De Thi Hoc Sinh Gioi Toan 7 Cac Nam

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút. Bài 1: (1,5đ). 52.69.10  65.23.153 2 8 8 3 a/ Rút gọn: 5 .6 .10  2.6 .10 b/ Biết 14 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + ... + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ) x  2y x  2y  14 Cho tỉ lệ thức 22 x a/ Tính tỉ số y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ). x2  y 2 3x  2 x 1 a/ Cho M = N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất 4 2. 3 5. . 1 2 x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5. b/ Cho A = 2x y – 7x y ; B = Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y. c/ Tìm x  N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ) Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP. a/ Chứng minh rằng:   +/ APC BAC +/ PC = QC b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP Bài 5: (1,0đ) Cho ABC có A = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút. Bài 1: (1,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:. 45.95  69.30 11 4 12 a/ 6  8 .3 3 3 3  1,5  1  11 12  4 5 5 5 5  0, 625  0,5   2,5   11 12 3 4 b/ 0,375  0,3 . Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2. Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 -. x 7. - (2m + 4)2008. c/ Tìm x biết x  2  x  4 5 Bài 3: (2,5đ). 1 1 1 1    a/ Cho a + b + c = 2009 và a  b b  c c  a 7 a b c   Tính S = b  c a  c a  b b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ 2 4 hai là 3 , giữa số thứ nhất với số thứ ba là 9 . Tìm 3 số đó. Bài 4: (2,0đ) Cho ABC có A < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2. *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ. 12. 2 .3  4 .9 5 .7  255.492 212.35  212.34 510.73  510.74    (22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 212.36  212.35 59.73  59.23.73. 0,25đ. 212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 1  10 7       212.35.(3 1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4 59.73.9 6 3 2. 0,75đ. . 2a/ 0,5đ 2b/ 0,5đ. 5. 6. 2. 10. 3. (x – 1)3 = -8  x – 1 = -2  x = -1. Vậy x = -1 9  7 x 5 x  3. . ĐK. x. 3 5 . 0,25đ 0,25đ.  9  7 x 5x  3  9  7 x 3  5 x . 0,25đ.  12 x 12     2 x 6. 2c/ 0,5đ.  x 1  x 3  (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3  x 0 x ( x  3) 0    x 9 (TMĐK) x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0  x y z x  y  z 48     4  x 20; y 16; z 12 12 12 12x = 15y = 20z  5 4 3. 0,25đ 0,5đ. 2d/ 0,5đ 3a/ Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3) 0,75đ Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} 0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5  x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z) Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} a c ac c a a c a c  a c 4a/    .  . b d bd d  b  bd b d  b d 1,0đ 2. 4b/ 1,0đ. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ. 2. (a  c).a (c  a).c a  ac c  ac   2  2 ( b  d ). b ( d  b ). d b  bd d  bd  đpcm  x x x y y y   ;   Ta có x  y  z  t x  y  z x  y x  y  z  t x  y  t x  y. 0,5đ 0,25đ. z z z t t t   ;   x  y  z t y  z t z t x  y  z t x  z t z t  x x  y  z t y   z t   M        x  y x  y   z t z t   x  y  z t. 4c/ 1,0đ 5/ 1,0đ. Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên H A Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC  AB + BM = AC – BM  2BM = AC – AB  BM = (b – c):2 AM = AB + BM  AM = (b + c):2 M Qua M kẻ HK // BC (H  AB; K  CD) MA2 = MH2 + HA2 D. K. 0,25đ 0,25đ 0,25đ B. 0,5đ 0,5đ C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> MC2 = MK2 + KC2  MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2  MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC  MA2 + MC2 = MB2 + MD2 PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút. Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau:. 212.35  46.92 6.  2 .3  8 .3 2. 4. 5. . 510.73  255.492.  125.7 . 3.  59.143. Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết.. 9  7 x 5 x  3. a/ (x – 1)3 = -8 b/ c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0đ) a 2  ac b 2  bd a c  2  2 c  ac d  bd b d a/ Cho . Chứng minh rằng: b/ Cho x, y, z, t  N. Chứng minh rằng: x y z t    M = x  y  z x  y  t y  z  t z  t  x có giá trị không phải là số tự nhiên. Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC  BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.. . Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với BAC = 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 1,0đ. 12. 2 .3  4 .9 5 .7  255.492 212.35  212.34 510.73  510.74    (22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143 212.36  212.35 59.73  59.23.73. 0,25đ. 212.34.(3  1) 510.73.(1  7) 212.34.2 510.73.( 6) 1  10 7       212.35.(3 1) 59.73.(1  23 ) 212.35.4 59.73.9 6 3 2. 0,75đ. . 2a/ 0,5đ 2b/ 0,5đ. 5. 6. 2. 10. 3. (x – 1)3 = -8  x – 1 = -2  x = -1. Vậy x = -1 9  7 x 5 x  3. . ĐK. x. 3 5 . 0,25đ 0,25đ.  9  7 x 5x  3  9  7 x 3  5 x .  12 x 12     2 x 6. 2c/ 0,5đ.  x 1  x 3  (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3  x 0 x ( x  3) 0    x 9 (TMĐK) x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0  x y z x  y  z 48     4  x 20; y 16; z 12 12 12 12x = 15y = 20z  5 4 3. 2d/ 0,5đ 3a/ Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3) 0,75đ Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} 0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5  x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z) Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} a c ac c a a c a c  a c 4a/    .  . b d bd d  b  bd b d  b d 1,0đ 2. 4b/ 1,0đ. 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ. 2. (a  c).a (c  a).c a  ac c  ac   2  2 ( b  d ). b ( d  b ). d b  bd d  bd  đpcm  x x x y y y   ;   Ta có x  y  z  t x  y  z x  y x  y  z  t x  y  t x  y z z z t t t   ;   x  y  z t y  z t z t x  y  z t x  z t z t  x x  y  z t y   z t   M        x  y x  y   z t z t   x  y  z t. 5a/ 1,0đ 5b/ 1,0đ. 0,25đ. Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên CM được ABE = ADC (c.g.c)  DC = BE CM được DC  BE Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2; BC2 = MB2 + MC2  BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2;. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 5c/ 1,0đ. 5/. BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2  BD2 + CE2 = BC2 + DE2 Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE CM được ADE = CPA  CP = AD  CP = AB    CM được P  BAK ; ABK PCK  CPK = BAK (g.c.g)  BK = KC  đpcm E Hình vẽ:. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. D. A. M. B. C. K. P. 6/. Hình vẽ. A 600. H. B. 6/ 0,5đ. C. Kẻ BH  AC ABH 300  AH  AB BAC 600 2 (1) Vì . Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + HC2  BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2  BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2  BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2)  đpcm. 0,25đ. 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:. 1  3 2  3 1/ A =. 1  7 2  7. 1 3 3 3 3    13 . 4 16 64 256  5 2 1 1 1 8 1   13 4 16 64. 2.522  9.521 5.(3.715  19.714 ) : 10 25 716  3.715 2/ B = Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 y. 1 5 - 10 đạt giá trị nhỏ nhất.. b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng. 1 11 1 a c      c 2 b d   b d thời . Chứng minh Câu 4: (2,5đ) Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Câu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1,5đ. 1b/ 1,5đ. 3 1 1 1  1 1 1    1   3 7 13 . 4  4 16 64   5 8  1 1 1  1 1  1  1 2    4 16 64 A =  3 7 13  1 3 5  .  1 2 4 8 521  2.5  9  5.714  3.7  19  : 2 10 715  7  3 5 . 2b/ 1,0đ. 2c/ 1,0đ 3/ 1,5đ. 0,5đ 0,5đ. B=. 5:. 2a/ 1,0đ. 0,5đ. 1 35 7. 0,5đ. = M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1 M = 45 y. 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ. 1 0 5. Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0;  N ≥ -10. GTNN của N là -10 Tìm được x = -2; y = 1/5 Ta có f(-2) = 0  4a – 2b + c = 0 f(2) = 0  4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0  b = 0 Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3  a = 3/5 ; c = -12/5 Vì b là trung bình cộng của a và c  b = (a + c)/2  2b = a + c. 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ. 1 1 1 1  1 1 bd      .  2bd c (b  d ) Từ c 2  b d  c 2 bd. 0,5đ 0,25đ. Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d) a c   ad = bc  b d. 4/ 2,5đ. 0,5đ. AMN cân (đ/c vừa là p/g)   BE // AC  BEM  ANM  BME  ANM (AMN cân tại A)   BME  BEM  BME cân tại B. 0,25đ. A. 0,5đ N B. D. C. E M. 4b/ BED = CND (g.c.g)  BE = NC 0,75đ  BM = NC (= BE). 0,5đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 4c/ 1,0đ 5/ 1,0đ. Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC  AB + BM = AC – BM  2BM = AC – AB  BM = (b – c):2 AM = AB + BM  AM = (b + c):2 H A Qua M kẻ HK // BC (H  AB; K  CD) 2 2 2 MA = MH + HA MC2 = MK2 + KC2 M  MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2 D K  MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC  MA2 + MC2 = MB2 + MD2. 0,5đ 0,5đ B. 0,25đ C. 0,25đ 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>