de thi hsg 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GD&ĐT. ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 Năm học 2012 - 2013. ĐỀ THI CHÍNH THỨC. Thời gian làm bài : 90 phút không kể giao đề. Ngày thi : 04 – 04 - 2013. Câu 1 ( 2,0 điểm ) . Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đẳng thức : 2(y+z) = x(yz -1) . Câu 2 ( 2,5 điểm ). Giải các phương trình sau : a). x 2x 5  2  3 b) x  x  4 x  3x  4. x 2 −4 x+1 x 2 − 5 x+1 +2=− x +1 2 x+1. 2. Câu 3 ( 1,5 điểm ) . Cho biểu thức :  x2  1 1   4 1  x4  4   x   2 2 x  x  1 x  1 1  x2  . M= .   . a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M . Câu 4 ( 2,5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Kẻ MH vuông AC, gọi F là trung điểm MH. Chứng minh : AF  BH. Câu 5 ( 1,5 điểm ) . Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . 1 Chứng minh rằng : a3 + b3 + ab  2. -----------------------------------------Hết-----------------------------------------Chữ ký giám thị 1 : ....................................Chữ ký giám thị 2 :............................ Họ tên thí sinh :................................................................Số báo danh :................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI KHẢO SÁT HSG MÔN TOÁN 8 Năm học 2012 - 2013 Thang Câu Đáp án điểm 1 Theo đề : 2(y+z) = x(yz-1) nên 2 (y+z)  (yz -1) 2,0đ => yz - 1  2(y+z) vì y,z nguyên dương. 0,25đ => 2(y+z) - yz + 1  0 Đặt M = 2(y+z) - yz + 1  0 Do y,z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử y z . 0,25đ M = 2(y+z) - yz + 1 = 5 - ( y-2)(z-2)  0 0,25đ Rõ ràng với y  5 thì M < 0. * Nếu y = 4 thì 5 - 2(z-2)  0 => z  4 => z = 4 => x lẻ => loại 0,25đ * Nếu y = 3 thì 5 - z + 2  0 => z  7 . Ta có bảng : z y x. 3 3 lẻ. 4 3 lẻ. 5 3 lẻ. 6 3 lẻ. 2z  4 5 1   N ; z 2  z 3 2z  1 2z  1 2 thì => x = 2  z 2  x 4 z 2 3 x 1   N ; z 1   z 1 z 1  z 4  x 2 * Nếu y = 1 thì. 7 3 1. * Nếu y=. 0,25đ. x. Vậy (x;y;z) = {(1;3;7) ; (1;7;3); (2;2;3) ; (2;3;2) ; (4;1;2); (4;2;1); ( 2;1;4) ; (2;4;1)} 1 2 x   1; x  2,5đ a) ĐKXĐ : 2. PT. . 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. x 2  4x 1 x 2  5x  1 1   1 0 x 1 2x 1. x 2  3x  2 x 2  3x  2  0 x 1 2x 1 1   1   x 2  3x  2     0  x 1 2 x 1  .   x 2  3x  2   3x  2  0   x  1  x  2   3 x  2  0. 0,25đ 0,25đ. 2 => x =1 ; x = 2 ; x = 3. Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ . 2  1;2;  3 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = . 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 2x 5  2  3 (*) b) x  x  4 x  3x  4. 0,5đ. 2. Đặt t = x2 + 4 x 2x 5   t  x t  3x 3 2 2  5t  9tx  10tx  18 x 0  (t  2 x)(5t  9 x ) 0. (*) .  t = 2x => x2 + 4 = 2x => PT vô nghiệm  5t + 9x = 0 => 5x2 + 20 + 9x = 0 => PT vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. a) M . 3 1,5đ. M. 0,5đ. 0,5đ. ( x 2  1)( x 2  1)  x 4  x 2  1 4 ( x 1  x 2 ) ( x 4  x 2  1)( x 2  1). x2  2 x 2 1. 0,75đ. 3 3 2 b) Biến đổi : M = 1 - x  1 . M nhỏ nhất khi x  1 lớn nhất  x2+1 nhỏ nhất => x2 = 0  x = 0 . Vậy M nhỏ nhất = -2 khi x = 0 2. 4 2,5đ. 0,75đ. 0,25đ. Dễ có ΔAHM#ΔMHC ( g-g) AM HM AM 2MF AM MF =  =  = (1) BC HC MC HC BC HC 2 AMF=BCH   Lại có : ( cùng phụ MAC ) (2) Từ (1) và (2) suy ra ΔAFM#ΔBHC ( c-g-c)   MAF=CBH . => ( góc tương ứng ) Gọi E là giao điểm của AM và BH . Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC nên AM vuông góc BC tại M. 0     Ta có : MAF+AEH=BEM+EBM=90 Vậy AF  BH.. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. 0,25đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 3 3 Ta có : a + b + ab  2 <=> a + b + ab - 2  0 1 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 2  0 1 2 2 <=> a + b - 2  0 . Vì a + b = 1 3. 5 1,5đ. 2. 0,25đ. 3. 0,25đ 0,25đ. 2. <=> 2a + 2b - 1  0 <=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1  0 ( vì b = a -1 ) <=> 4a2 - 4a + 1  0 <=> ( 2a - 1 )2  0. 0,25đ 0,25đ. 1 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a + b + ab  2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 3. 3. Thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. Hình vẽ sai không chấm bài hình. Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.. 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>