Tài liệu Bài giảng Hình Họa docx

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT
0











BÀI GIẢNG
HÌNH HỌA









GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ
Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật

ĐÀ NẴNG - 2005
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu
M U

A. MC CH V YấU CU
1) Mc ớch
Hỡnh ho l mt mụn hc thuc lnh vc Hỡnh hc, nhm:
Nghiờn cu cỏc phng phỏp biu din cỏc hỡnh trong khụng gian lờn mt mt m thụng
thng l mt phng hai chiu
Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn trong khụng gian bng cach gii chỳng trờn
cỏc hỡnh biu din phng ú
Cung cp mt s kin thc hỡnh hc c bn hc tip mụn V k thut v gi
i quyt mt s
vn liờn quan n chuyờn mụn.
2) Yờu cu ca hỡnh biu din
Hỡnh biu din phi n gin, rừ rng, chớnh xỏc. Cỏc hỡnh biu din phi tng ng vi mt
hỡnh nht nh trong khụng gian; ngi ta gi tớnh cht ny l tớnh phn chuyn hay tớnh tng
ng hỡnh hc ca hỡnh biu din
3) Mt s ký hiu v quy c

Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau:
im Ch in nh: A, B, C,
ng thng Ch thng nh: a,b,c,
Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa
nh: , , , , A, B, C,
S liờn thuc Ký hiu
nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q),
Vuụng gúc nh: a b
Giao nh: A= d l
Kt qu = nh: g= mp mp
Song song // nh: d // k
Trựng nh: A B

B. CC PHẫP CHIU
I. PHẫP CHIU XUYấN TM
1) Cỏch xõy dng
Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1)
Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau:
V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A

A

A
S
P
Ta cú cỏc nh ngha:
P : Mt phng hỡnh chiu
S : Tõm chiu
Hỗnh1
SA : ng thng chiu hoc tia chiu

A : Hỡnh chiu xuyờn tõm ca im A t tõm
chiờỳ S lờn mt phng hỡnh chiu P .
Phộp chiu c xõy dng nh trờn c gi l phộp
chiu xuyờn tõm vi tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P.
Mt phộp xuyờn tõm c xỏc nh khi bit tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P.

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
1
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu
ắ Chỳ ý
a) Hỡnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hỡnh ta chiu mt s im thnh phn ca hỡnh
xỏc nh hỡnh ú
b) Nu trong khụng gian clic ta b sung thờm cỏc yu t vụ tn thỡ:
_ Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im vụ tn:
a // b a b = M

Nh vy biu din mt im vụ tn ta biu din nú bng mt phng ng thng
_ Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng vụ tn
mp // mp mp mp = d


2) Tớnh cht
1. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca mt ng thng khụng i qua tõm chiu l mt ng thng
Khi chiu ng thng a, cỏc tia chiu SA, SB hỡnh thnh mt mt phng (SAB) gi l mt
phng chiu. Do ú hỡnh chiu a(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hỡnh 2)
2. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca nhng ng thng song song núi chung l nhng ng thng
ng qui
Gi s cho a // b nờn cỏc mp(S,a) v mp(S,b) s giao vi mp(P) cho cỏc giao tuyn a, b ct
nhau ti
im M (M l hỡnh chiu xuyờn tõm ca im M

ca ng thng a, b) (hỡnh 3)









P
P
S
M'
S
A

B
B'
A
'
a
a'
a
b
b'
a'
A
B

B'
A

Hỡnh 2 Hỡnh 3

II. PHẫP CHIU SONG SONG
1) Cỏch xõy dng
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm khi tõm chiu S xa vụ
tn
Nh vy phộp chiu song song c xỏc nh khi bit mt phng hỡnh chiu P v phng chiu s

A

P
A
t
s



Hỗnh 4





Ngi ta chiu song song im A bng cỏch qua A v ng thng t song song vi phng s, v
giao im A = t mp(P ) thỡ A l hỡnh chiu song song ca im A t phng chiu s lờn mt
phng hỡnh chiu P (hỡnh 4).

2) Tớnh cht
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht
ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau:
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
2
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu
1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng
ng thng song song.
Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng
vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5)







P
P
s
s
a
'
b
'
b
a
C
'
B

'
A
'
C
B
A

Hỡnh 5 Hỡnh 6

2. T s n ca ba im phõn bit thng hng bng t s n ca ba im phõn bit hỡnh chiu
c
a chỳng

Cho ba im A, B ,C phõn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phõn bit thng
hng.(hỡnh 6). Theo nh lý Thalet, ta cú:



Ký hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau: (ABC) = (ABC)
''
''
BC
AC
CB
CA
=
III. PHẫP CHIU VUễNG GểC
1) Cỏch xõy dng
Phộp chiu vuụng gúc l trng hp c bit ca phộp chiờu
song song khi phng chiu s vuụng gúc vi mt phng hỡnh

chiu P : s P (hỡnh 7)
P
s



Hỡnh 7
2) Tớnh cht
Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh
cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau.
IV. NHN XẫT
Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng.
Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian
Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din.

ắ Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc
hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc .

========================


GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
3
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm

Bi 1 IM

I. THC CA IM
I.1 H thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc
a) Cỏch xõy dng

Trong khụng gian cho hai mt phng P
1
v P
2
vuụng gúc nhau, d hỡnh dung t P
1
nm
ngang, P
2
thng ng. Ta nhn c h thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc (hỡnh 1.1)










x

A
x
(III)
Cao<0, xa
<0
(II)
Cao>0, xa <0
(I)

Cao>0, xa
>0
A
X
A
2
A
1
A
1
A
2
A
X
P
1
(IV)
Cao<0, xa
>0
P
2

Hỡnh 1.1 Hỡnh 1.2

Xột mt im A bt k trong khụng gian.
_ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn P
1
v P
2
ta nhn c cỏc hỡnh chiu A

1
, A
2

_ Quay mp P
1
quanh trc x mt gúc 90
0
theo chiu mi tờn qui c nh (hỡnh 1.1) n trựng
P
2
. Vỡ mp (A A
1
A
2
) P
1
v P
2
nờn s vuụng gúc vi trc x ti im A
X
. Do ú sau khi
quay n v trớ mi ba im A
1
, A
X
, A
2
thng hng v vuụng gúc trc x (hỡnh1.2)

b) Cỏc nh ngha
_ P
1
Mt phng hỡnh chiu bng
_ P
2
Mt phng hỡnh chiu ng
_ x = P
1
P
2
Trc hỡnh chiu
_ A
1
Hỡnh chiu bng ca im A
_ A
2
Hỡnh chiu ng ca im A
_ A
1
A
2
( x) ng giúng
_ A
1
A
x
xa ca im A, qui c dng nu A
1
nm phớa di trc x

_ A
2
A
x
cao ca im A, qui c dng nu A
2
nm phớa trờn trc x
_ (A
1
, A
2
) Cp im hỡnh chiu ny gi l thc ca im A.Tht vy t A
1
, A
2
ta
cú th dng li c im A theo th t ngc li vi cỏch dng thc
ca nú

H thng P
1
v P
2
chia khụng gian ra lm 4 gúc phn t:
_ Gúc phn t 1 - L phn khụng gian nm trờn P
1
v trc P
2

_ Gúc phn t 2 - L phn khụng gian nm trờn P

1
v sau P
2

_ Gúc phn t 3 - L phn khụng gian nm di P
1
v sau P
2

_ Gúc phn t 4 - L phn khụng gian nm di P
1
v trc P
2


+ Mt phng phõn giỏc 1. L mt phng phõn giỏc ca P
1
v P
2
i qua gúc phn t th 1 v gúc
phn t th 3.
Nhng im thuc mt phng phõn giỏc1 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh
chiu bng i xng nhau qua trc hỡnh chiu x
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
4
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm
+ Mt phng phõn giỏc 2. L mt phng phõn giỏc ca P
1
v P
2

i qua gúc phn t th 2 v gúc
phn t th 4.

Nhng im thuc mt phng phõn giỏc 2 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh
chiu bng trựng nhau
(Hỡnh 1.3) l hỡnh khụng gian biu din mt phng phõn giỏc 1, mt phng phõn giỏc 2 v cỏc
gúc phn t ca h thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc P
1
v P
2


Phõn giỏc 2 Phõn giỏc 1
P
2
P
2
A

A
2
P
1
x
A
1
x

P
1

Hỡnh 1.3 Hỡnh 1.4

Nu ta t trc hỡnh chiu x vuụng gúc vi mt phng ca t giy thỡ h thng hai mt phng
hỡnh chiu P
1
, P
2
v hai mt phng phõn giỏc 1, 2 c biu din nh (hỡnh 1.4)
Túm li
thc ca mt im trong khụng gian l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng cú
th phõn bit hoc trựng nhau

I.2 H thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc


a) Cỏch xõy dng
Thờm vo mt phng P
3
vuụng gúc vi P
1
v P
2
, thng P
3
t phớa bờn phi ngi quan sỏt, ta
nhn c h thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc nh (hỡnh 1.5)

Hỡnh 1.5 Hỡnh 1.6
x

A

P
2
y
z
0
A
z
A
1
P
1

x
z
y

y
A

y
A
1
45
A
y
A
2
A
3
A
y

A
z
A
2
A
x
A
3
P
3
0
A
x
Gi y = P
1
P
3

; z = P
2
P
3
Xột mt im A bt k trong khụng gian.
_ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn cỏc mt phng P
1
, P
2
, P
3
ta nhn c cỏc hỡnh chiu
A
1
, A
2
,

A
3
.
_ Quay cỏc mp P
1
, P
3
ln lt quanh cỏc trc x, trc z mt gúc 90
0
theo chiu mi tờn qui c
nh (hỡnh 1.5). Trc y c tỏch ra lm hai phn, mt phn trc y theo mp P
1

n trựng vi trc
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
5
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm
z, mt phn trc y theo mp P
3
n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din
nh (hỡnh1.6)
b) Cỏc nh ngha
_ P
3
Mt phng hỡnh chiu cnh
_ A
2
A
z
xa cnh ca im A, qui c dng nu A
2
nm phớa bờn trỏi trc z
_ A
3
Hỡnh chiu cnh ca im A

ắ Chỳ ý
_ A
2
A
z
= 0 A
y

= 0 A
y
=

A
x
A
1

_ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba
ca im ú

Vớ d
Cho thc ca im B (B
1
, B
2
) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B.








Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b
B
Z
x

y
B
2
B
y
B
Y
B
3
B
2
B
1
x
B
1
y
Hỡnh chiu cnh B
3
ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B
y'
= 0B
y

II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian
Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P
1
, P
2

, P
3
lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x,
y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8)

Vi im A (x
A
, y
A
, z
A
) bt k trong khụng gian, ta cú:
_ Honh x
A
= 0A
x
: xa cnh ca im A
_ Tung y
A
= A
x
A
1
: xa ca im A
_ Cao z
A
= A
1
A : cao ca im A
Nh vy

Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng
gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú.
P
3
0
z
y
x
A
1
A

A
x

y
A
z
A
x
A
P
2
Hỡnh 1.8
P
1

Vớ d
Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng.

-2
+4
y
-
z
+
B
Z
B
Y
y
+
z
-
-5
Hỡnh 1.9
+2
+3
x
-
x
+
x
+
y
+
z
-
A
Y

A
X
A
z

y
-
z
+
+4
A
1
A
2
B
2
B
1
B
X
thc ca cỏc im A, B c biu din nh

(hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y,
z .
x
-
Trong ú:
OA
x
= +2; OA

Y
= +3; OA
Z
= +4
OB
x
= +4; OB
Y
= -2; OB
Z
= -5

III. MT VI V D GII SN

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
6
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm
Vớ d 1
Hóy v thc ca cỏc im sau:
_ im A thuc mt phng P
1

_ im B thuc mt phng P
2

_ im C thuc mt phng Phõn giỏc 1
_ im D thuc mt phng Phõn giỏc 2
_ im E thuc trc hỡnh chiu x

Gii
_ im A thuc mt phng P
1
nờn cú A
1
A; A
2
x
_ im B thuc mt phng P
2
nờn cú B
2
B; B
1
x
_ im C thuc mt phng phõn giỏc 1 nờn cú C
1
v C
2
i xng nhau qua trc x
_ im D thuc mt phng phõn giỏc 2 nờn cú D
1
D
2

_ im E thuc trc hỡnh chiu x nờn cú E
1
E
2
x ; (Hỡnh 1.10)

Hỡnh 1.10 Hỡnh 1.11

F
2
A
1
o
y
y
z
x
H
Y
F
Y
H

3
H
2
H
1
G
2
G
3
G
Y
G
1
F
Y
F
Y
G
Y
F
3
F
1
E
1
E
2
D
1
D

2
C
1
C
2
B
1
B
2
x
Vớ d 2
Cho thc ca cỏc im F, G, H (hỡnh 1.11). Hóy v hỡnh chiu cnh ca chỳng v cho bit
chỳng thuc gúc phn t th my?
Gii

Hỡnh chiu cnh ca cỏc im F, G, H c v theo chiốu mi tờn bt u i t hỡnh chiu bng
F
1
, G
1
, H
1
tip theo l mi tờn i qua hỡnh chiu ng F
2
, G
2
, H
2
. Ta s xỏc nh c cỏc hỡnh
chiu cnh F

3
, G
3
, H
3
; (Hỡnh 1.11)
_ im F cú cao dng, xa õm nờn im F thuc gúc phn t th 2
_ im G cú cao õm, xa õm nờn im G thuc gúc phn t th 3
_ im H cú cao õm, xa dng nờn im H thuc gúc phn t th 4

================




GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
7
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Bài 2 ĐƯỜNG THẲNG

I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó.
Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A
1
, A
2
) và B (B
1
, B
2

) thì :
Hai điểm A
1
, B
1
xác định hình chiếu bằng d
1
của đường thẳng d
Hai điểm A
2
, B
2
xác định hình chiếu đứng d
2
của đường thẳng d (hình 2.1)

B
2
d
1
d
2
A
2
B
1
A
1
x

d
1
d
2
x






Hình 2.1 Hình 2.2

Nếu d là đường thẳng thường (d
1
, d
2
không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ
thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) .

¾ Chú ý
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối
xứng nhau qua trục hình chiếu x
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng
trùng nhau
II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu
1) Đường bằng (h)
a) Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi h là đường bằng, ta có: h // P

1
(hình 2.3a)
h
2
h
1
B
1
A
2

B
2
β
A
1
A

B
A
1

B
1
A
2

B
2
h

1
h
2
h
β
x

x
P
2
P
1
β











Hình 2.3a Hình 2.3b

b) Tính chất:
• Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h
2
// x (hình 2.3b)

GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
8
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
• Hình chiếu bằng của đường bằng hợp với trục x một góc bằng góc của đường bằng hợp với
mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(h
1
, x) = ∠ (h , P
2
) = β
• Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng, bằng chính nó.
Giả sử A, B ∈ h ⇒ A
1
B
1
= AB (hình 2.3b)

2) Đường mặt (f)
a) Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng:
Gọi f là đường mặt, ta có: f // P
2
(hình 2.4a)

C
D
f
2
f
1
D
1
C
2
D
2
α
C
1
f
1
f
2
f
P
1
P
2
x
x
D
1

C

2

D
2
C
1
α
α
Hình 2.4a Hình 2.4b
b) Tính chất
• Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x : f
1
// x (hình 2.4b)
• Hình chiếu đứng của đường mặt hợp với trục x một góc bằng góc của đường mặt hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(f
2
, x) = ∠(f , P
1
) = α
• Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt, bằng chính nó.
Giả sử C, D ∈ f ⇒ C
2
D
2
= CD (hình 2.4b)

3) Đường cạnh (p)
a) Định nghĩa:
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh: p // P
3

(hình 2.5a)




z
x
z
x

P
2
p
2
p
1
E
2
F
2

α
E
1
P
1
α
β

F

1
E
3

F
3
E
1

F
1

E
2

F
2
E
3

F
3
β

β
α
0
y
0
y

’
y
P
3
P
3
p
2
p
1
P
P
3
F
E







Hình 2.5a Hình 2.5b
b) Tính chất
• Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x:
p
1
≡ p
2
⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không

gian. Vì vậy để biểu diễn một đường cạnh cụ thể ta cần phải biểu diễn đồ thức của hai điểm
thuộc đường cạnh đó; (hình 2.5b) biểu diễn đường cạnh p được xác định bằng hai điểm E, F

• Hình chiếu cạnh của đườ
ng cạnh lần lượt hợp với trục y’, z các góc bằng góc của đường
cạnh hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng :
∠(p
3
, y’) = ∠(p , P
1
) = α
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
9
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
∠(p
3
, z) = ∠(p , P
2
) = β
• Hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng thuộc đường cạnh, bằng chính nó.
Giả sử E, F ∈ p ⇒ E
3
F
3
= EF (hình 2.5b)

II.2 Loại đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu
(thì song song với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại )

1) Đường thẳng chiếu bằng (d)

a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: d⊥P
1

(Hình 2.6a )








d
2
x

P
2
x
B
2
A
2
A
B
2
A
2
d

2
d
A
1
≡B
1
≡d
1
A
1
≡
B
1
≡
d
1
B
P
1

Hình 2.6a Hình 2.6b
b) Tính chất
• Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm: d
1
một điểm
• Đường thẳng chiếu bằng vừa là đường mặt vừa là đường cạnh nên có những tính chất của hai
loại đường này, tức:
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng vuông góc với trục x:: d
2
⊥ x

- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu bằng, bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ d ⇒ A
2
B
2
= A
3
B
3
= AB ; (hình 2.6b)

2) Đường thẳng chiếu đứng (k)
a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng.
Gọi k là đường thẳng chiếu đứng, ta có: k ⊥P
2
(Hình 2.7a )









Hình 2.7a Hình 2.7b
x
k
1

D
1
C
1

C
2

≡ D
2
≡ k
2
x
P
2
P
1
C
1

C
D
1

D
C
2

≡ D

2
≡ k
2
k
1

k

b) Tính chất:
• Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm: k
2
một điểm
• Đường thẳng chiếu đứng vừa là đường bằng vừa là đường cạnh nên có những tính chất của
hai loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng vuông góc với trục x: : k
1
⊥ x
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
10
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
- Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ k ⇒ C
1
D
1
= C
3
D
3
= CD (hình 2.7b)

3) Đường thẳng chiếu cạnh (l)
a) Định nghĩa
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
Gọi l là đường thẳng chiếu cạnh, ta có: l ⊥P
3
(Hình 2.8a )











Hình 2.8a Hình 2.8b
x

P
2
y
z
0
x
z
y'
y

0
l
2
l
1
E
3
≡F
3
≡l
3
E
3
≡ F
3
≡l
3
P
3
l
l
2
l
1
P
1
F
E
F
1

E
1
F
2
E
2
E
1
F
1
F
2
E
2
b) Tính chất:
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành một điểm: l
3
- một điểm
• Đường thẳng chiếu cạnh vừa là đường bằng vừa là đường mặt nên có những tính chất của hai
loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu cạnh song song nhau và song
song với trục x: l
1
// l
2
// x .
- Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu cạnh bằng
nhau và bằng chính nó: Giả sử E, F ∈ l ⇒ E
1
F

1
= E
2
F
2
= EF (hình 2.8b)

III. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Sau đây sẽ trình bày hai định lý không chứng mimh
1) Điểm thuộc đường thẳng thường
Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường đường cạnh
Định lý
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường thẳng thường là các hình chiếu cùng tên của
điểm và đường thẳng đó thuộc nhau
Cho điểm A(A
1
, A
2
) và đường thẳng d(d
1
, d
2
),
(hình2.9); định lý trên được viết dưới dạng:




Hình 2.9
⎩

⎨
⎧
∈
∈
⇔∈
22
11
dA
dA
dA
d
1
d
2
x
A
2
A
1
2) Điểm thuộc đường cạnh
Định lý
Điều kiện cần và đủ để điểm C thuộc đường cạnh AB là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C trên các
hình chiếu bằng nhau .
Cho điểm C (C
1
, C
2
) và đường cạnh AB (A
1
B

1
, A
2
B
2
), định lý trên được viết dưới dạng:
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
11
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng


 Ví dụ
Cho đường cạnh AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
) và hình chiếu đứng C
2
của điểm C; (hình 2.10). Hãy vẽ hình
chiếu bằng C
1
của điểm C biết C∈ AB .
Để vẽ điểm C
1
ta thực hiện như sau:
_ Vẽ tia A

1
t bất kỳ, đặt trên đó các điểm C’, B’sao cho: A
1
C’ = A
2
C
2
; C’B’ = C
2
B
2

_ Nối B’B
1

_ Đường thẳng vẽ qua điểm C’song song với
phương B’B
1
cắt đường thẳng A
1
B
1
tại điểm C
1
là
điểm cần vẽ;
Thật vậy, theo định lý Thalet, ta có:
(A
1
B

1
C
1
) = (A
1
B’C‘)
Mà (A
1
B’C‘) = (A
2
B
2
C
2
) ⇒ (A
1
B
1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)
thoả mãn định lý trên ; (Hình 2.10)
Hình 2.10

3) Vết của đường thẳng
Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu

a) Vết bằng (M)
_ Định nghĩa:
Vết bằng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi M là vết bằng c
ủa đường thẳng d, ta có: M = d ∩ P
1
( Hình 2.11a)

_ Tính chất
+ Hình chiếu bằng của vết bằng trùng với chính nó : M
1
≡ M
+ Hình chiếu đứng của vết bằng thuộc trục x : M
2
∈ x ( Hình 2.11b)
x
B
2

C
2
A
A
C
1
B
1

C’
B
’
t
d
2
d
1
N
1
M
1
N
2
x
x
M
2
d
2
N
2
≡
N
M
2
N
1
d
1

M
1
≡M
d
P
1
P
2
C ∈ AB ⇔ (A
1
B
1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)

Hình 2.11a Hình 2.11b
b) Vết đứng (N)
_ Định nghĩa
Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi N là vết đứng của đường thẳng d, ta có: N = d ∩ P
2
; ( Hình 2.11a)

_ Tính chất
+ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó : N
2
≡ N
+ Hình chiếu bằng của vết đứng thuộc trục x : N
1
∈ x ; (hình 2.11b)

GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
12
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
IV.PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC
Phương pháp tam giác dùng để xác định độ dài thật của một đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng đó tạo với mặt phẳng hình chiếu

Giả sử có đoạn thẳng AB, chiếu vuông góc nó xuống P
1
được A
1
B
1

; (hình 2.12).
Kẽ AC // A
1
B
1

Trong tam giác vuông ACB, ta có: AC = A
1
B
1
và BC = ⏐BB
1
- AA
1
⏐: Hiệu độ cao của A, B.
Với nhận xét này ta có thể vẽ được độ dài thật của đoạn thẳng AB như sau:

“Vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc vuông A
1
B
1
là hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB,
cạnh góc vuông còn lại B
1
B
0
bằng hiệu độ cao hai đầu mút A, B; thì cạnh huyền A
1
B
0

là độ dài
thật của đoạn thẳng cần tìm và góc nghiêng
α
= (B
0
A
1
B
1
) là góc của đoạn thẳng AB hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng “.










Hình 2.12 Hình 2.13
α
P
1
x
B
1
A
1

B
2
B
1

A
1
B
0

α
B
2
C
A

B
Phương pháp xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc nghiêng của đoạn thẳng đó tạo với
mặt phẳng hình chiếu bằng P
1
đã nêu ở trên gọi là phương pháp tam giác.

Tương tự, ta cũng có thể xác định được độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng; bằng cách vẽ một tam giác vuông có một cạnh góc
vuông là hình chiếu đứng của đoạn thẳng, cạnh góc vuông còn lại bằng hiệu độ xa của hai đầ
u
mút đoạn thẳng đó
x
C
2

A
2
B
2
N
2
I
2
N
1
B
1
≡ I
1
M
2
A
1
Hình 12.14
C
1
M
1

V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN

 Ví dụ 1
Cho đường thẳng AB. Hãy xác định:
a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB
b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa

Giải
a) Gọi M, N lần lượt là vết bằng và vết đứng của đường
thẳng AB, ta có :
_ M
2
= A
2
B
2
∩ x ⇒ M
1
∈A
1
B
1
- là vết bằng của AB
_ N
1
= A
1
B
1
∩ x ⇒ N
2
∈ A
2
B
2
- là vết đứng của AB

b) Gọi I là điểm có độ cao gấp đôi độ xa và B
1
≡ I
1
. Đường thẳng N
1
I
2
cắt A
2
B
2
tại điểm C
2
là
hình chiếu đứng của điểm C cần tìm.
Từ C
2
∈ A
2
B
2
⇒ C
1
∈ A
1
B
1
; (Hình 2.14)

GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
13
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
 Ví dụ 2
Cho điểm A(A
1
, A
2
) và hình chiếu đứng B
2
của điểm B. Hãy xác định hình chiếu bằng của điểm
B trong các trường hợp sau:

a) Biết AB có độ dài l = 30 mm
b) Biết AB hợp với P
1
góc α < 90
0

c) Biết AB hợp với P
2
góc β < 90
0


Giải

a) Vẽ tam giác vuông A
1

A
0
B’ vuông tại A
1
có một cạnh góc vuông A
1
A
0
bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B; cạnh huyền A
0
B’ = AB = 30mm.

Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc vuông còn lại A
1
B’ bằng hình chiếu bằng A
1
B
1
của
AB. Như vậy B
1
là giao điểm của đường tròn (A
1
, A
1
B’) với đường gióng qua B
2
;
(Hình 2.15a)

β
90
0
-α
l= 30 mm
x
xx
A
2
B
0
A
2
A
2

B
2
B
2
B
2
B’
B
1
H
B’
B
1
B
1
B’
B’
B’
A
0
A
0
A
1
A
1
A
1
Hình 2.15a Hình 2.15b Hình 2.15c

b) Vẽ tam giác vuông A
1
A
0
B’ vuông tại A
1
có một cạnh góc vuông A
1
A
0
bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B. Vì ∠(AB, P
1
) = α nên theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A
0
B’ hợp với
cạnh A
1
A
0
góc 90
0
- α và cạnh góc vuông còn lại A
1
B’ bằng hình chiếu bằng A
1
B
1
của AB.
Như vậy B

1
được vẽ là giao điểm của đường tròn (A
1
, A
1
B’) với đường gióng qua B
2
;
(Hình 2.15b)

c) Vẽ tam giác vuông A
2
B
2
B
0
vuông tại B
2
có một cạnh góc vuông A
2
B
2
. Vì ∠(AB, P
2
) = β nên
theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A
2
B
0
hợp với cạnh A

2
B
2
góc β và cạnh góc vuông
còn lại B
2
B
0
bằng hiệu độ xa của hai điểm A, B, tức: B
2
B
0
= HB
1
= HB’
1
; (Hình 2.15c)

 Ví dụ 3
Cho điểm A(A
1
, A
2
). Hãy vẽ đường thẳng đi qua điểm A và nghiêng với mpP
1
, mpP
2
lần lượt
các góc nhọn α, β như hình 2.16a

Giải
_ Giả sử có đoạn thẳng AB nghiêng với mpP
1
, mpP
2
lần lượt các góc α, β.
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
14
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng thúng
_ Gia hỡnh chiu ng A
2
B
2
, hiu xa ca A,B; di tht ca AB v gúc nghiờng ca AB
hp vi mpP
2
liờn quan nhau bi tam giỏc vuụng A
2
B
2
B
0
; (Hỡnh 2.16b)
_ Gia hỡnh chiu bng A
1
B
1
, hiu cao ca A,B; di tht ca AB v gúc nghiờng ca AB
vi mpP
1

liờn quan nhau bi tam giỏc vuụng A
1
B
1
B
0
; (Hỡnh 2.16b)




















t
t
x

A
1
A
2
B
2
B
2

B
2

B
1

B
1
B
1

B
1
B
2

B
1
B
2
B

0
A
1

A
2


a) b) c)
Hỡnh 2.16

_ T (Hỡnh 2.16b), ta v thc ca im B (Hỡnh 2.16c) nh sau:
+ V hai ng thng t, t // x v cỏch A
2
on bng B
1
B
0
(hiu cao ca A, B)
+ V ng trũn (A
2
, A
2
B
2
), ct t, t ti 4 im B
2
, B
2
, B

1
, B
2
l cỏc hỡnh chiu ng ca
cỏc im B cn dng
+ ng trũn (A
1
, A
1
B
1
), ct cỏc ng giúng qua cỏc im B
2
, B
2
, B
2
, B
2
ti 4 im B
1
,
B
1
, B
1
, B
1
l cỏc hỡnh chiu bng ca cỏc im B cn dng; (Hỡnh 1.16c)
_ Bi toỏn cú 4 nghim

( hiu k hn hóy tham kho thờm bai s17
*
sỏch BI TP HèNH HO GII SN ca tỏc gi
Nguyn )

=====================











GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
15
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng

Bi 3
V TR TNG I GIA HAI
NG THNG


Ttrong khụng gian, hai ng thng cú cỏc v trớ tng i: giao nhau, song song v chộo nhau

I. HAI NG THNG GIAO NHAU

1) Hai ng thng thng giao nhau
ng thng thng l ng thng khụng phi l ng cnh 35

nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng
giao nhau ti cỏc im nm trờn mt ng giúng
Cho hai ng thng a,b (hỡnh 3.1), nh lý trờn c vit thnh:









=






=

x
I

I

I
b a
I
b

=
I
b a
2 1
22 2
11 1
a
2
I
2
b
2
x
b
1
a
1
I
1
a


Hỡnh 3.1
2) Mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau
nh lý

i
u kin cn v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cỏc hỡnh chiu
cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im tho mn thc ca im thuc ng cnh ú
Cho ng thng thng d v ng cnh AB,
nh lý trờn c vit thnh:





Hỗnh 3.2
A
2
t
B
x
d
1
I
2
B
2
A
1
B
1
I
1
I
J

1
J
2
d
2






=
=

=


=
)
(
)
(

1 2221 1
222 2
111 1
I
B
A
I

B

A

I
B
A

d

I
B
A

d

I
A
B
d



Vớ d
Cho ng cnh AB v hỡnh chiu ng d
2
ca ng thng d. Hóy v hỡnh chiu bng d
1
ca

ng thng d, bit d i qua im J v ct AB ti im I

Gii
Hỡnh chiu bng I
1
ca im I AB c v bng cỏch ng dng nh lý Thalet nh sau:
_ V tia A
1
t bt k ri t lờn ú cỏc on A
1
I = A
2
I
2
v IB = I
2
B
2

_ Ni BB
1

ng thng qua I song song vi BB
1
ct A
1
B
1
ti im I
1

; ta cú:(A
1
B
1
I
1
) = (A
2
B
2
I
2
)
I AB. Vy d
1
I
1
J
1
(Hỡnh 3.2)
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
16
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
II. HAI NG THNG SONG SONG
1) Hai ng thng thng song song
nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng song song nhau l cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn
ca chỳng song song nhau
Cho hai ng thng thg a,b; (hỡnh 3.3),
nh lý trờn c vit thnh:

a
2
b
2
x
Hỗnh 3.3
Chng minh
_ iu kin cn: Gi s a // b nờn cỏc cp mt phng chiu qua a, b song song nhau, do ú
chỳng s ct mt phng hỡnh chiu bng v mt ph
ng hỡnh chiu ng theo cỏc cp giao tuyn
song song nhau, tc l a
1
// b
1
v a
2
// b
2
.
_ iu kin : Gi s cú hai ng thng thng a, b tho món a
1
// b
1
v a
2
// b

2
. Bng cỏch
xõy dng ngc li phộp chiu vuụng gúc, cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng
hỡnh chiu bng qua a
1
, b
1
s ct cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu
ng qua a
2
, b
2
theo hai giao tuyn a, b song song nhau .

3) Hai ng cnh song song
Xột hai ng cnh cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau

nh lý
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l cú hai ng thng ta trờn chỳng
giao nhau hoc song song nhau
Cho hai dng cnh EF v GH,
nh lý trờn c vit thnh:

Hỡnh 3.4 Hỡnh 3.5
Chng minh
_ iu kin cn: Gi s EF // GH, thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn s cú hai ng
thng EH, GF ta trờn chỳng giao nhau ti I hoc song song nhau ( õy xột giao nhau)
_ iu ki
n : Gi s cú hai ng cnh EF, GH cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng
nhau v cú hai ng thng ta trờn chỳng EH GF = I hoc EH // GF. Thỡ bn im E, F, G, H
ng phng nờn hai ng cnh ú song song nhau, tc: EF // GH (Hỡnh 3.4)

ắ Chỳ ý
Ngoi ra ta cú th phỏt biu nh lý trờn nh sau:
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l hỡnh chiu cnh ca chỳng song
song nhau (Hỡnh 3.5)
b
1
a
1

//



22
11
//
//
ba
ba
ba

x
z
y'
y
E
3
x
0
F
3
H
3
G
3
H
1
G
1
F
1
E
1
H
1
G
1
F
1
E

1
I
1
I
2
G
2
H
2
F
2
E
2
F
2
H
2
G
2
E
2



=

GFEH
IGFEH
GHEF
//

//

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
17
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
Vớ d
Cho ng cnh AB v im M; (Hỡnh 3.6). Hóy v ng thng MN // AB

Gii
Vỡ AB l ng cnh nờn MN // AB cng l ng cnh. Trong mp(MAB), v N tho món
MN // AB, gi s bit trc N
2
hóy v N
1
nh sau:
Gi I = AN BM I
2
B
2
M
2
M N
2
A
2
I
2
N
1
A

1
I
1

I
1
B
1
M
1








Hỗnh 3.6 Hỗnh 3.7

III. HAI NG THNG CHẫO NHAU
Hai ng thng khụng tho món song song hoc giao nhau thỡ chộo nhau; (Hỡnh 3.7) biu din
hai ng thng c, d chộo nhau.
IV. HèNH CHIấ CA GểC VUễNG
nh lý
iu kin cn v mt gúc vuụng chiu xung mt phng hỡnh chiu thnh mt gúc vuụng
l gúc vuụng ú cú mt cnh song song vi mt phng hỡnh chiu v cnh gúc vuụng cũn li
khụng vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ú.

Hỡnh 3.8 Hỡnh 3.9 Hỡnh 3.10

Chng minh
_ iu kin cn: Gi s cú AOB = 90
0
v OA // P
1
. Chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh
chiu bng ta nhn c A
1
O
1
B
1
(Hỡnh 3.8), cn chng minh A
1
O
1
B
1
= 90
0

Ta cú: A
1

O
1
// AO
AO OB v AO OO
1
AO mp(B OO
1
) AO O
1
B
1
M A
1
O
1
// AO A
1
O
1
O
1
B
1

_ iu kin : Gi s AOB = 90
0
chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng c
gúc A
1
O

1
B
1
= 90
0
, ta cn chng minh gúc vuụng AOB cú mt cnh song song mt phng hỡnh
chiu bng P
1
; ta cú : A
1
O
1
mp(OO
1
B
1
) (1)
x
B
1
O
1
A
1
A
2
O
2
B
2

A
O
B
1
B
O
1
A
1
P
d
1
c
1
c
2
d
2
x

x

N
1
M
1
B
1
A
1

I
1
I
2
M
2
N
2
B
2
A
2
x
d
1
d
2
c
1
c
2
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
18
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
B
1
O
1
mp(OO
1

A
1
A) B
1
O
1
AO
M B O AO AO mp(OO
1
B
1
) (2)
T (1) v (2), AO // A
1
O
1
, tc AO // mp(P
1
)
(Hỡnh 3.9) biu din thc ca gúc vuụng AOB, cú cnh OA // mp(P
1
).

ắ Chỳ ý
nh lý trờn cng ỳng cho trng hp hai ng thng chộo nhau m vuụng gúc vi nhau.
(Hỡnh 3.10) biu din hai ng thng c, d chộo nhau m vuụng gúc nhau, vi c // P
1


Vớ d

C
1
x
B
2
C
2
H
1
B
1
A
1
H
2
A
2
Hóy v hỡnh chiu bng C
1
ca im C, bit rng tam giỏc
ABC cõn ti C, cho AB l ng bng, (Hỡnh 3.11) .

Gii
Gi H l trung im ca AB, vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn
CH AB, v li AB // mp (P
1
)., nờn theo nh lý trờn, ta cú
C
1
H

1
A
1
B
1
.
T ú ta v c C
1
l giao im ca ng giúng qua C
2
vi
ng thng A
1
B
1
ti H
1
Hỗnh 3.11

V. MT VI V D GII SN

d
1
x
c
1
A
2
b
1

B
1
B
2
c
2
d
2
b
2
a
1

A
1
a
2
Vớ d 1
Cho ba ng thng a, b, c chộo nhau; (Hỡnh 3.12). Hóy v
ng thng d song song vi c ct c a v b; trong ú a mp (P
1
)

Gii

Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Vỡ a
mp (P
1
) nờn A
1

a
1
. V li d // c nờn d
1
qua A
1
v d
1
// c
1
Vỡ d b = B; t d
1
b
1
= B
1
B
2
b
2
V d
2
qua B
2
v d
2
// c
2
; (Hỡnh 3.12)
Vy d l ng thng thng cn v

Hỡnh 3.12
Vớ d 2
Cho hai ng thng AB, CD chộo nhau; (Hỡnh 3.13). Hóy xỏc nh khong cỏch v dng on
vuụng gúc chung ca hai ng thng ú trong cỏc trng hp sau õy:
a) CD mp (P
1
); AB l ng thng thng
b) CD mp (P
2
); AB l ng cnh
c) CD mp (P
3
); AB l ng thng thng
Gii
a) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
1
) nờn M
1
C
1
D
1
v MN l on ng bng
V li MN AB M
1
N
1
A
1

B
1
ti N
1
. T N
1
A
1
B
1
N
2
A
2
B
2
M
2
N
2
// x; (Hỡnh 3.13a)
Kt lun: M
1
N
1
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau
b) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
2
) nờn M

2
C
2
D
2
v MN l on ng mt
V li MN AB M
2
N
2
A
2
B
2
ti N
2
. T N
2
A
2
B
2
N
1
A
1
B
1
M
1

N
1
// x; (Hỡnh 3.13b)
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
19
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
Kt lun: M
1
N
1
= M
2
N
2
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau











x
o
z
y

x
A
1
C
1
C
2
C
2
B
3
N
3
B
2
A
2
t
M
1
N
1
B
N

C
1
D
1
B

1
A
1
M
2
C
2
D
2
N
2
B
2
A
2
B
1
N
1
A
1
N
2
A
2
B
2
M
2
M

1
C
1
D
1
D
2
N
1
M
1
M
2
B
1
D
1
D
2
N
2
A
3
M
3
C
3
D
3
x

y
Hỡnh 3.13a Hỡnh 3.12b Hỡnh 3.12c

c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
3
) nờn M
3
C
3
D
3
v MN l on ng cnh
V li MN AB M
3
N
3
A
3
B
3
ti N
3
.
T N
3
A
3
B
3

N
2
A
2
B
2
, M
2
N
2
// z v N
1
A
1
B
1
, M
1
N
1
// y; (Hỡnh 3.13c)
Kt lun: M
3
N
3
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau

Vớ d 3
x
A

0
f
2
D
2
C
2
B
2
A
2
f
1
D
1
C
1
B
1
A
1
Cho dim A(A
1
, A
2
) v ng mt f (f
1
, f
2
);

(Hỡnh 3.14). Hóy dng hỡnh vuụng ABCD, bit rng
B,C thuc ng mt f

Gii
_ ABCD l hỡnh vuụng nờn AB BC
_ vỡ B,C f nờn AB f A
2
B
2
f
2
B
1
f
1

_ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht
ca on AB l on B
2
A
0

_ Vỡ BC = AB B
2
C
2
= B
2
A
0

C
1
f
1

V D tho món AD // BC; (Hỡnh 3.14)


Hỗnh 3.14

===================







GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
20
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng

Bi 4
MT PHNG

I . THC CA HAI MT PHNG

thc ca mt phng cú th c xỏc nh bi mt trong cỏc cỏch sau õy:
_ Ba dim phõn bit khụng thng hng, mp(ABC); (Hỡnh 4.1a)
_ Mt im v mt ng thng khụng thuc nhau, mp(M, d) ; (Hỡnh 4.1b)

_ Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hỡnh 4.1c)
_ Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hỡnh 4.1d)








a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l)
B
2
a
2
M
2
d
2
m
2
A
2
C
2
b
2
l
2
x

x

x
x

a
1
m
1
C
1
d
1
A
1
M
1
l
1
b
1
B
1

Hỡnh 4.1
Ngoi ra ngi ta cũn biu din mt phng bng hai vt ca chỳng nh sau:

VT CA MT PHNG
Vt ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu

1) Vt bng ca mt phng
a) nh ngha:
Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu bng
Gi m l vt bng ca mt phng thỡ: m = mp mpP1 ; (Hỡnh 4.2a)
Ký hiu : m


b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca vt bng trựng vi chớnh nú: m
1
m


_ Hỡnh chiu ng ca vt bng trựng vi trc x : m
2
x ; (hỡnh 4.2b)









Hỡnh 4.2a Hỡnh 4.2b Hỡnh 4.3a Hỡnh 4.3b

2) Vt ng ca mt phng
x

P
2
P
1
m

n

P
2
n

n

n

m
2


n
1



x
m
2

n
1



x
x

m

m m

P
1
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
21
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng
a) Định nghĩa:
Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi n là vết đứng của mặt phẳng α thì: n = mpα ∩ mpP
2
(Hình 4.2a)
Ký hiệu : n
α

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó: n
2α
≡ n
α

_ Hình chiếu bằng của vết đứng trùng với trục x : n
1α
≡ x ; (hình 4.2b)

¾ Chú ý
♦ Thực chất của việc biểu diễn mặt phẳng α bằng hai vết của chúng là biểu diễn mặt phẳng α
bằng hai đường thẳng m
α
, n
α
cắt nhau hoặc song song nhau lần lượt nằm trong mặt phẳng hình
chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng. Do đó hai vết m
α
, n
α
của mặt phẳng α phải cắt nhau
tại một điểm nằm trên trục x (Hình 4.2a,b) hoặc song song với trục x (Hình 4.3a, b)
♦ Đường thẳng thuộc mặt phẳng thì các vết cùng tên của đường thẳng và mặt phẳng thuộc nhau

II. CÁC Vị TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG
II. 1- Loại mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

1) Mặt phẳng chiếu bằng
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi α là mặt phẳng chiếu bằng, ta có: mpα ⊥ mpP
1

b) Tính chất

_ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng: (α
1
) → 1 đường
thẳng
_ Hình chiếu bằng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu bằng thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu bằng đó
Giả sử : Điểm A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A
1
∈ (α
1
) ; d
1
≡ (α
1
) ;
_ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4)







Hình 4.4 Hình 4.5
n
α

x

x

m
β

k
2
≡ (β
2
)
d
1
≡ (α
1
)
B
2
B
1
A
2
A
1
d
2
k
1
2) Mặt phẳng chiếu đứng
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi β là mặt phẳng chiếu đứng: mpβ ⊥ mpP
2

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng: (β
2
) → 1
đường thẳng
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
22
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng
_ Hình chiếu đứng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu đứng thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu đứng đó
Giả sử : Điểm B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B
2
∈ (β
2
) ; k
2
≡ (β
2
) ;
_ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x : m
β
⊥ x ; (Hình 4.5)

3) Mặt phẳng chiếu cạnh
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
Gọi γ là mặt phẳng chiếu cạnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3

b) Tính chất

_ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng: (γ3) → 1 đường
thẳng
_ Hình chiếu cạnh của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu cạnh thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu cạnh đó
Giả sử : Điểm C ∈ mpγ ; l ∈
mpγ ⇒ C
3
∈ (γ
3
) ; l
3
≡ (γ
3
) ; (Hình 4.6)
_ Vết bằng và vết đứng của mặt phẳng chiếu cạnh vuông góc với trục z hay song song với trục
x

z
l
2
n
γ



(Hình 4.6)



II.2 Loại mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu

(Thì vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại)

1) Mặt phẳng bằng
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi α là mặt phẳng bằng, ta có: mpα // mpP1








Hình 4.7 Hình 4.8

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x:
(α
2
) // x
_ Mặt phẳng bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính
chất của hai loại mặt phẳng này
Giả sử A, B, C ∈ mpα ⇒ A
2
, B
2
, C
2
∈ (α

2
)
_ Hình chiếu bằng của một hình phẳng thuộc mặt phẳng bằng thì bằng chính nó
A
1
B
2
A
2
B
1
C
1
D
1
C
2
(α
2
)
x

E
2
F
1
E
1
F
2

D
2
(β
1
)
x
m
γ

l
3
≡(γ
3
)
C
3
o
C
2
x
⎢
⎢
⎣
⎡
xnm
znm
////
,
γγ
γ

⊥
γ
y
’
y
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
23
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng
ABC mp A
1
B
1
C
1
= ABC ; (Hỡnh 4.7)

2) Mt phng mt
a) nh ngha
Mt phng mt l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu ng
Gi l mt phng mt, ta cú: mp // mpP
2

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca mt phng mt suy bin thnh mt ng thng song song vi trc x:
(
1
) // x
_ Mt phng mt va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu cnh nờn cú nhng tớnh
cht ca hai loi mt phng ny
Gi s D, E, F mp D

1
, E
1
, F
1
(
1
)
_ Hỡnh chiu ng ca mt hỡnh phng thuc mt phng mt thỡ bng chớnh nú
DEF mp D
2
E
2
F
2
= DEF ; (Hỡnh 4.8)

3) Mt phng cnh
a) nh ngha

Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu cnh
Gi l mt phng cnh, ta cú : mp // mpP
3

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ca mt phng cnh suy bin thnh hai ng thng
trựng nhau v vuụng gúc vi trc x: (1) (2) x
_ Mt phng cnh va l mt phng chiu
bng va l mt phng chiu ng nờn cú
nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny

Gi s :D, K, L mp; (Hỡnh 4.9)
D
1
, K
1
, L
1
(
1
) v D
2
, K
2
,L
2
(
2
)

_ Hỡnh chiu cnh ca mt hỡnh phng thuc
mt phng cnh thỡ bng chớnh nú, gi s :
DKL mp D
3
K
3
L
3
= DKL

Hỡnh 4.9

III. S LIấN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG
z
x
D
2
(

2
)
K
2
L
2
D
1
L
1
K
1
D
3
K
3
L
3
y

y

o
(

1
)
A
2
x
d
2
E
2
F
2
d
1
C
2
B
1
Hỡnh 4.10
E
1
F
1
C
1
B
2

A
1
(Bi toỏn c bn trờn mt phng)

Da vo hai tiờn sau õy biu din s liờn thuc ca
im, ng thng vi mt phng

1.
Mt ng thng thuc mt mt phng nu nú cú hai
im thuc mt phng ú
2.
Mt im thuc mt mt phng nu nú thuc mt
ng thng ca mt phng ú


Vớ d1
Cho mt phng ABC (hỡnh 4.10). Hóy v mt ng thng d bt k thuc mt phng ABC.
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
24