BAI TAP CONG THUC LUONG GIAC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A. Kiến thức cần nhớ 1. Các hằng đẳng thức cơ bản b) tan x=. a) sin 2 x+cos 2 x =1 2 d) 1+tan x=. 1 cos 2 x. sin x cos x. 2 e) 1+cot x=. c) cot x=. cos x sin x. 1 sin 2 x. f). tan x . cot x=1. 2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối nhau. b) Hai cung bù nhau. cos (− x)=cos x sin(− x)=− sin x tan (− x)=− tan x cot(− x)=− cot x. c) Hai cung khác nhau 2 π. sin(π − x )=sin x cos (π − x )=− cos x tan (π − x )=− tan x cot( π − x )=−cot x. d) Hai cung khác nhau π. sin(x +2 π )=sin x cos ( x+2 π )=cos x tan (x+2 π )=tan x cot( x +2 π )=cot x. e) Hai cung phụ nhau. ( π2 − x )=cos x ; π tan ( − x )=cot x ; 2. sin( π + x )=−sin x cos (π + x )=− cos x tan (π + x )=tan x cot(π + x )=cot x. sin. ( π2 − x)=sin x π cot ( − x )=tan x 2 cos. B. Bài tập 1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. A=. 1 1+sin α. ; B=. 1 1− cos α. 2. Xét dấu của các biểu thức sau: a) sin 123o −sin 132o. b) cot 304 o − cot 316o. 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) 5 tan 540o +2 cos 1170 o +4 sin 990o −3 cos 540o b) 3 sin. 25 π 13 π 19 π −3 tan +2 cos 6 4 3. c) sin2 15o +sin2 35o +sin 2 55o +sin2 75o d) cos 2 15o +cos 2 35 o +cos2 55o +cos 2 75 o e) sin. 2. f) cos. 2. π 23π 2 5π 27π 29π 2 11 π + sin +sin +sin + sin + sin 12 12 12 12 12 12 π 2 3π 2 5π 2 7π 2 9π 2 11 π +cos +cos +cos +cos +cos 12 12 12 12 12 12. g) sin(π +a) −cos. ( π2 +a)+cot (2 π − a)+ tan ( 32π +a).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> h). A=sin4 a+cos 2 a+sin 2 a . cos2 a. a a 2 sin +cos −1 2 2 i) B= a a a tan −sin . cos 2 2 2. (. ). 2. j) C= k) l). o. o. 17 π 7π tan + tan −b 4 2. [ (√. o. 2. cos 696 + tan(− 260 ). tan 530 − cos 156 2 o 2 o tan 252 +cot 342. (. 1 −sin x 1+sin x − 1+sin x 1− sin x. √. 2. 13 π + cot +cot ( 7 π − b ) 4. )] [. 2. ]. x 1+ cos x − )(√ 11+−cos cos x √ 1 −cos x ). m) sin 3 a(1+cot a)+cos 3 a(1+ tan a) n). tan b tan b+ cot b. o). 1 −cos a − sin a 4 cos a. 4. 4. sin(x − π ). cos( x −2 π) . sin(2 π − x ) p) π 3π sin − x . cot( π − x ). cot +x 2 2. (. ) ( ) π 3π sin ( − x )+ sin(π − x) + cos ( [ 2 ] [ 2 − x)+ cos(2 π − x)] π 2π 5π 3π sin ( − a ). tan ( + a) . cos ( + a )+ tan( π + a) . tan ( − a) 3 3 3 2 2. q) r) s). 2. cot(5,5 π −a)+ tan (b − 4 π) cot( a− 6 π)− tan (b − 3,5 π ). t) tan 50o . tan 190o . tan 250o . tan 260o . tan 400o . tan 700o 4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh: a) sin( A+ B)=sin C ; cos( B+C )=-cosA b) sin. A+ B C B+C A =cos ; cos =sin 2 2 2 2. 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:. y=. c) tan ( A +C)=− tan B ; cot( A+ B)=-cotC d) tan. A +C B A +B C =cot ; cot =tan 2 2 2 2. 2+ cos x sin x +cos x −2. 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng − π < x < π : 7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC. a) Cho sin2 B+ sin 2 C=2 sin2 A . Chứng minh. A ≤60. o. b) 2(a cos A+ b cos B+c cos C)=a+b+ c ⇒ Δ ABC đều.. .. y=. cos x +2 sin x+ 3 . 2 cos x − sin x + 4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> c) Chứng minh: 0<sin A+ sin B+sin C-sinA .sinB-sinB . sinC-sinC. sinA< 1 Phần 2: Các công thức lượng giác I. Công thức cộng A. Kiến thức cần nhớ ¿ 1(a ± b)=sin a cos b ±sin b cos a ¿ 2¿ cos (a ± b)=cos a cos b ∓sin a sin b ¿ 3 ¿ tan(a ±b)=. tan a ± tan b 1 ∓tan a tan b. B. Bài tập 1. Chứng minh các công thức sau:. ( π4 − a)= √2 sin ( π4 + a) π π cos a − sin a= √2 cos ( +a )= √ 2 sin ( − a) 4 4. a) cos a+ sin a= √2 cos b). 2. Rút gọn các biểu thức:. ( π4 + a) π − √ 2sin a+ 2sin ( +a ) 4 √ 2cos a −2 cos. a). b) cos 10o + cos 11o . cos 21o +cos 69 o . cos 79o c) ( tan a− tan b) .cot (a −b)− tan a . tan b 3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) tan A+ tanB+ tanC=tanA . tanB . tanC tan. b). A B B C C A . tan + tan . tan + tan . tan =1 2 2 2 2 2 2. c) cot A .cot B+cot B .cot C +cot C . cot A=1 cot. d). A B C A B C +cot +cot =cot . cot .cot 2 2 2 2 2 2. 4. a) Cho a −b= b) Cho a+b= c) Cho. π , chứng minh: 4. 1+tan b =tan a và 1 − tan b. 1 − tan a =− tan b . 1+tan a. π , chứng minh: (1+tan a)(1+ tan b)=2 và (1− cot a)(1 −cot b)=2 4. a −b tan (x+ a)=m . Chứngminh: tan (x+ y )= . 1+ab tan (a − y )=n. d) Cho tan a=. 2 3 , tan b= 5 7. e) Cho tan a=−. 1 2. (0<a, b <1 v) . Tìm a + b.. π ( <a< π ) và tan b=3 2. π (0<b < ) . Tìm a + b. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> f) Cho tan a=1 g) Cho tan a=. 2 1 , tan b= 3 4. (0<a, b <1 v) . Tìm a - b.. 1 2 1 , tan b= , tan b= . Chứng minh a + b + c = 45o. 12 5 3. π 5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15o hoặc 12 6. Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α + β+ γ =. 5π và 75o hoặc . 12. π . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2. A= √1+ tan α . tan β+ √1+ tan β . tan γ + √ 1+ tan γ . tan α 7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân: cos 2 A+cos 2 B 1 = (cot 2 A+cot 2 B) a) 2 2 sin A +sin B 2 c) a+b=tan. b). A (a tan A +b tan B) 2. sin B =2 cos A sin C. d) tan A+2 tan B=tan A . tan 2 B. II. Công thức nhân đôi nhân ba. A. Lý thuyết cần nhớ sin 2a 2sin a cos a 2 tan a cos 2a cos 2 a  sin 2 a 1  2sin 2 a 2 cos 2 a  1 ; tan 2 a  1  tan 2 a sin 3a 3sin a  4sin 3 a ; cos 3a 4 cos3 a  3cos a B. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a). sin. ( π4 − a). sin ( π4 + a). π −1 8 b) tan π /8 tan. sin 3 a cos a − cos 3 a sin a. 2. c) cos 20 o . cos 40 o . cos 80 o. d) 2 sin a cos a( cos2 a −sin 2 a). e) cos 4 a −6 sin 2 a cos 2 a+ sin 4 a. 2 2 a 2a f) cos a − 4 sin cos 2 2. g) 1− 8 sin2 a cos2 a i) 4 sin 3 a cos 3 a+ 4 cos3 a sin 3 a k) cos. π 2π cos 5 5. h) 8 cos 10o cos 20 o cos 40o j) 4 sin 4 4 a+sin2 2 a l) cos 20 o cos 40o cos 60 o cos 80o. m) tan a+ 2 tan 2a+ 4 tan 4 a+8 tan 8 a+ 16 tan 16 a+32 tan 32 a n). sin 3 a+sin 3 a cos3 a − cos 3 a. 2. Chứng minh:. o). cos a − cos 3 a sin a+sin 3 a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) sin a sin. ( π3 − a)sin ( π3 +a)= 14 sin 3 a. . Áp dụng với a=. π . 9. b) 8 sin3 18+8 sin 2 18=1 c) 8+ 4 tan. π π π π +2 tan + tan =cot 8 16 32 32. d) tan 2 36o tan 2 72o =5 e) cos a cos f) tan 3 a=. ( π3 −a) cos ( π3 +a)= 41 cos 3 a. . Tính: cos. π 5π 7π cos cos 18 18 18. 3 tan a − tan 3 a 2 1− 3 tan a. g) tan a tan. ( π3 − a) tan ( π3 +a)=tan 3 a. 3. a) Cho sin α = b) Cho cos α =. o o o . Chứng minh: tan 6 tan 54 tan 66 =. √ 5 −1 . √ 10+ 2 √5. 2 √ ab (a ,b> 0) . Tìm sin 2 α , cos 2 α , tan 2 α . a+ b. 2a sin 2 α , cos 2 α , tan 2 α . 2 . Tìm 1+a. c) Cho sin α + cos α=. 5 . Tìm sin 2 α , cos 2 α , tan 2 α . 4. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau: a). ( π4 ) sin ( x − π4 ). y=sin x+ 2. b). 4. 4. c). y=cos x − sin x. 2. y=1 −8 sin x cos x. III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t=tan. a . 2. A. Lý thuyết cần nhớ 1+cos 2 a=2 cos2 a 1− cos 2 a=2sin 2 a tan a=. sin a=. 2. 2t 1+t 2. cos a=. 1− t 2 1+t. 2t 1− t 2. B. Bài tập 1. Chứng minh các biểu thức sau: a). 2 sin a − sin2 a a =tan 2 2 sin a+sin 2 a 2 cos a+ cos b ¿2=4 cos 2. c). 2. sin a+sin b ¿ + ¿ ¿. a+ b 2. b). 1 −sin 2 a+ cos 2 a π =tan − a 1+sin 2 a+cos 2 a 4. a a d) tan =cot − 2 cot a 2 2. (. ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> e). 1+sin a π a =cot 2 − 1 −sin a 4 2. (. ). f) tan 7 o 30 ' =( √ 3 − √ 2 )( √ 2 −1 ). g) sin a( sin a+sin b)+cos a (cos a+ cos b)=2 cos cos a − cos b ¿2=4 sin 2 h). a −b 2. i). sin a −sin b ¿ 2+ ¿ ¿. sin. 2. a −b 2. ( π4 + a2 ) − sin ( π4 − a2 ). √ 1− sin a. (0< a< π). √ 1+ sin a. 2. Rút gọn các biểu thức sau: a). 1 1 1 1 + + cos α 2 2 2 2. √ √. (0< α ≤ π ). b). a 2 a 1+cot 2 2. tan e). g). a 2. √ √. (0< α ≤ π ). a a cot − tan 2 2 d) a a cot + tan 4 4. 2cot. c). 1 1 1 1 − + cos α 2 2 2 2. tan. a 2. 1 f). + a a 1+ tan 1 − tan 2 2 1 −cos α + cos 2 α sin 2 α −sin α. 1 − tan. a 2. 1. −. 1+ tan. a 2. h). sin 2 α cos α . 1+cos 2 α 1+ cos α. b). tan a+ sin a tan a − sin a. 3. Tìm giá trị biểu thức a). sin a 3 − 2cos a. a biết tan =2 2. a 2 Biết tan = 2 15. 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a). 2. y=2 cos 2 x+ sin x. b). 2. y=2 sin x − cos 2 x. sin x − cos x ¿2 c) π y=sin 2 − x +¿ 4. (. ). IV. Công thức biến đổi tổng và tích A. Lý thuyết cần nhớ 1. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 1  sin(a  b)  sin(a  b) ;cos a cos b   cos(a  b)  cos(a  b) 2 2 1 sin a sin b   cos(a  b)  cos( a  b)  2 sin a cos b . 2. Công thức biến đổi tổng thành tích.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> sin( a+b) cos a cos b sin( a− b) tan a − tan b= cos a cos b sin (a+b) cot a+cot b= sin a sin b sin(a − b) cot a −cot b=− sin a sin b. a+b a−b . cos 2 2 a+b a−b sin a −sin b=2 cos .sin 2 2 a+b a−b cos a+ cos b=2 cos . cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b=−2 sin . sin 2 2. tan a+ tan b=. sin a+sin b=2 sin. B. Bài tập 1. Rút gọn biếu thức a) cos a+ cos( a+b)+cos (a+2 b)+. ..+cos (a+ nb)(n ∈ N ) b). d). cos a − cos 3 a+cos 5 a− cos 7 a sin a+sin 3 a+ sin5 a+sin 7 a. (. cos 2a − cos a −. π π −cos 2 a+ 6 6 2cos a. ). (. c). cos a+ 2cos 2a+ cos 3 a sin a+sin 2 a+sin 3 a. ( π3 )+cos (a − π3 ). cos a+. ). e). cot a −cot. 1 1 2 f) cos 2 a cos a − cos 4 a− cos 2 a 4 2. a 2. g) cos 2 3+cos 2 1 −cos 4 cos 2. h) sin 1o +sin 91o +2 sin 203o (sin 112 o+ sin 158o ). i). cos 35o + cos 125o +2 sin 185o (sin 130o +sin 140 o) j) sin 20o sin 40 o sin 60 o sin 80 o. k) tan 20 o tan 40o tan 60 o tan 80o. 2. Chứng minh: o o o o a) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 =. b). 3 16. sin a+sin 3 a+ sin5 a+.. .+sin(2 n −1)a =tan na cos a+ cos 3 a+cos 5 a+.. .+cos (2 n− 1) a. (n+1)a na sin 2 2 c) sin a+sin 2 a+sin 3 a+ .. .+sin na= a sin 2 sin. (n+1)a na cos 2 2 d) cos a+ cos 2 a+cos 3 a+ .. .+cos na = a sin 2 sin. 3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) sin A +sin B+sin C=4 cos. A B C cos cos 2 2 2. b) cos A+cos B+ cos C=1+ 4 sin. A B C sin sin 2 2 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> c) sin 2 A +sin 2 B+ sin 2 C=2(1+cos A cos B cos C ) d) cos 2 A+cos 2 B+cos 2 C=1 −2 cos A cos B cos C e) sin A +sin B− sin C=4 sin. A B C sin cos 2 2 2. f) cos A+cos B − cos C=4 cos. A B C cos sin −1 2 2 2. g) sin 2 A+ sin 2 B+sin 2 C=4 sin A sin B sinC h) cos 2 A +cos 2 B+cos 2 C=−1 −4 cos A cos B cos C i) sin 2 A +sin 2 B − sin2 C=2 sin A sin B cos C 4. Chứng minh bất đẳng thức: sin. x+ y 1 ≥ (sin x +sin y ) với 0< x , y < π . 2 2. 5. Tính giá trị các biểu thức sau: a) sin. 4. π 4 3π 4 5π 47π + sin +sin +sin 16 16 16 16. b) tan 67 o 5 ' − cot 67o 5' +cot 7o 5 ' − tan 7o 5'. c) cos 5o cos 55 o cos 65o cos. d). π 3π 5π 7π 9π + cos +cos +cos +cos 11 11 11 11 11. 6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: a) c). ( π4 − x2 ) π π cos x+ cos ( + x ) +cos ( − x ) 3 3 √ 4 sin 4 x+sin 2 2 x+ 4 cos 2 2. 2. với π < x<. 3π 2. 2. b) 4 cos4 x +cos 2 2 x − 4 cos 2 x cos 2 x 2 2 d) sin x+sin. 7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A= 8. Chứng minh nếu các góc của. ( 23π + x )+sin ( 23π − x) 2. sin B+sin C cos A +cos B. Δ ABC thoả mãn: cos A+cos B+ cos C=. 3 2. đều. 9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của cos A+cos B=. b+c a. thì tam giác đó là tam giác vuông.. 10. Cho tam giác ABC và 5 tan. A B tan =1 . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b). 2 2. Phần 3: Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ. Δ ABC thoả mãn hệ thức:. thì nó là tam giác.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1. Phương trình: sin x=sin α ⇔. x=α + k 2 π x=π − α + k 2 π. 2. Phương trình: cos x=cos α ⇔. x=± α + k 2 π. 3. Phương trình: tan x=tan α ⇔ α +kπ. 4. Phương trình: cot x=cot α ⇔α + kπ. B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau:. (. a) sin 3 x −. π √3 = 6 2. ). b) sin(3x - 2) = -1. d) cos(3x - 15o) = cos150o. e) tan(2x + 3) = tan. g) sin3x - cos2x = 0. h) sin x +. x o j) cos =− cos(2 x −30 ) 2. k) cos2x = cosx. (. m) sin x −. π =1 12. ). (. s) tan. ( π4 − 2 x )= √13. √2 v) sin ( 12 π −3 x )= 2 y) tan. 2π =cos 3 x 3. (. n) sin 12 x+. p) cos (π −5 x )=−1. π 3. ). c). 5. ). √3 3. ( 56π )+ cos(3 x + π4 )=0 π π sin ( + x )=sin ( 2 x − ) 4 4 π √3 o) cos ( 6 x+ )= 2 2. i) sin 3 x − l). π 1 = 6 2. ). q) tan (3 π −6 x )=1 t) cot. (. f) cot(45o - x) =. ( 56π +12 x)=√3. w) cos ( 2 x − a )=sin 3 x. ( π4 − x)=cot ( 56π + x). cot ( 3 π − x ) =tan. π √ 2cos 2 x − =1. r) tan ( x − 6 π )=√ 3 u) cot. (127π −5 x)= √33. x) sin(3 x − b)=cos 5 x z). ( 127 π + 7 x ). II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t. B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 3 sin2 2 x +7 cos 2 x −3=0. b) 6 cos 2 x+ 5 sin x −7=0. c). cos 2 x −5 sin x − 3=0 d) cos 2 x+ cos x+1=0 g) 8 sin2 x −cos x=5 2. Giải các phương trình lượng giác:. e) 6 sin 2 3 x +cos 12 x=14. f) 4 sin4 x+ 12cos 2 x=7.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ( π5 )=1. (. π =3 4. ). 2 a) 3 cot x +. 2 b) tan 2 x −. c) 7 tan x − 4 cot x=12. d) cot 2 x+( √ 3− 1)cot x − √ 3=0. III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a sin x+ b cos x=c 2 2 2 Điều kiện để phương trình có nghiệm: a  b c .. Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho. √ a2 +b2. rồi đặt: cos α =. a 2. √ a +b. 2. ; sin α =. b 2. √ a + b2. . Đưa phương trình về dạng: cos α sin x +sin α cos x=sin β ⇔ sin( x +α )=sin β . Giải ra tìm được x. B. Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a). y=(2− √ 3) sin 2 x +cos 2 x. 2 b) sin x − cos x ¿ +2 cos 2 x+ 3 sin x cos x y =¿. c). y=(sin x −2 cos x )(2 sin x +cos x )− 1. d). y=. cos x +2 sin x+ 3 2 cos x − sin x + 4. 2. Giải các phương trình sau: b) 3 cos x+ 2 √3 sin x=. a) 4 sin x −3 cos x=5 c) 3 sin 2 x +2 cos 2 x =3. d) 2 sin2 x +3 cos 2 x =√ 13 sin 14 x. e) 4 sin x −3 cos x=2 3. Tìm các giá trị của. 9 2. f) sin x − √ 3 cos x=1. (. x∈ −. 3π ;π 4. ). thoả mãn phương trình sau với mọi m:. m2 sin x − msin 2 x − m2 cos x +m cos2 x=cos x − sin x 4. Tìm các giá trị của α. để phương trình:. a) (cos α +3 sin α − √3) x2 +( √ 3cos α −3 sin α −2) x +sin α − cos α + √ 3=0 có nghiệm x = 1. b) (2 sin α −cos 2 α+1)x 2 −( √3 sin α ) x+ 2cos 2 α −(3− √ 3) sin α =0 5. Giải phương trình: a) 12 cos x+5 sin x +. 5 + 8=0 . 12 cos x+5 sin x +14. 2 b) 4 sin x −5 cos x ¿ − 13(4 sin x −5 cos x )+ 42=0 ¿ 6 =6 c) 3 cos x+ 4 sin x + 3 cos x+ 4 sin x +1. IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx A. Lý thuyết cần nhớ. có nghiệm x =. √3 ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Dạng phương trình: a sin2 x+ b sin x cos x +c cos2 x=d - Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm. - Nếu cos x ≠ 0 . Chia cả 2 vế của phương trình cho cos 2 x. rồi tiến hành giải phương trình bậc. hai đối với tanx: (a − d) tan 2 x+ b tan x+ c − d=0 . B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) sin 2 x −2 sin x cos x −3 cos 2 x=0. b) 6 sin2 x+sin x cos x − cos2 x=2. c) sin 2 x −2 sin2 x =2cos 2 x. d) 2 sin2 2 x − 2sin 2 x cos 2 x +cos2 2 x=2. (. e) 4 sin x cos x −. π 3π + 4 sin( π + x) cos x +2 sin − x cos (π + x)=1 2 2. ). (. 2 2 f) 3 sin x − 4 sin x cos x +2 cos x=. ). 1 2. 2. Giải các phương trình sau: a) 2 sin3 x +4 cos3 x=3 sin x 3π x x x x x x π 2 x + +3 sin2 cos =sin cos2 + sin 2 + b) 3 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2. (. ). (. ). 3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình: sin 3 x+ sin x sin 2 x −3 cos3 x=0 . Chứng minh tam giác ABC vuông cân. V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a(sin x ± cos x)+b sin x cos x=c . Cách giải: Đặt t=sin x ± cos x , ta có: ¿ t∨≤ √ 2 . →t 2=1 ±2 sin x cos x=1± sin 2 x . Thay vào phương trình rồi giải ra t. B. Bài tập 1. Giải phương trình sau: a) cot x − tan x=sin x+ cos x. b) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1. c) cos3 x − sin3 x=−1. d) ¿ sin x − cos x∨+4 sin 2 x=1. 3 3 3 e) 1+sin 2 x +cos 2 x= sin 4 x 2. f) (1+cos x)( 1+ sin x )=2. VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos 2 x+ cos. 3x − 2=0 4. b). c) 4 cos2 x+3 tan 2 x −4 √3 cos x +2 √ 3 tan x+ 4=0 d) 2 2 e) sin x cos 4 x − sin 2 x=4 sin. ( π4 − 2x ) − 72. sin4 x +cos 4 x 1 = ( tan x+cot x ) sin 2 x 2. √ 1+ sin x +√ 1− sin x=2 cos x f). 1 2 5 tan x − + =0 2 cos x 2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> g) (4 −6 m) sin 3 x+ 3(2 m−1)sin x +2( m−2)sin 2 x cos x −( 4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo m). h) 1− tan 2 x=2 tan x tan 2 x. i) sin 4 x=2cos 2 x −1. j) 8 cos 4 x −cos 4 x=1. 2 k) 1+cos 2 x+sin x=2cos. 2. 2. l) sin 2 x +sin 4 x=. 3 2. x 2. m) tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x o) sin 3 x+ cos3 x=cos 2 x. n) tan x − 3 cot x=4 (sin x+ √3 cos x ) p) sin 4 x=tan x. q) sin 4 x − 4 sin x −(cos 4 x − 4 cos x)=1. r) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2. s) cos 7 x − √ 3sin 7 x=− √ 2. t) tan x − 2 √ 2 sin x=1. u) 2 cos3 x=sin 3 x. 2. v) tan x=. 1+cos x 1− sin x. 4. 5 6 6 4 4 w) sin x+ cos x= (sin x +cos x ) 6. 4. 6. sin 2 x+ cos 2 x =cos 4 4 x x) π π tan − x tan + x 4 4. (. 6. sin x+ cos x 1 =− 4 y) π π tan − x tan + x 4 4. ) ( ). (. ) ( ). z) cos 2 x+ sin 2 x +2 cos x+ 1=0 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a). 1 − tan x =1+sin 2 x 1+tan x. b) 2 √ 2 sin. c) 9 sin x+ 6 cos x − 3sin 2 x+ cos 2 x=8 e). ( π4 + x )=cos1 x + sin1x. 2 d) cos 2 x − cos 4 x ¿ =6 +2sin 3 x ¿. sin 5 x =1 5 sin x. f). x 3x x 3x 1 cos x cos cos −sin x sin sin = 2 2 2 2 2 g) sin 2 4 x −cos 2 6 x=sin (10 ,5 π +10 x) . Tìm các nghiệm thuộc khoảng 5 8 8 10 10 h) sin x+ cos x=2(sin x+ cos x )+ cos 2 x 4 2 2 2 j) sin x+sin 2 x+ sin 3 x=. 3 2. l) cot 2x =tan 2x +2 tan 2 x+1. (0 ; π2 ). i). √ 3 sin2 x − 2cos 2 x =2 √ 2+2 cos 2 x. k). √ 3 sin x +cos x=. 1 cos x. m). 2 cos x+ √ 2 sin 10 x=3 √ 2+2 cos 28 x sin x n) sin 2 x +2 cos 2 x=1+sin x − 4 cos x. o) sin 2 x +2 tan x=3. 1 p) ( √ 1− cos x+ √ cos x) cos 2 x = sin 4 x 2. q). 1 √2(cos x −sin x ) = tan x +cot 2 x cot x −1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 3 r) sin. ( π4 + x )=√ 2 sin x 6. s). 3. 4. 8 √ 2cos x +2 √ 2sin x sin 3 x −6 √ 2cos x − 1=0. t) cos3 x +sin3 x=sin 2 x +sin x +cos x. u) 3 −4 cos2 x=sin x (2 sin x +1). v) 4 √3 sin x cos x cos 2 x=sin 8 x. w). tan 2 x cot 2 2 x cot 3 x=tan2 x −cot 2 2 x +cot 3 x x). 4x − cos2 x 3 =0 √ 1− tan2 x. cos. (. y) sin 3 x −. π π =sin 2 x sin + x 4 4. ). ( ). z) sin x+ cos x=cos 2 x 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 9cot x + 3cot x −2=0. b) cos 2 x+ sin x+1=0. c) sin 3 x+2 cos 2 x − 2=0. d) sin 3 x −sin x +sin 2 x =0. e) cos 2 x+3 cos x+2=0. f) 3 cos 4 x −2 cos 2 3 x=1. g) 1+3 cos x+ cos 2 x =cos 3 x+ 2sin x sin2 x 2 i) tan x=. h) tan x +tan 2 x=−sin 3 x cos 2 x. 1+ cos x cos x. 3 3 3 j) 1+sin 2 x +cos 2 x= sin 4 x 2. k) tan x +cot x=2(sin 2 x+ cos 2 x ). l) 2 √ 2(sin x +cos x )cos x =3+cos 2 x. π π 9 4 4 4 m) sin x +sin ( x − )+sin ( x + )= 4 4 8. n). o) cos3 x +sin x −3 sin 2 x cos x=0. p) 2 sin3 x +cos 2 x=sin x. q). sin 2 x + 2cos x =0 1+sin x r) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2. √ 3− cos x − √1+cos x=2. s) cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x=. 1 16. t) sin 2 x+sin 2 3 x=cos 2 2 x+ cos2 4 x. u) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0 3 v) 3 tan x − tan x+. 3(1+ sin x ) π x −8 cos 2 − =0 2 4 2 cos x. (. ). w) 2 cos3 x=sin 3 x. x) cos 2 x − √ 3 sin 2 x − √3 sin x − cos x+ 4=0. y) cos 2 x=cos 2 x √1+tan x. z). 3 cot 2 x +2 √ 2sin 2 x=(2+3 √2)cos x 4. Giải các phương trình sau:. (. a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2 2 cos x −. 1 =0 cos x. ). b) 4 (sin 3 x − cos 2 x )=5(sin x −1). c) 2 cos 2 x +sin 2 x cos x +sin x cos2 x=2(sin x+ cos x) d) tan x sin2 x −2 sin2 x=3(cos 2 x+ sin x cos x ). e) sin 2 x (cot x + tan2 x)=4 cos 2 x.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> f) 48 −. 1 2 − 2 (1+cot 2 x cot x)=0 4 cos x sin x. g) sin6 x+ cos6 x=cos 4 x x 2. h) cos3 x +cos2 x+ 2sin x − 2=0. i) 2+cos x=2 tan. j) cos 3 x+ √ 2 − cos2 3 x=2(1+ sin 2 2 x). k) sin x+ sin2 x +sin 3 x=0. l) cot x − tan x=sin x+ cos x n) 2 cos 2 x −8 cos x +7=. m) sin 3 x+cos 2 x=1+2 sin x cos 2 x. 1 cos x. 3. 3. 3. o) cos 3 x cos x −sin 3 x sin x=cos 4 x + q) sin 3 x cos 3 x +cos 3 x sin3 x=sin 3 4 x. p) 9 sin x+ 6 cos x − 3sin 2 x+ cos 2 x=8. r) sin x+ sin2 x +sin3 x+ sin4 x=cos x +cos 2 x +cos 3 x +cos 4 x s) 2 sin x −sin x cos x −cos x=− 1. sin 2 2 x +cos 4 2 x −1 =0 t) √ sin x cos x. u) 2 sin3 x −cos 2 x+ cos x=0. v) 1+cos3 x − sin 3 x =sin 2 x. 2. 2. w) 1+cos x +cos 2 x+ cos 3 x =0. x) cos x +cos 2 x+ cos 3 x+cos 4 x=0. y) cos 2 x+ sin 3 x +cos x =0. z) cos x sin x +¿ cos x +sin x∨¿ 1. 5. Giải các phương trình sau: a) 2+cos 2 x=−5 sin x. b) sin 3 x+ cos3 x=2(sin5 x+ cos5 x). c) sin 2 x=cos2 2 x +cos 2 3 x. 3 d) 8 cos x+. ( π3 )=cos 3 x. e) ¿ sin x − cos x∨+¿ sin x+ cos x∨¿ 2 6. 6. g) cos x − sin x=. f) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1. 13 2 cos 2 x 8. h) 1+3 tan x=2 sin 2 x 2. 2. i) sin 3 x=cos x cos 2 x ( tan 2 x + tan2 x). j) 9sin x +9cos x =10. k) 4 cos3 x+3 √ 2 sin 2 x=8 cos x. l) 1−. 2. ( π4 )=√ 2 sin x. 3 m) sin x +. n). x =cos x 2. sin 3 x sin 5 x = 3 5. VII. Hệ phương trình lượng giác 1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau: tan x tan y= a) x+ y = d). 1 3. π 3. sin x+ sin y=√ 2 cos x +cos y= √ 2. tan y − tan x − tan x tan y=1 cos 2 y + √ 3cos 2 x=− 1. b). 1 4 3 tan x=tan y. sin x cos y =. e). c). sin 2 x=cos x cos y cos 2 x=sin x sin y. x + y + z=π tan x tan y=3 tan y tan z=6 f). 1 4.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ( π4 + y ) π tan y +cot y=2sin ( x − ) 4 tan x +cot x=2 sin. g). h). 3 sin x+ cos y= √ 2 5 2 2 cos x+sin y= 4. VIII. Các dạng bài tập khác 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1− 5 sin x +2 cos 2 x=0 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số. thoả mãn cos x ≥ 0 .. y=sin x √cos x+cos x √ sin x .. 3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A +sin 2 B+ sin 2 C=m . Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù. 4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A +sin B+sin C −2 sin. A B C sin =2 sin . Chứng 2 2 2. minh rằng số đo của góc C là 120o. 5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan. A B + tan =1 . Chứng minh rằng: 2 2. 3 C ≤ tan <1 . 4 2 6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:. √ 2− x2 sin x+ √2+ x 2 cos x=¿ a+1∨+ ¿ a −1∨¿. . 7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức: 1 1 1 + + −(cot A+ cot B+ cotC )=√ 3 sin A sin B sin C 8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A +cos 2 B+cos 2 C+1=0 thì tam giác đó là tam giác vuông. 9. Chứng minh rằng trong tam giác có: (b2 +c 2 )sin (C − B)=(c 2 − b2)sin(C + B) thì tam giác đó vuông hoặc cân. 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 11. Cho phương trình:. y=5 cos x −cos 5 x. trên. [. −. π π ; 4 4. ]. .. msin x − 2 mcos x −2 = m−2 cos x m− 2sin x. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Khi m≠ 0 và m≠ ± √ 2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20 π , 30 π ] . 12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 b=a+c ⇔cot 13. Cho tam giác ABC có: 5 tan. A C cot =3 . 2 2. A B tan =1 . Chứng minh rằng: 3 c=2(a+b) . 2 2. 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f (x)=2 sin2 x+ 4 sin x cos x+ √5 . 15. Tìm các giá trị. x ∈(0,2 π) sao cho cos x − sin x − cos 2 x >0 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm. 2 sin x +1 =t . sin x+ 2. x ∈[0 , π ] : 2. 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh: cot A +cot B+cot C= 18. Chứng minh với 0< x <. π 2. 2. .. 3. thì: 22 sin x +2 tan x >2 2 x +1 . a cos A +b cos B+ c cos C 1 = . Chứng minh tam giác ABC đều. a+ b+c 2. 19. Cho tam giác ABC thoả mãn:. 1 y=2(1+sin 2 x cos 4 x )− (cos 4 x − cos 8 x) . 2. 20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 21. Giải phương trình sau:. 2. a +b +c 4S. cot x. 9. 22. Cho tam giác ABC thoả mãn:. cot x. +3. −2=0 .. b c a + = . Chứng minh tam giác ABC vuông. cos B cos C sin B sin C. 23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A+cos B+ cos C>1 . 24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B −b cos A=a sin A − b sin B .. 25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A+ tan B=2 cot 26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: 27. Cho. 2 y=sin 5 x . Tính. C 2. thì tam giác ABC cân.. y=sin x −cos 2 x +. 1 . 2. y(n) .. 28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:. y=1+ y=sin. 30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong. 3sin x . 2+cos x. 2x 4x +cos +1 . 2 1+ x 1+ x2. (0 ; π4 ). :. 2 mcos 2 x − 4 sin x cos x +m− 2=0 .. 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. 4 4 2 2 P=cot a+cot b+2 tan a tan b+ 2 .. 32. Với giá trị nào của a thì phương trình: 1+sin2 na=cos x có nghiệm duy nhất.. ( π2 ). 33. Tìm m để bất phương trình: 2 sin2 x −m cos x −3 ≤ 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ 0 ;. .. 5 34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: cos 2 A + √ 3(cos 2 B+cos 2 C)+ =0 . 2 35. Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A+ btanB=( a+b)tan. A+ B . Chứng minh tam giác ABC 2. cân. 36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A+cos 2 B+cos 2 C >1 ..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B+cos C=. b+c a. thì tam giác ABC vuông.. 38. Cho phương trình: cos3 x +sin3 x=k sin x cos x . a) Giải phương trình với k =√ 2 . b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm. 2 39. Giải và biện luận phương trình: 2 m(cos x+ sin x )=2 m + cos x − sin x +. 3 . 2. 40. Cho phương trình: cos 2 x=m(cos 2 x) √ 1+ tan x . a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn. π 1 1 + >6 41. Chứng minh rằng ∀ x ∈(0 ; ) ta có: cos x +sin x+ tan x+ cot x + 2 sin x cos x 42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 43. Chứng minh rằng nếu cot cot. y=sin 20 x+ cos20 x .. A B C ,cot ,cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì 2 2 2. A C . cot =3 . 2 2. 44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:. y=. 1 1 + với sin x cos x. ( π2 ). x∈ 0;. 45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a+b=tan. .. C ( a tan A +b tan B) thì nó cân. 2. 46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f (x)= √sin 4 x +cos 4 x − 2m sin x cos x ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> LINK TẢI TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ HỌC SINH GIỎI (ĐA SỐ MIỄN PHÍ, MỘT SỐ LINK CÓ TRẢ PHÍ). 1> Câu hỏi trắc nghiệm toán học lớp 10 2> Bài tập Toán lớp 10 chương 1: Mệnh đề - Tập hợp 3> Bài tập Toán lớp 10 chương 2: Hàm số bậc nhất - bậc hai 4> Bài tập công thức lượng giác lớp 10 5> Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12 6> Các công thức lượng giác cần ghi nhớ 7> Trắc nghiệm theo chuyên đề -Toán 10 8>90 câu trắc nghiệm chương 1 hình học lớp 10 (vectơ) có đáp án 9> Bài tập Hình học 10 cơ bản, nâng cao cả năm 10> MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HSG LỚP 10, 11 11> Tổng hợp đề thi HSG Toán 10 tỉnh Hà Tĩnh 12> Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 13> CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 14> Tổng hợp 760 câu Trắc nghiệm Hình học OXYZ 15> Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 12 (phần 1) 16> Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 12 (phần 2) 17> Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) 18> Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa (có đáp án chi tiết) 19> Giáo trình giải toán bằng máy tính Casio cực hay

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 20> Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) 21> Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 (có đáp án chi tiết) 22> Tài liệu hướng dẫn giải toán trên máy tính cầm tay 570MS và 570ES 23> 2700 câu hỏi và đáp án đường lên đỉnh olympia 24> 2000 câu hỏi luyện thi olympia 25> chuyên đề về phương trình hàm (phương trình hàm với phép biến đổi đối số) 26> Chuyên đề về về phương trình hàm (phương trình hàm với cặp biến tự do) 27> Chuyên đề về về phương trình hàm (một số tính chất cơ bản của hàm số) 28> 15 đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 có đáp án chi tiết (tải đầy đủ 15 bộ đề và đáp án trong file đính kèm) 29> 100 bài toán ôn tập thi học sinh giỏi máy tính cầm tay khối thpt 30> Tổng hợp đề thi học sinh giỏi toán trên máy tính cầm tay toàn quốc khối thpt 31> Tổng hợp đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay 570MS lớp 12 31> Ứng dụng số phức vào gải các bài toán đại số 32> 100 bài toán hay dành cho học sinh thpt 33> Các bài toán tổ hợp trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia 34> Toán đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT 35> Tổng hợp phương trình lượng giác hay năm 2015 36> Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn Toán 37> Tài liệu bồi dưỡng HS giỏi toán 11(hay) 38> Bài tập về phép biến hình 11 nâng cao 39> Phép nghịch đảo ứng dụng trong hình học 40> Giải toán Hình không gian 41> Giáo án hình học 10 nâng cao 42> Giáo án hình học lớp 10 nâng cao full 43> Tuyển tập Các đề thi dành cho Giáo viên dạy giỏi khối THPT (có đáp án)

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 44> Tuyển tập 15 đề thi học sinh giỏi môn Tin học lớp 12 (có đáp án) 45> Giáo án đại số lớp 10 nâng cao 46> Giáo án Hình học 10 nâng cao cực hay 47> Giáo án Đại số lớp 10 nâng cao cực hay 48>CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP 49> 19 cách giải khác nhau cho 1 bài toán về bất đẳng thức 50> Hệ thống bài tập về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có lời giải chi tiết toán 10 51> Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình toán THPT 52> Phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ cực hay -Tài liệu bồi dưỡng toán học phổ thông 53> Các chủ đề toán 12 tự chọn nâng cao bám sát chương trình chuẩn 54> Công thức toán lớp 12 55> Trọn bộ các đề thi học sinh giỏi quốc gia các môn năm 2011 56> Bí quyết giải phương trình lượng giác 57> Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT 58> Các phương pháp tính tích phân BD toán 12 59> Hình học giải tích trong không gian với MAPLE (BD toán THPT) 60> Phương trình hàm BD HSG toán 12 61> Giải Phương trình hàm 62> Tuyển tập các đề thi HSG toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1) 63> Tuyển tập các đề thi HSG toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) 64> Tích phân toàn tập BD toán 12 65> Tích phân và ứng dụng TL ôn thi tốt nghiệp THPT 66> Bồi dưỡng HSG đại số 11 67> Phương pháp tọa độ trong không gian BD toán 11 68> Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực bồi dưỡng HSG toán 12

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 69> Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao 70> Luyện tập về hình học không gian BD toán 12 71> Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp BD toán 12 72> Các phương pháp giải phương trình, bất phương trinh hệ mũ và logarit BD toán 12 73> Chuyên đề phương trình, bất phương trình mũ và logarit ôn thi tốt nghiệp THPT 74> Số phức tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao 75> Tài liệu bồi dưỡng toán 10 76> 60 bài tập về tổ hợp xác xuất toán 11 77> Bài tập về giới hạn hàm số toán 11 78> Bài tập về phép biến hình – toán 11 nâng cao 79> Bồi dưỡng toán 11 nâng cao phần dãy số 80> Bồi dưỡng toán 11 phần quan hệ song song 81> Bồi dưỡng toán 11 phần quan hệ vuông góc 82> Tài liệu bồi dưỡng hình học 11 (hay) 83> 100 bài hình học không gian về thể tích 84> Bồi dưỡng toán nâng cao lớp 11 phần dãy số 85> Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 1 86> Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 2 87> Chuyên đề hình học phẳng (ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh) 88> Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 10 (có đáp án chi tiết) 89> Các đề thi HSG toán lớp 12 tỉnh thanh hóa 90> Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 cực hay 91> Một số bài tập hay về tổ hợp (luyện thi olympic toán học toàn miền nam lần thứ XVIII) 92> Một số bài tập hay về bất đẳng thức (luyện thi olympic toán học toàn miền nam lần thứ XVIII) 93> Đề thi olympic toán khu vực ĐBSCL (có đáp án) 94> 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc.

<span class='text_page_counter'>(22)</span>

<span class='text_page_counter'>(23)</span>