Tài liệu Chương X: XỬ LÝ KẾT QUẢ ĐO docx

Chương X XỬ LÝ KẾT QUẢ ĐO
- Khi thực hiện một phép đo, cho dù dụng cụ đo có chính xác đến mức nào,
phương pháp đo có hợp lý đến đâu, người đo có cẩn thận đến mức nào thì kết quả đo nhận
được cũng chỉ là một đại lượng gần đúng với kích thước thực của nó. Bên cạnh đó, sau
mỗi lần đo sẽ cho một kết quả đo nhận được là khác nhau.
- Sự sai khác giữa kết quả đo nhận được từ giá trị chỉ thị trên dụng cụ đo với giá
trị thực của nó được gọi là sai số đo ∆x
∆x = x – Q
Trong đó: ∆x – sai số đo
x – giá trị chỉ thị trên dụng cụ đo
Q – giá trị thực của đại lượng đo
- Khi ∆x càng bé, độ chính xác của phép đo càng cao, phản ánh mức đọ gần
đúng của kết quả đo với giá trị thực của nó càng cao.
- Trong sai số đo ∆x bao gồm hai thành phần: sai số ngẫu nhiên và sai số hệ
thống.
-
10.1 – Sai số ngẫu nhiên và các thông số đặc trưng
10.1.1 - Khái niệm về sai số ngẫu nhiên
- Sai số ngẫu nhiên là loại sai số do những nguyên nhân có tính chất ngẫu nhiên gây ra,
khi đó không biết chắc được nguyên nhân gây ra sai số, độ lớn, dấu và cả quy luật biến
thiên của nó.
- Sai số ngẫu nhiên xuất hiện do nhiều yếu tố ngẫu nhiên xảy ra trong quá trình đo: ảnh
hưởng do sự không đồng nhất về lực đo, ảnh hưởng của khe hở giữa các chi tiết của dụng
cụ đo, do mỗi dụng cụ đo đều có sự sai số về hình dáng và vị trí giữa các khâu trong dụng
cụ đo, do sự không chính xác của việc gá đặt chi tiết so với thiết bị đo
- Thành phần sai số ngẫu nhiên là thành phần quyết định độ chính xác đạt được cuả phép
đo. Nó tồn tại trong mọi phép đo và không loại trừ được. Tuy nhiên, bằng lý thuyết của xác
suất thống kê có thể xác định được ảnh hưởng của loại sai số này và có thể giảm ảnh hưởng
của chúng vào kết quả đo.
- Để nghiên cứu tính chất của sai số ngẫu nhiên người
ta tiến hành hàng loạt phép đo lặp lại trong cùng một điều kiện đo. Sau khi so sánh các

thực nghịêm, phân tích tính chất các phép thử, có thể rút ra các nhận xét sau:
+) Trong cùng một điều kiện đo nhất định, trị số tuyệt đối của sai số ngẫu nhiên không
vượt quá một giới hạn nhất định
+) Sai số có trị tuyệt đối nhỏ có cơ hội xuất hiện nhiều hơn các sai số có trị tuyệt đối lớn.
162
+) Các sai số có trị tuyệt đối bằng nhau có cơ hội xuất hiện như nhau
- Dựa vào 3 tính chất trên ta có thể nghiên cứu quy luật
phân phối của sai số ngẫu nhiên, tính toán được các trị số giới hạn của sai số thông qua
việc tính toán các thông số đặc trưng của phân bố.
10.1.2 - Các thông số đặc trưng
- Quy ước:
+) Các giá trị chỉ thị kết quả đo: x
1
, x
2
, , x
n
sau n lần đo
+) Giá trị thực của đại lượng đo: Q
+) Giá trị trung bình của loạt đo:
X
+) Số lần đo trong loạt: n
+) Số loạt đo: k
− Sai số trong ngành chế tạo máy tuân theo quy luật phân
bố chuẩn. Để biểu diễn trung tâm phân bố người ta sử dụng giá trị trung bình số học hay
còn gọi là kỳ vọng toán học là giá trị tin cậy nhất:
[ ]
1 2 1

n

i
n i
x
x
x x x
X
n n n
=
+ + +
= = =
∑
- Nếu không có sai số hệ thống thì
X
chính là giá trị
thực của x (Q)
− Sau mỗi lần đo x
i
khi chỉ xét đến thành phần sai số ngẫu
nhiên ta có một sai số đo so với Q, - kí hiệu δ được gọi là sai số dư của lần đo i:
δ
i
= x
i
- Q (*)
-
Khi đó tương ứng ta có các thành phần sai số:
δ
1
, δ
2

, , δ
n
-
Theo tính chất thứ 3 của sai số thì:
[ ]
1 2 1

lim lim lim 0
n
i
n i
n
n n n
δ
δ
δ δ δ
=
→∞
+ + +
= = =
∑
- Khi đó sai số trung bình xác định theo công thức:
[ ]
n
δ
λ
=
Từ công thức (*) ta có thể viết được: x
i
= Q - δ

i
. Lấy tổng n giá trị này ta có:
[x
i
] = n.Q - [δ
i
].
Chia cả 2 vế cho n ta có:
[ ]
n
QX
δ
−=
Nhận thấy rằng khi n → ∞ thì
[ ]
n
δ
→ 0 ↔
QX →
. Vậy khi số lần đo n là lớn thì giá trị
trung bình của loạt kết quả đo sẽ tiến tới giá trị thực của đại lượng cần đo.
163
- Trong kỹ thuật, để đánh giá độ phân tán của phép đo, ta dùng chỉ tiêu sai lệch
bình phương của đại lượng đo x:
nn
n
i
i
n
∑

=
=
+++
=
1
2
22
2
2
1

δ
δδδ
δ
- Khi tiến hành n phép đo, ta có thể ghép nhóm các số liệu giống nhau (k nhóm).
Khi đó ta có:
22
2
21
2
1
1
22
22
2
11


k
kkk

n
m
n
m
n
m
n
mmm
δδδ
δδδ
σ
+++=
+++
=
∑
=
=+++=
n
i
iikk
pppp
1
222
22
2
11

δδδδ
trong đó: p
i

= m
i
/n - tần suất xuất hiện các kích thước rơi vào khu vực có sai số là δ
i
.
σ - độ sai lệch bình phương trung bình: đặc trưng cho mức độ phân tán của kích
thước quanh giá trị trung bình và dùng để xác định độ đo của độ phân tán.
Trên cơ sở 2 đại lượng
X
, σ xây dựng được quy luật phân bố sai số đo như sau (đường
số 1):
y
1
max
2
max
y
σ
1
2
σ
X
1
Hình 10.1
- Nhận thấy đường cong trơn biểu diễn bằng hàm y = f(δ) được gọi là hàm mật độ
xác suất hay còn gọi là hàm phân bố chuẩn Gauss có phương trình mô tả:
2
2
2
.2

1
σ
δ
σπ
−
=
ey
- Nhận xét:
+) Hàm đạt cực đại tại δ = 0,
πσ
2
1
max
=
y
164
+) Khi σ giảm, y
max
sẽ tăng, nghĩa là khi σ nhỏ, mật độ xác suất sẽ tăng, chứng tỏ phép
đo có độ chính xác cao. Do đó, σ được dùng làm một chỉ tiêu đánh giá độ chính xác khi
đo.
+) Hàm đạt điểm uốn tại δ = ±σ, nghĩa là σ cũng là cũng là một trị số sai số, có thể xác
định được trên trục kích thước, có thứ nguyên của đại lượng đo. Khi σ tăng, đường cong
sẽ thấp và doãng rộng ra. Khi σ giảm đường cong sẽ cao và hẹp lại. σ đặc trưng cho mức
độ phân tán của kích thước quanh giá trị trung bình và dùng làm thông số đo mức độ phân
tán. Vì thế, σ còn được gọi là sai số chuẩn.
- Thực chất của quá trình đang khảo sát là ước lượng điểm bao gồm xác định
X
,
σ , n. Khi đó chỉ cho biết khoảng mà giá trị thực nằm trong đó chứ không cho biết xác suất

giá trị thực nằm trong đó là bao nhiêu.
- Khi số lần đo n → ∞, khi đó đại lượng ngẫu nhiên x tuân theo quy luật phân bố
chuẩn, khoảng đáng tin cậy khi đó được định nghĩa: ∆x = K. σ
X

Với k - hệ số phụ thuộc độ tin cậy P( xác suất tin cậy)
- Thực tế thì n thường 2 ≤ n ≤ 20 do đó x tuân theo quy luật phân bố Student
trong đó ∆x = h
st
- σ
X
. Khi đó kết quả đo được tính: x =
X
± ∆x
10.2 – Sai số hệ thống và các phương pháp khắc phục sai số hệ thống
10.2.1 - Khái niệm về sai số hệ thống
- Là thành phần sai số của phép đo có giá trị không đổi hoặc thay đổi có quy luật khi đo
nhiều lần 1 đại lượng đo .
- Sai số hệ thống hoặc làm tăng kết quả của một phép đo hoặc giảm kết quả xuống cùng
một trị số.
- Ví dụ :
+) Trong quá trình tiến hành đo lường và kiểm tra chi tiết, nếu đồ gá kiểm tra tồn tại sai số
(ε
đg
) sẽ làm cho kích thước thực của chi tiết gia công sẽ thay đổi một đại lượng đúng bằng
sai số do đồ gá gây ra.
- Nguyên nhân gây ra sai số hệ thống thường do: nguyên tắc đo, chuẩn đo, chuẩn gá hoặc
dụng cụ đo
- Trong mỗi phép đo khó tránh khỏi có sai số hệ thống trong kết quả đo, là do
những nguyên nhân không thể khắc phục hết được. Đặc biệt trong nhiều trường hợp sai số

hệ thống có giá trị lớn hơn cả thông số độ chính xác của chi tiết gia công tính được.
- Do các nguyên nhân gây ra sai số, sai số hệ thống có các quy luật biến thiên
khác nhau và có thể chia ra làm hai nhóm:
+) Sai số hệ thống không đổi: là sai số có trị số không đổi trong một điều kiện đo nhất
định trong suốt miềh đo. Ví dụ: sai số điểm "0" của dụng cụ đo, sai số của mẫu đo, sai số
mẫu điều chỉnh
165
+) Sai số hệ thống biến đổi: là sai số hệ thống có giá trị thay đổi trong phạm vi đo. Ví dụ:
sai số tay đòn, sai số bước răng, bước ren trong cơ cấu truyền động, do độ lệch tâm của
các khâu quay
- Do đặc điểm của sai số hệ thống dẫn tới ảnh hưởng của nó tới quy luật phân bố
ngẫu nhiên cũng khác nhau
10.2.2 - Phương pháp khắc phục sai số hệ thống
- Vì thành phần sai số hệ thống có giá trị khá lớn mà lại chủ động nắm được nên phải loại
bỏ ra khỏi kết quả đo.
- Với thành phần sai số hệ thống, bằng nhiều biện pháp khác nhau có thể chủ động nắm
được nguyên nhân gây ra sai số, trị số, dấu, quy luật xuất hiện và đề ra phương pháp khử.
+) Ví dụ: việc loại trừ sai số hệ thống có thể tiến hành bằng việc quan sát cùng một đại
lượng bằng nhiều phương pháp khác nhau hoặc quan sát một vài mẫu của một vài đại
lượng đã biết, dùng cùng một loại dụng cụ đo trước khi sử dụng.
- Từ đó ta đề ra một số phương pháp như sau:
* Phương pháp hiệu chỉnh
- Khi chủ động nắm được trị số và dấu của sai số tại miền đo xác định, để khắc
phục người ta dùng phương pháp này. Quá trình hiệu chỉnh được tiến hành bằng cách đưa
vào một lượng điều chỉnh hay một hệ số hiệu chỉnh ( đại lượng bù) của sai số tại miền đo
tương ứng.
- Phương pháp này thừng được áp dụng cho sai số hệ thống không đổi, thường do
chế tạo, lắp ráp và điều chỉnh gây ra. Thường trị số sai số và dấu của nó được ghi trong
phiếu kiểm định xuất xưởng của dụng cụ đo.
* Phương pháp so sánh với mẫu:

- Phương pháp này được sử dụng khi tiến hành đo so sánh. Đại lượng đo được
đem so sánh với đại lượng mẫu có cùng kích thước nhưng có độ chính xác cao hơn. Kết
quả đo cho sai lệch tuyệt đối giữa kích thước đo với kích thước mẫu. Như vậy trong cùng
một điều kiện đo, mọi yếu tố có thể ảnh hưởng tới kết quả đo của chi tiết đo và mẫu là như
nhau, do đó trong kết quả cuối cùng sai số sẽ được khử. Với phương pháp này các sai số
do vị trí cơ cấu, do điều kiện đo sẽ được loại trừ.
* Phương pháp bù:
- Do có thể phân tích được nguyên nhân xuất hiện sai số, nắm được quy luật biến
thiên của nó ta có thể tạo ra quy trình đo, sử dụng các thủ thuật đo để sao cho sai số được
xuất hiện với dấu trái nhau trong các lần đo và do đó trong kết quả cuối cùng sai số hệ
thống sẽ được loại trừ.
- Có các phương pháp bù khác nhau theo nguyên nhân và theo quy luật xuất hiện
sai số:
+) Bù theo dấu của sai số: là phương pháp bù dựa vào phương tác dụng của sai số để có
thủ thuật đo thích hợp.
166
+) Bù theo nguyên nhân gây ra sai số: khi chủ động nắm được nguyên nhân gây ra sai số:
do đặc tính phi tuyến của cơ cấu có thể thiết kế đưa vào các khâu bù sai số nhằm làm
tuyến tính hóa đường đặc tính của chuyển đổi như dùng khâu bù có đặc tính ngược như sin
- sin ngược, tang - tang ngược, sin - tang hoặc dùng các chuyển đổi kiểu vi sai
+) Phương pháp nửa chu kỳ: thường áp dụng cho các sai số có chu kỳ bằng cách tìm điểm
đặt quan sát đọc số thích hợp để trong kết quả tính toán các sai số chu kỳ sẽ khử nhau. Ví
dụ: trong hệ thống đo góc, để tránh sai số do độ lệch tâm của bảng chia với tâm quay kim
chỉ thị, ta bố trí 2 cơ cấu đọc số lệch nhau 180
0
để loại được sai số chu kỳ gặp phải do độ
lệch tâm gây ra.
10.3 – Sai số thô và các chỉ tiêu loại sai số thô:
10.3.1 - Khái niệm về sai số thô
- Sai số thô là loại sai số mà giá trị lớn hơn hẳn các giá trị thông thường và nằm

ngoài quy luật xuất hiện của sai số đo.
- Nguyên nhân: do đọc nhầm, ghi nhầm, do các đột xuất xuất hiện trong điều kiện đo
như: kẹp cơ cấu, điện áp tăng giảm đột ngột
- Việc có loại hay không số liệu mang sai số thô ảnh hưởng rất lớn đến độ chính xác
của kết quả đo. Vì vậy ta gọi giá trị nhảy là giá trị nghi ngờ và phải có biện pháp để kiểm
tra sự nghi ngờ này. Khi đó người ta đưa ra các chỉ tiêu khác nhau tùy theo yêu cầu về độ
tin cậy của việc đánh giá để loại bỏ các số liệu nghi ngờ mang sai số thô.
10.3.2 - Các chỉ tiêu loại trừ sai số thô
a/ Chỉ tiêu 3
σ
- Trong loạt số liệu đo x
1
, x
2
, , x
k
, , x
n
, nếu x
k
là số liệu nghi ngờ, với sai
lệch giới hạn cho trước ε = 3σ, xác xuất làm sai lệch v
k
= x
k
- X > ε là: P(
X
x
k
−

> 3σ)
= 0,27% là không đáng kể, thì khi đó hầu hết như chắc chắn x
k
không nằm trong quy luật
phân bố của sai số. Như vậy, các giá trị x
k
có v
k
> ε= 3σ đều bị loại khỏi bảng số liệu với
độ tin cậy là 99,73 %.
* Phương pháp tiến hành kiểm tra theo chỉ tiêu 3
σ
.
- Tạm bỏ x
k
ra khỏi bảng số liệu, tínhX và σ với số liệu còn lại. Chẳng hạn,
nếu ta nghi ngờ số liệu x
k
trong tập số liệu đo thì:
X
=
1
1
1
−
∑
−
=
n
n

i
i
x
;
( )
2
1
1
2
−
=
∑
−
−
=
n
i
n
i
x
X
x
σ
Tính: ε = 3σ và v
k
= x
k
- X.
- So sánh v
k

với ε: nếu v
k
> ε thì v
k
là sai số thô, v
k
bị loại bỏ. nếu v
k
< ε thì v
k
là sai số thông thường, x
k
không mang sai số thô và phải đưa lại vào tập số liệu để tính lại
X và
σ
x
với cả n số liệu.
b/ Chỉ tiêu Sovino:
167
- Tương tự như trên, nếu ta qui định một sai lệch giới hạn cho phép ε = zσ thì
khi x
k
có mang sai số nếu có v
k
= x
k
- X > zσ, xác suất xuất hiện x
k
ngoài phạm vi cho
phép sẽ là β với:

β = 1 - 2Φ(z) =
n
k
Với:
+) α = 2Φ(z) – là xác suất để x xuất hiện trong phạm vi cho phép
σε
z
±=±
.

n
k
- nhỏ tùy ý quy định.
Thường số lần đo n ≥ 20, chọn k =
2
1
thì coi xác suất
n
k
=
n2
1
= 0.
- Thông thường người ta quy định β=
n
k
theo yêu cầu về độ tin cậy của phép
đo, chính là α = 2Φ(z), từ đó, suy ra sai số lần đo cần thiết n để đảm bảo độ chính xác của
phép đo.
- Sôvinô lập ra bảng quan hệ giữa khoảng tin cậy ε = zσ với số lần đo n trong

bảng 3-5 làm chỉ tiêu loại số liệu mang sai số thô.
- Phương pháp kiểm tra sai số theo chỉ tiêu Sôvinô: tiến hành tạm tính
x
và σ
với tập số liệu còn lại; tính v
k
= x
k
- X. Dựa vào số lần đo còn lại n = n
1
tra bảng ứng với
dòng có n = n
1
xác định được trị số z tiêu chuẩn. So sánh z
k
với z. Nếu z
k
> z thì số liệu x
k
có mang sai số thô và cần được loại bỏ khỏi bảng số liệu.
Bảng chỉ tiêu Sôvinô
n
z =
σ
ε
n
z =
σ
ε
5

6
7
8
9
10
12
14
16
18
1,68
1,73
1.79
1,86
1,92
1,96
2,03
2,10
2,16
2,20
20
22
24
26
30
40
50
100
200
500
2,24

2,28
2,31
2,35
2,39
2,50
2,58
2,80
3,02
2,29
c/ Chỉ tiêu Romanopxki:
- Hai chỉ tiêu loại sai số thô nêu trên chỉ chính xác khi số lần đo lớn. Với số lần đo
nhỏ, tham số độ phân tán thực nghiệm không đủ độ chính xác khi đại diện cho độ phân tán
chung nên không thể dùng hai chỉ tiêu trên. Trong trường hợp này người ta dùng hàm mật
độ Studient f = S (t, k) để mô tả phân bố của biến ngẫu nhiên có dung lượng bé.
- Giả sử ta có x
1
, x
2
, , x
k
, , x
n
.
Nếu x
n
là số liệu nghi ngờ, tạm bỏ x
k
và tính:
168
X

=
1
1
1
−
∑
−
=
n
n
i
i
x
;
σ
X
=
( )
2
1
1
2
−
∑
−
−
=
n
i
n

i
X
x
Sau đó khảo sát sai lệch v
k
= x
k
- X. Khi chuẩn hoá thành tham số phân bố Studient, có:
t =
σ
x
k
X
x
∆
−
=
σ
x
k
v
∆
v
i
= ∆x
i
= x
k
- X
D(v

i
) = D(∆x
i
) = D(x
1
) + D(
X
)
Do đó ta có:
σ
2
x∆
=
σ
2
x
+
n
x
σ
2
Suy ra:
σ
x∆
=
n
n 1−
.
σ
x

Trị số t là một tham số của hàm phân phối Studient S(t, k), với k = n-1 gọi là số bậc tự
do của phân phối. Dùng tích phân hàm S(t, k) có thể tính được xác xuất làm xuất hiện v
k
là
sai số thô nếu quy định phạm vi sai số giới hạn cho phép:
± ε
β
= ± t
β
. σ
∆
x
P(
ε
β
≥− X
x
k
) = 1 - 2Φ
(t, k)
= β
Vậy: β = P(
ε
β
≥− X
x
k
) = 1 - 2
dS
tkt

t
∫
β
0
),(
Nếu ta ký hiệu:
t =
σ
x
k
v
∆
; t
β
=
β
ε
σ
β
x
; t
’
β
=
σ
ε
β
x
Suy ra t
’

β
để tránh phải phân tích
σ
x
∆
khi đó:
t
’
β
=
n
n
t
1+
β
→ t
β
= t
β
.σ
∆
x
= t
’
β
.σ
x
Và: β = P(
ε
β

≥− X
x
k
) = 2
dS
t
t
k
t
∫
+∞
β
),(
1
Nghĩa là có thể xác định được phạm vi ± ε
β
để v
k
là sai số thô ứng với số lần đo n và
xác xuất loại bỏ cho trước β.
10.4 - Xử lý kết quả đo gián tiếp:
-
Trong thực tế phương pháp đo gián tiếp được ứng dụng rộng rãi hơn. Khi đó
phương trình biểu diễn quan hệ giữa đại lượng cần đo và các đại lượng được đo trực tiếp
x
1
, x
2
, , x
m

là: y= f(x
1
, x
2
, , x
m
)
-
Vì các đại lượng x
i
là các đại lượng được đo trực tiếp, x
i
được biểu diễn
thông qua X
i
và ∆X
i
là

các sai số của chúng, được đo qua độ chính xác khi đo σ
x
. Độ lớn
169
của ∆X
i
phụ thuộc vào độ chính xác khi đo và số lần đo n. Bài toán cần đặt ra là xác định
mối quan hệ giữa X
i
, ∆X
i

và các tham số phân bố của đại lượng đo gián tiếp Y và σ
y
10.4.1 - Bài toán thuận
-
Nội dung bài toán: với các kết quả đo trực tiếp ta có x
1
, x
2
, , x
m
tương ứng
với độ chính xác khi đo σ
1
, σ
2
, , σ
m
. Cần xác định kết quả đo gián tiếp Y và σ
y
.
-
Để giải bài toán thuận, ta áp dụng công thức Taylor tính sai số của hàm số
theo sai số của đối số: y= f(x
1
, x
2
, , x
m
)
∑

=
∆
∂
∂
=∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆∆∆=∆
m
i
i
i
m
m
m
x
x
f
x
x
f
x
x
f

x
x
f
xxxfy
1
2
2
1
1
21
), ,,(
-
Giả sử rằng mỗi đại lượng x
i
được đo n lần. Khi đó:
y
j
= y + ∆y
j
với j=1 ÷ n
Vậy y
j
= f(x
1
, x
2
, , x
m
) +
∑

=
∆
∂
∂
m
i
ij
i
x
x
f
1
và
ij
m
i
i
n
j
j
x
x
f
ny
∆
∂
∂
+=
∑∑∑
= ==

n
1j 1
m21
1
) x , , x,f(x.
-
Dựa vào tính chất giao hoán của phép cộng, có:
∑ ∑∑
= ==
∆
∂
∂
+=
m
1i 1
m21
1
) x , , x,f(x.
n
j
ij
i
n
j
j
x
x
f
ny
-

Chia cả 2 vế cho n ta có:
n
y
y
n
j
j
∑
=
=
1
;
n
x
n
j
ij
x
i
∑
=
∆
=
1
λ
∑
=
∂
∂
+=⇒

m
1i
m21
. ) x , , x,f(x
i
x
i
x
f
y
λ
y
= f(x
1
+ λ
1
, x
2
+ λ
2
, , x
m
+ λ
m
)
Trong đó λ
xi
là sai số trung bình và λ
xi
=

i
X
- x
i
→ x
i
+ λ
xi
=
i
X
Khi đó ta có:
y
= f(
m
XXX , ,,
21
) = f(
i
X
)
-
Từ đó ta có kết luận rằng: " Muốn tính giá trị trung bình của giá trị đo gián
tiếp ta chỉ việc thay giá trị trung bình của các đại lượng đo trực tiếp vào phương trình quan
hệ giữa chúng với nhau"
Để xác định độ chính xác của các đại lượng đo gián tiếp, xuất phát từ công thức tính sai số
hàm:
mj
m
jjj

x
x
f
x
x
f
x
x
f
y ∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
2
2
1
1
(*)
170
với
1
.
1
2

−
=
∑
=
n
y
n
j
j
Y
λ
σ
Bình phương 2 vế (*) rồi lập tổng với
0=∆∆
∂
∂
∂
∂
∑
ki
ki
xx
x
f
x
f
theo tímh chất 3 của sai số với
i # k. Ta có:
∑∑∑∑
∆









∂
∂
++∆








∂
∂
+∆









∂
∂
=∆
=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2

mj
m
jj
n
j
i
x
x
f
x
x
f
x

x
f
y
-
Chia cả 2 vế cho (n-1):
1
1
2
2
−
∆
=
∑
=
n
y
n
j
j
Y
σ
;
1
1
2
2
−
∆
=
∑

=
n
x
n
j
ij
xi
σ
2
1
2
2
1

1
∑
=








∂
∂
=









∂
∂
++








∂
∂
=⇒
m
i
x
i
x
m
xY
im
x
f

x
f
x
f
σσσσ
10.4.1 - Bài toán nghịch
-
Nội dung bài toán: với độ chính xác yêu cầu trước của đại lượng đo gián
tiếp, xác định độ chính xác cần thiết của các đại lượng đo trực tiếp đểđảm bảo yêu cầu của
đại lượng đo. Sau đó tiến hành chọn dụng cụ đo hợp lý thỏa mãn độ chính xác yêu cầu của
phép đo.
-
Xuất phát từ quan hệ của đại lượng cần đo y và các đại lượng đo trực tiếp x
i

ta có:
2
1
∑
=








∂
∂

=
m
i
x
i
Y
i
x
f
σσ
(*)
-
Trong đó σ
Y
- chỉ tiêu chính xác yêu cầu cho trước. Khi đó cần xác định các
chỉ tiêu σ
xi
của các đại lượng đo trực tiếp. Ta chỉ có một phương trình quan hệ mà số ẩn
cần xác định là m > 1.
-
Để giải quyết bài toán, cần giả thiết về sự cân bằng tác dụng: "ảnh hưởng của
độ chính xác các đại lượng đo trực tiếp đến độ chính xác các đại lượng đo gián tiếp là như
nhau", nghĩa là:
S
x
f
x
f
x
f

m
x
m
xx
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
σσσ

21
21
-
Như vậy thông số nào có hệ số ảnh hưởng lớn thì cần đo với độ chính xác
cao hơn. Từ đó thay vào công thức (*):
2
2
1
mS
x
f
m
i
x
i

Y
i
=








∂
∂
=
∑
=
σσ
171
m
S
Y
σ
=⇒
Từ đó tính được:
i
Y
i
x
x
f

m
x
f
S
i
∂
∂
=
∂
∂
=
σ
σ
(**)
-
Khi giải bài toán nghịch ta có những chú ý sau:
 Kết quả của bài toán có thể có các trị số σ
xi
rất khác nhau làm cho việc
chọn dụng cụ đo sẽ phức tạp cả về số lượng và độ chính xác. Bởi vậy, sau khi giải nhận
thấy có điều gì bất hợp lý ta có thể điều chỉnh lại sao cho số dụng cụ đo là ít nhất, độ chính
xác của dụng cụ là thông dụng, dễ kiếm. Điều này hoàn toàn là có thể và hợp lý vì sự cân
bằng tác dụng chỉ là một giả thiết giúp ta giải quyết sơ bộ bài toán.
 Trong quá trình đo, phần lớn các quan hệ đo gián tiếp là quan hệ phi
tuyến do đó việc tính hệ số ảnh hưởng
i
x
f
∂
∂

là phức tạp. Khi đó ta có thể chuyển sang tính
sai số tương đối của các đại lượng, qua đó việc tính toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Khi xác định sai số, để đơn giản và chắc chắn người ta tính sai số giới hạn:
Sm
x
f
m
i
x
i
Y
i
.
1
=
∂
∂
=
∑
=
σσ
với S =
i
x
i
x
f
σ
∂
∂

i
Y
x
x
f
m
i
∂
∂
=⇒
σ
σ
(***)
-
Việc tính toán theo công thức (***) sẽ cho kết quả tính toán nhỏ hơn (**) do
đó độ chính xác của dụng cụ đo chọn sẽ cao hơn
10.5 -Phương pháp xác định quan hệ thực nghiệm:
- Giả sử hàm của thông số cần đo là y.
- Trong một quá trình đo, thông thường đại lượng đo là một đại lượng có giá
trị không đổi trong suốt quá trình ( y = a). Tuy nhiên trong thực tế, người ta vẫn gặp các
đại lượng đo có giá trị thay đổi theo thời gian trong suốt quá trình đo: y = f(t). Có nghĩa là
lúc này sẽ tồn tại một mối quan hệ giữa đại lượng đo và thời gian. Ngoài ra, trong bản thân
của các đại lượng đo lại có liên quan trực tiếp đến nhau có nghĩa là sự thay đổi được xem
là đối số x ứng với sự thay đổi của một đại lượng khác cùng của sản phẩm đó và được xem
là hàm số y được biểu diễn bằng quan hệ: y = f(x), hoặc sự thay đổi của đối số x đó dẫn tới
sự thay đổi về giá trị của nhiều hàm khác y
1
, y
2
, và ngược lại.

+) Ví dụ: trong thực tế, khi đánh giá về chất lượng sản phẩm (hàm mục tiêu y) thì ta cần
phải đánh giá đồng thời nhiều chỉ tiêu: độ chính xác kích thước (x
1
), sai số hình dáng (x
2
),
độ nhẵn bề mặt (x
3
) cùng đồng thời ảnh hưởng tới chất lượng sản phẩm. Khi đó y = f(x
1
,
x
2
, ) và chỉ cần một trong các thông số trên thay đổi sẽ dẫn tới sự thay đổi của hàm
chung y.
172
- Đây được gọi là những mối quan hệ tương quan, và những mối quan hệ này
không thể dùng phương pháp nghiên cứu mối quan hệ hàm số thông dụng để biểu diễn
quan hệ được. Mối quan hệ này cần được xây dựng dựa trên những đo lường thực nghiệm
và được gọi là mối quan hệ thực nghiệm.
- Việc xác định mối quan hệ thực nghiệm từ số liệu đo cần tiến hành qua các
bước sau:
1 - Vẽ sơ bộ quan hệ theo số liệu thực nghiệm
2 - Chọn công thức biểu diễn hàm quan hệ thực nghiệm
3 - Xác định hàm thực nghiệm: xác định các hằng số trong công thức đã chọn
4 - Kiểm nghiệm sự phù hợp thực tế của công thức vừa xác định
10.5.1 -Xác định hàm quan hệ thực nghiệm
1) Xây dựng sơ bộ đường cong thực nghiệm:
- Sau khi xác lập được các số liệu thực nghiệm, tiến hành xây dựng đường
cong thực nghiệm. Trong bước này, cần chú ý việc vẽ đồ thị cần dơn giản để nhận dạng

quan hệ (đồ thị) chính xác hơn. Ví dụ: với các hàm phi tuyến, người ta dùng thủ thuật để
sao cho có thể vẽ thành quan hệ tuyến tính.
- Sau khi vẽ sơ bộ đồ thị, người ta có thể nhận dạng và gắn cho nó hàm quan
hệ gần nhất.
2) Xác định quan hệ hàm số giữa các đại lượng y = f(x
i
)
a/ Chọn công thức thực nghiệm:
- Khi chọn công thức thực nghiệm cần chọn sao cho có các hằng số là ít nhất,
vì nếu ta đưa vào nhiều hằng số sẽ gây ra nhiều khó khăn trong tính toán và sử dụng công
thức sau này.
- Để xây dựng công thức thực nghiệm xảy ra 2 trường hợp :
+) Dạng quan hệ giữa các đại lượng là đã biết khi đó ta chỉ cần xác định các hằng số
thực nghiệm
+) Dạng quan hệ y = f(x) chưa biết, khi đó cần dựa vào đồ thị rồi gắn cho nó tương
ứng với một đồ thị gần giống nhất mà hàm quan hệ đã biết, sau đó tiến hành xác định các
hằng số quan hệ và kiểm nghiệm công thức.
b/ Xác định công thức thực nghiệm:
- Để xác định được công thực nghiệm từ kết quả đo, tùy theo yêu cầu về độ
chính xác người ta có nhiều biện pháp, thông thường dùng phương pháp đồ thị, phương
pháp trung bình và phương pháp bình phương nhỏ nhất.
- Nếu để đạt kết quả là nhanh nhất ta sử dụng phương pháp đồ thị, còn để đạt
độ chính xác cao nhất ta sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất
173
* Phương pháp đồ thị
- Dựa trên các giá trị thực nghiệm đo được, ta vẽ sơ bộ đồ thị, nhận dạng đồ
thị và gán cho nó một quan hệ tương ứng. Thường phương pháp này chỉ được dùng cho
các quan hệ tuyến tính. Chọn một cặp giá trị bất kỳ thế vào quan hệ để xác định các hằng
số của hàm.
* Phương pháp bình phương nhỏ nhất

- Nội dung của phương pháp này là sao cho đường cong thực nghiệm tiếp cận
nhiều nhất với các điểm thực nghiệm. Khi đó tổng bình phương của các sai lệch của các
điểm đo thực nghiệm với các điểm tương ứng trên hàm thực nghiệm là nhỏ nhất.
10.5.2 - Xác định mối quan hệ tương quan giữa các đại lượng
- Trong mối quan hệ tương quan giữa x và y, để xác định mối quan hệ giữa
chúng ta đưa ra 2 chỉ tiêu chính cần xác định: mức độ tương quan và dạng quan hệ. Sau
khi biết rõ mức độ tương quan và dạng quan hệ thì ta sẽ có được phương trình quan hệ mô
tả mối quan hệ tương quan giữ các đại lượng đang nghiên cứu.
- Để đánh giá mức độ tương quan, người ta dùng hệ số tương quan:
yx
xy
k
C
r
σσ
=
σ
x
, σ
y
- sai lệch bình phương trung bình các đại lượng x
i
, y
i
n
xn
n
i
ii
x

∑
=
=
1
2
σ

n
yn
n
j
jj
y
∑
=
=
1
2
σ
YX
n
yxn
C
jiij
xy
−=
∑

với
n

xn
X
m
i
ii
∑
=
=
1

n
xn
Y
k
j
jj
∑
=
=
1
- Hệ số tương quan r
k
đặc trưng cho mức độ quan hệ tương quan tuyến tính và
có trị số giới hạn: -1 ≤ r
k
≤ 1
- Trong trường hợp tương quan là đồng biến (x tăng, y tăng) thì quan r
k
>0 còn
tương quan nghịch biến thì quan r

k
<0. Khi quan r
k
càng tiệm cận với ±1 thì mức độ tương
quan giữa x và y càng mạnh. Khi /r
k
/ = 1thì quan hệ giữa x và y là quan hệ tuyến tính. Khi
r
k
→ 0 thì sẽ không còn tồn tại tương quan tuyến tính giữa x và y. Khi đó sẽ có thể không
tồn tại quan hệ giữa x và y hoặc sẽ tồn tại một quan hệ phi tuyến.
- Để tránh nhầm lẫn khi nghiên cứu quan hệ tương quan cần qua các bước sau:
+) Dự đoán trước là x và y có quan hệ với nhau, làm thí nghiệm, thống kê rồi lập bảng
quan hệ
+) Tính giá trị trung bình theo tần suất ứng với hàng
x
Y
hoặc cột
y
X
rồi lập bảng giữa
x
Y
và các x
i
hoặc giữa
y
X
với các y
i

+) Xác định mối quan hệ tương quan giữa các đại lượng này.
174
* Chú ý:
- Trong quá trình thí nghiệm xác định mối quan hệ giữa các đại lượng cần phải
căn cứ vào lý thuyết, bản chất vật lý của hiện tượng để có cơ sở tin rằng giữa các đại
lượng đang nghiên cứu là tồn tại mối quan hệ
- Mối quan hệ thực nghiệm xác định được trong điều kiện thí nghiệm nào thì
chỉ được phép áp dụng trong điều kiện đó, không được ngoại suy. Ví dụ tiến hành thí
nghiệm trong điều kiện biên (x
1
÷ x
2
) thì sẽ không được ứng dụng kết quả ngoài khoảng
này vì đã giả thiết là hàm chỉ liên tục trong đoạn ta thí nghiệm, ra ngoài khoảng đó hàm
quan hệ có thể sẽ có những đột biến hoặc không còn tồn tại quan hệ như cũ.
175