cac bai toan 8 gioi hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I-MUÏC TIEÂU: HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông nhất phân thức đại số -rút gọn phân thức -cộng trừ nhân chia phân thức -Rèn luyện kỷ năng chứng minh tính giá trị biểu thức nhanh hợp lý theo mỗi bài toán II-THỜI LƯỢNG:7t lý thuyết,ôn luyện &1tKT Tieát 1,2,3. Phaàn I: ĐỊNH NGHĨA ,TÍNH CHẤT CƠ BẢN ,RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: Ví dụ 1:Cho phân thức ( a2 +b2 +c 2 ) ( a+ b+c ) + ( ab+ ac+ca )2 M= ( a+ b+c )2 − ( ab+ bc+ca ) Hãy rút gọn phân thức M HD:Chú ý rằng ;(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) Do đó ta đặt a2+b2+c2 =x;ab+ac+bc = y 2 x ( x +2 y)+ y =. ..=x+ y =¿ a2+b2+c2+ab+ac+bc Khi đó ;(a+b+c)2= x + 2y.Ta có M = x +2 y − y (ÑK:a2+b2+c2 0 ) Ví duï 2: 3 n +2 n Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số laø phaân soá toái giaûn. 4 2 n +3 n +1 HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1 3 Gọi d là Ước chung của n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n ⋮ d ⇒ n(n +2 n)⋮ d => 4 2 n + 2n ⋮ d (1) 2 2 4 2 n +1 ¿ =n +2 n + 1⋮ d (2) n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1 ⋮d⇒ ¿ 4 2 4 2 Từ (1) và (2)=>(n +3n +1)- (n +2n ) ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d=1 Ví duï 3: Chứng minh rằng : 1+x+x2+x3+…+x31= (1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) (1) HD:Goïi veá traùi laø A vaø veá phaûi laø B Ta coù (1-x).A = 1-x32=> (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x2)…(1+x16)=1-x32 32 1−x Nếu x 1 thì A và B đều viết được dưới dạng phân thức ,do đó A = B 1−x Nếu x = 1thì cả hai vế của (1) đều bằng 32,do đó A= B .Trong cả hai trường hợp ,đẳng thức (1)đều đúng Luyeän taäp: a− b Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a2+3b2 = 10ab .Tính giá trị của biểu thức P = a+ b 1 1 HD:Tính P2 =…= 4 maø P>0 =>P = 2 (Vì a>b>0) x+ y Bài 2:Cho x>y>0 và 2x2+2y2 = 5xy .Tính giá trị của biểu thức E = x − y HD:Nhö baøi 1 Bài 3:Cho a,b,c đôi một khác nhau,thõa mãn ab+ac+bc =1.Tính giá trị của biểu thức:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> c+ a ¿2 ¿ 2 ( a2 +2 bc − 1 )( b2 +2 ca −1 ) ( c2 +2 ba −1 ) b+c ¿ ¿ a) A = ;b) B = ( a − b )2 ( b −c )2 ( c − a )2 a+b ¿ 2 ¿ ¿ ¿ 2 HD:a)Ta coù 1+a = ab+ac +bc +a2=…=(a+b)(a+c) Tương tự 1+b2=…=(b+a)(c+b);1+c2 = ..=(c+a)(c+b) b+ c ¿ 2 ¿ Thay vào biểu thức A= 2 ( a+b ) ( a+c )2 ¿ ¿ 2 2 b)Ta coù a +2bc-1 = a +2bc-ba-ca-bc = …=(a-b)(a-c) Tương tự : b2+2ca-1=…= (b-a)(b-c) ;c2+2ab-1= (c-a)(c-b) ( a −b )2 ( b − c )2 ( c − a )2 =¿ -1 Thay vaøo vaø ruùt goïn ta coù B =….= 2 2 2 ( a −b ) ( b − c ) ( c − a ) Bài 3:Rút gọn các phân thức. ¿ ¿ z − x ¿2 ¿ ¿ z − x ¿2 ¿ y − z ¿2 +¿ x − y ¿2 +¿ ¿ 2 x3 −7 x 2 − 12 x + 45 x3 + y 3 + z 3 −3 xyz 2 y + z ¿ +(¿¿ c)C= 3 ; d D= ¿ 3 x −19 x 2 +33 x − 9 2 x+ y ¿ +¿ ¿ a2 (b − c)+b2 ( c − a)+ c 2( a −b) x3 − y 3 + z 3 +3 xyz a= 2 ; b= ¿ ab −ac 2 − b3 + bc2 HD: 2 x −3 ¿ (2 x+5) ¿ x −3 ¿ 2( 3 x −1) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (a −b)(b − c)( a −c ) a − c 1 A= = ; B= (x − y + z ); C=¿ 2 (a − b)(b − c)(b+ c) b+c 2 n+1 Tối giản với mọi n là số tự nhiên 2 2 n −1 HD:Goïi d laø UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 ⋮ d vaø 2n2-1 ⋮ d => n(2n+1)-(2n2-1) => n +1 ⋮ d Bài 4:Chứng minh rằng phân số. ⋮. d.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ⋮ d => (2n +2) – (2n +1) ⋮ d => 1 ⋮ d => d =1. n5 +n+ 1 Bài 5:Chứng minh rằng phân số : 4 2 không tôi giản với mọi n là số nguyên n +n +1 döông HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1 x − y ¿2 2 z − x ¿ +¿ 2 Bài 6:Rút gọn biểu thức:A = y − z ¿ + ¿ Cho biết :x+y+z = 0 ¿ 2 x + y2 + z2 ¿ 2 HD:(x+y+z) = 0 => (x+y+z) = 0 =>x2+y2+z2 = -2xy-2xz-2yz . 1 Thay vào mẫu thức ta có A = 3 (14 + 4)(54 + 4)(9 4 +4 ). ..(214 +4 ) Bài 7:Rút gọn biểu thức P = 4 4 4 4 (3 + 4)(7 + 4)(11 + 4) .. .(23 + 4) 1 HD:n4+4 =(n2+2)2-4n2= (n2+2+2n)(n2+2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do đó P = …= 577 PHAÀN II CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: Tieát 4,5,6,7 1 1 2 4 8 + + Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A = 1 − x + 1+x + 2 4 8 1+x 1+ x 1+ x Giải:Do đặc điểm của bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng lần lượt tùng phân thức 2 2 4 8 4 4 8 16 + + + = + + =. . .= A= 2 2 4 8 4 4 8 1 − x 1+ x 1+ x 1+ x 1 − x 1+ x 1+ x 1− x 16 1 . 2¿ 2 ¿ 2 . 3¿ 2 ¿ 3 . 4 ¿2 Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = ¿ ¿ ¿ ¿ 3 ¿ Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. =>2n +2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ta coù :. n+1 ¿2 −n 2 ¿ n+1 ¿2 ¿ 2 n+1 ¿ ¿ n2¿ ¿ 2 n+1 =¿ 2 [ n(n+1) ]. => B = …=1-. 4. n+1 ¿2 ¿ n+1 ¿2 ¿ ¿ 1 ¿. x+ y¿ ¿ x + y ¿5 ¿ 1 1 ( 2 − 2) x y Ví duï 3:Cho A = ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 2 ( 4 − 4 ); B= ¿ 3 y (x + y ) x Thực hiện phép tính A+B+C 2 x+ y ¿ x+ y ¿ 2 x 3 y 3 4 4 ¿ x y ¿ Giải:Rút gọn biểu thức A = …= ;Tính B+C =…= 2 2 2( y − x) ( y + x )( y − x) ¿ ¿ y−x Tính A+B+C = …= x4 y4 Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức 2005 a b c P = ab+2005 a+ 2005 + bc+b+ 2005 + ac+ c+ 1 Giaûi:Ta khoâng theå QÑMT .Thay 2005 =abc abc . a b c =>P = ab+abc .a+ abc + bc+ b+abc + ac+ c+ 1 =. ..=1 Luyeän taäp Bài 1:Rút gọn các biểu thức: 1 1 a ¿ A= + ; a (a −b)( a −c ) b( b− a)(b − c) 1 1 1 b ¿ B= + + a( a− b)(a − c) b (b − a)(b −c ) c (c −a)( c −b) ¿ c − a −b 1 1 HD:A = ; b= A+ =. . .= ¿ ab(a −b)(a − c)( b− c) c (c −a)(c −b) abc 2 c−a¿ ¿ b− c ¿2+¿ Bài 2:Rút gọn biểu thức A = a − b ¿2 +¿ ¿ 2 2 2 + + +¿ a− b b −c c −a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> HD:Ñaët a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = 0 Ta coù A =. 2 2 2 x2 + y 2 + z 2 + + + =.. .=0 x y z xyz. a+b − c b+c −a a+c −b − − =0 .Chúng minh rằng trong ba phân thức ở vế ab bc ac trái có ít nhất một phân thức bằng 0 HD:Biến đổi vế trái ta được một phân thức có tử thức (a+b-c)(a-b-c) = 0 =>a-b+c =0 hoặc a+c-b = 0. Bài 4:Cho a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau .Chứng minh rằng biểu thức: a3 b3 c3 + + A= .Coù giaù trò nguyeân (a − b)(a −c ) ( b− a)(b − c) (c − a)(c −b) 3 3 3 a (b − c)+b ( c − a)+ c (a −b) =. ..=a+b +c (Phân tích tử thành nhân tử) HD:A = (a −b)(a− c)( b −c ) Bài 5:Rút gọn biểu thức ; ( 2 n+1 )2 1 1 1 1 12 32 52 a ¿ A= 1 − 2 1 − 2 1 − 2 . .. 1− 2 ; b ¿ B= 2 . 2 . 2 .. . 2 3 4 n 2 −1 4 −1 6 − 1 ( 2 n+2 )2 −1 3 3 3 2 − 1 3 −1 n −1 c ¿C= 3 . 3 . . . 3 2 +1 3 +1 n +1 HD:A= 1 . 3 2 . 4 3 .5 (n− 1)(n+1) 1. 2 .3 . 4 . . .(n −1) 3 . 4 . 5. . .(n+1) 1 n+1 n+1 . . .. . = . = . = 2 .3 . 4 . .. n 2 .3 . 4 . .. n n 2 2n 22 32 4 2 n2 1 B= 2 n+3 ; (2 −1)(22+ 2. 1+ 12) (n −1)(n2 +n+ 1) . .. (2+1)(22 − 2. 1+ 12) (n+1)(n2 −n+ 1) 1 .2 .3 . ..(n− 1) (22 +2.+1)(32 +3+1). . .(n2 +n+1) . 3 . 4 . 5. .. (n+1) (22 −2+1)(32 − 3+1). ..(n2 − n+1) 2 2 2(n2 +n+1) 1 .2 7 . 13. 21 .. .(n −n+1)(n +n+1) 1 .2 n2+ n+1 . = . =.. .= 3 n(n+1) n(n+1) 3 n(n+1) 3 .7 . 13 .. .(n2 −n+ 1) Baøi 3:Cho. (. )(. )(. ) (. ). Bài 6:Rút gọn các biểu thức:. ¿ 1 1 1 1 1 1 1 1 a ¿ A= + + +. ..+ ; b= + + +.. .+ ¿ 1 .2 2. 3 3 . 4 (n− 1) n 2. 5 5 . 8 8 . 11 (3 n+2)(3 n+5) 1 1 1 1 c ¿C= + + +. ..+ 1 .2 .3 2. 3 . 4 3. 4 .5 (n− 1)n(n+ 1) HD: ¿ ¿ 1 1 1 1 1 1 1 n+ 1 ¿ = 1 − 1 ¿b a1 = − Keát quaû B= − ¿= ¿ (n −1)n n −1 n (3 n+2)(3 n+5) 3 3 n+2 3 n+5 3 2 3 n+ 5 2(3 n+5) (n-1)(n+ 2) 1 1 1 1 c¿ = − Keát quaû: (n− 1) n(n+1) 2 ( n− 1)n n(n+1) 4n (n+1). (. [. Baøi 7:. ). ]. 1 m n = + . HD:m=1;n=-1 x ( x −1) x − 1 x 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 b)Rút gọn biểu thức:M= 2 a − 5 a+6 a −7 a+12 a − 9 a+20 a −11 a+30 a)Tìm các số m,n để :. (. ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HD:Tách mỗi phân thức: Baøi 8:Cho x+y+z=a vaø. 1 1 1 = − Tương tự (a −2)(a− 3) a − 3 a −2 1 1 1 1 + + = x y z a Hãy chứng minh:tồn tại một trong ba số có một số. baèng a. 1 1 1 1 + + = x y z x + y + z <=>…<=> (x+y)(x+z)(y+z) = 0 Bài 9:Cho a+b+c =0 (a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; c ≠ 0) Rút gọn biểu thức : a2 b2 c2 + + A= a2 − b2 −c 2 b 2 − c2 −a 2 c 2 − a2 − b2 HD:Ta coù a+b+c = 0 =>a3+b3+c3=3abc vaø a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab a2 b2 c 2 a3 +b3 + c3 3 + + = =. ..= Thay vào biểu thức:A = 2 bc 2 ac 2 ab 2 abc 2 1 1 1 ab bc ca Bài 10:Cho a + b + c =0 Tính giá trị biểu thức:P = 2 + 2 + 2 c a b HD:Vận dụng công thức x+y+z = 0 => x3+y3+z3= 3xyz Áp dụng giải : 1 1 1 3 ab bc ca abc abc abc + 3 + 3= Do đó P = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 =.. .=3 3 abc a b c c a b c b a a b c Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị của biểu thức A= 1+ b 1+ c 1+ a HD:theo bài toán ta có :. ( )( )( ). HD:Từ a3+b3+c3=3abc <=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0<=>.. …<=> a+ b+c=0 2 2 a +b + c 2 − ab− ac − cb=0 ¿ Neáu a+b+c =0 thì A = …= -1 Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 <=> (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 <=> a=b=c Khi đó A = 8 Baøi 12:Cho a+b+c = 0 a −b b −c c − a c a b + + + + Tính giá trị của biểu thức :A = . c a b a−b b−c c−a a −b b −c c − a + + HD:Goïi M = ,ta coù c a b 2 2 2 c c b − c c −a c b − bc+ ac −a c (a −b)(c − a −b) 2c M. =1+ + =1+ . =¿ 1+ . =1+ =1+ a −b a−b a b a −b ab a − b ab ab a Tương tự cho các trường hợp còn lại: 2(a3 +b 3+ c 3) c a b +M . +M. =3+ =9 (Vì a3+b3+c3=3abc) A = M. a −b b −c c−a abc a b c Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0, x + y + z =0 Chứng minh ax2+by2+cz2=0 HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho các trường hợp còn lại Do đó ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)= Khai trieån ta coù =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1) a b c Thay b+c =-a; .a+b =-c; a+c = -b vaø ayz+bxz+cxy = 0( vì x + y + z =0 )vaøo (1)Ta coù ax2+by2+cz2=-ax2-by2-cz2=>…=> ax2+by2+cz2=0. (. (. (. )(. ) ). ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Baøi 14:Cho. b− c ¿2 ¿ a− c ¿2 ¿ a − b ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿. a b c a + + =0Chuùng minh raèng : ¿ b− c c −a a −b a b c a b c b2 − ba+ ca − c2 = + = HD:Từ b− c + c −a + a −b =0 => b− c a −c b − a (a − c)(b − a) 2 b −c ¿ ¿ ¿ Nhaân hai veá cho (1) 1 a ⇒ b− c ¿ Tương tự cho các trường hợp còn lại: a − c ¿2 ¿ (2) 2 a −b ¿ ¿ a2 −ca +cb −b 2 ¿ (c −a)(a − b)(b − c) ¿ ¿ b ¿ b − c ¿2 ¿ a − c ¿2 ¿ a −b ¿ 2 Coäng (1),(2)vaø (3)Ta coù ¿ ¿ ¿ ¿ a ¿ a b c a2 b2 c2 + + =1; Chứng minh + + =0 Baøi 15: b+c c +a a+b b+ c c+ a a+b a b c HD:Nhaân hai veá cuûa b+c + c +a + a+b =1 Cho a+b+c ta coù : 2 2 2 a +a( b+c ) b +b(c+ a) c + c (b+ a) + + =a+b+ c b+ c c+ a a+ b 2 2 2 a b c ⇒ +a+ +b+ +c=a+ b+c b+ c c +a a+ b =>Điều phải chứng minh. ********************************************.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>

<span class='text_page_counter'>(9)</span>