Hinh8 Tu giac full latex

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (968.18 KB, 28 trang )

(1)Trần Lê Quyền (Tổng hợp và trình bày LATEX). Hình 9 - Tứ giác. −→ trà giảm cân ←−. Nhận đánh máy LATEX tài liệu, bài giảng, tiểu luận, luận văn. . . theo yêu cầu. Liên hệ: \ Thầy Quyền - Quận 6, TP HCM - 0122 667 8435 \ Page: Casiotuduy - \ Mua trà giảm cân của Học Viện Quân Y - 0979 118 113 (free ship). Tháng 12 năm 2016.

(2) Chương 1 Tứ giác 1.1. Sử dụng tính chất về các góc của một tứ giác để tính góc. b = 120◦ , Cb = 60◦ , D b = 90◦ . Tính góc A và góc ngoài Bài 1. Cho tứ giác ABCD có B tại đỉnh A. Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, Cb = 60◦ , Ab = 100◦ . a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD. b D b. b) Tính B, Bài 3. Cho tứ giác ABCD có phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E , phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F . Chứng minh: b+ B b b b A [ [ = C + D , AF B= AEB 2. 2. 180◦ , CB. b+D b= Bài 4. Cho tứ giác ABCD có B điểm E sao cho DE = AB . Chứng minh:. = CD. Trên tia đối của tia DA lấy. a) Các tam giác ABC và EDC bằng nhau. b) AC là phân giác của góc A. b B, b C, b D b tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 Bài 5. Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc A, và 10. a) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD. b) Kéo dài hai cạnh AB và DC cắt nhau ở E , kéo dài hai cạnh AD và BC cắt [ và góc AF [ nhau ở F . Hai tia phân giác của các góc AED B cắt nhau ở O. Phân [ giác của AF B cắt các cạnh CD và AB tại M và N . Chứng minh O là trung điểm của đoạn M N . b=D b = 180◦ , AC là tia phân giác của góc A. Chứng Bài 6. Cho tứ giác ABCD có B minh CB = CD. Bài 7. Cho tứ giác ABCD có Ab = a, Cb = b. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E , hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại F . Các tia phân giác của hai góc d theo a và b. [ và AF [ AEB D cắt nhau tại I . Tính góc EIF 1.

(3) GV. Trần Lê Quyền. 1.2. Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác. Bài 8. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: a) AB < BC + CD + AD. b) AC + BD < AB + BC + CD + AD. Bài 9. Cho tứ giác ABCD có AB + BD < AC + CD . Chứng minh: AB < AC . Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a) Chứng minh: AB + BC + CD + AD < OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + AD. 2. b) Khi O là điểm bất kì thuộc miền trong của tứ giác ABCD, kết luận trên có đúng không? Bài 11. Chứng minh rằng trong một tứ giác thì: a) Tổng độ dài 2 cạnh đối diện nhỏ hơn tổng độ dài hai đường chéo. b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.. 1.3. Hình thang - Hình thang vuông. 1) Định nghĩa: • Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. • Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.. 2) Tính chất: • Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng. nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. • Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song. song và bằng nhau.. 1.3.1. Tính chất các góc của một hình thang. b = 20◦ , B b = 2Cb. Tính các góc Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB k CD) có Ab − D của hình thang. [ = Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB k CD) có AB < CD, AD = BC = AB, BDC 30◦ . Tính các góc của hình thang. 2. 0122 667 8435.

(4) GV. Trần Lê Quyền. b> Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB k CD) có AB < CD. Chứng minh rằng: Ab + B b + D. b C b cắt Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB k CD). Hai đường phân giác của Ab và B nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD + BC = DC . Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB k CD). a) Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. b) Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC . b = 90◦ và BC = AB = AD . Lấy điểm M Bài 6. Cho hình thang ABCD có Ab = B 2 thuộc đáy nhỏ BC . Kẻ M x ⊥ M A, M x cắt CD tại N . Chứng minh rằng tam giác AM N vuông cân.. 1.3.2. Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông. Bài 7. Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh ABCD là hình thang. Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AM =. BC , N là trung điểm cạnh AB . Chứng minh: 2. a) Tam giác AM B cân. b) Tứ giác M N AC là hình thang vuông. Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH , từ H kẻ HD ⊥ AC, HE ⊥ AB . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC . Chứng minh tứ giác DEM N là hình thang vuông.. 1.4. Hình thang cân. 1) Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 2) Tính chất: Trong hình thang cân: • Hai cạnh bên bằng nhau. • Hai đường chéo bằng nhau.. 3) Dấu hiệu nhận biết: • Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. • Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 3. 0122 667 8435.

(5) GV. Trần Lê Quyền. 1.4.1. Sử dụng tính chất của hình thang cân để tính toán và chứng minh. Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF . Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD). [ = BDC [. a) Chứng minh: ACD b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: EA = EB . b= Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD, AB > CD) có CD = a, Ab + B Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC .. b D b C+ 2 .. a) Tính các góc của hình thang. b . b) Chứng minh AC là phân giác của DAB c) Tính diện tích của hình thang. [ = 45◦ . Gọi O là giao điểm Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD) có BDC của AC và BD. a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân. b) Tính diện tích của hình thang ABCD, biết BD = 6.. 1.4.2. Chứng minh một tứ giác là hình thang cân. Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. [ = BDC [ . Chứng minh rằng Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB k CD) có ACD ABCD là hình thang cân. Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D và E sao cho AD = AE. 1) Chứng minh BDEC là hình thang cân. 2) Tính các góc của hình thang cân đó, biết Ab = 50◦ . Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB k CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại E . Chứng minh rằng: 1) Tam giác BDE là tam giác cân. 2) Các tam giác ACD và BDC bằng nhau. 3) ABCD là hình thang cân.. 4. 0122 667 8435.

(6) GV. Trần Lê Quyền. Bài 9. Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, đường thẳng song song với AC cắt BC ở E , đường thẳng song song với AB cắt AC ở F . Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác BDM E, CF M E, ADM F là các hình thang cân. 2) Chu vi của tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của tam giác ABC . \ \ \ 3) D ME = D MF = E MF . Bài 10. Cho hình thang ABCD (AD k BC, AD > BC) có đường chéo AC vuông góc b = 60◦ . [ = CAD [ và D với cạnh bên CD, BAC 1) Chứng minh ABCD là hình thang cân. 2) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang bằng 20 cm. b = 90◦ và AD = 2BC . Kẻ AH Bài 11. Cho hình thang vuông ABCD, có Ab = B vuông góc với BD (H ∈ BD). Gọi I là trung điểm của HD, chứng minh CI ⊥ AI .. 1.5. Đường trung bình của tam giác, hình thang. 1) Đường trung bình của tam giác: • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh. của tam giác.. • Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh. thứ hai của tam giác thì nó đi qua trung điểm cạnh thứ ba. • Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa. cạnh ấy. 2) Đường trung bình của hình thang • Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh. bên của hình thang.. 5. 0122 667 8435.

(7) GV. Trần Lê Quyền. • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song. song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa. tổng hai đáy. Bài 1. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Trên cạnh AB , lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EB . Gọi I là giao điểm của AM với CD. Chứng minh AI = IM . Bài 2. Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG, CG. Chứng minh tứ giác M N DE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Bài 3. Cho tam giác ABC . Trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE . Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I . Chứng minh DI = DE 3 . b = 80◦ , AD = BC . Gọi E, F theo thứ Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc Cb = 40◦ , D tự là trung điểm của AB và CD. Tính góc nhọn tạo bởi đường thẳng F E với các đường thẳng AD và BC . Bài 5. Cho A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > BC). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là d, vẽ các tam giác đều AM B và BN C . Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của BM, CM, BN, AN . Chứng minh rằng: 1) P QRS là hình thang cân. 2) SQ =. MN 2 .. Bài 6. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC . 1) Chứng minh AD =. DC 2. 2) So sánh độ dài BD và ID. Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB k CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, BD. 1) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng. 2) Tính M N, P Q, biết các cạnh đáy của hình thang AB = a, CD = b (a > 0). 6. 0122 667 8435.

(8) GV. Trần Lê Quyền. 3) Chứng minh rằng nếu M P = P Q = QN thì a = 2b. Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB k CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng. Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB k CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Đường thẳng EF cắt BD ở I , cắt AC ở K . 1) Chứng minh AK = KC, BI = ID. 2) Cho AB = 6, CD = 10. Tính EI, KF, IK . Bài 10. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC . 1) So sánh độ dài các đoạn thẳng EK và CD, KF và AB . 2) Chứng minh EF ≤ 3) Khi EF =. AB+CD 2. AB+CD 2. thì tứ giác ABCD là hình gì?. Bài 11. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10 cm. Bài 12. Cho tam giác ABC , trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua G cắt các đoạn thẳng AB, AC . Gọi A0 , B 0 .C 0 thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA0 , BB 0 , CC 0 . Bài 13. Cho tam giác ABC , trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC . Gọi A0 , B 0 , C 0 , G0 thứ tự là hình chiếu của A, B, C, G trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA0 , BB 0 , CC 0 , GG0 .. 1.6. Đối xứng trục. d = 50◦ và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với Bài 14. Cho góc xOy A qua Ox, điểm C đối xứng với A qua Oy . 1) So sánh các độ dài OB và OC . [. 2) Tính số đo góc BOC Bài 15. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H . Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . 1) Chứng minh hai tam giác BHC và BKC bằng nhau. [ = 70◦ . Tính số đo góc BKC [. 2) Cho BAC b = 90◦ ). Gọi K là điểm đối xứng với Bài 16. Cho hình thang vuông ABCD (Ab = D [ = AEB. [ B qua AD, E là giao điểm của CK và AD. Chứng minh CED 7. 0122 667 8435.

(9) GV. Trần Lê Quyền. Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi I, K lần lượt là điểm đối xứng với điểm H qua các cạnh AB, AC . Chứng minh rằng: 1) Ba điểm I, A, K thẳng hàng. 2) Tứ giác BIKC là hình thang. 3) IK = 2AH . Bài 18. Cho tam giác ABC , các phân giác BM và CN cắt nhau tại I . Từ A vẽ các đường vuông góc với BM và CN , chúng cắt BC thứ tự ở E và F . Gọi I 0 là hình chiếu của I trên BC . Chứng minh rằng E và F đối xứng nhau qua II 0 . Bài 19. Cho hai điểm A, B nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm điểm M ∈ d sao cho M A + M B ngắn nhất. d = 60◦ và điểm A nằm trong góc đó. Gọi B, C lần lượt là hai Bài 20. Cho góc xOy điểm đối xứng với điểm A qua Ox, Oy . 1) Chứng minh tam giác BOC là tam giác cân. Tính các góc của tam giác đó. 2) Tìm điểm I ∈ Ox và điểm K ∈ Oy sao cho tam giác AIK có chu vi nhỏ nhất. Bài 21. Cho tam giác ABC có Cx là phân giác ngoài của Cb. Trên Cx lấy điểm M (khác C ). Chứng minh M A + M B > CA + CB . d và điểm A ở trong góc đó . Tìm điểm B ở trên tia Ox Bài 22. Cho góc nhọn xOy và điểm C ở trên tia Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.. 1.7. Hình bình hành. 1) Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.. 2) Tính chất: Trong một hình bình hành, • Các góc đối bằng nhau. • Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. 3) Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. • Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. • Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. • Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình. bình hành. 8. 0122 667 8435.

(10) GV. Trần Lê Quyền. 1.7.1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học. Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC . [ = CDF [. 1) Chứng minh BE = DF và ABE 2) Chứng minh tứ giác EBF D là hình bình hành. 3) Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng qui. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E , tia phân giác của góc B cắt CD ở F . 1) Chứng minh DE k BF . 2) Tứ giác DEBF là hình gì? Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; M và N là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh rằng: 1) AI k CK . 2) DM = M N = N B .. 1.7.2. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành. Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH ⊥ BD ở H, CK ⊥ BD ở K . Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. Bài 5. Cho tam giác ABC , các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là điểm đối xứng của điểm M qua G. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G. Tứ giác M N P Q là hình gì? Vì sao? Bài 6. Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm của AB , F là trung điểm CD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AF, CE, BF, DE . Chứng minh tứ giác M N P Q là hình bình hành. Bài 7. Cho tứ giác ABCD, AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, EC, CF, F A. Chứng minh tứ giác M N P Q là hình bình hành. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F . Vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H . Chứng minh tứ giác EKF H là hình bình hành. 9. 0122 667 8435.

(11) GV. Trần Lê Quyền. Bài 9. Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác M N P Q, IN KQ là các hình bình hành. b) Các đường thẳng M P, N Q, IK đồng qui. Bài 10. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B , vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành. [ , biết BAC [ = 60◦ . b) Tính BDC Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB . Từ C vẽ CE vuông góc với AB . Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ M F ⊥ CE , M F cắt BC tại N . a) Tứ giác M N CD là hình gì? b) Tam giác EM C là tam giác gì? [ = 2A \ c) Chứng minh BAD EM . Bài 12. Cho hình thang ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Tứ giác M N P Q là hình gì? Vì sao? b) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để M N P Q lần lượt là: hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC . a) Chứng minh AH = DE . b) Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của HB và HC . Chứng minh tứ giác DIKE là hình thang vuông. c) Tính độ dài đường trung bình của hình thang DIKE nếu biết AB = 6 cm, AC = 8 cm.. 1.7.3. BT tổng hợp hình bình hành. Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và CD sao cho AE = CF . Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc BC và AD sao cho CM = AN . Chứng minh rằng a) M EN F là hình bình hành. 10. 0122 667 8435.

(12) GV. Trần Lê Quyền. b) Các đường thẳng AC, BD, M N, EF đồng quy. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD .E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, EF đồng qui. c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N . Chứng minh tứ giác EM F N là hình bình hành. Bài 3. Cho tam giác ABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC . Gọi H là điểm đối xứng của N qua M . Chứng minh tứ giác BN CH và ABHN là hình bình hành. Bài 4. Cho hình bình hành ABCD với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, EF đồng qui. c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N . Chứng minh tứ giác EM F N là hình bình hành. Bài 5. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = BC = CE . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở H , qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K , chúng cắt nhau ở I. a) Tứ giác BHKC là hình gì? Vì sao? b) Tia IA cắt BC ở M , chứng minh M B = M C . c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác DHKE là hình thang cân. Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD tại M (M nằm giữa C và D). Từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh CB tại điểm N (N nằm giữa B và C ); BM và DN cắt nhau tại I . Cho biết BM = N D, a) Chứng minh SABM = SAN D . [ b) Chứng minh IA là phân giác của B ID. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Nối AQ và RB cắt nhau ở điểm I ; nối AQ và DP cắt nhau ở K ; CS cắt DP ở N và CS cắt RB ở M . a) Chứng minh tứ giác M N IK là hình bình hành. b) Chứng minh KI = 52 .AQ, KN = 25 .DP 11. 0122 667 8435.

(13) GV. Trần Lê Quyền. c) Chứng minh SM N KI = 51 .SABCD . Bài 8. Cho hình bình hành ABCD và điểm O tùy ý thuộc miền trong của hình bình hành. Nối OA, OB, OC, OD. Chứng minh SOAB + SOCD = SOAD + SOBC . Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt cạnh CD tại M , tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại N . Chứng minh a) Tứ giác AM CN là hình bình hành. b) Ba đường thẳng AC, M N và BD đồng quy. Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có Ab = 120◦ và AB = 2AD. b cắt cạnh AB tại điểm E , chứng minh EA = EB . a) Tia phân giác của D b) Chứng minh AD ⊥ AC . Bài 11. Cho tứ giác ABCD có O1 , O1 , O3 , O4 lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD. Lấy O là một điểm nằm trong tứ giác. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là điểm đối xứng với điểm O qua các điểm O1 , O1 , O3 , O4 . Chứng minh tứ giác M N P Q là hình bình hành. Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tam giác đều ABE và ADF nằm ngoài hình bình hành. a) Chứng minh rằng tam giác EF C là tam giác đều. [ b) Gọi M, I, K theo thứ tự là trung điểm của BD, AF, AE . Tính IM K. Bài 13. Qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng song song với đường chéo BD cắt các tia CB, CD lần lượt tại E, F . Chứng minh rằng các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui. Bài 14. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác .M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . Gọi A0 , B 0 , C 0 lần lượt là các điểm đối xứng của điểm O qua M, N, P . Chứng minh rằng tứ giác AB 0 A0 B là hình bình hành. Bài 15. Chứng minh rằng: Nếu một tứ giác có các đường chéo và các đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối đồng quy thì tứ giác đó là một hình bình hành. Bài 16. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD lấy các điểm tương tứng E, F, G, H sao cho AE = CG, BF = DH . Chứng minh a) Tứ giác EF GH là hình bình hành. b) Các đường thẳng AC, BD, EG, HF đồng qui.. 12. 0122 667 8435.

(14) GV. Trần Lê Quyền. Bài 17. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi A0 , B 0 , C 0 , D0 lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, D lên đường thẳng d. Chứng minh AA0 + CC 0 = BB 0 + DD0 . Bài 18. Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng, nó cắt các đường thẳng AC, AB, BC theo thứ tự tại M, N, K . Chứng minh a) DM 2 = M N.M K b). DM DN. +. DM DK. = 1.. Bài 19. Cho hình bình hành M N P Q. Một đường thẳng đi qua M cắt các đường thẳng N P, P Q, QN theo thứ tự tại A, B, C . Chứng minh a) AN.BQ không đổi. b) M C 2 = AC.BC .. 1.8. Đối xứng tâm. Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, gọi E là điểm đối xứng với D qua A, F là điểm đối xứng với D qua C . Chứng minh rằng: a) AC k EF . b) Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B . Bài 2. Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD, CE . Gọi H là điểm đối xứng với B qua D, K là điểm đối xứng với C qua E . Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD và điểm E trên cạnh AB , I và K là các trung điểm của cạnh AD và BC . Gọi các điểm M, N lần lượt đối xứng với điểm E qua điểm I và điểm K . a) Chứng minh các điểm M, N thuộc đường thẳng CD. b) Chứng minh M N = 2CD. Bài 4. Cho góc vuông x bOy , điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy . Chứng minh B đối xứng với C qua O. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N . Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O. Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng là O, một điểm E ở trên đoạn OD. Gọi F là điểm đối xứng của điểm C qua E . 13. 0122 667 8435.

(15) GV. Trần Lê Quyền. a) Chứng minh tứ giác ODF A là hình thang. b) Xác định vị trí điểm E trên OD để hình thang ODF A là hình bình hành. Bài 7. Cho tam giác ABC , trọng tâm G. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua tâm G. a) Chứng minh tứ giác BP N C là hình bình hành. b) Chứng minh ∆ABC = ∆M N P . c) Chứng minh các tam giác ABC, M N P có cùng trọng tâm. Bài 8. Cho tam giác ABC , H là trực tâm, I là giao điểm các đường trung trực. K là điểm đối xứng với H qua trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh K đối xứng với A qua I . Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy điểm E , trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF. a) Chứng minh E đối xứng với F qua O. b) Từ E dựng Ex k AC cắt BC tại I , dựng F y k AC cắt AD tại K . Chứng minh EF = F K ; I và K đối xứng với nhau qua O. Bài 10. Cho tam giác ABC . Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua C , B 0 là điểm đối xứng với B qua A, C 0 là điểm đối xứng với C qua B . Gọi BM là trung tuyến của tam giác ABC , B 0 M 0 là trung tuyến của tam giác A0 B 0 C 0 . a) Chứng minh rằng ABM 0 M là hình bình hành. b) Gọi G là giao điểm của BM và B 0 M 0 . Chứng minh rằng G là trọng tâm của hai tam giác ABC và A0 B 0 C 0 . Bài 11. Cho hình bình hành ABCD, các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = F C. Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB . Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB . b) EM F N là hình bình hành.. 1.9. Hình chữ nhật. 1) Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 2) Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. 14. 0122 667 8435.

(16) GV. Trần Lê Quyền. 3) Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. • Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. • Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. • Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.. 4) Áp dụng vào tam giác: • Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa. cạnh huyền. • Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh. ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.. 1.9.1. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật. Bài 1. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AC , E là điểm đối xứng với H qua I . Tứ giác AHCE là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AC , E là điểm đối xứng với H qua I . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE . Các đường thẳng AM, AN cắt HE tương ứng tại G, K. a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật. b) Chứng minh HG = GK = KE . Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ các tia phân giác của các góc trong, chúng cắt nhau ở M, N, P, Q. a) Chứng minh tứ giác M N P Q là hình vuông. b) Tính diện tích hình vuông M N P Q. Bài 4. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EF GH là hình gì? Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, về phía ngoài ∆ABC , vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC , I là giao điểm của DM với AB , K là giao điểm của EM với AC . Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật. c) Tam giác DM E là tam giác vuông cân. 15. 0122 667 8435.

(17) GV. Trần Lê Quyền. Bài 6. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC. a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. b) Chứng minh tứ giác ABP N là hình thang cân. c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABP N là hình chữ nhật. Bài 7. Cho tam giác ABC . Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB . a) Chứng minh tứ giác M N P Q là hình bình hành. b) Xác định vị trí của điểm O đế tứ giác M N P Q là hình chữ nhật Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại C . Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ P M song song với BC (M ∈ AB). a) Chứng minh tứ giác P CQM là hình chữ nhật. b) Gọi I là trung điểm của P Q. Chứng minh rằng khi P di chuyển trên cạnh AC , Q di chuyển trên cạnh BC thì điểm I di chuyển trên một đoạn thẳng cố định.1 Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC . Vẽ F H, F K lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng a) Tứ giác AHF K là hình chữ nhật; b) AF k BD, KH k AC ; c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.2 Bài 10. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB, HC . a) Chứng minh rằng các tứ giác M N F D và M EF P là các hình chữ nhật. b) Để các đoạn M D, M E và DP bằng nhau thì ABC phải là tam giác gì?. 1.9.2. Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải toán. Bài 11. Điền vào ô trống, biết rằng a, b là độ dài các cạnh và d là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật: a. b. 3 6. 4. d(I; AB) = 12 .d(C; AB) = 21 .CM EG là đường trung bình của tg AF C d 10. 1. 2. 16. 0122 667 8435.

(18) GV. Trần Lê Quyền. Bài 12. Tính độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 7 cm và 24 cm. Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A, CH là đường cao (H ∈ AB). Gọi D là điểm đối xứng với điểm B qua A. a) Chứng minh tam giác DCB là tam giác vuông. b b b) Chứng minh DCA = HCB . Bài 14. Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC). Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AH, DC; I, O lần lượt là trung điểm của AB, IC . a) Chứng minh IC = KB và M O = 12 .IC ; b K .3 b) Tính BM Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A và M là điểm bất kì thuộc cạnh BC . Vẽ M D ⊥ AB, M E ⊥ AC (D ∈ AB, E ∈ AC). Gọi O là trung điểm của DE. a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng. b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào? c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài ngắn nhất. Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Vẽ tia AM (M ∈ DC) sao cho b DAM = 15◦ . Chứng minh ∆ABM là tam giác cân. Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC > AB với AH là đường cao. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA, đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E. a) Chứng minh AE = AB . b b) Gọi M trung điểm BE, tính AHM .4 Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 3AB . Trên cạnh góc vuông AC b b . lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC . Tính ACB + AEB Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH ⊥ BD (H ∈ BD). Gọi I là trung điểm DH. Đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC ở K. Chứng minh K là trung điểm BC. Bài 20. Chứng minh rằng a) Giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó. 3 4. M O = 21 .IC = 12 .BK ∆AHD cân có HM là đường trung trực nên cũng là phân giác. 17. 0122 667 8435.

(19) GV. Trần Lê Quyền. b) Đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là trục đối xứng của hình chữ nhật đó. Bài 21. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của các tia CB và DA lấy tương ứng hai điểm E và F sao cho CE = DF = CD. Từ F kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại H. Chứng minh ∆CHB vuông cân. Bài 22. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 80 m. Đường phân giác của một góc hình chữ nhật đó chia hình này thành một tam giác và một hình thang mà hiệu các chu vi bằng 20 m. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật. Bài 23. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD, CE . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C lên DE. a) Chứng minh EH = DK . b) Nếu ∆ABC cân ở A thì tứ giác BCKH là hình gì? Bài 24. Cho tam giác vuông cân ABC, Cb = 90◦ , M là một điểm trên cạnh AB, kẻ M R ⊥ AC, M S ⊥ BC . a) Chứng minh rằng CM và RS bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b) Gọi O là trung điểm của AB, ∆ORS là tam giác gìác gì? Bài 25. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật M DN F . Chứng minh: a) DF k AC , b) E là trung điểm của BF . Bài 26. Cho tam giác nhọn ABC , O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA còn R, S, T lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC . a) Chứng minh tứ giác M P T S là hình chữ nhật. b) Chứng minh rằng 3 đoạn RN, M T, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. c) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì M R = RP = M S . Bài 27. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH ⊥ AC . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm CD và N là trung điểm của BH . a) Chứng minh tứ giác M N CK là hình bình hành. 18. 0122 667 8435.

(20) GV. Trần Lê Quyền. \ b) Tính BM K. Bài 28. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, M là một điểm bất kì thuộc cạnh huyền BC . Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của điểm M lên AB, AC . a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên BC thì chu vi của tứ giác ADM E không đổi. b) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Bài 29. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh các đoạn thẳng EL, F M và DN đồng qui.. 1.10. Hình thoi. 1) Định nghĩa: Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 2) Tính chất: Trong hình thoi, • Hai đường chéo vuông góc với nhau. • Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.. 3) Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. • Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. • Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là. hình thoi. 1.10.1. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi. Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD. Chứng minh tứ giác M N P Q là hình thoi. b = 80◦ , AD = BC . Gọi E, F, M, N lần lượt Bài 2. Cho tứ giác ABCD có Cb = 40◦ , D là trung điểm của AB, DC, DB, AC . a) Chứng minh tứ giác EM F N là hình thoi. \ b) Tính góc M FN. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P . Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. Chứng minh tứ giác M N P Q là hình thoi. 19. 0122 667 8435.

(21) GV. Trần Lê Quyền. Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi E, F, G, H lần lượt là các giao điểm của các phân giác trong của các tam giác OAB, OBC, ODC, ODA. a) Chứng minh ba điểm E, O, G thẳng hàng, ba điểm H, O, F thẳng hàng. b) Chứng minh ∆AEB = ∆CGD, c) Chứng minh tứ giác EF GH là hình thoi. Bài 5. Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc cạnh BC . Qua M vẽ đường thẳng song song với AB , cắt AC ở E và đường thẳng song song với AC , cắt AB ở F . a) Chứng minh tứ giác AF M E là hình bình hành. b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AF M E là hình thoi.0 b = 70◦ . Vẽ BH ⊥ AD (H ∈ AD). Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, D Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh CD, AB . a) Chứng minh tứ giác AN M D là hình thoi. b C .1 b) Tính góc HM Bài 7. Cho tam giác đều ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, AD là đường cao. Trên cạnh BC lấy điểm M. Từ M vẽ M E ⊥ AB (E ∈ AB) và M F ⊥ AC (F ∈ AC). Gọi I là trung điểm của AM. a) Chứng minh ∆IEF cân tại I, tính FbIE ,2 b) Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi, c) Chứng minh các đường thẳng M H, ID, EF đồng qui *.. 1.10.2. Vận dụng kiến thức hình thoi để giải toán. Bài 8. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 cm, BD = 10 cm. Tính độ dài của các cạnh hình thoi. [ = 60◦ . Tính độ dài của các cạnh Bài 9. Cho hình thoi ABCD có AB = 10 cm, DAB và đường chéo của hình thoi. Bài 10. Cho tam giác ABC , từ trung điểm E của cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF . a) Chứng minh tam giác AED cân. 0. M là chân đường phân giác góc B của ∆ABC Kẻ M N cắt HB tại E, cm ∆HM E = ∆HBE. 2c b E = 180◦ − 2(90◦ − IAE) b b M IE = 180◦ − 2AM = 2.IAE.. 1. 20. 0122 667 8435.

(22) GV. Trần Lê Quyền. b) Chứng minh AD là phân giác của Ab. Bài 11. Cho hình thoi ABCD có Ab = 60◦ . Trên AD và CD lấy các điểm M, N sao cho AM + CN = AD. Gọi P là điểm đối xứng của N qua BC , M P cắt BC tại Q. Tứ giác M DCQ là hình gì? Bài 12. Cho P là một điểm chuyển động trong ∆ABC sao cho PbBA = PbCA. Hạ P M ⊥ AB; P N ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC). Gọi K, S là hai đỉnh khác của hình thoi KM SN . Chứng minh KS đi qua một điểm cố định.. 1.11. Hình vuông. 1) Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. 2) Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. 3) Dấu hiệu nhận biết: • Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. • Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. • Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình. vuông. • Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. • Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. • Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình. vuông. 1.11.1. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông. Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, Kẻ phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB . Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông. Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH . Chứng minh tứ giác EF GH là hình vuông. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC . Qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và AC , chúng cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E, F . a) Tứ giác AF M E là hình gì? b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AF M E là hình vuông.. 21. 0122 667 8435.

(23) GV. Trần Lê Quyền. Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE . a) Tứ giác ADF E là hình gì? b) Tứ giác EM F N là hình gì? Bài 5. Cho tam giác ABC . Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF . Gọi Q, N lần lượt là giao điểm các đường chéo của ABCD và ACEF . Gọi M, P lần lượt là trung điểm BC và DF . Chứng minh rằng tứ giác M N P Q là hình vuông.. 1.11.2. Vận dụng kiến thức hình vuông để giải toán. Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF . a) Chứng minh ∆ADF = ∆BAE . b) Chứng minh M N vuông góc với AF . Bài 7. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E , trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF . a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân,3 b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh BI = DI . c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.4 Bài 8. Cho tam giác ABC , dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABCD và ACEF . Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF tại E . Chứng minh rằng DI = IF . Bài 9. Cho hình bình hành ABCD, vẽ về phía ngoài hình bình hành, hai hình vuông ABEF và ADGH . Chứng minh: a) AC = F H và AC ⊥ F H . b) Tam giác CEG vuông cân. Bài 10. Cho đoạn thẳng AB và điểm M thuộc đoạn thẳng đó. Vẽ về một phía của AB , các hình vuông AM CD, BM EF . a) Chứng minh AE ⊥ BC . b) Gọi H là giao điểm của AE và BC . Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. 3 4. ∆DAE = ∆DCF ∆BID cân. 22. 0122 667 8435.

(24) GV. Trần Lê Quyền. c) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng cố định AB . Bài 11. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh CD lấy điểm M . Tia phân giác của góc \ A BM cắt AD ở I . Chứng minh rằng BI ≤ 2M I . Bài 12. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc đường chéo AC . Kẻ EF ⊥ AD, EG ⊥ CD (F ∈ AD, G ∈ CD). a) Chứng minh rằng EB = F G và EB ⊥ F G,5 b) Chứng minh rằng Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui.. 1.12. Bài tập ôn chương I. Bài 13. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD thoả điều kiện gì thì tứ giác EF GH là: a) Hình chữ nhật. b) Hình thoi. c) Hình vuông Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC , K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I . a) Tứ giác AM CK là hình gì? b) Tứ giác AKM B là hình gì? c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKM B là hình thoi? Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE và ACGH . a) Chứng minh tứ giác BCHE là hình thang cân. b) Vẽ đường cao AK của tam giác ABC . Chứng minh các đường thẳng AK, DE và GH đồng qui. Bài 16. Cho hình thang cân ABCD (AB k CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. a) Tứ giác M N P Q là hình gì? b) Cho biết diện tích tứ giác ABCD bằng 30 cm2 . Tính diện tích tứ giác M N P Q. 5. Kẻ EG0 ⊥ AB, AF 0 ⊥ BC. 23. 0122 667 8435.

(25) GV. Trần Lê Quyền. Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM . Gọi D là trung điểm của AB , E là điểm đối xứng của điểm M qua điểm D. a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB . b) Các tứ giác AEM C, AEBM là hình gì? c) Cho BC = 4 cm. Tính chu vi tứ giác AEBM . d) Tam giác vuông thoả điều kiện gì thì AEBM là hình vuông. Bài 18. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC . Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC tại P, Q. a) Chứng minh AP = P Q = QC . b) Tứ giác M P N Q là hình gì? c) Xác định tỉ số. CA CD. để M P N Q là hình chữ nhật.. [ để M P N Q là hình thoi. d) Xác định góc ACD e) Tam giác ACD thoả mãn điều kiện gì để M P N Q là hình vuông? Bài 19. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song với AC , đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K . a) Tứ giác OBKC là hình gì? b) Chứng minh AB = OK . c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông. Bài 20. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và Ab = 60◦ . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tứ giác ECDF là hình gì? b) Tứ giác ABED là hình gì? [. c) Tính số đo của AED Bài 21. Cho hình thang ABCD (AB k CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của EF , qua O vẽ đường thẳng song song với AB , cắt AD và BC theo thứ tự tại M, N . a) Tứ giác EM F N là hình gì? b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EM F N là hình thoi? 24. 0122 667 8435.

(26) GV. Trần Lê Quyền. c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EM F N là hình vuông? Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a. a) Lấy điểm D trên cạnh AC và điểm E trên cạnh AB sao cho AD = AE . Các đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ A và D lần lượt cắt cạnh BC ở K và L. Chứng minh BK = KL. b) Một hình chữ nhật AP M N thay đổi có đỉnh P trên cạnh AB , đỉnh N trên cạnh AC và có chu vi luôn bằng 2a . Điểm M di chuyển trên đường nào?6 c) Chứng minh khi hình chữ nhật AP M N thay đổi thì đường vuông góc vẽ từ M xuống đường chéo P N luôn đi qua một điểm cố định.7 Bài 23. Cho hình vuông ABCD, E là điểm trên cạnh DC , F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE. a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân. b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh I thuộc BD. c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I . Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông. Bài 24. Cho hình bình hành ABCD, AD = 2AB, Ab = 60◦ . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Chứng minh AE ⊥ BF. b) Chứng minh tứ giác BF DC là hình thang cân. c) Lấy điểm M đối xứng của A qua B . Chứng minh tứ giác BM CD là hình chữ nhật. d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng. [ = 60◦ . Kẻ tia Ax k BC . Trên Ax Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A có BAC lấy điểm D sao cho AD = DC . [ DAC [ . a) Tính số đo các góc BAD, b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. c) Gọi E là trung điểm của BC . Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi. Bài 26. Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Gọi K là giao điểm của AC và DM , L là trung điểm của BD và CM . a) Tứ giác M N P Q là hình gì? 6 7. M di chuyển trên cạnh BC. HM đi qua điểm I cố định với ACIB là hình vuông. 25. 0122 667 8435.

(27) GV. Trần Lê Quyền. b) Tứ giác M DP B là hình gì? c) Chứng minh: AK = KL = LC Bài 27. Cho hình bình hành ABCD, AB = 2AD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB và CD. a) Các tứ giác AEF D, AECF là hình gì? b) Gọi M là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE . Chứng minh rằng tứ giác EM F N là hình chữ nhật. c) Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì để EM F N là hình vuông? Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM . Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB , E là giao điểm của M H và AB . Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC , F là giao điểm của M K và AC . a) Xác định dạng của các tứ giác AEM F, AM BH, AM CK . b) Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A. c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEM F là hình vuông?. 1.13. BT tổng hợp tứ giác. Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, AC . Gọi F là điểm đối xứng với D qua E . a) Tính DE . b) Chứng minh ABDF là hình bình hành. c) Chứng minh ADCF là hình thoi. Tính cạnh hình thoi biết AC = 8. d) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để ADCF là hình vuông? Bài 30. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và Ab = 60◦ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD và E là điểm đối xứng của A qua B . a) Chứng minh tứ giác ABM N là hình thoi. b) Chứng minh tứ giác AEM N là hình thang cân. c) Chứng minh tứ giác BECD là hình chữ nhật. Bài 31. Cho tam giác ABC đường cao AH . Từ H vẽ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC . a) Chứng minh tứ giác AM HN là hình chữ nhật. 26. 0122 667 8435.

(28) GV. Trần Lê Quyền. b) Trên cạnh AC lấy điểm P sao cho N là trung điểm của AP . Vẽ K đối xứng với H qua N . Tứ giác AKP H là hình gì? Vì sao? c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AKP H là hình vuông. Bài 32. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N là trung điểm của BC, AC , qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng M N tại D. a) Chứng minh tứ giác ABM N là hình bình hành, b) Chứng minh tứ giác AM CD là hình chữ nhật. c) BN cắt CD tại K . Giả sử AK ⊥ AB , chứng minh tam giác ABC đều. b = 90◦ , AB = AD = 3cm, CD = 6cm. Bài 33. Cho hình thang vuông ABCD có Ab = D b Cb và độ dài cạnh bên BC của hình thang. a) Tính số đo B, b) Gọi BH là đường cao của hình thang ABCD (H ∈ CD). Tứ giác ABCH là hình gì? Vì sao? c) Tính diện tích tứ giác ABCH . b Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 60◦ , kẻ tia Ax k BC , trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = DC . [. a) Tính số đo BAD b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. c) Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.. 27. 0122 667 8435.

(29)

Hinh8 Tu giac full latex

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về