Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 4 Ham so mu va logarit Le Hoanh Pho File word

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa và căn thức:. an . 1 (với a  0 và n  ¥ * ) n a m n. a  a  n a m (với a  0 và r  r. m ,n¢ ,n¥ *) n. a  lim a rn (với a  0,  ¡ , rn  ¤ và lim rn   ). Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với mọi a). b  0. Khi n chẵn, b  n a  . n b  a. (với a  0 ).. - Biến đổi lũy thừa: Với các số a  0, b  0, và  tùy ý, ta có:. a .a   a   ; a : a   a  ;  a   a .  a.b . .  a .b ;  a : b   a : b . - So sánh: Nếu 0  a  b thì: a  b    0; a  b    0 Lôgarit: - Lôgarit cơ số a:   log a b  a  b ( 0  a  1 và b  0 ) - Lôgarit cơ số 10: log10 b  lg b hay logb - Lôgarit cơ số e: loge b  ln b  e  2,7183 - Tính chất: log a 1  0 và log a ab  b với a  0, a  1 .. aloga b  b với a  0, b  0, a  1. - Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:. log a  b.c   log a b  log a c log a. b 1  log a b  log a c,log a     log a c c c. 1 log a b   log a b (với mọi  ), log a n b  log a b ( n  ¥ * ) n - Đổi cơ số trong điều kiện xác định: Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> logb x . log a x hay log a b.logb x  log a x log a b. logb a . 1 1 hay log a b.logb a  1;log a b  log a b  log a b. Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục trên tập xác định của nó.  .  . Đạo hàm x '  ax 1 , u '   u 1u ' ;.  x n. /. 1. . n. n x.  x  0 ,  n u  n 1. /. . u' n u n1 n. , với u  u  x   0 .. Hàm số y  x đồng biến trên  0;  khi   0 ; nghịch biến trên  0;  khi   0 . Hàm số mũ: Liên tục trên tập xác định ¡ , nhận mọi giá trị thuộc  0;  ..  lim a x   x  0. khi a  1 0 ; lim a x   khi 0  a  1 x . khi a  1 khi 0  a  1.      a  '  a u 'ln a;  e  '  e u ' với u  u  x  .. Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ; u. u. u. u. Đồng biến trên ¡ nếu a  1 , nghịch biến trên ¡ nếu 0  a  1 . Hàm số lôgarit y  log a x : Liên tục trên tập xác định  0;  , nhận mọi giá trị thuộc ¡ ..  lim log a x   x   Đạo hàm  log a x  ' .  log a u  ' . khi a  1  ; lim log a x   khi 0  a  1 x0 . khi a  1 khi 0  a  1. 1 1 1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x. u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u  u  x  . u ln a u u. Hàm số y  log a x đồng biến trên  0;  nếu a  1 , nghịch biến trên  0;  nếu 0  a  1 . Giới hạn:. ln 1  x  ex 1  1 lim 1    e;lim  1;lim 1 x  x 0 x x  x x. x 0. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính . 1. . 3. 1 2 1  1 2  1  3  1  5 0,75 0 2 3 3 3 A  81      ; B  0,001   2  .64  8   9   125   32 . Hướng dẫn giải.  1      5  .  . A   3. 3 4 4.   3. B  10. 3. 3. . 1 3.   1         2 . 1. 5.   . . 3 5. 3. 1 1 80 1 1      58  3  27 27 27 5  2. 1 3  3. .  2 . 2 2. 2 6 3. 4 3 3.   2 .  1  10  22  24  1  7 . 1 111  . 16 16. Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:. a 1. P. 3 4. a a. 7 3. . 1 3. 5 3. a a a a a a .a  1; Q  1  2 4 1  a 1 a3  a3 a3  a 3. .. 1 2. 1 3. 1 4. 4. Hướng dẫn giải.  P. .  . a  a  1 . a  a  1  a  1. a 1. 4. 4. 4. 1 3. Q. a 1. a 1  a 1. 2. 1 3. 4. a 1  a 1 1  a.   a 1  a   1  a   1  a   2a. a 3 1  a . . a. . 1 3. 2.  a  1. Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu a). 1 233. 1. b) 6. 5  13  48. Hướng dẫn giải a). 3 1 3 2   3 233 9 2. b) Vì 5  13  48  5 . . 3. . 3  2 33 3  2 3 9  4. . 1. 2. . 3 1. 2.  42 3 . . 32. . 2. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1. nên. 1.  3. 5  13  48. 6. 3. 3 1. . .  . 3 1 3 1. 2. . 3  1 .3 4  2 3 2. Bài toán 4.4: Không dùng máy, tính giá trị đúng: a). 15  6 6  15  6 6. Hướng dẫn giải. b). 3. 75 2  3 75 2. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851. . a) Ta có 3 2  2 3 nên. . 2.  18  12  12 6  30  12 6. 15  6 6  15  6 6 . 3 2 2 3 3 2 2 3  6 2 2. 15  6 6  15  6 6  x; x  0 .. Cách khác: Đặt. Ta có x 2  30  2 225  216  36 nên chọn x  6 .. . b) Ta có: 7  5 2  1  3 2  6  2 2  1  2. . Tương tự 7  5 2  1  2 Do đó. 3. . 3. . 3. . . 7  5 2  3 7  5 2  1 2  1 2  2 2. Cách khác: Đặt x  3 7  5 2  3 7  5 2 . Ta có:. . . x3  7  5 2  7  5 2  3  10 2  3. . 3. . 3. . . . . 7  5 2  3 7  5 2 .  3 7  5 2 7  5 2   . . 7  5 2  3 7  5 2  10 2  3x .. Ta có phương trình:. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . . . x3  3x  10 2  0  x  2 2 x 2  2 2 x  5  0  x  2 2 Bài toán 4.5: Tính gọn a). 4. 49  20 6  4 49  20 6. b). 4. 2 5 2 2 5  4 2 5 2 2 5 Hướng dẫn giải. a) Ta có. 49  20 6  4 25  10 24  24 . 4.  Tương tự: 4. Suy ra. 4. 4. . 3 2. . 4. 4. . 5 2 6. . 2.  3 2. 49  20 6  3  2 (do. 3 2). 49  20 6  4 49  20 6  2 3. b) Đặt M  4 2  5  2 2  5 , N  4 2  5  2 2  5 Ta có: MN . 4. 2  5 . 2. . .  4 2 5 1. M 4  N 4  4  2 5  M 4  N 2  2M 2 N 2  6  2 5 . . . 5 1.  5 1  M  N  5  2  M  N  2MN  5  3     2  2. Vậy. 4. 2. 2. 2. 2. 2. 2 5 2 2 5  4 2 5 2 2 5  M  N . 5 1 . 2. Bài toán 4.6:.  1  23  513 3 23  513   1 . Tính A  x3  x 2  1  3 4 4  . a) Cho x   3. 4 3 6 8 2k  k 2  1 200  9999   ...   ...  b) Tính B  1 3 2 4 k 1  k 1 99  101 Hướng dẫn giải a) Đặt a . 3. 23  513 23  513 ,b  3 4 4 Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 23 , ab  1 và 3x  1  a  b 2.  a 3  b3 . Vì  3x  1  27 x3  27 x 2  9 x  1 3.  27  x3  x 2  1  3  3x  1  29 nên.  3x  1 A. 3.  3  3x  1  29  a  b   3  a  b   29  27 27 3. 23 a3  b3  3ab  a  b   3  a  b   29 2  29 3    27 27 2 b) Với mọi k  2 thì.   2k  k  1  k 1  k  1 2.  B. .     k 1  2. k 1 .  k  1. 3. . 2. k 1 .  k  1.  k  1 k  1  . k 1. . k 1  k 1  k 1  k 1. . . 3. 2. . Do đó. 1 3 3  13  43  23  53  33  63  43  ...  1013  993   2. 1 999  1013  8 3 3 3  1  2  101  100   2 2 999  101 101  2 2  2 Bài toán 4.7: Cho sh  x  . a x  a x a x  a x a x  a x ; ch  x   ; th  x   x với a  0, a  1 . Chứng minh 2 2 a  a x. ch2  x   sh2  x   1 , th  2 x  . 2th  x  . 1  th 2  x  Hướng dẫn giải 2.  a x  a x   a x  a x  Ta có ch  x   sh  x       2 2     2. . 2. 2. a 2 x  a 2 x  2  a 2 x  a 2 x  2 4  1 4 4. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2  a 2 x  a 2 x   a x  a x  Ta có: 1  th  x   1   x  2x x  a  a 2 x  2 a a  2. 2. nên. . 2th  x  a x  a  x a 2 x  a 2 x  2 2 x . 1  th2  x  a  a  x 2  a 2 x  a 2 x . 2  a x  a  x  a x  a  x . 2. 2  a x  a  x  a 2 x  a 2 x . . a 2 x  a 2 x  th  2 x  . a 2 x  a 2 x. Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:. 1 1 1 1 1 1 1 1 thì n  n  n  n    a b c a  bn  c n a b c abc. a) Nếu. b) Nếu ax n  by n  cz n ,. 1 1 1    1 thì: x y z. ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c. n. Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy ra. 1 1 1 1    a b abc c.   a  b  . a  b  c  c  abc  ab  a  b  c    a  b  b  c  c  a   0.  có 2 số đối nhau mà ta có n lẻ  đpcm. b) VT =. n. 1 1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z x y z. 1 1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm. x y z Bài toán 4.9: Tính: 5. a) 3log3 18  18;35log3 2  3log3 2  25  32. 1   8. log 2 5.  1     32  b).   23 . log 0,5 2. log 2 5.  2.   1 5       2    . 3 log 2 5. 3.  2log2 5  53 . 1 125. log 1 25 2.  25  32 .. 1  6  2 log 7 36  log 7 14  3log 7 3 21  log 7    log 7 7  2 . 2  14.21 . Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức: Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a) A  log3 2.log 4 3.log 6 5.log 7 6.log8 7 b) B  a. log a b. b. logb a. Hướng dẫn giải a) A  log3 2.log 4 3.log5 4.log6 5.log 7 6.log8 7. . log log3 log 4 log5 log 6 log 7 log 2 1 1 . . . . .   log8 2  log 2 2  log3 log 4 log5 log 6 log 7 log8 log8 3 3. b) Đặt x  log a b  log a b  x 2  b  a x. 1 1  logb a  2 x x. Mặt khác logb a  Do đó: B  a x  a. 2. x2 .. 1 x.  0.. Bài toán 4.11: a) Cho log6 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a  log 2 3, b  log3 5, c  log7 2 , tính log140 63 theo a, b, c. Hướng dẫn giải. log 2 2.32 1  2log 2 3 log 2 3.5 log 2 3  log 2 5   a) Ta có x  và y  log 2 2.3 1  log 2 3 log 2 22.3 2  log 2 3 Suy ra log 2 3 . 2 y 1 x  1  2 y  xy ;log 2 5  2 y 2 y. log 2 23.3 5 y Do đó log 25 24  .  2 log 2 5 2  x  1  2 y  xy . . . b) log140 63  log140 32.7  2log140 3  log140 7. . 2 1 2 1    2 log3 140 log 7 140 log3  2 .5.7  log 7  22.5.7 . . 2 1  2log3 2  log3 5  log3 7 2log 7 2  log 7 5  1. Ta có log3 2 . log3 7 . 1 1  ,log 7 5  log 7 2.log 2 3.log3 5  cab ; log 2 3 a. 1 1 1   log 7 3 log 7 2.log 2 3 ca Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2. Vậy log140 63 . 2 1 b a ca. . 1 2ac  1  2c  cab  1 abc  2c  1. Đăng ký mua file word. trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:. alog3 7  27, blog7 11  49, clog11 25  11 Tính T  a.  log3 7 2.  b. log7 11. 2.  c. log11 25. 2. Hướng dẫn giải Ta có:. . T  alog3 7  27. log3 7. . log3 7.  49. .  blog7 11. log7 11. . . log7 11.  11. .  clog11 25. log11 25. . log11 25. 1 2.  7  11  25  469 . 3. 2. Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) a b). logc b.  blogc a. n  n  1 1 1 1 1    ...   log a b log a2 b log a3 b log an b 2log a b Hướng dẫn giải. log b log a a) a c  b b. b) VT =. logc b.  blogc b.logb a  blogc a. 1 2 3 n    ...  log a b log a b log a b log a b.  1  2  3  ...  n  .. n  n  1 1  log a b 2log a b. Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a 2  c 2  b2 thì logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a .. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân thì. log a d  logb d log a d  logb d  log c d log c d Hướng dẫn giải. a) Theo giả thiết: a 2   b  c  b  c  . Xét a  1 : đúng. Xét a  1 thì log a  b  c   log a  b  c   2 . 1 1  2 logbc a logbc a. nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a. c log d   1 1 b b) Ta có log a d  log b d    log d a log d b  log d a  log d b  c log d   1 1 a Tương tự: log b d  log c d    log d b log d c  log d b  log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do đó. c b c b   log d    log d   a a b a. log a d  logb d log d c log a d   logb d  log c d log d a log c d. Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh: a) Nếu log a x  1  log a x.log a z , log a y  1  log a y.log a x thì:. a A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  1 . x y z b) Nếu. x  y  z  x y  z  x  y  z  x  y  z    thì x y . y x  y z .z y  z x .x z log x log y log z Hướng dẫn giải. a) Từ giả thiết, ta có: log a x  1  log a x.log a z.  log a x . 1 1   log a z 1  log a z log a z a z. Do đó: log x a log a z  1 . Tương tự log y a log a x  1 z. x. Mà log a y  1  log a y.log a z , nên log a y  1 . log a y log a y  1  log a z  1  log a z log a y  1 Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  log a z  1  log a y.log a z Tương tự trên, ta cũng có log z a log a y  1. Do đó y.     A   log a x.log y a  .  log a y.log z a  .  log a z.log x a   1   x y z     b) Nếu một trong các số x  y  z, y  z  x, z  x  y bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến. x  y  z  0 , mâu thuẫn. Do đó x  y  z, y  z  x, z  x  y khác 0..  x  log y  .  y  z  x   y  log x  .  z  x  y   Từ giả thiết thì:  y  log z  .  z  x  y   z  log y  .  x  y  z    z  log x  .  x  y  z   x  log z  .  y  z  x  Ta có: x  log y  . y  z  x   y  log x  z  x  y .  x log y  y  log x  .. zx y yzx.  zx y   x log y  y log x  y  log x  .   1  yzx   x log y  y log x  y  log x  .. 2z zx y. Tương tự y log z  z log y  z  log y  .. 2x zx y. Do đó: x y . y x  y z .z y  x log y  y log x  y log z  z log y.  y log x.. 2z 2x  z log y. yzx zx y.  y  log x  . z  x  y   x  log y  y  z  x  : đúng Chứng minh tương tự: y z .z y  z x .x z . Bài. toán. 4.16:. Cho. các. số. thực. a,. b,. c. thỏa. mãn 1  a  b  c .. Chứng. minh. rằng:. log a  log a b   logb  logb c   logc  logc a   0 . Hướng dẫn giải Vì 1  a  b nên log a b  1  log a  log a b   logb  log a b   0 Ta có 1  a  c nên logc a  1 Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Suy ra 0  logc  logc a   logb  logc a  Do đó log a  log a b   logb  logb c   logc  logc a .  logb  log a b   logb  logb c   log b  log c a   logb  log a b.logb c.log c a   log b 1  0 13.   23  Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức P  x    x  x x  , x  0 .   a) Tìm hệ số của x13. b) Tìm số hạng không chứa x Hướng dẫn giải 13.   23  Số hạng tổng quát của P  x    x  x x  là:   13 k.   23  Tk 1  C  x    k 13. x x. a) Hệ số của x13 ứng với. k.  C .x k 13. 13 k 52 6. 13k  52  13  k  10 là: 16. 10 T11  C13  286 .. b) Số hạng không chứa x ứng với 13k  52  0  k  4 là T5  C134  715 . 6. 1   lg x 1  12 x  , biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm x? Bài toán 4.18: Trong khai triển nhị thức  x    . Hướng dẫn giải ĐK: x  0, x . 1 . Ta có: 10 6. 1 6 k 1 1  k    6 2 lg x 1 2 lg x 1 12  k lg x 1 12 12  x   x x  x    C6 x .x  k 0       6. Số hạng thứ 4 ứng với k  3 , theo giả thiết bằng 200 nên: 3 6. C x. 3 1  2 lg x 1 4.  200  x. 7  lg x 4 lg x  4.  10 . 7  lg x lg x  1 4lg x  4.  x  10 lg x  1  lg 2 x  3lg x  4  0    (Chọn). 4 lg x  4  x  10 Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài toán 4.19: Chứng minh các giới hạn:. log a 1  x  ax 1 1  ln a;lim  x 0 x 0 x x ln a. a) lim. n 1  ax  1 a  a b) lim 1    ea ;lim  x  x 0 x n  x x. Hướng dẫn giải. ax 1 eln a  1 e x ln a  1  lim  lim .ln a  ln a a) lim x 0 x 0 x 0 x ln a x x x. log a 1  x  ln 1  x  1  limlog a e  x 0 x 0 x x ln a. lim. a. x   a    x  1  a b) lim 1    lim 1     e a x  x   x  x     a      n. lim x 0. 1  ax  1  lim x 0 x x. . 1  ax  1 n. 1  ax . n 1.  n 1  ax . n2.  ...  1. . . a n. Bài toán 4.20: Tìm các giới hạn sau:. 2 x  5x  2 x0 3x  5 x  2. e 2 x  e5 x x 0 x. b) lim. a) lim. Hướng dẫn giải.  e 2 x  1 e5 x  1  e 2 x  e5 x  lim     2  5  3 x 0 x 0 x x x  . a) lim. 2 x  1 5x  1  2 x  5x  2 x x  ln 2  ln 5  ln10  lim b) lim x x x x x 0 3  5  2 x 0 3  1 5  1 ln 3  ln 5 ln15  x x Bài toán 4.21: Tìm các giới hạn sau: a) lim x 0. ln 1  3x 2  1  cos 2 x. 6 x  3x x 0 ln 1  6 x   ln 1  3 x . b) lim Hướng dẫn giải. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> a) lim x 0. ln 1  3x 2  1  cos 2 x.  lim x 0. ln 1  3x 2  2sin 2 x.  3ln 1  3x 2   sin x 2  3 1  lim  :   2 x0  3x 2 x   2   .  6 x  1 3x  1   ln 1  6 x  ln 1  3x   6 x  3x  lim     : x 0 ln 1  6 x   ln 1  3 x  x 0 x x x x    . b) lim. 1   ln 6  ln 3 :  6  3  ln 2 . 3 Bài toán 4.22: Tìm các giới hạn sau:. 1   a) lim 1   x   x 3.  x 3 b) lim   x  x  1  . x. x. Hướng dẫn giải x. x 3  1  1   x 3  1 a) lim 1   1    xlim   e e x    x 3  x  3   x. 2x. x 1 x 1   2     x x  2  1    x 3  2  b) lim  1  x  1    e   xlim 1    xlim  x  x  1      x 1    2    . Bài toán 4.23: Tìm các giới hạn sau: 1.  ax  bx  x b) lim   với 0  a, b  1 . x 0  2 . e 2 x  3 1  x 2 a) lim x 0 ln 1  x 2  2. Hướng dẫn giải 2  e2 x2  1 3 1  x 2  1  ln 1  x 2  e2 x  3 1  x 2 a) lim  lim   : 2 2 x 0 x 0   x x x2 ln 1  x 2   .  2 x 2 1  e  lim  2  x 0 2 x 2  .  2 7  ln 1  x  :  2  x 3  3 1  x2  1   1. 3. 1  x . 2 2. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1 1   x x x a  bx  ax  bx  x   a b 1    1 2 b) lim    lim 1  x 0 x 0   2 2     .  lim e. a x b x 1 2 x. x 0.  lim e. a x 1 b x 1  2x 2x. x 0. e. ln a  ln b 2.  eln. a x b x 1 2 x. ab.  ab. 1 x.  a b    ab  2  x. x. Vậy lim  x 0. Bài toán 4.24: Tính các giới hạn sau:. 1   1    x  1 ln x . b) lim 1  x . a) lim  x 1. cot x. x 0. Hướng dẫn giải. 1  ln x  x  1  1    lim  x  1 ln x  x1  x  1 ln x. a) lim  x 1. 1 1 ln x  x  1 '  x  lim  lim x 1  x  1 ln x '   x1 ln x  x  1 x. 1  x  '  lim 1   1 1 x  lim x 1 ln x  x  1 x 1  x ln x  x  1 ' x 1 ln x  2 2.  lim. 1 ln 1  x   ' ln 1  x   b) Ta có: lim  cot x ln 1  x    lim  lim  lim 12 x  1 x 0 x 0 x  0 tan x  tan x  ' x0 tan x  1 nên lim 1  x . cot x. x 0.  lim e. cot x ln 1 x . x 0. lim  cot x ln 1 x  .  e x 0. e. Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau: 1. a) lim  cos x  2 x2 x 0. 5. b) lim  cos3x  x x 0. Hướng dẫn giải. ln  cos x   ln  cos x   '  lim  tan x  lim   tan x  '  lim 2 x 0 x 0 2x  2 x 2  ' x 0 4 x x 0  4 x  '. a) Ta có lim. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  lim .   tan 2 x  1. x 0. 4. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. 1 4. . khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Nên lim  cos x  x 0. 1 2 x2. ln  cos x .  lim e x 0. 5ln  cos3x   lim x 0 x 0 x. b) lim. lim.  x '. Nên lim  cos3x   lim e. 5ln  cos 3 x  x. x 0. ln  cos x . e. e. 2 x2. x 0.  5ln  cos3x   '. 5 x. x 0. e. 2 x2. . 1 4. 15sin 3x  lim cos3x  0 x 0 1 . lim. 5 ln  cos 3 x  . x 0. x.  e0  1. Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau: 1.   ln x 1 a) lim   2 x   x  x 1 . b) lim x . ln  x   x . Hướng dẫn giải.   1 a) lim   2 x   x  x 1 . 1 ln x. x . . ln x  x 2  1 Ta có: lim. x . .  lim x  x  1 2.   lim. x . ln x. . 1 ln x. 1 x2  1  1 1 x. 1.   ln x 1 1 Vậy: lim   e e 2 x   x  x 1 . 1 1 x ln  x  ln   x  ln    lim ln   lim b) lim x  x   x  x   x   x  Đặt g  x   ln  x thì g    ln  và g '  x   ln  Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Theo định nghĩa đạo hàm ta có:. g  x   g   ln  x  lim  g '    ln  x  x   x  x . lim. Bài toán 4.27: Tìm đạo hàm của hàm số sau: a) y  x. 2 x  2 x b) y  x 2  2 x. e 1. 2. 4x. c) y  x5  5x  x x Hướng dẫn giải. a) y '  2 x e. b). 2 y'  2 . x. x. 4x. 1 . 2 x 2e4 x e 1 4x. . 2 x  x  1 e4 x  1 e4 x  1. ln 2  2 x ln 2  2 x  2 x    2 x  2 x  2 x ln 2  2  x ln 2 . 2.  2 x    2 x  2 x  2. 2. x.  2 x . x.  2 x . 2. 2. ln 2 2 . 2. 2. 4ln 2 2 x.  2 x . 2. c) Ta có y  x5  5x  x x  x5  5x  e x ln x nên. y '  5x4  5x ln 5  e x ln x  ln x  1  5x 4  5x ln 5  x x  ln x  1 Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:. . a) y  ln x  x 2  a 2 b) y  log. 3.  x. 2. .  5x  6. c) y  cos x.e2 tan x Hướng dẫn giải. x. 1 a) y ' . x2  a2  x  x2  a2. b) y ' . 2 x  5 4 x  10  2   x  5x  6 ln 3   x  5x  6 ln 3. 1 x  a2 2. 2. c) y '   sin x.e2 tan x . 2  2  .e2 tan x  e2 tan x   sin x  cos x  cos x . Bài toán 4.29: Chứng minh: a) Nếu y  e4 x  2e x thì: y ''' 13 y ' 12 y  0 Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> x2 1 b) Nếu y   x x 2  1  ln x  x 2  1 thì: 2 y  xy ' ln y ' 2 2 Hướng dẫn giải a) y '  4e4 x  2e x , y ''  16e4 x  2e x , y '''  64e4 x  2e x nên:. y ''' 13 y ' 12 y   64e4 x  2e x   13 4e4 x  2e x   12  e4 x  2e x   0 1 2 x x2  1 x 1   2 2 x2  1 2 x  x2  1. b) y '  x .  x. x. 1. 2. . 2x2  1 2 x 1 2. . 1 2 x 1 2. .  x  x2  1. . Do đó, ta có: 2 y  x 2  x x 2  1  ln x  x 2  1. . . xy '  x 2  x x 2  1 và ln y '  ln x  x 2  1. .  2 y  xy ' ln y ' : đpcm. Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. . . b) y  ln 6 x 2  x  1. a) y  5kx. Hướng dẫn giải a) y '   k ln 5 .5kx ; y ''   k ln 5 .5kx 2. Ta chứng minh quy nạp: y b) Với x  .  n.   k ln 5 .5kx n. 1 1 hoặc x  : 3 2. y  ln   2 x  1 3x  1   ln 2 x  1  ln 3x  1.  y' . 1 1  2 x  1 3x  1.  1  Ta chứng minh quy nạp    ax  b  Suy ra y.  n.  m.  1 m!a m  m 1  ax  b  m. 1  n  1!2n1  1  n  1!3n1    n n  2 x  1  3x  1 n 1. n 1. Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số: Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ex a) y  x. b) y  x 2 .e x Hướng dẫn giải. e x  x  1 a) D  ¡ \ 0 , y '  , y '  0  x  1. x2 BBT. . x. 0 −. y'. −. 0. +. . . . y. . 1. . e. Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng  ;0  và  0;1 đồng biến trên khoảng 1;  , đạt CT 1;e . . . b) D  ¡ , y '  2 x  x 2 e x , y '  0  x  0 hoặc x  2 . BBT. x. . 0 −. y'. y. 0. . 2 +. . 0. −. 4e2. . 0. Vậy hàm số đồng biến trong khoảng  0;2  , nghịch biến trong các khoảng  ;0  và  2;  , đạt CĐ.  2;4e  , CT  0;0 . 2. Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:. . . b) y  x  ln 1  x . a) y  ln x 2  1. Hướng dẫn giải a) D   ; 1  1;   , y ' . 2x x 1 2. Khi x  1 thì y '  0 nên hàm số nghịch biến trên  ; 1 Khi x  1 thì y '  0 nên hàm số đồng biến trên 1;  Hàm số không có cực trị.. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> b) D   1;   , y '  1 . 1 y  , y'  0  x  0 1 x 1 x. y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến trên  0;  y '  0, x   1;0  nên hàm số nghịch biến trên  1;0  Ta có y '' . 1. 1  x . 2.  0 nên đạt cực tiểu tại x  0, yCT  0 .. Bài toán 4.33: Cho a, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số. f  x . ax bx cx đồng biến với mọi x dương.   bx  cx cx  a x a x  bx. x x x x x x  a x  a .ln a  b  c   a  b .ln b  c .ln c  ' Ta có  x 2 x  b c  bx  c x . . a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c . b. x.  cx . 2. /  a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c   ax      Do đó f '  x     x   2 x   sym  b  c  sym  bx  c x   .  a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b        2 2 x x sym   a x  c x    b  c   a b x. sym.  a  b  a  b  2c   0  ln a  ln b   a  c  b  c  x. x. x. x. x. x 2. x. x. x. x 2. Bài toán 4.34: So sánh các số: a). 4. 13 và. 5. 23. b). 3. 7  15 và 10  3 28. Hướng dẫn giải a). 4. 13  20 135  20 371293; 3 23  20 234  20 279841. Ta có 371293  279841 nên b). 3. 4. 13  5 23. 7  15  2  4  3  3  10  3 28. Bài toán 4.35: So sánh các số:. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 600. a) 3. và 5.  1  b)    3. 400. 4 5. và 33. 2. Hướng dẫn giải.  . a) Ta có: 3600  33. 5400   52   1  b) Ta có    3. 200. 4 5. 200.  27200 và.  25200 . Vậy 3600  5400. 1    3. 2 5. 3 2. và 3. . Ta có 3 2  2 5  3 2. 1 1 Vì cơ số 0   1 nên   3  3. 1    3.   2 5  2. 2 5. 1    3. 2. 3 2. 3 2.  18  20 : đúng  1     3. 4 5.  33. 2. .. Bài toán 4.36: Hãy so sánh các số: a) log3 4 và log 4. 1 3. log6 11. b) 3. và 7. log6 0,99. Hướng dẫn giải. 1 1  0 , suy ra log3 4  log 4 3 3. a) Ta có log3 4  1 và log 4 b) Ta có log6 1,1  0 nên 3.  30  1 (vì 3  1 ) và log6 0,99  0 nên 7log6 0,99  70  1 (vì 7  1).. log6 1,1. log6 1,1. Suy ra 3.  7log6 0,99 .. Bài toán 4.37: Hãy so sánh các số: b) log 4 9  log9 25. a) log8 27  log9 25. Hướng dẫn giải a) log8 27  log8 25  log9 25 b) log 4 9  log 2 3  log8 27  log9 25 Bài toán 4.38: a) So sánh hai số 11  22  33  ...  10001000 và 22 N2. b) Chứng minh với n số 2, n  6 thì 22. 22. 2.  222...2222...2 Hướng dẫn giải. 22. a) Ta thấy rằng 2. 22. 24.  22  22. 16. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:. Mà 210  1024  1000,26  64. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851  2  2 .2  64000 nên 2 16. 10. 6. 22. 22.  264000. Mặt khác: 12  22  33  ...  10001000  1000.10001000  10001001.   210 . 1001. Từ đó suy ra 2. 22. 22.  210010  264000.  12  22  33  ...  10001000. b) Ta chứng minh quy nạp 2n2  n, n  6 Với n số 2, đặt an  2nN , bn  222...2222...2 2. Ta có 222...2  10n  24 n nên. bn   2. . 4n 4n 2.  24 n.2  22 4n. 5n. n2. Và mặt khác an2  5n  22N  8.2n2  22 2. Nên an  22. an  2.  2n1  0.  22  bn . Ta có đpcm. 5n. Bài toán 4.39: Chứng minh: a) log n  n  1  log n1  n  2  với mọi số nguyên n  1 b) a m  bm  c m , nếu m  1, a  b  c với a  0, b  0 Hướng dẫn giải.  . a) A  log n  n  1  log n n 1 . 1  1   1  log n 1   n  n. 1  1    B  log n1  n  2   log n1  n  1 1    1  log n1 1    n 1  n 1 Ta có 1 . 1 1 1   1   1  log n 1    log n 1   n n 1  n  n 1 Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span>  . và log n 1 . 1  1     log n1 1   n 1  n 1. 1   1   log n 1    log n1 1   . Do đó A  B .  n  n 1 m. m. a b b) Ta có a  b  c        1 c c m. m. m. Mà a  b  c, a  0, b  0 nên 0  m. 1. a a Suy ra với m  1 thì      c c m. a b  1,0   1 c c m. 1. b b ;     c c. m. a b a b Từ đó ta có:         1 c c c c Bài toán 4.40: a) Cho a, b, c  0 . Chứng minh a a .bb .cc  ab .bc .c a b) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh: 2 2 2  2   2  2 3 3 3 b  b  c  c  a  a        . Hướng dẫn giải a) Giả sử a  max a; b; c . - Xét a  b  c : BĐT  a ab .bbc  cac Vì a  b  c  0 nên a ab .bbc  cab .bbc  cac - Xét a  c  b : BĐT  a ab  bcb .ca c Vì a  c  b  0 nên bcb .cac  acb .aac  aa b b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác. Khi đó, ta có 2 3. 2 3. 2 3. a  b  c , a  b  c nên: 2. 2. 2. 2 2 2 2 2 2  2  2   2   2   2 2 3 3 3 3 3 3 và a a   a a   b c   c b   b c   b c                . Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn nên b2  c 2  a 2 1 3. 1 3. 1 3. x  a ; y  b ; z  c thì y3  z 3  x3 Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> . Ta có: y 2  z 2. . 3.  y 6  z 6  3 y 2 z 2  y 2  z 2   y 6  z 6  2 y 3 z 3   y 3  z 3    x3   x 6 2. 2 3. 2 3. 2. 2 3. Suy ra y  z  x hay b  c  a  đpcm. 2. 2. 2. Bài toán 4.41: a) Cho a, b, c  0 . Chứng minh  abc . a b  c 3.  a a .bb .c c. 1  4 . b) Cho 4 số x, y, z, t   ;1 . Chứng minh:. 1 1 1    1  log x  y    log y  z    log z  t    logt  x    8 . 4 4 4    4  Hướng dẫn giải a) BĐT  log  abc . a b  c 3.  log  a a .bb .cc .   a  b  c  log  abc   3 log a a  log bb  log cc .   a  b  c  log a  log b  log c   3  a log a  b log b  c log c    a  b  log a  log b    b  c  log b  log c    c  a  log c  log a   0 BĐT này đúng vì cơ số 10  1 nên x  y  0  log x  log y hoặc 0  x  y  log x  log y nên.  x  y  log x  log y   0 , x  0, y  0 . 2. 1 1  b) Ta có:  a    0  a   a 2 với mọi a. 2 4  Và vì. 1  x, y, z, t  1 nên hàm nghịch biến, do đó: 4. VT  log x y 2  log y z 2  log z t 2  logt x 2.  2  log x y  log y z  log z t  logt x   8. 4 log x y.log y z.log z t.logt x  8 4 1  8 . Bài toán 4.42: Chứng minh: a) nn1   n  1 , n  ¥ , n  3 n. b). n. x n  y n  n1 x n1  y n1 với n nguyên, n  2 và x, y  0 . Hướng dẫn giải. a) Với n  ¥ , n  3 , bất đẳng thức tương đương Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>  n  1 ln n  n ln  n  1  Xét f  x  . n 1 n  ln  n  1 ln n. x ln x  1 trên  3;  thì f '  x    0. ln x ln 2 x. Do đó f đồng biến trên  3;  nên: n  1  n  3  f  n  1  f  n  (đpcm) b) Với x  0 hoặc y  0 , bất đẳng thức đúng. Với xy  0 , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n. n. x  x 1     n1 1     y  y. n 1. . Xét f  t  . t n1.1  t . Ta có f '  t   n 1. 1  t . n 1 n  2 n. 1  t . n n 1. n n 1. 1 tn 1  t n1. với t   0;   .. ; f 't   0  t  1 .. BBT. x. 0. f 't . 0. . 1 +. 0. −. f t  1. 1. Suy ra f  t   1 với mọi t   0;    đpcm. Bài toán 4.43: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi x  0. x2 b) e  1  x  2. a) e  x  1. x. x. c) ln 1  x   x . x2 2 Hướng dẫn giải. a) Xét hàm số f  x   e x  x  1, x  0 thì f '  x   e x  1  0, x  0 nên f đồng biến trên  0;  vì f liên tục trên  0;  nên f đồng biến trên 0;   : x  0  f  x   f  0   0 : đpcm.. x2  x  1, x  0 thì f '  x   e x  x  1 . b) Xét f  x   e  2 x. Theo câu a) thì f '  x   0 nên f đồng biến trên  0;  . Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> x  0  f  x   f  0  0 : đpcm.. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 c) BĐT: ln 1  x   x . x2  0, x  0 2. x2 x2 0 Xét f  x   ln 1  x   x  , x  0, f '  x   2 1 x và f liên tục trên  0;  nên f đồng biến trên  0;  Do đó: x  0  f  x   f  0   0 : đpcm. Bài toán 4.44: Chứng minh:.     2. a) 4sin x  2tan x  23 x  2 , x   0; b) e x . x với mọi x x  2x  2 2. Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi:. 4sin x  2tan x  2 4sin x.2tan x  22sin xtan x 2 Ta cần chứng minh: 22sin x tan x2  23 x2  2sin x  tan x  3x Xét f  x   2sin x  tan x  3x,0  x . f '  x   2cos x .  2. 1 1  3  2cos 2 x  3 2 2 3  0 2 cos x cos 2 x    : x  0  f  x   f  0   0 : đpcm.  2. nên f đồng biến trên 0;. b) Nếu x  0 thì BĐT đúng. Nếu x  0 , vì x 2  2 x  2  0, x nên. Trang 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> BĐT  x 2  2 x  2 . x . Xét f  x   x 2  2 x  2, x  0 x e. f '  x   2 x  2, f '  x   0  x  1 . Lập BBT thì min f  x   f 1  1 x e x  xe x 1  x Xét g  x   x , x  0, g '  x    x ; g ' x  0  x  1 e e2 x e Lập BBT thì max g  x   g  x  . 1 . Vì min f  x   max g  x   đpcm. e. Bài toán 4.45: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) e x  cos x  2  x . x2 , x 2. . . b) e x  e x  2ln x  1  x 2 , x  0 . Hướng dẫn giải. x2 a) Xét hàm số f  x   e  cos x  2  x  , D  ¡ 2 x. f '  x   e x  sin x  1  x; f '  x   0  x  0 f ''  x   e x  1  cos x  0, x nên f '  x  đồng biến trên ¡ , ta có:. f '  x   f '  0  0, x; f '  x   f '  0   0, x  0 . BBT:. . x. . 0. f ' x. −. 0. . f  x 0 Vậy f  x   e x  cos x  2  x . x2  0, x 2. . . b) Xét hàm số f  x   e x  e x  2ln x  1  x 2 , D  0;  . f '  x   e x  e x  Vì e x  e x  2 và. 2 1 x. 2. 2 1 x. 2. : f ' x   0  x  0 ..  2 nên f '  x   0, x  0 . Trang 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Do đó f  x  đồng biến trên  0;  nên f  x   f  0   0  đpcm. Bài toán 4.46: Cho 0  x  1;0  y  1 và x  y . Chứng minh rằng:. 1  y x   ln  ln 4 y  x  1 y 1 x  Hướng dẫn giải Do x  y , không giảm tổng quát, giả sử y  x . Xét hàm số.  2t  1  0 t f t    4t , với 0  t  1  f '  t   1 t t 1  t  2. Vậy. ln. f t . là. hàm. đồng.  0;1. trên. biến. mà. yx. nên. ta. có. f  y  f  x. hay. y x  4 y  ln  4 x và do y  x  0 nên suy ra: 1 y 1 x. 1  y x   ln  ln   4  đpcm. y  x  1 y 1 x  b. 1   1  Bài toán 4.47: Cho a  b  0 . Chứng minh  2a  a    2b  b  2   2  . a. Hướng dẫn giải Với a  b  0 , bất đẳng thức tương đương b. b. b a  4a  1   4b  1  a b  a    b    4  1   4  1  2   2 .  b.ln  4  1  a.ln  4  1  a. Xét f  x  . f ' x . b. ln 1  4 x  x. ln 1  4a  a. . ln 1  4b  b. ,x  0. 1  4 x ln 4 1 x x  . x  ln 1  4  4 .ln 4 x  1  4 x  .ln 1  4 x   0     2 x 2 x  1 4  x. . . nên f nghịch biến: a  b  0  f  a   f  b  : đpcm. Bài toán 4.48: Cho p  1, q  1 thỏa p  q  pq và a, b  0 . Chứng minh ab . a p bq  p q Hướng dẫn giải Trang 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> a p bq Xét hàm số f  a     ab với a  0 . p q. f ' a   a. p 1.  b, f '  a   0  a. p 1. ba b. 1 p 1. Mà p  1  pq   p  1 q  1  1 nên a  bq 1. . . Lập BBT thì min f  f bq 1  0  đpcm. Bài toán 4.49: Cho a, b  0 và a  b  1 . Chứng minh bất đẳng thức. eaxby  a.e x  b.e y , x, y Hướng dẫn giải Ta có b  1  a do đó 0  a  1 nên BĐT:. e. ax 1 a  y.  e y .e.  a.e x  1  a  e y. a x  y .  e y  a  e x y  1. e. a x  y .  a.e x y  a  1  0. f '  t   a  eat  et  , f ' t   t  0. Xét f  t   eat  a.et  a  1, t  ¡ . BBT. x. . . 0. f'. +. f. 0. −. 0. Suy ra f  t   0, t  đpcm. Bài toán 4.50: Cho a, b, c  0 . Chứng minh b)  a  b    b  c    c  a   2. a) ab  ba  1. c. a. b. Hướng dẫn giải a) Nếu a  1 hoặc b  1 thì ab  ba  1 Nếu 0  a, b  1 . Xét f  x   1  x   1   x, x  0,0    1 . f '  x    1  x .  1.   1      1 0  1  x 1   . nên x  0  f  x   f  0   0  1  x   1   x . (*) Trang 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Áp dụng a . 1 1 a 1 , x  0  ab   1 x 1  xb a  b  ab. Tương tự: b a . 1 b 1   ab  ba  1 1  ya a  b  ab. Đăng ký mua file word trọn. bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 b) Trong. b  c . 3 a. a  b, b  c, c  a nếu có một số, chẳng hạn a  b  1 thì. số.  a  b. c.  1 và.   c  a   ba  ab  1 suy ra đpcm. Còn nếu cả 3 số đó bé hơn 1 thì dùng bất đẳng thức (*). b. 3. BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 4.1: Thực hiện phép tính. 1 A  27     16  2 3. 0,75. B   0,5.  250,5. 4.  1  6250,25   2   4. 1. 1 2.  19  3. 3. Hướng dẫn Dùng 5 quy tắc về mũ. Kết quả A  12, B  10 . Bài tập 4.2: Rút gọn các biểu thức: 2.  4 ax3  4 a3 x 1  ax  a a a) R    4  với a  0, x  0, a  x .  . 1 2   x x a  x ax  . a  a2  b a  a2  b b) S  , với a, b  0, a 2  b .  2 2 Hướng dẫn. . a) Kết quả R  ax 1 . . b) Kết quả S . a  a x. . x a. . a  a2  b a  a2  b  2 2. Bài tập 4.3: Tính gọn Trang 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> a). 42 3  42 3  2. b). 3. 9  80  3 9  80  3. Hướng dẫn a) Viết bình phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi bình phương. Kết quả. 42 3  42 3  2. b) Viết lập phương đủ trong căn thức hay đặt ẩn phụ VT rồi lập phương. Kết quả.  a Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:  3  b . 3. 9  80  3 9  80  3. 21. b   , tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng 3 b. nhau. Hướng dẫn Dùng nhị thức Niutơn:  a  b   2. n. C a k 0. 9  Kết quả C21. k n. nk. bk. 21!  293 930 . 9!12!. Bài tập 4.5: a) Tính log 3 50 theo log3 15  a,log3 10  b . b) Tính ln 6, 25 theo c  ln 2, d  ln 5 . Hướng dẫn a) Đưa về cơ số 3. Kết quả 2a  2b  2 b) Đưa về cơ số e. Kết quả 2d  2c . Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a 2  b2  7ab thì log 7. ab 1   log 7 a  log 7 b  3 2. b) Nếu log12 18  a,log 24 54  b , thì ab  5  a  b   1 . Hướng dẫn a) a 2  b2  7ab   a  b   9ab hoặc biến đổi tương đương điều cần chứng minh. 2. b) Đưa về cơ số 2: log 2 3 . 3b  1 2a  1 và log 2 3  . 3b 2a. Bài tập 4.7: Tìm các giới hạn sau:. sin 4 x a) lim 2 x x 0 e  7x. 1  2x  4 1  x b) lim x 0 tan x 3. Hướng dẫn Trang 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> a) Chia tử và mẫu thức cho x. Kết quả. 4 3  ln 7. b) Thêm bớt 1 trên tử thức rồi chia tử và mẫu thức cho x. Kết quả. 5 12. Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y . x  1.log3 x 2. b) y . 2. ln  x 2  1 x. Hướng dẫn a) Kết quả y ' . 2 x2  1  ln 3 x x2  1. x log3 x 2. ln  x 2  1 2  b) Kết quả y '  2 x 1 x2   f  x  1 x , x, y  ¡ . Tính f '  x  . f x  y  f x . f y        . Bài tập 4.9: Cho f liên tục trên ¡ : . Dùng định nghĩa và kẹp giới hạn. Kết quả f '  x   e x . Bài tập 4.10: So sánh các số: a). 3  30 và 3. 3. 63. b).  3. . 7 6. và. 3. 31 4. 1 3. Hướng dẫn a) So trung gian. Kết quả.  3. b) Kết quả. . 5 6.  3 31 4. 3  3 30  1  3 27  4  3 64  3 63. 1 3. Bài tập 4.11: a) Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:. log. log 5  log 7 5 7 và 2 2. b) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm GTNN của. K. 1 1 1   4  2ln 1  x   y 4  2ln 1  y   z 4  2ln 1  z   x Hướng dẫn Trang 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> a) Đặt a  log. Suy ra. log 5  log 7 5 7 và b  2 2. 5 7  10a và 2. Kết quả log. 5 7  10b .. 5  7 log 5  log 7 .  2 2. b) Dùng bất đẳng thức AM-GM.. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851. Trang 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span>