cong thuc luong giac dao ham nguyen ham tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>KIẾN THỨC BỔ TRỢ GIẢI TÍCH 12 LƯỢNG GIÁC-ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1. LƯỢNG GIÁC 1.1. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1.1.1 Cung đối nhau sin      sin  cos     cos  ; tan      tan  cot      cot  ; 1.1.2. Cung bù nhau sin      sin  cos       cos  ; tan       tan  cot       cot  ; 1.1.3. Cung phụ nhau     sin     cos  cos     sin  2  2  ;     tan     cot  cot     tan  2  2  ;  1.1.4. Cung hơn kém 2     sin     cos  cos      sin  2  2  ;     tan      cot  cot      tan  2   ; 2  1.1.5. Cung hơn kém sin       sin  cos       cos  ; tan      tan  cot      cot  ;. 2. Công thức lượng giác 2.1. Các hệ thức cơ bản sin 2   cos 2  1 ; tan  .cot  1 sin  cos  tan   cot   cos  ; sin  1 1 1  cot 2   2 1  tan 2   2 cos  ; sin  2.2. Công thức cộng cos  a  b  cos a cos b  sin a sin b cos  a  b  cos a cos b  sin a sin b sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b. tan a  tan b tan  a  b   1  tan a tan b tan a  tan b tan  a  b   1  tan a tan b 2.3. Công thức nhân đôi cos 2 cos 2   sin 2  2 cos 2   1 1  2 sin 2  sin 2 2sin  cos  ; 2 tan  tan 2  1  tan 2  2.4. Công thức nhân ba sin 3 3sin   4sin 3 3sin   sin 3  sin 3   4 3 cos 3 4 cos   3cos  3cos   cos 3  cos3   4 2.5. Công thức hạ bậc 1  cos 2 1  cos 2 sin 2   cos 2   2 2 ; 1  cos 2 tan 2   1  cos 2 2.6. Công thức tính sin  , cos  , tan  theo  t tan 2 2t 2t sin   cos   2 1 t ; 1 t2 2t tan   1 t2 2.7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a cos b   cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a sin b   cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a cos b   sin  a  b   sin  a  b   2 2.8. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cos a  cos b 2cos cos 2 2 a b a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 a b a b sin a  sin b 2sin cos 2 2 a b a b sin a  sin b 2 cos sin 2 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> sin  a  b  cos a cos b sin  a  b  tan a  tan b  cos a cos b.  e  ' e. 2.9. Các công thức thường dùng khác     sin   cos   2 sin      2 cos     4 4       sin   cos   2 sin      2 cos     4 4   3. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 3.1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp Cho y là hàm số theo u và u là hàm ' ' ' số theo x thì ta có: y x  yu .u x. 4. VI PHÂN. x. tan a  tan b .  log a x .  u  v  ' u ' v ' '  u.v  ' u '.v  u.v ' ;  k.u  k.u '  u  u ' v  uv '    v2 v ; u u  x  v v  x  (ở đây ; ) 3.3. Đạo hàm của một số hàm số thường u u  x  gặp (ở đây ) c ' 0 ( c là hằng số) '  x  1. x .  .x.     .  '. u . '.  .u. 1. .u '. '. 1 u' 1 1    2 ,  x 0     2 ,  u 0  x u  x  u ' ' 1 u' x  , u  ,  u  0 2 x  x  0 ; 2 u 3.4. Đạo hàm của hàm lượng giác  sin x  ' cos x  sin u  ' u '.cos u.  .  .  cos x  '  sin x.  cos u  '  u '.sin u. 1 u'  tan u  '  2 2 cos x cos u 1 u'  cot x  '  2  cot u  '  2 sin x sin u 3.5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít a x ' a x .ln a a u ' a u .u '.ln a.  tan x  ' .  .  . u.  e  ' u '.e. . 1 x.ln a.  log a u . 1 x. '.  ln u  ' . . u. u' u.ln a. u' u. d  f  x    f '  x  dx. 4.1. Định nghĩa. d  kf  x   kf '  x  dx 4.2. Tính chất d  f  x   C  d  f  x   d  f  x   g  x   d  f  x    d  g  x  . 4.3. Biến đổi vi phân cơ bản a.dx d  ax  C  •  x   x  x dx d   d C     1    1  ;    1 • 1  1 1   2 dx d   d   C   x x  • x dx d x d x  C • 2 x cos xdx d  sin x  d  sin x  C  • sin xdx  d  cos x   d  cos x  C  • 1 dx d  tan x  d  tan x  C  2 • cos x 1 dx  d  cot x   d  cot x  C  2 • sin x.   . '. 1. '.  ln x  ' . 3.2. Các quy tắc tính đạo hàm  u  v  ' u ' v '.  '. x. •. e x dx d e x d e x  C.  . . . .  ax   ax  a x dx d   d  C  ;0  a 1    ln a   ln a  • dx d  ln x  d  ln x  C  • x dx d  lna .log a x  ln a.d  log a x  C  x 5. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM f  x  dx F  x   C  F '  x   f  x  5.1.  5.2. Tính chất •. . . '. f  x  dx  f  x . kf  x  dx k f  x  dx , k là hằng số  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx •  •.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx •  f  x  dx F  x   C  f  t  dt F  t   C • 5.3. Sự tồn tại nguyên hàm a; b  Mọi hàm số liên tục trên đoạn  đều có a; b  nguyên hàm trên đoạn  5.4. Nguyên hàm thường gặp dx x  C du u  C. 1  1 x dx   1 x  C dx  x ln x  C x x e dx e  C . ax C ln a cos xdx sin x  C. 1  1 u du  1 u  C du u ln u  C  u 0 u u e du e  C . au C ln a cos udu sin u  C. x a dx . u a du . sin xdx  cos x  C sin udu  cos u  C dx cos 2 x tan x  C dx sin 2 x  cot x  C. du cos2 u tan u  C du sin 2 u  cot u  C. 5.5. Nguyên hàm hay gặp dx 1 x a x 2  a 2  2a ln x  a  C  .  .  . dx 2. x a dx. 2. x2  a2. x2  a2  x  C. ln. dx. x. dx. x. . . x . . 2.  a 2 dx . x 2 a x  a 2  ln x  x 2  a 2  C 2 2. 6. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN 6.1. Định nghĩa b. b. f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a) a. ,. (F(x) là 1 nguyên hàm của f(x)) 6.2. Tính chất a. TC1:. f ( x)dx 0 a b. TC2:. a. f ( x)dx  f ( x)dx a. b. b. TC3:. b.  f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx a. a. b. TC4:. a. b. k . f ( x )dx k f ( x)dx  a a b. TC5:. b. c. , kR a. f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx a. TC6: Nếu. a. c. f ( x)  g ( x), x   a; b . thì ta có. b. f ( x)dx g ( x)dx a. a. b. cos x ln tan  2  4   C. . .  a 2 dx . x 2 a x  a 2  ln x  x 2  a 2  C 2 2. x2  a2  x  C. ln. . . . 2. b. sin x ln tan 2  C. . x. . xdx 1 2 2 x 2  a 2  2 ln x  a  C xdx 1 2 2 x 2  a 2  2 ln x  a  C xdx 2 2  x2  a2  x  a  C xdx 2 2  x2  a2  x  a  C. T f ( x)dx. a 6.3. Các phương pháp tính 6.3.1. Phương pháp biến đổi trực tiếp + Biến đổi đồng nhất hoặc biến đổi vi phân để tìm F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) b. b. f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a). + Áp dụng: a 6.3.2. Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) * Dạng 1: (đặt bằng hs đa thức, phân thức, căn thức, ….) x a b u (b) - Đặt t = u(x) & đổi cận: t u (a ) - Tính dt = u’(x)dx  f ( x)dx g (t )dt b. - Tính. u (b ). T f ( x)dx  a.  g (t )dt. u (a).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> * Dạng 2: (đặt bằng hs lượng giác) x a b  - Đặt x = v(t), đổi cận: t  v    a; v    b. - Tính dx = v’(t)dt  f ( x)dx  g (t )dt b. . T f ( x)dx g (t )dt. a  - Tính 6.3.3. Phương pháp tích phân từng phần. b. b. T f ( x )dx g ( x)h( x )dx. ; du g '( x )dx u  g ( x)    dv  h ( x ) dx v h( x)dx ;  + Đặt a. b. a. b. b. a + ADCT: a + Thứ tự ưu tiên đặt u là:  sin x, cos x  x x e ,a   Lôgarít Đa thức. 6.3.4. Phương pháp tìm hệ số bất định  P ( x) T  dx Q ( x)  Giả sử cần tính: , với bậc P(x)  bậc Q(x) P ( x) R( x)  A( x )  Q( x) Q( x) + Ta viết: . mx 2  nx  p T0  3 dx 2  ax  bx  cx  d. Dạng 2: Ta phân tích:  MS a  x  x1   x  x2   x  x3  ;  2  MS a  x  x1   x  x2   3  MS a  x  x1  ;  2  MS  x  x1  ax  ex  f Chọn A, B, C sao cho: mx 2  nx  p A B C    a  x  x1   x  x2   x  x3  x  x1 x  x2 x  x3. . mx 2  nx  p a  x  x1 . 2. x. mx 2  nx  p. udv uv a  vdu. . . . P ( x) R ( x) dx A( x)dx   dx  Q( x)   Q( x)    R ( x) T0  dx Q ( x )  + Tính , bậc R(x) < bậc Q(x).  mx  n T0  2 dx ax  bx  c  Dạng 1:  MS a( x  x1 )( x  x2 )    MS a( x  x0 ) 2  2  MS ax  bx  c,    0  Chọn A, B sao cho:  mx  n A B  a( x  x )( x  x )  x  x  x  x ; 1 2 1 2   mx  n A B   ;  2 2 x  x a ( x  x ) ( x  x ) 0 0 0   mx  n A  2ax  b   B  2  ax 2  bx  c  ax  bx  c. a  x  x1 . x2 . . 3. . A B C   2 x  x1  x  x1  x  x2. A B C   ; 2 3 x  x1  x  x1   x  x1 . mx 2  nx  p.  x  x1   ax. 2. .  ex  f. . . A Bx  C  2 x  x1 ax  ex  f. . a sin x  b cos x T0  dx c sin x  d cos x . Dạng 3: Ta chọn A và B sao cho: TS  A  MS  ' B  MS  , a sin x  b cos x .  A   a cos x  b sin x   B  a sin x  b cos x  6.4. Ứng dụng của tích phân a  b 6.4.1. Tính diện tích hình phẳng:   y  f ( x); y 0; x a; x b : Diện tích D1: b. S1  f ( x) dx a. Diện tích D2 . y  f ( x); y  g  x  ; x a; x b b. S 2  f ( x )  g ( x ) dx a. Diện tích D3:.  x  f ( y ); x 0; y a; y b : b. S3  f ( y ) dy a. Diện tích D4 . x  f ( y ); x  g  y  ; y a; y b b. S4  f ( y )  g ( y ) dy. a : 6.4.2. Tính thể tích của khối tròn xoay.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> + Thể tích khối sinh ra khi quay quanh Ox  y  f ( x); y 0; x a; x b , hình phẳng D1: b.  a  b. 2. V1   f ( x)  dx. a là: + Thể tích khối sinh ra khi quay quanh Ox y  f ( x); y  g  x  ; x a; x b h.phẳng D2: . b. 2. 2. V2   f ( x)    g ( x ) dx. a  b a , là: + Thể tích khối sinh ra khi quay quanh Oy  x  f ( y ); x 0; y a; y b , hình phẳng D3: b.  a  b  là:. 2. V3   f ( y )  dy a. + Thể tích khối sinh ra khi quay quanh Oy x  f ( y ); x  g  y  ; y a; y b  a  b  D4:  , b. là:. 2. 2. V4   f ( y )   g ( y )  dy a.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>