PHUONG PHAP DAT AN PHU HE PHUONG TRINH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG PHÁP ĐẶT HAI ẨN PHỤ 3 2 2  4 x  y  11x  7 y  xy  9 x  17 y  15 0  1 .  2 2 x  1   y  2    x  1  y  2  1  2  .    Câu 1: Giải hệ phương trình: 3. Lấy vế cộng vế hai phương trình ta được: 4 x 3  12 x 2  9 x  y 3  6 y 2  12 y  9 0   x 3  12 x 2  12 x  4  3 x  3  y 3  6 y 2  12 y  8 0  4  x 3  3 x 2  3 x  1  3  x  1   y 3  6 y 2  12 y  23  0 2. 2.  4  x  1  3  x  1   y  2  0.  3. u  x  1  Đặt: v  y  2 Từ (2) và (3), ta có hệ phương trình: 3 3 2 2 3 2 2 3  4u 3  v 3 3u 4u  v 3u.  u  v  uv  u  3u v  3uv  v 0   2 2  2 2 2 2 u  v  uv 1 u  v  uv 1 u  v  uv 1  u  v  3 0  u v 1  x 0, y=3   2 2 u  v  uv 1  u v  1  x  2, y 1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP. Câu 20: Giải hệ phương trình:.  3 2y  1  2 2 x x  1 y    x 2  2  y 2  4 x 20  y.  3 2  1  2 2   x  x  y  1     y  2  x  x  y 2  1  4   21  y . . . . . 2 2 Điều kiện: x 0, y 0, x  y  1 0. x u  x 2  y 2  1; v  y. Đặt. 3 2   1  u v  Hệ phương trình trở thành: u  1  4v 22. 3 2   1 u v u 21  4 v. (1). (2)..  v 3. 3 2 2  1  2v  13v  21 0   7 21  4v v v  .  2 Thay (2) vào (1) ta được:  x 2  y 2  1 9 2  2   x 3  x  3.   x  y 10     x y  1  3   y  1.  x 3y y   Nếu v = 3 thì u = 9, ta có hệ pt:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  x 2  y 2  1 7   x 7  y 2 . 7 2 thì u = 7, ta có hệ pt:  Nếu So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT. v.   x 2  y 2 8  y 4     7  x  2 y  x 14 .  2 2  y  4 53  53  2  x  14 2 53  53. Phần tích thành hai đại lượng.  x 2  y 2  x  y 18.  Câu 1: Giải hệ phương trình:  xy ( x  1)( y  1) 72. Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I.. -. Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x  y và tích xy 2. Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo x  x và y  y . Rõ ràng hướng này tốt hơn. Lời giải. 2 2 ( x  x)  ( y  y ) 18  2 2 ( x  x)( y  y ) 72 . Hệ 1  2 x  x  a , a  .  4   y 2  y b, b  1 . 4 Đặt  2. a  b 18   Ta được: ab 72. TH 1:. a 6   b 12.  a 6, b 12   a 12, b 6.  x 2  x 6   2  y  y 12.  x 2, x  3   y 3, y  4.  x 3, x  4  TH 2: Đổi vai trò của a và b ta được  y 2, y  3 . Vậy tập nghiệm của hệ là:  (2;3); (2;  4); ( 3;3); ( 3;  4); (3; 2); ( 4; 2); (3;  3); ( 4;  3) S=.  Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau  a  b 18  - Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản  ab 72 (I). 2 2  x  y 18.  2 2 xy ( x 2  y 2 ) 72. a  x  xy , b  y  xy 1) Thay vào hệ (I) ta được hệ :   x 2  4 x  y 18.  2 x( x  2)(2 x  y ) 72. 2) Thay a x  2 x, b 2 x  y vào hệ (I) ta được hệ:  ( x  y ) xy  x  y 18 xy. 1 1 a x  , b  y   2 2 x y vào hệ (I) ta được hệ: ( x  1)( y  1) 72 xy. 3) Thay.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x 2  y 2  xy 18.  2 2 4) Thay a  x  2 xy , b  y  xy vào hệ (I) ta được hệ:  xy ( x  2 y )( y  x ) 72.  x 2  y 2  xy 7.  4 2 2 x  y 4  x 2 y 2 21. a  x  y , b  xy 5) Thay vào hệ (II) ta được hệ:  1 1   x  y  x  y 7.   1 1  x 2  y 2  1  1 21. a x  , b  y  x2 y 2 x y vào hệ (II) ta được hệ:  6) Thay  xy  x  1 7 y. 1 x a x  , b   2 2 2 y y vào hệ (II) ta được hệ: ( xy  1)  x 21y . 7) Thay ( x  y ) y  1 9 y. 1 a x  y, b   2 2 2 y vào hệ (II) ta được hệ: ( x  y  2) y  21 y 1. 8) Thay  x 2  y 2  4 x 7.  4 2 2 x  y 4  4 x( x 2  y 2 ) 21. a  x  2 x , b  y  2 x 9) Thay vào hệ (II) ta được hệ:   x 2  y 2  2( x  y ) 7  1 .  y ( y  2 x)  2 x 10  2  . Câu 7: Giải hệ phương trình:   x 2  y 2  2( x  y ) 7.  - Hệ  y ( y  2 x)  2 x 10.  x 2  2 x  1  y 2  2 y  1 9.  2 2 2  y  2 yx  x  x  2 x  1 9. . 2 2 ( x  1)  ( y  1) 9.  2 2 ( y  x)  ( x  1) 9.. -. a x  1  b  a y  x  Đặt  b  y  1 .. -. 2 2  a  b 9.  (b  a) 2  a 2 9. Ta được hệ .  a 2  b2 (b  a) 2  a 2  a 2  2ab  a 0 hoặc a  2b. -. Với a 0  b 3  x  1, y 2 hoặc x  1, y  4. a  2b  5b 2 9  b  -. Với.  x  1 . 3 6  a  . 5 5. 6 3 6 3 , y  1  x  1  , y  1  . 5 5 hoặc 5 5. Cách 2: Thế (1) vào (2) và rút gọn ta được:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  2 . y 2 2 xy  2 x 10.. x 2  2 xy  4 x  2 y  3 0   x 2  4 x  3   2 y  x  1 0.   x  1  x  3  2 y  x  1 0.  ( x  1)( x  2 y  3) 0.. Bình phương cả hai vế của phương trình  x  y 8.  2 x  9  y 2  9 10. Câu 9: Giải hệ phương trình:   x  y 8.  2 2  x  9  y  9 10..  x  y  2 64.   2 2 2 2  x  y   18  2 x  9. y  9 100.  x 2  y 2  2 xy 64  x 2  y 2 64  2 xy.   2 2 2 2 2  x  y   2  xy   9  x  y   81 82.  64  2 xy  2 .  xy . 2.  xy . 2.  9  64  2 xy   81 82..  18 xy  657  xy  9..  xy .   xy=16. 36 xy 576.  x  y 8   Ta có hệ phương trình:  xy 16.  x 4.   y 4.. Hệ thức đối xứng..  2 1 1 2  x  2  y  2 2 7. x y    6  1  1.  Câu 10: Giải hệ phương trình:  x  y xy 2.  -. PT (1). 2.  1 1   x    2   y    2 2 7. x y  .  6. x y  ( x  y )  xy. -. PT (2). -. 1  a  x  x .  b  y  1 . y  Đặt: . 1  1   x     y    6 x  y  ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> -. -.  a 2.   b 2. Điều kiện :  a  b  6.  2 2  a  2  b  2 2 7. Ta có:  a  b  6.  2 2  a  2  b  2 2 7. a 2  b 2  2ab 36  a 2  b 2 36  2ab.   2 2 2 2 2  a  b   2  ab   2  a  b   4  4 28.  36  2ab  2 .  ab . 2.  ab . 2.  2  36  2ab   4 32..  4ab  68 ab  2..  ab  68  4ab  4.  ab 72.  ab 9. Ta có hệ phương trình:.  a  b  6.    ab 9..  a  3  b  3.. Hằng đẳng thức- Tách - Ghép.  x 4  4 x 2  y 2  6 y  9 0.  2 x y  x 2  2 y  22 0. Câu 14: Giải hệ phương trình:   x 4  4 x 2  4  y 2  6 y  9 4 ( x 2  2) 2  ( y  3) 2 4  2  2 2 x  2 y  x  22  0. x  2  4   y  3  3   x 2  2   20 0        Hệ phương trình . 2  x  2 u.  y  3 v. Đặt  u 2  v 2 4 u 2 u 0.    u.v  4(u  v) 8 Khi đó hệ    v 0 hoặc v 2.  x 2   y 3. Nghiệm của hệ là: Tích x, y theo x, y.. hoặc.  x  2   y 3. hoặc.  x  2   y 5. hoặc.  x 2  y 2  xy 3 (a).  2 x  1  y 2  1 4 (b). Câu 19: Giải hệ phương trình: .  x  2.   y 5..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  a   x 2  y 2 xy  3  b   x 2  y 2  2 ( x 2  1).( y 2 1) 14.  xy  2 ( xy ) 2  xy  4 11  c  . Đặt xy = t. (c)  2 t 2  t  4 11  t.  p 11.  2 3t  26t  105 0.  t 3.   t   35 . 3 .  x  y (a) . 2. 3xy  3.. 35  t = xy = 3 (loại).  t = xy = 3  x  y 2 3.  xy 3  x  y  3.  x  y  2 3  1. Với   xy 3  x  y  3.  x  y  2 3   2. Với  x; y   3; 3  hoặc  x; y    3;  3  . Vậy hệ có hai nghiệm là: . Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.  x  y  x 2  y 2 12.   y x 2  y 2 12. Câu 22: Giải hệ phương trình  Điều kiện: | x | | y | u  x 2  y 2 ; u 0  v x  y Đặt  ; x  y không thỏa hệ nên xét x  y ta có: u 2  x  y   x  y  u 2 v  x  y  u 2 x 2  y 2    v x  y v x  y     x v  y Ta có:  u2 u2 1 u2  x  y   v  v y y   y  v . v 2 v   x v  y  . u  v 12  u2  u  u 4 u 3. v   12    2  v  v  8    Hệ phương trình đã cho có dạng: hoặc v 9..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> u 4   v 8.  x 2  y 2 4   x  y 8 + Với (I) u 3  x 2  y 2 3   v 9   x  y 9 + Với (II) S   5;3 ,  5; 4   + Đáp số: . Tách – Ghép – Hệ thức đối xứng. 1 1  2  x  x  y (1  y ) 4.   2  x  x  1 4  x 3 .  y2 y y3 Câu 23: Giải hệ phương trình: . Điều kiện: y 0.  2 x     x3   Hệ trở thành: .  2 1 x  y2     1 x 1  x  1    x  4 3  y y y y   1 1  x  4 2 y y. 1  a  x  y .   b  x .  y Đặt   a 2  a  2b 4  a 2  a  4 2b  3   3 a  2ab 4 a  a( a 2  a  4) 4     Ta có x y  y 1.    1  x 1.  x  x 2 Khi đó. x. 1 4. y. 3.   x1   2   x  4. y y  .  a 2  a  4 2b   2  a  4a  4 0. a 2.  b 1.. Tách – Ghép – Hằng đẳng thức.. 3  2 2 4 xy  4( x  y )  7.  ( x  y)2  2 x  1 3.  xy Câu 24: Giải hệ phương trình sau:  Điều kiện: x + y  0 3 3   2 2 2 2 2 2 4 xy  4( x  y )  ( x  y ) 2 7.  3x  6 xy  3 y    x  2 xy  y   ( x  y ) 2 7.     2 x  1 3.  x  y   1   x  y  3   x y x y Ta có hệ:  .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3  2 2 3( x  y )  ( x  y )  ( x  y ) 2 7    x  y   1   x  y  3  x y 1 . u 2 x  y Đặt u = x + y + ( ) ; v = x – y. 2 2 3u  v 13.  u  v 3. Ta được hệ:  u 2 Giải hệ ta được u = 2, v = 1 do ( ). 1  2  x  y 1 x  y  xy     x  y 1  x  y 1 Từ đó giải hệ .  x 1.   y 0.. Tách – Ghép – Hằng đẳng thức.. ( x  1)( y  1)( x  y  2) 6.  2 x  y 2  2 x  2 y  3 0. Câu 25: Giải hệ phương trình:  ⇔ ( x − 1)( y −1)(x − 1+ y − 1)=6 y − 1¿ 2 −5=0 ¿ ⇔ ¿ ¿ uv (u+ v)=6 Hệ ¿ u2 + v 2 −5=0 ¿ ¿ ⇔ x −1 ¿2 +¿ ¿ ¿ S=u+ v Đặt: P=u . v ¿{ ¿. được. với. u  x  1.  v  y  1..  P.S 6   2  S  2 P  5 0.  S 3.   P 2..  X 1  x  1 2  x  1 1.     X 2 y  1 1  y  1 2. 2   u, v là nghiệm của phương trình: X – 3X + 2 = 0 Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3). Tách – Ghép..  2x  y  1   3x  2y 4 Câu 27: Giải hệ phương trình: . x  y 1.  I.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  2x  y  1 . x  y 1.  I     2x  y  1   x  y  5 Nếu u  2x  y  1 0,v  x  y 0 .. (I).  u  v 1  2  2 u  v  5 .  u1 2  v1 1   u2  1  v2  2  loại .  2x  y  1 2.  I    Vậy.  x  y 1. 2x  y  1 4   x  y 1. x 2.  y  1.. Tách – Ghép – Hằng đẳng thức..  x2  y 2  1 2.  x y2  ( xy  x  y  1)( x  y  2) 6. Câu 28: Giải hệ phương trình:  2 2   x  2 x  1  y  2 y  1 5    x y  1  y  1  x  1  y  1  6          Hệ.  x  1 2   y  1 2 5     x  1  y  1   x  1   y  1  6.  u 2  v 2 5 u x  1   uv(u  v ) 6 v  y  1 Đặt  , thu được hệ:  u  v 3  u.v 2 Giải ra được:  Giải ra được:. u  x  1 1  v  y  1 2. u  x  1 2  x 3    v  y  1 1  y 2 hoặc hoặc . Tách – Ghép – Hằng đẳng thức.  x 2 y  2 x 2  3 y  15 0  4 x  y 2  2 x 2  4 y  5 0 Câu 30: Giải hệ phương trình: .  x 2   y 3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  x 2 y  2 x 2  y  2  4 x 2  4  4 y  8 5 pt   2 2 2 2  x   2 x  1  y  4 x  4 10  x 2  y  2    y  2   4  x 2  1  4  y  2  5   2 2 2 2  x   2 x  1  y  4 x  4 10  x 2  1  y  2   4  x 2  1  4  y  2  5   2 2 2 2  x   2 x  1  y  4 x  4 10 ( x 2  1)( y  2)  4( x 2  1)  4( y  2) 5  2 2 2 ( x  1)  ( y  2) 10 ( x 2  1)( y  2)  4( x 2  1)  4( y  2) 5  2 2 2 ( x  1)  ( y  2) 10 .. u  x 2  1  v y  2 Đặt  u 2  v 2 10   uv  4( u  v )  5 Ta có hpt . (u  v)2  2uv 10 u  v  10   uv  4(u  v) 5  uv 45 (vô nghiệm). u  v 2 u 3 u  1    v  1 hoặc v 3 hoặc uv  3 u 3  v  1 Tìm được 2 nghiệm ( x; y ) (2;1) và ( x; y ) ( 2;1) + u  1  + v 3 Tìm được nghiệm ( x; y ) (0;5) Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5) Tách ghép. ¿ 1 =5 xy Câu 55. Giải hệ phương trình: 1 ( x 2+ y 2) 1+ 2 2 =49 x y ¿{ ¿. (. (x + y ) 1+. (. ). ). Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ theo tổng và tích như cách thông thường ta sẽ gặp một hệ khó, phức tạp và không có nghiệm đẹp. Nhưng sau khi đặt điều kiện và khai triển ra ta được 1 1  1  x  a  x  y  y  x 5   x    a  b 5  x 2  1  y 2  1 49  y  1 b  2 2  y  y2 x2 , và nếu đặt thì ta được a  b 53. Đến đây ta có một hệ quen thuộc..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Hệ thức đối xứng – Hằng đẳng thức.  x 2  y 2  x  y 4  x( x  y  1)  y( y  1) 2 Câu 31: Giải hệ phương trình: . (I). x2  y2  x  y 4  2 2 x  y  x  y  xy 2  xy  2. 2 2 2 2 2 2 2 Đặt S x  y;P xy(S 4P)  S x  y  2xy  x  y S  2P. S2  2P  S 4 I   2 S  P  S 2.  Vậy. P  2    S 0   S  1 . x  2  x  2  x  y 0 TH1 :     xy  2 suy ra : X2  0X  2 0 suy ra : x  2 hay  y  2 x  y  1  x 1 x  2 TH 2 :    xy  2 suy ra : X2  X  2 0  X 1hay X  2 vậy  y  2 V y 1 x  2  x  2 x 1 x  2     y  2 y 2 Nghiệm của hệ là:  V  V y  2 V y 1 Hệ thức đối xứng – Hằng đẳng thức.. Câu 32: Giải hệ phương trình: Điều kiện: xy 0 .. Hệ. (3x  y)(x  3y) xy 14  2 2 (x  y)(x  y 14xy) 36. (3x  y)(x  3y) xy 14   2 2 (x  y)(x  y  14xy) 36. 2  2  3x  9xy  xy  3y  xy 14  2  x  y    x  y  12xy  36.  3x 2  6xy  3y 2  4xy  xy 14    2   x  y x  y  12xy  36       . . .  3  x  y  2  4xy xy 14   2  x  y    x  y   12xy  36 .  a  x  y  b  xy 0 Đặt  2 2 2 3   (3a  4b )b 14 3a b  4b 14    3 2 a (a 2  12b 2 ) 36  a  12ab 36   Thay vào hệ trên được: Nhận thấy a=0 không là nghiệm của hệ trên. a 3 (3k  4k 3 ) 14  3 a (1  12k 2 ) 36 Đặt b=ka thay vào hệ trên được  ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 1 1  k   b  a  a 6b 6 6 Ta có: 72k3-84k2+54k-7=0 thay vào (1) được a=3, từ đó b= 2 .  x  y 3    1 xy   2.  x  y 3   1  xy   4.  32 2  3 2 2 x  x    2 2     y 3  2 2  y  3  2 2  2  2. Chia hai phương trình cho y.  x 2  y 2  xy  2 x 5 y  2 ( x  2 x )( x  y  3)  3 y Câu 33: Giải hệ phương trình::  ( x; y  R )  x 0  x 2  2 x 0    x  2  hệ có nghiệm (0;0);(-2;0). y=0  x2  2x  x  y 5   y  2  x  2 x .( x  y  3)  3  y Nếu y 0 , hpt   x2  2x u  y  u  v 2 u 3 u  1    v x  y  3  v  1 hoặc v 3 đặt  ta có hệ: uv  3  x2  2x 3 u 3  x 1    y    x  6 v  1   y 1   x  y  3  1 Với hoặc  y 8  x2  2x  1  u  1   y   x  y  3 3  Với v 3 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (-2; 0); (1; 1) và (-6; 8) Nhân hai vế cho xy.  x 2  y 2  x  y 8  7 x y  y  x 1  xy Câu 35: Giải hệ phương trình :    x  y 3    x  y  2  x  y  xy 1  Hệ : Vậy nghiệm của hệ là : (x;y) = (1 ;2) ,( 2 ; 1) ,( 1;-3 ) (-3; 1) ( x  y )2  x  y  2 xy 8   2  x  y   xy 7.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Phương trình đẳng cấp bậc ba.  x  y  x 2  y 2 13   x, y    .  2 2 x  y x  y  25   Câu 36: Giải hệ phương trình:   x  y  x 2  y 2 13  1  x3  xy 2  x 2 y  y 3 13   3  x  y  x 2  y 2 25  2  y  xy 2  x 2 y  x3 25    Hệ.  .  .  .  .  1'   2 '.   x  y  xy 6 Lấy (2’) - (1’) ta có: x2 y– xy2 = 6 (3)  x  y  x 2  y 2 13  I   x  y  xy 6 Kết hợp với (1) ta có . Đặt y = - z ta có : 2     x  z  x 2  z 2 13  x  z    x  z   2xz  13   I      x  z  xz 6  x  z  xz  6 Đặt S = x +z và P = xz ta có : S S 2  2P 13 S 3  2SP 13 S 1     P  6 SP  6 SP  6. . . . . . . x  z 1  x.z  6.  x 3   z  2. x  2  z 3. Ta cã : . Hệ này có nghiệm hoặc Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( 3 ; 2) hoặc ( -2 ; -3 ). Tách – ghép.. ¿ x + y + x 2+ y 2=8 Câu 38: Giải hệ phương trình: xy ( x +1)( y +1)=12 ¿{ ¿ ⇔ x ( x+1)+ y ( y +1)=8 Hệ đã cho x (x+1) y ( y+ 1)=12 ¿{ u  x( x  1)  Đặt v  y ( y  1) ¿ u+ v=8 ¿ uv =12 u=6 ⇔ Hệ trở thành hoặc v =2 ¿ u=2 ¿{ v=6 ¿ ¿{ ¿ Từ đó suy ra nghiệm của hệ là: ( 2; 1 ) , ( 1; 2 ) , ( 1 ;− 3 ) , ( −3 ; 1 ) , ( − 2; 2 ) , ( 2; − 2 ) , ( − 2; − 3 ) , ( − 3; − 2 ) . Tách – ghép..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ¿ x 2 + y 2 − 3 x+ 4 y=1 Câu 39: Giải hệ phương trình: 3 x2 −2 y 2 − 9 x − 8 y =3 ¿{ ¿ ¿ x 2 + y 2 − 3 x + 4 y=1 Hệ ⇔ 3(x 2 − 3 x)− 2( y 2 +4 y)=3 ¿{ ¿ 2 2 x  3 x Đặt: u= và v=y +4y  3  13 ; y 0 x   2  x 2  3 x  1 0   u  v 1 u 1  x  3  13 ; y  4   2  2 u  2 v  3 v  0  y  4 y  0   2 Hệ trở thành:  Hệ thức đối xứng.  x  y  1  1 4  x y   x2  y 2  1  1 4 x2 y 2 Câu 41: Giải hệ phương trình:  . Điều kiện x  0, y  0 .. Hệ phương trình tương đương với:. ìï æ ïï ç x+ ç ïï ç è í ïï æ ïï ç çx + è ïî ç. ö æ 1÷ 1ö +ç y+ ÷ ÷ ÷= 4 ç ÷ è ø xø ç y÷ 2 2 ö æ ö 1÷ ç 1÷ ÷ + çy + ÷ = 8 ç ø è ø x÷ y÷. æ æ 1ö æ 1ö 1 öæ 1ö S=ç x+ ÷ y+ ÷ x+ ÷ y+ ÷ ÷+ ç ÷, P = ç ÷ç ÷ ç ç ç ç ç ÷ è ç ç ÷ç ÷ è xø y÷ ø è x øè yø Đặt ta có: ìï æ ö æ ö 1 1 ïï ç x+ ÷ y+ ÷ ÷+ ç ÷= 4 ç ïìï S = 4 ïìï S = 4 ç ÷ ç ÷ ïï ç è xø è yø Û Û í 2 í íæ Û ïï S - 2P = 8 ïP =4 ïï ç 1 öæ 1ö ÷ ç îï î x+ ÷ y + = 4 ÷ ÷ ç ïï ç ÷ç ÷ è x øè yø ïî ç. Hệ thức đối xứng. 2 2  x  y  2 xy 8 2 (1)  (2) Câu 42: Giải hệ phương trình:  x  y  4 . Điều kiện x, y 0 . Đặt t  xy  0 .. 2 Ta có: xy = t và (2) Þ x + y = 16 - 2t . 2 Thế vào (1), ta được: t - 32t + 128 = 8 - t Û t = 4 .. Tách – Ghép.. ìï ïï x + 1 = 2 ï x Û í 1 ïï y + = 2 ïï y ïî. ì ïíï x = 1 ïï y = 1 î. ..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x 4  x3y  x 2y2 1  3 2 x y  x  xy  1 Câu 43: Giải hệ phương trình:  (x 2  xy) 2 1  x3y  3 2 x y  (x  xy)  1 Hệ đã cho x 2  xy u  3 x y v Đặt  , 2 u 1  v u 1 u  2    v  u  1 v 0 Hệ trở thành  hoặc v  3 Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) . Cộng Trừ hai vế. ¿ x+ √ y −3=5 Câu 37: Giải hệ phương trình: y + √ x −3=5 (*) ¿{ ¿ ¿ ⇒ u= √ y −3 ớ y=u2 +3 Đặt v=√ x − 3 với u ≥0 , v ≥ 0 x=v 2 +3 ¿{ ¿{ ¿ ¿ v 2 +3+u=5 u2 +3+v=5 ⇔ Hệ trở thành: 2 ¿ v +u=2(1) u 2+v=2(2) ¿{ ¿ u2  v 2   u  v  0  (u  v)(u  v)  (u  v) 0 Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được : ⇔ ( u − v ) (u+ v −1 )=0 ⇔ u=v ¿ u=1− v ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ v 2 + v − 2=0 ⇔ v=1 ⇒u=1 ¿ v =−2( loai) - Với u = v thay vào (1) ta được ¿ ¿ ¿ ¿ ¿.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ¿ x −3=1 √ √ y − 3=1 ⇔ Ta có hệ: ¿ x=4 y =4 ¿{ ¿. v 2  1  v 2  v 2  v  1 0.  1 5 1 5  u (loai ) v  2 2    1 5 (loai ) v   2 - Với u=1-v thay vào (1) ta được: Vậy hệ có nghiệm là (4;4).. Câu 45: Giải hệ phương trình:  x 1  Điều kiện:  y 1.  x  4 y  1 1   y  4 x  1 1. u  4 y  1 0  y u 4  1   v  4 x  1 0 x v 4  1   Đặt Suy ra,  4 4 v  u 0 u  v    4  8 u  v  0 v  v  0    Khi đó hệ trở thành  u  v 4     v 0 ( n)    v  1 (l ) . u 0  4 y  1 0     4 v 0  x  1 0 Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).. 4 u  v  7 v(v  1) 0.  y 1   x 1.  3 y 3  1  x 3  2 x  y 3 82 Câu 44: Giải hệ phương trình:  Điều kiện: x 0 3 3 Đặt u  x 0 và v  y  1  x u 2  x 2 u 4   3  3 3 y  1 v 3   y v  1  Ta có u  v 3 (1)  4 3 u  v 81 (2) Hệ đã cho trở thành  4 3 Từ (1)  v 3  u thay vào (2) ta được u  (3  u ) 81. u 4  u 3  9u 2  27u  54 0  (u  3)(u 3  2u 2  15u  18) 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  u  3 0  3 2  u  2u  15u  18 0 ( VN )  u 3  v 0  x 3  x 9   3 3  y 1 y  1 0 Khi đó ta có  Vậy nghiệm của hệ là ( 9; 1). ¿ 3. √ x + y =√ x + y (1) Câu 58: Giải hệ phương trình: √ x − y =√3 x − y −12(2). Điều kiện:. ¿{ ¿. ¿ x+ y ≥0 x− y≥0 ¿{ ¿. ¿ a=x + y ≥0 Đặt b=x − y ≥ 0 ¿{ ¿. Hệ đã cho trở thành:. √ a= √3 a 3 √ b= √ b − 12 ⇔ ¿ a 3=a2 b3= ( b −12 )2 ⇔ a=0 ¿ ¿ a=1 ¿ ¿ b=4 ¿ ¿{ ¿ ¿¿. ¿ a=0 b=4 ⇔ ¿ x+ y=0 * Với x − y =4 ⇔ ¿ x =2 y =−2 ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ¿ a=1 b=4 ⇔ ¿ x+ y=1 x − y=4 ⇔ * Với 5 ¿ x= 2 3 y =− 2 ¿{ ¿ Vậy nghiệm của hệ đã cho là: ( 2; − 2 ) ,. ( 52 ; − 32 ).  3 x  y 2  x  y (1)  x  y  x  y  2 (2) Câu 59: Giải hệ phương trình:   x  y 0  Điều kiện:  x  y 0 t 6 x  y Giải (1) bằng cách đặt . 2 3 3 2 Khi đó (1)  t 2  t  t  t  2 0  t 1 t 1  6 x  y 1  x  y 1  y  x  1 Với . Thay vào (2) ta được: 2 x  1  2 x 1.  2 x  1 0 3 1   x  y 2 2 2  2 x  1 4 x  4 x  1  3 1  ;  Vậy nghiệm của hệ là  2 2  . Bình phương hai vế - Cộng hai phương trình.  x  3  y  3  y  3 x  3 Câu 34: Giải hệ phương trình  Điều kiện: 0 x 3, 0  y 3  x  3  y  3  y  3 x  3  Ta có  . x(3  y )  y (3  x ) 0.  x(3  y ) 0   y (3  x) 0.  x  y  2 x(3  y ) 0   y  x  2 y (3  x) 0   x 0    y 0   x 3     y 3 Kiểm tra ta thấy.  x 0  x 3 ,   y 0  y 3 thỏa mãn..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>  x 0  x 3 ,  y  0   y 3 Kết luận : Hệ có hệ có hai nghiệm  x  5  y  2 7  x  2  y  5 7 Câu 46: Giải hệ phương trình:  Điều kiện: x 2, y 2 2 u  x  2  x u  2 suy ra ,   2 v  y  2  y v  2    Đặt Hệ trở thành:  v 2  7  u 7  v 2  7 7  u   2  u  7  v 7  u 2  7 7  v u 7  2 2 v  u  14u 42 (1)  v 7 u 2  v 2  14v 42 (2)  Lấy (1) trừ (2) và cộng (1) cho (2) vế theo vế ta được 2v 2  2u 2  14u  14v 0 2(v  u )(v  u )  14(v  u ) 0   u  v 3 u  v 3. 2(v  u ).3  14(v  u ) 0 v  u 0    u  v 3 u  v 3. 3  u  2 ( n)  v  3 ( n)  2. 3 17    x  2  2  x  4    y  2 3  y 17 2  4 Suy ra,  17   x  4   y 17 4 Vậy nghiệm của hệ là . 2. Đặt ẩn phụ bằng cách chia hoặc nhân hai vế của phương trình của hệ cho một biểu thức hoặc chia hai phương trình của hệ: Chia cho y và chia cho y2..

<span class='text_page_counter'>(20)</span>  y ( x  7)  x  1 0.  21y 2  x 2 ( xy 1) 2 . Câu 11:Giải hệ phương trình:   y ( x  7)  x  1 0.  2 2 2 21y  x ( xy  1) . x 1   x  y  y  7 0.   2 21   x   x 2  2 x  1 .    y y2  y   1 1  x       7 0. y  y   2 2  x  1  21   y   x  y  .      1  a  x  y .  b  x .  y Đặt  a  b  7 0.   2 2 21  b a .. Ta có hệ:. a 7  b.  2 2 21  b  7  b  .. a 7  b. a 7  b.   2  2 2 21  b 49  14b  b . b  7b  12 0.. Chia cho y và chia cho y2..  xy  x  1 7 y.  2 2 x y  xy  1 13 y 2 . Câu 12 KB09: Giải hệ phương trình: . a 7  b.    b 3.   b 4. .

<span class='text_page_counter'>(21)</span>  xy  x  1 7 y.  2 2 2  x y  xy  1 13 y . x 1   x  y  y 7.    x 2  x  1 13.  y y2  1 x  x    7. y y   2 1 x   x  y   y 13.   1  a  x  y .   b  x .  y Đặt .  a  b 7.  2  a  b 13. b 7  a.  2  a  a  20 0. b 7  a.     a  5.   a 4.   a  5.  b 12.   a 4.   b 3. 1  x   5  y     x  12  y. 1  x  4  y    x  3  y. Chia cả hai phương trình cho y.  x 2  y 2  xy  1 4 y.  y ( x  y )2 2 x 2  7 y  2. Câu 13: Giải hệ phương trình: .   x 1.    y 1 .   3    x 3.   y 1..

<span class='text_page_counter'>(22)</span>  x2 1  y  y  x  y 4.   2  x  y  2 2 x  2  7.  y y   x2 1   x  y      4.   y y  2  x  y 2  2  x  1  7.       y y . Đặt.  a  x  y.  x2 1  b   .  y y . Chia hai vế phương trình (1) cho y3 và phương trình (2) cho y2. 3 3 3  8 x y  27 18 y  1 .  2 4x y  6x  y2  2 .   Câu 15: Giải hệ phương trình:. 3   3 27  3 27 3  3 8 x   18 8 x   18  (2 x )    18.      y3 y3  y      1 x   1 1 4 x 2  6 1 2 x.  2 x  3.  1 2 x. 3  2 x  3  3. 2   y    y y y  y  y Hệ phương trình  . a 2 x.  3  b  y . Đặt  . a  b 3.  Hệ phương trình  ab 1..  x; y   3  4 . Hệ đã cho có nghiệm:. . 5. ;. 6.   3 5 6  x; y   ;     4  3  5  3  5  . hoặc. Chia hai phương trình cho y. 2  x  1  y( y  x) 4 y.  2 ( x  1)( y  x  2)  y. Câu 16: Giải hệ phương trình:  Nhận xét: y=0 không là nghiệm của hệ nên chia hai vế cho y..

<span class='text_page_counter'>(23)</span>  x2 1  y  y  x  2 2.   2  x  1 ( y  x  2) 1.  y. Hệ phương trình  x2 1 u , v x  y  2 y Đặt ..  x2 1 1.  u  v 2  x 1  x  2.  y  u v 1     Ta có hệ uv 1   x  y  2 1.   y 2 hoặc  y 5. Chia hai phương trình cho y.  x 2  y 2  xy  1 4 y.  y ( x  y )2 2 x 2  7 y  2. Câu 21: Giải hệ phương trình:  Từ hệ pt  y 0 .  x2 1  x  y 4.   x 2  y 2  xy  1 4 y  y x 2  1  y 2  xy 4 y     2 2 2 2 2  y ( x  y ) 2 x  7 y  2  y ( x  y )  2 x  2 7 y  2 ( x  y )2  2 x  1 7.  y Khi đó ta có: x 2 1 u , v x  y y Đặt .  u  v 4  u 4  v  v 3, u 1.  2   2 v  2v  15 0  v  5, u 9. Ta có hệ: v  2u 7  x2 1  y  x2 1  y  x 2  x  2 0  x 1, y 2       x  y 3  x  2, y 5 .  y 3  x  y 3  x  Với v 3, u 1 ta có hệ:   x 2  1 9 y  x 2  1 9 y  x 2  9 x  46 0      x  y  5  y  5  x  y  5  x , hệ này vô nghiệm.  Với v  5, u 9 ta có hệ:   x; y  (1; 2) hoặc  x; y  ( 2; 5) . Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm:. Chia cho y3 và chia cho x..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> ¿ y =x (9 − x 3 ) x2 y + y 2=6 x ¿{ ¿ 3. Câu 47: Giải hệ phương trình:. 3. ¿ y =0 2 Khi x=0 hệ trở thành: y =0 ⇔ y =0 ¿{ ¿  y  3 3    x 9  x    x≠0  2 y   xy  x 6 Khi , hệ 3.  y  3  x  x   3 y  x       y  x  y  6   x  .  y 3 y  ( x  x) 21  x  3    x  y  x  y  6  y 2   x Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2).. y  9 x.  x 1   x 2. Chia cho y2. 1  2 2 x  x  y 2   y  y 2 x  2 y 2  2 . Câu 48: Giải hệ phương trình: 1  2  2 x  x  y  2 0    2  1  x  2 0  y 2 y Hệ Đặt. u  x  1  v  y . 2u 2  u  v  2 0 (1)  2 2v  v  u  2 0 (2) Hệ trở thành  2 2 2 2 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 2u  2v  2u  2v 0  u  v  u  v 0  u v   (u  v)(u  v)  u  v 0  (u  v)(u  v  1) 0  u 1  v  v 1 2v 2  v  v  2 0    v  1 Với u = v thay vào (2) ta được. + Khi v 1  u 1 ta có. 1  1  y  x 1 .  y 1   x 1.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 1   1  y  1  y  x  1  x  1 . + Khi v  1  u  1 ta có 2 2 Với u 1  v thay vào (2) ta được 2v  v  1  v  2 0  2v  2v  3 0   1 7 v  2    1 7 v  2   1  1 7 2  y    71 2 y    3 7   x 3  7  1 7 3 7 v  u  x  2  2 2 2 + Khi ta có :  1  1 7 2  y     71 2 y    3 7   x 3  7  1 7 3 7 x  v  u   2 2 2 2 + Khi ta có  3 7 2 3 7 2 ; ; 7  1 ), ( 2 7 1 ) Vậy nghiệm của hệ là (-1 ;-1),(1 ;1), ( 2 Chia cho x.  x 2  xy  x  3 0   5 2 ( x  y )  2  1 0 x Câu 50: Giải hệ phương trình:  Điều kiện: x 0 3   x  y  1  x 0  ( x  y ) 2  5  1 0 x2 Hệ đã cho  u  x  y  u  1  3v 0 (1)  1  2 v   u  5v 2  1 0 (2) x Đặt  Hệ trở thành  Từ (1)  u 3v  1 thay vào (2) ta được  v 1  4v  6v  2 0    v 1 2 2 2 2 (3v  1)  5v  1 0  9v  6v  1  5v  1 0 2   x  y 2  x 1   1  y 1  1 Với v 1  u 2 ta có  x 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1   x 2  x  y  2    3 1 1 y  1 1    v  u 2  2 2 ta có  x 2 Với. Chia cho x. 1  xy  xy  x   1 1 y y  3 y  x x x  Câu 51: Giải hệ phương trình: Điều kiện: x > 0, y  0. 1 y 1   y x x   1  y y  1 3 y  x x x Hệ 1 u  0 và v  y 0 x Đặt u 2  v 2  uv 1 u 2  v 2  uv 1   3 3 2 2 u  v u  3v   (u  v)(u  v  uv) u  3v Hệ trở thành u 2  v 2  uv 1  (u  v )(1  2uv) u  3v 2 2 u  v  uv 1  2  v(u  uv  1) 0  1 1  x 1  x    y 0  y 0  Suy ra Vậy nghiệm của hệ là ( 1; 0).. u 1  v 0. Chia cho x và x2. Câu 52: Giải hệ phương trình:. 1  4 x 2 y 2  5 xy 10 x 2  1  2 xy  3 y 2 x. Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ. Với x 0 hệ:.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 5y 1 2  x 2  4 y  x 10    1  2 y  3 y 2 x  x. . 2  1 1 5y  10   2 y   2. .2 y   x x x    1  2 y  3 y 2  x x. 2  1 1 y     2 y   9 10 u   2 y   x x    x    1  2 y  3 y 2 v  y  x x  x u 2  9v 10 (1)  u  3v 2 (2) Hệ trở thành  Từ (2)  u 2  3v thay vào (1) ta được: (2  3v) 2  9v 10  4  12v  9v 2  9v 10  v 1 2  9v  3v  6 0    v  2 3  v  1  u  1 Với ta có : 1  x  2 y  1  1  2 x  1  x   y 1  y  x  x.   x 1  2 x  x  1 0  1     x  2  y x   y  x 2.   x    x 1  y    y 1 hoặc . 1 2 1 2. 1  x  2 y 4   y 2 2   v   u 4 3 3 Với ta có  x   3 6 3 6 x  x    2 2    y  3  6  y  3  6   3 3 hoặc . 1 4  x  3 x 4   y  2 x 3 .

<span class='text_page_counter'>(28)</span>  3 6  x  2  4 x 2  12 x  3 0      x 3  6 2 2  y  x  3   2  y  x 3  Chia hai phương trình cho nhau. 2 2 2 y ( x  y ) 3x  2 x( x  y 2 ) 10 y Câu 53: Giải hệ phương trình: . (1) (2).  x 0  Ta thấy  y 0 là nghiệm của hệ.  x 0  Với  y 0 chia (1) cho (2) vế theo vế ta được : 2 y( x 2  y 2 ) 3x  x( x 2  y 2 ) 10 y y2 y2 1  2 y x 2  3 . x  2. y . x2  3  2. . y 2 10 y y 2 10 x x2 1 2 1 2 x x (*) 2 y t  2 , t 0 x Đặt 3  t  5 20t 2  17t  3 0    t 1  4 Phương trình (*) trở thành 1.  3  y x 3 y 3 5 t  2     5 x 5 3  y  x 5  + Khi 4 3 375 y x x  5 thay vào (1) ta được 2 . Với 3 y  x 5 thay vào (1) ta được x   . Với 2.  x 2 y 1 y2 3 t  2    4 x 5  y  2 y +Khi  y 1  x 2  . Với x 2 y thay vào (1) ta được  y  1  x  2 . Với x  2 y thay vào (1) ta được x  .

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Chia hai pt cho x2.  y  xy 2 6 x 2 (1)  1  x 2 y 2 5 x 2 (2) Câu 54: Giải hệ phương trình:Giải hệ phương trình:  Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ. y1  y y2  6  x  x  y  6  2  x   x   2 y   1  y 2 5  1  y   2 5  x 2  x 2 x   Chia cả hai vế của (1) và (2) cho x ta được hệ . 1   S  x  y  P.S 6   2  P  y  S  2 P 5  x  Đến đây ta đặt . Giải hệ này ta tìm được S và P, từ đó ta tìm được x và y.. Chia cho x và x2. 10 x  xy  y 2  30 x 2  xy 2  2 xy  x  y 1 Câu 56: Giải hệ phương trình:Giải hệ phương trình   xy  x  y  2 11x  2 2  xy  2 xy  x  y  1 30 x Hệ phương trình đã cho Với x = 0 hệ đã cho vô nghiệm y 2 1 1    y  1  x  x 11 ( y  1)  x ( y  1)  x 11  2  y 2 y 1 1 y    1 ( y  1) 2  1 ( y  1) 30   2  2 30  x2 x x x x x  x Với x 0 khi đó hệ. Đặt. 1  a  x  b  y  1. khi đó hệ trở thành.  a  b 6   a  ab  b 11  ab 5    a  b 5  ab(a  b) 30   ab 6. CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2015. Câu 60: Giải hệ phương trình: Điều kiện: x  y  0. 2 xy  2 2  x  y  x  y 1 (1)   x  y x 2  y (2) .

<span class='text_page_counter'>(30)</span>  1   x  y  Đặt. 2.  2xy . 2xy 1 xy.  x  y u   xy v 2v 1 u  u3  2uv  2v  u 0.  1  u. 2.  2v .  u3  1  2v  u  1   u  1 0. .    u  1  u. 2.  u  2 0. .  u 1  2  u  u  2v 0 o Với u=1  x  y 1  y 1  x  x 1  y 0 x 2  1  x  1 0  x 2  x  2 0    x  2  y 3 Thế vào (2), ta được: 2. o Với. u2  u  2v 0   x  y   x  y  2xy 0  x2  y 2  x  y 0.  x y 7   +1 (1)  x xy  y  x xy  y xy 78 (2) Câu 61: Giải hệ phương trình:  Điều kiện: x  0, y  0  x  y 7  xy   xy  x  y  78 Hệ Đặt t  xy, t>0.  x  y 7  t   t 2  7t  78 0  t 6 t x  y  78    Hệ x  y 13 x 4 x 9       xy 36 y 9 y 4   Với t=6 .  2 x 2  3 y - y 2  8 x =1  x  x  8   y  y  3 13 Câu 62: Giải hệ phương trình: .  VN  , x+y>0..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> x 2  3y 0  2 y  8x 0 Điều kiện:   2 x 2  3 y - y 2  8 x =1 (1)   2 2  x  3 y  y  8 x 13 (2) Hệ. .  . a  x 2  3y 0   b  y 2  8x 0 Đặt  2a  b 1  2  a  b 2 13  Hệ. .  a 2   b 3. 2  x 2  3 y 2  x  3 y 4    2  2 y  8 x  9  y  8 x  3  .  4  x2 y  3  4  x  8 x 2  72 x  65 0 .  4  x2 y   x 1, y=1  3    x=-5, y=-7  x  1  x  5   x 2  4 x  13 0   x 2 +9y 2 +8  x  3 y  xy =42xy  1  2  x  1  y  2  x  3 y  3 0  2  Câu 63: Giải hệ phương trình:   y 2  x 0 Điều kiện:  2  1   x  3 y  -6xy+8  x  3 y  xy =42xy  3  a  x  3 y  0  b  xy 0 Đặt   3  a 2  8ab  48b2 0   a  4b   a  12b  0  a 4b, do a+12b>0.. .  x y x  3 y 4 xy  x 2  10 xy  9 y 2 0   x  y   x  9 y  0    x 9 y Suy ra: Với x=y mà y   x .

<span class='text_page_counter'>(32)</span>  2  . . x 1  x  2  x 2  3 x  3 0.  . x 1  2 . . x  2  1  x 2  3 x 0. x 3 x 3   x  x  3 0 x 1  2 x  2 1 1 1     x  3    x  0 x  2 1  x 1  2  1 1  x 3, do   x  0, x 2. x 1  2 x  2 1 Với x=3y.  2   9 y 1  y  2  81y 2  3 y  3 0  4  . . Nhận xét:. 9 y  1  y  2  81 y 2  3 y  3  9 y  1  y  2   y 2  3    3 y 2  3   77 y 2  0, y 2.. Từ đó suy ra (4) vô nghiệm.  4x 2 +4xy+y2 +2x+y-2=0  1  8 1  2 x  y 2  9 0  2  Câu 64: Giải hệ phương trình:  x. 1 2. Điều kiện: 2  1   2 x  y    2 x  y   2 0  2 x  y 1   2 x  y  2 Với 2 x  y 1  2 x  1  y 0.  2    y  y 2  9 0  3 Đặt. t  y 0. ..  3  t 4  8t  9 0   t  1  t 3  t 2  t  9 0  t 1  Với 2 x  y  2  1  2 x  y  3 0  2   8 y  3  y 2  9 0  8 y  3   y  3  y  3 0  8 y 3  . . y 3. . 2.  y  3 0. . . y  3 8  y  3.  y  3 0.  y  3   8  y  3. y  3 0  5 f  y  8  y  3.  y  3 , y -3. Xét hàm số: y 3 f ' y    y  3  f '  y  0  y  1. 2 y  3 Ta có: Từ bảng biến thiên suy ra:.  y 1   x 0.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> f  y   3;   . + Hàm số đồng biến treeb khoảng f   3 8  0 + f  y  8, y -3. + Do đó phương trình (5) vô nghiệm..

<span class='text_page_counter'>(34)</span>