50 bai Hinh On Tap

<span class='text_page_counter'>(1)</span>50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng trßn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lêi gi¶i: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:  CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao)  CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiÕp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE  AC => BEC = 900. CF là đờng cao => CF  AB => BFC = 900. Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã:  AEH =  ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung =>  AEH  ADC => AE = AH => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã:  BEC =  ADC = 900 ; C lµ gãc chung =>  BEC  ADC => BE = BC => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 =  C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB  HM =>  CHM c©n t¹i C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp  C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD)  E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t nhau t¹i H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. Lêi gi¶i: 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng  CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) trßn. 3. Chøng minh ED = 1 BC. 2 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiÕp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE  AC => BEA = 900. AD là đờng cao => AD  BC => BDA = 900. Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D lµ trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã BEC = 900 . VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = 1 BC. 2 4. Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1). Theo trªn DE = 1 BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) 2 Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE t¹i E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. 2 3. Chøng minh AC. BD = AB .. 4. 4. Chøng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 6. Chøng minh MN  AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhá nhÊt. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900. 3. Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM  CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = AB .. 4. 4. Theo trªn COD = 900 nªn OC  OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM  OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC  AB; BD  AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD 6. Theo trªn AC // BD => CN = AC , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra BN. BD. CN CM = BN DM. => MN // BD mµ BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhÊt khi CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt khi CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï đỉnh B Do đó BI  BK hayIBK = 900 . T¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH. C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ). I1 =  ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = √ 202 − 122 = 16 ( cm) 2 2 CH2 = AH.OH => OH = CH =12. OC =. = 9 (cm). AH 16 2 2 2 2 √ OH +HC =√ 9 + 12 =√ 225 = 15 (cm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn một đờng tròn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng th¼ng d Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đờng kính Vµ d©y cung) => OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900. nh vậy K, A, B cùng nhìn OM dới một góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM  AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ đờng cao. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = 2 IA . 4. Ta cã OB  MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH  AB; còng theo trªn OM  AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. 2. Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. Lêi gi¶i: (HD) 1.  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2). Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyÕn cña BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n. => B1 = B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 =>  AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH vµ BE  AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. Tõ (1) vµ (2) =>  ABM = 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đ-  AOP (3) êng trßn. 2. Chøng minh BM // OP. 3. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm). 2. Ta cã  ABM néi tiÕp ch¾n cung AM;  AOM lµ gãc ë t©m AOM 2 ch¾n cung AM =>  ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c AOM 2  AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) =>  AOP =. (2) Mà  ABM và  AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3. XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB). => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON  AB => ON  PJ Ta còng cã PM  OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t nhau t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO =  NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8). Từ (7) và (8) => IPO cân tại I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK  PO. (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng. Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. => KEF = 900 (v× 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. lµ hai gãc kÒ bï). 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. => KMF + KEF 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. = 1800 . Mµ KMF vµ 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng KEF là hai góc đối của trßn. tứ giác EFMK do đó Lêi gi¶i: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 1. Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2. Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM  IB ( theo trªn). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đờng cao của tam giác ABF (2). Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E lµ trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE  AF => AF  HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng). 5. (HD). Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân. AKFI lµ h×nh thang c©n khi M lµ trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 .(8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Lêi gi¶i: => ABD + BAD = 900 0 1. C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 90 ( nội tiếp chắn (vì tổng ba góc của một tam gi¸c b»ng 1800)(1) nửa đờng tròn ) => BC  AE. 0 ABE = 90 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B  ABF cã ABF = 900 có BC là đờng cao => AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đ- ( BF là tiếp tuyến ). ờng cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi do đó => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét AC. AE không đổi. 2.  ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ). tam giác bằng 1800) (2).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD). 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 . ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD). Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB. Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kề bù) nên suy ra ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đơng vuông góc từ S đến AB. 1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn 2. Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn . Lêi gi¶i: 1. Ta cã SP  AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AMS = 900 . Nh vậy P và M cùng nhìn AS dới một góc bằng 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng trßn. 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M’ cũng nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM’ có số ®o b»ng nhau => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’  AB tại H => MM’// SS’ ( cùng vuông gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’. Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5). Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy ra M1 + M2 = PMO = 900 => PM  OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyến của đờng tròn tại M.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) tại c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM = 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. CB CF Lêi gi¶i: 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900. Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. AD AF  2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => AB AC =>. DF // BC. 3. DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã  B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp đợc một đờng tròn . 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có  DBM = BCF ( hai góc đáy của tam giác c©n). BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI);  CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF . => BDM CBF => BD =BM CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn tại N của đờng tròn ở P. Chứng minh : Tam gi¸c ONC c©n t¹i O 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. v× cã ON = OC = R => 2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. ONC = OCN 3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn đoạn thẳng cố định nào. Lêi gi¶i: 1. Ta cã OMP = 900 ( v× PM  AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ). Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM =  ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) => OPM = OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD  AB; PM  AB => CO//PM (2). Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (néi tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CM CO  => CD CN => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi =>. CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc với CD tại D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn . Lêi gi¶i: 1. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc một đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) . Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC AE AF  ( theo Chøng minh trªn) => AEF ACB => AC AB => AE. AB = AF. AC.. * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 . O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2. => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF . Chứng minh tơng tự ta cũng có O2F  EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng trßn . Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tù lµ O, I, K. Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao ®iÓm cña EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K). 4. Tính diện tích hình đợc giới hạn 1. Chøng minh EC = MN. bởi ba nửa đờng tròn 2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c Lêi gi¶i: nửa đờng tròn (I), (K). 1. Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp 3. TÝnh MN. chắn nửa đờng tròn tâm K).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bï).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình ch÷ nhËt ) 2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K). 3. Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông tại A có EC  AB (gt) => EC2 = AC. BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) =  .OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  . IA2 =  .52 = 25  ; S(k) =  .KB2 =  . 202 = 400  . 1 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S = 2 ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 1 S = 2 ( 625  - 25  - 400  ) = 2 .200  = 100  314 (cm2). Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Lêi gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1. Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh vậy D và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). . . D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC nh vậy BA, EM, CD là ba đờng cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy. . . 4. Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đờng tròn => A2 = B2 . Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS . . . . => CE CS  SM EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G. Chøng minh : 1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lêi gi¶i: 1. XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam giác ABC vuông tại A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB   CAB . 2. Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ gi¸c néi tiÕp ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh vậy F và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp. 3. Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy t¹i S. Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Tam giác ACM có MQ là đờng cao Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC 1 (gt) => SACM = 2 AC.MQ => AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp. * Vì AM là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ lµ trung ®iÓm cña AM. 1 2. Tam giác ABC có AH là đờng cao => SABC = 2. BC.AH.. 1 Tam giác ABM có MP là đờng cao => SABM = 2. AB.MP. 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => 2 AB.MP + 2 AC.MQ = 2 BC.AH => AB.MP + AC.MQ =. BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH. 3. Tam giác ABC có AH là đờng cao nên cũng là đờng phân giác => HAP = HAQ =>  HQ  HP ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n. gi¸c gãc POQ. Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy ra OH cũng là đờng cao => OH  PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiÕp . Lêi gi¶i: => MCI = 900 (v× lµ hai 0 1. Ta có : ACB = 90 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) góc kề bù)..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo trªn Ta cã BC  MA; AD  MB nªn BC vµ AD là hai đờng cao của tam giác MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH  AB nên MH cũng là đờng cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 . Mµ A1 + M1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK và OCK là hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp. Bài 19. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1. BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE  AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính vµ d©y cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 3. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2). Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà th«i.) 5. I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI  O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bài 20. Cho đờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng trßn 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng hµng 5. DF, EG, AB đồng quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1. BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) Theo gi¶ thiÕt DE  AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác néi tiÕp 2. BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE  AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE  AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 4. ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD  DF ; theo trên tứ giác ADBE lµ h×nh tho => 0BE // AD mµ AD  DF nªn suy ra BE  DF . Theo trên BFC = 90 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BF  DF mà qua B chỉ có một đờng thẳng vuông góc với DF do đo B, E, F thẳng hàng. 5. Theo trªn DF  BE; BM  DE mµ DF vµ BM c¾t nhau t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam giác BDE => EC cũng là đờng cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy 6. Theo trªn DF  BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 . Mµ F3 + F2 = BFC = 900 0 => Fđờng 2 = 90 = MFO’ hay MF  O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). BµiF 21.1 +Cho tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau t¹i A. 2. Chøng minh IP // OQ. 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. 4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhÊt. Lêi gi¶i: 1. Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lît lµ c¸c b¸n kÝnh của đờng tròn (O) và đờng tròn (I) . Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (I) tiếp xúc nhau tại A . 2. OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ. 3. APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => OP  AQ => OP là đờng cao của OAQ mà OAQ cân tại O nên OP là đờng trung tuyến => AP = PQ..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1 4. (HD) Kẻ QH  AB ta có SAQB = 2 AB.QH. mà AB là đờng kính không đổi nên SAQB lớn. nhÊt khi QH lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI  AO mµ theo trªn PI // QO => QO  AB t¹i O => Q là trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất. Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH  DE t¹i H nªn BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn đờng tròn đờng kính BD => BHCD là tứ giác nội tiếp.0 2. BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 180 . (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2). Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 . 3. XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH  => KHC  KDB => KB KD => KC. KD = KH.KB.. 4. (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên khi E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E  B thì H  B; E  C thì H  C). Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đờng tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH 0 = 45 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên tam giác BFC vuông tại F. (1). FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng)..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đờng trßn suy ra CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450. Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng). Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dựng trên BC => 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đờng tròn. 4. CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t¹i C => MC lµ tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 . Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®D êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña F 1 BH. 2 O H 3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp / _ tam gi¸c BDE. _K 1 1 / I Lêi gi¶i: 0 1. AEC = 90 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) E C => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE B 0 = 45 => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đờng trung bình cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE  HE t¹i E => IK  HE t¹i K (2). Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB.  ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID. Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1. (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 . (4) Theo trên ta có CD và AE là hai đờng cao của tam giác ABC => H là trực tâm của tam giác ABC => BH cũng là đờng cao của tam giác ABC => BH  AC tại F => AEB có AFB = 900 . Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5). Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD  ID tại D => OD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE. Bài 25. Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, 3. Theo trªn tø gi¸c CIMH néi tiÕp . BIMK néi tiÕp => 2 3. Chøng minh MI = MH.MK. 4. Chøng minh PQ  MI. KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ABC => HMI + HCI = c©n t¹i A. 1800. mµ KBI = HCI 0 ( v× tam gi¸c ABC c©n 2. Theo gi¶ thiÕt MI  BC => MIB = 90 ; MK  AB => 0 t¹i A) => KMI = MKB = 90 . HMI (1). => MIB + MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác Theo trªn tø gi¸c BIMK BIMK néi tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng  ch¾n cung IM). Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2). MI MK  Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => MH MI => MI2 = MH.MK. 4. Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI BC nên suy ra IM  PQ. Bài 26. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD  AB ở H. Gọi M là ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : 1. KC = AC 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. 3. Tø gi¸c KB AB OHCI néi tiÕp 4. Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M. . . Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => MB MC => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => KC = AC ( t/c tia ph©n gi¸c KB AB cña tam gi¸c ) .  2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD  AB => A lµ trung ®iÓm cña CD => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. . 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => OM  BC t¹i I => OIC = 900 ; CD  AB tại H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ  AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM  BC => OM  MJ tại J suy ra MJ là tiếp tuyến của đờng tròn tại M. Bài 27 Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đờng tròn . Các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : 1. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1. (HS tù gi¶i) 2. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO =  BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). 3. Theo gi¶ thiÕt MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM).  Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® BM ) => HKM = MHI (1). Chøng minh t¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2). Tõ (1) vµ (2) =>  HIM   KHM. MI MH  4. Theo trªn  HIM   KHM => MH MK => MI.MK = MH2. Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. 2. E, F nằm trên đờng tròn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: 1. Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh bình hành vì có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng . 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mà BHC = B’HC’ (đối đỉnh) => BAC + BHC = 1800. Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H và E đối xứng nhau qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC =>  BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC  HE (1) và IH = IE mà I là trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE  HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trên F (O) và FEA =900 => AF là đờng kính của (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phô ACB) (5). Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6). Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 4. Theo trên AF là đờng kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đờng trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI  BC ( Quan hệ đờng kính và dây cung) => OIG = HAG (vì so le trong); lại có OGI =  HGA (đối đỉnh) => OGI  HGA => GI OI 1  GA HA mµ OI = 2 AH. GI 1  => GA 2 mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ. trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bài 29 BC là một dây cung của đờng tròn (O; R) (BC 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. 1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác A’ lµ trung ®iÓm cña HK => ABC. OK là đờng trung bình của 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. AHK => AH = 2OA’ 3. Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất. Lêi gi¶i: (HD) 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) AEF = ABC (cïng bï CEF) =>  AEF   ABC. 2. Vẽ đờng kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => 3. áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hia trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đờng tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. ta có : R AA '   AEF   ABC => R ' AA1 (1) trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC; R’ là. bán kính đờng tròn ngoại tiếp  AEF; AA’ là trung tuyến của ABC; AA1 là trung tuyến cña AEF. Tứ giác AEHF nội tiếp đờng tròn đờng kính AH nên đây cũng là đờng tròn ngoại tiếp AEF AH 2 A 'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ 2 = AA’ . 2. VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung điểm của một dây không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lợt là các đờng cao của các tam gi¸c OBC, OCA, OAB. 1 = 2 ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ). SABC = SOBC+ SOCA + SOAB 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3). AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R . AA ' mà AA ' là tỉ số giữa 2 trung tuyến của hai tam giác đồng dạng AA1 EF FD ED AEF vµ ABC nªn AA ' = BC . T¬ng tù ta cã : OB’ = R . AC ; OC’ = R . AB Thay vµo (3). ta đợc.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> EF FD ED .BC  . AC  . AB AC AB 2SABC = R ( BC )  2SABC = R(EF + FD + DE). * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn nhất khi SABC. 1 Ta có SABC = 2 AD.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AD lớn nhất, mà AD lớn nhất. khi A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC.. Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ đờng cao AH và bán kính OA. 1. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. Gi¶ sö B > C. Chøng minh OAH = B - C. 3. Cho BAC = 600 vµ OAH = 200. TÝnh: a) B vµ C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM =>  CM  BM => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM  BC; Theo. gi¶ thiÕt AH  BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le). Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. . . 2. VÏ d©y BD  OA => AB AD => ABD = ACB. Ta cã OAH =  DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 . B  C 1200 B 700   0 B  C 200   C 50 =>  .R 2 .1202 1 R  .R 2 R 2 . 3 R 2 .(4  3 3)  R . 3.   0 4 12 2 2= 3 b) Svp = SqBOC - S BOC = 360. Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600. 1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2. Vẽ đờng kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đờng cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH và AD // BH. 3. TÝnh AH theo R. Lêi gi¶i: . 1. Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s® BC =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) => BOC = 1200 ( t/c gãc ë t©m) . . * Theo trên sđ BC =1200 => BC là cạnh của một tam giác đều néi tiÕp (O; R) => BC = R 3 . 2. CD là đờng kính => DBC = 900 hay DB  BC; theo giả thiÕt AH lµ đờng cao => AH  BC => BD // AH. Chứng minh tơng tự ta cũng đợc AD // BH..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 3. Theo trªn DBC = 900 => DBC vu«ng t¹i B cã BC = R 3 ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R 3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH lµ h×nh b×nh hµnh => AH = BD => AH = R. Bài 32 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. 1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn cố định. 2. Tõ A kÎ Ax  MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đờng nào. 5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R √ 3 . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c AMN. Lêi gi¶i: (HD) 1. I là trung điểm của MN => OI  MN tại I ( quan hệ đờng kÝnh vµ d©y cung) = > OIH = 900 . OH cố địmh nên khi MN di động thì I cũng di động nhng luôn nhìn OH cố định dới một góc 900 do đó I di động trên đờng tròn đờng kính OH. Vậy khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn cố định. 2. Theo gi¶ thiÕt Ax  MN; theo trªn OI  MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mµ O lµ trung ®iÓm cña AB => I lµ trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I lµ trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN là hình bình hành ( Vì có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng ). 3. CMBN lµ h×nh b×nh hµnh => MC // BN mµ BN  AN ( v× ANB = 900 do lµ gãc néi tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MC  AN; theo trên AC  MN => C là trực tâm của tam giác AMN. 4. Ta có H là trung điểm của OB; I là trung điểm của BC => IH là đờng tung bình của OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax  MN hay IH  Ax => OC  Ax t¹i C => OCA = 900 => C thuộc đờng tròn đờng kính OA cố định. Vậy khi MN quay quanh H thì C di động trên đờng tròn đờng kính OA cố định. 5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R √ 3 . => AM =AN = R √ 3 => AMN c©n t¹i A. (1) XÐt ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R √ 3 => BN = R => ABN = 600 . ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2). 3R 2 3 Từ (1) và (2) => AMN là tam giác đều => SAMN = 4 . 3R 2 3 R 2 (4  3 3 2 4 => S = S(O) - SAMN =  R - 4 =. Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn tại M. 1. Chøng minh OM  BC.   => BM CM => M lµ trung ®iÓm cña 2. Chøng minh MC2 = MI.MA. 3. Kẻ đờng kính MN, các tia phân giác của góc B cung BC => OM  BC 2. XÐt MCI vµ MAC cã MCI và C cắt đờng thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bèn ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®- =MAC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau); M lµ gãc chung êng trßn . Lêi gi¶i: MC MI 1. AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = => MCI  MAC => MA MC => CAM MC2 = MI.MA..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 3. (HD) MAN = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => P1 = 900 – K1 mà K1 là góc A B  2 (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => ngoµi cña tam gi¸c AKB nªn K1 = A1 + B1 = 2 A B  2 ).(1) P1 = 900 – ( 2 C 1 A B  2 ). CQ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => C1 = 2 = 2 (1800 - A - B) = 900 – ( 2. (2). Tõ (1) vµ (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mµ P vµ C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt A B  2 ) dùng trªn BQ. ph¼ng bê BQ nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – ( 2. Vậy bốn điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đờng tròn .. Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AA’. 1. Tính bán kính của đờng tròn (O). 2. Kẻ đờng kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 3. KÎ AK  CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: 1. (HD) Vì ABC cân tại A nên đờng kính AA’ của đờng tròn ngoại tiếp và đờng cao AH xuất phát từ đỉnh A trùng nhau, tức là AA’đi qua H. => ACA’ vuông tại C có đờng cao CH = BC 6  2 2 = 3cm; AH = 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = 2 2 CH 3 9   2,5 AH 4 4 => AA’. => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. Vì AA’ và CC’ là hai đờng kính nên cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đờng => ACA’C’ là hình bình hành. Lại có ACA’ = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên suy ra tø gi¸c ACA’C’ lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. Theo gi¶ thiÕt AH  BC; AK  CC’ => K vµ H cïng nh×n AC díi mét gãc b»ng 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AC hay tứ giác ACHK nội tiếp (1) => C2 = H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => C2 = A2 =>.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> A2 = H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c ACHK lµ h×nh thang c©n. Bài 35 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. 4. Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhÊt. Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt MN AB t¹i I => EIB = 900;  ACB nội tiếp chắn nửa đờng tròn nên ACB = 900 hay ECB = 900 => EIB + ECB = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nªn tø gi¸c IECB lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Theo gi¶ thiÕt MN AB => A lµ trung ®iÓm cña cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM. L¹i thÊy CAM lµ gãc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. AM AE  3. Theo trªn AME   ACM => AC AM => AM2 = AE.AC. 4. AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ); MN AB tại I => AMB vuông tại M có MI là đờng cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vu«ng) . áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vuông tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo trên AMN = ACM => AM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp  ECM; Nối MB ta có AMB = 900 , do đó tâm O1 của đờng tròn ngoại tiếp  ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 BM. Gọi O1 là chân đờng vuông góc kẻ từ N đến BM ta đợc O1 là tâm đờng tròn ngoại tiếp  ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đờng tròn tâm O1 bán kính O1M với đờng tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM. Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đờng cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . 3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng. Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù lµm) 3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => N2 = D4 (néi tiÕp cïng ch¾n cung HP); HDC cã HDC = 900 (do AH là đờng cao)  HDP có HPD = 900 (do DP  HC) => C1= D4 (cïng phô víi DHC)=>C1=N2 (1) chøng minh t¬ng tù ta cã B1=P1 (2) Tõ (1) vµ (2) => HNP   HCB.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => N1 = D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cùng vuông góc với AB) => C1= D1 ( hai góc đồng vị).(4) Theo chøng minh trªn C1 = N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => N1 = N2 mµ B, N, H th¼ng hµng => M, N, P th¼ng hµng. (6) Chøng minh t¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng hµng . (7) Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Bµi 37 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B  (O), C  (O’) . TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I. 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp . 2. Chøng minh  BAC = 900 . 3. TÝnh sè ®o gãc OIO’. 4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Lêi gi¶i: 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IB = IA , IA = IC 1. ABC cã AI = 2 BC =>ABC vu«ng t¹i A hay BAC =900 3. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã IO lµ tia ph©n gi¸c BIA; I0’lµ tia ph©n gi¸c CIA . mµ hai gãc BIA vµ CIA lµ hai gãc kÒ bï => I0  I0’=> 0I0’= 900 4. Theo trên ta có 0I0’ vuông tại I có IA là đờng cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI OO’) => IA2 = A0.A0’ = 9. 4 = 36 => IA = 6 => BC = 2. IA = 2. 6 = 12(cm) Bài 38 Cho hai đờng tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M. Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC. Chøng minh : 1. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp . 2. Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt. 3. ME.MO = MF.MO’. 4. OO’ là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC. 5. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’. Lêi gi¶i: 1. ( HS tù lµm) 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MA = MB =>MAB c©n t¹i M. L¹i cã ME lµ tia ph©n gi¸c => ME  AB (1). Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MF  AC (2). Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta còng cã MO vµ MO’ lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï BMA vµ CMA => MO  MO’ (3). Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra tø gi¸c MEAF lµ h×nh ch÷ nhËt 3. Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn => MA  OO’=> MAO vu«ng t¹i A cã AE  MO ( theo trªn ME  AB)  MA2 = ME. MO (4) T¬ng tù ta cã tam gi¸c vu«ng MAO’ cã AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Tõ (4) vµ (5)  ME.MO = MF. MO’ 4. Đờng tròn đờng kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đờng tròn này đi qua Avà co MA là bán kính . Theo trên OO’  MA tại A  OO’ là tiếp tuyến tại A của đờng tròn đờng kính BC. 5. (HD) Gọi I là trung điểm của OO’ ta có IM là đờng trung bình của hình thang BCO’O.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> => IMBC tại M (*) .Ta cung chứng minh đợc OMO’ vuông nên M thuộc đờng tròn đờng kính OO’ => IM là bán kính đờng tròn đờng kính OO’ (**) Từ (*) và (**) => BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’ Bài 39 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1. Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 2. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao?. 3. Chøng minh AE. AB = AF. AC. 4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) vµ (K). 5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. Lêi gi¶i: 1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiÕp xóc (O) OK = OC – KC => (K) tiÕp xóc (O) IK = IH + KH => (I) tiÕp xóc (K) 2. Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) BAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn hay EAF = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 3. Theo gi¶ thiÕt ADBC t¹i H nªn AHB vu«ng t¹i H cã HE  AB ( BEH = 900 ) => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF  AC (theo trªn CFH = 900 ) => AH2 = AF.AC (**) 2 Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH ) 4. Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm của hai đờng chéo AH và EF ta có GF = GH (tính chất đờng chéo hình chữ nhật) => GFH cân tại G => F1 = H1 . KFH c©n t¹i K (v× cã KF vµ KH cïng lµ b¸n kÝnh) => F2 = H2. => F1 + F2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHC = 900 => F1 + F2 = KFE = 900 => KF EF . Chứng minh tơng tự ta cũng có IE  EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) vµ (K). e) Theo chøng minh trªn tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => EF = AH  OA (OA lµ b¸n kính đờng tròn (O) có độ dài không đổi) nên EF = OA <=> AH = OA <=> H trùng với O. Vậy khi H trùng với O túc là dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. Bài 40 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lÊy ®iÓm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N. 1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam gi¸c APB. 2. Chøng minh AM. BN = R2. 3. TÝnh tØ sè. S MON S APB. khi AM = R . 2. 4. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh do nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh ra. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOP ; ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOP, mµ AOP vµ BOP lµ hai gãc kÒ bï => MON = 900. hay tam gi¸c MON vu«ng t¹i O..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> APB = 900((nội tiếp chắn nửa đờng tròn) hay tam giác APB vuông tại P. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã NB  OB => OBN = 900; NP  OP => OPN = 900 =>OBN+OPN =1800 mà OBN và OPN là hai góc đối => tứ giác OBNP nội tiếp =>OBP = PNO XÐt hai tam gi¸c vu«ng APB vµ MON cã APB =  MON = 900; OBP = PNO => APB   MON 2. Theo trªn MON vu«ng t¹i O cã OP  MN ( OP lµ tiÕp tuyÕn ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OP2 = PM. PM Mµ OP = R; AM = PM; BN = NP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => AM. BN = R2 3. Theo trªn OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mµ PM = AM = R => PM = R => PN 2. = R2:. 2. R = 2R 2. => MN = MP + NP =. 5R R 2 + 2R = 2. MN 5R 5 Theo trên APB   MON => AB = 2 : 2R = 4 = k (k là tỉ số đồng dạng).. Vì tỉ số diện tich giữa hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số đồng dạng nên ta có: S MON S APB. = k2 =>. S MON S APB. 2.  5  25    =  4  16. Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy c¸c ®iÓm D, E sao cho  DOE = 600 . 1. Chứng minh tích BD. CE không đổi. 2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE 3. Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đờng tròn này luôn tiếp xúc với DE. Lêi gi¶i: 1. Tam giác ABC đều => ABC =  ACB = 600 (1);  DOE = 600 (gt) =>DOB + EOC = 1200 (2). DBO cã DOB = 600 => BDO + BOD = 1200 (3) . Tõ (2) vµ (3) => BDO =  COE (4) BD BO  Tõ (2) vµ (4) => BOD  CEO => CO CE => BD.CE =. BO.CO mà OB = OC = R không đổi => BD.CE = R2 không đổi. BD OD BD OD BD BO     2. Theo trªn BOD  CEO => CO OE mµ CO = BO => BO OE OD OE (5). L¹i cã DBO = DOE = 600 (6). Tõ (5) vµ (6) => DBO  DOE => BDO = ODE => DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE. 3. Theo trên DO là tia phân giác  BDE => O cách đều DB và DE => O là tâm đờng tròn tiếp xúc với DB và DE. Vậy đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB luôn tiếp xúc với DE Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O). TiÕp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn lît c¾t AC, AB ë D vµ E. Chøng minh : 1. BD2 = AD.CD..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp . 3. BC song song víi DE. Lêi gi¶i: 1. XÐt hai tam gi¸c BCD vµ ABD ta cã CBD = BAD ( V× lµ gãc néi tiÕp vµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n BD CD  mét cung), l¹i cã D chung => BCD  ABD => AD BD. => BD2 = AD.CD. 2. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A => ABC = ACB => EBC = DCB mµ CBD = BCD (gãc gi÷a tiÕp tuyÕn víi mét d©y cïng ch¾n mét cung) => EBD = DCE => B vµ C nh×n DE díi cïng một góc do đó B và C cùng nằm trên cung tròn dựng trên DE => Tứ giác BCDE nội tiếp 3. Tø gi¸c BCDE néi tiÕp => BCE = BDE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung BE) mµ BCE = CBD (theo trªn ) => CBD = BDE mµ ®©y lµ hai gãc so le trong nªn suy ra BC // DE. Bài 43 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng víi A qua M, BN c¾t (O) t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM. 1. Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp . N 2. Chøng minh NE  AB. 3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp _ F tuyÕn cña (O). / M 4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA). C / Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) _ 2. (HD) DÔ thÊy E lµ trùc t©m cña tam gi¸c NAB => NE  AB. E 3.Theo giả thiết A và N đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm B A cña AN; F vµ E xøng nhau qua M nªn M lµ trung ®iÓm cña EF => O H AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FA // NE mµ NE  AB => FA  AB t¹i A => FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A. 4. Theo trªn tø gi¸c AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FN // AE hay FN // AC mµ AC  BN => FN  BN t¹i N BAN có BM là đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến ( do M là trung điểm của AN) nên BAN cân tại B => BA = BN => BN là bán kính của đờng tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyÕn t¹i N cña (B; BA). Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến của đờng tròn tâm O bán kính R ( B, C là tiếp điểm ). VÏ CH vu«ng gãc AB t¹i H, c¾t (O) t¹i E vµ c¾t OA t¹i D. 1. Chøng minh CO = CD. B 2. Chøng minh tø gi¸c OBCD lµ h×nh thoi. H 3. Gäi M lµ trung ®iÓm cña CE, Bm c¾t OH t¹i I. I E Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña OH. O 4. TiÕp tuyÕn t¹i E víi (O) c¾t AC t¹i K. Chøng minh A D ba ®iÓm O, M, K th¼ng hµng. M Lêi gi¶i: K 1. Theo giả thiết AB và AC là hai tiếp tuyến của đờng tròn C t©m O => OA lµ tia ph©n gi¸c cña BOC => BOA = COA (1) OB  AB ( AB lµ tiÕp tuyÕn ); CH  AB (gt) => OB // CH => BOA = CDO (2) Tõ (1) vµ (2) => COD c©n t¹i C => CO = CD.(3) 2. theo trªn ta cã CO = CD mµ CO = BO (= R) => CD = BO (4) l¹i cã OB // CH hay OB // CD (5) Tõ (4) vµ (5) => BOCD lµ h×nh b×nh hµnh (6) . Tõ (6) vµ (3) => BOCD lµ h×nh thoi..

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 3. M là trung điểm của CE => OM  CE ( quan hệ đờng kính và dây cung) => OMH = 900. theo trªn ta còng cã OBH =900; BHM =900 => tø gi¸c OBHM lµ h×nh ch÷ nhËt => I lµ trung ®iÓm cña OH. 4. M lµ trung ®iÓm cña CE; KE vµ KC lµ hai tiÕp tuyÕn => O, M, K th¼ng hµng. Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 1. Chøng minh BC // AE. 2. Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CF vµ G lµ giao ®iÓm cña BC vµ OI. So s¸nh BAC vµ BGO. Lêi gi¶i: 1. (HS tù lµm) 2. XÐt hai tam gi¸c ADE vµ CDB ta cã EAD = BCD (v× so le trong ) AD = CD (gt); ADE = CDB (đối đỉnh) => ADE = CDB => AE = CB (1) Theo trªn AE // CB (2) .Tõ (1) vµ (2) => AECB lµ h×nh b×nh hµnh. 3. I là trung điểm của CF => OI  CF (quan hệ đờng kính và dây cung). Theo trên AECB là h×nh b×nh hµnh => AB // EC => OI  AB t¹i K, => BKG vu«ng t¹i K. Ta cung cã BHA vu«ng t¹i H 1 => BGK = BAH ( cung phô víi ABH) mµ BAH = 2 BAC (do ABC c©n nªn AH. lµ ph©n gi¸c) => BAC = 2BGO. Bài 46 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB , trên đờng tròn ta lấy hai điểm C và D sao cho cung AC = cung AD . Tiếp tuyến với đờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F 1. Chøng minh hÖ thøc : AB2 = AC. AF. 2. Chứng minh BD tiếp xúc với đờng tròn đờng kính AF. 3. Khi C chạy trên nửa đờng tròn đờng kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn à chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó Bµi 47 Cho tam gi¸c ABC.

<span class='text_page_counter'>(29)</span>