀI GIẢI. Bài 1: a) Ta có 2, 4.42  21.4,8 2, 4.21.2  21.2.2, 4 0 . Do đó A = 0 212.310  1  5  46.95  69.120 212.310  212.310.5 2.6 4 B  4 12 11  12 12 11 11  11 11    8 .3  6  2 .3  2 .3 2 .3   2.3  1 3.   5  5 b) Ta có x  2015  1 2016  x  2015  1 2016 . Do đó  x  2015 2017  x 4032  x  2015 2017     x  2015  2017  x  2 2 10  131313 131313 131313 131313  x  70 :      5 11  151515 353535 636363 999999  b) Ta có 3. Bài 2: a) Vì. x  2015 0  x  2015  1  1. 2 10  13 13 13 13  2 10 13  2 2 2 2  x  70 :       5  x  70 :      5 3 11  15 35 63 99  3 11 2  3.5 5.7 7.9 9.11  2 10 13  1 1 1 1 1 1 1 1  2 10 13  1 1   x  70 :          5  x  70 :    5  3 11 2  3 5 5 7 7 9 9 11  3 11 2  3 11  .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> . 2 780 13 8 2 780 52 2 x : .  5  x  :  5  x  45  5  x 60 3 11 2 33 3 11 33 3. Bài 3: a) Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có 7  3x  5y  5  7y  3z  3  5z  7x  21x  35y 35y  15z 15z  21x      2.7 3.5 4.3 14 15 12 3x  5y 0 21x  35y  35y  15z  15z  21x x y z x  y  z 17   0  7y  3z 0      14  15  12 5 3 7 5  3  7 15 5z  7x 0  17 17 119 x y z 3 ; 5 ; 15 Do đó ta tìm được  y 0 y 2xy  y  1  2x  0    x 1  2 b) Từ điều kiện  x 0 x x 2  x  1  x  0    x 1 Với y = 0 thay vào x x  y ta có 1 1 1 1 1 x   y 2  y2   y  2 2 2 thay vào x x  y ta có 2 4 4 2 Với 2. . Vậy. 2. 1 1   1 1  ;   ; ;    2 2   2 2   thỏa mãn bài toán.  x;y    0;0  ;  1;0  ;  . Bài 4: a) Xét ACD và AEB có AD = AB (gt); AC = AE (gt) 0  DAC BAE  (cùng bằng BAC  90 ) Do đó ACD = AEB (c – g – c)    CD = BE và ADC ABE Gọi P là giao điểm của CD và AB, Q là giao điểm của CD và BE ta có     ADC  APD 90 0 mà APD BPQ (đối đỉnh). N I D. M A K. 0 0    P G Nên BPQ  ABE 90  BQP 90 hay CD  BE Q b) Kẻ DM, EN vuông góc với đường thẳng AH (M, N thuộc đường thẳng AH). Gọi I là giao điểm của B H đường thẳng AH với DE. Xét AMD và BHA có   AMD BHA 90 0 ; AD = AB (gt);    DAM ABH (cùng phụ với BAH ) Do đó AMD = BHA (cạnh huyền – góc nhọn)  DM = AH. Tương tự ta cũng có ANE = CHA 0   (cạnh huyền – góc nhọn)  NE = AH. Suy ra DM = NE. Xét DMI và ENI có DMI ENI 90 (gt);   DM = NE; MDI NEI (so le). Do đó DMI = ENI (g – c – g)  ID = IE hay AH đi qua trung điểm I của DE c) Trong ABK vẽ AKG đều. Khi đó AGB = KGB ( c – c – c) nên  ABK   ABG KBG  15 0 2. C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 180 0  30 0   KAB  750  GAB 75 0  60 0 150 2 Vì BA = BK nên ABK cân, do đó hay AGB cân KAD 90 0  750 150 GAB KAD  150 . Do đó và . Xét AGB và AKD có AG = AK; AB = AD (gt); AGB = AKD (c – g – c) mà AGB cân nên AKD cân tại K. Suy ra AK = KD. 12x 24y 36 x 2y 3z   2016    168 2y  3z 3z  x x  2y Bài 5: Ta có 2y  3z 3z  x x  2y  1 x 2y 3z 1 1   1  1   1 171   x  2y  3z      171 2y  3z 3z  x x  2y  2y  3z 3z  x x  2y  19   x  2y  3z  2016 171  S  224 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>