De HSG Toan 6 20162017 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi häc sinh giái líp 6 – số 1 (Thêi gian lµm bµi 120 phót). 3 2 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= 3a +22a −1. a + 2a +2 a+ 1. a, Rót gän biÓu thøc b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm đợc của câu a, là một phân số tối giản. C©u 2: (2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè abc sao cho abc=n2 −1 vµ 2. n −2 ¿ cba=¿. C©u 3: (2 ®iÓm) a. Chứng tỏ n2 + 2006 không phải lµ mét sè chÝnh phương với mọi n b. Cho n lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Hái n 2 + 2006 lµ sè nguyªn tè hay lµ hîp sè. C©u 4: (3 ®iÓm) a. Cho a, b, n  N* H·y so s¸nh a+n vµ a 11. b. Cho A = 1012 −1 ; 10 −1. B=. b+n 10 10 + 1 11 10 +1. b. . So s¸nh A vµ B.. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2006 đờng thẳng trong đó bất kì 2 đờngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đờng thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. -------------------------Hết ----------------------------. Đáp án đề số 1 C©u 1 (2đ): Tách số hạng, nhóm, đặt thừa số chung và rút gọn ta được: 3. A=. 2. a + 2 a −1 3 a +2a 2+2 a+1. =. (a+1)(a 2+ a −1) a 2+ a− 1 = ( a+1)(a2 +a+1) a2 +a+1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 ®iÓm). Rút gọn đúng cho (0,75 ®iÓm). b.Gäi d lµ íc chung lín nhÊt cña a2 + a – 1 vµ a2+a +1 ( 0,25 ®iÓm). V× a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 lµ sè lÎ, nªn d lµ sè lÎ MÆt kh¸c, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nªn d = 1 tøc lµ a2 + a + 1 vµ a2 + a – 1 nguyªn tè cïng nhau.(0, 5 ®iÓm) VËy biÓu thøc A lµ ph©n sè tèi gi¶n. ( 0,25 ®iÓm) C©u 2: (2đ) (1) abc = 100a + 10 b + c = n2-1 = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,5 ®iÓm) cba Tõ (1) vµ (2)  99(a-c) = 4 n – 5  4n – 5 ⋮ 99 (3) (0,5 ®iÓm) MÆt kh¸c: 100  n2-1  999  101  n2  1000  11 n31  39 4n – 5  119 (4) (0,5 ®iÎm) Tõ (3) vµ (4)  4n – 5 = 99  n = 26 VËy: abc = 675 (0, 5 ®iÓm) C©u 3: (2 ®) a) Gi¶ sö n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng. Khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,5 ®iÓm). + ThÊy : NÕu a, n kh¸c tÝnh chÊt (a ch½n, n lÎ hoặc ngược lại) th× vÕ tr¸i cña (*) lµ sè lÎ nªn kh«ng tháa m·n (*) (0,5 ®iÓm). + NÕu a, n cïng tÝnh ch½n hoÆc lÎ th× (a-n) ⋮ 2 vµ (a+n) ⋮ 2 nªn vÕ tr¸i chia hÕt cho 4 vµ vÕ ph¶i kh«ng chia hÕt cho 4 nªn kh«ng tháa m·n (*) (0,25 ®iÓm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phơng. (0,5 ®iÓm). b) n lµ sè nguyªn tè > 3 nªn kh«ng chia hÕt cho 3. VËy n2 chia hÕt cho 3 d 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hÕt cho 3. VËy n2 + 2006 lµ hîp sè. (0,5 ®iÓm). Câu 4: (3đ) a. (2đ) a a Ta xÐt 3 trêng hîp a =1 ; >1 và <1 (0,5 ®iÓm). b. a =1 b. b. TH1:  a=b th× a+n = b+n th× ®iÓm). TH1: a >1  a>b  a+m > b+n. b a+n a −b =1+ b+n b +n. b a+n b+n. =. a =1. b. (0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a a −b =1+ b b a− b < a− b b+ n b. mà ®iÓm).. nªn a+n < a b+n. (0,5. b. TH3: a <1  a<b  a+n < b+n. b. a+n a −b =1+ = 1− b − a b+n b +n b+n a a −b b−a =1+ =1 − b b b ¿ a+n b−a b Mà nên b+n (vế trái là 1 trừ số nhỏ, vế phải là 1 trừ b− a a ¿ b+ n b ¿. số lớn) b. (1đ) A=. (0,5 điểm).. 1011 −1 ; 12 10 −1. râ rµng A< 1 ta đặt A=. 1011 −1 = 12 10 −1. a <1 b. (0,5 điểm) Ta. lại. thấy:. (1010 +1) =¿ B= (1011 + 1). 10(1010 +1) =¿ 10(1011 +1). 1011 +10 = 1012+10. (1011 −1)+11 =¿ (1012 − 1)+11 hay B = a+11 a+11. Theo phần trên thì V©y A<B.. (0,5 điểm). C©u 5 (1đ): Mỗi đờng thẳng cắt 2005 đờng thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. ( 0,25 điểm) Mà có 2006 đờng thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm. ( 0,25 điểm) Nhng mỗi giao điểm đợc tính 2 lần  số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao ®iÓm.. ( 0,5 điểm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>