DETHI HSG LOP 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá. Kú thi chän HäC SINH GIáI CẤP TRƯỜNG. Năm học: 2015-2016 Môn thi: To¸n - LỚP : 12 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(4 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 1 a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau  cos 2x  2 sin(x  )  2 4 1 1  sin x a) b) cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x Bài 4: (2điểm) Giải hệ phương trình  2y(1  13y 2 )  x(1  x 2 ) 3xy(x  y)  2 2  x (x  2) 2(1  4y) Bài 5(2 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau .Tính xác suất để các chữ số 0,1,2 có mặt trong số viết được . Bài 6:(2 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức p(x) 1  x  2(1  x) 2  ...  n(1  x) n , n  N* thu được đa thức p(x) = a + a x+ … +a xn o 1 n 1 7 1  3  2 Tính hệ số a8 biết n thỏa mãn Cn Cn n. Bài 7(2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân ở A có H(2;1) là trung điểm của BC, Tìm tọa độ điểm A.. AB . 5 BC 2 và đường thẳng AC có phương trình 2x – y +2 = 0.. 3a Bài 8:(4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SC  (ABCD) , SC = 2 , đáy ABCD là o  hình thoi có cạnh bằng a 3 và ABC 120 .. a)Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BD. ……………..HÕt………………….. Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trêng thpt lª v¨n linh. Năm học: 2015-2016 Môn thi: To¸n – LỚP : 12. BÀI 1a. THANG ĐIỂM. ĐÁP ÁN y = x4 – 2mx2 + 1 a)Với m = 1 : y = x4- 2x2 + 1© +) Tập xác định : D = R +) Sự Biến thiên: Bảng biến thiên  x y’  y. limy  x  . -1 0. 0.25.  x 0  ;y’ = 4x3 – 4x ; y’ = 0  x 1. 0 0 1. 1 0. 0.25.  . 0. 0. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1;0) và ( 1;  ) , nghịch biến trên (   ;-1) và (0; 1) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCĐ = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , yCT = 0 +) Đồ thị : ( C) cắt Oy tại (0;1) ( C) cắt Ox tại (-1;0) và (1;0) Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng. 1b. 0.5. 0.5. 0.5. y = x4 – 2mx2 + 1  x 0  2 Ta có: y’ = 4x3 – 4mx; y’ = 0  x m (*). 0.5. 0.5 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi pt y’ = 0 có ba nghiệm phân 0.25 biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0  m> 0 Với m >0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;1), B(- m ; 1-m2) 0.25 C( m ; 1-m2) 2 Phương trình đường thẳng BC là y + m – 1 = 0 0.5 Theo bài ra SABC= 4 2 . . 1 BC.d(A, BC) 4 2 2. m.m 2 4 2  m5 32  m 2 .Vậy m = 2thỏa mãn bài toán. 2a  x   k2 (k  Z) 2 Điều kiện: Khi đó. cos 2x .  2 sin(x  )  2 4 1 1  sin x. 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  2cos 2 x  1  (sin x  cos x)  2 1  sin x. 0.75   x   n  cos x 0  2  2 cos 2 x  cos x 0     (n  Z)  cos x  1  x   n2  2  3. 0.25. Đối chiếu điều kiện ta đợc nghiệm của phơng trình là . 2b.   n2, 2.  x=  +n2 3. (n  Z). x= cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x  cos 6x  2 cos 6x.sin x  2 cos 2 x  1 2 cos 5x.sin 2x  cos 6x  sin 7x  sin 5x  cos 2x sin 7x  sin 3x  cos 6x  cos 2x  (sin 5x  sin 3x) 0. 0.5 1.0.  cos 4x 0  2 cos 4x(cos 2x  sin x) 0    cos 2x sin x cos(   x) 2   k   x 8  4   k2  x   (k  Z)  6 3   x    k2 2 . 4. 0.5.  2y(1  13y 2 )  x(1  x 2 ) 3xy(x  y) (1)  2 2 (2)  x (x  2) 2(1  4y) 3 3 Ta có : (1)  (x  y)  (x  y) 27y  3y (*) Xét hàm số f(t) = t3 +t ( t  R) có f’(t) = 3t2+ 1 > 0 với mọi t  f(t) là hàm số đồng biến trên R mà (*) có dạng f(x+y) = f(3y) nên x + y = 3y  x= 2y . thay vào (2) ta được.  x 2  2x  2 2  24 2   x 2 2  x  2x  2. 5. 0.5 0.5 0.25 0.25. x4 = 2x2+4x + 2 = 2(x+1)2 Từ đó kết luận nghiệm của hệ pt Gọi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là abcdef 5. +)Có 9cách chọn a,có A 9 cách chọn bộ bcdef  n() 9. A. 0.75. 5. = 136080 Gọi A là biến cố : “số được viết có mặt các chữ số 0,1,2” +) Có 5 vị trí để xếp chữ số 0 ,có 5 vị trí xếp chữ số 1,có 4 vị trí xếp chữ số 2 , có 6. 0.5. A. 3 7. 9. 0.75 0.5. 3. cách chọn 3 chữ số còn lại  n(A) 5.5.4.A 7 21000 .. 25 Vậy P(A) = 162 n 3 1 7 1  n 9  3   2 Cn Cn n  n 2  5n  36 0. 1.0 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Suy ra a8 là hệ số của x8trong biểu thức 8(1-x)8 + 9(1-x)8 . 8. 0.5. Gọi E là hình chiếu của H trên AC .Ta có : HE = d(H,AC) = 5. 0.5. Do đó a8 =8. C 7. AC =. AB . 8 8.  9C 9 89. 5 BC 2 =. 0.5. 5 HC. 0.5. 2 2 AH = AC  HC  2HC. 1 1 1 5   2  HC   AH 5 2 2 2 Trong tam giác AHC : AH HC HE. 0.5. Gọi A(x;y) , tọa độ điểm A thỏa mãn 2x  y  2 0 A  AC    2 2 AH5 (2  x)  (1  y) 25.  x 2; y 6   x  2; y  2. Vậy A(2;6) , hoặc A(-2;-2) 8a Ta có : SABCD. 0.5. 3 3a 2 = 2 SABC = AB .AC sin120o= 2. 0.5. 3. 1 3 3a SC.SABCD  4 VS.ABCD = 3 (đvtt). 8b. Gọi H là hình chiếu của C trên AB ,ta có. 0.5.  AB  CH  AB  (SCH)  AB  SH   AB  SC(do SC  (ABCD))  ((SAB), (ABCD)) (CH,SH) SHC. Do đó. 3a CBH o Trong tam giác BCH : CH = BC.sin = BC sin60 = 2 Tam giác SCH có SC = CH , SC  CH(do SC  (ABCD))   SCH o o  vuông cân tại C  SHC 45 . Vậy ((SAB), (ABCD)) 45. 8c. 0.5 0.5. Kẻ OI  SA . Ta có BD AC  BD  (SAC)  BD  OI   d(SA, BD) OI BD SC(do SC  (ABCD)) 3 5a  SA  SC  AC  2 Theo định lí côsin trong tam giác ABC  AC= 3a OI OA 3 5a    OI  SCA đồng dạng với OIA SC SA 10 2. 2. 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>